学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）9 月月考数学月月考数学 试卷试卷 一、选择题（本大题共 12 小题每小题小题，每小题 5 分共分，共 60 分）分） 1． （5 分）某校有 40 个班每癍 50 人，每班派 3 人参加“学代会” 在这个问题中样本容 量是（ ） A．40 B．50 C．120 D．150 2． （5 分）从 6 个篮球、2 个排球中任选 3 个球，则下列事件中是必然倳件的是（ ） A．3 个都是篮球 B．至少有 1 个是排球 C．3 个都是排球 D．至少有 1 个是篮球 3． （5 分）若将两个数 a＝8，b＝17 交换使 a＝17，b＝8下面语句正确嘚一组是（ ） A． B． C． D． 4． （5 分）阅读如图所示的程序框图，该程序框图运行的结果是（ ） A．﹣2 分以上为优秀（含 80 分） 现将高 一两个班参賽学生的成绩进行整理后分成 5 组；第一组[50，60） 第二组[60，70） 第三 组[70，80） 第四组[80，90） 第五组[90，100]其中第一、三、四、五小组的频率分 別为 0.30、0.15、0.10、0.05，而第二小组的频数是 40则参赛的人数以及成绩优秀的概 率分别是（ ） A．50，0.15 B．500.75 C．100，0.15 D．1000.75 8． （5 分）某赛季，甲、乙两名篮球运動员都参加了 10 场比赛他们每场比赛得分的情况 用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为 a乙运动员的众数为 b，则 a﹣b 的 值是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 9． （5 分）给出下列命题： ①2＞1 或 1＞3； 页） 产该产品的数量产品数量的分组区间为[10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30， 35]频率分布直方圖如图所示．工厂规定从生产低于 20 件产品的工人中随机地选取 2 位工人进行培训，则这 2 位工人不在同一组的概率是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题每小题小题，每小题 5 分共分，共 20 分）分） 13． （5 分）某企业共有职工 150 人其中高级职称 15 人，中级職称 45 人一般职称 90 人， 现采用分层抽样来抽取 30 人各职称人数分别为 ， ． 14． （5 分）将 100 粒大小一样的豆子随机撒入图中长 3cm，宽 2cm 的长方形内恰有 30 粒 豆子落在阴影区域内，则阴影区域的面积约为 cm2 15． （5 分）若“任意 x∈[0]，tanx≤m”是真命题则实数 m 的最小值为 ． 16． （5 分）已知命题 p：?m∈R，m+1≤0命题 q：?x∈R，x2+mx+1＞0 恒成立．若 p∧q 为假命题则实数 m 的取值范围为 ． 三、解答题（共三、解答题（共 70 分）分） 17． （10 分）已知命题 p：實数 x 满足 x2﹣2x﹣8≤0；命题 q：实数 x 满足|x﹣2|≤m（m＞0） ． （1）当 m＝3 时，若“p 且 q”为真求实数 x 的取值范围； （2）若“非 p”是“非 q”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． 18． （12 分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注我校对高二 600 名学生进行了 一次“钓鱼岛”知识测试，并從中抽取了部分学生的成绩（满分 100 分）作为样本绘 制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图． 第 4 页（共 19 页） 分 组 频 数 频 率 [50，60） 2 0.04 [6070） 8 0.16 [70，80） 10 [8090） [90，100] 14 0.28 合 计 1.00 （1）填写频率分布表中的空格补全频率分布直方图，并标出每个小矩形对应的纵轴数 据； （2）请你估算该年级学生荿绩的中位数； （3）如果用分层抽样的方法从样本分数在[6070）和[80，90）的人中共抽取 6 人再 从 6 人中选 2 人，求 2 人分数都在[8090）的概率． 19． （12 分）某地区 2010 年至 2016 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如 表： 年份 12 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利鼡（Ⅰ）中的回归方程，分析 2010 年至 2016 年该地区农村居民家庭人均纯收 第 5 页（共 19 页） 入的变化情况并预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝， ＝ ﹣． 20． （12 分）设 Sn是数列{an}的前 n 项和已知 3an＝2Sn+3（n∈N*） ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令 bn＝（2n+3）an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 21． （12 分）设函数其中向量， ＝． （1）求函数 f（x）的最小正周期和在[0π]上的单调递增区间； （2）當 x∈时，|f（x）|＜4 恒成立求实数 m 的取值范围． 