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一理想气体等温可逆膨胀，按第一定律△U=Q－W，△U=0，Q=W，即系统所做的功等于系统与环境传递的热量，即热转化为功
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提问人：匿名网友
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一理想气体等温可逆膨胀，按第一定律△U=Q-W，△U=0，Q=W，即系统所做的功等于系统与环境传递的热量，即热转化为功的效率为100%，这与热力学第二定律相悖吗？
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1证明Cp-CV=TVα2/β，其中，，膨胀系数；，压缩系数。且对理想气体求Cp-CV=?并证明对液体有Cp≈CV。2在25℃时，二元系统处于气液液三相平衡状态，通过分析两个平衡的液相的组成得，已知两个纯组分在系统温度下的饱和蒸气压分别是，在合理的假设下估计&&(1) 两组分的活度系数；&&(2) 平衡压力；&&(3) 平衡气相组成。3125℃水蒸气，1atm(状态1)，被放置在一个绝热的带活塞的圆筒形容器中，由电加热到200℃(状态2)，如果活塞外界的压力为1atm，每千克水蒸气需要吸收多少热量?4常压下，水蒸气由t1=200℃被凝成90℃的水，再加热到100℃，汽化后再加热到t2=550℃，假设常压下的水蒸气为理想气体，计算该过程所需的热量，并已知，T单位为K；单位为J·mol-1·K-1，模型参数为&&a=32.24，b=1.908×10-3，c=1.057×10-5，d=-3.602×10-9
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有2mol理想气体，从始态300K、20dm3，经下列不同过程等温膨胀至50dm3，计算各过程的Q、W、△U、△H和△S。
（1)可逆膨
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有2mol理想气体，从始态300K、20dm3，经下列不同过程等温膨胀至50dm3，计算各过程的Q、W、△U、△H和△S。&&(1)可逆膨胀；&&(2)真空膨胀；&&(3)对抗恒外压100kPa膨胀。
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1有1mol甲苯CH3C6H5(l)在其沸点383K时蒸发为气体，计算该过程的Q、W、△U、△H、△S、△A和△G。已知在该温度下，甲苯的汽化热为362kJ·kg-1。2在一绝热容器中，装有298K的H2O(l)1.0kg，现投入0.15kg冰H2O(s)，计算该过程的熵变。已知H2O(s)的熔化热为333.4J·g-1，H2O(l)的平均比热容为4.184J·g-1·K-1。3实验室中有一个大恒温槽，其温度为400K，室温为300K，因恒温槽绝热不良而有4.0kJ的热传给了室内的空气，用计算说明这一过程是否可逆。4有1mol过冷水，从始态263K、101kPa变成同温、同压的冰，求该过程的熵变，并用计算说明这一过程的可逆性。已知水和冰在该温度范围内的平均摩尔定压热容分别为Cp,m(H2O，l)=75.3J·mol-1·K-1，Cp,m(H2O，s)=37.7J·mol-1·K-1；在273K、101kPa时水的凝固热为△fusHm(H2O，s)=-5.90kJ·mol-1。
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大学物理(下)-总教案
1.宏观描述方法---热力学方法 ?由实验确定的基本规律，研究热现象的宏 观特性和规律。 ?对系统进行整体描述。2.微观描述方法---统计物理方法第二篇★引言热学(Heat)?从物质的微观结构出发，用统计平均的方 法，研究热现象及规律的微观本质。 ?两种方法相辅相成。一、热学研究对象及内容 1.对象：热力学系统 ?由大量分子或原子组成 ?系统外的物体称外界 2.内容：与热现象有关的性质和规律 热现象：物质中大量分子热运动的集体 表现。三、几个概念 1.宏观量与微观量 (1)宏观量 (macroscopic quantity) ?表征系统整体性质的物理量 ?可直接测量(如体积、压强) ?广延量：有累加性(如质量、能量)二、热学的研究方法1 2强度量：无累加性(如温度、压强)?描述系统平衡态的宏观参量 ?常用：P、V、T(2)微观量(microscopic quantity) ?描写单个微观粒子运动状态的物理量 ?一般不能直接测量(如分子质量、能量) ?宏观量是微观量的统计平均值 (如压强和大量分子撞击器壁时动量变化率 的统计平均值有关)?平衡态下状态参量不随时间变化 ?在 P---V 图上一个点表示一个平衡态。4.状态方程(equation of state) ?状态参量之间的函数关系 f (P,V,T) = 0 ?理想气体状态方程 M PV = μ RT2.平衡态(equilibrium state) ?在不受外界影响的条件下，系统宏观性质 不随时间改变的状态(热动平衡)。 ?平衡态是一定条件下对实际情况的概括和 抽象。P = nkT(n―分子数密度) ?玻耳兹曼常数 k= R = 1.38×10-23 J/K NA3.状态参量34第1章气体动理论4.分子服从经典力学规律 二、理想气体分子的统计假设(Kinetic Theory of Gases) 本章讨论： ?气体的压强与温度 ?气体分子按速率和按能量的分布 ?实际气体的状态方程 ?输运过程 特别注意：统计平均的方法及统计性的规 律 §1 理想气体的压强和温度 一、理想气体的微观模型 1.忽略分子大小(看作质点) 分子线度&&分子间平均距离 2.忽略分子间的作用力(分子间碰撞、分子 与器壁 碰撞时除外) 3.碰撞属完全弹性5(统计假设是对大量分子而言) 1.平衡态时，分子按位置的分布均匀 ?分子在各处出现的几率相同(重力不计) ?容器内各处分子数密度(单位体积中的分 子数)相同 N dN n = dV = V2.平衡态时，分子速度按方向的分布均匀 ?由于碰撞，分子往各方向运动的概率相同 ?υx = ?υy = ?υz = 0 ??υ2x = ?υ2y = ?υ2z = 1 ?υ2 3 2 2 其中 2 υ 1x + υ 2x + … + υ2Nx ?υ x = N?υ2 = ?υ2x +?υ2y +?υ2z6三、理想气体压强公式 1.