高中数学|三角函数公式大全（含解题方法），吃透至少提高20分
三角函数类的问题对于很多学生来讲，都是一种难题来的！很多在高中数学大大小小的考试中，最怕就是遇到三角函数，什么sincos……
到底怎么能够巧解三角函数的相关问题呢？
理解记忆，结合图像理解，开始慢点写，一步一步来，建系、画图，甚至描点之类的。了解为什么要这么做，这么做有什么好处。然后记忆公式，多做题目，也别盲目做题，要做那些经典例题，1-2题，到位就行了，理解就够了，做多了反而浪费时间。
三角函数要记住三角恒等变换的一些式子，最好记下和差化积、积化和差公式（记不住不是什么大问题），记住辅助角公式，然后在脑海中自然建立模型。知道平移之类的，就差不多够了。最值问题就是最常见的了。
下面是就大家分享一下针对三角函数的求值方面整理的解题方法，希望对大家有所帮助！
方法一 切割化弦
方法二 统一配凑
方法三 公式活用
求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。
方法一 配方法
方法二 化一法
方法三 直线斜率法
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高三数学三角函数与平面向量
[导读]专题一 三角函数与平面向量 一、考纲要求 知识要求：三角函数 （1） 能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简 （2） 理解和掌握三角函数的图像及性质 （3） 能用正弦定理、余弦定理解三角形问题 平面向量 （1） 能灵活运用平面向量的数量积解决有关问题 （...
三角函数与平面向量
一、考纲要求
知识要求：三角函数
能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简
理解和掌握三角函数的图像及性质
能用正弦定理、余弦定理解三角形问题
　　　　　　　平面向量
　　（1） 能灵活运用平面向量的数量积解决有关问题
　　（2） 理解和掌握平面向量的几何运算、坐标运算
　　（3） 理解和掌握平面向量的平行和垂直关系
能力要求：培养观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力和创新意识
二．考点解读
　　高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。
　　平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。但同时，平面向量的工具性不容忽视。以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。
　　关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。（4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。
三．考题预测
　　预测题1、已知函数则下列判断正确的是（
A．此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是
B．此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是
C．此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是
D．此函数的最小正周期为,其图象的一个对称中心是
　　参考答案：=，
　　　　所以，对称中心是。所以选B。
　　命题意图与思路点拨：本题考查三角函数的简单变形和三角函数图像的基础知识。
　　预测题2、已知P是内一点，且满足0，记、、
的面积依次为、、，则：：等于（
A、1：2：3
B、1：4：9
D、3：1：2
　　参考答案：取AC、BC中点D、E，连接PA、PB、PC、PD、PE，由　　0，即
　　由此可知，：：=3：1：2
　　命题意图与思路点拨：本题考查平面向量几何运算和向量的线性关系。
　　预测题3、若=（-8，1），=（3，4），则在方向上的射影是
　　参考答案：根据向量数量积的定义可知，在方向上的射影是||||===　　命题意图与思路点拨：本题考查向量数量积的基础概念和向量的基本运算。
　　预测题4、函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，
则的取值范围是__________。
　　参考答案：
，结合图像可得1&k&3
　　命题意图与思路点拨：本题考查三角函数的简单性质和三角函数图像的基础知识。
　　预测题5、已知，，=，=，求的值
　　参考答案：
=　　　　　　　　
　　　　　　
　　命题意图与思路点拨：本题考查三角函数的有关运算，特别是分析其中三角函数式的差异、角的差异，利用所学公式进行合理变形 。
　　预测题6、已知向量，．
　　（1）当，且时，求的值；
　　（2）当，且∥时，求的值．
　　参考答案：
（1）当时，，
　　上式两边平方得，因此，．
　　（2）当时，，由∥得 ．即．
　　命题意图与思路点拨：本题考查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题。
三角函数与平面向量训练反馈
1、已知向量=（），=（2，），且，则由的值构成的集合是（
A、｛0，2，3｝
B、｛0，2｝
D、｛0，-1，6｝
2、设,且,则
3、已知向量,且则一定共线的三点是
4、函数的值域是
5、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝，a＋c＝4，求a的值.
6、已知向量
函数 ， ，
（1）要得到的图象，只需把的图象经过怎样的平移或伸缩变换？
（2）求的最大值及相应的x．
三角函数与平面向量训练反馈参考答案
1、解：因为，所以0，可得（）?2+3?=0
　　所以=0，2，又因为、必须为非零向量，所以=2，所以选C
2、解：原式等价于 ，所以
，结合图像知，选C
3、解： ，所以A、B、D三点共线
4、解：=2==又 且
5、解：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和的三角函数等基础知识和利用三角公式
进行恒等变形的技能，考查运算能力和逻辑思维能力
　　（1）解法一：由正弦定理＝＝＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
得，即 ，　　　 ，
∵ A＋B＋C＝，
∴ sin(B＋C)＝A∴∵ sinA≠0， ∴ cosB＝－，
又角B为三角形的内角，故B＝.
解法二：由余弦定理cosB＝，cosC＝，
　　　　　　代入中，
　　　　整理，得
∴ cosB＝＝＝－，
又角B为三角形的内角，故B＝.
　　（2）将b＝，a＋c＝4，B＝，
代入余弦定理，得
a＝1或a＝3.