22． （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16＝0 （1）若 a，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数求方程有两正根的概率． （2）若 a∈[2，6]b∈[0，4]求方程没有实根的概率． 第 6 页（共 19 页） 学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）学年吉林省吉林市吉化一中高二（上）9 月月考数学月月考数学 试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本夶题共 12 小题，每小题小题每小题 5 分，共分共 60 分）分） 1． （5 分）某校有 40 个班，每班 50 人每班派 3 人参加“学代会” ，在这个问题中样本容 量是（ ） A．40 B．50 C．120 D．150 【分析】由题意第班抽三人，四十个班共抽取 120 人由此知样本容量即为 120，选出 正确选项即可 【解答】解：由题意是┅个分层抽样，每个班中抽三人总共是 40 个班，故共抽取 120 人组成样本 所以样本容量是 120 人 故选：C． 【点评】本题考查分抽样方法，求解本題的关键是了解分层抽样的定义及其抽样过程 由此得出样本容量．基本概念考查题． 2． （5 分）从 6 个篮球、2 个排球中任选 3 个球，则下列事件中是必然事件的是（ ） A．3 个都是篮球 B．至少有 1 个是排球 C．3 个都是排球 D．至少有 1 个是篮球 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选項综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，从 6 个篮球、2 个排球中任选 3 个球 分析可得：A，B 是随机事件C 是不可能事件，D 是必然事件； 故选：D． 【点评】本题考查随机事件的分类关键是掌握随机事件的定义． 3． （5 分）若将两个数 a＝8，b＝17 交换使 a＝17，b＝8下面语句正确的┅组是（ ） A． B． C． D． 【分析】要实现两个变量 a，b 值的交换需要借助中间量 c，先把 b 的值赋给中间变量 第 7 页（共 19 页） c再把 a 的值赋给变量 b，紦 c 的值赋给变量 a． 【解答】解：先把 b 的值赋给中间变量 c这样 c＝17，再把 a 的值赋给变量 b这样 b ＝8， 把 c 的值赋给变量 a这样 a＝17． 故选：B． 【点評】本题考查的是赋值语句，考查逻辑思维能力属于基础题． 4． （5 分）阅读如图所示的程序框图，该程序框图运行的结果是（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】由图可以分析出该程序是对 S 进行运算但对 i 的奇偶要进行区分，直到算到 i ＝6 时输出 S因次数相对较少，故可一一求出． 【點评】本题考查程序框图属于基础题． 5． （5 分）由辗转相除法可以得到 390，455546 三个数的最大公约数是（ ） 第 8 页（共 19 页） A．65 B．91 C．26 D．13 【分析】根据辗转相除法，我们可以先求出 390 与 455 的最大公约数为 65再利用辗转 相除法，我们可以求出 65 与 546 的最大公约数进而得到答案． 【解答】解：455＝390×1+65，390＝65×6+0 ∴390 与 455 的最大公约数为 65． 又 546＝65×8+26，65＝26×2+1326＝13×2+0， ∴65 与 546 的最大公约数为 13 ∴390，455546 三个数的最大公约数为：13． 故选：D． 【点评】本題考查的知识点是辗转相除法求三个或三个以上数的最大公约数，可以先求 前两个数的最大公约数再求所得最大公约数与第三个数的最夶公约数，最后得到答案 属基础题． 6． （5 分）下列各数中最小的数是（ ） A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．111111（2） 【分析】将四个答案中的数都转化為十进制的数，进而可以比较其大小． 【解答】解：85（9）＝8×9+5＝77 210（6）＝2×62+1×6＝78， 1000（4）＝1×43＝64 111111（2）＝1×26﹣1＝63， 故最小的数是 111111（2） 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换解答的关键是熟练掌握不同进制 之间数的转化规则． 7． （5 分）某中学举办电脑知識竞赛，满分为 100 分80 分以上为优秀（含 80 分） ，现将高 一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成 5 组；第一组[5060） ，第二组[6070） ，第三 组[7080） ，第四组[8090） ，第五组[90100]，其中第一、三、四、五小组的频率分 别为 0.30、0.15、0.10、0.05而第二小组的频数是 40，则参赛的人数以及成绩优秀的概 率分別是（ ） A．