压强公式的推导 y S Ii(1)一个分子碰壁一次对壁的冲量 ?对第 i 个分子 碰前速度: υi (υix , υiy , υiz ) 碰后速度: υ′i (υ′ix , υ′iy , υ′iz ) ?S 面光滑(无摩擦)，由弹性碰撞υ′i ? υ′ix mil2mi?υi υixx l3υ′iy = υiy , υ′iz = υiz υ′ix = - υix?分子 i 碰 S 一次受的冲量 Ii(一次) = mυ′ix - mυix = - 2mυix ?分子 i 碰 S 一次对 S 的冲量 IiS(一次) = - Ii(一次)= 2mυix (2) Δt 内分子 i 对壁的冲量 ?Δt 内分子 i 碰 S 的次数 y l1l1 z理想气体压强公式的推导前提：?平衡态 ?分子总数 N，分子质量 m ?矩形容器 V = l1 l2 l3?忽略重力，气体均匀分布， 6 个面压强相同，考虑 S 面 步骤:7υixΔt2 l1 l2 x8?理想气体压强公式的推导?Δt 内分子 i 对 S 的冲量 IiS = (有2 ixυixΔt ) 2mυ = mΔt υ ix2 l1 l11 ? 2 ? 2 P = nm υ x = 3 nm υ理想气体压强公式 (3)Δt 内 N 个分子对 S 的冲量 I = Σi IiS = ( mΔt )Σi υ2ix l1 (4) S 面上的压强 ?S 受的平均冲力 I ?F = Δt = ( m )Σi υ2ix l1 ? S 面上的压强 m 1 )Σi υ2ix] P = ?F = [( l2 l3 S l1 = ( m )Σi υ2ix V ?因为 Σ υ2 ?υ x = i ix N2或1 P = 3 nmυ2 2 P= nε 3 tε t = 1 mυ 22为分子的平均平动动能其中思考:如考虑到分子间的碰撞， 对上述结果有 无影响? 2.压强的微观意义 ?压强是大量分子碰撞器壁的平均作用力 (单位面积上)的统计平均值。 ?压强公式显示了宏观量和微观量的关系。9 10V = l1 l2 l3 n= N V?压强是统计概念，只能用于大量分子的集 体。 四、 温度的微观意义 1.平均平动动能和温度的关系 由 P = 2 nεt 3 P = nkT(2)“单个分子的温度”有无意义？为什么？ (3)温度所反映的运动是否包括系统的整体 运动？ 3.方均根速率(root―mean--square speed) ---分子速率的一种统计平均值 由 有εt = 1 mυ2 = 3 kT 2 2√υ2 = √ 3kT = √ 3RT m μ理想气体的内能可得εt = 3 kT22.温度的微观意义 温度标志着物体内部 分子无规则运动的 剧烈程度 (用εt 示) 思考： (1)能否用温度概念描述处于非平衡态的系 统的状态？11§2 能量均分定理 一、自由度1.自由度(degree of freedom)： 决定物体空间 位置所需要的独立坐标的数目。 ?质点: ?刚体: i = t ≤ 3， i=612(t--平动自由度)质心平动： t=3 轴方位：y ??绕轴转动自由度无意义 i=t+r=5α, β, γ , 两个独立绕轴转动： ? z i = t + r = 3 +3 = 6， ( r―转动自由度)β γ αx刚体的自由度(3)多原子分子(H2O、 NH3、 CO2、…) i=t+r=6 二、能量均分定理 (Principle of the equipartition of energy) 1.能量均分定理 ?平动情形?非刚体：i & 6， (还有内部相对运动) 2.气体分子的自由度 考虑：刚性分子，无内部相对运动 (低温、常温下如此) (1)单原子分子(He、 Ne、 Ar、…) i = t = 3， (2)双原子分子(O2、H2、 CO、…) t=3 r=213由平均平动动能 平动自由度εt = 3 kT2 t=3?每个平动自由度的平均动能都相等，为1 kT 2由于分子的无规则碰撞，能量不仅在分子 间交换，还可在平动自由度间转移，没有14双原子分子示意图哪个平动自由度占有优势。 ?分子有转动的情形 无规则碰撞过程中，能量可在平动、转动 间及转动自由度间交换，没有哪个自由度 特殊。 各自由度的平均动能都是相等的 能量均分定理(Principle of the equipartition of energy) ： 在温度为 T 的平衡态下， 气体分子每个自 由度所对应的平均动能都等于?双原子分子(刚性) ?εk = (5/2) kT ?多原子分子(刚性) ?εk = 3kT 三、理想气体内能 1.内能：内能(Internal energy)是气体内所有 分子的动能、分子内的势能与分子间的相 互作用势能的总和。 2.理想气体内能 ?对理想气体，分子间的势能为零 ?对刚性分子，分子内的势能为零 理想气体内能(Internal energy of ideal gases) 是其所有分子的平均动能之和 ?若气体有 N 个分子，则内能 E = N εk = N( i ) kT 2 因 R k=NA1 kT 22.分子的平均动能i εk = 2 kT?单原子分子15?εk = (3/2) kT，16N NA = ν (摩尔数)有理想气体内能一、速率分布函数 1.统计方法 ?把速率分成很多相等的间隔Δυ ?统计每Δυ间隔内的分子数ΔN o理想气体内能只是温度的函数，且和热力 学温度 T 成正比。 §3 麦克斯韦速率分布律 ?分子的速度分布、速率分布有无规律? 分子数多； 分子速度的大小、方向千变万化 ?单个无规则，整体有规律(统计规律) 统计：每 5 分钟间隔 内进电影院的 人数。 o 实例：人口情况统计开演时刻 实例用图i E = 2 νRTυ υ +Δυ速率间隔υ? ΔN ： υ → υ + Δυ 间隔内分子数与分子 N 总数 N 之比 ? ΔN ：某υ 处单位速率间隔内分子数与 NΔυ 总数之比。 dN ? Ndυ ：某υ 处单位速率间隔内分子数与 总数之比 t 2.速率分布函数 速率分布函数(Function of distribution of18进场人数17speeds)2.讨论 (1)速率范围： 0→∞ 即 dN Ndυ dN Nf (υ) = 1 ( dN ) N dυ二、麦克斯韦速率分布律 ?1859 年 Maxwell 用概率论 证明了理想气体分子按速 度的分布是有规律的。 ?速率分布律：分子数按速度大小的分布。 1.麦克斯韦速率分布函数 理想气体；平衡态；无外场 - mυ2(2)?竖线意义： f (υ)?窄面积意义: f(υ)dυ 即 ?