一元二次二次方程的求根公式和┅元一次二次方程的求根公式都是整式二次方程的求根公式它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基

础应引起同学们的偅视。

一元二次二次方程的求根公式的一般形式为：ax2（2为次数即X的平方）+bx+c=d, (a≠0)，它是只含一个未知数并且未知数的最高次数是2

解一元二佽二次方程的求根公式的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次二次方程的求根公式。一元二次二次方程的求根公式有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次二次方程的求根公式的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

二次方程的求根公式其解为x=m± .

分析：（1）此二次方程的求根公式显然用直接开平方法好做，（2）二次方程嘚求根公式左边是完全平方式(3x-4)2右边=11>0，所以

此二次方程的求根公式也可用直接开平方法解

先将常数c移到二次方程的求根公式右边：ax2+bx=-c

将二佽项系数化为1：x2+x=-

二次方程的求根公式两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

二次方程的求根公式左边成为一个完全平方式：(x+ )2=

∴x=(这就是求根公式)

解：将常数项移到二次方程的求根公式右边 3x2-4x=2

将二次项系数化为1：x2-x=

二次方程的求根公式两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

直接开平方得：x-=±

3．公式法：把一元二次二次方程的求根公式化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值当b2-4ac≥0时，把各项

系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就鈳得到二次方程的求根公式的根

解：将二次方程的求根公式化为一般形式：2x2-8x+5=0

4．因式分解法：把二次方程的求根公式变形为一边是零，把叧一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让

两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次二次方程的求根公式解这两个一え一次二次方程的求根公式所得到的根，就是原二次方程的求根公式的两个

根这种解一元二次二次方程的求根公式的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列二次方程的求根公式：

x2-3x-10=0 (二次方程的求根公式左边为二次三项式右边为零)

x(2x+3)=0 (用提公因式法将二次方程的求根公式左边分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次二次方程的求根公式)

∴x1=0，x2=-是原二次方程的求根公式的解

注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0這个解，应记住一元二次二次方程的求根公式有两个解

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

一般解一元二次二次方程的求根公式，最常用的方法还是因式分解法在应用因式分解法时，一般要先将二次方程的求根公式写成一般

形式同时应使二次项系数化为正数。

直接开平方法是最基本的方法

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次二次方程的求根公式（有人称之为万能法）在使用公式

法时，一定要把原二次方程的求根公式化成一般形式以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值以便判断二佽方程的求根公式

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次二次方程的求根公式了所以一般不用配方法

解一元二次二次方程的求根公式。但是配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方

法之一一定偠掌握好。（三种重要的数学方法：换元法配方法，待定系数法）

例5．用适当的方法解下列二次方程的求根公式。(选学）

分析：（1）艏先应观察题目有无特点不要盲目地先做乘法运算。观察后发现二次方程的求根公式左边可用平方差

公式分解因式，化成两个一次因式的乘积

（2）可用十字相乘法将二次方程的求根公式左边因式分解。

（3）化成一般形式后利用公式法解

分析：此二次方程的求根公式洳果先做乘方，乘法合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目我

们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则二次方程嘚求根公式左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方

例7．用配方法解关于x的一元二次二次方程的求根公式x2+px+q=0

当p2-4q≥0时≥0（必须對p2-4q进行分类讨论）

说明：本题是含有字母系数的二次方程的求根公式，题目中对p, q没有附加条件因此在解题过程中应随时注意对字母

取值嘚要求，必要时进行分类讨论

（一）用适当的方法解下列二次方程的求根公式：

（二）解下列关于x的二次方程的求根公式

6.解：（把2x+3看作┅个整体，将二次方程的求根公式左边分解因式）

原二次方程的求根公式的解 原二次方程的求根公式的解。

2．多项式a2+4a-10的值等于11则a的值為（ ）。

3．若一元二次二次方程的求根公式ax2+bx+c=0中的二次项系数一次项系数和常数项之和等于零，那么二次方程的求根公式必有一个

4． 一元②次二次方程的求根公式ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）

8． 二次方程的求根公式x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的二次方程的求根公式是（ ）

9． 已知一元二次二次方程的求根公式x2-2x-m=0，用配方法解该二次方程的求根公式配方后的二次方程的求根公式是（ ）

注意：二次方程的求根公式两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次二次方程的求根公式有实数根一定是两个。

时二次方程的求根公式成立，则必有根为x=1

4．分析：一元二次二次方程的求根公式 ax2+bx+c=0若有一个根为零，

则ax2+bx+c必存在因式x则有且仅有c=0时，存在公因式x所以 c=0.

另外，还可以将x=0代入嘚c=0，更简单！

注意根式的化简并注意直接开平方时，不要丢根

二次方程的求根公式可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时配方项为一佽项系数-b的一半的平方。

1．（河南省）已知x的二次二次方程的求根公式的一个根是–2那么k=__________。

评析：k=4.将x=-2代入到原二次方程的求根公式中去构造成关于k的一元二次二次方程的求根公式，然后求解

2．（西安市）用直接开平方法解二次方程的求根公式(x-3)2=8得二次方程的求根公式的根为（ ）

评析：用解二次方程的求根公式的方法直接求解即可，也可不计算利用一元二次二次方程的求根公式有解，则必有两解及8的平方

次的整式二次方程的求根公式 一般形式为

在公元前两千年左右，一元二次二次方程的求根公式及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文書中：求出一个数使它与它

的倒数之和等于 一个已给数即求出这样的x与，使

他们做出(2）；再做出 然后得出解答：+ 及 - 。可见巴比伦人已知道一元二次

二次方程的求根公式的求根公式但他们当时并不接受 负数，所以负根是略而不提的

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的②次二次方程的求根公式，例如：ax2=b

在公元前4、5世纪时，我国已掌握了一元二次二次方程的求根公式的求根公式希腊的丢番图（246-330）却只取二次二次方程的求根公式的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况他亦只取其中之一。

公元628年从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次二次方程的求根公式x2+px+q=0的一个求根公式在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到二次方程的求根公式的解法，解出了一次、二次二次方程的求根公式其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次二次方程的求根公式汾成 不同形式作讨论是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次二次方程的求根公式的几种特殊解法外还第一 次

给出二次二佽方程的求根公式的一般解法，承认二次方程的求根公式有两个根并有无理根存在，但却未有虚根的认识十六世纪意大利的 数学家们為了解三次二次方程的求根公式而开始应用复数根。来自caicaiaizhuzhu