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求函数f(x)=x²-ax+a+1在区间[-1,1]上的最小值.
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一,最常规的做法讨论对称轴位置,对称轴为x=a/2①当对称轴x=a/2<-1时,即a<-2那么f(x)在区间[-1,1]是递增函数于是最小值就是f(-1)=(-1)&#178;-a×(-1)+a+1=2a+2②当对称轴x=a/2>1,即a>2那么f(x)在区间[-1,1]是递减函数于是最小值就是f(1)=(1)&#178;-a×(1)+a+1=2③当对称轴x=a/2在区间[-1,1]上,即-2≤a≤2时抛物线顶点,即最小点在其中于是在对称轴上取得最小值即最小值为f(a/2)=(a/2)&#178;-a×（a/2)+a+1=-a&#178;/4+a+1
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抛物线开口向上，对称轴为 x=a/2 。（1）当 a/2<-1 即 a<-2 时，f(x) 在 [-1，1] 上为增函数，因此 min=f(-1)=2a+2 ；（2）当 a/2>1 即 a>2 时，f(x) 在 [-1，1] 上为减函数，因此 min=f(1)=2 ；（3）当 -1<=a/2<=1 即 -2<=a<=2 时，min=f(a/2)= -a^2/4+a+1 。
由题意可得：函数图像的对称轴为：x=a/2，图像开口朝上，有最小值。
当a/2≤-1时，最小值为x=-1即f(x)=2a+2；
当a/2≥1时，最小值为x=1即f(x)=2；
当-1＜a/2＜1时，最小值为x=a/2即f(x)=-a&#178;/4+a+1。
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函数y=(x&#178;+8)/(x-1) (x＞1)的最小值是函数y=(x&#178;+8)/(x-1) (x＞1)的最小值是
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x>1即x-1>0y=(x&#178;-1)/(x-1)+9/(x-1)=x+1+9/(x-1)=(x-1)+9/(x-1)+2≥2√[(x-1)*9/(x-1)]+2=8所以最小值是8
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解y=[x^2+8]/(x-1)=[（x-1）^2+2(x-1)+9]/(x-1)=（x-1）+9/(x-1)+2≥2√(x-1)×9/(x-1)+2=6+2=8故函数y=(x&#178;+8)/(x-1) (x＞1)的最小值是8.
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已知x＞0,y＞0,且x+y=1,求（x+1除以x&#178;）+（y+1除以y&#178;）的最小值要过程.
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除法是优先于加法的, 因此按正常的运算顺序:(x+1/x&#178;)+(y+1/y&#178;) = (x+y)+(1/x&#178;+1/y&#178;).由x+y = 1, 只要求1/x&#178;+1/y&#178;的最小值.由(3元)均值不等式, 对x > 0有1/x&#178;+8x+8x ≥ 3((1/x&#178;)·(8x)·(8x))^(1/3) = 12, 即1/x&#178; ≥ 12-16x.同理1/y&#178; ≥ 12-16y, 相加得1/x&#178;+1/y&#178; ≥ 24-16(x+y) = 8.故(x+1/x&#178;)+(y+1/y&#178;) ≥ 9.易见x = y = 1/2时等号成立, 于是最小值就是9.其实我觉得你真正的意思是求(x+1)/x&#178;+(y+1)/y&#178; = (1/x+1/y)+(1/x&#178;+1/y&#178;)的最小值.由均值不等式, 对x > 0有1/x+4x ≥ 2·√((1/x)·(4x)) = 4, 即1/x ≥ 4-4x.同理1/y ≥ 4-4y, 相加得1/x+1/y ≥ 8-4(x+y) = 4.又前面已经证明1/x&#178;+1/y&#178; ≥ 8, 故(x+1)/x&#178;+(y+1)/y&#178; ≥ 12.同样易见x = y = 1/2时等号成立, 于是最小值就是12.注: 可能你会觉得使用均值不等式时的系数不知道从哪来的.其实是因为猜测x = y = 1/2时等号成立, 所以选择适当的系数使此时均值不等式的等号能成立.
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