6、解：（1）==
　　　　　　　　====所以要得到的图象只需把的图象向左平移即可．
　　　　　=－=
　　　当 ，即时，取得最大值
　　一、考纲要求
　　知识要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；（3）了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；（4）会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率.
　　能力要求：考查学生分类讨论、等价转化、抽象概括等分析和解决问题的能力.
　　二、考点解析
　　概率应用问题仍是高考考查学生实践能力的热点问题.问题背景多联系生活实际，有时大胆创新、构思新颖，综合考查多种分支知识及多种思想方法，在知识网络的交汇处设计试题. 一般通过模球类的问题、元素分配类问题、计数类问题等，来考查学生利用排列组合知识求等可能性事件的概率，以及考查互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等概率问题的掌握和应用. 值得注意的是对经典概率问题加以包装，以新情境呈现，也是命题试题的重要途径（如2006年江苏卷10属经典问题中的"结草成环"）. 2006年江苏高考对应用问题的考查，采用了一小一大的形式，大题开始关注传统的应用问题，小题着重于概率问题，这一命制策略，更有利于让概率考查出新，更能灵活地考查学生的分类与整合的应用能力，因而有较为理想的区分度. 后期练习中应注意构造一些新情景问题，使学生能从问题的外表中揭示出本质.
　　三．考题预测
　　预测题1．从数字，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率是（
　　参考答案：D.
　　命题意图与思路点拨：本题根据高中数学课本第二册（下B）第128页例3拓展编拟，主要考查学生等价转化、分类讨论和图示法研究问题的能力.个位数字依次为1，2，3，4，5时，前两位数字之和依次为8，7，6，5，4，依次有3，4，5，4，3种三位数的结果.故三个数位数字之和等于9 的概率为.
　　预测题2．口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有 放回的每次模取一个球，定义数列：
如果为数列的前n项之和，那么的概率为（
　　参考答案：B.
　　命题意图与思路点拨：本题考查学生分析等可能性事件、独立重复试验等解决问题的能力. 的概率为.
　　预测题3．A、B两位同学各有3张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时，A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片. 如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止. 那么在7次内游戏终止的概率为
　　参考答案：.
　　命题意图与思路点拨：本题考查学生运用分类与整合的思想，分析和解决问题的能力.7次内游戏若A赢，则意味着卡片正面向上的次数要比卡片向下的次数多3，因而7次内游戏终止的概率为.
　　预测题4．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲方手中的概率为
　　参考答案：.
　　命题意图与思路点拨：本题考查学生运用分类与整合的思想，分析和解决问题的能力.中间有4次接球，第2次、第3次接球的人员有3种分类：甲第2 次接球、甲第3次接球、甲没有接球，故经过5次传球后，球仍回到甲方手中的概率为.
　　预测题5．甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和. 假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.
　　(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
　　(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
　　(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击. 问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？
　　参考答案：
(1)甲射击4次，全部击中目标的概率为： ，所以，甲射击4次至少1次未击中目标概率为(2)甲、乙两人各射击4次，甲恰好击中2次且乙恰好击中3次的概率为. (3)乙恰好射击5次后，被中止射击，意味第3次射击击中目标，第4，5次射击未击中目标，第1，2次射击，至少有1次击中目标. 所以，乙恰好射击5次后，被中止射击的概率为：或
　　命题意图与思路点拨：（1）考查学生求对立事件的概率；（2）考查学生求相互独立事件及独立重复试验的概率；（3）考查学生运用分类与整合的思想，分析和解决问题的能力.对第（3）问的事件要认真列举分析，分析乙射击的3种情况，搞清分类和分步问题，并准确计算.
　　预测题6．平面上有两个质点A，B，在某一时刻开始每隔1秒向上下左右任一方向移动一个单位. 已知质点A向左，右移动的概率都是，向上，下移动的概率分别是和，质点B向四个方向移动的概率均为.(1)求和的值；(2)试判断至少需要几秒，A、B能同时到达D，并求出在最短时间同时到达的概率？
　　参考答案：(1)质点向四个方向移动是一个必然事件，则；.
(2)至少需要3秒才可以同时到达D，则当经过3秒，A到达D点的概率为
.设N，C，H，F，E，M，则经过3秒，B到时达D的可能情境共有9种.
B到达D点的概率为. 又B到达D点与A到达D点之间没有影响，则A，B同时到达的概率为.
　　命题意图与思路点拨：考查学生分类讨论、抽象概括等分析和解决问题的能力. 对第（2）问的事件要认真列举分析，分析所有可能情况，搞清分类和分步问题，并准确计算.
概率训练反馈
　　1．甲乙两赌徒各出等量的赌金，相约谁先胜3局便赢全部赌金，现甲已胜2局，乙已胜1局，因意外原因，赌博中止.假设甲，乙二人每局取胜的概率均为，"两赌徒应分得赌金之比，取决于赌博继续下去，各自成为赢家的概率之比 "(帕斯卡语)，则甲，乙二人应分别分得赌金之比为(
　　A．2：1
B．3：1 C．4：3 D．3：
　　2．如图是一个正方体纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方体，相对面上的两个数的和都相等的概率是（
　　3、事件、、相互独立，如果(?) = ，(?) = ，(??) = ，则(?) =
　　4．中央电视台某综艺节目的舞台设在中央，四周分为4个观众区域，现有4种颜色的服装可供选择，用于区别不同区域，则相邻区域（包括中央区域）着不同颜色服装的概率为
　　5．在一次智力竞赛中，比赛共分二个环节：选答、抢答，第一环节"选答"中，每位选手可以从6道题目（其中4道选择题、2道操作题）中任意选3道题目作答；第二环节"抢答"中，一共为参赛选手准备了5道抢答题，在每一道题目的抢答中，每位选手抢到的概率是相等的；试求
　　(1)乙选手在第一环节中至少选到一道操作题的概率是多少？
　　(2)在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的概率是多少？
　　6．从原点出发的某质点M，按照向量移动的概率为，按照向量移动的概率为. 设M可到达点的概率为.