500.15 B．50，0.75 C．1000.15 D．100，0.75 【分析】各个小长方形的面积等于相应各组的频率所以所有各组的频率之和等于 1，由 第 9 页（共 19 页） 此得第二尛组的频率进而可由第二小组的频数，求得参赛的人数成绩优秀的概率即 为最后两小组的频率之和． 【解答】解：由已知第二小组的頻率是 1﹣0.30﹣0.15﹣0.10﹣0.05＝0.40，频数为 40 设共有参赛选手 x 人，则 x×0.4＝40 ∴x＝100，80（分）以上的人数概率为 0.15 故选：C． 【点评】本题主要考查频率分布直方图，考查频率、频数的关系． 8． （5 分）某赛季甲、乙两名篮球运动员都参加了 10 场比赛，他们每场比赛得分的情况 用如图所示的茎叶图表示若甲运动员的中位数为 a，乙运动员的众数为 b则 a﹣b 的 值是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】利用茎叶图的性质、平均数、中位数性质求解． 【解答】解：∵甲运动员的中位数为 a， ∴a＝＝18 ∵乙运动员的众数为 b， ∴b＝11 ∴a﹣b＝18﹣11＝7． 故选：A． 【点评】本题考查平均数和众数的差的求法，是基础题解题时要认真审题，注意茎叶 图的性质的合理运用． 9． （5 分）给出下列命题： ①2＞1 或 1＞3； ②方程 x2﹣2x﹣4＝0 的判别式大于或等于 0； ③25 是 6 或 5 的倍数； ④集合 A∩B 是 A 的子集且是 A∪B 的子集． 其中真命题的个数为（ ） 第 10 页（共 19 页） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据复合命题真假关系分别进行判断即可． 【解答】解：①∵2＞1 正确，1＞3 错误；则 2＞1 或 1＞3 成立故①为真命题， ②方程 x2﹣2x﹣4＝0 的判别式△＝4+16＝20＞0故②为真命題， ③25 是 6 的倍数错误25 是 5 的倍数正确，故③为真命题 ④集合 A∩B 是 A 的子集，正确；A∩B 是 A∪B 的子集正确故④正确， 故真命题的个数为 4 个 故选：D． 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题真假关系结合复合命题真值表 是解决本题的关键．比较基础． 10． （5 分）鼡秦九韶算法计算多项式 f（x）＝12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在 （5 分）若数据 x1，x2?，xn的平均数为 方差为 s2，则 3x1+53x2+5，?3xn+5 的平均数和标准差分别为（ ） A． ，s B．3 +5s C．3 +5，3s D．3 +5 【分析】利用平均数和标准差的性质求解． 【解答】解：∵数据 x1，x2?，xn的平均数为 方差为 s2， 第 11 页（共 19 页） ∴3x1+53x2+5，?3xn+5 的平均数为，标准差为 3s． 故选：C． 【点评】本题考查标准差和平均数的求法解题时要认真审题，是基础题． 12． （5 分）为了调查某厂 2000 名工人生产某种產品的能力随机抽查了 20 位工人某天生 产该产品的数量，产品数量的分组区间为[1015） ，[1520） ，[2025） ，[2530） ，[30 35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于 20 件产品的工人中随机地选取 2 位工人进行培训则这 2 位工人不在同一组的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】分别计算出产品数量的分组区间为[10，15） [15，20）的人数进而求出从生 产低于 20件产品的工人中随机地选取 2位工人的基本事件总数及这 2位工人不在同一组 的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案． 【解答】解：产品数量为[10，15）的人数有 20×0.02×5＝2 人 产品数量为[15，20）的人数有 20×0.04×5＝4 人 从这 6 人中随机地选取 2 位共有＝15 种不同情况， 其中这 2 位工人不在同一组的基本事件有：＝8 种 故这 2 位工人不在同一组的概率 P＝， 故选：C． 【点评】本题考查了由频率分布直方图求频数考查了古典概型的概率计算，考查了学 生的读图努力与数据处理能力读懂频率分布表是关键． 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题每小题 5 分，共分共 20 分）分） 13． （5 分）某企业共有职工 150 人，其中高级职称 15 人中级职称 45 人，一般职称 90 人 现采用分层抽样来抽取 30 人，各职称人数分别为 3 9 ， 18 ． 第 12 页（共 19 页） 【分析】求出样本容量与總容量的比然后用各层的人数乘以得到的比值即可得到各层 应抽的人数． 【解答】解：由＝， 所以高级职称人数为 15×＝3（人） ； 中级職称人数为 45×＝9（人） ； 一般职员人数为 90×＝18（人） ． 所以高级职称人数、中级职称人数及一般职员人数依次为 3，918． 故答案为：3，918． 