arcsinxdx 上限1 下限0 定积分_百度知道
arcsinxdx 上限1 下限0 定积分
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arcsinx的不定积分
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分部积分法 S表示积分号Sarcsinxdx=xarcsins-Sxdarcsinx=xarcsins-Sx/根号下(1-x^2)dx=xarcsins+0.5S1/根号下(1-x^2)d(1-x^2)=xarcsins+根号下(1-x^2)+C
这里的第三题
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导读：第五章不定积分，第一节不定积分的概念及性质，1.在不定积分的性质?kf(x)dx?k?f(x)dx中，2.计算下列不定积分：，x4第二节不定积分的积分方法，f[?(x)]??(x)中的中间变量?(x)作为新的积分变量，而后者将原积分变量x替换成函数，以t作为新的积分变量.，2.应用分部积分公式?udv?uv??vdu的关键是什么？对于积分?f(x)g(，答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 第五章
不定积分的概念及性质思考题：
1. 在不定积分的性质?kf(x)dx?k?f(x)dx中，为何要求k?0？ 答：因为k?0时，?kf(x)dx??0dx?C（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题： (1) 若?f(x)dx?2?sinx?C，则f(x)为何？ 答：f(x)?(?f(x)dx)??2ln2?cosx. (2) 若f(x)的一个原函数为x，问f(x)为何？ 32答：f(x)?(x)??3x xx3(3)若f(x)的一个原函数的cosx，则?f?(x)dx为何？ 答：f(x)?(cosx)???sinx,?f?(x)dx?f(x)?C??sinx?C.
1. 已知曲线y?f(x)过点（0，0）且在点（x,y）处的切线斜率为k?3x?1，求该曲线方程.
解：依题意，y??k?3x?1，故y??(3x?1)dx?x?x?C，又y(0)?0，故2232C?0，从而曲线方程为y?x3?x.
2. 计算下列不定积分：
（1）?xdx,
（2）?2dx,
（5）?5xx?1dx,
（4）?(cosx?sinx)dx, ?2211x3?dx?(e?x)dx,（6）,（7）,（8）dx?(?)dx. 22221?xsinxcosx1?x5x1?5x6?C??C.
解：（1）?xdx?1?562x?C. （2）?2dx?ln2x（3）?ex?1dx?e?exdx?eex?C?ex?1?C. （4）?(cosx?sinx)dx??cosxdx??(?sinx)dx?sinx?cosx?C. （5）21dx?2?1?x2?1?x2dx?2arctanx?C. （6）??21?x2dx?(?2)?11?x132dx??2arcsinx?C. 1?133xxx?C?ex?x3?C. （7）?(e?3x)dx??edx??xdx?e?141?31122（8）?(?)dx??cscxdx??secxdx??cotx?tanx?C. 22sinxcosx
不定积分的积分方法
1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？ 答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数f[?(x)]??(x)中的中间变量?(x)作为新的积分变量，而后者将原积分变量x替换成函数?(t)，以t作为新的积分变量. 2. 应用分部积分公式?udv?uv??vdu的关键是什么？对于积分?f(x)g(x)dx，一般应按什么样的规律设u和dv？ 答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u和dv，对于积分?f(x)g(x)dx，一般应按如下的规律去设u和dv： （1）由dv易求得v；（2）?vdu应比?udv容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有x2?a2或a2?x2，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有nax?b，则可令nax?b=t，将原积分化为有理函数的积分.
习作题 1. 计算下列积分： （1）?sinxd(sinx),
（2）?cosxdx,
（3）(x?53?sinxx)dx, （4）?xedx,
（5）x2?xdx1?x2,
（6）?xdx1?x4, （7）11ln2x2?,
（9）?(2x?3)dxdx?arcsinx1?x2dx, ?xdx1dx,
（12）dx?4?x2. ?(1?x2)arctanx?2?x25（10）sin6x解：（1）?sinxd(sinx)??C. 6（2）?cosxdx??(1?sinx)cosxdx
=?(1?sinx)d(sinx)
=?d(sinx)??sinxd(sinx) 2232sin3x
=sinx??C. 3（3）?(x?sinxx)dx??xdx?2?sinxdx x2?2cosx?C.