　　(1)求，；(2)求证；(3)求的表达式 .
概率训练反馈参考答案
5．(1)在第一环节中，乙选手可以从6道题目（其中4道选择题、2道操作题）中任意选3道题目作答，一共有种不同的选法，其中没有操作题的选法有种，所以至少有一道操作题的概率是.(2)在第二环节中，甲选手抢到的题目多于乙选手而不多于丙选手的情况共有以下三种情况：甲、乙、丙三位选手抢到题目的数目分别为：1，0，4；2，0，3；2，1，2. 所以，所求概率为：.6．(1)点M到达点的概率，点M到达点的事件由两个互斥的事件组成：①"点M先按向量移动到达点，再按照向量移动到达点"，此时概率为；②"点M先按向量移动直接到达点"，此时的概率为. 于是所求概率为：，.
　　(2)M点到达由两个互斥的事件组成：①"从点按照向量移动"，此时概率为；②"从点按照向量移动"，此时概率为，于是，即；
　　(3)由(2)可知，数列是以为首项，公比为的等比数列，即，故.
　　一、考纲要求
　　9（A）．直线、平面、简单几何体
　　考试内容：
　　平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
　　平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
　　直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．
　　平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．
　　多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
　　考试要求：
　　（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
　　（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．
　　（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理．
　　（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．
　　（5）会用反证法证明简单的问题．
　　（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
　　（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
　　（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．
　　（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．
　　9（B）．直线、平面、简单几何体
　　考试内容：
　　平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．
　　平行直线．
　　直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．
　　两个平面的位置关系．
　　空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．
　　直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．
　　直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．
　　平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．
　　多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．
　　考试要求：
　　（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．
　　（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
　　（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘．
　　（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念．掌握空间向量的坐标运算．
　　（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式．
　　（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．
　　（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
　　（8）了解多面体、凸多面体的概念．了解正多面体的概念．
　　（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．
　　（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图。
　　（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式．（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）
　　二、考点解读
　　立体几何的主要任务是培养学生的空间想像能力，当然推理中兼顾逻辑思维能力的培养，几何是研究位置关系与数量关系的学科，而位置关系与数量关系可以相互转化，解决立体几何的基本方法是将空间问题转化为平面的问题，即空间问题平面化，平面化的手法有：平移（包括线、面、体的平移）、投影、展开、旋转等变换。
　　空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力.主要表现为识图、画图和对图形的想像能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换.对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志。
　　三、考题预测
　　预测题1
如图， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是（
B．45° C．30°
　　参考答案：连结AB1，则AB1∥EF，又CD∥AB，∴EF与CD所成角等于AB1与AB所成角，即∠B1AB为45°，故选B．
　　命题意图与思路点拨：运用中位线定理及平行四边形实施平移，将空间问题平面化。
　　预测题2
如图，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AMMN，若侧棱长SA=，则正三棱锥S-ABC的外接球的表面积为
　　参考答案：三棱锥S-ABC正棱锥
SBAC（对棱互相垂直）
　　又MNAM
　　MN平面SAC
即SB平面SAC
　　ASB=BSC=ASC=
　　将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球
S===9 ，故选A．
　　命题意图与思路点拨：认识正三棱锥的线面关系，整体构图。
　　预测题3
过正三棱锥的一条侧棱PA及外接球的球心O所作的截面如图,则此正棱锥的侧面三角形的顶角的余弦值为
　　参考答案：如图, OP=OA为外接球的半径,设OA=,则正三棱锥的侧棱长PA=,底面三角形的边长AB=所以在侧面三角形中, 由余弦定理得
　　命题意图与思路点拨：想象多面体与球的关系。
　　预测题4如图,矩形中,沿对角线将△折起得到△且点在平面上的射影落在边上,记二面角的平面角的大小为，则的值等于
　　参考答案：,
面又平面是二面角的平面角.
　　命题意图与思路点拨：认识线面关系，求二面角
　　预测题5
在五棱锥中，，，
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点C到平面PDE的距离.
