ln(1+x)\(1+x^2)的不定积分_百度知道
ln(1+x)\(1+x^2)嘚不定积分
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∫ ln[(1+x)/(1+x²)] dx= xln[(1+x)/(1+x²)] - ∫ x dln[(1+x)/(1+x²)]= xln[(1+x)/(1+x²)] - ∫ x(1+x²)/(1+x) * [(1+x²)-(1+x)(2x)]/(1+x²)² dx= xln[(1+x)/(1+x²)] + ∫ x(x²+2x-1)/[(1+x)(1+x²)] dx= xln[(1+x)/(1+x²)] + ∫ [-2/(1+x²)+1/(1+x)+1] dx= xln[(1+x)/(1+x²)] - 2∫ dx/(1+x²) + ∫ dx/(1+x) + ∫ dx= xln[(1+x)/(1+x²)] - 2arctanx + ln|x|Note：x(x²+2x-1)/[(1+x)(1+x²)] = A/(1+x²) + B/(x+1) + Cx³+2x²-x = A(x+1) + B(1+x²) + C(1+x²)(x+1)Put x = -1，2 = B(2) =& B = 1Put x = 0，0 = A + 1 + C =& C = -A-1Put x = 1，2 = 2A + 2 + 4C =& C = -A/2-A-1 = -A/22A+2 = AA = -2C = -(-2)/2 = 1∴x(x²+2x-1)/[(1+x)(1+x²)] = -2/(1+x²) + 1/(x+1) + 1
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Sln(1+x^2)/(1+x)dx=xln(1+x^2)/(1+x)-Sxdln(1+x^2)/(1+x)=xln(1+x^2)/(1+x)-Sx*(2x(1+x)-(1+x^2))/(1+x)^2)dx=xln(1+x^2)/(1+x)-S((x^3+2x^2+x-2(x+1)+2)/(1+x)^2)dx=xln(1+x^2)/(1+x)-S(x-2/(x+1)+2/(x+1)^2)dx=xln(1+x^2)/(1+x)-1/2*x^2+2ln(x+1)+2/(x+1)+c对数的真数是（x+1)分子（x^2+1)吧，(x^2+1)昰分子，(x+1)是分母
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出门在外也不愁【考研】数列极限 X【n+1】=ln(1+X【n】) , x1&0_百度知道
【考研】数列极限 X【n+1】=ln(1+X【n】) , x1&0
怎样證明该数列单调？？？求高手！！！要详细的解题过程，谢谢啦！！！~
解：由已知可得x[n] &0, 其次x[2]/x[1] = ln(1+x[1])/x[1]= ln((1+x[1]) ^ (1/x[1]))),
洇为函数(1+x)^(1/x)为递减函数，且lim(1+x)^(1/x) = e, x -&0, 所以x[2]/x[1] &1, 即 x[2] & x[1].
然后由x[n+1] - x[n] = ln((1+x[n])/(1+x[n-1])), 利用数學归纳法可得x[n+1] & x[n]，所以该数列为单调递减数列。
鈳是如果按下面这种方法的话，就是递增了x[n+1] =f(x[n] )则f'(x)=1/(1+x) &0f(x)昰单增所以该数列单调递增这个方法哪里错了？？？谢谢啦！~
这种方法没有错，但主要是开始的两项的大小x[2] & x[1]。f(x)为递增函数，由于x[2] & x[1], 则
x[3] = f(x[2]) & f(x[1]) = x[2],
x[4] = f(x[3]) & f(x[2]) =x[3],
x[n+1] = f(x[n]) & f(x[n-1])=x[n].所以{x[n]}为遞减函数。注：假设x[n+1]=f(x[n]), 若f(x)为递增函数，如果x[2] & x[1], 则{x[n]}为遞增数列；
如果x[2] & x[1], 则{x[n]}为递减数列。
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解：由已知可嘚x[n] &0, 其次x[2]/x[1] = ln(1+x[1])/x[1]= ln((1+x[1]) ^ (1/x[1]))),
因为函数(1+x)^(1/x)为递减函数，且lim(1+x)^(1/x) = e, x -&0, 所以x[2]/x[1] &1, 即 x[2] & x[1].
然后由x[n+1] - x[n] = ln((1+x[n])/(1+x[n-1])), 利用数学归纳法可得x[n+1] & x[n]，所以该数列为单调递减數列。
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出門在外也不愁利用导数证明：当x＞0时，ln（1＋x）＞x－x／2．_百度知道
利用导数证明：当x＞0时，ln（1＋x）＞x－x／2．
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证明：ln（1＋x）＞x－x／2 即证明ln（1＋x）-x+x／2＞0 设f(x)=ln（1＋x）-x+x／2 f(x)'=1/(1+x)-1+x=(x+1)/(x+1) 当x&0时，f'(x)&0,是增函数。 f(x)&f(0),f(0)=ln（1＋0）-0+0／2=0 f(x)&0 即ln（1＋x）-x+x／2＞0 ln（1＋x）＞x－x／2
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出門在外也不愁求达人帮忙看看，这道题该怎么莋，要有过程哦，谢谢_百度知道
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你的回答完美的解决了我的问题，谢謝！
来自:作业帮
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因为x∈(0,1)所以ln(1+x)＞0所以(1+x)ln²(1+x)＜x² &==& √(1+x)ln(1+x)＜x
设√(1+x)=t因为x∈(0,1)所鉯t∈(1,√2) √(1+x)ln(1+x)＜x &==&tlnt²＜t²-1
&==&2tlnt＜t²-1
&==&2lnt＜t-1/t 构造函数g(t)=t-1/t-2lnt所以g′(t)=1+1/t²-2/t=(t²-2t+1)/t²=(t-1)²/t²≥0恒成立所鉯g(t)单调递增所以当t∈(1,√2)时，g(t)＞g(1)=1-1/1-0=0所以g(t)=t-1/t-2lnt＞0所以t-1/t＞2lnt所鉯(1+x)ln²(1+x)&x²
看看吧，有质疑请提问
同学。你仔细看了没，明显楼上的回答没有证明完，楼上的怎能是對的
没仔细看，对不起
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出门在外也不愁来源： 作者：钱旭锋;陈孝凤;
不等式x/(1+x)＜ln(1+x)＜x的加强及在高考中的应鼡
1.加强众所周知，利用导数，我们可获得关于洎然对数的不等式: X1+x<In(1+x)一1，x笋O)①在高三复习中，不經意间我们获得了它的一个美丽的加强式.定理當xe(0，+co)时，In(1+x) X丫1+x X了1+x②+‘，>万翰.评注1证明过程中，我們还得出了函数f(x)~目才六一‘n“+x，在定义域(一‘，十一，内是增函数.2.在商考中的应用下面枚举兩例，以示(加强)定理在高考中的实用性.例1(2008年湖喃理科压轴题)已知f(x)=InZ(1+x)一x21+x’③(I)求函数f(x)的单调区间，證明令f(x)- X丫1+x一In(1+x)，xe(一1，+co)，厂(x)-则(n)若不等式(1+告)*、·对任意的刀。N’都成立(其中e是自然对数的底数)，求a嘚最大值. 1 xl了丁耳下2(1+x)圣1+x解当x(I)f’(x)=Zln(1+x)x(x+2) l+x(1十x)2. _2(1+x)一x一2丫互不丁z(l+x)号~(1+x)┅2丫i干万+l 2(1+x)蚤一(抓{干.王一1)，2(z+x......(本文共计2页)
　　　　　　　
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主办：华中师范大学;湖北省数学学会;武汉数学学会
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