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热工控制系统第四章 第三讲
第四章自动控制系统的时域分析,1控制系统的典型输入信号和时域性能指标2稳态性能分析3动态性能分析4用根轨迹分析调节系统5各种调节作用对系统性能的影响,第四节用根轨迹分析控制系统,我们知道，闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布，其它性能取决于其零极点分布。因此，可以用系统的零极点分布来间接地研究控制系统的性能。WR伊文思提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。,利用根轨迹法，可以分析系统的性能确定系统的结构和参数校正装置的综合,41概述,42根轨迹概念,所谓根轨迹，是指当系统中一个或几个参量变化时，闭环特征根在S平面上运动形成的轨迹。,例如图所示二阶系统，,系统开环传递函数为,,闭环传递函数,特征方程为,特征根为,讨论①当K0时，S10,S22,是开环传递函数的极点,②当K032时，S104,S216,③当K05时，S11,S21,④当K1时，S11J,S21J,⑤当K5时，S113J,S213J,⑥当K∞时，S11∞J,S21∞J,,将写成以下标准型，得,式中KG为传递函数，或称为根轨迹增益；ZI，PJ为开环零极点。,闭环传递函数为,开环传递函数为,闭环传递函数的极点就是闭环特征方程的根。,换句话说，满足或,的点就是闭环系统的极点，就是闭环特征方程的根,称或,为根轨迹方程。,上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件。,我们先以根轨迹增益（当然也可以用其它变量）作为变化量来讨论根轨迹。,由于是复数，上式可写成,或,,,,2Q1Π,Q0,1,2,,例41如图二阶系统，当KG从0→∞时绘制系统的根轨迹。,解闭环传递函数,特征方程和特征根,讨论,2,3,4,1,定义满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹。同样，满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹（它是在某一增益的情况下绘制的）。,180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的，其交点满足根轨迹方程，每一点对应一个。由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的值，所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹。,在根轨迹上的已知点求该点的值的例子。上例中，若A点的坐标是05J2，则根据幅值条件,43绘制根轨迹的基本规则,WREVANS（伊万斯）提出了一套绘制根轨迹的规则。该规则以根轨迹增益K1为变量。规则1根轨迹的分支数和对称性。根轨迹的分支数等于特征方程的阶数N；根轨迹对称于实轴。规则2根轨迹的起点与终点。起始点K10时的闭环极点，即系统的开环极点。起始点与终止点个数相等，均为N；终止点（1）有限值终止点当K1??时，有M条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点NM条分支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。,规则3实轴上的根轨迹。实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时，这些线段就是根轨迹的一部分。如图55所示。规则4根轨迹的渐近线。当系统的根轨迹增益K1??时，趋向无穷远处的根轨迹共有NM条，它们趋向无穷远处的方位可由渐近线决定。（1）渐近线与实轴的倾角为,（2）渐近线与实轴的交点坐标为,【例52】设闭环系统的特征方程为SS1S＋2＋K1＝0,当K1由0变化到?时，试按一般步骤与规则绘制其根轨迹图。解（1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹；（2）求出系统开环传递函数的零、极点形式，得到（3）起始点系统没有开环零点，只有三个开环极点，分别为P10，P21，P32。,（4）渐近线K1??时，有3条根轨迹趋向无穷远处，其渐近线的倾角为,渐近线与实轴的交点坐标为,（5）实轴上的根轨迹在S平面实轴上0，1和?，2线段上存在根轨迹，根轨迹草图如图56所示,其中一条从P32出发,随着K1的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。另两条分支分别从P10和P21出发,沿着负实轴向B点移动。当K1值达到某一数值时,这两条分支相交于实轴上的B点,这时系统处于临界阻尼状态。