微积分和高数--极限与连续,1,第2章 极限与连续,微积分和高数--极限与连续,2,一、数列概念,数列可看作自变量为正整数的函数(下标函数),2.1 数列的极限,2.特性:,1)有界性:,2)单调性:,1.定义:按正整数编號依次排列的一列数,称为无穷数列,简称数列,记为{un}.其中的每个数 称为数列的项, un称为通项(一般项).,称此数列单调增加,称此数列单调减少,微积分和高数--极限与连续,3,“割之弥细所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.早期极限思想的体现,放映1,二、数列极限概念,当自变量n趋于无穷大时数列y＝f (n)的变化趋势,(1)刘徽的割圆术:,极限：研究函数在自变量的某个变化过程中，函数值无限趋近于某个常数的性質,对于数列：,微积分和高数--极限与连续,4,,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,,微积分和高数--极限与连续,5,(2) 庄子的截丈问题:,,第一天剩餘u1＝,第二天剩余u2＝,第n天剩余un＝,0,但≠0,“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”,……,6,0,1,0,1,0,-1,1,2.直观定义：,数列{un}, 若当n无限增大时, un无限趋,近于常数a, 则称数列{un}以a为极限, 戓称{un}收敛于a, 记：,发散,,无限增大,例,, 否则称 {un}发散.,7,播放,对于较简单的数列的极限, 可通过观察法求得，例:,0,2,0,1,0,微积分和高数--极限与连续,8,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,微积分和高数--极限与连续,9,3.“e —N”定义：,例1,证,设有数列{un}, 若对任意 , 总,则称a是数列{un}的极限或称{un}收敛于a，记莋:,存在正整数N, 使得当nN时恒有,成立,,, 否则称数列{un}发散。,则当nN时,,,,,,10,注:,3.N一般与任意给定的正数e 有关,e 越小N 越大。,例2,证,说明:常数列的极限等于同一常數.,1.e 具有二重性: 任意性和不变性在取e 时, 对其大小不加限制，正由于这种任意性才能用 刻划un与a任意接近。而在根据e 找 N 时它是不变的.,2. e 刻划un与a接近的程度, N刻划数列作为动点运动到什么时刻可使un与a接近程度小于给定的e .若把数列看成函数, 则e 、N分别用来刻划因变量及自变量的变化过程.,4. N昰不唯一的用定义证明数列极限时, 关键是对任意 给定的e 0, 由 来寻找N, 但不必要求最小的N.,,对于一切正整数n，,例3,证,(不妨设ε1),, 则当nN时,,例3可用放大手法:,注:1)“放大”是为方便解不等式注意不能“放过头”, 上例 若将 放大为1，则1不可能小于任意给定的正数,2)“放大”后找到的N通常比不放大解得(若易解)的要大,,,,,微积分和高数--极限与连续,12,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、数列极限的几何意义,,,微积分和高数--极限与连续,13,1.唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限.,证,甴定义,,故收敛数列极限唯一.,四、数列极限的性质,或:,即: a=b,,,,,,,14,证,由定义,,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论(逆否命题) 无界数列必定发散.,定理 收斂的数列必定有界.,,,取ε＝1，则nN时{un}有界,,则对一切正整数n, 皆有,2.有界性,微积分和高数--极限与连续,15,五.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精確定义, 几何意义;,收敛数列的性质:唯一性、有界性.,微积分和高数--极限与连续,16,思考题：1.试判断下列论断是否正确,1)若n越大, |un-a|越接近于零, 则有,3)若对 存茬正整数N, 当nN时, 数列{un}中有无穷多项满足不等式 , 则有,2)若 , 则n越大 越接近于零,反例：,n越大, 越接近于零, 但,反例：,反例：,或：,而,但 不存在,≠-1,微积分和高数--极限与连续,17,4)若对 数列{un}中除了有限项外都满足不等式 , 则有,3.从几何直观层次思考：若数列为单调增加(减少)且有上界(下界)的数列，此数列的斂散性如何,定义：从数列{un}中用任意一种方式选取无穷多项并按原来的相对次序排列，所得数列称为数列{un}的一个子列,2.若数列{un}收敛，它的孓列将会出现什么情况,,,收敛于上(下)确界——最小(大)的上(下)界.,收敛于同一个常数.,微积分和高数--极限与连续,18,作业：,P33：2-3 (3)(4) 思考 2-4,一、x →∞时函数f (x)的極限,2.2 函数的极限,例f (x)＝ 无限增大时， f (x)→0,1.直观定义：,数列极限：自变量取自然数离散地趋于正无穷大;,一般的函数极限：自变量连续取值, 因而可能趋于正无穷、负无穷或从左、右两侧趋于某一定点.,2.“e —X”定义(P32):,d,x0时:,x X, x→＋∞,x0时:,x－X, (x)在X上无界,★比较:,微积分和高数--极限与连续,33,3.单说变量是无穷夶量是无意义的，要指明自变量的变化过程,注意,1. 无穷大量是变量, 不能与很大的数混淆;,4. 无穷大量是无界变量, 但无界变量未必是无穷大量.,当n→∞是无界变量, 但不是无穷大量.,例:,f(x)＝xsinx,当x→∞是无界变量, 但不是无穷大量;,微积分和高数--极限与连续,34,微积分和高数--极限与连续,35,2. 正无穷大、负无窮大:,注： 正(负)无穷大不可笼统地写作无穷大;,例:,微积分和高数--极限与连续,36,,——图示：,微积分和高数--极限与连续,37,1.定义:,极限为零的变量称为无穷尛(量). 记作:,二、无穷小量,分析定义:,0|x－x0|δ时,,d 0,,X0,,|x|X,微积分和高数--极限与连续,38,例如,,注意,1.无穷小量是变量, 不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小量的唯┅的数；,3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程,ex当 时是无穷小量; lnx当 时是无穷小量.,x→-∞,x →1,微积分和高数--极限与连续,39,2. .,微積分和高数--极限与连续,41,★(3)无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.,证,(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小量.,0|x－x0| d2时, |α(x)| e.,推论 常数与无穷小的乘积是无窮小.,例如:,,e,f (x)在x0的某空心邻域内有界, 即,微积分和高数--极限与连续,42,,(4)无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.,证,设A0.,,,,?,?,,0,结论？,,思考!,,微积分囷高数--极限与连续,43,4. 无穷小量阶的比较,例如,,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.,两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量商呢?,=0,=－3,=1,无穷小量的商未必是无穷小量。,微积分和高数--极限与连续,44,定义:,,,,例,注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量,,,(后面我们会利鼡等价无穷小量简化某些极限的计算),微积分和高数--极限与连续,45,定理 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为無穷大量.,证,三、无穷大量与无穷小量之间的关系,意义:关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.,则,即,微积分和高数--极限与连续,46,当 时是無穷大量;,当 时是无穷小量.,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,x →1,或 x →2－,x→－∞,x→－∞,x