　　参考答案：（1）证明：，
即,　同理平面ABCDE
　　（2）解：，,过作于，则，平面,过作于H，连
由三垂线定理得
为二面角的平面角,
　　在中， ,
　　在中，，
二面角的大小为
（3）解：， ，
取中点，连，
四边形为平行四边形
而平面，平面平面　点到平面的距离等于点到平面的距离　平面　又，
平面PAE　平面,　的长即为点到平面的距离
　在中，，为中点，
点到平面的距离为
命题意图与思路点拨：认识多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离
　　预测题6
如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的大小．
　　参考答案：证明：连接，是正方形，∴，又，
∴平面，∴，又，∴平面，∴（2）解：在平面中，过点作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，∴，
在中，，点到平面的距离为．
解法2：用等体积法，设点到平面的距离为，
在中，为直角三角形，由得，∴ ，∴点到平面的距离为．
（3）解：取线段的中点，连接，则，，∴，再取线段的中点，连接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中， ，，取线段的中点，连接，则，在中，，∴，由余弦定理知，
∴二面角的大小为．
空间向量解法：
（1）证明：用基向量法． 设，，，，，，，，
∴，∴，∴，，∴，∴，即，
（2）解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算．
以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系．则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，∵， ∴，∴，令，则，，得．
，求点到平面的距离
（3）解：设平面的一个法向量为．
∵， ∴，，令，则，，得．又设平面的一个法向量为∵，
∴∴，令，则，，得．
，∴二面角的大小为．
或者，的中点的坐标为，，， ，∴，
∴二面角的大小为．
　　命题意图与思路点拨：认识多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离：认识多面体中的线面关系，求点到平面的距离、二面角
立体几何训练反馈
1．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为 （
A．8 B．16 C．32 D．64
2．如图，在正三角形中，分别为各边的中点，分别为的中点，将沿折成正四面体，则四面体中异面直线与所成的角的余弦值为（
3．如图，已知平面平面，、是平面与平面的交线上的两个定点，，且，，，，，在平面上有一个动点，使得，则的面积的最大值是（
4．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90o，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，E为PD的中点．
(1) 求证：CE∥平面PAB；
(2) 求PA与平面ACE所成角的大小；
(3) 求二面角E－AC－D的大小．
5．如图，已知斜三棱柱中，侧面与底面垂直，且.
（1）求证：；
（2）若N为的中点，问侧棱上是否存在
一点M，使平面成立，并说明理由；
（3）求二面角的大小（用反三角函数表示）
立体几何训练反馈参考答案1．C2．D3．C4．(1) 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则
FE∥BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四边形，
∴CE∥BF，而BF?平面PAB，∴CE∥平面PAB．
(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EG∥AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则∠GEH为直线EG与平面ACE所成的角．现用等体积法来求GH．
∵VE－AGC＝S△AGC?EG＝
又AE＝，AC＝CE＝，易求得S△AEC＝，
∴VG－AEC ＝??GH＝VE－AGC＝，∴GH＝
在Rt△EHG中，sin∠GEH＝＝，即PA与平面ACE所成的角为arcsin．
(3) 设二面角E－AC－D的大小为?．
由面积射影定理得cos?＝＝，∴?＝arccos，即二面角E－AC－D的大小为arccos．
向量解法：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角系．则
A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，E(0，1，1)，
→＝(2，1，0)，→＝(0，1，1)，→＝(0，0，2)．
设平面ACE的一个法向量为= (x，y，z)．
∵⊥→，⊥→， ∴，==&
令x＝1，则y＝－2，z＝2，得＝(1，－2，2)．
(2) 设点P在平面ACE上的射影为Q，由共面向量定理，
设→＝m→＋n→＋(1－m－n)→，得
　　PQ,\d\fo1(→＝m(0，0，－2)＋n(2，1，－2)＋(1－m－n)(0，1，－1)
　　　＝(2n，1－m，－m－n－1)．
∵→⊥→，→⊥→，∴eq \o(PQ,\d\fo1(→==&解得m＝，n＝－．
∴PQ,\d\fo1(→＝(－， ，－)，∴|PQ,\d\fo1(→|＝.
设PA与平面ACE所成角为?，则sin?＝eq \o(PQ,\d\fo1(→＝，∴?＝arcsin．
别解：易得向量→在n上的射影长为d＝=
　　设PA与平面ACE所成角为?，则sin?＝eq \o(AP,\d\fo1(→＝，∴?＝arcsin．
(3) 显然，→为平面ABCD的法向量，cos&,→&＝＝.