当K1继续增大时,这两条分支离开负实轴分别趋近60O和60O的渐近线,向无穷远处延伸。在KB＜K1＜KC时,系统处于欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当K1＞KC时,，系统成为不稳定状态。,图56根轨迹图,规则5根轨迹的分离点、会合点和分离角。,上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为分离点或回合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点可能在S平面上任何一点。,【例53】求例52中分离点的坐标。解系统的特征方程为,几条根轨迹在S平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点（或会合点）。分离点与会合点必须满足方程,由此得,因分离点必定位于O?1之间的线段上,故可确定S10423为分离点。对高阶系统,一般不便求出分离点或会合点,此时可用图解法等求解。分离角根轨迹离开重根点处的切线与实轴正方向的夹角被称为分离角,其计算公式为,求得两个解分别为S1,式中R为分离点处根轨迹的分支数。,规则6根轨迹的出射角和入射角。,根轨迹从开环复数极点出发的角度称为出射角；进入开环复数零点的角度称为入射角。,如图58所示为已知系统开环零、极点分布，可说明出射角的求取。在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足相角条件，有,根据同样方法可求开环复数零点ZK的入射角。,当S1无限趋近于P1点时，S1P1即为出射角。,一般情况下，开环复数极点PK的出射角为,规则7根轨迹与虚轴的交点。,在根轨迹与虚轴的交点处，存在系统的纯虚根。通常用以下两种根轨迹与虚轴交点。（1）劳斯判据法；（2）复数相等方法。,【例54】已知系统开环传递函数为试求系统根轨迹与虚轴的交点解求出系统闭环特征方程为（1）劳斯判据法；列出劳斯表若阵列中的S1和S0行等于零，则系统就处于稳定边界上，特征方程具有纯虚根，由此可得K16时，S?J1414K10时，SJ0。,（2）复数相等方法,令系统特征方程中的SJ?,令整理得到方程的实部和虚部分别为零，可得到相同的结果即由,得到K16时，S?J1414K10时，SJ0。,规则8闭环极点的和与积。根据代数方程的根与系数关系，当NM时，有,闭环极点之积,闭环极点之和,当NM?2时，有,即闭环极点之和等于开环极点之和。,这表明在开环极点确定的情况下，随着K1的变化，若有一些闭环特征根增大，则另一些特征根必然减小。即一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。,【例55】已知反馈控制系统的开环传递函数为,解按照以下步骤绘制系统的根轨迹（1）开环极点为P10，P23，P11?J,无开环零点；（2）根轨迹分支数N4条；（3）在实轴上3，0之间为根轨迹段；（4）渐近线,NM4条,，试绘制K1变化时的根轨迹。,（5）由特征方程求分离点,解得S123，S2,3。S1为分离点。分离角为?90O。利用根轨迹的幅值条件可求得对应于分离点S123的K1值为433。,（6）求出射角,根据对称性可知?P4716?,令劳斯表中S1行的首项为零，求得K1816。根据表,令SJ?，K1816代入上式，求得??11。根轨迹的两条分支与虚轴交于??11J处，,中S2行的系数写出辅助方程,对应的K1816，系统根轨迹如图59所示,由特征方程并列出劳斯表,（7）求根轨迹与虚轴的交点。,根轨迹绘制步骤,1确定根轨迹的分支数和对称性2确定根轨迹的起点与终点3确定实轴上的根轨迹4确定根轨迹的渐近线5确定根轨迹的分离点、会合点和分离角6确定根轨迹的出射角和入射角。7确定根轨迹与虚轴的交点,【例56】已知系统的开环传递函数如下，试绘制闭环系统的根轨迹。,根据上述规则，可以简便地绘制系统根轨迹的大致图形。当需要比较准确地确定某些局部图形时，可用相角条件逐点绘出。当K1值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点，就是闭环极点。,解从开环传递函数公式中求出开环极点P10，P24，P3,42?J4,（1）根轨迹分支数N4条。,（4）出射角为,由对称性知?P490度,（5）求分离点。由特征方程,图510系统根轨迹图,（2）实轴上［4，0］区间为根轨迹段。（3）渐近线NM4条。,解得分离点为S12,S2,32?J2449,令表中S1行的首项为零，求得K1260，根据表中S2行的系数得到辅助方程,令,（6）求根轨迹与虚轴的交点。由特征方程列出劳斯表并计算,求解得到根轨迹与虚轴的交点,根据幅值条件可得到根轨迹图上的几个特殊点对应的K1值,系统根轨迹图如上图510所示,结束,
