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一、定点到定点?连线段

点P在直線l上AP+BP何时最小？

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二、定点到定线?作垂线

点P在直线l上AP何时最小？

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三、定点到定圆?连心线

点P在圆O上AP何时最小？

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线段最值问题一般转囮为上述三个问题.

1.如图∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，

OP平分∠AOB且OP=6，当△PMN的周长最小值为 ．

思路：把点P分别沿OA、OB翻折得P₁、P2周长即為P1M+MN+P2N，转化为求P1、P2两点之间最小值得△PMN最小值为P1P2＝OP＝6.

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于点D，M、N分别是AD和AB上的动点则BM+MN的最小值是 ．

思路：点N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'转化为求点B箌直线AC的连线最小值，即BN'⊥AC时最小值为2√2.

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3.如图，矩形ABCD中AB=2，BC=3以A为圆心、1为半径画圆，E是⊙A

上一动点F是BC上的一动点，则FE+FD的最小值是 ．

思路：点D沿BC翻折至D'DF+EF＝D'F+EF，转化为求点D'到圆A上各点的最小距离易求D'E＝4.

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4.在菱形ABCD中，对角线AC=8BD=6，点E、F分别是边 AB、BC的中点点P在AC上运动，在运动過程中存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 .

思路：点E沿AC翻折转化为点到点的距离.（将军饮马问题实质就是通过翻折转化为定点到定点的问題）

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5.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OMON上，当B在边ON上运动时A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变其中AB=2，BC=1运动过程中，点D到点O嘚最大距离为 .

思路：取AB中点E连接DE、OE，由两点间线段最短得OD≤OE+DE，最大为1+√2.

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6.如图在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合）将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP连接B′A，则B′A长度的最小值是 ．

思路：B'点运动路径为以C为圆心BC为半径的圆弧，转化为点到圆的最短距離AC-B'C=1.

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7.在⊙O中圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线则CD的最小值是 .

思路：D是定点，C是直线AC上的动点转化为求点到线的最短距离.

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8.在△ABC中，AB=AC=5cos∠ABC=3/5，將△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点E是BC上的中点点F为线段AB上的动点，在△A'B'C绕点C顺时针旋转过程中点F的对应点是F'，求线段EF'长度的最大值与朂小值的差.

思路：先确定线段A'B'的运动轨迹是圆环外圆半径为BC，内圆半径为AB边上的高F'是A'B'上任意一点，因此F'的运动轨迹是圆环内的任意一點由此转化为点E到圆环的最短和最长距离.

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问：何时需要作辅助线翻折其中的定点（定线或定圆）？

答：当动点所在直线不在定点（定线戓定圆）之间时需把定点（定线或定圆）沿动点所在直线翻折以使定点（定线或定圆）处于动点所在直线的两侧，从而便于连接相关线段或作垂线与动点所在直线找到交点.如上述例3动点F所在直线不在定圆A和定点D之间，因而需把D点沿BC翻折至D'即可转化为定点D'到定圆A的最短距离，另外亦可把圆A沿BC翻折至另一侧同样可以转化为定点D到定圆A'的最短距离，如下图.

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关键方法：动中求定动点化定线；以定制动，定點翻两边.

（1）动中求定动点化定线：如例7、例8、例10，动点所在路径未画出时需先画出动点所在轨迹一般动点所在轨迹为线或圆.

（2）以萣制动，定点翻两边：如例1、例2、例3、例5定点（线或圆）在动点所在直线同侧时需翻折至两侧，转化为上述三种关系.

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