一类复幂级数在收敛圆周上敛散性讨论
0引理一个幂级数在其收敛圆上的敛散性有3种可能:(1)处处发散;(2)既有收敛点也有发散点;∞(3)处处收敛。对于一个幂级数∑n=0cnzn,若其收∞敛半径R为有限数,幂级数∑n=0cnzn在|z|=R上的收敛性没统一的判别方法。本文就幂级数系数∞cn在一定条件下,∑n=0cnzn在收敛圆周上的敛散性进行讨论[1,2]。1定理引理1:(狄利克雷判别法)若数列{an}单调∞递减,且limn→∞an=0,又级数∑n=0bn的部分和数列有∞界,则级数∑n=0anbn=a1b1+a2b2+…+anbn+…收敛。∞引理2:若级数∑n=0cnzn,cn=an+bn(n=1,∞2…),an,bn均为实数,则∑n=0cnzn收敛的充要条件∞是∑n=0an,∑∞n=0bn都收敛。∞定理:若幂级数∑n=0cnzn的系数cn满足下列条件:(1)cn0,n=0,1,2…;{cn}单调递减;li...&
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幂级数在收敛圆周上发散与和函数奇点的关系林甫（鞍山师范学院）摘要通过幂级数　在收敛圆周上发散性与　的关系．证明了若和函数ｆ（Ｚ）在收敛圆周上存在极点，则幂级数　必在此圆用上处处发散。关键词幂级数收敛圆，发散，极点分类号Ｏ１７３．１，Ｏ１７４．５一般情况下，在幂级数的收敛圆周上，和函数的奇点与其幂级数的发散点之间是没有简单关系的［１］．那么两者之间到底有哪些联系呢？就此问题，本文作一初步探讨。为方便计，先考虑收敛圆为单位圆的情况。引理若ｌｉｍａｎ＝Ａ（ｃｏｓｎｔ），则幂过数在｜Ｚ｜＜１内收敛；若ｌｉｍａｎ≠０，则在｜Ｚ｜＜１内收敛的幂级数在｜Ｚ｜＝１上处处发散。证明　由ｌｉｍａｎ＝Ａ，所以时，有进而有当｜Ｚ｜＜１时，由的收敛性，便有的收敛性，进而得到的收敛性。对于在｜Ｚ｜＜１内收敛的幂级数，假设其在｜Ｚ｜＝１上收敛，则必有，但在｜Ｚ｜＝１上的任何一点，故必有即，当时，在｜Ｚ｜＜１内收敛的幂级数，在｜Ｚ｜＝１上处处发散。作者：男，５...&
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一、幂级数在收敛圆边界附近的渐近状况 笔者在《Abel第二定理的一个推广》一文(载信阳师范学院学报(自然科学版)1982.1)中证明了下面的定理1: 定理1:设两无穷序列{an},{bn}满足条件 (i)b。0,n。0,二,二,…l OO (n)2 bnZ“当1Z。,11=0,1,2,…1 (n)二 b。Z“对所有 Z值收敛I D’口 ·1·(iii)tim 一广”-=C 、。。。—、-b。则级数Zan二“对每个Z都是绝对收敛的,而且如果I是R中的区间LO,+。,则 m 2 anZ” 皿-0 tim…..=C Z—。mH。。 z8 刁’——一(R是实直线R与两个记为+。和-co(无穷远点)的新元素的并集。) 证明:仿定理1的证法即可证得本定理。 不难将定理1推广为更一般的形式,为此先引入下面的几个引理。 引理 1:给定一复数序列{Sn },定义算术平均数an为 b。十hi+…+b。^、。 口。=——一———一、———.n“0.I...&
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在文〔门中,关于幂级数在收敛圆边界附近的渐近性有如下三个定理:定理A.设f(z)二艺心乙g(目二万始”此处几)O,饥o;又这两幂级数在O0,b。*0,又这二级数在 a。*、cb·,则在二,l时有。(二)=叉b·*二”“ k,0o。,必有N,使KN时有 Ia”*一cb,*}(“b,*于是If(二)一eg(二)!=艺(a·*一cb·,)二”“(}艺(a。,一。·、)/”左{r+}全(二、一、*)/,“! ’k=到+1成艺一a·*一eb·*卜。艺b·,二”左k=N+1(艺la。*一cb·,l+:。(“)在固定N后,由于当 N k=0二,1时,g(劝,co,故能取d。,使当1一d1一占)这就证明了当二,几时有 f(劝、cg(x)证毕. 在定理1中,令吸二吞,则定理1就变成了定理只.也就是说定理A是定理1的一特殊情形。这个定理仍属于从系数规律推出级数在边界点二=1附近的渐近性态型定理。下面我们对定理A作另一不同方向上的推广,它的特点不仅在...&
