2018考研数学真题解析——幂级数
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幂级数的部分练习题及答案
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幂级数的部分练习题及答案
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由一道题目总结幂级数的收敛域问题
由一道题目总结幂级数的收敛域问题
这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱，即收敛区间内绝对收敛，边界需要特别讨论。
函数项级数∑∞n=1(2x+1)nn的收敛域为[-1,0)???????????
分析：首先想到通用形式是如何求解的。
形如∑∞n=0an(x-x0)n
注意变量x的系数是1！很多题目都是在x的系数上做文章，所以要抽出这个系数。其次是x0的含义，在满足x系数是1时，x0是收敛区间的中心。由中心左右扩大半径那么长，都是绝对收敛的区域。这是10块钱的事情。还有两块钱需要特别计算。即x=x0-R,x=x0+R两个点代入幂级数，变成常数项级数判敛问题。
注：ρ=limn→∞an+1an,R=1ρ
所以还需要有一个感性的认识是：后项比前项，比值越大，收敛半径越小。即收敛得很快，因此收敛的区间跨度将会越小。
回到题目。
S(x)=∑n=1∞(2x+1)nn=∑n=1∞2n(x+1)nnρ=limn→∞2n+12n?n+1n=2,R=1ρ=12
因此收敛区间为:(-1,0)
再特别看x = -1, x = 0:
x = -1时：
∑∞n=1(-1)nn条件收敛。
∑∞n=11n发散。
因此，收敛域是：[-1,0).
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