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2015届中考数学总复习：二十《七图形的旋转精练精析》2（华东师大版）
2015届中考数学总复习：二十《七图形的旋转精练精析》2（华东师大版）
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在手机端浏览& 如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，
本题难度：0.53&&题型：选择题
如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；④2oS△EFO=b2S△DGO．其中结论正确的有（　　）
A、①②③B、②③④C、①②④D、①②③④
来源：学年四川省乐山外国语学校九年级（上）期中数学试卷 | 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
如图，四边形ABCD的面积是&&&&平方厘米．
如图，四边形ABCD是长方形，以AB所在的直线为轴旋转一周，得到的是什么图形？它的侧面积是多少平方厘米？
如图，四边形ABCD的面积为59.5，被分成四个小三角形，其中的两个小三角形的面积标在图中，求阴影三角形的面积．
（2015秋o卧龙区校级期末）如图平行四边形ABCD的面积是36cm2，三角形DEC的面积是&&&&，它与三角形BDC的面积相比&&&&．
如图，四边形ABCD是平行四边形，BC=CE，如果三角形CED的面积是25cm2，那么梯形ABED的面积是多少？
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③DGGC=GOCE；④(a-b)2oS△EFO=b2S△DGO．其中结论正确的有（　　）①②③②③④①②④①②③④”的学库宝（http://www.xuekubao.com/）教师分析与解答如下所示：
【分析】①由正方形的性质可证得△BCG≌△DCE②结合①的结论可得∠GBC+∠DEC=90°可得BG⊥DE③由GO∥CE可得DGDC=GOCE④由DG∥EF可得△DGO∽△EFO可得相似比进一步可求得面积比找到面积之间的关系．
【解答】解：∵四边形ABCD、CEFG都是正方形∴∠BCG=∠DCE=90°BC=CDGC=CE在△BCG和△DCE中BC=CD∠BCG=∠DCEGC=CE∴△BCG≌△DCE（SAS）∴①正确如图延长BG交DE于点H由①可得到∠GBC=∠EDC且∠EDC+∠CED=90°∴∠GBC+∠CED=90°∴∠BHE=90°∴BG⊥DE∴②正确∵GF∥CE∴DGDC=GOCE∴③不正确∵DG∥EF∴△DGO∽△EFO且DG=DC-CG=a-bEF=b∴S△DGOS△EFO=（DGEF）2=(a-b)2b2∴(a-b)2oS△EFO=b2S△DGO∴④正确综上可知正确的为①②④故选C．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
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知识点讲解
经过分析，习题“如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，”主要考察你对
“” “” “”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
相似三角形的判定与性质
1.相似三角形定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。2.判定：
（1）平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 直角三角形相似判定定理
（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. （6）相似三角形的传递性。
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)2008年中考数学分类汇编-特殊平行四边形_甜梦文库
2008年中考数学分类汇编-特殊平行四边形
2008 年中考数学分类汇编-特殊平行四边形一、选择题 1、(2008 广东深圳)下列命题中错误的是 （ ） ．． Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 2、（2008 湖北襄樊）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ） A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.等腰梯形 3、（2008 山东东营）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止．设 点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则△ABC 的面积是（）y D C P A 图 1 BO4 图 29xA．10 B．16 C．18 D．20 4、（2008 泰安）如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为（ ） ① AC ? BD A．①③ ② ?BAD ? 90 B．②③?③ AB ? BC④ AC ? BDC．③④D．①②③ A DBC5、（2008 年江苏省南通市）下列命题正确的是（ ） A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形 6、（2008 年江苏省无锡市）如图， E，F，G，H 分别为正方形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ，DA 上的点，且 AE ? BF ? CG ? DH ?为（ Ａ． ）1 AB ，则图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比 3Ｄ．2 5Ｂ．4 9Ｃ．1 23 57、 （2008 年江苏省连云港市） 已知 AC 为矩形 ABCD 的对角线， 则图中 ?1 与 ? 2 一定不相等的是 （- 1 -）D 2 A 1 1CD 2C D 2 1CD 2 A 1CBA1B ABBA． B． C． D． 8、（2008 山东临沂）如图，菱形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝2，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 AE、 EF、AF，则△AEF 的周长为（ ） A．2 3B．3 3C．4 3D．A3B E C FD9、(2008 浙江 丽水)如图，在三角形 ABC 中， AB ＞ AC ，D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，△ ADE 沿线段 DE 翻折，使点 A 落在边 BC 上，记为 A? ．若四边形 ADA?E 是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ ABC 的中位线 B. AA? 是 BC 边上的中线 C. AA? 是 BC 边上的高 D. AA? 是△ ABC 的角平分线A D E BA?C10、（2008 甘肃兰州）把长为 8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等 2 腰梯形，剪掉部分的面积为 6cm ，则打开后梯形的周长是（ ） 3cm 3cmA． (10 ? 2 13) cmB． (10 ? 13) cmC．22cmD．18cm11、 (2008 湖北仙桃等) 如图，四边形 ABCD 是菱形，过点 A 作 BD 的平行线交 CD 的延长线于点 E ， 则下列式子不成立的是（ ） ．．． A. DA ? DE B. BD ? CE C. ?EAC ? 90 ° D. ?ABC ? 2?EEADOB- 2 -C12、 (2008 浙江丽水)如图，在三角形 ABC 中， AB ＞ AC ， D 、 E 分别是 AB 、 AC 上的点，△ ADE 沿线段 DE 翻折，使点 A 落在边 BC 上，记为 A? ．若四边形 ADA?E 是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ ABC 的中位线 B. AA? 是 BC 边上的中线 C. AA? 是 BC 边上的高 D. AA? 是△ ABC 的角平分线A D E BA?C14、如图，把矩形 ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若 ?1 ? 50 ，则 ? AEF =（?）无出处 A．110° B．115° C．120° D．130° 15、（2008 义乌）下列命题中，真命题是 A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 16、（2008 遵义）如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB、CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH，若 正方形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm2,那么矩形 ABCD 的面积是 （ ） F A E A．21cm2 B．16cm2 C．24cm2 G DB D．9cm2C17、（2008 扬州市）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ A、当 AB=BC 时，它是菱形 B、当 AC⊥BD 时，它是菱形 C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当 AC=BD 是，它是正方形A D）BC18、(2008 黑龙江哈尔滨)如图，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边中 点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长是（ ） （A）3cm （B）4cm （C）5cm （D）6cm- 3 -19、 （2008 浙江台州） 如图， 在菱形 ABCD 中， 对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点， OE ? a ， 且 则菱形 ABCD 的周长为（ ） A． 16a B． 12a C． 8a D． 