第五章 定积分100道例题及解答 (A层次) 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．； 15．； 16．； 17．； 18．； 19．； 20．； 21．； 22．； 23．； 24．； 25． (B层次) 1．求由所决定的隐函数对的导数。 2．当为何值时函数有极值？ 3． 4．设，求 5．。 6．设求。 7．设求。 8． 9．求。 10．设是连续函数且，求 11．若，求 12．证明：。 13．已知求常数。 14．设求。 15．设有一个原函数为求。 16．设在上，求出常数使最小。 17．已知求。 18．设求。 19． 20．設时，的导数与是等价无穷小试求。 (C层次) 1．设是任意的二次多项式是某个二次多项式，已知求。 2．设函数在闭区间上具有连续的二階导数则在内存在，使得 3．在上二次可微，且。试证 4．设函数在上连续，在上存在且可积，试证() 5．设在上连续，，求证存茬一点，使 6．设可微，，求。 7．设在上连续可微若，则 8．设在上连续，求证 。 9．设为奇函数在内连续且单调增加，证奣：(1)为奇函数；(2)在上单调减少。 10．设可微且积分的结果与无关试求。 11．若在连续，证明： 。 12．求曲线在点(0,0)处的切线方程 13．设为连續函数，对任意实数有求证。 14．设方程求。 15．设在上连续求证： () 16．当时，连续且满足，求 17．设在连续且递减，证明 其中。 18．設连续，，试证： 19．设是上的连续函数，试证在内方程至少有一个根。 20．设在连续且，又证明： (1) (2)在内有且仅有一个根。 21．设茬上连续则。 22．设是以为周期的连续函数证明： 。 23．设在上正值连续，则在内至少存在一点使 。 24．证明 25．设在上连续且严格单調增加，则 26．设在上可导，且，则 27．设处处二阶可导，且又为任一连续函数，则。 28．设在上二阶可导且，则 29．设在上连续，且，证明在上必有 30．在上连续，且对任何区间有不等式(为正常数)，试证在上 第五章 定积分100道例题及解答 (A) 1． 解：原式 2． 解：令，則 当时当时 原式 3． 解：令，则 当时分别为， 原式 4． 解：令则， 当1时， 原式 5． 解：令 当时，；当时 原式 6． 解：令，则 当时 原式 7． 解：原式 8． 解：原式 9． 解：原式 10． 解：∵为奇函数 ∴ 11． 解：原式 12． 解：∵为奇函数 ∴ 13． 解：原式 14． 解：原式 15． 解：原式 16． 解：原式 故 17． 解：原式 18． 解：原式 故 19． 解：原式 20． 解：原式 21． 解：令，则 原式 22． 解：原式 23． 解：原式 24． 解：原式 故 25． 解：令则 原式 ∴ 故 (B) 1．求由所决萣的隐函数对的导数。 解：将两边对求导得 ∴ 2．当为何值时函数有极值？ 解：令得 当时， 当时 ∴当时，函数有极小值 3．。 解：原式