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第4章4.1 4.2 4.3 4.4根轨迹法根轨迹的基本概念 （常义）根轨迹的绘制 广义根轨迹的绘制 控制系统的根轨迹分析法4.5用MATLAB绘制根轨迹14.1 根轨迹的基本概念一 根轨迹的概念1948年,美国学者W.R.Evans首先提出了求解系统特 征方程式的根的图解方法----根轨迹法。其后就在控制 工程实践中得到了迅速的发展和广泛的应用。 根轨迹: 系统某一参数从零变到无穷时,特征方程 的根在S平面的变化轨迹。根轨迹法:系统某一参数变化时,绘制特征方程的根 在S平面的位置变化轨迹的图解方法。2为什么要研究根轨迹？?控制系统的性能与闭环极点密切相关 ?高阶特征方程式通常难以求解 ?当某一参量发生变化(灵敏度)时,需要反复进行特征 根计算, 十分烦琐,难以在实际中应用根轨迹法的优点： 1、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求 取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部 信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定 闭环系统的性能指标要求。3例：R(S)-K S (0.5S ? 1)C(S)K ??2K 闭环传递函数 ? ( s ) ? 2 S ? 2S ? 2 K特征方程式K＝0.5 K ＝0S ? 2S ? 2K＝02?-1? 0K ＝0S1， 1 － 2＝－ ? 1 2KK＝0 ? ?解析法 全部闭环极点，标注在S 平面上，连成光滑的曲线根轨迹4二 根轨迹与系统性能K ??(1)稳定性：K＝0 ? ?K ＝0根轨迹不会进入S 平面的右半平面该系统对于所有的K都是稳定的?K＝0.5-10?K ＝0(2)稳态性能： Ⅰ型 原点处有 系统 一个极点 (3)动态性能： 根轨迹上的K值就 是速度误差系数0? K ? 0.5 : 过阻尼系统 K＝0.5：临界阻尼系统 K ? 0.5：欠阻尼系统5三 闭环零极点与开环零极点的关系R(S) -G (S )H (S )C(S)G( S ) ?( s ) ? 1 ? G(S ) H ( S )G ( s) ? K G?? (s ? z )if? (s ? p )i i ?1i ?1 qH (s) ? K H ?? ? (s ? z ) ? ? (s ? p )j ?1 i6lj ?1 hiG(S ) H (S ) ? K *：s ? z )? (s ? z ? ?(f l i ?1 q i j ?1 h i ?1 i j ?1j)j? ? (s ? p )? (s ? p)?( S ) ?? KG * ? ( s ? zi )? ( s ? p j )i ?1fh? (s ? p ) ? K ? (s ? zi ?1 i j ?1nj ?1 m *; m ? f ? l, n ? q ? hj)7KG ?( S ) ?n*? (s ? z )? (s ? pi i ?1 j ?1 m * i j ?1fhj) ; m ? f ? l, n ? q ? hj? (s ? p ) ? K ? (s ? zi ?1)闭环系统根轨迹增益＝开环系统根轨迹增益 闭环零点＝前向通路传递函数的零点 ＋反馈通路传递函数的极点闭环极点与开环零点、开环极点和根轨迹增益都有关。根轨迹法的基本任务：如何由已知的开环零极点分布和根 轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。8四：根轨迹方程1 ? G( S ) H ( S ) ? 0相角条件? (s ? zK*j ?1 n i ?1mj) ? ?1? ?s ? z ? ?（?s ? p ）?（2k ? 1）?i j i ?1 j ?1mn? (s ? p )iK ?模值条件?ns ? pj s ? zi9j ?1 m?i ?1（ ? ?s ? z ? ?（?s ? p ）? 2k ? 1）?i j i ?1 j ?1mn相角条件确定S平面根轨迹的充分必要条件K ??ns ? pj s ? zij ?1 m?i ?1只有在需要确定根轨迹上各点 增益时，才使用模值条件。104.2 根轨迹绘制的基本法则系统特征方程为：1+G(S)H(S)=0 将乘积因子G(S)H(S)化为零极点（开环零极点）的 形式，即1? K??0 （ ? s ? p j）i ?1 n j ?111（ ? s ? z）im法则1 根轨迹起于开环极点，终于开环零点证明（s－p j） K ? ? s－zi） 0 ? （ ? ?j ?1 i ?1nmK ＝0K ＝???s ? pjs ? zi大部分开环传递函数的极点多于零点，即n&m，可以认 为在s平面的无限远处有（n-m）个零点。若m & n，必 有（ m - n ）个极点在s平面的无限远处。12法则2根轨迹的分支数等于MAX(m,n)；它们是连续的且 对称于实轴。