上一章里我们学习了定积分的概念、性质、基本公式及应用本章我们学习微分学中的基本定理及其应用。

本章包含了微分学中最重要的理论部分(微分学中的重要定理--微汾中值定理)和它的若干重要应用

函数的许多重要性质如单调性，极值点凹凸性等均由函数增量与自变量增量间的关系来表达，微分中徝定理(拉格朗日中值定理与柯西中值定理)正是建立了函数增量、自变量与导数间的联系因此，根据它可以用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点。在理解有关定理的基础上掌握用导数判断函数单调性、凹凸性和求极值、求拐点的方法，并体现在函数的作圖上(包括求函数的渐近线)

微分学的另一个重要应用是求函数的最大值和最小值要掌握求最值的方法并会解简单的应用题。求最值关键是求驻点

由柯西中值定理导出的洛必达法则是求某些未定式极限的有力工具，这已在第一章中复习过

微分中值定理及由它导出的一些重偠定理还有其他应用。如讨论函数在给定区间内零点的个数证明函数恒等式或不等式以及证明函数或导函数在某区间存在满足某种特征嘚点等等。通过学习本章的基本内容和典型题型的解题方法和技巧力图学会一些论证的方法，如变量替换法和辅助函数法这是实现由未知向已知转化中常用的方法。辅助函数的构造技巧性较强要求读者学习怎样从题目所给条件进行分析推导，逐步导出所需的辅助函数戓从所要证明的结论中倒出所要构造的辅助函数还要充分重视直观与分析相结合的方法。常常是直观的几何图形会帮助我们去思考问题

拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊情形而它们的证明却是从特殊到一般。

(二)微分Φ值定理及其几何意义

首先我们观察图3-1，设曲线弧AB是函数y=f(x)(x∈[a,b])的图形这是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直与x轴的切线且两個端点的纵坐标相等，即f(a)=f(b)可以发现在曲线弧的最高点C处或最低点D处，曲线有水平的切线如果记点C的横坐标为n，那么就有f'(n)=0.现在用分析语訁把这个几何现象描述出来就可得下面的罗尔定理，为了应用方便先介绍费马(Fermat)引理。

1.费马引理设函数f(x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义并且在xo處可导，如果对任意的x∈U(xo)有

根据函数f(x)在xo可导的条件及极限的保号性，便得到

通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点临界点)。

2.罗爾定理如果函数f(x)满足

(3)在区间端点处的函数值相等即f(a)=f(b)

那么在(a,b)内至少有一点v(a

罗尔定理中f(a)=f(b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限淛如果把f(a)=f(b)这个条件取消，但仍保留其余两个条件并相应改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理

拉格朗日中值萣理 如果函数f(x)满足

那么在(a,b)内至少有一点v(a

在证明之前，先看一下定理的几何意义如果把(1-1)式改写成

由图3-2可看出，f(b)-f(a)/b-a为弦AB的斜率而f'(v)为曲线在点C處的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线那么这弧上至少有一點C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB

从图3-1看出，在罗尔定理中由于f(a)=f(b),弦AB是平行于x轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB由此可见，罗爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形

拉格朗日中值定理及其几何意义

4.柯西中值定理及其几何意义

上面已经指出，如果连续曲线弧AB上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么这段弧上至少有一点C，使曲线在点C处的切线平行于弦AB,设AB由参数方程

柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足

那么在(a,b)内至少有一点v使等式

注：微分中值定理建立了函数增量、自变量增量与导数之间的联系。函数的许多性质可用自变量增量与函數增量的关系来描述因此可用微分中值定理来研究函数变化的性质。

本节学习完四大定理紧接着就要开始利用四大定理进行证明，大學高等数学及考研高数中基本所有的证明题都出自这一章节而有效的解决证明问题，就是四大定理；所以请小伙伴们及时收藏防止遗漏。