　　∴二面角E－AC－D的大小为arccos ．
5．（1）证明：由题意侧面底面，且
　　平面，
　　，且，为等边三角形，
　　∵平面，∴在平面上的射影为，
　（2）解：当为侧棱的中点时，有平面成立，证明如下：
分别取中点，连接，则。
∴平面，平面，∴平面平面，
　　∴平面。
　　（3）解：取的中点，连接，则有，
　　∴为二面角的平面角，在中，　　
　　∴二面角的大小为。
　　∴二面角的大小为　　专题四
　　一、考纲要求
　　1、掌握直线的斜率、倾斜角的概念，直线方程的各种形式以及距离和角度、平行和垂直；
　　2、掌握简单的线性规划问题；
　　3、掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程和椭圆的参数方程；
　　4、灵活和综合运用椭圆、双曲线、抛物线（中心都在原点）的标准方程和几何性质解决有关问题。
　　二、考点解读
　　1、直线与圆的问题常与其他知识综合考查，主要与三角、向量、平面几何等知识进行交汇，强调图形的运用。主要以选择题、填空题等形式出现；
　　2、直线与圆锥曲线的基础题，涉及定义、标准方程、性质，尤以定义的运用为多；
　　3、直线与圆锥曲线的位置关系中涉及交点、弦长、中点、垂直、对称的问题以及直线与圆锥曲线有关的轨迹问题，主要使用设而不求、点差法、一元二次方程的根与系数关系、判别式求解。
　　4、直线与圆锥曲线中的范围、最值、定值问题，主要难点是目标式的确定及隐合条件的挖掘；
　　5、与平面向量的综合，主要是向量语言与图形语言、字母表达式的相互转化。
　　三、考点预测
　　预测题1已知动点P（）满足，则点P的轨迹是（
　　（A）圆
（B） 椭圆
（C） 双曲线
（D）抛物线
　　参考答案1
　　命题意图与思路点拨：复习圆锥曲线的统一定义，点点距离，点线距离，强调对相关知识本质理解。
　　预测题2（2006年广东）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（
　　（A）[6，15]
（B）[7，15]
（C）[6，8]
（D）[7，8]
　　参考答案2
　　命题意图与思路点拨：复习线性规划问题的解法，引入参数使问题动态化。通过分类讨论化为常见问题，体会分类讨论思想和化归思想在解决问题中的作用。
　　预测题3已知直线（其中）与圆交于，O是坐标原点，则?= _________________
　　参考答案3
　　命题意图与思路点拨：复习直线与圆的位置关系，向量的数量积，重视图形的作用。
　　预测题4已知双曲线的左准线为，左、右焦点分别为，抛物线的准线为，焦点为，若与的一个交点为P，则= _____________
　　参考答案4
　　命题意图与思路点拨：复习圆锥曲线的定义的运用，重视转化思想。
　　预测题5长度为的线段AB的两个端点A、B在抛物线上运动，求AB中点到轴的最短距离。
　　参考答案5
解：设A（），B（），M（）　　则　　　　　　令，则[1，+∞）
可证u = 在上递减，在[∞）上递增
　　∴当≥1时，；
　　当≥1时，；
　　命题意图与思路点拨：综合运用函数方程、不等式有关知识解决解析几何的范围、最值问题，强调代数方法的运用。
　　预测题6
若、为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支，在右准线上，且满足，
　　（1）求双曲线离心率；
　　（2）若双曲线过点N（2，），它的虚轴端点为，（在轴正半轴上）过作直线与双曲线交于A、B两点，当⊥时，求直线的方程。
　　参考答案6解：1）由四边形是平行四边形
又四边形是菱形
设半焦距为C，则有∴=，由2）由1）可设双曲线，过N（2，）
A（），B（）
，，由⊥（满足前述条件）
　　命题意图与思路点拨：解析几何与向量的综合以及充分运用一元二次方程的有关理论解决问题，强调几何图形的作用。　　专题四
解析几何训练反馈
　　1、已知约束条件，目标函数的最小值为，则常数等于（
　　（A） 2
　　2、（2006年湖北）椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若
　　△是直角三角形，则到轴的距离为（
　　3、过点（0，1）斜率为的直线与圆交于两点，且关于直线对称，不等式表示的平面区域的面积是________
　　4、已知为原点，在圆上，点满足，
　　则?=_________
　　5、是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线为，分
　　别是左、右焦点，若，则到双曲线右准线的距离是______________
　　6、已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，斜率为1，且过右焦点F的直线交椭圆于A、B两点。与共线。
　　（1）求椭圆离心率；
　　（2）设为椭圆上任一点，（），求证为定值。
　　7、已知A（），B（）（）是抛物线上两动点，O是坐标原点，向量、满足|+| = |-|，圆C的方程是
　　（1）求证：线段AB是圆C的直径；
　　（2）当圆C的圆心到直线的距离最小值为时，求值。
解析几何训练反馈参考答案
7、（2）先求圆心轨迹方程　　专题五
　　一、考纲要求
　　知识要求：（1）理解数列的概念，了解数列的通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据数列的递推公式写出数列的前几项.
　　（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式 与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
　　能力要求：培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力.
　　二．考点解读
　　数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。纵观近几年全国各地的数学高考试题，数列约占总分的10%-15%，考查的重点是等差、等比数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，在选择、填空题中，突出了"小、巧、活"的特点；解答题以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要内容。试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想以及待定系数法、配方法、换元法、消元法等基本数学方法。
高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
　　三．考题预测
　　预测题1．已知公差不为零的等差数列与等比数列满足：，那么(
　　Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　Ｄ．
　　参考答案：C
　　命题意图与思路点拨：本题考查等差数列和等比数列的基础知识。
　　预测题2已知数列｛an｝，首项，它的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S20＝（
　　参考答案 ：A
　　命题意图与思路点拨：本题是数列与向量的综合题，应用向量知识很容易把问题转化为等差数列问题。
　　预测题3．用类比的方法填写下表中的空白：
等差数列中
等比数列中
　　参考答案：
　　命题意图与思路点拨：本题考查学生用类比的数学思想方法解题的能力，教学过程中，教师应引导学生注重等差数列和等比数列知识的对比学习。
　　预测题4．定义一种运算""对于正整数满足以下运算性质：
（1）；（2）,则的值是
　　参考答案：
　　命题意图与思路点拨：本题考查学生观察、分析、归纳、转化的能力，本题的实质就是通过等比数列的通项来求解。
　　预测题5．已知数列，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1=1，对任意正整数n，
（1）令证明是等比数列，并求的通项公式；
（2）令的前n项和，求
　　参考答案：（1）证明： ①由题知　　　　又由①
　　　　是等比数列，公比q=2，
　　　　 又由
　　命题意图与思路点拨：1．本题主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
　　预测题6．在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。
　　⑴求点的坐标；
　　⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。
　　⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。
　　参考答案：解：（1）
（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：
把代入上式，得，的方程为：。，=（3），　　
　T中最大数.
