养成教育培训学校 五年级奥数精品讲义 （内部资料）

奥数课堂精讲内容系列丛书

这个夏季，我陪您度过 提高成绩，从这里开始

本教辅资料于 2014 年秋季编写，针对于粽营镇所有对数学 感兴趣的小学六年级，集各大精品讲师之长，兼容教材，学生学 习资料，教辅资料，课外掌握的知识，特准备了一份属于六年级 的专用教辅资料。 随着国内应用数学,数学建模,数学思维开拓程度的不断加深， 奥林数学匹克（奥数）也变的日益重要。在高等教育与学前教育 日益突出的今天，您想输在人生的起跑线上吗？ 养成教育教你从一个优秀的学生变为一个从数以千万同龄 人脱颖而出的尖子生！！！让您实现从奥数改变数学到知识改变 命运的大踏步跨越，能不能蜕变完全取决于您的态度。 养成教育奥数教辅资料分模块为学生展示了由易到难，由 分散到综合的阶梯式授课内容， 本套教辅分精讲和学测练习两大 部分，分侧重点为学生灌输各种数学思维方法，让学生真正享受 乐学，活学，精学的过程。 对于每一位学生来说，你是自己人生的导师，对待自己， 我们要用和别人不一样的方法， 或者说我们要有一套自己的学习 方式，那就是选择奥数辅导班。

老师寄语：选择养成就是选择不一样的数学，不一样的 人生！！！

注：本教材需配合暑假班课堂练习题和暑假班家庭作业共同使用

循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要 利用运算定律进行简算的问题．

1992，那么 a 是多少? 【分析与解】

? ? ． ? ? ， 6 =0. 285 7 a 因此，真分数 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是 7

a 的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变 7

正确结果该是多少? 【分析与解】

? ? 与 0.179672 ? ? 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近 5．将循环小数 0.027

似值的最后一位小数是多少? 【 分 析 与 解 】

6. 将下列分数约成最简分数： 【分析与解】

7. 将下列算式的计算结果写成带分数：

(2)设上题答案为 a ．在算式（1993.81+ a )?○的○内，填入一个适当的一位自然数， 使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是 x ，0.126?79+12

各种具有和差倍分关系的综合应用题， 重点是包含分数的问题． 基本的解题方法是将已 知条件用恰当形式写出或变形， 并结合起来进行比较而求出相关的量， 其中要注意单位 “1” 的恰当选取．

1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的 多少倍? 【分析与解】

1 ，那么甲数是乙数的 8 1 ，设这时的甲 100

甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的

2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和 第二堆里的白子一样多， 第三堆里的黑子占全部黑子的 那么白子占全部棋子的几分之几? 【分析与解】 如下表所示：

2 ． 如果把这三堆棋子集中在一起， 5

设全部黑子为“5”份， 则第三堆里的黑子为“2”份， 那么剩下的黑子占 5-2= “3”份， 而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多， 将第一堆黑子和第二堆白子调换， 则第二堆全 部为黑子． 所以第二堆棋子总数为“3”份， 三堆棋子总数为 3?3=“9”份， 其中黑子占“5”份， 则白子占剩下的 9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的 4÷9=

3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产 8 台机床，并且甲厂 的生产量是乙厂的

12 ，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 13 12 【分析与解】 因为甲厂生产的是乙厂的 ，也就是甲厂为 12 份，乙厂为 13 份，那 13

4．足球赛门票 15 元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降 价多少元? 【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有 1+0.5=1.5． 原来收入为 l?15=15， 降价后收人为 15?(1+ 元，则一张门票降价 15-12=3 元．

5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的 的恰好是没运来的

3 ，第二次运了 50 块．这时，已运来 8

5 ．问还有多少块蜂窝煤没有运来? 7 5 【分析与解】 已经运来的是没有运来的 ，则运来的是 5 份，没有运来的是 7 份， 7 5 5 3 7 也就是运来的占总数的 ．则共有 50÷( - )=1200 块，还剩下 1200? =700 块． 12 12 8 12

6．有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长 13 厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后， 发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的

8 ．问剪下的一段长多少厘米? 13

【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为 21－13=8 厘米． 因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变． 设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为 13-8=5 份，则每 份为 8÷5=1．6(厘米)． 所以，剪后短纸带长为 1.6?8=12.8(厘米)，于是剪去 13-12.8=O.2(厘米)． 方法二：设剪下 x 厘米， 则

