高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题二十 统计及其与概率的交汇问题
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高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题二十 统计及其与概率的交汇问题
专题二十统计及其与概率的交汇问题
位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
，，，，，．
求图中的值；
从成绩不低于分的学生中随机选取人，该人中成绩在分以上含分的人数记为，求的数学期望．
解　由题意得：＝－×＋＋×＝，
成绩不低于分的学生共有＋××＝人，其中分以上含分的共有××＝人，的可能值为，
＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，
∴的分布列为
∴＝×＋×＋×＝
本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析，独立性检验的简单应用，一般是选择题、填空题，试题难度中等或稍易．若以解答题出现，往往与概率、离散型随机变量的分布列交汇考查．
在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，在弄清楚统计问题的基础上，要与概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差密切结合掌握
抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围．来源学科网
用样本估计总体
利用样本频率分布估计总体分布：
①频率分布表和频率分布直方图；
②总体密度曲线；
③茎叶图．
用样本的数字特征估计总体的数字特征：
①众数、中位数；
②样本平均数＝＋＋…＋＝；
③样本方差＝－＋－＋…＋－＝－；
④样本标准差
线性回归方程
方程＝＋称为线性回归方程，其中＝
＝－；，称为样本中心点．
独立性检验
假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为，和，，其样本频数列联表称为×列联表为：
构造一个随机变量＝，
用样本估计总体
在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为解决与频率分布直方图有关的问题时，应正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义．
当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．
①总体期望的估计，计算样本平均值＝；
②总体方差标准差的估计：方差＝－，标准差＝，方差标准差较小者较稳定
此类试题主要考查分层抽样、频率分布直方图、茎叶图、线性回归方程、平均数和方差的计算、以及识图能力、借助概率统计知识分析、解决问题的能力，均可单独命制一道小题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出名学生，将其成绩分成六段，，…，后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率分及以上为及格为；平均分为．
审题视点　
审题视点由图可知甲、乙的成绩，再利用公式计算．
用样本中及格的频率估计总体的及格率，以样本的平均数估计总体的平均数，即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数．
　由题意可知，甲的成绩为，乙的成绩为所以甲、乙的成绩的平均数均为，错；甲、乙的成绩的中位数分别为，错；甲、乙的成绩的方差分别为×－＋－＋－＋－＋－＝，×－＋－＋－＋－＋－＝，对；甲、乙的成绩的极差均为，错．
解析　及格的各组的频率是＋＋＋×＝，即及格率约为；样本的均值为×＋×＋×＋×＋×＋×＝，以这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数约为
如果已知频率分布直方图，那么就用样本在各个小组的频率估计总体在相应区间内的频率，用样本的均值估计总体的均值，根据频率分布图估计样本均值的方法是取各个小组的中点值乘以各个小组的频率之和进行的．
根据茎叶图，我们可方便地求出数据的众数与中位数，大体上估计出两组数据的平均数大小与稳定性．
【突破训练】从甲乙两个城市分别随机抽取台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示如图所示．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为甲，乙，则　　．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
甲＜乙，甲＞乙甲＜乙，甲＜乙
甲＞乙，甲＞乙甲＞乙，甲＜乙
答案：　从人中用系统抽样方法抽取人，则每人抽取一人，因为第一组抽到的号码为，则第二组抽到的号码为，第组抽到的号码为＝＋－＝－，由≤－≤，得≤≤，所以＝，…，，共有－＋＝人，选
　由茎叶图可知甲数据集中在至之间，乙数据集中在至之间，明显甲＜乙，甲的中位数为，乙的中位数为，即甲＜乙，所以选
　　　　　　的交汇问题
准确提取直方图、茎叶图中的信息是解此类题的关键，借助这些数据结合独立事件、互斥事件可设计概率、分布列问题，高考在此结合点处命题有加强的趋势．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例】某班同学进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
补全频率分布直方图，并求、、的值；