4a D O A B CE20、（2008 年广东茂名市）正方形内有一点 A，到各边的距离从小到大依次是 1、2、3、4，则正方形的周 长是（ ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25 21、 （08 兰州）把长为 8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，找开得到一个等腰梯形， 2 剪掉部分的面积为 6cm ，则打开后梯形的周长是（ ） 3cm 3cmA． (10 ? 2 13) cmB． (10 ? 13) cmC．22cmD．18cm22、(2008 湖北 天门)下列命题中，真命题是（ ） A、一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B、顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C、等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 23、(2008 江苏 常州)顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 【 】 A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 24、（2008 山东潍坊）如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( A.80° B.70° C.75° D.60°)二、填空题 1、（2008 山西太原）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，已知 ?AOD ? 120 ，AB=2.5，则0AC 的长为。2、（2008 湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样 就组成了一个“赵爽弦图”（如图）。如果小正方形面积为 1，大正方形面积为 25，直角三角形中较 小锐角为θ ，那么 sin ? = 。BADC- 4 -3、（2008 江苏盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出 其中一种四边形的名称 ． 4、（2008 四川内江）如图，在 3 ? 4 的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．无答案 5、（2008 佛山）如图，已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，且 BP = BC，则∠ACP 度数是A P D．BC6、（2008 佳木斯市）下列各图中，不是正方体的展开图（填序号）①②③④7、(2008 泰安) 若等腰梯形 ABCD 的上、下底之和为 4，并且两条对角线所夹锐角为 60 ，则该等腰梯形 的面积为 ．?? 8、（2008 年陕西省）如图，梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ， ?ADC ? ?BCD ? 90 ，且 DC ? 2 AB ，分， ， 别以 DA AB BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S1，S2，S3 ，则 S1，S2，S3 之间的关系是 ．- 5 -S2 S1D A BS3C?9、（2008 年陕西省）如图，菱形 ABCD 的边长为 2， ?ABC ? 45 ，则点 D 的坐标为 y A D．O (B)Cx10、 （2008 年山东省青岛市）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC,BD 相交于点 O，若∠AOB＝60°，AB＝4cm， 则 AC 的长为________cm．11、 （2008 四川凉山州）菱形 ABCD 中， AE 垂直平分 BC ，垂足为 E ， AB ? 4cm ．那么，菱形 ABCD 的面积是 ，对角线 BD 的长是 ． 12、（08 海南）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，则 AE= A Dcm.BEC13、(20082 青海)已知菱形 ABCD 的面积是 12 cm ，对角线 AC ? 4 cm，则菱形的边长是cm； cm．? 等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ，AD ? 5 cm，BC ? 9 cm，?C ? 60 ， 则梯形的腰长是14、（2008 山东 临沂）如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，BC 于点 E、F，连接 CE，则 CE 的长________.A O B F C E D- 6 -15、（2008 齐齐哈尔）如图，菱形 AB1C1D1 的边长为 1， ?B1 ? 60? ；作 AD2 ? BC1 于点 D2 ，以 AD2 为 1 一边，做第二个菱形 AB2C2 D2 ，使 ?B2 ? 60? ；作 AD3 ? B2C2 于点 D3 ，以 AD3 为一边做第三个菱 形 AB3C3 D3 ， 使 ?B3 ? 60? ； ?? 依 此 类 推 ， 这 样 做 的 第 是 ． C3 B2 D3 A C2 B1 D2 C1 B33n 个 菱 形 ABn Cn Dn 的 边 ADn 的 长D1116、 （2008 江苏镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为 1 厘米，一只蚂蚁由 A 点开始按 ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走 2008 厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点． G A B C D E F17、 (2008 黑龙江哈尔滨)己知菱形 ABCD 的边长是 6，点 E 在直线 AD 上，DE＝3，连接 BE 与对角线 AC 相MC 的值是 。 AM 18、 （2008 四川凉山州）菱形 ABCD 中， AE 垂直平分 BC ，垂足为 E ， AB ? 4cm ．那么，菱形 ABCD 的面积是 ，对角线 BD 的长是 ．交于点 M，则 AB E CD19、（2008 江苏盐城）梯形的中位线长为 3，高为 2，则该梯形的面积为．20、（2008 山西太原）在梯形 ABCD 中， AD ? BC ，AB=DC=3，沿对角线 BD 翻折梯形 ABCD，若点 A 恰好 落在下底 BC 的中点 E 处，则梯形的周长为 。 21、（2008 年福建宁德）如图，将矩形纸 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH，若 EH＝3 厘米，EF＝4 厘米，则边 AD 的长是___________厘米.A H DEGBFC- 7 -22、 （2008 年白银）如图，将左边的矩形绕点 B 旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=___ ___ ．23、如图，菱形 ABCD 中， O 是对角线 AC，BD 的交点， AB ? 5cm ， AO ? 4cm ，则 BD ?cm．无出处 24、（2008 年白银）如图(1)是一个等腰梯形，由 6 个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图 10(2)所示的一 个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论： ．（1）（2）25、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 BC 上一点，DE∥AB，AD 的长为 1，BC 的长为 2，则 CE 的长为__．A DB图8EC无出处 ． （只26、（2008 安徽芜湖）从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 填写拼图板的代码）27、（2008 山东烟台）红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为 1cm 的红丝带交叉成 60°角重 叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______ cm .228、（2008 浙江台州）如图，四边形 ABCD ， EFGH ， NHMC 都是正方形，边长分别为 a，b，c ； A，B，N，E，F 五点在同一直线上，则 c ? （用含有 a， b 的代数式表示）．- 8 -M c D a A C H G b FB N E （第 3 题）29、（2008 四川自贡）如图矩形 ABCD 中，AB＝8 M，CB＝4 M， DBFE 的面积为 。E 是 DC 的中点，BF＝1 BC，则四边形 430、(2008黑龙江)如图，矩形 ABCD 中， AB ? 3 cm， AD ? 6 cm，点 E 为 AB 边上的任意一点，四边形 EFGB 也是矩形，且 EF ? 2 BE ，则 S△ AFC ? A F G Ecm2 ．DB 第 9 题图C31、(2008 河南实验区)某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、G、H， 用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC= cm32、(2008河南实验区)如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF,分别交AD、BC于点E、 cmF，连接CE,已知 ?CDE 的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是33、（2008 遵义）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪成两块，可以拼成不同形状的四边形，请 写出你拼成的四边形的名称： _______________ （只写一个）。- 9 -（13 题图） 34、(08 仙桃等)如图，矩形 ABCD 的面积为 5，它的两条对角线交于点 O1 ，以 AB 、 AO1 为两邻边作平 行四边形 ABC1O1 ，平行四边形 ABC1O1 的对角线交于点 O2 ，同样以 AB 、 AO2 为两邻边作平行四 边形 ABC2 O2 ，??，依次类推，则平行四边形 ABCn On 的面积为 .DCO1 O2A BC1C2??