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求矩阵A=〔3 -1;-1 3〕的特征值和特征向量3 -1-1 3
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|λE-A|=(λ-2)(λ-4)=0 ,则 λ1=2 ,λ2=4 .解 AX=2X 得 X=（1,1）,解 AX=4X 得 X=（1,-1）.
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矩阵的特征向量怎么求？
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矩阵的特征方程式是：A * x = lamda * x这个方程可以看出什么？矩阵实际可以看作一个变换，方程左边就是把向量x变到另一个位置而已；右边就是把向量x作了一个拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了，表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长（或缩短）lamda倍，仅此而已。任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。扩展资料矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：1、核：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。2、值域：某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。3、空间：向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。
矩阵的特征向量的求法：先求出矩阵的特征值: |A-λE|=0.对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,asA的属于特征值λ的特征向量就是 a1,a2,...,as 的非零线性组合
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1.先求出矩阵的特征值: |A-λE|=02.对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,as3.A的属于特征值λ的特征向量就是 a1,a2,...,as 的非零线性组合满意请采纳.
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的特征值及对应的特征向量．
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的特征值及对应的特征向量．
1 ＝1的一个特征向量为
2 ＝3的一个特征向量为
特征多项式 f ( λ )＝
＝( λ －2) 2 －1＝ λ
2 －4 λ ＋3由 f ( λ )＝0，解得 λ
1 ＝1， λ
2 ＝3，将 λ
1 ＝1代入特征方程组，得
=> x ＋ y ＝0，可取
为属于特征值 λ
1 ＝1的一个特征向量；同理，当 λ
2 ＝3时，由
=> x － y ＝0，所以可取
为属于特征值 λ
2 ＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵
有两个特征值 λ
1 ＝1， λ
2 ＝3；属于 λ
1 ＝1的一个特征向量为
2 ＝3的一个特征向量为
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矩阵特征值和特征向量的求法与应用毕业论文
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求矩阵特征向量的三种方法研究汇总.doc 8页
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求矩阵特征向量的三种方法
数学专业学生　
指导教师　
摘 要：突破了只用行初等变换求矩阵特征向量的思维模式，本文引用了“特征根与特征向量的同步求解”的方法，并导出了“用列初等变换求矩阵的特征向量”的方法，理论上都给出了它们的证明.在求矩阵特征向量时，如果选择的方法得当，将大大提高计算速度.
关键词：行初等变换
列初等变换
Abstract: Different from the thought of only considering to use row elementary　Counterchange to request the eigenvector of matrix,this paper quotethe method of using “characteristic root and eigevector synchronously request solution”,and deduce the method ofusing “ier elementary counterchange to request the eigenvector”.They are deduced theoretically in the text.if the method of choice Properly when request the eigenvector of matrix will increases consumedly the calculation.
Keywords:row elemtier elemeigenvector.
所谓数域P上矩阵的初等变换是指下列三种变换：
以P中一个非零的数乘矩阵的某一行（列）.
把矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）
互换矩阵中两行（列）的位置.
设A是数域P上线性变换，如果对于数域P中一数，存在一个非零向量，使得
那么称为A的一个特征值，而称为属于特征值的一个特征向量.
设A是数域P上一n阶矩阵，是一个文字.矩阵 的行列式称为A的特征多项式，这是数域P上的一个n次多项式.
设向量组不线性相关.即没有不全为零的数使就称为线性无关；或者说，向量称为线性无关，如果由
§2、用行初等变换求矩阵的特征向量
此方法求n阶矩阵的特征向量，通常是解齐次线性方程，而解齐次线性方程组一般是用行初等到变换.必要时变换列化系数为阶梯形然后给自由变量一些赋值进而求解.具体求解步骤是：
1）、在线性空间V中取一组基，写出A在这组基下的矩阵A；
2）、求出A的特征多项式
在数域 P中全部的根，它们也就是线性变换A的全部特征值；
3）、把所求得的每一个特征值逐个代入方程组，对于每一个特征值解方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的n个线性无关的特征向量在基
下的坐标，这样，我们也求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量.
例1 设数域P上三维空间V内线性变换A关于基的矩阵为A=求A的特征值与特征向量.
解 因为特征多项式为
f()=|E-A|==(-4)
所以特征值是=-2(两重)和=4
求相应于A的特征值=-2的特征向量
即--=0，它的基础解系是
因此，属于=-2的两个线性无关的特征向量是
而属于=-2的全部向量就是+，，取遍数域P中不全为零的全部数对.
求相应于A的特征值=4的特征向量
　　　12-6=0
它的基础解系是：
因此属于=4的一个线性无关的特征向量是
而属于=4的全部特征向量就是K，K是数域P中任意不等于零的数.
§3、用列初等变换求矩阵的特征向量
设是n阶矩阵A的特征根，对（E-A）施行列初等变换化为的同时，对单位阵E施行同样的列初等变换就得到矩阵，则矩阵D的每一个列向量都是A的属于特征根的特征向量，且它们恰构成特征子空间的一个基.（这里r=秩（E-A））
事实上，由矩阵的初等变换和分块矩阵运算性质可得
（E-A）=0.
由于D是单位阵E经若干初等列变换得到的分块矩阵；因而它的n - r个列向量线性无关，且每个列向量都是
（E-A）x=0的解向量.从而结论得证.
例2 求R上矩阵A=的特征根与特征向量
解：(x) = = (x-4)(+4)
矩阵A只有一个实根=4
从而为A的属于特征根4的一个特征向量，
而，K0,KR,是A的属于4的全部特征向量
要求出矩阵A的每一个特征根的特征向量，只需对每一个按照上述方
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