从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中选取人作为领队，记选取的名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望．
审题视点　
审题视点频率＝小长方形的面积；
用超几何分布解决．
解　第二组的频率为－＋＋＋＋×＝，所以高为＝频率直方图如下：
第一组的人数为＝，频率为×＝，
由题可知，第二组的频率为，所以第二组的人数为×＝，所以＝＝
第四组的频率为×＝，所以第四组的人数为×＝，所以＝×＝
因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为∶＝∶，所以采用分层抽样法抽取人，岁中有人，岁中有人．随机变量服从超几何分布．
＝＝＝，＝＝＝
所以随机变量的分布列为
所以数学期望＝×＋×＋×＋×＝
解决该类问题的基础是频数分布表、茎叶图等知识，在解题时，一定要仔细认真，防止在这个数据表中出现错误，导致后续各问解答也随之出现错误．
【突破训练】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示
如果＝，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
如果＝，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数的分布列和数学期望．
注：方差＝－＋－＋…＋－，其中为，，…，的平均数
解　当＝时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：，
所以平均数为：＝＝；
当＝时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：；乙组同学的植树棵数是：分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有×＝种可能的结果，这两名同学植树总棵数的可能取值为事件“＝”等价于“甲组选出的同学植树棵，乙组选出的同学植树棵”，所以该事件有种可能的结果，因此＝＝＝同理可得＝＝；＝＝；＝＝；＝＝所以随机变量的分布列为：
＝×＝＋×＝＋×＝＋×＝＋×＝＝×＋×＋×＋×＋×＝
以实际问题为背景，给定数据表，借助这些数据结合独立事件或对立事件设计概率及分布列问题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的×列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
合计来源学科网
将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取名观众，抽取次，记被抽取的名观众中的“体育迷”人数为若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．
审题视点　
审题视点按照独立性检验的步骤进行；建立概率分布表，利用期望的定义式求解数学期望．
解　由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“体育迷”有人，从而×列联表如下：
将×列联表中的数据代入公式计算，得
因为＜，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．
由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
由题意～，从而的分布列为
来源来源学科网
＝＝×＝，
＝－＝××＝
根据图表给出的信息解决相关问题时，一定要仔细阅读表中信息，千万别“看花了眼”，同时，要正确理解相关概念和计算准确．
【突破训练】甲乙两个学校高三年级分别有人和人，为了了解这两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试中的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在内为优秀．
试求，的值；
由以上统计数据填写下面×列联表，若按是否优秀来判断，是否有的把握认为两个学校的数学成绩有差异
根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率，若把频率视为概率，现从乙校学生中任取人，求优秀学生人数的分布列和数学期望．
解　由分层抽样知，甲校抽取了人成绩，乙校抽取了人的成绩．所以，＝，＝
由以上统计数据填写右面×列联表如下：
因为＝≈＞
故有的把握认为这两个学校的数学成绩有差异．
由题意，可知：甲校的优秀率为，乙校的优秀率为，由题意可知，随机变量＝，且
从而求得的分布列为：
故的数学期望＝×＝
关注高考概率与统计新视角
视角一　关注“实质性”知识
【示例】某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，…，，其中≥为标准，≥为标准已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元件；乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如表所示：
且的数学期望＝，求，的值；
为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；
在、的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”＝；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
满分解答　因为＝，
所以×＋＋＋×＝，
又由的概率分布列，得＋＋＋＝，