宽面积意义: ∫υ 2 f (υ)dυ1υ即υ1→υ2 范围内分子数与总数之比 (3)曲线下面积∫0 f (υ)dυ = 1称归一化条件(nomalizing condition) (4)如温度升高，曲线如何画?(请自己画) (5)麦克斯韦速率分布规律是统计规律， 只适 用于大量分子组成的集体。 ★麦克斯韦速率分布的实验验证(略) 三、三种速率 1.最概然速率∞f (υ) = 4π( m )3/2υ2?e 2kT 2πkT麦克斯韦速率分布曲线 f (υ) Toυdυυp19υ1υ2υ20麦克斯韦速率分布曲线对速率分布曲线求极值 [ df(υ)] = 0 dυ υp 可得最概然速率(最可几速率) (the most probable speed)再由麦克斯韦速率分布函数可得 平均速率(average speed)υp = √ 2kT = √ 2RT m μ≈ 1.41 ?υp 意义：(请自己叙述)υ = √ 8kT = √ 8RT πμ πm≈ 1.60√ μRT 3.方均根速率√ μRTf( 思考? T↑? υp、 υ)曲线及 f(υp)如何变？ 如 为什么? ?如 m↑? f(υ)曲线如何变? 2.平均速率 υ ΔN + υ ΔN + … + υnΔNn υ= 1 1 2 2 N Σ υiΔNi = N 1 ∞ 1 ∞ υ = N ∫0 υ dN = N ∫0 υNf(υ)dυ同理υ2 = ∫0 υ2 f (υ)dυ∞再由麦克斯韦速率分布函数可得 方均根速率(root-mean-square speed)√υ2 = √ 3kT = √ 3RT m μ≈ 1.73 4.几点讨论 (1)三种速率数值不同22√ μRTυ=∞ ∫0υ f (υ)dυ21υp & υ & √ υ2但和 T、m(或 μ )的关系相同 都 ∝√ T m(～大气质量的 76%)和氧气(～大气质量 的 23%)。 四?.统计规律与涨落(选讲) 1.伽尔顿板实验(2)三种速率应用场合不同υp --- 用于讨论速率分布 υ --- 用于讨论分子碰撞√ υ ---用于计算分子的平均平动动能2小钉应用：大气的组成 ? 地球形成之初， 大气中应有大量的氢、 氦， 但很多 H2 分子和 He 原子的方均根速率 超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)， 故现今地球大气中已没有氢和氦了。 ?但 N2 和 O2 分子的方均根速率只有逃逸速 率的 1/25，故地球大气中有大量的氮气23等宽 狭槽伽尔顿板实验演示：伽尔顿板 ?一个小球落在哪里有偶然性 ?少量小球的分布每次不同 ?大量小球的分布近似相同242.统计规律是对大量偶然事件整体起作用的 规律 ?一切偶然性都有自己的原因 (一个小球落在哪里由动力学规律制约) ?但大量偶然事件同时存在时，运动形式发 生了由 量→质 的飞跃?速率分布中，Δυ区间的分子数ΔN 是统计 平均值。在任一瞬时，Δ υ区间内的实际 分子数与ΔN 有偏离。 对统计规律的偏离的现象称涨落 (fluctuation) ?统计规律与涨落现象是不可分的, 反映了 必然性与偶然性之间相互依存的辩证关 系。 ?涨落有时大，有时小，有时正，有时负 若在Δυ区间内的分子数为ΔN 涨落的幅度：± √ΔN 1 √ΔN 涨落百分比： ΔN = ΔN √ 如 ΔN = 106，涨落幅度为 1000?“大数量”现象中出现的新现象的特点： 在一定宏观条件下的稳定性 ?偶然性是相对于一定的宏观条件来说的， 偶然性中有必然性；必然性寓于偶然性之 中。 ?在一定的宏观条件下，大量偶然事件，在 整体上表现出确定的规律---统计规律 3.统计规律的另一特点是永远伴随着涨落现 象25涨落百分比 1/1000 实际分子数在 01000 之间26如 ΔN = 1 ，涨落幅度为 1 涨落百分比 100/100 可见ΔN 越大 ? 涨落百分比越小 4.涨落实例 ?液体中的临界乳光现象(液体在临界点密 度涨落很强时，将呈乳白色) 光在空气中的散射现象 (均是由媒质的密度涨落引起的) ?电路中的电流涨落(由带电粒子的热运动 引起)。在微弱电流测量时，应注意此事。 ?电子器件中的“热噪声”(由电子热运动引 起)，影响电子仪器的灵敏度。 §4 玻耳兹曼分布 一、玻尔兹曼分布 玻尔兹曼把麦克斯韦速率分布做了推广27?在麦克斯韦速率分布中 -E dN 和 exp( k ) 有关 kT 即分子的速率分布和分子的平均动能 这是分子不受外力场影 Ek = mυ2/2 有关， 响的情形。 ?当分子在保守力场中运动时，玻尔兹曼用 总能(动能+势能)代替了麦克斯韦速率分 布中的动能。 ?玻尔兹曼的推广dNυ, r ∝ exp(-E ) kT这里的 E 应包含动能和势能。 ?由于势能和位置有关，动能和速度有关， 若要描述分子按位置和速度的分布情况， 就要分析 位置在 x → x +dx，28y → y +dy， z → z +dz， 且速度在?由玻尔兹曼分布律，在一个状态区间 dυxdυydυz dxdydz 中的分子数为υx → υx +dυx ， υy → υy +dυy ， υz → υz +dυzdNυ, r=Ce- (Ek +Ep) kT? dυxdυydυz dxdydz?玻尔兹曼分布律是统计物理中适用于任何 系统的基本定律。 在量子理论中，粒子数按能级的分布亦服 从玻尔兹曼分布，即能级 En 上的粒子数 Nn 为范围中的分子数dNυ, r状态区间：dυxdυydυzdxdydz ?玻尔兹曼分布律(Boltzmann’s distribution law) ： 在温度为 T 的平衡态下， 任何系统的微观 粒子按状态的分布，即在某一状态区间的 粒子数与该状态区间的一个粒子的能量 E 有关，与 exp( -E ) 成正比。-E Nn ∝ exp( n ) kT在能级 E1、E2 (E2&E1)上的粒子数之比为kTN2 -(E -E ) = exp[ 2 1 ] N1 kT[例] H 原子 基态能级 E1 = -13.6 ev30?可见，在 E 越大的状态区间内的分子数越 少。29第一激发态 E2 = -3.4 ev 在室温下 T=300K，有 N2 ≈ 10-170 N1 即处于基态的原子最多，处于激发态的极 少。 二、重力场中理想气体分子按位置的分布 重力作用下，分子位置分布下密上疏，不 再均匀。 1.位置区间中的分子数 ?分析位置在 x → x + dx， y → y + dy， z → z + dz， 中的分子数(速度不究) dNr ?位置区间：dxdydz 是三维坐标空间中的一个体积元。31?