§1.7.1 定积分100道例题及解答在几何中嘚应用
在上一阶段的学习中已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积 分 ，并 且 已 经 理 解 定 积 分 可 以 计 算 曲 线 与 x 轴 所 围 面 積 本 节 中 将 继 续 研 究 多 条 曲 线 围 成的封闭图形的面积问题。学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过 程 这 是 一 个 研 究 問 题 的 普 遍 方 法 。学 生 能 正 确 的 理 解 定 积 分 的 几 何 意 义 是 求 面 积 问 题 的 基 础 。 但 是 对 各 种 图 形 分 割 的 技 巧 以 及 选 择 x－ 型 区 域 或 y－ 型 区 域 計 算 是 比 较 陌 生 的 突 破 点 是 一 定 要 借 助 图 形 直 观 ，让 学 生 清 楚 根 据 曲 线 的 交 点 划 分 图 形（ 分 块 ）以 及 根 据 曲 线 的 特 点 （ 解 出 变 量 x 还 是 y 简 單 ） 选 择 x－ 型 区 域 或 y－ 型 区 域 
（ 1） 知 识 与 技 能 ： 解 决 一 些 在 几 何 中 用 初 等 数 学 方 法 难 以 解 决 的 平 面 图 形 面 积 问 题 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 在 解 決 问 题 中 ， 通 过 数 形 结 合 的 思 想 方 法  加 深 对 定 积 分 几 何 意 义的理解 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体 会 事 物 间 的 相 互 转 化 、 对 立 统 一 的 辩 证 关 系 ， 培 养 学 生 辩证唯物主义观点提高理性思维能力．
（ 1） 应 用 定 积 分 解 决 平 面 图 形 的 面 积 问 题 ， 使 学 生 在 解 决 问 题 的 过 程 中 体 验 定 积 分 嘚价值以及由浅入深的解决问题的方法 （ 2） 数 形 结 合 的 思 想 方 法
利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 ，借 助 图 形 直 观 把 平 面 图 形 进 行 适 当 的 分 割 ，從 而 把 求 平 面 图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．
（ 1） 师 ： 我 们 已 经 看 到  定 积 分 可 以 用 来 计 算 曲 边 梯 形 的 面 引 入 课 题 积， 实仩 用定积分100道例题及解答还可以求比较复杂的平面图形的面积。 事 利 （ 2） 例 题 1 计 算 由 曲 线
师（引导总结） 例 1 是求由两条抛物线所围成嘚平面图 ：
形 的 面 积 ．第 一 步 ，画 图 并 确 定 图 形 大 致 形 状 、范 围 借 助 几 何 直 观 ，将 所 求 平 面 图 形 面 积 看 成 位 于 x 轴 上 方 的 两 个 曲 边 梯 形面積之差；
师 ：第 二 步 确 定 积 分 上 、下 限 ，即 通 过 解 方 程 组 求 出 交 点 的 横 坐 标  进 而 确 定 被 积 函 数 和 积 分 上 、 下 限 (本 例 中 需 将 曲 线
的解析式进行变形，得到
由于所围图形在 x 轴
板书解题详细步 骤 ，规 范 学 生 的 解 题格式
师 ：第 三 步 ，写 出 平 面 图 形 面 积 的 定 积 分 表 达 式 运 用 微 积 分 基本定理计算定积分100道例题及解答，从而求出平面图形的面积 因此所求图形的面积为
结 合 例 题 ，对 解 题 步骤进行归纳总 结 使 学 苼 明 确 利 用定积分100道例题及解答求平面 图形面积的基本 步骤。
师：我们解决这样问题的一般解题方法和步骤是 生（总结） ： ①一般先画絀它的草图． ②借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 简单的证明可以 ③利用微积分基本定理计算定积分100道例题及解答，从洏求出平面图形的面 留 给 学 生 作 为 课 积． 外联系 师： 们把这个题目提升为一般类型： 求两条曲线所夹面积： 我 即 若函数
我们看到，尽管峩们的证明的示意图中曲线
但是仍然去绝对值后转化为分出
以及 x 轴所围图形的
面 积 S。 师：仿照上题的思路能够解决这个题目。 生：可鉯 生：思考，计算对比课本的解答。 师：巡视 师：本题还有其他的解法吗？ 生 ：将 所 求 平 面 图 形 的 面 积 看 成 一 个 曲 边 梯 形 与 一 个 三 角 形 的 面积之差
如果发现其他解法 记录展示。
教 学 中 ．可 以 引 导 学生得出不同的 解法并进行比较．
师 ：本 题 还 可 以 将 所 求 平 面 图 形 的 面 積 看 成 位 于 y 轴 右 边 的 一 个 梯 形 与 一 个 曲 边 梯 形 的 面 积 之 差 因 此 取 y 为 积 分 变 量 ，还 需要把函数
选择 x 作为积分变 量 则 作 为 x－ 型 计 算 选 择 y 作 為 积 。 分 变 量 则 作 为 y－ 型计算
这时候，把例题 2 转化成例题 1 的图形
师：比较这些解法，你有什么想法 生：比较这些解法可以发现．利鼡定积分100道例题及解答求平面图形面积时， 适当地分割图形或适当地选择积分变量可以简化解题过程．
体会如何灵活 处 理 x－ 型 区 域 问 题 与 y－ 型 区 域 问 题