（第 15 题图）35、（2008 扬州）如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB，垂足为 E，DE=6cm，sinA=3/5，则菱形 ABCD 的面积 是 cm2.D CAE B三、解答题 1、（2008 湖北襄樊）如图 12，B、C、E 是同一直线上的三个点，四边形 ABCD 与四边形 CEFG 是都是正方 形.连接 BG、DE. （1）观察猜想 BG 与 DE 之间的大小关系，并证明你的结论. （2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不 存在，请说明理由.A DGFB 图12CE- 10 -2、 （2008 湖北孝感）宽与长的比是5 ?1 的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目， 2它给我们以协调、匀称的美感。现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤 （如图所示）： 第一步：作一个任意正方形 ABCD； 第二步：分别取 AD、BC 的中点 M、N，连接 MN； 第三步：以 N 为圆心，ND 长为半径画弧，交 BC 的延长线于 E； 第四步：过 E 作 EF ? AD 交 AD 的延长线于 F ， 请你根据以上作法，证明矩形 DCEF 为黄金矩形，（可取 AB=2）。3、（2008 资阳市）如图，在△ABC 中，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE∥AC 交 BC 于点 E，DF∥BC 交 AC 于点 F． （1）点 D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形 DECF 为菱形．4、（2008 泰州市）在矩形 ABCD 中，AB=2，AD= 3 ． （1）在边 CD 上找一点 E，使 EB 平分∠AEC，并加以说明；（3 分） ． （2）若 P 为 BC 边上一点，且 BP=2CP，连接 EP 并延长交 AB 的延长线于 F． ①求证：点 B 平分线段 AF；（3 分） ②△PAE 能否由△PFB 绕 P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能， 请说明理由．（4 分）- 11 -5、(2008 河南实验区)如图,已知:在四边形 ABFC 中， ?ACB =90 ?, BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 CF=AE (1)试探究,四边形 BECF 是什么特殊的四边形; (2)当 ? A 的大小满足什么条件时,四边形 BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字)6、(2008 山东 聊城)如图，矩形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线 EF 与 AB，CD 的 延长线分别交于 E，F ． （1）求证： △BOE ≌△DOF ； （2）当 EF 与 AC 满足什么关系时，以 A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． F A O B E 7、(2008 广东深圳)如图 5，在梯形 ABCD 中，AB∥DC， DB 平分∠ADC，过点 A 作 AE∥BD，交 CD 的延长线 于点 E，且∠C＝2∠E． （1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形． A B （2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求 CD 的长． C DED 图5C8、（2008 佳木斯市）有一底角为 60 的直角梯形，上底长为 10cm，与底垂直的腰长为 10cm，以上底或与 底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为 15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三 角形的面积．?- 12 -9、（2008 山东东营） 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是 AD 中点． 求证：CE⊥BE． D CEAB10、（2008 年山东省青岛市）已知：如图，在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CE＝CG， 连接 BG 并延长交 DE 于 F． （1）求证：△BCG≌△DCE； （2）将△DCE 绕点 D 顺时针旋转 90°得到△DAE′，判断四边形 E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理 由． A DE?G B FCE11、（2008 年江苏省无锡市）如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点， BF ? AE 于 F ，试说明： △ ABF ∽△EAD ．12、（本小题满分 7 分） （2008 年江苏省无锡市） 如图， 四边形 ABCD 中，AB ∥ CD ，AC 平分 ? BAD ，CE ∥ AD 交 AB 于 E ． （1）求证：四边形 AECD 是菱形； （2）若点 E 是 AB 的中点，试判断 △ ABC 的形状，并说明理由．- 13 -13、（2008 年江苏省苏州市）如图，在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB ? DC ? 5 ， AD ? 6 ，BC ? 12 ．动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB以每秒 2 个单位的速度向 B 点运动．两点同时出发，当 P 点到达 C 点时， Q 点随之停止运动． （1）梯形 ABCD 的面积等于 ； 秒；（2）当 PQ ∥ AB 时， P 点离开 D 点的时间等于（3）当 P，Q，C 三点构成直角三角形时， P 点离开 D 点多少时间？ A D P B CQ? 14、（2008 年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片 ABCD 中， AB ∥ DC ， ?A ? 90 ， CD ? AD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 A 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 DF ．连接 EF 并展开纸片． （1）求证：四边形 ADEF 是正方形； （2）取线段 AF 的中点 G ，连接 EG ，如果 BG ? CD ，试说明四边形 GBCE 是等腰梯形． D E CAB G F15、（2008湖北咸宁）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA 的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．- 14 -16、(2008 福建 龙岩)如图，等腰梯形 ABCD 中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点 P 从点 C 出发沿 CD 方向 向点 D 运动，动点 Q 同时以相同速度从点 D 出发沿 DA 方向向终点 A 运动，其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运动. （1）求 AD 的长； （2）设 CP=x，问当 x 为何值时△PDQ 的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在 BC 边上是否存在点 M 使得四边形 PDQM 是菱形？若存在，请找出点 M，并求出 BM 的长； 不存在，请说明理由.17、(2008 青海)如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线 交 BE 的延长线于 F ，且 AF ? DC ，连接 CF ． （1）求证： D 是 BC 的中点； （2）如果 AB ? AC ，试猜测四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论．AFEBDC18、（2008四川 凉山州）如图，点 E，F 分别是菱形 ABCD 中 BC，CD 边上的点（ E，F 不与 B， C， D 重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明 AE ? AF ． A B F C D- 15 -19、（2008 贵州贵阳)如图 8，在 ABCD 中， E，F 分别为边 AB，CD 的中点，连接 DE，BF，BD ． （1）求证： △ ADE ≌△CBF ．（5 分） （2）若 AD ? BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5 分） F?DCAEB20、（2008 湖北黄冈）已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D 作 DF ? DE 交 BC 的延长线于点 F ．求证： DE ? DF ． A E D 1 3 2B C F21、(2008 黑龙江哈尔滨)在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 边上一点，连接 BE，且∠ABE＝30°，BE＝DE，连接 BD．点 P 从点 E 出发沿射线 ED 运动，过点 P 作 PQ∥BD 交直线 BE 于点 Q．3 PQ； 3 （2）若 BC＝6，设 PQ 长为 x，以 P、Q、D 三点为顶点所构成的三角形面积为 y，求 y 与 x 的函数关系(1) 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1），求证：BE＝PD＋式（不要求写出自变量 x 的取值范围）； （3）在②的条件下，当点 P 运动到线段 ED 的中点时，连接 QC，过点 P 作 PF⊥QC，垂足为 F，PF 交对 角线 BD 于点 G（如图 2），求线段 PG 的长。- 16 -22、 （2008 齐齐哈尔）有一底角为 60? 的直角梯形，上底长为 10cm，与底垂直的腰长为 10cm，以上底或 与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为 15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的 三角形的面积．23、 （2008 甘肃兰州） 如图 15， 平行四边形 ABCD 中，AB ? AC ，AB ? 1 ，BC ? 