信号与系统 教学课件 ppt 作者 王玲花 2章 连续时间系统的时域分析2
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信号与系统 教学课件 ppt 作者 王玲花 2章 连续时间系统的时域分析2
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3秒自动关闭窗口RC串联电路
9 RC一阶电路（动态特性& 频率响应）
&& 一个电阻和一个电容串联起来的RC电路看起来是很简单的电路。实际上其中的现象已经相当复杂，这些现象涉及到的概念和分析方法，是电子电路中随处要用到的，务必仔细领悟。
看放电的电路图，设电容上的电压为v C,则电路中电流 ，
依据KVL定律，建立电路方程：
初值条件是 &
像上面电路方程这样右边等于零的微分方程称为齐次方程。
设其解是一个指数函数：&
K和S是待定常数。
代入齐次方程得&&&&&&&&&
&& 约去相同部分得&&&&&&&&& &
& &于是&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 齐次方程通解&&&&&&&&&& &
还有一个待定常数K要由初值条件来定：&&& &
最后得到：&&&&&&&&&&
在上式中，引入记号，这是一个由电路元件参数决定的参数，称为时间常数。它有什么物理意义呢？
在时间t = t 处，&&&&
t是电容上电压下降到初始值的1/e＝36.8% 经历的时间。
当t = 4 t 时，，已经很小，一般认为电路进入稳态。
数学上描述上述物理过程可用分段描述的方式，如图9.1 中表示的由V到0的“阶跃波”的输入信号，取开始突变的时间作为时间的0点，可以描述为：
[练习.9.1]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“零输入响应”的波形图。观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。
在0到1m这时间内，电压源值为V，在时刻1m时电压源值突然变到0。仿真平台在对电路做瞬态分析之前，对电路作了直流分析，因此图中1m以前一段波形只是表明电路已经接在电压源值为V“很长时间”后的持续状态。上面理论分析只适用于1m以后的时间过程。时刻1m是理论分析的时间“零”点。图上看到，电容上的电压随时间在下降，曲线的样子是指数下降曲线的典型模样。由vC0.368V(=2m)1m(1)
1m以前，电阻电压为0，在时刻1m，电阻电压突变到 -V，然后逐渐升到0。怎样理解这个过程呢？
当然，也可以直接对电阻落地的电路来做理论分析。
以电阻的电压作求解变量。利用KCL定律，
电路微分方程&&&
整理得&&&&&&&
由上面的分析知初值条件是：
与上面对电容电压的演算过程类似，就可得到&&&&&&
对比用电容电压和用电阻电压作求解变量的两个微分方程，发现形式一样。最后
的解却不同，这是由于它们的初始条件不同。
由此可见，初始条件对于电路过程的求解是非常重要的。
以电容上电压vC(t)作求解变量，
&0的时间里，电路的微分方程为：
初始值是：
现在的微分方程右端不等于零，是非齐次方程。非齐次线性微分方程的解由两部分组成：齐次通解vCh(t)和非齐次特解vCp(t)。
这个方程在上面已讲过，即齐次通解为：
其中 t =RC是时间常数。K是待定常数。
非齐次方程& &的非齐次项（等号右边项）是常数，非非齐次特解vCp(t)应是一个常数，设vCp(t)＝Q，代入方程得：
得到&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
那么非齐次通解为&&&&&&& &&&&&&
它还要满足初值条件，即应有：&
由此得到&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
最后得到电容上的电压为：&&&
电流&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
电阻上的电压&&&&&&&&&&&&&
特别注意电阻电压的情况，在0- 时间以前，vR0+V2 -V1vR 又变到vR(t)vRvR对比RC电路的零输入响应、非零起始态响应的电容电压和电阻电压随时间变化的函数关系式,发现，在电源电压保持为恒定值的时间内，元件电压随时间变化的波形，由它的起始值（记为v(0+)）、它的稳态终止值（记为v (∞)）和时间常数 t 决定，可以一般地表示为：
&&&&&&&&&&&&&&
目前电路的时间常数t =RC较大，方程左边第二项比第一项小较多，可以忽略。这
样方程近似可写成：
这里电容电压波形基本上“跟上”电压源电压的变化，但是电阻电压波形是典型的“尖脉冲”。这种尖脉冲在时间的位置上很准，很适合用做“时钟脉冲”。注意这个电路的特点是RC时间常数很小。电阻电压有特殊表现的地方出现在电源电压有突变的时刻。这是一种“微分”作用。
看图9.6 ，以电阻电压为求解变量，信号源电压一般地表示为vS(t),列出
微分方程：&&&&
整理得&&& ：&&&
在RC较小时，近似为：
式子表明，当vS为恒定值的时间里，vR≈0。只在vS突变的地方，dvS/dt的值才大，正如图9.9 所示。RC时间常数比信号周期小得多情况下，电阻电压与信号源电压成微分关系。
vC(0)=0 vR (0)= vS(0)=VSM sin(jS)
电路微分方程：
通解是&&&&&&&&
vR的幅度为&
vR的相角为&
这样，可写出：
&&&&&&&&&&
使用初值条件：
此得：&&&&&
最后得到，vR(t)由两部分组成：
式子表明，在正弦激励下，RC电路中元件上电压由两部分组成：带指数衰减因子的自由分量和正弦成分的强制分量（稳态）。由于电路初始状态和激励的初值可能有种种情况，激励开始后一段时间内，元件电压会有一段不规则的波形。当时间足够长（大约t &4t）,自由分量近似为0，电路进入稳态。除特殊需要外，分析电路时只做“稳态分析”，这时就可应用相量法。
如果初始相角& jS=0 ,
写出稳态解的完全形式为：
&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&& &&&&
在今后学习电子电路基础时，分析电路的频率响应特性是经常要做的，这里先把有关的概念做仔细的讲解。
读图9.12。图的横坐标轴(X轴)现在具体代表频率，常用字母f标记，其单位是Hz.与理论分析常用的w的关系是：f＝w/(2p)0.159 w .