由已知得样本的频率分布表如表：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如表：
所以＝＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于分
乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于，价格为元件，所以其性价比为＝
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于，价格为元件，所以其性价比为＝
据此，可知乙厂的产品更具可购买性．分
老师叮咛：本题是一道概率与统计的综合性问题，考查数据的处理能力、函数与方程思想、必然与或然思想等本题对高考数学的复习有很好的导向作用，命题设计的特色是注重考查考生对概率与统计知识的形成过程的理解和应用其中，在求每一个随机变量的概率时，要确切地解释每一个随机变量的含义，也就是要弄清楚每一个随机变量指的是什么对于判断“哪个工厂的产品更具可购买性”，不仅需要考生理解产品“性价比”的数学意义，还要理解“性价比”的大小决定产品的购买价值这样的考题，更能体现数学的现实性和应用性
视角二　关注“开放性”知识
【示例】如图所示，地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有分钟和分钟时间用于赶往火车站．
为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
用表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对的选择方案，求的分布列和数学期望．
满分解答　表示事件“甲选择路径时，分钟内赶到火车站”，表示事件“乙选择路径时，分钟内赶到火车站”，＝
用频率估计相应的概率可得
＝＋＋＝，＝＋＝，
因为＞，所以甲应选择
＝＋＋＋＝，
＝＋＋＝，
因为＞，所以乙应选择分
，分别表示针对的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由，知＝，＝，又由题意知，，独立，
所以＝＝＝＝×＝，
＝＝＋＝＋＝×＋×＝，
＝＝＝＝×＝
所以的分布列如下表：
所以＝×＋×＋×＝分
老师叮咛：本题考查概率与统计知识的综合应用，在求解离散型随机变量分布列和计算离散型随机变量的期望值的问题中，考查考生分析问题、处理数据、解答问题的数学应用能力设问的开放性、答题的多样性以及根据统计数据提供的频率估计相应的概率，作出科学决策等是本题的亮点，较好地体现了新课标理念
喜欢该文的人也喜欢某公司在一次年会上举行了有奖问答活动.会议组织者准备了10道题目.其中6道选择题,4道填空题,公司一职员从中任取3道题解答. (1)求该职员至少取到1道填空题的概率, (2)已知所取的3道题中有2道选择题,道填空题.设该职员答对选择题的概率都是,答对每道填空题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示该职员答对题的个数,求的分布列和数学期望. 题目和参考答案——精英家教网——
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&解：（1）设事件“该职员至少取到1道填空题”，则有“该职员所取的3道题都是填空题”，因为，所以.
&&&&&& （2）由题意可知的所有可能取值为.&&&&&& & &&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&
&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&
练习册系列答案
科目：高中数学
已知{an}是等比数列，a4&a7=－512，a3+a8=124，且公比为整数，则公比q为(&& ) A．2&&&&&&&&&&&&&& B．-2 &&&&&& C．&&&&&&&&&&&&&& D．－
科目：高中数学
已知过点（2，1）直线与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△ABC的最小面积为　_________　． 　
科目：高中数学
如图，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，AC=4，AD=2，则⊙O的面积是　_________　．
科目：高中数学
已知一门高射炮射击一次击中目标的概率是0.4，那么至少需要这样的高射炮多少门同时对某一目标射击一次，才能使该目标被击中的概率超过96%（提供的数据：）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
A.5&&&&&&&&&&& B.6&&&&&&&&&&& C.7&&&&&&&&&&& &D.8
科目：高中数学
若函数在内有极大值，则实数的取值范围是
科目：高中数学
某人忘记了自己的文档密码，但记得该密码是由一个2，一个9，两个6组成的四位数， 于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的文档密码最多 尝试次数为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&& A．36& &&&&&&&&B．24&&&&&&& C．18& &&&&&&&&D．12 &
科目：高中数学
用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，要使容器的容积最大，扇形的圆心角&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&& A.&&&&&&&&& B.&&&&&&&&& C.&&&&&&&&&& D.