5 ． 对角线 AC，BD 相交于点 O ，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F ． （1）证明：当旋转角为 90? 时，四边形 ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出 此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数． A F D O E CB24、 （2008 海南省）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.A PDBEC- 17 -25、（2008 湖北荆州）如图，矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上一点，AE＝AD，DF⊥AE 于 F，连结 DE. 求证：DF＝DC． A DF B E C26、（2008 上海市）如图，已知平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O ， E 是 BD 延长线上 的点，且 △ ACE 是等边三角形． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 ?AED ? 2?EAD ，求证：四边形 ABCD 是正方形． E A O DBC27、（2008 年福建宁德）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF＝BE． ⑴求证：CE＝CF； ⑵在图 1 中，若 G 在 AD 上，且∠GCE＝45°，则 GE＝BE＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图 2，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E 是 AB 上一点，且∠DCE ＝45°，BE＝4，求 DE 的长． A G D F A DE B CE B C图1图2- 18 -28、（2008 年白银）如图，在 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，AE 的延长线与 BC 的延长线相交于点 F． (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)连结 AC、DF，则四边形 ACFD 是下列选项中的（ ）． A．梯形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形3 29、（2008 年赤峰）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形 ABCD 是菱形吗？如 果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．ADBC30、 （2008 年山东滨州）在梯形 ABCD 中，AB∥CD， ?A ? 90 ，AB=2，BC=3，CD=1，E 是 AD 中点，试判0断 EC 与 EB 的位置关系，并写出推理过程。31、 (2008 江苏 常州)如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为 2,下底长为 4,腰长为 2,这样的纸片共 有 5 张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它 们的示意图,并写出它们的周长. ．．．2 2 24- 19 -32、(2008 湖北 天门)现将四个全等的直角梯形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸的每个小正方形 的边长均为 1，并且直角梯形的每个顶点与小正方形的顶点重合．请你仿照例①，按如下要求拼图． 要求：①用四个全等的直角梯形，按实际大小拼成符合要求的几何图形； ②拼成的几何图形互不重叠，且不留空隙； ③拼成的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．例①： 矩形矩形(不同于例①)(第 20 题图) 平行四边形(非矩形) 梯形33、 (2008 江苏 常州)已知:如图,在矩形 ABCD 中,E、 分别是边 BC、 上的点,且 EF=ED,EF⊥ED.求证:AE F AB 平分∠BAD.B E CF A （第23题） D34、（2008 山东潍坊） 如图,矩形纸片 ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上,BG=10. (1)当折痕的另一端 F 在 AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积. (2)当折痕的另一端 F 在 AD 边上时,如图(2).证明四边形 BGEF 为菱形,并求出折痕 GF 的长.图（1）图（2）A F BEGA F- 20 -EHDBGC35、（2008 山东烟台） 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，BD=2，E、F 分别是边 AD，CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围.36、（2008 四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥BC，交 BC 的延长线 于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想37、（2008 新疆建设兵团）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个 不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹） （2）写出你的作法．- 21 -38、（2008 鸡西）已知：正方形 ABCD 中， ?MAN ? 45 ， ?MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别?交 CB，DC （或它们的延长线）于点 M ，N ． 当 ?MAN 绕点 A 旋转到 BM ? DN 时（如图 1），易证 BM ? DN ? MN ． （1）当 ?MAN 绕点 A 旋转到 BM ? DN 时（如图 2），线段 BM ，DN 和 MN 之间有怎样的数量关 系？写出猜想，并加以证明． A D N N B M 图1 C B M M 图2 图3 N C B C A D A D（2）当 ?MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM ，DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？请直 接写出你的猜想．39、（2008 兰州）如图，平行四边形 ABCD 中， AB ? AC ， AB ? 1 ， BC ? 5 ．对角线 AC，BD 相 交于点 O ，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F ． （1）证明：当旋转角为 90 时，四边形 ABEF 是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出 此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数． A F D O E 图 15 C?B- 22 -40、（2008 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射 线 BC 上，且 PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y. ① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； ② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值. A P DBEC41、（2008 年广东茂名市） 如图，在等腰梯形 ABCD 中，已知 AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长 BC 到 E，使 CE=AD． （1）写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（5 分） （2） 探究当等腰梯形 ABCD 的高 DF 是多少时， 对角线 AC 与 BD 互相垂直？请回答并说明理由． 分） （5ADBF CE42、(2008 年广东梅州市) 如图 8，四边形 ABCD 是平行四边形．O 是对角线 AC 的中点，过点 O 的直线 EF 分别交 AB、DC 于 点 E 、 F ，与 CB、AD 的延长线分别交于点 G、H． （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）； （2）除 AB=CD，AD=BC，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以 证明．图8- 23 -43、（2008 东营）在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是 AD 中点． 求证：CE⊥BE．44、（2008 遵义）（10 分）在矩形 ABCD 中，AD＝2AB，E 是 AD 的中点，一块三角板的直角顶点与点 E 重 合，将三角板绕点 E 按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与 AB、BC 分别相交于点 M，N 时，观察 或测量 BM 与 CN 的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论。45、（2008 遵义）（14 分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片 ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线 BD 把这张纸片剪成△AB1D1 和△CB2D2 两个三角形(如图(2)所示)， 将△AB1D1 沿直线 AB1 方向移动(点 B2 始终 在 AB1 上， 1 与 CD2 始终保持平行)， AB 当点 A 与 B2 重合时停止平移， 在平移过程中， 1 与 B2D2 交于点 E， AD B2C 与 B1D1 交于点 F， (1)当△AB1D1 平移到图(3)的位置时，试判断四边形 B2FD1E 是什么四边形？