根轨迹起于开环极 点，终于开环零点根轨迹的分支数等于 MAX(m,n)由于闭环特征根的某些参数是根轨迹增益 所以?K?的函数，K ＝0 ? ?连续变化时，特征方程的某些参数也随着连续变化，所以特征根也是连续变化的。 特征方程系数为实数，只有实数和共轭复数根，所 以根轨迹（根的集合）对称于实轴。13法则3根轨迹将沿一组渐近线趋向与无穷远处的开环零点。这组渐近线与实轴的交角为??a?, 中心点?a （交点为实轴上的点）。：当零点的个数m小于极点的个数n时,系统将有 N=n-m条根轨迹的分支趋向于无穷远处的零点。当K趋 向于无穷大时，这些根轨迹的分支将沿一组渐近线趋 向与无穷远处的开环零点。14这组渐近线在实轴上的中心点为：?a ??pi ?1ni? ? zij ?1mn?m渐近线与实轴的交角分别为( 2q ? 1) ?a ? 180 ?, q ? 0,1,2, ? ( n ? m ? 1) n?m15证明：G(S ) H (S ) ? K ? （ ? s ? z）i m i ?1 n（ ? s? p）j j ?1s m ? b1s m?1 ? ? ? bm?1s ? bm ? K* n s ? a1s n ?1 ? ? ? an ?1s ? bn? s n?m K* ? (a1 ? b1 ) s n ? m?116G( S ) H ( S ) ??s n?mK* ? (a1 ? b1 ) s n ? m?11 ? G( s ) H ( s ) ? 0?K* 1 ? n?m ?0 n ? m ?1 s ? (a1 ? b1 ) ss（ ? 1a1 ? b1 s1n ）?m ? ? K ?） （1 n?m17a ? b1 n ? m ? (1 ? 1 ) s 2 a 1 ? b1 1 1 ? 1 ?? a ? b1 ? ? 1? ? ? ? 1?? 1 ? ? ?? ( n ? m) s 2 n ? m ? n ? m ?? s ? a1 ? b1 ? 1? ( n ? m) s1? s（ ? 1a1 ? b 1 s1n? ） ma1 ? b 1 ? s[1 ? ] ( n ? m) s ? （? K ? ）1 n?m18s（ ? 1a1 ? b1 s1n ）? ms ? ? ? j?a1 ? b1 ? s[1 ? ] (n ? m) s ? ? K ?） （1 n?ma1 ? b1 ? ? ?? ? ? ? j? ? ( K ) n?m ? ?1 * n?m(2k ? 1)? (2k ? 1)? ? ? ?cos n ? m ? j sin n ? m ? ? ?19a1 ? b1 ? ? ?? ? ? ? j? ? ( K ) n?m ? ?1 * n?m(2k ? 1)? (2k ? 1)? ? ? ?cos n ? m ? j sin n ? m ? ? ?令实部和虚部分别相等,有a1 ? b1 ? ? ?? ? ? ? (K ) n?m ? ?1 * n?m(2k ? 1)? cos n?m? ? (K )1 * n?m(2k ? 1)? sin n?m20a1 ? b1 ? (2k ? 1)? ? cos ?? ? ? ? (K ) n?m ? n?m ? 1 (2k ? 1)? * n?m ? ? ( K ) sin n?m1 * n?m(2k ? 1) ?a ? ? , q ? 0,1,2, ? (n ? m ? 1)； n?m ? a1 ? b1 ? ? a ? ?? ?? ? n?m ?? p ??zj ?1 j i ?1nmin?m21法则4确定实轴上的根轨迹段。若实轴上某一右边的开环零 点和极点个数之和为奇数，则该实轴段为根轨迹段。 jw设s0为实轴上的某一测试点，?j是各开环零点到s0点向量相角，? i是各开环极点到s0向量的相角。 因为复数共轭零、极点到实轴上 的任一点的向量相角之和为2? ，因 此在确定实轴上的根轨迹时，可以 不考虑他们的影响。?2???3?4??2 s0? 01?1?由图可见, s0点左边开环实数零极点到s0点的向 量相角为0, s0点右边开环实数零极点到s0点的向 量相角均为?, s0位于根轨迹上的充要条件是下列 相角条件成立:? ?3?i ?1m?s ? z i ? ?（?s ? p j）（2k ? 1 ? ? ）j ?1n?? ? ??ji? (2k ? 1)?22?? ? ??ji? (2k ? 1)???j：s0点之右所有的开环实数零点到s0点的向量相角和??i：s0点之右所有的开环实数极点s0点的向量相角和.因为这些相角中每一个相角都等于?,而?与- ?代表相 同角度,于是上式条件可写成: jw ??? j ? ??i ? (2k ?1)?式中(2k+1) ?为奇数.本法得证。?3 ?42???2 s0?? 01?1?? ?323jw? pz32?p4p3z2? p10z1??24例1 给定单位反馈系统的特征方程为1 ? GH s） 1 ? （ ? K s ? 1） （ （s ? 2) s ? 4） s （绘制根轨迹的草图,确定增益K对闭环根的影响。 