　设公差为，则，由此得
　　命题意图与思路点拨：本题为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。
数列训练反馈
1．已知数列{an},那么"对任意的nN+,点Pn(n ,an)都在直线y=x+1上"是"{an}为等差数列"的（
B 充分条件
既不充分也不必要条件
2．定义：一个没有重复数字的n位正整数，各数位上的数字从左到右依次成等差数列，称这个数为期望数，则由1,2,3,4,5,6,7构成的三位数中期望数出现的概率为（ ）
A． B． C． D．
则　a∈4．数列的一个通项公式
5．已知数列{an}的前n项和为Sn, a1＝1, an＋1＝2Sn＋1 （nN＋）。
（1）求数列{an}的通项;
（2）等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn，且T3＝15, 又a1＋b1, a2＋b2,
a3＋b3成等比数列，求Tn.
6设｛an｝是集合｛2t+2s| 0≤ s&t 且 s,t∈Z｝中所有的数从小到大排成的数列，即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12...，将数列｛an｝各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：
（1） 写出这个三角形数表的第四行，
　　　第五行各数
（2） 求a100
数列训练反馈参考答案
5．解：（1）当n＝1时,a1＝1,a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3
　　当n≥2时,由an＋1＝2Sn＋1, an＝2Sn－1＋1得an＋1－an＝2（Sn－Sn－1）＝2an
　　即an＋1＝3an，∴an＝a2?3n－2＝3n－1
　　综上: an＝3n－1（nN＋）
　　（2）设{bn}的公差为d,由T3＝15得 b1＋d＝5 ............①
　　再由a1＝1,a2＝3,a3＝9及a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3成等比数列得
　　（3＋5）2＝（1＋b1）（9＋b1＋2d）
............②
　　联立①,② 解得或
　　数列{bn}的各项为正数 ∴应舍去
　　∴bn＝2n＋1，∴Tn＝＝n（n＋2）
6．解：第四行：17
　　建立映射：2t+2s(s,t)
　　则数组可表示为 （0，1）
　　　　　　　　
（0，2），（1，2）
（0，3），（1，3） （2，3）...（0，t）, (1 ,t)
... (s ,t)
a100是第100个数位于第14行第9列可以为（8，14）即a100=28+214=16640　　专题六
函数的性质与简单应用
一、考纲要求
　　A. 指数与对数，反函数；
B. 函数的有关概念，函数关系的建立，指数与对数函数图像与性质；
C. 函数的基本性质，函数的综合运用。
二．考点解读
　　高考对数学基础知识的考查，重点突出，对于支撑学科知识体系的重点内容要求占较大比例，不刻意追求覆盖面，会继续突出对主干知识的考查力度。函数是整个高中数学的核心内容，所有知识均可以与函数建立联系，都可围绕这一主线展开。
　　函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。
　　函数图像是函数形的体现，着力考查学生作图、识图、用图能力。作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题代数化。具体体现在给出函数解析式或函数满足的条件确定函数图像，或给出函数图像求解析式，或给出函数图像确定解析式中参数的值或取值范围或考查函数的初等变换。应学会结合图像记忆性质，反过来利用性质确定图像。
　　高考中函数应用题是应用题考查的重点，试题背景公平，设问新颖灵活而解题涉及的知识思想、方法都是高中数学所要求掌握的内容。函数问题通常有三种来源：一是通过改编的与实际生活相关的应用题，二是与其他学科有关联的应用题，三是从社会热点出发，有实际生活背景，题意新颖的数学问题。解决应用题，抓好"审题--建模--解模--评价"关。建立函数关系式是数学应用问题的关键，常见模型有：正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，三次函数及几个函数模型的组合等。
　　要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法和解析几何方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
　　运用函数观念找出解决函数与方程、函数与数列、函数与不等式、函数与线性规划、函数与解析几何、函数与导数的内在联系，把握反函数关系，函数恒等式，函数图像对称性与周期性的实质，不断提高理性思维的层次，学会用"观察、猜测、抽象、概括、证明"发现问题，解决问题。对函数中产生的知识背景心中有数，死盯解题目标，搭建条件向目标转化的平台。
　　要重视并加强一些小结论形成过程的理解。
　　例如：设函数的定义域为，则有
　　①如恒成立函数图像关于对称；
　　②如经过变换得到两函数和，则所得两个函数图像关于对称；
　　③如恒成立函数是以为周期的周期函数；
　　④如恒成立函数图像关于点对称；
　　⑤如函数的图像关于对称，又关于对称，则函数一定是以为一个周期的周期函数；
　　⑥如函数的图像关于对称，又关于点对称，则函数一定是以为一个周期的周期函数；
　　再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如，，
　　再如：指数函数图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。
三．考题预测
　　预测题1、单位圆中弧长为，表示弧与弦
所围成弓形面积的2倍。则函数的图像是（
　　参考答案：解析一：定量分析。可列出，知时，，图像在下方；时，，图像在上方。选D
解二：定性分析。当从增至时，变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D
解三：观察满足：，故图像以为对称中心。选D
　　命题意图与思路点拨：此题考查学生作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。
　　预测题2、设定义域为函数满足且当时，单调递增，如果且，则的值（
A、恒小于0
B、恒大于0
C、可能为0
D、可正可负
　　参考答案：解答：函数满足，关于点对称，
由且，不妨设
，当时，单调递增，故选A　　命题意图与思路点拨：此题考查应用函数性质进行运算变换问题的能力。
　　预测题3、（06上海卷）三个同学对问题"关于的不等式在上恒成立，求实数的范围"提出各自的解题思路：
甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。
乙说：把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数最值。
丙说：把不等式两边看成关于的函数，作出函数的图像。