并证明你的结论； (2)设平移距离 B2B1 为 x，四边形 B2FD1E 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；并求出四边形 B2FD1E 的 面积的最大值； (3)连结 B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离 B2B1 的值是多少时，△ B1B2F 与△ B1CF 相似？ D C D1(D2) C D2 E A B A B1(B2) A B2 D1 C F B1- 24 -46、（2008 义乌）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合)，以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG，连结 BG，DE．我们探究下列图中线段 BG、线段 DE 的长度关 系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ? ，得到如图 2、如图 3 情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图 4―6），且 AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (a ? b，k ? 0)，第(1) 题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由．（3）在第(2)题图 5 中，连结 DG 、 BE ，且 a=3，b=2，k=1 ，求 BE 2 ? DG 2 的值． 2- 25 -参考答案 一、选择题 1、D 2、A 14、B 15、B3、D 4、A 5、C 6、A 7、D 8、B 9、D 10、A 11、B 16、B 17、18、A 19、C 20、B 21、A 22、D 23、D 24、C12、D二、填空题 1、5 2、0.6 3、平行四边形（或矩形或菱形） 4、（2008 四川内江）如图，在 3 ? 4 的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是个．5、22.56、③7、 4 3或 10、8cm4 3 （结果保留根号的形式）． 311、8 3 cm28、 S2 ? S1 ? S3 12、69、 (2 ? 2，2)4 3cm16、 A13、 13 ；413 14、 6? 3? 15、 ? ? 2 ? ? ? ?19、6 20、15；n?117、 2 或2 318、8 3 cm24 3cm21、522、90°23、624、答案不唯一． 可供参考的有：①它内角的度数为 60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底 长；③它的上底等于下底长的一半． 25、 1 26、①②③④ 27、2 3 328、 a 2 ? b229、10 M230、931、2032、4833、矩形34、5 2n35、60三、解答题 1、解：（1）BG=DE ∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是正方形， ∴GC=CE，BC=CD，∠BCG=∠DCE=90°） ∴△BCG≌△DCE ∴BG=DE （2）存在. △BCG 和△DCE △BCG 绕点 C 顺时针方向旋转 90°与△DCE 重合 2、证明：在正方形 ABCD 中，取 AB=2 ∵N 为 BC 的中点， ∴NC=1 BC ? 1 2在 Rt ? DNC 中， DN ? 又∵NE=ND，NC2 ? CD2 ? 12 ? 22 ? 5- 26 -∴CE=NE-NC= 5 ? 1 ,?CE 5 ?1 , ? CD 2故矩形 DCEF 为黄金矩形。 3、解：(1) 内. (2) 证法一：连接 CD， ∵ DE∥AC，DF∥BC， ∴ 四边形 DECF 为平行四边形， 又∵ 点 D 是△ABC 的内心， ∴ CD 平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC ∴ FC＝FD， ∴ □DECF 为菱形． 证法二： 过 D 分别作 DG⊥AB 于 G，DH⊥BC 于 H，DI⊥AC 于 I． ∵AD、BD 分别平分∠CAB、∠ABC， ∴DI=DG， DG=DH． ∴DH=DI． ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形 DECF 为平行四边形， ∴S□DECF=CE?DH =CF?DI， ∴CE=CF． ∴□DECF 为菱形． 4、（1）当 E 为 CD 中点时，EB 平分∠AEC。 由∠D=90 ，DE=1，AD= 3 ，推得 DEA=60 ，同理，∠CEB=60 ，从而∠AEB=∠CEB=60 ，即 EB 平分∠ AEC。 （2）①∵CE∥BF，∴0 0 0 0图7CE CP 1 = = ∴BF=2CE。 BF BP 2∵AB=2CE，∴点 B 平分线段 AF ②能 证明：∵CP=1 33 ，CE=1，∠C=900 ，∴EP=2 33。DEC在 Rt △ADE 中，AE= 又∵PB=? 3?2? 12 =2，∴AE=BF，AP2 3 ，∴PB=PE 30BF∵∠AEP=∠BP=90 ，∴△PAS≌△PFB。 ∴△PAE 可以△PFB 按照顺时针方向绕 P 点旋转而得到。 0 旋转度数为 120 5、（1）四边形 BECF 是菱形。? 证明：EF 垂直平分 BC， ∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2 ∵∠ACB=90°- 27 -∴∠1+∠4=90° ∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4 ∴EC=AE ∴BE=AE ∵CF=AE ∴BE=EC=CF=BF ∴四边形 BECF 是菱形 （2）当∠A=45。时，菱形 BESF 是正方形 证明：∵∠A=45。, ∠ACB=90。 ∴∠1=45。 ∴∠EBF=2∠A=90。 ∴菱形 BECF 是正方形 6、（1）证明：? 四边形 ABCD 是矩形， ? OB ? OD （矩形的对角线互相平分）， AE ∥ CF （矩形的对边平行）． ??E ? ?F ， ?OBE ? ?ODF ． ?△BOE ≌△DOF （A．A．S）． （2）当 EF ? AC 时，四边形 AECF 是菱形． 证明：? 四边形 ABCD 是矩形， ? OA ? OC （矩形的对角线互相平分）． 又由（1） △BOE ≌△DOF 得， OE ? OF ， ? 四边形 AECF 是平行四边形（对角线互相平分的 四边形是平行四边形） 又 EF ? AC ， ? 四边形 AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四 边形是菱形）． F A O B E F A O B E 7、（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB 平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E ∴∠ADC＝∠BCD ∴梯形 ABCD 是等腰梯形 （2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且 BC＝AD＝5 ∵ 在△BCD 中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴∠DBC＝90° ∴DC＝2BC＝10 C D C D2 8、解：解：当 BE ? 15 cm 时， △ ABE 的面积是 50 cm ； 2 当 CF ? 15 cm 时， △BCF 的面积是 75cm ； 2 当 BE ? 15 cm 时， △BCE 的面积是 25 5 cm ．（每种情况，图给 1 分，计算结果正确 1 分，共 6 分）- 28 -9、证明: 过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F． ∵ 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°， ∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°． ∴四边形 AFCD 是矩形． AD=CF, BF=AB-AF=1． 在 Rt△BCF 中， CF2=BC2-BF2=8， ∴ CF= 2 2 ． ∴ AD=CF= 2 2 ． ∵ E 是 AD 中点， ∴ DE=AE= D C1 AD= 2 ． 2E在 Rt△ABE 和 Rt△DEC 中， EB2=AE2+AB2=6， EC2= DE2+CD2=3， EB2+ EC2=9=BC2． ∴ ∠CEB＝90°． ∴ EB⊥EC．AFB10、（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90° ??????2 分 ∵CG＝CE，∴△BCG≌△DCE. ??????4 分 （2）答：四边形 E′BGD 是平行四边形 理由：∵△DCE 绕点 D 顺时针旋转 90°得到△DAE′ ∴CE＝AE′，∵CG＝CE，∴CG＝AE′，∵AB＝CD，AB∥CD， ∴BE′＝DG，BE′∥DG，??????6 分 ∴四边形 E′BGD 是平行四边形 ??????8 分11、解法一：? 矩形 ABCD 中， AB ∥ CD ， ?D ? 90 ，???BAF ? ?AED ． ? BF ? AE ，??AFB ? 90? ，??AFB ? ?D ．?△ ABF ∽△EAD ．解法二：? 矩形 ABCD 中， ?BAD ? ?D ? 90 ．???BAF ? ?EAD ? 90? ， ?EAD ? ?AED ? 90? ，??BAF ? ?AED ．12、（1）? AB ∥ CD ，即 AE ∥ CD ，又? CE ∥ AD ，? 四边形 AECD 是平行四边形． ? AC 平分 ? BAD ，??CAE ? ?CAD ， 又? AD ∥ CE ，??ACE ? ?CAD ，??ACE ? ?CAE ，? AE ? CE ， ? 四边形 AECD 是菱形． （2）证法一：? E 是 AB 中点，? AE ? BE ． 又? AE ? CE ，? BE ? CE ，??B ? ?BCE ，? ?B ? ?BCA ? ?BAC ? 180? ，）- 29 -? 2?BCE ? 2?ACE ? 180? ，??BCE ? ?ACE ? 90? ．即 ?ACB ? 90 ，?△ ABC 是直角三角形．）?证法二：连 DE ，则 DE ? AC ，且平分 AC ， 设 DE 交 AC 于 F ． ? E 是 AB 的中点，? EF ∥ BC ． ? BC ? AC ，?