在现实生活中，存在周而复始、循环往复的现象，这种周而复始的性质我们称之为周期性，具有这样性质的函数叫周期函数。周期性具有简单、和谐、对称等数学美，也蕴含着等价变换和数形结合的重要数学思想方法。因此，我们要十分重视周期问题，充分利用好周期的属性，帮助我们去分析问题和解决问题。下面例说中学数学中的周期问题，期望能够起到抛砖引玉的作用。

一、周期函数的定义、教学及作用

对于函数f（x），如果存在一个常数T（T=0），使得当自变量x取定义域内的任意一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就是周期函数，非零常数T称作这个函数的周期。对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f（x）的最小正周期。在周期函数的定义中我们要注意两个地方，一是对任意的自变量x，恒等式f（x+T）=f（x）都应该成立;二是并不是所有周期函数都有最小正周期。

在高中数学教学中，周期的定义是在三角函数这一章中出现的，这主要是因为三角函数是刻画圆周运动的数学模型，“周而复始”的基本特征蕴含在三角函数的性质之中。课本通过探究和观察三角函数的图像，使学生先直观理解，再抽象掌握周期性及周期的定义，然后学会简单的三角函数的周期求法，因此，教材的安排就显得合情合理了。在此基础上，为今后利用周期性去解决一些实际问题创造了必要条件。

從周期的定义可以看出，周期函数最大的特点就是函数值f（x+T）和函数值f（x）是相等的，所以其最大的作用之一是在求一个函数值遇到困难时，可以转化为求另一个函数值。另一方面，根据周而复始、循环往复的现象，可以利用数形结合的方法去思考问题。也就是说，我们要从周期的代数意义和几何意义两个方面去考虑解决问题。

二、怎样确定函数的周期

总之，周期是函数的一个重要属性，而学生对它的认知往往是简单肤浅的，这个问题在教学中一定要引起教师的高度重视，要想方设法拓展学生对周期内涵和外延的认知程度，特别是它蕴含的等价变换和数形结合的重要数学思想方法，应该让学生去亲身体验和感受，这对提高学生的数学核心素养大有裨益。

小学三升四数学暑期教案 第1讲 暑期夏令营——余数的应用 [教学内容] 《数学思维训练教程》暑期版，三升四第1讲“暑期夏令营——余数的应用。 [教学目标] 知识技能 1、会正确地解答有余数的除法的数学问题； 2、能根据余数来寻找事物的排列规律，培养学生的逻辑推理问题。 数学思考 初步培养学生从实际问题中探索规律，提高利用余数解决问题的能力。 问题解决 让学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略以及方法，能根据实际情况，逐步优化解题策略的过程。 情感态度 使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验，增强学习数学的兴趣和自信心。 [教学重点和难点] 教学重点 让学生在具体情境中找出与题目相对应的规律，然后利用余数来解决问题。 教学难点 让学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略。 [教学准备] 动画多媒体语音课件。 第一课时 教学过程： 教学路径 学生活动 方案说明 课前导入 师：同学们，你们好。要结束了。暑假就要到了，繁忙的一学期终于要结束了。你们最想在暑假里做什么呢？ 根据学生的回答，老师引出：大家喜欢夏令营活动吗？（如有学生说到夏令营就正好转入夏令营）想参加夏令营吗？那就让大家和老师今天一起跟随我们夏令营活动去看一看吧！可不要忘记， 注意观察在我们的夏令营活动中，隐藏着哪些数学问题。 师：我们今天的第一站是参观国家图书馆（ 从藏书量和图书馆员的数量看，中国国家图书馆是亚洲规模最大的图书馆，世界上最大的国家图书馆之一，是世界著名的国家图书馆。 国家图书馆1987年落成，总馆占地7.24公顷，建筑面积14万平方米。 裙楼分布在主楼两侧，并形成两个面积甚大的天井，天井内为花园，形成楼中有园的独特景致，裙楼地上5层地下1层，分布着图书馆的各个功能单元，设有各具特色的阅览室46个，其中开架阅览室23个，日均可接待读者六、七千人次。下面让我们到开架阅览室看看，你知道下一个还书架在哪吗？ 第20个书架旁边有还书架吗？) 师：下面我们到国家图书馆二楼的开架阅览室看一看，让我们看看这里与我们学校的图书管的阅览室有什么不一样呢？ 生：略 师：同学们，你们看到有的书架前面摆放了一个小一点的书架，你们知道这是做什么的吗？ 生：略 师：这个小书架叫还书架，是用来回收大家借出的书。每次大家从书架上借书，阅览后可以放回到还书架上，随后就会有图书馆的工作人员将它们放回到原来的位置。那我们观察一下，这些还书架是如何排列的呢？下一个还书架应该摆在哪呢？ 生：每隔两个书架，摆放一个还书架。 师：同学们觉得他回答的准确吗？ 师：那你知道下一个还书架在哪里呢？ 师：在生活中数学知识无处不在，希望大家平时细心观察，相信同学们一定能够发现更多的数学规律。这节课让我们就来学习——“余数的应用”。 师：参观完国家图书馆，让我们和夏令营的小朋友们一起去活动室，看看那里有什么精彩的活动等着我们。 自主探究 例1：来到活动室，黑板上贴着这样有规律的黑、白两色棋子，其中第61个是什么颜色的棋子？第72个呢？ …… …… 师：亲爱的同学们，通过观察这些棋子你们能够得到哪些信息？ 生：白色棋子和黑色棋子。 师：还有吗？ 生：我发现它们是按白白黑白白黑……排列的。 师:他说的对吗？ 生：对。 师：想一想：如果这样画下去，我一共画61个棋子。那么第61个棋子是什么颜色？ 生：（由学生自己动手画一画） 师：同学们，按照白白黑的规律排下去，那就是三个为一组，我们看一看61里面有多少组? 生：能！要画20组还有1个， 师：说得非常好，余一个说明什么呢？ 生：第61个就是第21组的第1个。 师：同学们，每一组的第1个棋子的颜色会不会发生改变？ 生：不会！一直是白色的。 师：很好，现在你们能根据我们的分析列式计算吗？ 3、生在下面列式计算，师巡视。 4、板书：让正确的学生到黑板上板书。注意格式规范。 （板演的同学说出自己的思路，老师适时表扬） 5、说一说：如果要画72个这样的棋子，你能知道第72个棋子是什么颜色的棋子吗？指定学生说说自己的答案. (72÷2=24（组），说明第72个棋子是第24组的最后一个棋子) 点击解析按钮 （动画展示上图规律：从左到右三个三个依次动画闪烁…） 棋子是按照 白 黑的次序循环出现的。(下一步填空，两，一) 点击答案按钮出示： 61÷3=20（组）……1（个） 答：第61个是白色棋子。 （下一步）72÷3=24（组） 答：第72个是黑色棋子。 师：我们通过观察发现了图中的规律，并利用我们发现的规律猜出了第61个和第72个棋子的颜色.那接下来让我们来看看怎么墙壁上的气球，看看你能发现什么？ 例2：一面墙壁上有红、黄、蓝三色气球共50个