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的范围是
　　参考答案：解析一：两边同除以，则
当且仅当，两等式同时成立， 所以时，右边取最小值10，
解析二：根据填空题特点，可用数值代入，推算值
设，将上函数值列表如下：14.4.62.579.27
可推算时，取最小值10，
解析三：当，故 时，取最小值10，。（此法需用结论）
　　命题意图与思路点拨：本题作为填空有效考查了学生探究能力与运算变换能力，以学生交流给出的语言作为解题参考，削减难度，探讨不等式恒成立的可能途径，充分考查学生利用函数思想处理恒成立不等式问题能力，题型别致。要重视变量分离方法在解题中的作用。
　　预测题4：已知函数为偶函数，则函数图像关于直线
对称，函数图像关于直线
　　参考答案：图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。
　　命题意图与思路点拨：函数图像对称性是函数奇偶性图像特征的进一步拓展，要学会从函数变换角度去理解图像对称性，以及用函数代换特征去处理函数对称性。
　　预测题5、设是定义在上偶函数，与图像关于直线对称，当时，（为常数）
（1）求表达式；
（2）当，求在上取最大值时，对应的值；
（3）当时，是否存在，使图像最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
参考答案：略解：（1）
　　　　　　　　
（2）当时，取最大值。
（3）当时，取最大值存在，使图像最高点在直线上。
　　命题意图与思路点拨：以多项式函数为载体研究函数的图象与性质，有利于考查学生对函数概念本质的理解与掌握，也是在知识交汇点上考查学生的能力。解决此类问题必须抓住概念进行思考，同时注重知识的综合应用。
预测题6．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k?3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
　　 参考答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
　　(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k?3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，
k?3＜-3+9+2，
3-(1+k)?3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
命题意图与思路点拨：：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k?3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
专题六函数的性质与简单应用训练反馈
1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是
C．g(t)=(t－1)2
D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是
3．已知函数满足：，，则
4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数序号是
5、如图，四边形ABCD是一块边长为4的正方形地域，地域内
有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点，且开口
向右的抛物线（河流宽度不计）。某公司准备建一大型游乐园
PQCN，问如何施工，才能使游乐园面积最大？并求出最大的面积。
6、已知函数
（1）当时，求函数极小值；
（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。
函数的性质与简单应用训练反馈参考答案
1．A。2． C。
3． =2，且　　==164．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，故④错误，填③．
5、以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角
坐标系，抛物线MD方程为。
设P是曲线MD上任一点，则
由导数法知，当时，
6、（1）极小值为
（2）①若，则，的图像与轴只有一个交点；
②若， 极大值为，的极小值为，
的图像与轴有三个交点；
③若，的图像与轴只有一个交点；
④若，则，的图像与轴只有一个交点；
⑤若，由（1）知的极大值为，的图像与轴只有一个交点；
综上知，若的图像与轴只有一个交点；若，的图像与轴有三个交点。
　　一、考纲要求：
　　知识要求：函数、方程、数列、不等式等与代数证明有关的多个知识点。
　　能力要求：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。
　　二、考点解读：
　　代数推理问题综合了函数、方程、数列、不等式等多个知识点，需要采用多种数学思想方法才能解决问题，如函数方程思想、化归思想、分类讨论思想、逻辑推理思想等，是对思维品质及论述水平的全面性考查；能弥补选择题、填空题、简答题的不足，是提高区分度，增加选拔功能的重要题型。在适当降低了对立体几何逻辑推理能力考查的力度后，代数推理问题自然而然地承担了考查考生逻辑推理能力的重任，并且作为压轴题出现在高考试卷中，因而代数推理问题也就成为现在的高考热点问题。
　　解答代数推理问题有一定的规律可循，其一般思维过程分为三步：
　　首先要领会题意--弄清题目的条件是什么？结论是什么？如果条件和结论是用文字表达的，把它翻译成数学语言；
　　其次要明确方向--在审题的基础上，运用数学思想方法，目的明确地对外来的和内在的信息进行提取、转化、加工和传输，从而明确解题的目标和方向；
　　最后要规范表达--采用适当的步骤，合乎逻辑地进行推理和运算，并正确的表述。除此之外，还要注重心理训练，尤其在解题的目标与条件之间跨度较大、较隐蔽时，必须多次尝试、探索，才能找到并实现解题目标。
　　三、考题预测：
　　预测题1定义在R上的函数满足，且在上为增函数。已知且，则的值
C. 可能等于0
可正也可负
　　参考答案：不妨设则，，即从而
　　命题意图与思路点拨：本题考查函数的单调性和对称性等有关知识，考查了等价转化思想和推理论证能力。本题的关键是将和式的符号判断转化为大小比较，再利用单调性达到目的。
　　预测题2定义在R上的函数，对任意实数，都有和，且，则=
　　参考答案：由得
　　，，　　，　　，共进行670次，将上述同向不等式相加可得即
　　由得，，
，，，共进行1005次，将上述同向不等式相加可得，即，从而　　命题意图与思路点拨：本题主要从不等式两边同时出发求解，在解题过程中如果不熟悉函数的性质就无法求出结果。一般来说，如果函数不易具体化或简约化，但可以根据题设中的"桥梁"，使自变量取一些特殊值，使数值特殊化，反复进行，从而达到目标。到底取何特殊值，要经过多种尝试、探索，充分发挥直觉、探索、逆向思维，有利于培养从一般到特殊解决问题的能力。
　　预测题3．过函数的图象上任意一点的切线与轴交于点,求证:.