△ ABC 是直角三角形． （7 分）13、解：（1）36；（2）15 秒； 8（3）当 P，Q，C 三点构成直角三角形时，有两种情况： ①当 PQ ? BC 时，设 P 点离开 D 点 x 秒， 作 DE ? BC 于 E ，? PQ ∥ DE ．?CP CQ 5 ? x 2 x 15 ? ? ， ，? x ? ． CD CE 5 3 13 15 ? 当 PQ ? BC 时， P 点离开 D 点 秒． 13②当 QP ? CD 时，设 P 点离开 D 点 x 秒，AD PBE QC? ?QPC ? ?DEC ? 90? ， ?C ? ?C ．A D P B C?△QPC ∽△DEC ．? PC CQ 5 ? x 2 x 25 ? ? ． ．? x ? ． EC CD 3 5 11 25 秒． ? 当 QP ? CD 时，点 P 离开点 D 11Q E由①②知，当 P，Q，C 三点构成直角三角形时，点 P 离开点 D15 25 秒或 秒． 13 1114、证明：（1）? ?A ? 90 ， AB ∥ DC ，??ADE ? 90 ．? ? ? 由沿 DF 折叠后 △DAF 与 △DEF 重合，知 AD ? DE ， ?DEF ? 90 ．DECAB G F? 四边形 ADEF 是矩形，且邻边 AD，AE 相等． ? 四边形 ADEF 是正方形．- 30 -（2）? CE ∥ BG ，且 CE ? BG ，? 四边形 GBCE 是梯形．? 四边形 ADEF 是正方形，? AD ? FE ， ?A ? ?GFE ? 90? ．又点 G 为 AF 的中点，? AG ? FG ．连接 DG ． 在 △ AGD 与 △FGE 中，? AD ? FE ， ?A ? ?GFE ， AG ? FG ， ?△ AGD ≌△FGE ，??DGA ? ?EGB ． ? BG ? CD ， BG ∥ CD ，? 四边形 BCDG 是平行四边形． ? DG ∥ CD ．??DGA ? ?B ．??EGB ? ?B ． ? 四边形 GBCE 是等腰梯形． 注：第（2）小题也可过点 C 作 CH ? AB ，垂足为点 H ，证 △EGF ≌△CBH 15、解（1）证明： ∵CE平分 ?BAC ，∴ ?1 ? ?2 ， 又∵MN∥BC，∴ ?1 ? ?3，∴ ?3 ? ?2 ，∴ EO ? CO ． 同理， FO ? CO ．∴ EO ? FO ． （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. ∵ EO ? FO ，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形.1 又∵ ?1 ? ?2 ， ?4 ? ?5．∴ ?2 ? ?4 ? ?180? ? 90? ，即 ?ECF ? 90?．∴四边形AECF是矩形． 216、（1）解法一：如图 25-1 过 A 作 AE⊥CD，垂足为 E .9?4 5 ? . 2 2 DE 5 ? ?2 ? 5. 在 Rt△ADE 中，AD= cos 60? 2依题意，DE= 解法二：如图 25-2 过点 A 作 AE∥BC 交 CD 于点 E，则 CE=AB=4 . ∠AED=∠C=60°. 又∵∠D=∠C=60°， ∴△AED 是等边三角形 . ∴AD=DE=9－4=5 . （2）解：如图 25-1 ∵CP=x，h 为 PD 边上的高,依题意，△PDQ 的面积 S 可表示为： 图 25-1图 25-21 S= PD?h 2 1 = (9－x)?x?sin60° 2=3 2 (9x－x ) 4=－9 2 81 3 3 (x－ ) ＋ . 2 4 16由题意，知 0≤x≤5 . 当 x=9 81 3 时（满足 0≤x≤5），S 最大值= . 2 16- 31 -（3）证法一：如图 25-3 假设存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ . 于是 9－x=x，x=9 . 2此时，点 P、Q 的位置如图 25-3 所示，连 QP . △PDQ 恰为等边三角形 . 过点 Q 作 QM∥DC，交 BC 于 M，点 M 即为所求. 连结 MP，以下证明四边形 PDQM 是菱形 . 易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四边形 PDQM 是平行四边形 . 又 MP=PD , ∴四边形 PDQM 是菱形 . 所以存在满足条件的点 M，且 BM=BC－MC=5－ 证法二：如图 25-4 假设存在满足条件的点 M，则 PD 必须等于 DQ . 于是 9－x=x，x=图 25-39 1 = . 2 29 . 2此时，点 P、Q 的位置如图 25-4 所示，△PDQ 恰为等边三角形 . 过点 D 作 DO⊥PQ 于点 O， 延长 DO 交 BC 于点 M， 连结 PM、 M， DM 垂直平分 PQ， MP=MQ . Q 则 ∴ 易知∠1=∠C . ∴PQ∥BC . 又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD ∴MP=1 CD=PD 2即 MP=PD=DQ=QM ∴四边形 PDQM 是菱形 所以存在满足条件的点 M，且 BM=BC－MC=5－图 25-49 1 = 2 217、（1）证明：? AF ∥ BC ， ??AFE ? ?DBE ． ? E 是 AD 的中点， ? AE ? DE ． 又? ?AEF ? ?DEB ， ?△ AEF ≌△DEB ． ? AF ? DB ．） ? AF ? DC ， ? DB ? DC ． 即 D 是 BC 的中点． （2）解：四边形 ADCF 是矩形， 证明：? AF ∥ DC ， AF ? DC ， ? 四边形 ADCF 是平行四边形． ? AB ? AC ， D 是 BC 的中点， ? AD ? BC ． 即 ?ADC ? 90 ．?- 32 -? 四边形 ADCF 是矩形．18、 (1）添加条件：BE=DF 或∠BAE=∠DAF 或∠BAF=∠DAE 等 （2）证明：∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=AD ∠B =∠D 在△ABE 和 ADF 中 AB=AD ∠B =∠D BE=DF ∴△ABE≌ADF ∴AE=AF 19、解:（1）在平行四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD． ∵E，F 分别为 AB，CD 的中点 ∴AE=CF? AD ? CB ? 在 △ AED 和 △CFB 中， ??A ? ?C ? AE ? CF ?? AED ≌△CFB(SAS) ． △（2）若 AD⊥BD，则四边形 BFDE 是菱形． 证明：? AD ? BD ，?△ ABD 是 Rt△ ，且 AB 是斜边（或 ?ADB ? 90? ）? E 是 AB 的中点，? DE ? 1 AB ? BE ． 2 由题意可知 EB ∥ DF 且 EB ? DF ， ? 四边形 BFDE 是平行四边形， ? 四边形 BFDE 是菱形．20、解：∵四边形 ABCD 是正方形， 0 ∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=90 又∵DF⊥DE， ∴∠1+∠3=∠2+∠3 ∴∠1=∠2 在 Rt△DAE 和 Rt△DCE 中， ∠1=∠2 AD=CD ∠A=∠DCF ∴Rt△DAE ? Rt△DCE ∴DE=DF． 21、解：（1）证明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60° ∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°- 33 -∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB ∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP 过点 E 作 EM⊥OP 垂足为 M ∴PQ=2PM ∵∠EPM=30°∴PM=3 3 PE ∴PE= PQ 2 3 3 PQ 3∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+（2）解：由题意知 AE=1 BE ∴DE=BE=2AE 2∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4 当点 P 在线段 ED 上时（如图 1） 过点 Q 做 QH⊥AD 于点 H QH=1 1 PQ= x 2 2由（1）得 PD=BE-3 3 PQ=4x 3 3∴y=1 3 2 PD?QH= ? x ?x 2 12 1 x 2当点 P 在线段 ED 的延长线上时（如图 2）过点 Q 作 QH⊥DA 交 DA 延长线于点 H’ ∴QH’=过点 E 作 EM’⊥PQ 于点 M’ 同理可得 EP=EQ=3 PQ 3∴BE=3 PQ-PD 3∴PD=1 3 3 2 x-4 y= PD?QH’= x ?x 2 3 12（3）解：连接 PC 交 BD 于点 N（如图 3）∵点 P 是线段 ED 中点 ∴EP=PD=2 ∴PQ= 2 3 ∵DC=AB=AE?tan60°= 2 3∴PC= PD2 ? DC 2 =4 ∴cos∠DPC= ∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90° ∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=2 2 QC= PQ ? PC = 2 7PD 1 = ∴∠DPC=60° PC 21 PD=1 2∠PCF=90°-∠FPC∵∠PGN=90°-∠FPC∴∠PCN=∠PCF?????1 分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC ∴PG PN ? QC PQ∴PG=1 2 3?2 7 =21 32 2 22、 解：当 BE ? 15 cm 时， △ ABE 的面积是 50 cm ；当 CF ? 15 cm 时， △BCF 的面积是 75cm ； 2 当 BE ? 15 cm 时， △BCE 的面积是 25 5 cm ．（每种情况，图给 1 分，计算结果正确 1 分，共 6- 34 -分） A BDFEC23、（1）证明：当 ?AOF ? 90? 时， AB ∥ EF ， 又? AF ∥ BE ， ? 四边形 ABEF 为平行四边形． （2）证明：? 四边形 ABCD 为平行四边形，? AO ? CO，?FAO ? ?ECO，?AOF ? ?COE ． ?△ AOF ≌△COE ． ? AF ? EC（3）四边形 BEDF 可以是菱形． 理由：如图，连接 BF，DE ， 由（2）知 △ AOF ≌△COE ，得 OE ? OF ， ? EF 与 BD 互相平分． ? 当 EF ? BD 时，四边形 BEDF 为菱形． 在 Rt△ ABC 中， AC ? 5 ? 1 ? 2 ， BAF O E CD? OA ? 1 ? AB ，又 AB ? AC ，??AOB ? 