本文主要讲n阶矩阵a可以对角化对角化的证明及应用

• 定义一：若存在可逆n阶矩阵a可以对角化S$\mathrm{<msup>\; <mrow></mrow>\; </msup>}$为对角n阶矩阵a可以对角化，则称为n阶矩阵a可以对角化A$$

  个线性无关的特征向量x1,...,xn${}_{}{{}_{}}_{{}_{}}$

• 可對角化的充要条件是A$$个线性无关的特征向量

  那么什么样的方阵有线性无关的特征向量呢？

• 是相应的特征向量则x1,...,xn${}_{}{}_{}$

• 同一个特征值对应的特征向量不一定都线性无关。

• 个互异的特征值则n阶矩阵a可以对角化可以对角化。

  • 但若n阶矩阵a可以对角化有相同的特征值也可能可以对角囮。

1. 从直观上看代数重数就是对应的特征值的次数，几何重数是特征向量的维数探究的就是特征值和特征向量之间的关系。

2. 任意复方陣相似于上三角阵且对角元为上三角n阶矩阵a可以对角化的特征值。

3. 有相同的特征值且对于任意特征值λi${{}_{}}_{{}_{}}$

   是上三角阵，即A=???a11...ann???$\begin{array}{c}{}_{}\\ \\ {}_{}\end{array}$

   為对角线上对应的特征值为0但这一行不一定为0（最多n阶矩阵a可以对角化的特征值少1），因此新的n阶矩阵a可以对角化r(A?λiI)≥n?AM(λi)${}_{}{}_{}$

4. 个线性无關的特征向量

1. 求出n阶矩阵a可以对角化的所有特征值。
2. 对于每个特征值计算特征向量，并检查r(A?λiI)=n?AM(λi)${}_{}{}_{}$
3. 若都成立则计算特征向量（基礎解系）。
4. 最后将特征向量与特征值对应起来就可以写出P?1AP=Λ${}^{}$

注意：使n阶矩阵a可以对角化对角化的特征向量不是唯一的（可以乘上常数倍）。

2. 可计算Markov过程中的平稳分布π$$

   可得到方程：πP=ππ1=1$$

3. 描述的离散动力系统的长期行为

   0 0

   0 0

   支配因此系统的稳定性依赖于A$$

   当所有特征值|λi|≤1${}_{}$

1. 囿相同的特征向量n阶矩阵a可以对角化P$\mathrm{<msup>\; <mrow></mrow>\; </msup>\; <msub></msub>\; <msup>\; <mrow></mrow>\; </msup>\; <msub></msub>}$
2. 逆命题也成立：若A、B$$都可对角化，并且AB=BA$\mathrm{<mrow></mrow>}$