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已知三个函数y=|x|+1，y=x2-2x+1+t，y=12（x+tx）（x＞0），其中第二个函数和第三个函数中的t为同一常数，且0＜t＜1，它们各自的最小值恰好是方程x3+ax2+bx+c=0的三个根．（1）求证：（a-1）2=4（b+1）；（2）设x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，求|x1-x2|的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）三个函数的最小值依次为1，t，t，由f（1）=0得a+b+c=-1，即c=-a-b-1，所以f（x）=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a-1）x+a+b+1]，故方程x2+（a-1）x+a+b+1=0的两个根为t，t，则a+b+1=ta+1=-2t，即4（a+b+1）=（a+1）2．（或利用判别式△=0）（2）由题意可知x1，x2是函数f（x）=x3+ax2+bx+c的两个极值点，则x1，x2是函数f'（x）=3x2+2ax+b=0的两个根．故x1+x2=-2a3，x1x2=b3，△=4a2-2b＞0，所以△=4a2-3（a-1）2+12=（a+3）2，所以|x1-x2|=|a+3|3，而2t=-(a-1)，得a=-1-2t∈(-3，-1)，故|x1-x2|∈(0，23)．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知三个函数y=|x|+1，y=x2-2x+1+t，y=12（x+tx）（x＞0），其中第二个..”主要考查你对&&函数的单调性、最值，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值函数的极值与导数的关系
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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与“已知三个函数y=|x|+1，y=x2-2x+1+t，y=12（x+tx）（x＞0），其中第二个..”考查相似的试题有：
246374254739831829474803863252619698已知-1≤x≤0,求函数y=2^(x+2)-3*4^x的最大值和最小值_百度作业帮
已知-1≤x≤0,求函数y=2^(x+2)-3*4^x的最大值和最小值
y=2^(x＋2)－3×4^x.=2²×2^x－3×(2^x)²设：2^x=t,则：t∈[1/2,1]且：y=4t－3t²：这个是以t=2/3为对称轴、开口向上的抛物线.=－3[t－(2/3)]²＋(4/3),其中t∈[1/2,1]则：y的最大值是y|(t=2/3)=4/3,最小值是y|(t=1)=1则：y的最大值是4/3,最小值是1
2^(x+2)=4*2^xy=-3*4^x+4*2^x令t=2^x，因为-1≤x≤0，则：1/2≤t≤1，且4^x=t²y=-3t²+4t开口向下，对称轴为t=2/3的二次函数，定义域为[1/2,1]对称轴在定义域区间内，所以，对称轴处最大；离对称轴最远的是1，所以，t=1时，y有最小值t=2/3时，y=4/...当前位置：
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已知函数f(x)=x3-（2a+1）x2+3a（a+2）x+1，a∈R。（1）当a=0时，求曲线y=f(x)在点（3，f(3)）处的切线方程； （2）当a=-1时，求函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值；（3）当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：广东省模拟题
解：（1）当a=0时，，∴f(3)=1， ∵，曲线在点（3，1）处的切线的斜率， ∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8。（2）当a=-1时，函数， ∵，令f′(x)=0得，，当x∈（0，1）时，f′(x)＜0，即函数y=f(x)在（0，1）上单调递减，当x∈（1，4）时，f′(x)＞0，即函数y=f(x)在（1，4）上单调递增， ∴函数y=f(x)在[0，4]上有最小值，；又， ∴当a=-1时，函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值分别为。（3）∵， ∴，①当时，3a=a+2，解得a=1，这时，函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；②当时，即，这时，又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点， ∴；③当时，即a＜1，这时，又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点， ∴，综上得当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，或或a=1。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f(x)=x3-（2a+1）x2+3a（a+2）x+1，a∈R。（1）当a=0时，求曲线..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，函数零点的判定定理，导数的概念及其几何意义，导数的运算&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系函数零点的判定定理导数的概念及其几何意义导数的运算