=21x21x22（4）?xedx??ed(x)?e?C. 22x2（5）???12dx???(1?x)2d(1?x2)??1?x2?C. 21?x2x1（6）1d(x2)1???arcsinx2?C. 1?x421?(x2)22xdxln2xln2x12dx?d(2x)??ln2xd(ln2x)?ln2x?C. ?x?2x）?(2x?3)dx??(2x?3)d(2x?3)?(2x?3)?C. 26（7）（9）111?dx??arcsinx1?x2?arcsinxd(arcsinx)?ln|arcsinx|?C. （10）11dx??(1?x2)arctanx?arctanxd(arctanx)?ln|arctanx|?C. （11）dx1??2?x22?dx11x22?d()?arctanx?C. ?x2x2221?()221?()22（12）?dx4-x2=?dxx21-()22=?xxd()=arcsin?C. 22x1-()2212. 计算下列积分： (1)ln2xdx,
(4) ??arctan2xdx,
(3) 4xxe?dx,
?e5xsin4xdx,
(5) ?xsin100xdx,
(6) ?xarctan2xdx. 解：（1）?ln2xdx?xln2x??xd(ln2x) 2dx 2x
=xln2x?x?C.
=xln2x??x?（2）arctan2xdx=xarctan2x??xd(arctan2x)
=xarctan2x??x??2dx 21?(2x)d(x2)
=xarctan2x?? 1?4x211d(1?4x2) 2?41?4x12
=xarctan2x?ln(1?4x)?C. x4x（3）?xedx??xde?xe??edx 44414x14x=xe?e?C. 416
=xarctan2x?e5x15xe5x)?esin4x??d(sin4x) （4）?esin4xdx??sin4xd(5555x
=e155x4sin4x??e5xcos4xdx 515x4e5x
=esin4x??cos4xd 555?15x4?e5xe5xcos4x??d(cos4x)?
=esin4x??55?55?
=e5xsin4x?移项合并，得?e5xsin4xdx?1545x16ecos4x??e5xsin4xdx, 252515xe(5sin4x?4cos4x)?C. 41cos100xxcos100xcos100x（5）?xsin100xdx??xd(?)????(?)dx sin100xxcos100x
=??C. （6）?xarctan2xdx=?arctan2xd() 2x2x2
=arctan2x??d(arctan2x) 22x2x22arctan2x???dx
=2221?(2x)x211
=arctan2x??(1?)dx x1
=arctan2x??arctan2x?C. 2483. 计算下列不定积分： （1）?16?xdx,
（2）2?dx(4?x)232. 解：（1）令x?4sint(?2ππ?t?)，则16?x2?4cost，dx?4costdt， 22于是 ?16?xdx??4cost?4costdt?8?(1?cos2t)dt
=8t?4sin2t?C. 由右图所示的直角三角形，得
4 2x16?xx16?xsin2t?2sintcost?2???, 448故 ?16?xdx?8?arcsin22
16 ? x 2 xx16?x??C. 4232ππ
（2）令x?2tant(??t?)，则(4?x2)2?8sec3t,dx?2sec2tdt, 22于是?dx(4?x)232??1costsint2?2sectdt?dt??C. ?224sec3t由右图所示的直角三角形，得 sint?dx3x4?x?2
故 ?x?C. 4 ? x 2 (4?x2)2 24?x2x
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不定积分 (公式大全)
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不定积分 5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分
通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)
那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义]
已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。 例1
求下列函数的一个原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x的一个原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx的一个原函数
这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的。
例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数) 都是函数f(x)＝2x的原函数。 [定理5.1]
设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数， C是一个任意常数，那么，
⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数
⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明：
⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)
∴F(x)＋C也是f(x)的原函数
这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它 就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。 [定义5.2]
函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx，
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。
求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C
其中C是任意常数，叫做积分常数。
求下列不定积分
⑵ ∫sinxdx 解：
是x5的一个原函数
⑵∵－cosx是sinx的一个原函数
不定积分的几何意义
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，
故y＝x2＋C，
∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，
解得C＝－1，
因此，所求曲线为y＝x2－1。 三、
基本积分公式
由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本 求导公式反推，可得基本积分公式 ⑴ ∫dx＝x＋C
⑵ ∫xαdx＝
(α≠-1) ⑶
⑸ ∫exdx＝ex＋C ⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C
⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C ⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C 　⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C ⑽ ⑾
说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数 的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。
不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间 的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx 四、
不定积分的性质
⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x)
该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x)
⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C
该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C
⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数)
该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面
⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差 五、 基本积分公式的应用 例7
求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx
＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C
求∫3xexdx 5.2
不定积分的计算 一、 直接积分法
对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积
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