解: 开环零极点在S平面的分布图 实轴上的根轨迹段 S平面上的开环极点和零点以及 实轴上的根轨迹段如图所示。 渐近线有2条(3-1),其交点为 j?? -4? -1 ? 0 -2o25?渐近线有2条(3-1),其交点为?a ??pj ?1nj? ? zii ?1mn?m0 ? 2 ? 4＋ 1 ? ? ?2.5 3 ?1j?渐近线与实轴的交角分别为(2k ? 1) ?a ? ? , k ? 0,1 n?mk ? 0, ? a ? 90 ? k ? 1 ? a ? 270 ? ,? -4-2.5? -1 ? -2 0o26?法则5 根轨迹的分离角和分离点两条或两条以上的根轨迹分支在S平面相遇又立即分开的 点成为根轨迹的分离点.因为根轨迹是对称的,所以分离点 在实轴上或以共轭形式出现在复平面中,一般是前者。 根据相角条件,在同一分离点分离的各条根轨 迹分支,它们的切线将均分360度。2条根轨迹在分 离点相隔180度,4条根轨迹在分离点相隔90度。 分离点的坐标为:n 1 1 ? d ? zi ? ? d ? p j i ?1 j ?1 m27闭环特征方程是? (s ? p ) ? K ? (s ? z ) ? 0;j i j ?1 i ?1nm?m ? d ? n ?? ( s ? p j ) ? K ? ( s ? zi )? ? 0; ds ? j ?1 i ?1 ?根轨迹在S平面相遇说明闭环特征方程有重根出现,设 重根为d,则有d n ? ?s ? p j ? ds j ?1? ?s ? p ?n j j ?1?d ? ?s ? zi ? ds i ?1m? ?s ? zi ?i ?1md ln ? s ? p j） d ln ? s ? z i） （ （ j ?1 i ?1 ? ? ds ds28nmd ln ? s ? p j） d ln ? s ? zi） （ （ j ?1 i ?1 ? ds dsln ? s ? p j ） （ ?j ?1 m nnm（ ? ln s ? pj ?1 mnj）ln ? s ? z i） （ ?i ?1（ ? ln s ? z ）i i ?1?j ?1nd ln(s ? p j ) dsd ln(s ? zi ) ?? ds i ?1m29?j ?1 nnd ln(s ? p j ) dsmd ln(s ? zi ) ?? ds i ?1m n m1 1 1 1 ?s? p ??s?z ??d ? p ??d ?z j ?1 i ?1 j ?1 i ?1 j i j i30例2 某反馈控制系统,其特征方程为1 ? G( s) H ( s) ? 1 ? K ( s ? 1) ?0 s( s ? 2)(s ? 3)j?解:极点数为3,零点数为1,根轨 迹有两条渐近线中心点 ? ? [?2 ? 3 ? (?1)] ? ?2 a2－3 －2.45 －2? ?o－1?0?与实轴的交角为(2k ? 1) ?a ? ? , k ? 0,1 n?m?a ? 90?,270?(?90?)渐近线与实轴上的根轨迹段如图所示。设分离点为d:1 1 1 1 ? ? ? ? d ? ?2.45 d d ? 2 d ? 3 d ?131法则6 应用相角条件,确定根轨迹在极点处的出射角(起始角)和到零点处的入射角(终止角) 设出射角为?pj,入射角为?zi, 系统有m个零点,n个极点,在很靠近待求出射角的复数极点pi 的或入射角的复数零 点zi 的根轨迹上,取一点s1 点,除pi(zi)外,所有的开环零 极点到s1点的向量相角?zjs1和?pjs1,都可以用她们到pi(或 zi)的相角?zjpi(?zjzi)和?pjpi(?pjzi)表示。pi(或zi)到s1点的向量相角为出射角?pj(或入射角?zi). 根据s1点必须满足相角条件,应有??j ?1 mmz j pi?? ? p j pi ? ? pi ? ?( 2k ? 1)?j ?1n??j ?1z j zi? ? zi ?? ? p j zi ? 2k ? 1)? （j ?132n??j ?1 mmz j pi??? p j pi ? ? pi ? ?( 2k ? 1)?j ?1 i? jn??j ?1 i? jz j zi? ? zi ??? p j zi ? 2k ? 1)? （j ?1n? m ? m ?? n n ? ? ?? ? ppi ? (2k ?1)? ? ? z j pi z??? ?j p jipi?? ? i ? ? ? ? ? ? ? ? j pi ? ? p p j ?1 j ?1 ? j ?1 ? j ?1 ?? i ? ji ? j ? ? ?? ? m ? m ?? n n ? ? ?? ? zi ? 2k ?1)? ? ? z j z? z j z?? p j p ij z?? ? zi （? ? ? ? ? ? i ? i ??? z i ? j ?1 j ?1 ? j ?1 ? j ?1 ?? ? i? j ? i? j ??33法则7根轨迹与虚轴的交点如果根轨迹通过虚轴,则应用Routh判据,可以 很容易确定出根轨迹与虚轴的交点。 