科目：高中数学
矩阵的特征值为　_________　．
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今天出数学题考概率呃，文科生们颤抖了吗
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　　英雄帖　　我们向全体有过高考经历的读者发出一张英雄帖：
曾经的学霸、学渣们，还记得属于你的那个夏天吗？
5月25日起，我们推出“2015，我们一起追‘高考’！”栏目，由新文化报“资深学霸”王大拿先生精心炮制一组高考试题。这些题，有的是经高三任课老师指导而出，也有的是高考真题。每日，我们推出一道题，挑战一下各位英雄答题功力还剩多少。累计成绩最高者，将获得精美礼品。
我们希望，各位英雄在答题的同时，也能顺便讲讲您当年的高考故事、段子，甚至是当年不能公开的情感记录。如果您还留着高中以前的练习册、毕业照，也欢迎拍个照片发给我们并晒在微信“朋友圈”。我们将从中挑选幸运读者送出礼品。
我们的口号是：回忆第一，比赛第二！
您的答案，还有您的讲述，请拨打来告诉我。照片可通过新文化报生活圈微信号“xwhbshq”传来。
昨天，图一亮相，又有10多位英雄被撂倒，止步第3题。
翻看答案，也有四五位英雄用“历史”、“政治”、“经济”等角度来答的，比如一个答案就是：躲避匈奴骚扰，河西走廊是安全之地。
今天，大拿决定出一道数学题，呜哈哈，估计文科生们要颤抖了。
古丝绸之路为啥选择走河西走廊？来看看李焕君老师给出的答案—
河西走廊以北有巴丹吉林沙漠和腾格里沙漠等，沙漠多盐泽，气候干旱，地势起伏较大，行走困难，该地人迹罕至，沿途缺水等补给；以南是地势较高的青藏高原，气候寒冷、冰川广布，商队通行困难，补给不足；河西走廊地形平坦、有充足的祁连山冰雪融水、土壤肥沃、光照充足、昼夜温差较大，农业发达。人口密度较大、商业较发达，丝绸之路经过该地不但能得到充足的补给，还可沿途做生意。（注：三个得分点，少答扣分）
至于那个“黑番茄”—
该地地处我国西北内陆，降水少，光照强，昼夜温差大，利于营养物质的积累，黑番茄品质好；祁连山冰雪融水的灌溉，水源清洁，矿物质含量高（水质好）；该地发展绿洲农业沙漠土壤少无污染；该地重工业相对落后，环境污染少；尽管加工提炼历史并不悠久，但提炼设备、技术先进。
某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？
更多分享 概率年年考 且分多
说到概率，联系生活实际，你会想到什么？
当然大多数人不会考虑2元中500万的概率到底是多少。
概率偏爱第19题
实际上，高考一直在提醒我们要学会计算概率，因为，大拿对2007年至2014年吉林省高考数学卷进行梳理发现，考概率是一件高概率事件，必考。
而且分值高，至少12分。另外，偏爱第19题。
先来看文科数学卷，8年中，解答题中必有一道有关概率的题，分值12分。其中有5年固定在第19题；有4年出了“双题”，2007年、2013年和2014年是“13题（填空题）+19题（解答题）”，2011年是“6题（选择题）+19题（解答题）”，分值都是5分。
再看理科数学卷，连考7年的概率解答题，在2014年没有出现。2014年概率只出了一道选择题。理科数学卷“双题”年份更多，有6年。其中，“填空题+解答题”、“选择题+解答题”各有3个，前者出现在2007年、2012年和2013年；后者出现在2008年、2010年和2011年。从解答题出现的题号来看，18题和19题各占3年，20题有1年。但从年份上看，19题集中于2010年、2011年和2013年；18题只有一年出现在2010年以后，即2012年。
大拿爱出题的毛病又犯了：
这8年，在高考数学卷第19题出概率题的概率是多少？
甲乙这些年很忙
翻阅试卷，大拿不免感慨：“甲乙这些年很忙啊！”
甲乙出现在4年的高考卷中，两道是概率题，两道是排列组合题。
