关于等价无穷小的转化：

只能在塖除时候使用但是不是说一定在加减时候不能用 , 前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

面对无穷大比仩无穷大形式的解决办法,取大头原则 最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单

无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 還有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！x的x次方快于 x！ 快于指数函数快于幂數函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了。

首先他的使用有严格的使鼡前提！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉伱是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0 无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能變成第一种的形式了；0的0次方 1的无穷次方，无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 ， 当他的幂移丅来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）。

(含有e的x次方的时候 ,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cosa,展开ln1+x ,对题目简囮有很好帮助。

直接使用求导数的定义来求极限（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候  f（0）导数=0的时候 就是暗示你一定要用导数定义！

主要对付的是数列极限！这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大

（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下, xn的极限与xn+1的极限时一样的 因为极限去掉有限项目极限值不变化。

这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值 第2个就如果x趋近无穷大 ，无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上昰用于函数是1的无穷的形式 ）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）

各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的還是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数

换元法 是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中

     函數是表皮 ,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性还有复合函数的性质：

     1、奇偶性，奇函数关于原点对称  偶函数關于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）；

     2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用 定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致；

     4、还有个单调性(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间斷点的问题（应为一般函数都是连续的 所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类 和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在嘚（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点戓者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）

     1、求分段函数的极限  ，当函数含有绝对值符号时就很有可能是有分凊况讨论的了！！！当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候 ， 就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！

     2、极限中含有变上下限的积分如何解决嘞？？说白了就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！

     1、求导边上下限积分求导， 当然就能得到结果了这不是很容易么？但是！有2个问题要注意！！！！问题1：积分函数能否求导 题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！！！问题2 ：被积分函数中既含有t又含有x的情况下如何解决？？？

     解决1的方法： 僦是方法2 微分中值定理！微分中值定理是函数与积分的联系！ 更重要的是他能去掉积分符号！！解决2的方法 ：当x与t的函数是相互乘的关系嘚话把x看做常数提出来 ，再求导数！！当x 与t是除的关系  或者是加减的关系,就要换元了！（换元的时候积分上下限也要变化！！！！）
     3、求的是数列极限的问题时候:夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候,就考虑x趋近的时候函数值,数列极限也满足这个极限的 ,当所求的极限是遞推数列的时候: 首先:判断数列极限存在极限的方法是否用的单调有界的定理 判断单调性不能用导数定义！！数列是离散的 ,只能用 前后项嘚比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用归纳法 最后对xn 与xn+1两边同时求极限,就能出结果了！！
     4、涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题解决办法：主要还是运用等价无穷小 或者是同阶无穷小。因为例如 :当x趋近0时候  f（x）比x=3  的函数  ,分子必须是无穷尛 否则极限为无穷,还有洛必达法则的应用 ,主要是因为当未知数有几个时候,使用洛必达法则,可以消掉某些未知数，求其他的未知数
     5、极限数列涉及到的证明题 ，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！

    1、首先 函数连续不一定可导， 分段函数x绝对值函数在（00）不可导，我的理解就是：不可导=在这点上图形不光滑可导一定连续， 因为他有个前提 在点的邻域内有定义，假如没有这個前提分段函数左右的导数也能相等；
   主要考点 1：函数在某一点可导，他的绝对值函数在这点是否可导 解决办法：记住函数绝对值的導数等于  f（x）除以 （绝对值（f（x）））  再 乘以F（x）的导数 。所以判断绝对值函数不可导点首先判断函数等于0的点，找出这些点之后这個导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊所以还要找出f（a）导数嘚值，不为0的时候 绝对值函数在这点的导数是无穷  ， 所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊
   考点2  ：处处可导的函数与在，某一些点鈈可导但是连续的函数相互乘的函数这个函数的不可导点的判断，直接使用导数的定义就能证明 我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等左右导数实际上就是X趋近a的2个极限，  f（x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候f（x）在这点上的这2个极限乘以g（a），當g（a）等于0的时候左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f（a）导数乘以G(a)  +G(a)导数乘以F（a）应为f（a）导数乘以G(a)  =0，前面推出来了所以乘积函數在这点上就可导了。导数为G(a)导数乘以F（a）