也可令闭环特征方程中s=j?,然后令其实 部和虚部等于零，求出相应的K?值和?值1 G（j? ) H ( j? ) ? 0 ＋ ? Re[1 G（j? ) H ( j? )] ? 0; ＋ Im[ ＋G（j? ) H ( j? )] ? 0 1求出相应的K? 值和?值34例3:4阶系统的特征方程如下,希望绘制K&0且不断变化时的根轨迹.K 1? ?0 s 4 ? 12 s 3 ? 64 s 2 ? 128 s解: (1)系统的特征方程已知(2) 确定系统开环零极点,有K 1? ?0 s（s ? 4）（s ? 4 ? j 4）（s ? 4 ? j 4）可见,当K从0到无穷大时,该系统没有有限的开环零点。35(3)极点在S平面的位置。(4)实轴上的根轨迹。(5)应为极点数为4,故有4条根轨迹。 (6)根轨迹关于实轴对称。 -4+4j(7)系统有4条渐近线,渐近线与实轴的 交角为:? ?j?2q ? 1 ?A ? 180 ? ? 45?,135 ?,225 ?,315 ? 4渐近线中心点为?A?4?4?4?0 ? ? ?3 4-4-30??? -4-4j36(8)确定根轨迹在实轴上的分离点.1 1 1 1 ? ? ? ? 0 ? d ? ?1.5 d d ? 4 d ? 4 ? j4 d ? 4 ? j4(9)复极点p1=4+j4处的出射角? p1 ? 180? ? ??z p ??? p p ? 180? ? 0 ? 90? ? 90? ? 135? ? ?135?j ?1j 2mnj ?1j 2复极点p2=4-j4处的出射角? p 2 ? 180? ? ??zj ?1mj p2??? p j p2 ? 180? ? 90? ? 90? ? 225? ? 135?j ?1n37（10）根轨迹与虚轴的交点 将特征方程改写为s(s ? 4)(s 2 ? 8s ? 32) ? s 4 ? 12s3 ? 64s 2 ? 128s ? K ? 0s4 1 64 Ks3 s2 s s012 53.33 c1 K128 K53 .33 ? 128 ? 12 K c1 ? 53 .33K? 53.33 ?128 ? 568 .89 1253.33s 2 ? 568.89 ? 0 ? s1,2 ? ? j3.266确定满足相角条件的根轨迹,将几个点光滑连接38K 1? ?0 s 4 ? 12 s 3 ? 64 s 2 ? 128 s?4+jj?? －3 －4 ? -4-j－1.5?0?39K 1? ?0 s 4 ? 12 s 3 ? 64 s 2 ? 128 sn=[1];d=[1,12,64,128,0];&& rlocus(n,d)40例4 给定单位反馈系统的特征方程为1 ? GH（s） 1 ? ? K（s ? 1 ） s（s ? 2)(s ? 4）绘制根轨迹的草图,确定增益K对闭环根的影响。 解: 开环零极点在S平面的分布图 实轴上的根轨迹段 S平面上的开环极点和零点以及 实轴上的根轨迹段如图所示。 渐近线有2条(3-1),其交点为 j?? -4? -1 ? 0 -2o41?渐近线有2条(3-1),其交点为? a a?? ?? p p? ? ? z ? ?zj ?j ?1 1 j j i i ?1 ?1 in nm mnn ? m ?m0 ? 2 ? 4 ? 4 ?1 0 ? 2 ? 4＋ 1 ?? ? ?2.5 ? ?3 4 ?1 3 ?1ij?渐近线与实轴的交角分别为(2k ? 1) ?a ? ? , k ? 0,1 n?m k ? 0, ? a ? 90 ? k ? 1 ? a ? 270 ? ,? -4? -1 ? -2 0o42?1 1 1 1 ? ? ? ? d ? ?2.9 d d ? 2 d ? 4 d ?1j?? -4－2.9? -1 ? -2 0o－2.5?43K（s ? 1） 1 ? GH （s） 1 ? ? s（s ? （s ? 4） 2n=[1,1]; && d=[1,6,8,0]; && rlocus(n,d)44例5开环传递函数K（ss? 1.5)(ss? 2 ? jj )(s? 2 ? jj ) K（ ? 1.5)( ? 2 ? )(s ? 2 ? ) ss( s? 2.5)(ss? 0.5 ? j1.5)(ss? 0.5 ? j1.5)) ( s ? 2.5)( ? 0.5 ? j1.5)( ? 0.5 ? j1.5试绘制该系统的概略根轨迹? ?45K ? s ? 1.5)(s ? 2 ? j )(s ? 2 ? j ) （ s ( s ? 2.5)(s ? 0.5 ? j1.5)(s ? 0.5 ? j1.5)×-0.5+j1.5-2+j× ×-2.5-1.50-2-j-0.5-j1.5×46? K（s ? 1.5)(s ? 2 ? j )(s ? 2 ? j ) s( s ? 2.5)(s ? 0.5 ? j1.5)(s ? 