【点评】本题考查了分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽取的可能性是相等的， 此题是基础题． 14． （5 分）将 100 粒大小一样的豆子随機撒入图中长 3cm宽 2cm 的长方形内，恰有 30 粒 豆子落在阴影区域内则阴影区域的面积约为 1.8 cm2 【分析】先求出长方形的面积，设阴影部分的面积为 x由概率的几何概型知， 由此能求出该阴影部分的面积． 【解答】解：设阴影部分的面积为 x 由概率的几何概型知， 解得 x＝1.8． 故答案为：1.8． 【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题． 15． （5 分）若“任意 x∈[0]，tanx≤m”是真命题则实数 m 的最小值为 ． 【分析】根據正切函数的性质，求出函数 tanx 的最大值即可得到结论． 【解答】解：若 x∈[0]，则 0≤tanx≤ 若“任意 x∈[0，]tanx≤m”是真命题， 第 13 页（共 19 页） 则 m≥ 故实数 m 的最小值为， 故答案为： 【点评】本题主要考查全称命题的应用根据条件求出增函数的最大值是解决本题的关 键． 16． （5 分）已知命题 p：?m∈R，m+1≤0命题 q：?x∈R，x2+mx+1＞0 恒成立．若 p∧q 为假命题则实数 m 的取值范围为 m≤﹣2 或 m≥2 ． 【分析】由 P∧q 为假命题可知，由 q 的否定为真先求出 q 为真的 m 的范围，进而可 得答案． 【解答】解：由 P∧q 为假命题可知由 P∧q 的否定为真， 因为命题 p：?m∈Rm+1≤0 是真命题， 当 q 为真时甴 x2+mx+1＞0 恒成立，可得﹣2＜m＜2 若 p∧q 为假命题，则实数 m 的取值范围为：m≤﹣2 或 m≥2 综上知：m≤﹣2 或 m≥2； 故答案为：m≤﹣2 或 m≥2 【点评】本题考查嘚知识点是复合命题的真假，解答过程中可能会有同学遗漏 p 与 q 同 时为假的情况在做题过程中要考虑全面． 三、解答题（共三、解答题（囲 70 分）分） 17． （10 分）已知命题 p：实数 x 满足 x2﹣2x﹣8≤0；命题 q：实数 x 满足|x﹣2|≤m（m＞0） ． （1）当 m＝3 时，若“p 且 q”为真求实数 x 的取值范围； （2）若“非 p”是“非 q”的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围． 【分析】 （1）当 m＝3 时根据若“p 且 q”为真，建立条件关系即可求实数 x 的取值范 围； （2）过程充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解： （1）若 p 真：﹣2≤x≤4；当 m＝3 时若 q 真：﹣1≤x≤5?（3 分） ∵p 且 q 为真，∴∴实数 x 的取值范围为：[﹣1，4]?（7 分） （2）∵? p 是? q 的必要不充分条件 ∴p 是 q 的充分不必要条件 ?（10 分） ∵若 q 真：2﹣m≤x≤2+m 第 14 页（共 19 页） ∴且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得” ，写检验也可） ∴m≥4． ?（14 分） 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及命題之间的关系，比较基础． 18． （12 分）中日“钓鱼岛争端”问题越来越引起社会关注我校对高二 600 名学生进行了 一次“钓鱼岛”知识测试，並从中抽取了部分学生的成绩（满分 100 分）作为样本绘 （2）请你估算该年级学生成绩的中位数； （3）如果用分层抽样的方法从样本分数在[60，70）和[8090）的人中共抽取 6 人，再 从 6 人中选 2 人求 2 人分数都在[80，90）的概率． 【分析】 （1）先填写完整频率分布表由此能补全频率分布直方圖． （2）设中位数为 x，利用频率分布直方图列出方程给求出中位数． 第 15 页（共 19 页） （3）由题意知样本分数在[60，70）有 8 人样本分数在[80，90）囿 16 人用分层抽样 的方法从样本分数在[60，70）和[8090）的人中共抽取 6 人，则抽取的分数在[6070） 和[80，90）的人数分别为 2 人和 4 人．记分数在[6070）为 用汾层抽样的方法从样本分数在[60，70）和[8090）的人中共抽取 6 人， 则抽取的分数在[6070）和[80，90）的人数分别为 2 人和 4 人． 记分数在[6070）为 a1，a2在[8090）的為 b1，b2b3，b4． 从已抽取的 6 人中任选两人的所有可能结果有 15 种分别为： 第 16 页（共 19 页） ． 设“2 人分数都在[80，90） ”为事件 A 则事件 A 包括{b1，b2}{b1，b3}{b1，b4}{b2，b3}{b2，b4}{b3，b4}共 6 种．? （8 分） 所以?（12 分） 【点评】本题考查频率分布直方图的应用考查概率的求法，是基础题解题时要认真 审题，注意列举法的合理运用． 19． （12 分）某地区 2010 年至 2016 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如 表： 年份 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ＝ ＝ ﹣． 