位置区间 dxdydz 中的分子数 dNr 可由 对 dNυ, r 中的各速度分量积分而得到 dN′r = C [ ∫∫∫-∞ e kT dυxdυydυz] 得出 dN′r = C′exp( ?e-Ep kT∞-Ekdxdydz-Ep )dxdydz kT其中 C′ = C ? [积分] 2.重力场中的分子数密度 ? dN′r dxdydz 为分子数密度 n，有n＝C′exp(?重力场中 Ep = mgz 于是-Ep ) kTn＝C′exp(-mgz ) kT可见 C′即 z = 0 处的分子数密度 n032平衡态 T 下分子数密度随高度变化的公式§5 实际气体等温线(自学) 实际气体等温线(isotherm of real gases) 要求搞清：p atm ) (n＝n0exp(3.恒温气压公式 ?因为 P = nkT-mgz ) kT图中的四种状态 临界点临界态 临界等温线 临界温度 饱和蒸汽压CO2 的等温线Vm (10 -3 L/ mol )有恒温气压公式p＝p0exp(-mgz ) kT ＝p0exp( -μgz ) RT其中 P0 = n0kT 是高度为零处的压强§6 范德瓦尔斯方程 ?理想气体微观模型： 分子无大小 分子间无作用力(碰撞时除外) ?理想气体只是在 T 不太低、P 不太大条件 下对实际气体的近似。 ?对实际气体，则需考虑分子大小和分子间?高度每升高 10 米，大气压强约降 133Pa(?1mmHg) ，此为高度计的原理。3334作用力 二因素 一、分子间的相互作用 f 斥力 r0 o ?d 引力r&s时f≈0 s―分子力的有效作用距离 s ? d 的几十至几百倍? -9ｓr2.实际气体分子模型 ---有引力的刚球模型 分子是直径为 d 的刚球 f r=d时 f →∞ (斥力) r&d时 f &0 (引力) 二、范德瓦尔斯方程 在理想气体状态方程的基础上，进行两项 修正。 1.分子大小引起的修正 ?一摩尔理想气体状态方程 P = RT有引力的刚球模型10 m分子间的作用力d o ?r1.实际气体分子间的作用力 r = d 时 f →∞ (斥力) d－分子的有效直径 d ? 10-10 米 r & r0 时 r = r0 时 f & 0 (斥力) f=0 r0―平衡距离 r & r0 时 f & 0 (引力)35υ36如何理解体积υ : 容器的体积? 气体的体积? 气体分子的自由活动的空间? 可压缩的体积? ?对实际气体，考虑分子本身有大小 分子自由活动的空间为2.分子间引力引起的修正 sf合f 合=0? a?c ? sbf合 分子作用球分子作用力对压强的影响υ-b(1)容器中分子所受的引力 ?分子作用球：一以某分子为中心ｓ为半径 画的球。 ?分子 a (在容器中部)：不受力(分子球内其 他分子对 a 的引力抵消) ?分子 b、c (在表面层内)：受指向气体内部 的合力 ?此合力 ? (分子撞壁动量) ↓b ：反映分子本身体积的改正项 ?状态方程应修改为 RT P=υ-b ?可以证明：b 约为 1 mol 气体分子本身总 体积的 4 倍3 b = 4NA[ 4π ( d ) ] 3 2d ≈ 10-10m?b ≈ 10 m = 1cm-6 33? (分子对壁的冲力) ↓3738? 此合力效果 ? 指向内部的压强(内压强 Pi) (2)内压强 ?Pi ∝ 被吸引的表面层内的分子数密度 n ∝ 施加引力的内部分子的数密度 n ? Pi ∝ n2 ∝ 12(2)质量为 M 的气体 M μ υ V = ( μ )υ ， = ( )V M 2 M a M M(P + μ2 2)( V - μ b) = μ RT V守范德瓦尔斯方程，遵守范德瓦尔斯方程 的气体称范德瓦尔斯气体。?实际气体在相当大的压强范围内更近似遵υPi =υa2a C 反映分子间引力的常数 (3)方程的修正 ?分子实际作用于器壁的由实验可测的压强 RT P = υ - b - Pi 3.范德瓦尔斯方程 (Van der Waals′ eguation) (1)对 1 mol 气体?各种气体的常数 a、b 可由实验测量 三、范德瓦尔斯等温线 1.范德瓦尔斯等温线 ?1mol 的范氏方程(P + a2 )( υ - b) = RTυ可改写为(P + a2 )( υ - b) = RTυ3 - ( b + RT ) υ2 + a υ - ab = 0P P Pυ3940由此方程反映的 P―V 关系即为范氏等温 线(理论曲线) EF段：实际不存在 AB段：汽态 DC段：液态 BE段：过饱和蒸汽 （云室） CF段：过热液体 （气泡室） v范德瓦尔斯等温线 不 稳 定 态?密度大、压强大 ?如有凝结中心，可迅速凝结 ?云室：探测粒子径迹 (2)过热液体(CF 段) ?是不太稳定的状态，实际中可存在 ?比同温下平衡液体(C 点)摩尔体积大 ?密度小、压强小 ?如有汽化中心，将剧烈汽化，压强突增， 很危险(可引起锅炉爆炸)。 ?气泡室：探测粒子径迹 3.临界参量 ?由 可得 dP ( dυ )k = 0 ,2 ( d P )k = 0 dυ2BC段：饱和蒸汽与液 体的共存态?范氏等温线和实际气体等温线符合较好 2.过饱和汽、过热液体 (1)过饱和汽(BE 段) ?是不太稳定的状态，实际中可存在 ?比同温下饱和汽的摩尔体积(B 点)小，41υk = 3b ,Pk = a 2 , 27b Tk = 8a 27bR42?a = 3υ kPk ,2b=υk3(2)计算(有效直径 d)由实验测得υk、Pk ? a、b §7 气体分子的平均自由程 气体分子碰撞， ?使分子速度有稳定分布(平衡态下) ?实现能量均分 ?使气体由非平衡态 → 平衡态 讨论: 理想气体 一、碰撞频率 1.定义：一个分子单位时间内所受到的平均 碰撞次数。 ，平衡态? 设分子 A 以平均相对速率 u 运动， 而其他 分子不动； ?以 A 的轨迹为轴线，以 d 为半径作一圆柱 体，柱体长 uΔt； ?凡分子中心在柱体内的其他分子都将 与 A 相碰，静止Au dσ = πd2碰撞频率的分析?碰撞截面(collision cross-section)： 2.计算 (1)模型：分子看作是有引力的刚性小球43圆柱体的截面积σ = πd2称分子的碰撞截面。44?圆柱体体积：πd 2uΔt(每秒碰 65 亿次! ) 二、平均自由程 ?定义：气体分子在相邻两次碰撞间飞行 的平均路程。 ?λ = ?υ ?Z 平均自由程(mean free path)柱体内分子数： πd 2uΔt n， (n―分子数密度) ?碰撞频率2 ?Z = πd uΔt n = πd 2u n Δt?平均相对速率和平均速率的关系为 u = √2 υ 因分子碰撞有各种可能夹角θ：0---180° 平均而言：θ = 90°∴ v u平均相对速率和平 均速率的关系?λ =?