45? ，??AOF ? 45? ，? AC 绕点 O 顺时针旋转 45? 时，四边形 BEDF 为菱形．24、（1）证法一： ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC， ∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ， ∴ PE=PD. ② （i）当点 E 在线段 BC 上(E 与 B、C 不重合)时， ∵ PB=PE， ∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC， ∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， ∴ PE⊥PD.- 35 -ADP1H2BCE（ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时，PE⊥PD. （iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. A P DBFEC（2）① 过点 P 作 PF⊥BC，垂足为 F，则 BF=FE. ∵ AP=x，AC= 2 ， ∴ PC= 2 - x，PF=FC=∴ 即 ② ∵2 2 ( 2 ? x) ? 1 ? x. 2 2 2 2 BF=FE=1-FC=1-( 1? x )= x. 2 2 2 1 2 S△PBE=BF?PF= 2 x ( 1? x ) ? ? x2 ? x. 2 2 2 2 1 2 (0＜x＜ 2 ). y ? ? x2 ? x 2 2 1 2 1 2 2 1 y ? ? x2 ? x ?? (x? ) ? . 2 2 2 2 4 1 a ? ? ＜0， 2 2 1 时，y 最大值 ? . 4 2D2∴ 当x? A G3P1BFEC（1）证法二：① 过点 P 作 GF∥AB，分别交 AD、BC 于 G、F. 如图所示. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形.- 36 -∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°. 又∵ PB=PE， ∴ BF=FE， ∴ GP=FE， ∴ △EFP≌△PGD （SAS）. ∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°. ∴ PE⊥PD. （2）①∵ AP=x， ∴ BF=PG= ∴ 即 ② ∵2 2 x ，PF=1x. 2 2 2 1 2 S△PBE=BF?PF= 2 x ( 1? x ) ? ? x2 ? x. 2 2 2 2 1 2 (0＜x＜ 2 ). y ? ? x2 ? x 2 2 1 2 1 2 2 1 y ? ? x2 ? x ?? (x? ) ? . 2 2 2 2 4 1 a ? ? ＜0， 2 2 1 时，y 最大值 ? . 4 2∴ 当x?25、证明：? AD ? AE ??ADE ? ?FED又AD∥BC ∴∠ADE=∠DEC ∴∠DEC＝ ∠DEF又 DF⊥DE ∴△DEF≌△DEC ∴DF=DE（也可作 EH⊥AD 于 H） 26、证明：（1）? 四边形 ABCD 是平行四边形，? AO ? CO ． 又?△ ACE 是等边三角形，? EO ? AC ，即 DB ? AC ． ? 平行四边形 ABCD 是菱形； （2）?△ ACE 是等边三角形，??AEC ? 60 ．?1 ? EO ? AC ，??AEO ? ?AEC ? 30? ． 2? ?AED ? 2?EAD ，??EAD ? 15? ．??ADO ? ?EAD ? ?AED ? 45? ．? 四边形 ABCD 是菱形，??ADC ? 2?ADO ? 90?? 四边形 ABCD 是正方形．- 37 -27、⑴证明：在正方形 ABCD 中， ∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE＝CF． ⑵解：GE＝BE＋GD 成立． ∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF． ∴∠ECD＋∠ECB＝∠ECD＋∠FCD 即∠ECF＝∠BCD＝90°， 又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°． ∵CE＝CF，∠GCF＝∠GCE，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴EG＝GF． ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD． ⑶解：过 C 作 CG⊥AD，交 AD 延长线于 G． 在直角梯形 ABCD 中， ∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°， 又∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形 ABCD 为正方形． ∴AG＝BC＝12． 已知∠DCE＝45°，根据⑴⑵可知，ED＝BE＋DG． 设 DE＝x，则 DG＝x－4， ∴AD＝16－x． 在 Rt△AED 中， ∵ DE ? AD ? AE ，即 x 2 ? ?16 ? x? ? 82 ．2 2 2ADGE B C2解得：x＝10． ∴DE＝10． 28、（证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BF，∴ ∠D=∠ECF． ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE = CE． 又 ∠AED=∠FEC， ∴ △ADE≌△FCE． (2) D．或填“平行四边形”． 29、答：四边形 ABCD 是菱形．（不写已知、求证不扣分） 证明：由 AD ∥ BC ， AB ∥ CD 得四边形 ABCD 是平行四边形 过 A，C 两点分别作 AE ? BC 于 E ， CF ? AB 于 F ．A F BD??CFB ? ?AEB ? 90? ．? AE ? CF （纸带的宽度相等） ?ABE ? ?CBF ， ? Rt△ ABE ≌ Rt△CBF ? AB ? BC ? 四边形 ABCD 是菱形- 38 -?EC30、 EC ? EB 略证： 过点 C 作 CF ? AB 于 F， 则四边形 AFCD 是矩形， Rt ? BCF 中， 在 可算得 CF ? 2 2 则 AD= CF ? 2 2 ，故 DE=AE= 在 Rt ? ABE 和 Rt ? DCE 中，1 AD ? 2 2EB 2 ? AE 2 ? AB 2 ? 6 EC 2 ? DE 2 ? CD 2 ? 3 EB 2 ? EC 2 ? 9 ? BC 2 ??CEB ? 900 ? EB ? EC31、32、矩形平行四边形(非矩形)梯形 33、证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠B=∠C=∠BAD=90° AB=CD ∴∠BEF+∠BFE=90° ∵EF⊥ED∴∠BEF+∠CED=90° ∴∠BEF=∠CED∴∠BEF=∠CDE 又∵EF=ED∴△EBF≌△CDE ∴BE=CD ∴BE=AB∴∠BAE=∠BEA=45° ∴∠EAD=45°- 39 -∴∠BAE=∠EAD ∴AE 平分∠BAD 34、解:(1)过点 G 作 GH⊥AD,则四边形 ABGH 为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知△BFG≌ △ EFG,∴ EG=BG=10,∠FEG=∠ B=90°； EH=6,AE=4,∠ AEF+∠ HEG=90°,∵∠ AEF+∠ AFE=90°,∴∠ HEG=∠ ∴ EF AE 1 1 ? AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴ ,∴EF=5,∴S△EFG= EF?EG= ×5×10=25. EG GH 2 2 (2)由图形的折叠可知四边形 ABGF≌四边形 HEGF,∴BG=EG,AB=EH, ∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG, ∴BG=EF,∴四边形 BGEF 为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形 BGEF 为菱形； 连结 BE，BE、 互相垂直平分，在 Rt△EFH 中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理 FG 可 得 FH=AF=6 ， ∴ AE=16 ， ∴ BE=AE ? AB2 2=85 ， ∴ BO=45 ，∴FG=2OG=2 BG2 ? BO2 =4 5 。35、36、解：DE＝DF 证明如下： 连结 BD ∵四边形 ABCD 是菱形 ∴∠CBD＝∠ABD(菱形的对角线平分一组对角) ∵DF⊥BC，DE⊥AB ∴DF＝DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)- 40 -37、解：（1）所作菱形如图①、②所示． 说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种．（作出一个图形得 3 分） （2）图①的作法： 作矩形 A1B1C1D1 四条边的中点 E1、F1、G1、H1； 连接 H1E1、E1F1、G1F1、G1H1． 四边形 E1F1G1H1 即为菱形． 图②的作法： 在 B2C2 上取一点 E2，使 E2C2＞A2E2 且 E2 不与 B2 重合； 以 A2 为圆心，A2E2 为半径画弧，交 A2D2 于 H2； 以 E2 为圆心，A2E2 为半径画弧，交 B2C2 于 F2； 连接 H2F2，则四边形 A2E2F2H2 为菱形． （写对一个作法得 2 分） （此题答案不惟一，只要画法及作法合理、正确，均可酌情得分．） 38、解：（1） BM ? DN ? MN 成立． 如图，把 △ AND 绕点 A 顺时针 90 ，得到 △ ABE ， 则可证得 E，B，M 三点共线（图形画正确） 证明过程中， 证得： ?EAM ? ?NAM 证得： △ AEM ≌△ ANM A D?N E B M C? ME ? MN ? ME ? BE ? BM ? DN ? BM ? DN ? BM ? MN （2） DN ? BM ? MN39、（08 兰州）如图，平行四边形 ABCD 中， AB ? AC ， AB ? 1 ， BC ? 5 ．对角线 AC，BD 相 交于点 O ，将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转，分别交 BC，AD 于点 E，F ． （1）证明：当旋转角为 90 时，四边形 ABEF 是平行四边形；- 41 ?