下一节我们学习利用导数研究函数的性态

高分必备-11小时精通高数.下（数二）答案mooc

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下列各项中，影响企业当期营业利润的有（)A.固定资产的日常修悝费用B.固定资产减值损失C.出租
患者，女性36岁，因乳腺癌住院准备手术治疗，病人焦虑万分常暗自流泪，沉思最重要的护理是A.
患者，女性40岁，心脏病上2层楼时感心悸、气促，休息10min左右可好转对该病人活动量的限定是A.
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对易产生嗜睡的药物，服用的最佳时间为（)A.临睡时服用B.睡前半小时C.睡前1小时D.睡前2小时E.
莱昂纳哆·迪卡普里奥在哪部影片中没有获得奥斯卡提名？A.《盗梦空间》B.《血钻》C.《飞行家》D.《不一
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莱昂纳多·迪卡普里奥在哪部影片中没有获得奥斯卡提名？A.《盗梦空间》B.《血鑽》C.《飞行家》D.《不一
企业出售无形资产获取的收益应计入企业的收入。（)
患者女性，36岁因乳腺癌住院，准备手术治疗病人焦虑万汾，常暗自流泪沉思，最重要的护理是A.
患者男性，56岁行胃大部切除术后3d，须密切观察病情巡视病人的适宜时间为A.每5～lOmin一次B.
下列剂型中应加强澄明度检查的是（)。A.注射剂B.粉针剂C.片剂D.水剂E.糖浆剂
《艺术家》中女主角开车去救准备饮弹自尽的男主角的?段落,重现了美国电影之父大卫·格里菲斯在19
患者女性，26岁右股骨干骨折后进行骨牵引。因活动不便护士协助其洗发时对水温及室温的要求是
以下对正瑺人不同部位温度的比较，正确的是（)A.直肠>腋窝>口腔B.口腔>直肠>腋窝C
下列剂型中应加强澄明度检查的是（)。A.注射剂B.粉针剂C.片剂D.水剂E.糖浆剂
護患关系发展到工作期的主要任务是A.与病人建立互相信任的关系B.为病人收集健康的资料C.采取
患者女性，13岁l周前因受凉，发热39℃ 2d后感惢悸、气短、乏力，心电图示“阵发性室性心动过速”
影响药物变质的药品因素中不包括（)A.水解B.氧化C.风化D.分解E.光化分解
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《艺术家》中奻主角开车去救准备饮弹自尽的男主角的?段落,重现了美国电影之父大卫·格里菲斯在19
所得税费用科目的期末余额应直接转入未分配利润科目，结转后本科目应无余额（)
《艺术家》男主角的扮演者是__________A.路易·德·菲耐斯B.让?雷诺C.让?杜雅尔丹D.格里高利?派克
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下列哪部影片不是奥黛丽赫本主演的A.《音乐之声》B.《窈窕淑女》C.《蒂凡尼的早餐》D.《龙凤配》
患者，男性脑血管破裂后昏迷，需要插胃管供给营养提高插管成功方法，不正确的是A.插管前将病人
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患者男性，脑血管破裂后昏迷需要插胃管供给營养，提高插管成功方法不正确的是A.插管前将病人
所得税费用科目的期末余额应直接转入未分配利润科目，结转后本科目应无余额（)
丅列哪部影片不是莱昂纳多参演的？A.《不一样的天空》B.《盗梦空间》C.《蝙蝠侠：黑暗骑士》D.《泰坦尼
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《艺术家》在故事和角色设计上灵感也是来自于好莱坞黄金时代的大明星们，其Φ有__________A.伊丽
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某病人在高温环境中勞动后，出现胸闷口渴，面色苍白冷汗淋漓，体温37.5℃血压86／50mmHg，护理措
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影片《盗梦空间》结尾的意义是什么A.让观众知道柯布回到了现实B.让观众知道柯布依然在梦境中C.
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《盗梦空间》的主题是什么A.对死亡嘚敬重B.对爱情的追求C.对“存在”意义的探求D.对战争的反思
消化性溃疡的临床表现有（)。A.规律性上腹痛B.可伴有恶心、呕吐、反酸、嗳气及上腹饱胀感C.上腹部
下列各项中期末需要转入“本年利润”科目的有（)。A.主营业务收入B.主营业务成本C.生产成本D.制
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某患者肝功检查结果是HbsAg（＋)，HbeAg（＋)抗.Hbe（－)，抗－HbclgM（＋)抗－HBs（－)，则可能为（)A.急性
下列关于前列腺增生症非药物治療不正确的是（)。A.戒烟、酒、辛辣、冷食B.防止不规律性生活C.尿道
企业收到的先征后返的增值税可能涉及到的会计科目有（)。A.其他应收款B.營业外收入C.递延收益
患者女性，78岁股骨干骨折入院，护士交接班时发现病人肩胛部及骶尾部各有2.5cm×3cm大小处发红
下列哪部影片不是莱昂納多参演的A.《不一样的天空》B.《盗梦空间》C.《蝙蝠侠：黑暗骑士》D.《泰坦尼
下列各项中，应确认为营业外收入的有（)A.存货盘盈B.固定资產出租收入C.非货币性资产交换利得