　　参考答案：由得过点的切线的斜率为，故切线方程为
　　令得切线与轴的交点坐标为，即，
　　由。所以
　　又，由，即
　　综上：
　　命题意图与思路点拨：本题主要考查二次函数的导数、基本不等式和有关证明不等式的基本方法。
　　预测题4．（06天津文）已知数列满足，并且（为非零参数，）
（1）若成等比数列，求参数的值；
（2）设，常数且，
　　证明：
　　参考答案：（1）由已知且得，由得
由得。若成等比数列则即
而，解得。
（2）设，由已知，数列是以为首项，为公比的等比数列，故，则因此，对任意，++...+=。当且时，，所以　　命题意图与思路点拨：本题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前项和公式、等差数列前项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力。
　　预测题5．（06辽宁理）已知，其中，设（Ⅰ）写出；
（Ⅱ）证明：对任意的，恒有
　　参考答案：（Ⅰ）由已知推得，从而有
　　（Ⅱ）当时，
当时，所以在上为增函数。
又函数为偶函数，所以在上为减函数。
所以对任意的恒有=。=，
==。因此结论成立。
　　命题意图与思路点拨：本题考查导数的基本运算，函数的性质，绝对值不等式及组合数性质等基础知识，考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。这类问题以函数为主线，联系其它知识进行推理。利用导数切单调性及用最值放大是关键。
　　命题预测：综上所述，以考查学生的逻辑推理能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力为重点的代数推理题，备受高考命题者的青睐，成为近年高考数学解答题命题的主要题材，常常作为高考数学的把关题或压轴题。鉴于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，题型新颖、内容综合、解法灵活、思维抽象，具有较好的考查效果，因此可以推测代数推理题仍将作为高考考查的重要题型出现，并且会有将新增内容与传统内容有机结合在一起进行设问、置疑的趋势。
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　
代数证明训练反馈
1、已知方程的两个实根为，且满足，设，求证：。
2、已知二次函数的图象与轴有交点为，的图象与轴的交点为。设，求证：的图象与轴的交点一定有一个介于点与之间。
3、设a、b、c是一个三角形的边长,且.
(1)证明: a、b、c均小于.
(2)若,对于整数.证明；
(3)证明:对于整数，。
4、设x1,x2是函数f(x)=(a&0)的两个极值点，且|x1|+|x2|=2
（1） 证明：0&a≤1
（2） 证明：|b|≤
（3） 若函数h(x)=f'(x)-2a(x-x1),证明当x1&x&2且x1&0时，|h(x)| ≤4a
5、已知定义在区间上，且，又是其图象上的任意两个点（）。
（1）求证：函数的图象关于点成中心对称图形；
（2）设直线的斜率为，求证：；
（3）若，求证：。
6、集合A是由适合以下性质的函数构成的；对于任意的，
（1）分别判断函数是否在集合A中？并说明理由；
（2）设函数，试求|2a+b|的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若，且对于满足（2）的每个实数a，存在最小的实数m，使得当恒成立，试求用a表示m的表达式.
代数证明训练反馈参考答案
1、解：据题意可设，则
因为，所以，，
从而有，即。
2、证明：因为是二次函数，且定义域为R，所以如果满足条件的点存在，则与必异号，于是，把形的问题转化成数的问题。
由已知，，则==
3、解：（1）不妨设，那么由题意知得
所以，从而推知，。故命题成立。（2）因为，则所以。
（3） 不妨设，则由（2）可知，同理得，
又由（1）知则，于是4、解：（1）f'(x)=ax2+bx-a2
x1,x2是方程f'(x)=0的两个实数根
x1x2= -a&0
∴|x1|+|x2|=| x1-x2|=2
∴b2=4a2-4a3≥0∴0&a≤1
（2）由（1）知b2≤4a2-4a3（0&a≤1）的最大值
（3）f'(x)=a(x-x1)(x-x2)
h(x)= a(x-x1)(x-x2-2)
|h(x)| ≤a(==4a
5、解析：（1）由题意易知，所以，而由于函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称，所以经过平移可知的图象关于点成中心对称图形；
（2）由题意可知由于，故可得
（3）由题意并结合第（2）小题可知
①又　②由①+②得
6、解：（I）
证明：任取，且，则因为所以，，
所以，，也即：；
对于，只需取则
而，所以，
（II）因为属于集合A，所以，任取，则
设，则上式化为：
①式对任意的恒成立，即②式对恒成立，
所以，，即
（III）由可知：.
又由（II）可知：，所以，
i）当时，为单调递增函数，令ii）当时，
此时，，且当时，的最小值为
若，即时，为方程的较小根.所以，若，即时，由于在上单调递增，所以，为方程的较大根，所以，.
综上可知：.
高三数学三角函数与...
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