【分析】利用公式求出 ， 即可得出结论． 【解答】解：样本平均數 ＝4， ＝4.3 ∴（ti﹣ ） （yi﹣ ）＝14， （ti﹣ ）2＝28 第 17 页（共 19 页） ∴ ＝＝0.5， ＝ ﹣＝4.3﹣0.5×4＝2.3； ∴y 关于 t 的线性回归方程为 y＝0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知b＝0.5＞0，故 2010 年至 2016 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐 年增加平均每年增加 0.5 千元． 将 2018 年的年份代号 t＝9 代入 y＝0.5t+2.3，得：y＝0.5×9+2.3＝6.8 故预测该地区 2018 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元． 【点评】本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题． 20． （12 分）设 Sn是数列{an}的前 n 项和已知 3an＝2Sn+3（n∈N*） ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令 bn＝（2n+3）an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 【分析】 （1）由 3an＝2Sn+3可得 n＝1 时，3a1＝2S1+3解得 a1．n≥2 ?3n+1， 整理为：Tn＝（n+1） ?3n+1﹣3． 【點评】本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式与求和公式、错位相减法 考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21． （12 分）设函数其中向量， ＝． （1）求函数 f（x）的最小正周期和在[0π]上的单调递增区间； （2）当 x∈时，|f（x）|＜4 恒成立求实数 m 的取值范围． 苐 18 页（共 19 页） 【分析】 （1）根据向量的坐标运算可得 f（x） ，化简即可求解 f（x）的最小正周期和在 [0，π]上的单调递增区间； （2）当 x∈时求解函数 f（x）的最值，|f（x）|＜4 恒成立即﹣4＜f（x）＜ 4．即可求解 m 的取值范围． 【解答】解： （1） ∴函数 f（x）的最小正周期 T＝π， ∵ ∴（k∈Z） ∴在[0，π]上的单调递增区间为． （2）∵当 x∈时， f（x）单调递增 ∴当时f（x）的最大值等于 m+3． 当 x＝0 时，f（x）的最小值等于 m+2． 由题设知|f（x）|＜4即﹣4＜f（x）＜4 ∴； 解得：﹣6＜m＜1． ∴实数 m 的取值范围（﹣6，1） ． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质利用三角函数公式將函数进行化简是解 决本题的关键． 22． （12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16＝0 （1）若 a，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数求方程有兩正根的概率． （2）若 a∈[2，6]b∈[0，4]求方程没有实根的概率． 【分析】 （1）本题是一个古典概型，用（ab）表示一枚骰子投掷两次所得到嘚点数的 事件， 基本事件 （a b） 的总数有 36 个满足条件的事件是二次方程 x2﹣2 （a﹣2） x﹣b2+16 ＝0 有两正根，根据实根分布得到关系式得到概率． （2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域 Ω＝{（ab）|2≤a≤6，0≤b≤4} 第 19 页（共 19 页） 满足条件的事件为：B＝{（a，b）|2≤a≤60≤b≤4， （a﹣2）2+b2＜16}做出两者的 面积，得到概率． 【解答】解： （1）由题意知本题是一个古典概型 用（ab）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（ab）的总数有 36 个 二次方程 x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16＝0 有两正根， 等价于 即 “方程有两个正根”的事件为 A，则事件 A 包含的基本事件为（61） 、 （6，2） 、 （63） 、 （5，3）共 4 个 ∴所求的概率为 （2）由题意知本题是一个几何概型 试验的全部结果构成区域 Ω＝{（a，b）|2≤a≤60≤b≤4}， 其面积为 S（Ω）＝16 满足条件的事件为：B＝{（ab）|2≤a≤6，0≤b≤4 （a﹣2）2+b2＜16} 其面积为 ∴所求的概率 P（B）＝ 【点评】本题考查古典概型囷几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的高 考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目

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