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复的幂级数】Cl卜－a）n在收敛圆k：z－al＜R（＜R。＋ac）内的和函数f卜）具n＝O有一些很好的性质，如：①／卜）在卜内解析；②／卜）在卜内具有任意阶导数，且可逐项求导至任意阶，即：／罗二二＊（n一）…二·（n一＊十l）·Cn（一＊）n－＊，（ek，mC）等。但其和函数在收敛圆周！z－al。以o＜B＜＋一）上的解析性又如何呢？以下定理回答了这个问题。定理l，如果幂级数】Cn卜－a尸的收敛半径fiR①＜R＜＋acX且：n＝0f（z）＝h／z－a）”／z6k：Iz－al＜R），则Fh）在收敛圆周C：Iz－al＝R上至少有一奇点，即不存在这样的函数F（z），它在k内与F～）恒等，而在C上处处解析。钟玉泉先生在他所编的《复变函数论》中给该定理出了一种证法［‘］，这种证法不仅用到了以下引理、泰勒定理，而且还用到了有限覆盖定理。而本文中的证法，只用到引理及泰勒定理，并不需要用有限覆盖定理。为了给出证明，先给出引理及泰勒定理。引理：设L...&
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1 引 言 在有关复变函数的研究中,经常会遇到这样的问题,已知函数gk)与函数hk巾9幂级数展开式,要求函数f(Z)一iyy的幂级数展开式,通常情况下,解决这一类问题的常用方法是待’”“’““’“””””“”“”h)““””“’““’“””“”“””“”’”””““““’““”“’””“”“‘““”定系数法,其实质是利用幂级数的乘法法则,虽然有效,但其计算量较大。那么,能否在待定系数法的基础上,通过方式的适当改进,使其过程变得相对简捷一些呢? 我们还是从幂级数本身的结构出发,幂级数的每一项都是非负整数次幂的幂函数,可以形象地看作是按自变量Z升幂排列的“无穷多次多项式”,由幂级数定义的这类函数,在许多方面几乎与多项式类似,虽然幂级数的和函数可能很复杂,但是它总可以用幂级数的部分和——几次多项式函数近似地代替其和函数,其误差可以达到任意指定的精确程度。因此,我们可以考虑把多项式的有关运算引进到幂级数里面来进行。 在多项式的带余除法中...&
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复变函数期末试卷.doc 南昌大学学年第一学期期末试卷一填空每题2分，共10分。1设，则31IIZ????Z2设C为沿原点Z0到点Z1I的直线段,则2??CDZ3函数FZ在点Z0处的留数为__________________115??4若幂级数处收敛，则该级数在Z2处的敛散性为IZCN20????在5设幂级数的收敛半径为R，那么幂级数的收敛半径为????012NNZC二单项选择题每题2分，共40分。1．复数的辐角为（B）I586Z?A．ARCTANB．ARCTANC．ΠARCTAND．ΠARCTAN．方程所表示的平面曲线为（）1REZA．圆B．直线C．椭圆D．双曲线3．复数的三角表示式为（C）5ISNCO??A．B．4I5S＋54ISN3CO?－C．D．IN3CO?＋I－4．设ZCOSI，则（A）A．IMZ0B．REZΠC．|Z|0D．ARGZΠ5．复数对应的点在（A）I3E?A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．设WLN1I,则IMW等于（B）A．B．C．D．4?－?1,0K,42???－4??1,0K,42????7设函数FZUIV在点Z0处可导的充要条件是DAU,V在点Z0处有偏导数CU,V在点Z0处满足柯西黎曼方程BU,V在点Z0处可微DU,V在点Z0处可微，且满足柯西黎曼方程8．若函数FZ在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且ZA为D内任一点，N为正整数，则积分等于（D）???CNAZF1A．B．C．D．2FI?2AFNI?2AIFN?2AFNI?9．