知识点梳理
的判定定理：1.两组对边分别平行的是平行四边形。2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
1.定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似。2.判定：
（1）平行与三角形一边的(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似
（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似
（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似 直角三角形相似判定定理
（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。直角三角形相似判定定理
（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。3.性质：
(1)相似三角形的对应角相等.
(2)相似三角形的对应边成比例.
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(4)相似三角形的周长比等于相似比.
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. （6）相似三角形的传递性。
的最值怎么求？用配方法求最值问题：y=a{{x}^{2}}+bx+c=a{{(x+\frac{b}{2a})}^{2}}+\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a}。
二次函数的最值公式：1.当a＞0时，二次函数有最小值，即当x=-\frac{b}{2a}时，y最小值=\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a}；2.当a＜0时，二次函数有最大值，即当x=-\frac{b}{2a}时，y最大值=\frac{4ac-{{b}^{2}}}{4a}。
的性质：1.等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。3.等边三角形是特殊的，它具有等腰三角形的一切性质。4.等边、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）5.等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)
的性质定理：1.等腰梯形两腰相等，两底平行。2.等腰梯形同一底边上的两个角相等。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“（2010o许昌一模）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC...”，相似的试题还有：
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)点P是线段BC上任意一点，连接MP，作∠MPQ=60°，交MC于点Q，求MQ的最小值；(3)在(2)中：①当MQ取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由；②点P在何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60&保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．
(2012o清远一模)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60&保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=1/2∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．-乐乐题库
& 等腰梯形的性质知识点 & “问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，A...”习题详情
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问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=12∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-东城区一模
分析与解答
习题“问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图...”的分析与解答如下所示：
（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转使点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C=∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，再证明∠MBN=∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而得到MN=CN-AM．
解：（1）MN=AM+CN．理由如下：如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠A+∠BCD=180°，把△ABM绕点B顺时针旋转∠BAC度数到△CBM′（或延长线段DC，并在延长上截取CM′=AM，连接BM′），则△ABM≌△CBM′，∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，∴∠BCM′+∠BCD=180°，∴点M′、C、N三点共线，∵∠MBN=12∠ABC，∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=12∠ABC，∴∠MBN=∠M′BN，在△BMN和△BM′N中，∵{BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN，∴△BMN≌△BM′N（SAS），∴MN=M′N，又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，∴MN=AM+CN；（2）猜想的结论：MN=CN-AM．理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，又∵∠BAD+∠BAM=180°，∴∠C=∠BAM，在△ABM和△CBM′中，{∠CBM′=∠ABMAB=BC∠C=∠BAM，∴△ABM≌△CBM′（ASA），∴AM=CM′，BM=BM′，∵∠MBN=12∠ABC，∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=12∠ABC，∴∠MBN=∠M′BN，在△MBN和△M′BN中，∵{BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN，∴△MBN≌△M′BN（SAS），∴MN=M′N，∵M′N=CN-CM′=CN-AM，∴MN=CN-AM．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高．
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问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问...
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经过分析，习题“问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图...”主要考察你对“等腰梯形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等腰梯形的性质
（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
与“问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图...”相似的题目：
已知等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为（　　）15°30°45°60°
如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=45&，则该梯形的面积是&&&&2-14-8-44-2
如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=acm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是（　　）4a&cm5a&cm6a&cm7a&cm
“问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，A...”的最新评论
该知识点好题
1下列命题是假命题的是（　　）
2下列命题正确的是（　　）
3等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（　　）
该知识点易错题
1下列说法中正确的是（　　）
2已知：如图，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延长线于E，EF⊥AD交AD的延长线于F，下列结论：①BD∥EF；②∠AEF=2∠BAC；③AD=DF；④AC=CE+EF．其中正确的结论有（　　）
3下列说法中，正确的说法有（　　）①对角线相等的平行四边形是矩形；②等腰三角形中有两边长分别为3和2，则周长为8；③依次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；④点P（3，-5）到x轴的距离是3；⑤在数据1，3，3，0，2中，众数是3，中位数是3．
欢迎来到乐乐题库，查看习题“问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=1/2∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．”的答案、考点梳理，并查找与习题“问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD，点M，N分别在AD，CD上，若∠MBN=1/2∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M，N分别在DA，CD的延长线上，若∠MBN=1/2∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．”相似的习题。如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【考点】；；．【分析】（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴ABED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴平行四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=ECoAG=2×=2．【点评】此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zcx老师　难度：0.62真题：11组卷：19
解析质量好中差教师讲解错误
错误详细描述：
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，BC＝7cm，∠B＝60°，P为下底BC上一点（不与B，C重合），连接AP，过点P作PE交DC于E，使得∠APE＝∠B．（1）求证：△ABP∽△PCE；（2）求等腰梯形ABCD的腰长；（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE︰EC＝5︰3？如果存在，求BP的长，如果不存在，请说明理由．
【思路分析】
（1）根据∠APE=∠B，则∠APC=∠B+∠BAP，即可得出∠BAP=∠CPE，从而证明出∴△ABP∽△PCE；(2)过A作AF⊥BC于F，由已知可得BF的长，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半得出AB即可；（3）结论：存在这样的点P；由DE：EC=5：3，得CE的长，设BP=x，则PC=7-x，由△ABP∽△PCE，得AB：PC=BP：CE，代入数据得出的值，即可求出BP．
【解析过程】
证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP，又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，∴∠BAP=∠CPE．…（6分）又由等腰梯形性质得∠B=∠C，∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似）（2）
解：过A作AF⊥BC于F，过点D作DH⊥BC于H，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形ADHF是矩形，∴AF=DH，FH=AD，∵AB=DC，∴Rt△ABF≌Rt△DCH，∴BF=CH，∴BF==2在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，∴AB=4即等腰梯形的腰长为4cm.（3）解：存在这样的点P.理由如下：由DE：EC=5：3，DE+CE=DC=4，得CE=设BP=x，则PC=7-x由△ABP∽△PCE，得,即解得x1=1，x2=6，经检验，都符合题意故BP=1cm或BP=6cm
,以上各题只给出了一种解法，学生的其他解法可参照给分．
(1) 证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP，又∵∠APC=∠APE+∠CPE，∠B=∠APE，∴∠BAP=∠CPE．…（6分）又由等腰梯形性质得∠B=∠C，∴△ABP∽△PCE（如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似）(2) 等腰梯形的腰长为4cm.(3) 存在这样的点P, BP=1cm或BP=6cm
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，以及解分式方程，熟练掌握相似三角形的判定：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
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的判定定理：1.三边分别相等的两个。（SSS）2.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。(SAS)3.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。(ASA)4.两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(AAS)
1.菱形的判定：
(1)有一组邻边相等的是菱形
(2)四条边相等的是菱形
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
(4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.菱形的性质：
(1)具有平行四边形的所有性质
(2)四条边都相等
(3)对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角
(4)是图形，有两条对称轴
的性质定理：1.等腰梯形两腰相等，两底平行。2.等腰梯形同一底边上的两个角相等。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2...”，相似的试题还有：
(1)如图，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一点，且EA=ED，试说明EB=EC；(2)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，①求证：CD是⊙O的切线；②若⊙O的半径为3，求弧BC的长．(结果保留π)
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；(2)当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF．(1)求证：AB=CF；(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，梯形ABCD应满足什么条件，能使四边形ABFC为菱形？并加以证明．}