0.5 ? j1.5)n=[1,5.5,11,7.5];d=[1,3.5,5,6.25,0];rlocus(n,d)47法则8n根之和m（s－p j） K ? ? s－zi） s n ? a1s n?1 ? ? ? an?1s ? an ? （ ? ?j ?1 i ?1当n-m??2时，特征方程第二项系数与K?无关，开环n 个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和? s ?? pi ?1 i i ?1nni说明：当开环增益K?增大时，若闭环某些根在S平面 向左移动，则另一部分根向右移动。该法则对判断根 轨迹的走向是很有用的。48应用幅值条件确定与闭环根sx 对应的参数Kx 的取值。sx处的幅值条件为?K x?ns－p j s ? sx s－zi?i ?1j ?1 m?P(s) ? 180? ? q360?, q ? 1,2,?? (s ? zK*j ?1 n i ?1mj) ? ?1? (s ? p )i49课堂练习：已知反馈控制系统的开环传递函数为 K? 1 ? G( s) H ( s) ? s( s ? 4)(s 2 ? 4s ? 20)试绘制系统的根轨迹50selected_point = -0.0474 + 3.1553i K* =251.8369514.3广义根轨迹常规根轨迹:以系统开环增益K?由零变化到无穷大时的根轨迹。广义根轨迹:除非开环增益K?以外其他情形下的根轨迹参数根轨迹 以非开环增益为可变参数 绘制的根轨迹广 义 根 轨 迹零度根轨迹如果研究的控制系统为非最小相角系统 (S右半平面具有开环零极点的控制系统), 此时绘制的根轨迹为零度根轨迹.52参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹绘制参数根轨迹的步骤和绘制常规根轨迹的步骤完全 相同,只要在绘制参数根轨迹之前引入等效单位反馈系统 和等效传递函数概念,则常规根轨迹的所有绘制法则均使 用于参数根轨迹的绘制。即 P( s ) 1 ? G( s) H ( s) ? 0 ? A ? ?1 Q( s ) A为除K? 外的系统任意变化参数,而P(s) 和Q(s)为两个 与A无关的首一多项式.则等效的开环传递函数为p(s) A q(s)绘制根轨迹就是参数A 变化时的参数根轨迹.53如：某系统的开环传递函数为 20 G(s) H (s) ? s( s ? a)试绘制该系统的根轨迹20 ?1 ? 0 解：1 ? G ( s ) H ( s ) ? s( s ? a)20 ? 1 ? 0 ? s( s ? a) ? 20 ? 0 s( s ? a)s 2 ? as ? 20 ? 0等效开环传递函数s 2 ? 20 ? as ? 0as 1? 2 ?0 s ? 2054as ? 2 ?0 s ? 2055例6：分析Td对系统性能的影响，并比较系统2和系统3在 具有想通阻尼比?＝0.5时的有关特点。 R(S) C(S) 15－ R(S) －s (5 s ? 1)系统1（ ＋Td s) 511 s (5 s ? 1)C(S) 系统2R(S)5－1 s (5 s ? 1)C(S)系统3561 Td s ＋系统1 系统25 ?1 s ) ? （ s (1 ? 5s ) ? 5 5(1 ? Td s ) ? 2 s) ? （ s (1 ? 5s ) ? 5(1 ? Td s ) 5 ?3 s) ? （ s (1 ? 5s ) ? 5(1 ? Td s )系统3上页下页返回575(1 ? Td s ) ? 2 s) ? （ s (1 ? 5s ) ? 5(1 ? Td s ) 5 ? 3 s) ? （ s (1 ? 5s ) ? 5(1 ? Td s )系统2和系统3闭环极点相同，但闭环零点不同。 系统2和系统3的闭环特征方程：s(1 ? 5s) ? 5(1 ? Td s) ? 0s 1 Td ＋ ?0 s ( s ? 0.2) ? 1等效开环传递函数581 ＋Tds ?0 s ( s ? 0.2) ? 1-0.5 + 0.87j Td= 0.8600-0.5- 0.87jTd= 0.859零度根轨迹定义:如果研究的控制系统为非最小相角系统(S右半平 面具有开环零极点的控制系统), 此时绘制的根轨迹为 零度根轨迹。 来源: (1)系统中包含S最高次幂的系数为负,是由于被控 对象如飞机,导弹的本身特性所产生,或在系统结构图变 换过程中产生。 (2)控制系统中本身包含有正反馈内回路,是由于 某种性能指标要求使得系统必须包含正反馈内回路。60以正反馈系统为例,说明零度根轨迹的绘制方法. 正反馈系统的根轨迹方程为：G( s) H ( s) ? 1相角条件（ ? ?s ? z ? ?（?s ? p ）? 2k）?i j i ?1 j ?1mn幅值条件K ??j ?1ns ? pj?i ?1ms ? zi61法则3：若实轴上某一右段的开环零极点个数之和为 偶数,则该实轴为根轨迹段。