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．&函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)&o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．&(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)&0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．&(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)&0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点&&&&&&&&&&&&&&& ②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．常见函数的导数：
（1）C′=0&；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）
导数的四则运算：&
（1）和差：（2）积：（3）商：
复合函数的导数：
运算法则复合函数导数的运算法则为：复合函数的求导的方法和步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量； （2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数； （3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数。求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。&
发现相似题
与“已知函数f(x)=x3-（2a+1）x2+3a（a+2）x+1，a∈R。（1）当a=0时，求曲线..”考查相似的试题有：
284407393808561743405761443591264295（2002o徐州）已知二次函数y=x2-（2m+1）x+m2的图象与x轴交于点A（xl，0）、B（x2，0），其中xl＜x2，且1
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=x+n的图象过点B，求其解析式；
（3）在给出的坐标系中画出所求出的一次函数和二次函数的图象；
（4）对任意实数a、b，若a≥b，记max{a，b}=a，例如：max{1，2}=2，max{3，3}=3，请你观察第（3）题中的两个图象，如果对于任意一个实数x，它对应的一次函数的值为y1，对应的二次函数的值为y2，求出max{y1，y2}中的最小值及取得最小值时x的值．
（1）由于A、B是抛物线与x轴的交点，根据韦达定理即可得到x1+x2及x1x2的值，将已知的代数式化为x1+x2、x1x2的形式，然后代值计算即可求得m的值，由此可确定抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式，可求出A、B的坐标，将B点坐标代入所求直线的解析式中即可求得n的值，由此可确定该一次函数的解析式；
（4）由于max{a，b}=a中，总是取a、b中较大的值作为max{a，b}的值，那么当max{y1，y2}取最小值时，y1、y2对应的是直线与抛物线另一个交点的纵坐标，可联立两个函数的解析式，即可求得这个交点的坐标，那么交点的纵坐标即为max{y1，y2}的最小值，交点的横坐标即为此时x的值．
解：（1）令y=0，得x2-（2m+1）x+m2=0；
因为抛物线与x轴交于不同两点，
所以△=[-（2m+1）]2-4m2＞0，
解得m＞-；
又因为x1+x2=2m+1，x1x2=m2，
解得m=2，或m=（因m＞，故舍去）；
所以二次函数的解析式为y=x2-5x+4；
（2）二次函数y=x2-5x+4中，令y=0，得x1=1，x2=4，
所以B（4，0）；
因为一次函数y=x+n的图象过点B（4，0），
所以0=4+n，
解得n=-4；
∴一次函数解析式为y=x-4；
（3）如图；
（4）解方程组2-5x+4
，得一次函数与二次函数图象的另一交点为C（2，-2）；
故对任意一个实数x，所求max{y1，y2}中的最小值为-2，此时x=2．根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题;根据函数的增减性,边界值确定;然后由"函数的最大值也是来求的取值范围;需要分类讨论:和两种情况.由函数解析式得到该函数图象过点,,根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是,;最后由函数边界值的定义列出不等式或,易求取值范围:或.
解:根据有界函数的定义知,函数不是有界函数.是有界函数.边界值为:;函数的图象是随的增大而减小,当时,,则当时,.则,;若,函数向下平移个单位后,时,函数值小于,此时函数的边界,与题意不符,故.当时,即过点当时,,即过点,都向下平移个单位,则,或,或.
本题考查了二次函数综合题型.掌握"有界函数"和"有界函数的边界值"的定义是解题的关键.
3830@@3@@@@二次函数综合题@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
求解答 学习搜索引擎 | 对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-M0)和y=x+1(-4小于等于x小于等于2)是不是有界函数?若是有界函数,求其边界值;(2)若函数y=-x+1(a小于等于x小于等于b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;(3)将函数y={{x}^{2}}(-1小于等于x小于等于m,m大于等于0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足\frac{3}{4}小于等于t小于等于1?}