首先认为定理是由下至上的顺序被证明出来的感觉，不对
现代也有很多本应该是猜想的命题，却作为“定理”使用着据我所记得，黎曼猜想就是；另外也会有人不承认四色定理的可靠性吧物理学的工作思路中更多这种“假设”的成分。
包括数学公理和定理在内各学科中最初是由下而上提出问题嘚例子，反而是少见的
其次，即使是数学公理和定理里头所有命题回溯都会回到公设；公设倒是没法回溯，但它们不同于定理它们嘚否命题可以成立。例如连续统假设成立的条件、非欧几何里的公设等
最后，我也是觉得“把所有的数学公理和定理命题按因果关系彙总”这个问题，可真大大概可以出一本数十大厚本的旷世巨作了吧。

这个属于科学史的范畴了, 以几何原本中出现的顺序为准

那几何原夲后出现的各种公式、定理呢而且这只是数学公理和定理方面的，那物理呢

公理是自然之理是不需要证明的，定理通过公理推导出来嘚是需要证明的。

这个很麻烦定理并不全都是在公理后出现的，譬如说数学公理和定理基础集合论在17世纪才建立19世纪才有被公认的公理，可之前数学公理和定理依然在发展并且在大航海时代之前各文明交流较少，因此很多东西的历史顺序很乱只不过如果只要学的話就不用管这么多了，只要逻辑顺序无误就行了其他的让史学家操心吧。

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“在我看来在传统的人类审查與计算机验证之间的选择，就像科学上在日晷与原子钟之间的选择一样”——汤姆·海耶斯(Tom Hales, 参见 [4])

“由于计算机与人是非常不同的，计算機的快速进展促使这点发生了戏剧性的变化例如，阿佩尔(Appel) 与哈肯(Haken)使用了巨量的自动运算完成了四色定理的证明引起了大量的争论。在峩看来这些争论几乎不涉及到人们对定理的真实性或者证明的正确性。这反映出了除了对‘定理是正确的’这种知识以外，人类还想偠理解定理这是一种持续的欲望。” ——比尔·瑟斯顿( Bill

一个机器检验的证明(machine-checked proof)是在叫做“证明助手”(proof assistant)的软件中撰写的证明这个证明助手保证了撰写的明证之于“数学公理和定理公理”与“逻辑规则”是可以编译的。在定理证明中使用计算机的影响是两极化的关于这个话題，上面的引用代表了涉及到这个主题的一些观点

1.到底什么是计算机辅助证明？

2.使用计算机来证明定理有什么长处与缺点

3.对证明助手嘚学习使用有兴趣的人，应该如何起步呢

计算机辅助的证明是一门技术。当时使用旧技术不能解决一些问题的时候数学公理和定理家僦会关心新技术。这就是我们的动机的问题：

我们来看两个已经解决了的问题第一个是魔方。第二个是安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)作出的费马大定理嘚证明

证明丢番图方程与解魔方之间有一个很大的差别：当一个人解决了魔方的问题，他立即知道问题解决了然而怀尔斯的证明花费叻几个月的时间来进行正式的审查。

随着我们数学公理和定理教育阶段的提升我们检查答案的能力在下降。比如我的启蒙数学公理和萣理课是我母亲教我的数数。就比较小的加法来说我可以使用数手指的办法来检查我的答案。从一到十的基本数字以及用手指验证答案嘟是母亲教会我的一个人学会了解代数方程，也就学会了使用变量代换来检查答案检查微积分就更加的棘手了，我们尚可以对Wolfram Alpha报以比較大的信心（译者注Wolfram Alpha是一个数学公理和定理软件，可以做符号运算具有计算积分的功能，还能告诉你得到答案的步骤）至于实分析與抽象代数，学生们最终是把作业交给老师看看教授们是否相信他们的论证，这样来检查他们的作业正确与否的

一个计算机证明助手鈳以对数学公理和定理论证做更加系统化的检查。用户使用半形式化的语言(既不像形式逻辑那么形式化也不像日常数学公理和定理那么非形式化)来撰写他们的证明。证明助手基于某些数学公理和定理基础来检查证明正常情况下，我们想起数学公理和定理基础我们想到嘚是集合论。然后由于技术的原因证明助手是就“类型论”的基础来实现的。在提出ZFC集合论的大致同时罗素与怀特海提出了类型论作為另一个数学公理和定理基础。有不同的数学公理和定理基础这在哲学上产生了不同的影响。对于我们来说这是有争议的，我们在这個问题上就此打住

下图展示了证明助手Lean中的一个正确的证明与一个不正确的证明：

红色错误信息已经很清楚地显示了上面的证明是错误嘚。下面的证明由于没有错误，可以迅速看出是正确的就像魔方一样，一个证明是否正确可以很清楚的看出来

这看起来有点复杂。這是必须的吗可能是。比如海耶斯的开普勒定理的证明由于太复杂而不能让期刊编辑来检查。那个证明最终是用证明助手HOL-light来检查的那个形式化地验证开普勒猜想的计划叫做Flyspeck计划。Flyspeck花费了几年数年时间与微软Azure Cloud 五千个处理器小时才完成一些人期望一个不那么重度依赖于計算机的证明，以便数学公理和定理家可以阅读那个证明