&&& 左纵坐标轴(YL轴)现在具体代表转移函数的幅度,是奇数号曲线的共同坐标轴.因为是电压的比率,所以是无量纲的,图中括号内用下划线表示.& &&
右纵坐标轴(YR轴)现在具体代表转移函数的相角,是双数号曲线的共同坐标轴.单位用度．
因为一个相量是由两个关联的数组成的,图上单号、双号两条曲线配对表示一个物理量。在进行复数运算时，取来运算的函数和放置运算结果函数都以奇数号指定，平台自动配对运算。
在仿真平台上，做交流分析时，总是假定信号源的幅度是1，相角是0。得到的节点电压相量本身已有转移函数的意义。
现在来读图9.12中由电容输出的曲线。在低频段，幅度很接近于1，相角很接近于0，表示低频信号可以没有衰减的由电容输出；随着频率的增大，幅度减少，相角逐渐向-90度变化，表示高频信号被衰减。这种频率响应特性称为低通滤波。图上标记了一个特别的频率位置f0,幅度曲线上对应这个频率的幅度值是0.7,这个频率被看作是一个频率分界点：频率比f0低的信号认为是能通过的信号，频率比f0高的信号认为是被阻止的信号。频率f0称为特征频率。
上面已得到电容电压的幅频特性公式：
总结看，由电路元件值决定了一个特征频率，，根据它的物理意义又称半功率频率，转折频率等。
再看相频特性曲线，利用上面有关公式，可得特征频率处相角是-45度。
类似地可理解由电阻取输出的幅频特性及相频特性。此时电路是高通滤波电路。请用有关公式，仿照上面做典型频率点情况的分析。
幅度的值变动的范围常常比较大，这时用对数来表示比较方便。实际上，常使用分贝(dB) 来表示。
用分贝表示的转移函数的幅度的定义是：
这样，半功率频率又多了一个名字：-3dB 频率。
图中表明输入电压的三种频率成分的相对大小关系发生改变，由电阻输出的高频成分相对变大，由电容输出的低高频成分相对变大，由于此时电路已进入稳态，频谱就很干净地只有电源的三种频率成分了，虽然它们的幅度和相角都改变了。又一次表明，在稳态时线性电路不会改变信号频率，只会改变各频率成分的相对幅度和相角值。也可以在“频谱加工”下点“数据窗口”得到频谱表。
1.RC串联电路的时间常数和
2.一个RC串联电路，具体的元件值不知道，怎样知道它的时间常数？
3.一个RC串联电路，具体的元件值不知道，怎样知道它的？
4.假定已经有一块电路能产生周期性方波串，现需要三角波，可以怎么做？
5.假定已经有一块电路能产生周期性方波串，现需要尖脉冲，可以怎么做？
6.三要素法可以用在什么场合？具体怎么做？
7.相量法用在什么场合？具体怎么做？
8.网络转移函数（或传递函数）。幅频特性。相频特性。
9.RC高通滤波电路和RC低通滤波电路。
10.当电路由一种状态突变到另一种状态时（常称为“换路”），电阻、电容的电压和电流怎样变化？
11.为什么要用0- ，0+ 这些记号？
12.对RC串联电路，以电容电压为求解变量和以电阻电压为求解变量的微分方程，能否用一个形式统一的数学方程概括它们？又怎样表现出各自的特性呢？电容电感电压电流关系,电感电流电压关系,电感的电压电流关系,电容电压电流关系,电..
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电容电感电压电流关系
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