设C为正向圆周｜Z1|2,N为正整数，则积分等于（C）???CNIZD1A1B．2ΠIC．0D．I?2110．设C为正向圆周|Z|2，则积分等于（A）DZC??A．0B．2ΠIC．4ΠID．8ΠI11．设函数FZ，则F（Z）等于（D）?ZDE0?A．B．C．D．1?ZE1??E1??ZE1??ZE12．设积分路线C为Z1到Z1的上半单位圆周，则等于（D）?C2DA．B．C．D．I2?I2?I?I2?13．幂级数的收敛区域为（B）???1NZA．B．C．D．??|0???|Z1|Z0?1|Z?14．是函数FZ的（D）3Z??3SINA一阶极点B．可去奇点C．一阶零点D．本性奇点15．Z1是函数的（A）41ZCOT?A3级极点B．4级极点C．5级极点D．6级极点16．幂极数的收敛半径为（D）???1NN2（A0B．1C．2D．＋?17．设Q（Z）在点Z0处解析，,则RESFZ,0等于（B）1ZQF?A．Q（0）B．－Q（0）C．Q′（0）D．－Q′（0）18．下列积分中，积分值不为零的是（D）A．C．2|Z3DZ,2ZC???为正向圆周｜其中1|ZCDZ,SINC??为正向圆周｜其中B．D．5|,EC为正向圆周｜其中2|,1OC为正向圆周｜其中19级数是B???1NIA收敛B发散C绝对收敛D条件收敛20在|Z|1内解析且在（1，1）内具有展开式的函数只能是（A）????0NNX1ABCDZ1?2Z?Z2Z?三．计算及应用题（每题10分，共50分）。1．求函数在Z1处的泰勒展开式及6Z51F2????????|21ZZZG在内展开为洛朗级数2．设2PIIZ032PISINZ022COS23???FZZDZF????及求，3．给定积分试就下列不同情形，写出此积分的值?CZE21C为正向圆周|Z|1，2C为正向圆周|Z2|1,3C为正向圆周|Z|34．已知解析函数FZUX,YIVX,Y的虚部VX,YX33XY2,并且FI0,求FZ5讨论的可导性与解析性YIXZF2??南昌大学学年第一学期期末考试试卷一、填空题每空3分，共15分1、复数的模＝_____________________。48ZI|Z2、________________。I?3、设C为正向圆周2，则___________________________。|?CD2Z?IZE4、Z1是的____________级零点。13??ZF5、设，则________________。ZE?0,RZFS二、单项选择题（每题3分，共15分）1、当等于什么实数时，等式成立（）YX,IIYX???135（A）B40?,2?（C）D1,YX4YX2、函数把Z平面上的曲线映射成为平面上的（）Z?2?YX?（A）一条过原点的直线（B）一个过原点的圆VU?（C）上半平面（D）方程为的圆0IM?412??VU3、设为正向圆周，则的值为（）C3|?Z??CDZ1（A）0（B）（C）1DI?2I?24、是的（）?ZSIN（A）可去奇点（B）一级极点（C）本性奇点D零点5、下列函数处处解析的是（）（A）（B）IYXZF?2IYXZF32??（C）D??SNCOE三、（10分）设ZZ,IMR,I12求?四、（10分）将复数化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。0SINCO???????Z五、（10分）设函数问常数取何值时，在2222YDXCIBYAXZF?DCBA,ZF复平面内处处解析六、（10分）证明为调和函数，并求其共轭调和函数和由它们构成的解析函数YXU23,??,YXV。IVZF??七、（12分）计算下面积分的值，其中C为正向圆周|Z|3（1）（2）??C2DZ1I??C5DZ1OSI?八、（10分）将内展开为洛朗级数????|ZZ1F在九、（8分）用留数计算实积分??X12DI南昌大学学年第一学期期末考试试卷一、填空题每空3分，共15分1．（1＋I）3＋（1－I）3＝____________2E。2??3．＝其中C为正向圆周＝4。?CDZZ4．＝（其中N为正整数）。??12SINZD5RES__________???????,2ZE二、选择题每题3分，共15分1．下列函数极限存在的是（）A．