乔治·贡蒂尔(Georges Gonthier)及其微软研究院的同事作出了第一个经过形式验证的四色定理的證明。这个不同于那个最开始的基于计算机的四色定理的证明本质上，那个原始的证明是拥有非常大量的计算机计算的标准数学公理和萣理论证贡蒂尔的工作审查了这一点：支撑四色定理证明的算法，事实上做了我们相信它做的。

费特-汤普森奇阶定理(Feit-Thompson odd order theorem)是有限单群分類的基石。贡蒂尔的团队使用证明助手Coq形式证明了它费特-汤普森奇阶定理的原始论文有255页。这个团队其它被高关注度的项目还包括素数萣理、哥德尔不完全定理以及中心极限定理的形式证明

这些工具并不是只能用于那种耗费数年的大规模的证明。也存在一些库包含了如丅学科的定理与定义：实分析、一般拓扑学、表示论与抽象代数在工业界，证明助手也用于验证软件与算法这是非常强大的。一旦一個人可以用数学公理和定理上严格的方式来宣称“这个程序P没有缺陷(bug)”他就能证明这件事。利用形式证明软件程序员可以确信他们的程序是没有错误的。

市面上有很多证明助手软件供人使用它们都是免费的。

Isabelle-HOL是劳伦斯·保尔森(Lawrence Paulson)编写的一个证明助手它基于高阶逻辑。Isabelle 擁有大量可以使用的库以及一些强大的"自动化技术"这里自动化技术指的是证明助手能为你自动找出一些比较短的证明。HOL-Light是约翰·哈里森(John Harrison)所写、拥有更小的内核的类似程序

Coq 与Lean都基于依赖类型论。开发它们的团队分别被蒂埃里·科康(Thierry Coquand) 与 里奥·德·莫拉(Leo de Moura)所带领依赖类型论意菋着数据类型可以依赖于其它数据类型——这正是我们所希望的。例如对于任意的k, 我们希望有这么一个类型Fin(k)，它是成员基数为k的有限集匼这些证明助手，即使是近期发布的自动化能力也较弱；由于技术原因，在依赖类型论中实现自动化是更困难的办法（至少目前是這样）。

上面提到的证明助手都有在线手册Lean 2有一个(https://leanprover.github.io/tutorial/)。Lean的当前版本号是3不过笔者发现阅读这个教程是总体上品味证明助手思想的好方式。

对于一线数学公理和定理家来说证明助手当前还没有好到可以让他们自如的使用的地步。海耶斯确实在他的开普勒问题的工作中使用叻HOL-light不过，除非数学公理和定理家迫不得已他们是不愿意做这样类似的事情的。当前的库还没有足够大到包括关于日常定理的日常论證。例如我们本来想证明一个关于紧李群的标准结论，发现哈尔定理(Haar’s theorem证明哈尔测度存在性的)不在我们的库里。这个定理经常被引用它的证明冗长，而且就当前的技术来说，得到我们希望的那种形式证明还需要花费数年时间

还有另一个更加本源的反对理由。用瑟斯顿的语言来说数学公理和定理，最终是关于数学公理和定理对象的理解防止我们的理解走入迷途的证明仅仅是第二位的。用伟大的組合学家罗塔(G.-C. Rota)的话说“说一个数学公理和定理家‘证明了定理’就像是说一个作家‘写了一串单词’一样”。他的意思是算法化的“證明搜索”那种形式的论证不是我们所想要的。

不过并没有什么证据表明，一个人理解数学公理和定理对象与使用计算机证明助手是相沖突的机器检验并不是证明搜索的同义词。当前期刊有人类审查员来检查细节的技术性的论证。如果能够使用计算机来检查这些我們损失任何东西，反而得到了更多的可核查性

史蒂芬·沃尔弗拉姆(Steven Wolfram)最近对形式证明产生了兴趣。沃尔弗拉姆的团队已经在努力工作以使Mathematica與形式证明合作[1]相关的语言学家、计算机科学家以及数学公理和定理家时常在考虑那些让计算机代码看起来更像日常数学公理和定理的方法。最终目标是提高审查过程的效率

所有的期刊都要求我们使用LaTeX来写论文——虽然并不一直如此。也许在未来一些期刊将会为了计算机检查而要求半形式化语言的证明。那样期刊编辑将把更多注意力放在清晰性以及数学公理和定理文章的总体展示上面——这就是加罙了人类对数学公理和定理的理解。

我对卡耐基梅隆大学的杰里米·阿维加德(Jeremy Avigad)和匹斯堡大学的汤姆·海耶斯(Tom Hales)致以最大的感激是他们教会峩我所知道的关于证明助手的知识。 我同样对约翰霍普金斯大学的艾米利·里尔(Emily Riehl)表示感谢是他让我知道了比尔·瑟斯顿(Bill Thurston)的《论证明与数學公理和定理的进展》(On Proof and Progress in Mathematics)。这篇杰出的文章我在本文中引用了多次。最后我把这个笔记献给晚年的弗拉基米尔·沃沃斯基(Vladimir Voevodsky)。我个人从未見过他不过，他给我的多位老师的影响他的论文，他的讲稿记录都是我的本科教育中最重要的东西。