2009年是一道排列组合题，甲、乙应该是大学生，他俩要从4门课程中选修2门。文科卷考的是，甲乙所选课程中恰有1门相同的选法有多少种；理科卷则变成了，甲、乙至少有1门课程不相同的选法有多少种。
2011年，甲、乙又化身中学生，忙着报兴趣小组。3个兴趣小组，他俩参加同一个兴趣小组的概率是多少？
2012年，甲、乙变成地点了，2名教师、4名学生分成2个小组，去甲乙两地参加社会实践活动，每组由1名教师和2名学生组成，能分多少种方案？
继续变！2014年，甲、乙再次回到概率题中。这一次，他们成了运动员。干什么呢？挑选运动服。红、蓝、白3种颜色中选1种，他俩穿相同颜色运动服的概率是多少？
今年甲乙还会不会出现呢？如果出现，会忙些啥呢？
如何拿下概率题
还别说，大拿的这一梳理，得到了长春市实验中学高三数学组杜艳蕾老师的肯定，“概率统计，是所有考生的‘必争之地’，应‘势在必得’。”
她说，概率统计是高考考查基本内容之一，一般每套高考试卷为一大一小两题，分值约为17分，属中低档题，除个别省份（2014年江西卷）偶尔出现在压轴题位置，一般大题出在前三题。概率从复习迎考的针对性和时效性看，要注意文理的区别，文科基本以《数学3》（必修）为主，考查古典概型和几何概型，创新元素主要表现为新颖的实际问题情境、精巧的设问方式、概率与其他知识自然衔接等。
对于理科概率，内容上涵盖文科全部，另有相互独立事件及其概率计算、条件概率和n次独立重复试验发生k次的概率。值得注意的是，离散型随机变量及其分布列、均值与方差是历年必考的热点，多以现实生活为背景，融合概率求解，以及答题进行综合命题，而这类综合题中，考生由于审题失误导致失分也是比较多见的。（注：这段内容请各位自行脑补，请恕小编无法讲解。）
她提醒，一般的概率统计综合题涉及到的文字阅读量都很大，很多考生审题不细，事件不清，就着手计算往往得不偿失，解题先审题，要养成仔细阅读（不要忽略括号里的说明文字、标注）、认真审题、缜密思考的好习惯。《考试大纲》中，对考生数据处理能力的要求是：会收集、整理、分析数据，能从大量的数据中抽取对研究对象有用的信息，并作出判断。数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。
“学霸”传奇
每一届高三学子心中，都有学霸。
背书“学霸”
长春市民李先生
我这同学姓刘，“学霸”都不足以形容他，可称得上“学神”，尤其是在英语上。
厉害到什么程度？从高一到高三共6册，他从头到尾都能背下来。你说一段英语，他能告诉你是在哪里出现的；你问哪册第多少页有什么内容，他张嘴就来。
每次英语考试，不到30分钟，他就交卷，这还是前后仔细检查了一遍之后。
只不过有一点儿遗憾，当年是先报志愿后高考，虽然考了全校第一，过了清华分数线，但他还是去了吉林大学。
撕书“学霸”
辽源周女士
我的这位“学霸”同学的学习方法有些独特：撕书。复习那会，他就开始“撕书”了。复习过的知识点都会了，没问题了，他就把这一页撕掉。看他的课本，都是被撕过的。书撕了，知识点忘了咋整？他很牛气地说“不会”，还让我考他。我考了他几个旧知识点，他对答如流。
另外，他数学特别好，高三就学大学课程，有一次模拟考就用了大学的知识点。
用大学知识答高考题
真的好吗？
用大学知识点来解高中数学题，这引起了大拿的兴趣。
在周女士的讲述中，她的数学老师不提倡这种做法，担心高考时会扣分。但杜艳蕾老师认为：“应该给分。”
她举例，比如说洛必达法则求极限的方法，她也会讲给学生。但也不能太直接，比如拉格朗日中值定理，这个直接用的话，就可以直接因为、所以、结论了。在湖南高考曾出过这类题，是导数压轴题，其实就是拉格朗日中值定理，但总不能因为这个拉格朗日中值定理，就直接完成证明啊。同时，她也表示，根据这么多年的高考经验来看，命题者会有所回避的。
新文化记者 王小野（来源：新文化报）
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