即剪下的一段长 0.2 厘米．

7．为挖通 300 米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、 乙两队各掘进了 10 米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的 2 倍，乙队每天的 工作效率总是前一天的 l 【分析与解】 工作量 甲 乙 当天工作量 已完成工作量

1 倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天? 2

8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是 13 公顷．麦地的一半 和菜地的三分之一放在一起是 12 公顷．那么菜地是多少公顷? 【分析与解】如下表所示： 菜地

9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共 1500 棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的

和 30 棵柳树以后，又临时运来 15 棵槐树，这时剩下的 3 种树的棵数恰好相等．问原计划要 栽植这三种树各多少棵? 【分析与解】将杨树分为 5 份，以这样的一份为一个单位，则： 杨树=5 份；柳树=2 份+30 棵；槐树=2 份-15 棵， 则一份为()÷(2+2+5)=165 棵， 有：杨树=5?165=825 棵；柳树=165?2+30=360

10. 师徒二人共同加工 170 个零件，师傅加工零件个数的

1 1 比徒弟加工零件个数的 还多 3 4

10 个．那么，徒弟一共加工了多少个零件? 【分析与解】 我们用“师”表示师傅加工的零件个数， “徒”表示徒弟加工的零件个 数，有：

那么有 7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了 80 个零件．

11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的 1 倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的 3 倍，下午这批工人中有

7 的人去甲工地，其 12

他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需 4 名工人再做 1 天．那 么这批工人共有多少名? 【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”． 甲 上午 下午 乙

于是甲工地一整天平均用了这批工人的 ( ? 工人的 1-

作量，于是乙工地还剩下 1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要 4 人工作 1 天． 而甲、乙工地的工作量为 1.5+1=2.5，那么需 2.5÷0.25? 4=40 人工作 1 天． 所以原来这批工人共有 40-4=36 人．

12．有一个分数， 如果分子加 1， 这个分数就等于 原来的分数是多少? 【分析与解】 如果分子加 1，则分数为

1 1 ；如果分母加 1，这个分数就等于 ． 问 2 3

1 x ，设这时的分数为： ，则原来的分数为 2 2x

13．图 2-1 是某市的园林规划图，其中草地占正方形的

3 6 ，竹林占圆形的 ，正方形和圆 4 7

形的公共部分是水池． 已知竹林的面积比草地的面积大 450 平方米． 问水池的面积是多少平 方米?

【分析与解】 因为水池是正方形的

1 1 ，是圆的 ，则正方形是水池的 4 倍，圆是水 4 7

14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的 的

1 ，唐僧和沙僧共吃了总数 2

15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作 1 个零件，但小李每制作 3 个零件要休息 1 分钟，小张每制作 4 个零件要休息 1.5 分钟．现在他们要共同完成制作 300 个零件的任务，需要多少分钟? 【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整． 因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成 300÷2=150 个零件左右； 小李完成 150 个零件需要

且刚休息完，所以在 2 分钟后，即 200 分钟时完成 144+2=146 个零件； 那么在 200 分钟时，小李、小张共生产 150+146=296 个零件，还剩下 4 个零件未完成， 所以再需 2 分钟，小李生产 2 个零件，小张生产 2 个零件，正好完成． 所以共需 202 分钟才能完成． 方法二：把休息时间包括进去，小李每 4 分钟做 3 个，小张每 5.5 分钟做 4 个． 则在 个，那么还剩下：40-17-16=7 个，4 分钟内小李做 3 个，小张做 4 个，共做 4+3=7 个，即这 40 个零件还需要 26 分钟． 所以共用时间：44?4+26=202 分钟．

第三讲 “牛吃草”问题（略讲内容） 有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周.那么它可供 21 头牛吃几周？这类问题称为“牛 吃草”问题。 解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生 长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间 期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增 的草量.因此，必须设法找出这两个量来。 下面就用开头的题目为例进行分析. 从上面的线段图可以看出 23 头牛 9 周的总草量比 27 头牛 6 周的总草 量多，多出部分相当于 3 周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量， 就要进行转化.27 头牛 6 周吃草量相当于 27?6＝162 头牛一周吃草量 （或 一头牛吃 162 周）.23 头牛 9 周吃草量相当于 23?9=207 头牛一周吃草量 （或一头牛吃 207 周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于 （207-162）÷（9-6）=15 头牛一周的吃草量。 需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用 27 头牛 6 周的 总吃草量减去 6 周新生长的草量（即 15?6=90 头牛吃一周的草量）即为 牧场原有草量。 所以牧场上原有草量为 27?6-15?6=72 头牛一周的吃草量（或者为 23?9-15?9=72）。 牧场上的草 21 头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把 21 头牛 分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长 的草.但是新生的草只能维持 15 头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面 已分析过每周新生的草恰够 15 头牛吃一周）.故分出 15 头牛吃新生长的 草，另一部分 21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃 72÷ 6=12（周），也就是这个牧场上的草够 21 头牛吃 12 周.问题得解。 例 2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人 淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安 排多少人淘水？ 分析 与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增 加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船 内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这 个问题我们换一个角度进行分析。