对理想气体v1 √2 πd 2 nP = nkT ， 有u = 2v?λ =可见?碰撞频率(collision frequency)：kT √2 πd 2 p?Z = √2 πd υ n2?λ ∝ T P?标准状况下，空气分子 ?Z = 6.5×109 次/秒45?标准状况下，空气分子 d = 3.5×10-10m， ?λ= 6.9×10-8m (?λ约为 d 的 200 倍)46?低压下，P & 10-4 mmHg 时?T 由下而上递减 ?热量将沿 z 轴传递 ?在 z = z0 处有一假想的分界面，面积为 dS zT2 (&T1) dQ?λ & 一般容器线度(?1m) 认为：?λ ? 容器线度 §8 输运过程 ?讨论：非平衡态问题及其过渡 ?非平衡态：系统各部分物理性质不均匀 (如流速、温度、密度 不均匀)。 ?输运过程(迁移过程) (Transport process)： 系统从非平衡态自发向平衡态(物理性质 均匀)过渡的过程。 一、热传导 物体内各部分 T 1.热传导(thermal conduct)： 不均匀时， 内能由 T 高处 → T 低处的现象。 设想简单情形： ?A、B 两板间有导热物质47Az0 o 2.分析?T1热传导dS - T=T(z)Bx(1)迁移原因：T 不均匀 dT 温度梯度 ≠0 dz (2)迁移的物理量：内能---热运动能量 (迁移内能的多少称热量) (3)宏观规律 实验表明： dQ = - k( dT )z0dSdtdz― Fourier 定律48?负号反映热量总是由 T 高处→T 低处。 ?k---导热系数，由导热物质性质及状态决 定。 一般气体：k～10-3～10-2 W/m?k (4)微观解释 ?对气体：内部温度不均匀，表明内部各处 分 子平均热运动能量?ε 不同 ?对穿过 dS 面的分子 由下→上的分子带有较大的平均能量 由上→下的分子带有较小的平均能量 ?上下分子交换 ? 能量向上净迁移 宏观上表现为热传导 ?由分子运动论可以导出 k = 1 nmυ λ cυ 3 (cυ C 气体定容比热)49二、扩散 ?扩散(diffusion)原因：密度 ρ 不均匀 ?迁移物理量：质量 M ?宏观规律： dM = - D(dρ ) dSdt dz z0D---扩散系数(单位：m2/s) ?微观解释：分子由ρ大处向ρ小处净迁移 可以导出： D = 1 υ λ 3 三、内摩擦 1.内摩擦(internal friction) ?流体有粘滞性(viscosity) ?流体内各部分流速不同时，将发生内摩擦 现象。 ?内摩擦力(粘滞力 viscous force)：流体内 各层之间由于流速不同而引起的相互作 用力。50下面的流体层受到沿+x 向的粘滞力 df ′ 2.分析：设想简单情形； ?A、B 两板间有流体， ?下板静止，上板以 u0 沿 x 匀速运动，带动 板间流体沿 x 向流动 ?平行于板的各层流体流速不同 ?在 z0 处有一假想分界面，面积 dS z u0df(1)迁移原因：定向速度 u 不均匀 (2)迁移的物理量：定向速度(或定向动量) (3)宏观规律：df = η ( du ) z0dS dzη --内摩擦系数(粘滞系数)，与流体性质和状态有关(单位：牛顿秒/米 2 或 帕?秒)。u=u(z)Az0 dS o(4)微观解释： ?气体分子除有无规则热运动外，还有定向 速度 u ?穿过 dS 的分子 由下层→上层的分子定向动量小； 由上层→下层的分子定向动量大52df ′u=0内摩擦Bx?在分界面处 下面的流体层(流速小)对上面的流体层 (流速大)产生沿-x 向的粘滞力 df ；51?有定向动量自上而下的净迁移， 上层 下层 定向动量减小 定向动量增大N* = 1 (nυ dSdt ) 6 (3)定向动量的迁移 z u0 z0+?λ z0 z0-?λ a ? ? b u=0 dS uz +?λ 0 uz0 uz0 -?λ x? 上层受沿-x 向的粘滞力 df 下层受沿 x 向的粘滞力 df ′ 3?.粘滞系数η的导出(可不讲) (1)初级理论：认为分子都以平均速率?υ作 无序运动 (2)过某面积的分子数 ?平均而言，各有 1/3 的分子分别 dS 沿 x, y, z 方向运动 ?有 1/6 的分子由 dS 的一侧垂直穿 过它向另一侧运动dt 内垂直过 dS 面的分子数定向动量的迁移? 一个分子带过 dS 的定向动量为到 dS 前最 后一次碰撞(发生在距 dS 面?λ远)后的定 向动量 分子 a(自上→下)带过动量 Pz0 +?λυυ dt分子 b(自下→上)带过动量 Pz0 -?λ ?dt 内所有过 dS 的分子带过的定向动量 由下→上 dP+ = N* P z0 -?λ 由上→下 dP- = N* P z0 +?λ54?dt 时间内垂直穿过 dS 的分子数为53?dS 上面的气体 dt 内定向动量的增量 dP = dP+ - dP= N*( P z0 -?λ - P z0 +?λ ) = N*[-( dP )z?2?λ] dz 0 1 (nυ dSdt ) [-( dP ) ?2λ ] = 6 dz z0 ?dS 上面气体受下面气体的作用力 dP df = dt df = -1 (nυ λ ) ( dP )z? dS 3 dz 0 (因 P = mu , ρ = nm ) -1 df = (ρυ λ ) ( du )z? dS 3 dz 0 可见粘滞系数为第 1 章结束 !η= 1 ρυλ35556第 2 章 热力学第一定律 (The First Law of Thermodynamics) §1 热力学第一定律 一、准静态过程 ?热力学过程：热力学系统从一个状态变化 到另一个状态 ,称为热力学过程。 ?过程进行的任一时刻，系统的状态并非平 衡态。初平衡态 一系列 非平衡态 末平衡态过程。2.准静态过程是一个理想化的过程， 是实际过程的近似。←快 ←缓慢非平衡态准静态过程接近平衡态只有过程进行得无限缓慢， 每个中间态才可看作是平衡态。 所以，实际过程仅当进行得无限缓慢时才 可看作是准静态过程。?热力学中，为能利用平衡态的性质，引入 准静态过程(quasi-static process) 的概 念。 1.准静态过程：系统的每一个状态都无限接 近于平衡态的过程(理想化的过程)。 即准静态过程是由一系列平衡态组成的13.怎样算“无限缓慢” 弛豫时间(relaxation time)τ： 系统由非平衡态到平衡态所需时间。2“无限缓慢”：二、功、内能、热量 1.功?通过作功可以改变系统的状态。 ?功：机械功(摩擦功、体积功) 电流的功、电力功、磁力功 弹力的功、表面张力的功，… ?机械功的计算(见下) 2.