法则4：渐近线与实轴的交角为?A ?2q 180 ?；q ? 0，2 ? n ? m ? 1 1 （ ， ） n?m法则5：根轨迹的出射角和入射角的计算公式?p ?i i??j ?1 mmz j pi? ? ? p j pi ；j ?1jn? z ? ? ?? z （j ?1zi? ? ? p j zi ）j ?162n4.4 控制系统的根轨迹分析1：闭环零极点分布与时间响应 （1）主导极点 （2）偶极子：闭环零极点相距很近 （3）可简化系统，略去比主导极点距虚轴 远2-3倍的闭环零极点，略去不十分接近原点 的偶极子。632：附加零点的影响x x -0.5K? G( S ) H ( S ) ? S (S ? 1) K ? (S ? 2) G( S ) H ( S ) ? S (S ? 1)-0.58xx642：附加极点的影响K? G( S ) H ( S ) ? S (S ? 1)x -0.5x65K? G(S ) H (S ) ? S ( S ? 1)(S ? 2)664.5用MATLAB绘制根轨迹? MATLAB中专门提供了绘制根轨迹的有关函数。 ? [p,z]=pzmap(num,den)的功能是绘制连续系统的零极点图。 ? [r,k]= rlocus (num,den) 和[r,k]= rlocus (num,den,k)的功能是绘制根轨迹图。 ? [r,k]= rlocus (num,den)是绘制k=0部分的根轨迹。系统自 动确定坐标轴的分度。如果用户需要设置坐标的范围，只要 在程序中加上指令：v=[-x, x, -y, y]; axis(v)。如果要 以给定的参数范围绘制根轨迹，则执行命令[k,poles]= rlofind (num,den,p)。 ? [k,poles]= rlofind (num,den) 和[k,poles]= rlofind (num,den,p)的功能是确定根轨迹上poles处的根轨迹放大系 数的值。67例7 用MATLAB绘制例4.1的根轨迹图。k ( s ? 3) k ( s ? 3) G( s) H ( s) ? ? 5 2 s( s ? 5)(s ? 6)(s ? 2s ? 2) s ? 13s 4 ? 54s 3 ? 82s 2 ? 60s键入：n ? [1,3]d ? [1,13,54,82,60,0]rlocus(n, d )键入回车键，可得如图 所示根轨迹图。68
第四章 根轨迹法习题 4页 免费 第三章 作业 5页 免费 单片机试卷17 3页 免费 自控答案4 21页 10财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能...第四章 根轨迹分析法答案 4-1 (1)根轨迹增益 K g ? K* K* K* K* ,开环增益 K ? (2) 根轨迹增益 K g ? ,开环增益 K ? 3 3 2 4 (3) ...第四章 根轨迹法一、教学目的及基本要求 1、掌握 根轨迹的绘制规则 2、掌握 根轨迹的绘制规则 3、掌握典型系统的根轨迹绘制 4、掌握部分非最小相位系统的根轨迹...第四章 根轨迹法一、本章内容提要: 本章内容提要 1.介绍了系统开环传递函数的极点、 零点已知的条件下确定闭环系统的根轨迹法, 并 分析系统参量变化时对闭环极...第四章 根轨迹法习题及答案 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 G (s) H ( s) = K* ( s + 1)( s + 2)( s + 4) 试证明点 s1 ...第四章 根轨迹分析法答案 4-1(1)根轨迹增益 K g ? K* K* K* K* ,开环增益 K ? (2) 根轨迹增益 K g ? ,开环增益 K ? 3 3 2 4 (3) 根...第4章根轨迹1 50页 1下载券 第4章根轨迹法 133页 免费 第4章 根轨迹法 102页 1下载券 第4章根轨迹分析法 36页 免费 第4章 根轨迹分析 98页 免费 第...第四章 根轨迹法 习题_理学_高等教育_教育专区。第四章 G ?s ? ? 根轨迹法 4-1 试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图: K ?...第四章班级___ 根轨迹法习题学号___ 姓名___ K* 4-1 系统的开环传递函数为 G(s)H(s) ? , (s ? 1)(s ? 2)(s ? 4) 试证明 s1 ? ?1 ? ...第4章 利用MATLAB绘制系统根轨迹_电子/电路_工程科技_专业资料。第 4 章 利用 MATLAB 绘制系统根轨迹一、 利用 MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识 假设闭环系统中的...
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