如果设每个人每小时的淘水量为“1 个单位”.则船内原有水量与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量?时间?人数，即 1?3?10 ＝30. 船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 1?5?8=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差÷时间差， 即 （40-30） ÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于每小时 2 人的淘水 量）。 船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水量.3 小时漏进水量相当于 3?2=6 人 1 小时淘水量.所以船内原有水量为 30（2 ?3）=24。 如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 24÷2＝12（人），但 与此同时， 每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出， 因此共需 12+2＝14 （人） 。 从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出 原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量， 问题就容易解决了。 例 3 12 头牛 28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛 63 天可以 吃完 30 公亩牧场上全部牧草.多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全 部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相 等）？ 分析 解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天， 一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。 12 头牛 28 天吃完 10 公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加 上 28 天新生长的草可供 33.6 头牛吃一天（12?28÷10＝33.6）。 21 头牛 63 天吃完 30 公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加 上 63 天新生长的草可供 44.1 头牛吃一天(63?21÷30＝44.l）。 一公亩一天新生长的牧草可供 0.3

72 公亩每天新生长的草量可供 21.6 头牛吃一天.即 72?0.3=21.6（头）。 所以 72 公亩牧场上的牧草共可以供 36（=14.4＋21.6）头牛吃 126 天.问题得解。 解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？ （63?2i÷30-12?28÷10）÷（63-28）=0.3（头）。 一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？ 12?28÷10-0.3?28=25.2（头）。 72 公亩的牧草可供多少头牛吃 126 天？ 72?25.2÷126+72?0.3=36（头）。 答：72 公亩的牧草可供 36 头牛吃 126 天。 例 4 一块草地， 每天生长的速度相同.现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天， 或者供 80 只羊吃 12 天.如果一头牛一天的吃草量等于 4 只羊一天的吃草 量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天？ 分析 由于 1 头牛每天的吃草量等于 4 只羊每天的吃草量， 故 60 只羊每天 的吃草量和 15 头牛每天吃草量相等，80 只羊每天吃草量与 20 头牛每天 吃草量相等。 解：60 只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？ 60÷4＝15（头）。 草地原有草量与 20 天新生长草量可供多少头牛吃一天？ 16?20=320（头）。 80 只羊 12 天的吃草量供多少头牛吃一天？ （80÷4）?12=240（头）。 每天新生长的草够多少头牛吃一天？ （320-240）÷（20-12）=10（头）。 原有草量够多少头牛吃一天？

320-（20?10）＝120（头）。 原有草量可供 10 头牛与 60 只羊吃几天？ 120÷（60÷4+10-10）＝8（天）。 答：这块草场可供 10 头牛和 60 只羊吃 8 天。 例 5 一水库原有存水量一定， 河水每天均匀入库.5 台抽水机连续 20 天可 抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干.若要求 6 天抽干，需要多少台 同样的抽水机？ 解：水库原有的水与 20 天流入水可供多少台抽水机抽 1 天？20? 5=100（台）。 水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？6?15=90 （台）。 每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？ （100-90）÷（20-15）=2（台）。 原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？ 100-20?2=60（台）。 若 6 天抽完，共需抽水机多少台？ 60÷6＋2=12（台）。 答：若 6 天抽完，共需 12 台抽水机。 例 6 有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也 设第三片草场（24 亩）可供 x 头牛 18 周吃完，则由每头牛每周吃草 量可列出方程为： x＝36 答：第三片草场可供 36 头牛 18 周食用。 这道题列方程时引入 a、 b 两个辅助未知数.在解方程时不一定要求出 其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。

能被 2，3，4，5，8，9，11 整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题， 乘积末尾零的个数的计算． 1.整数 a 除以整数 b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除(也 可以说 b 能整除 a)，记作 b}