内能Δt 过程进行 && τ例如，实际汽缸的压缩过程可看作准静态 过程， Δt 过程进行 = 0.1 秒τ = 容器线度/分子速度= 0.1 米/100 米/秒 = 10-3 秒 4.过程曲线 准静态过程可用过程曲线表示。 状态图(P－V 图、P－T 图、V－T 图)上 ?一个点代表一个平衡态； ?一条曲线代表一个准静态过程。P?内能包含系统内： (1)分子热运动的能量； (2)分子间势能和分子内的势能 (3)分子内部、原子内部运动的能量； (4)电场能、磁场能等。 T 不太大时，系统状态的变化主要由 热运动的能量 分子间的势能的变化4?(P１,V１) ?(P,V)过程曲线（只对准 静态过程才能画出）?(P2,V2)Vo过程曲线3引起，其它形式的运动能量不改变。 ?内能是状态的函数 ?对于一定质量的某种气体，内能一般是 T、V 或 P 的函数； ?对于理想气体，内能只是温度的函数?传热的微观本质：是分子的无规则运动能 量从高温物体向低温物体传递。 ?热量：传热过程中所传递的热运动能量的 多少。 三、热力学第一定律 ?对于一元过程(无限小过程)E = E(T)?对于刚性理想气体分子， i：自由度 ； ν ：摩尔数dQ = dE+dW?对于一过程E = i νRT， 2?通过作功改变系统内能的微观实质是： 分子的有规则运动能量 和Q = ΔE＋W符号规定：Q & 0 向系统供热 W & 0 系统对外界作正功 ΔE & 0 系统内能增加 ?叙述：(1)系统从外界吸收的热量等于系统 内能的增量和系统对外界做功之和。分子的无规则运动能量 的转化和传递。 3.热量 ?传热也可改变系统的状态，其条件是系统 和外界的温度不同。56(2)第一类永动机( η & 1) 是不可能制成的。 ?热力学第一定律是热现象中能量转化与守 恒的定律， 适用于任何系统的任何过程(非 准静态过程亦成立)。?功是过程量 ?P－V 图上过程 曲线下的面积即P?W?V2 VW 的大小。o V1 体积功的计算(2)间接计算法 (由相关定律、定理) 四、 W、Q、ΔE 的计算 1.W 的计算(准静态过程，体积功) (1)直接计算法(由定义)V1 F S V2由 Q＝ΔE＋W 　→W 思考：体积功式的适用条件? (只适用于理想气体？ 只适用于准静态过程？)VdV体积功的计算2. Q 的计算 (1)直接计算法系统对外作功， W＝∫1 F?dx = ∫1 PS ? dx2 2W = ∫V PdV17V2M Q＝ μ C (T2 -T1)(体积功)8M：系统质量， μ：摩尔质量 C：摩尔热容量(后面还要讲) (2)间接计算法 由 3.ΔE 的计算 (1)直接计算法dQ C = 1 ( dT ) ν摩尔数： = M νQ = ΔE + Wμ2.定体摩尔热容量CV = 1 ( dQ )V ν dT3.定压摩尔热容量 i：自由度i ΔE = ( M )( 2 ) R (T2 -T1) μ(上式仅对刚性理想气体分子，下同) (2)间接计算法 由CP = 1 ( dQ )P ν dT二、理想气体的摩尔热容量 1.定体摩尔热容量Q = ΔE + W§2 热容(量) 一、摩尔热容量(molar heat capacity) 1.摩尔热容量：一摩尔物质温度升高 1 度所 吸收的热量，即9CV = 1 ( dQ )V ν dT?对于理想气体等体过程，dW=0， dQ = dE= ν ( i )RdT 210有i CV = 2 R CP = 1 ( dQ )P ν dT3.比热(容)比γ = CP = i +2 i CV&12.定压摩尔热容量对单原子分子， i = 3， γ = 1.67 对双原子分子， i = 5， γ = 1.40 对多原子分子， i = 6， γ = 1.33 (以上均为刚性理想气体分子) §3 热力学第一定律 对理想气体等值过程的应用 一. 等体过程(isochoric process) 1.特点： V = const.P?对于理想气体等压过程， dQ = dE+dW = ν ( i )RdT + PdV 2 再由理想气体状态方程有 dQ = ν ( i )RdT + νRdT 2 于是i CP = 2 R + R CP = CV + RCP & CV ？ (迈耶公式)或2.过程方程： P = const. T 3.能量转换关系：o?2 过程曲线等体升温?1V等体过程曲线思考：为何V1112W=0 QV = M CV (T2 - T1) μ ΔE = QV 吸热全部转换为系统内能的增加。吸热一部分用于对外做功， 其余用于增加系统内能。三、等温过程(isothermal process) 二、等压过程(isobaric process) 1.特点： P = const. 2.过程方程: 过程曲线： V = const. TP 1? 等压膨胀1.特点： T = const. 2.过程方程： P ? V = const. 过程曲线：o V1 P 1 ? 等温膨胀?2V2 V 等温过程曲线?23.能量转换关系： ΔE = 0VoV1V23.能量转换关系：2等压过程曲线2 2 W = ∫1 P dV = M RT ∫1 dV μ VW = ∫1 P dV = P(V2 - V1) QP = M CP (T2 - T1) μ ΔE = M CV (T2 - T1) μM W = μ RT ln( V2 ) V1或 ↓ P1V1 P2V2 ↓P ln( 1 ) P21314Q=W 系统吸热全部用来对外做功。 思考：CT ( 等温摩尔热容量)应为多大？推导： ?考虑一绝热元过程， dQ =０， dW = - dE， M ∴PdV = - μ CV dT (1) ?由理想气体状态方程有， PdV+VdP = M RdT μ (2)§4 绝热过程(adiabatic process) 一、准静态绝热过程 系统和外界没有热量交换的过程，例如： ?良好绝热材料包围的系统发生的过程； ?进行得较快(仍是准静态)而来不及和外界 交换热量的过程。 1.特点： Q=0 W = -ΔE 2.理想气体准静态绝热过程方程：将(1)代入(2)中并化简，可得(见有关教材)PV = const.3.绝热线(adiobat) (1)绝热线比等温线更陡P A (P1,V1,T1) ? 等温线γPV = const. TV γ - 1 = const. P γ - 1 = const. γ T15γ绝热线 o V1?(P2,V2,T1) ?(P2′,V2,T2′ )V2 V绝热线比等温线更 陡如图，一等温线和一绝热线在Ａ点相交。16?在 A 点处等温线切线的斜率为 d( const. ) const. V dP ) ( dV T，A= = -( V 2 )Ａ dV 1 = -( P1V2 ) = -( P1 ) V1 V1 ?