BCD－0LIM?ZRE0LIM?Z0LI?Z12??Z0LIM?Z21Z2．将Z平面上的曲线X2Y24映射成W平面上的曲线U2V2的映射函数FZ为4A．WBWZ2CWDWZZ3．下列命题正确的是（）A．如果在Z0连续，那么存在F'0ZFB．如果存在，那么在Z0解析'0FFC．如果在Z0解析，那么存在F'0FD．如果Z0是的奇点，那么在Z0不可导FF4．下列级数绝对收敛的是（）A．BCD???1NI??2LNI????0856NNI??????????12NNI5．是FZ的（）?ZA．可去奇点B一级极点C本性奇点D二级极点三、计算题每题10分，共70分1已知为调和函数，求满足F2I的解析函数FZUIV。YXU12??2．设FZ1试求F1；2当时，试求FZ。???23??DZ2?Z3求函数FZ在圆环域内的洛朗展开式。12?????13Z4计算积分DZ，C为正向圆周＝5。??CZ45计算。????DX21SIN6求，其中和的起点和终点相同，都是0和1＋I，但路径不同，是连接这两?1REZ?2Z12?1?点的直线段，是经过Z1的折线段。7设级数收敛，而发散，证明的收敛半径为1。???0NC??0NNZC???0南昌大学学年第一学期期末考试试卷一、填空题每空3分，共15分1．设，则IMZ＝。10IZ??2方程LNZ的解为。?3．设C为正向圆周|Z|1，则＝。??CDZ14．幂级数的收敛半径为。???1N2Z5奇点类型是。的为函数23ZZ?二．选择题每题3分，共15分1．复数的辐角为（）I2186?AARCTANB．ARCTANC．ΠARCTAND．ΠARCTAN2121212设ZCOSI，则（）A．IMZ0B．REZΠC．|Z|0D．ARGZΠ3．设函数FZ，则F（Z）等于（）?ZDE0?A．B．C．D．1?ZE1??E1??ZE1??ZE4．设Q（Z）在点Z0处解析，,则RESFZ,0等于（）ZQF?A．Q（0）B．－Q（0）C．Q′（0）D．－Q′（0）5．是函数FZ的（）?ZCOS1IN?A一级极点B．可去奇点C．一级零点D．本性奇点三．计算题每题10分，共70分1求的共轭调和函数VX,Y，并使V0,0＝1。22YXU?2．求其中C为不经过Z1的任意简单闭曲线，N为整数。?CNZ13试求函数FZ在点Z0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。?DEZ02?4利用留数计算积分DZ，其中C为正向圆周＝4?CZ413Z5设223???FDZF????，求，其中6将内展开为洛朗级数。???|1ZZF在7若复数的模相等且0证明构成等边三角形的三个顶点。321,08复变答案一．1．42345二．1．C2C3C4C5AIE?I?81?NI?E三．1IZIYXIXIYUIXZF222???????又则CIF??2CF?IZF?2（1）I??????????IDF（2）时?Z0ZF时?Z123??ZIZF3时，?????????????13122F????3Z13??Z?????????????03131NNZZZZ????????12NNNZF4?????????????????????????????????4,1RE1,41RE0,41RE2454ZZSZZSZZSIDZ?????????????,41E2ZSI?????????0,41RE2ZZSI????????,E24SI?7收敛在Z1上收敛，由ABEL定理可知???0NC????0NZ时，必绝对收敛，则可知的收敛半径1?1???0NZC1?R又若，则在上必绝对收敛，那么在上收?R??0NZ1?敛，即收敛这与已知发散矛盾。所以的收0NC??0N??0NZ敛半径R1。（Z0是可去奇点）＝05??????????????????????????IZEIIZSIDXEDXIIILM2I,1RI1IN222?EI?????????????II16；其中，TZ???10?212C??TZ?1TIC?120?；则1RE101IDTI???IDD???RE02??1REZD?2ZI3
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