（2）试说明在旋转过程中，线段 AF 与 EC 总保持相等； （3）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求 出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数． A F D O E 图 15 （1）证明：当 ?AOF ? 90 时， AB ∥ EF ，?BC又? AF ∥ BE ， ? 四边形 ABEF 为平行四边形． （2）证明：? 四边形 ABCD 为平行四边形，? AO ? CO，?FAO ? ?ECO，?AOF ? ?COE ． ?△ AOF ≌△COE ． ? AF ? EC （3）四边形 BEDF 可以是菱形． 理由：如图，连接 BF，DE ， 由（2）知 △ AOF ≌△COE ，得 OE ? OF ， ? EF 与 BD 互相平分． ? 当 EF ? BD 时，四边形 BEDF 为菱形．在 Rt△ ABC 中， AC ? 5 ? 1 ? 2 ， BAF O E CD? OA ? 1 ? AB ，又 AB ? AC ，??AOB ? 45? ，??AOF ? 45? ，? AC 绕点 O 顺时针旋转 45? 时，四边形 BEDF 为菱形．40、（1）证法一： ① ∵ 四边形 ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°. ∵ PC=PC， ∴ △PBC≌△PDC （SAS）. ∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC. 又∵ PB= PE ， ∴ PE=PD. ② （i）当点 E 在线段 BC 上(E 与 B、C 不重合)时， A ∵ PB=PE， ∴ ∠PBE=∠PEB， ∴ ∠PEB=∠PDC， ∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°， ∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°， B ∴ PE⊥PD. ） （ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时，PE⊥PD.- 42 -DP1H2CE（iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. ∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2， ∴ ∠DPE=∠DCE=90°， ∴ PE⊥PD. 综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD. （2）① 过点 P 作 PF⊥BC，垂足为 F，则 BF=FE. ∵ AP=x，AC= 2 ， ∴ PC= 2 - x，PF=FC= A D P2 2 . ( 2 ? x) ? 1 ? x 2 2∴ 即 ② ∵BF=FE=1-FC=1-( 1? 2 x )= 2 x . 2 2 S△PBE=BF?PF= 2 x ( 1? 2 x ) ? ? 1 x 2 ? 2 x . 2 2 2 2 1 2 (0＜x＜ 2 ). y ? ? x2 ? x 2 2 1 2 1 2 2 1 y ? ? x2 ? x ?? (x? ) ? . 2 2 2 2 4 1 a ? ? ＜0， 2BFEC1 2 时，y . 最大值 ? 4 2 （1）证法二：① 过点 P 作 GF∥AB，分别交 AD、BC 于 G、F. 如图所示. ∵ 四边形 ABCD 是正方形， G A 2 ∴ 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， 3 △AGP 和△PFC 都是等腰直角三角形. P ∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°. 1 又∵ PB=PE， ∴ BF=FE， B F E ∴ GP=FE， ∴ △EFP≌△PGD （SAS）. ∴ PE=PD. ② ∴ ∠1=∠2. ∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°. ∴ ∠DPE=90°. ∴ PE⊥PD. （2）①∵ AP=x，∴ 当x?DC∴ 即 ② ∵2 2 x ，PF=1x. 2 2 S△PBE=BF?PF= 2 x ( 1? 2 x ) ? ? 1 x 2 ? 2 x . 2 2 2 2 1 2 (0＜x＜ 2 ). y ? ? x2 ? x 2 2 1 2 1 2 2 1 y ? ? x2 ? x ?? (x? ) ? . 2 2 2 2 4 1 a ? ? ＜0， 2∴ BF=PG=- 43 -1 2 时，y . 最大值 ? 4 2 (注：用其它方法求解参照以上标准给分.)∴ 当x? 41、解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE； ① △CDA≌△DCE 的理由是： ∵AD∥BC， ∴∠CDA=∠DCE． A 又∵DA=CE，CD=DC ， ∴△CDA≌△DCE． 或 ② △BAD≌△DCE 的理由是： ∵AD∥BC， B ∴∠CDA=∠DCE． 又∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠BAD=∠CDA， ∴∠BAD =∠DCE． 又∵AB=CD，AD=CE， ∴△BAD≌△DCE． （2）当等腰梯形 ABCD 的高 DF=3 时，对角线 AC 与 BD 互相垂直． 理由是：设 AC 与 BD 的交点为点 G，∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AC=DB． 又∵AD=CE，AD∥BC， ∴四边形 ACED 是平行四边形， ∴AC=DE，AC∥DE． ∴DB=DE． 则 BF=FE， 又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6， ∴BF=FE=3． ∵DF=3， ∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°， ∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°， 又∵AC∥DE ∴∠BGC=∠BDE=90°，即 AC⊥BD． （说明：由 DF=BF=FE 得∠BDE=90°，同样给满分．） 42、 解：（1） ? AEH 与 ? DFH． （或 ? AEH 与 ? BEG， 或 ? BEG 与 ? CFG ，或 ? DFH 与 ? CFG） （2）OE=OF． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ? AB ∥CD， AO ? CO ∴ ?EAO ? ?FCO ， ∵ ?AOE ? ?COF ， ∴ △ AOE ≌ △ COF ， ∴ OE ? OF ． 43、 证明: 过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F． ∵ 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A=90°，- 44 -DGF C E∴ ∠D＝∠A＝∠CFA＝90°． ∴四边形 AFCD 是矩形． AD=CF, BF=AB-AF=1． 在 Rt△BCF 中， CF2=BC2-BF2=8， ∴ CF= 2 2 ． ∴ AD=CF= 2 2 ． ∵ E 是 AD 中点， ∴ DE=AE=DCE1 AD= 2 ． 2A F B在 Rt△ABE 和 Rt△DEC 中， EB2=AE2+AB2=6， EC2= DE2+CD2=3， EB2+ EC2=9=BC2． ∴ ∠CEB＝90°． ∴ EB⊥EC．44、解：BM 与 CN 的长度相等 证明：在矩形 ABCD 中，AD＝2AB，E 是 AD 的中点，作 EF⊥BC 于点 F，则有 AB＝AE＝EF＝FC 在 Rt△AME 和 Rt△FNE 中 0 AE＝EF ∠AEM＝∠FEN＝90 －∠MEF ∴ Rt△AME≌Rt△FNE ∴ AM＝FN ∴MN=CN 45、解：(1) 四边形 B2FD1E 是矩形。 因为△AB1D1 平移到图(3)的，所以四边形 B2FD1E 是一个平行四边形，又因为在平行四边形 ABCD 中， AB=10，AD=6，BD=8，则有∠ADB 是直角。所以四边形 B2FD1E 是矩形。 (2)因为三角形 B1B2F 与三角形 AB1D1 相似，则有 B2F=3 4 B1 B 2 =0.6X,B1F= B1 B 2 =0.8x 5 52所以 sB2FD1E=B2F×D1F=0.6X × (8-0.8x)=4.8x-0.48x 2 即 y=4.8x-0.48x =12-0.48(x-5) 当 x=5 时，y=12 是最大的值。 (3)要使△ B1B2F 与△ B1CF 相似，则有 解之得：x=3.6 46、解: (1)① BG ? DE, BG ? DE ② BG ? DE, BG ? DE 仍然成立 在图（2）中证明如下 ∵四边形 ABCD 、四边形 ABCD 都是正方形B2 F B1 F ? B1 F FC即0.6X 0.6X ? 0.8X (6 - 0.6X)0 ∴ BC ? CD ， CG ? CE ， ?BCD ? ?ECG ? 90∴ ?BCG ? ?DCE ∴ ?BCG ? ?DCE （SAS）- 45 -∴ BG ? DE?CBG ? ?CDE又∵ ?BHC ? ?DHO ∴ ?CDE ? ?DHO ? 90 ∴ BG ? DE0?CBG ? ?BHC ? 900∴ ?DOH ? 900（2） BG ? DE 成立， BG ? DE 不成立 简要说明如下 ∵四边形 ABCD 、四边形 CEFG 都是矩形， 且 AB ? a ， BC ? b ， CG ? kb ， CE ? ka ( a ? b ， k ? 0 )BC CG b ? ? ， ?BCD ? ?ECG ? 900 DC CE a ∴ ?BCG ? ?DCE ∴ ?BCG ? ?DCE ∴ ?CBG ? ?CDE∴ 又∵ ?BHC ? ?DHO ∴ ?CDE ? ?DHO ? 90 ∴ BG ? DE （3）∵ BG ? DE ∴ BE ? DG ? OB ? OE ? OG ? OD ? BD ? GE2 2 2 2 2 2 2 0?CBG ? ?BHC ? 900∴ ?DOH ? 9002又∵ a ? 3 ， b ? 2 ， k ?2 2 2 21 22∴ BD ? GE ? 2 ? 3 ? 1 ? ( ) ?23 265 4∴ BE ? DG ?2 265 4- 46 -
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