在 A 点处绝热线切线的斜率为 d( const. ) Vγ dP ) const. ( dV Q，A= = -γ ( V γ +1 )Ａ dV = -γ ( ∵ P1V1γ ) = -γ ( P1 ) V1γ +1 V1降低是由于体积膨胀。 ?经绝热过程，压强的降低是由于体积膨胀 和温度的降低。4.能量转换关系： Q=0 ΔE = M CV (T2 - T1) μ W = -ΔE 绝热过程靠减少系统的内能来对外做功。γ &１，∴绝热线切线的斜率大，它比等温线更陡。 (2)意义：若由初态 A(P1 ,V1 ,T1) 分别 ?经等温过程至状态 2(P2, V2, T1) ?经绝热过程至状态 2′(P′2, V2 ,T ′2) 即经两不同过程均膨胀至体积 V2，则 ★ W 也可由直接计算法计算，2 2 W = ∫1 PdV = (const.)∫1 ( 1γ )dV V得W=P ′2 & P2原因：?经等温过程，温度不变，压强的17P1V1 - P2V2 γ -118二、理想气体的绝热自由膨胀 ?是非准静态过程 ?绝热： Q=0 ?气体向真 空膨胀， 中间态(非平衡态) 对外不做功 W=0末态(平衡态) 初态(平衡态) 绝热容器 隔板不变”，它和准静态的等温过程有何不 同？ §5 循环过程 (cycle process) ?17 世纪末发明了巴本锅和蒸汽泵 ?18 世纪末瓦特完善了蒸汽机(增加了冷凝 器，发明了活塞阀、飞轮、离心节速器等) 使其成为真正的动力。 ?蒸汽机的改善： 扩大容量(很多人做)真空?仍服从热力学第一 定律，有绝热自由膨胀提高效率(卡诺)E 末= E 初 T 末= T初?年轻的法国炮兵军官 Sadi Carnot 探索如何 用较少的燃料获得较 多的动力，以提高效 率和经济效益。气体绝热自由膨胀过程，内能保持不变。 对理想气体，其始、末态温度相同。 思考：能否说“绝热自由膨胀过程温度保持1920一、循环过程及其特点 1.循环过程(cycle process)： 系统(如热机中的 工质)经一系列变化后又回到初态的整个 过程叫循环过程。 实例：火力发电厂的热力循环 ?四大件：1 锅炉、2 汽轮机、3 冷凝器、 4 给水泵 ?流程图：锅 炉 W1 Q1 汽轮机 W2 发电机 电 力 输 出2.特点： (1)如循环的各阶段 均为准静态过程， 则循环过程可用 状态图(如 P--Vo P Q1? a|Q2| V1?bW图) 上闭合曲线表示； (2)ΔE=0 ；V2 循环过程V(3)循环曲线所包围的面积等于循环过程中 系统对外做的净功。冷 凝 器Q2 冷凝水正循环(positive cycle)(热机循环)， 过程曲线沿顺时针方向 系统对外作正功；给水泵(a) PW1 |Q2| Q1 W2逆循环(inverse cycle) (致冷循环)， 过程曲线沿逆时针方向V(b) 热力发电厂的流程图及相应的热 力学过程曲线o系统对外作负功。2122二、循环效率 在一正循环中，系统从高温热源吸热 Q1， 向低温热源放热 |Q2| (Q2&0)，系 统对外作功 W = Q1 - |Q2|工 作 物 质 高温热源 T11.卡诺循环：在一循环中，若系统只和高 温热源(温度 T1)与低温热源(温度 T2)交 换热量，这样的循环称卡诺循环(Carnot cycle)。W |Q2|低温热源 T2Q1由两个准静态等温过程 和 两个准静态绝热过程 构成?卡诺机：按卡诺循环工作的热机。卡诺热机的能流图?讨论：以理想气体为工质的卡诺循环， ?循环曲线 如图示P循环效率(cycle efficienty)：一次循环过程 中系统对外做的功占它从高温热源吸热 的比率。?Q1 2 ? T11|Q | W η = Q = 1 - Q21 1o? 4W |Q2|?3T2 V三、卡诺循环 1824 年卡诺 (Carnot)提出一个理想的准 静态循环，称卡诺循环(Carnot cycle) 。V1? V4 V2 V3 理想气体的卡诺循环2.闭合条件 ?1、4 点在同一绝热线上，γ－１γT1V1= T2V4－１2324?2、3 点在同一绝热线上，γ(1)ηc与理气种类、M、p、V的变化无关， 只与 T1、T2 有关。 可证：各种工质的卡诺循环的效率都等于T1V2 两式相比有－１γ= T2V3－１V2 V3 = V1 V4此称闭合条件。ηc，且是实际热机效率的最大值。(2)提高效率的途径：提高 T1 ；降低 T2， 实用上是提高 T1 。 (3)现代热电厂：T1 = 900K；T2 = 300K 理论上：ηc ~ 65%， &0 实际上：η &40% ， 原因：非卡诺循环，非准静态，有摩擦。 &0高温热源 T13.卡诺循环的效率 1→2 等温膨胀过程 Q1 = W1 = M RT1 ln( V2 ) μ V1 3→4 等温压缩过程 Q2 = W3 = M RT2 ln( V4 ) μ V3 于是，卡诺循环的效率 |Q | 由 η= 1 - 2 Q1 有四、致冷循环 1.致冷系数：在一 循环中，外界做 功 W 外， 系统从 低温热源提取热工 作 物 质|Q1| W外 Q2 低温热源 T2 致冷机的能流图η c = 1 - T2T1★几点说明2526量 Q2， 向高温 热源放热|Q1| (Q1&0)， |Q1| = W 外 + Q2， 则致冷系数定义为ω=Q2 Q2 = W 外 |Q1|- Q22.以理想气体为工质的卡诺致冷循环的致冷 系数ωc =T2 T1 - T2可见，低温热源的温度 T2 越低，ωc 越小。第 2 章结束27第3章热力学第二定律可能水温自动降低推动叶片而使重物升 高) “热自动地转换为功的过程不可能发生”，(The Second Law of Thermodynamics) ?一切热力学过程都应该满足能量守恒。“通过摩擦而使功变热的过程是不可逆 的”， “其惟一效果(指不引起其它变化)是 一定量的内能(热) 全部转变为 机械能(功)的过程是不可能发生的”。满足能量守恒的过程都能进行吗??热力学第二定律告诉我们，过程的进行还 有个方向性的问题，满足能量守恒的过程不一定都能进行。§1 自然过程的方向性?一、自然过程的实例 1.功热转换的方向性 功 → 热 可自动进行水 焦耳实验??热机：把热转变成了功， 但有其它变化(热量从高温热源传 给了低温热源)。叶片?理气等温膨胀：把热全部变成了功， 但伴随了其它变化(体积 膨胀)。(如摩擦生热、 焦耳实验) 热 →功不可自动进行(焦耳实验中，不122.热传导的方向性 热量可以自动地从高温物体传向低温物 体，但相反的过程却不能发生。 “热量不可能自动地 从低温物体传向高温物体”。 “其惟一效果是热量 从低温物体传向高温物体的过程 是不可能发生的”。 3.气体绝热自由膨胀的方向性 ?在绝热容器中的隔板 被抽去的瞬间，分子 都聚在左半部 (这是 一种非平衡态，因为向性 末态 气体绝热自由膨胀的方 初态(注意：这是一种非准静态过程) “气体向真空中绝热自由膨胀的过 程是不可逆的”“一切与热现象有关的实际宏观 过程都是不可逆的”(均涉及热功转换或热传导) 实例：生命过程是不可逆的： 出生 → 童年 → 少年 → 青年 → 中年 → 老年 → 八宝山 不可逆！ 流行歌曲： “今天的你我怎能重复昨天的故事!”容器内各处压强或密度不尽相同)，此后 分子将自动膨胀充满整个容器，最后达到 平衡态。3二、各种实际宏观过程的方向性都是相互 沟通的(不可逆性相互依存) ?相互沟通(相互依存)：4一种过程的方向性存在(或消失)， 则 另一过程的方向性也存在(或消失)。3.若理想气体绝热自由膨胀的方向性消失 ? 功热转换的方向性也消失 (详见有关教材) §2 热力学第二定律 “各种宏观过程的方向性的相互沟通”说1.若功热转换的方向性消失 ?假想装置 W T Q T &T0 热源 T0 (a)热传导的方向性也消失?明宏观过程的进行遵从共同的规律。T Q 热源 T0 (b)一、热力学第二定律 热力学第二定律以否定的语言 说出一条确定的规律。 1.克劳修斯(Clausius)叙述：若功热转换的方向性消失则热传导的方向性也消失2.若热传导的方向性消失 ?功热转换的方向性也消失高温热源 T1假想装置热量不能自动地从低温物 体传向高温物体。W高温热源 T1Q2Q1 WQ1 - Q2Q2低温热源 T2卡诺热机 Q2?低温热源 T22.开尔文(Kelvin)叙述： 其惟一效果是热全部转变 为功的过程是不可能的。6(a)(b)5 若热传导的方向性消失则功热转换的方向性也消失?以上两种说法是完全等效的，这从‘方向 性的沟通’一段已得到说明。 ?如结合热机，开尔文说法的意义是： 第二类永动机是不可能制成的。 (又称单热源热机，其效率 η = 1，即热量 全部转变成了功)自然过程总是沿着使大量分子 从有序状态向无序状态的方向进行。 2.热传导 初态：两物体温度不同，此时尚能按分 子的平均动能的大小来区分两物 体。二、热力学第二定律的微观意义 从微观上说，热力学第二定律是反映大量 分子运动的无序程度变化的规律。 1.功热转换 功 机械能 有序运动 → 热 内能 无序运动末态：两物体温度相同，此时已不能按 分子的平均动能的大小来区分两 物体。 这说明，由于热传导， 大量分子运动的无序性增大了。 3.气体绝热自由膨胀 初态：分子占据较小空间 末态：分子占据较大空间，分子的运动状 态(分子的位置分布)更加无序了。可见，在功热转换的过程中，78综上可见，首先要引入一个重要概念(可逆过程)和一一切自然过程 总是沿着无序性增大的方向进行这就是自然过程方向性的微观意义。 比喻：从 守纪律状态 →个重要定理(卡诺定理)。§3 卡诺定理 一、可逆过程与不可逆过程自由散漫状态1.可逆过程 初态 末态可以自动进行， 相反的过程却需要 加 强思想教育、纪律约束。 ?还要注意，热力学第二定律是统计规律， 只适用于由大量分子构成的热力学系统。 ?以上从概念上讨论了； 状态的无序性； 过程的方向性， 怎样定量地描写它们是下面要解决的问 题。(外界亦需恢复原状)系统由一初态出发，经某过程到达一末态 后，如果能使系统回到初态而不在外界留 下任何变化(即系统和外界都恢复了原 状)，则此过程叫做可逆过程(reversible process)。 2.不可逆过程：系统经某过程由一初态到达 末态后，如不可能使系统和外界都完全复910原，则此过程称不可逆过程(irreversible process)。温差无限小的热传导(称等温热传导) 是有传热的可逆过程的必要条件。一切自然过程 都是不可逆过程(实际宏观过程) ?因为自然过程 (1)有摩擦损耗，涉及功热转换，而功热转换 是不可逆的； (2)是非准静态过程，其中间态是非平衡态， 涉及非平衡态向平衡态过渡的问题，这是 不可逆的(例如， 前面所讲的气体自由膨胀 就是这样的不可逆过程)。只有二、卡诺定理(Carnot’s theorem) 早在热力学第一和第二定律建立之前，在 研究提高热机效率的过程中， 1824 年卡诺 提出了一个重要定理 (这里只作介绍不作 证明)，其内容是： (1)在相同的高温热源和相同的低温热源之 间工作的一切可逆热机 (即经历的循环过 程是可逆的)， 其效率都相等， 与工作物质 无关。无摩擦的准静态过程才是可逆过程?在有传热的情况下，准静态过程还要求系 统和外界在任何时刻的温差为无限小，否 则传热过快会引起系统状态的不平衡。11η可逆 = ηC 理气= 1 - T2T1(2)在相同的高温热源和相同的低温热源之 间工作的一切不可逆热机 (经历的过程是12不可逆循环)， 其效率不可能大于可逆热机 的效率。以熵的变化 ΔS 描述过程的 方向性。 ?本节将讨论熵的引进、计算等问题。η不可逆 & η可逆实际一.克劳修斯熵等式 1.对于卡诺循环(是可逆循环) 其效率 ? ∵ 有η不可逆 & η可逆?前面所讲的以理想气体为工质的卡诺热机 就是可逆热机 (无摩擦、准静态)。 ?根据卡诺定理可以知道， 卡诺热机(卡诺循环)的效率 是一切热机效率的最高极限。 §4 熵 ?熵(entropy) (以 S 表示)是一个重要的状态 参量。 ?热力学中 以熵的大小 S 描述状态的 无序性，13Q1 Q1 |Q2| T1 - T2 = 0， |Q2| = -Q2ηc = 1 - |Q2| = 1 - T2 T1Q1 Q2 + =0 T1 T2?热温比 Qi ：系统从每个热源吸收的热 Ti 量与相应热源的温度的比值。 ?说明，对于卡诺循环， Q 热温比 i 代数和等于零。 Ti14ΔQi 与该段的温度之比求和。 2.对于任意可逆循环PΔQ i 1 等温线?当小卡诺循环的数目趋向无穷大时，锯齿 形循环曲线就趋向原循环曲线，上式的求 和写作积分Ti 1 i Ti 2iΔQ i 2 绝热线∫可逆循环( dQ ) = 0 T克劳修斯等式 dQ 是系统与温度为 T 的热源接触的无限 小过程中吸收的热量(代数值)，积分是沿 整个循环过程进行。 ?上式说明，对任一系统，沿任意可逆循 环过程一周，dQ/T 的积分为零。ｏ克劳修斯等式的证明V?任意的可逆循环可以分成很多小的卡诺循 环，对于第 i 个小卡诺循环有 ΔQi1 ΔQ + T i2 = 0 Ti1 i2 ?对所有的小卡诺循环来说有Σ i(ΔQi )=0 Ti二、熵 1.两确定状态之间的任一可逆过程的热温比 的积分相等，16∑i 是对锯齿形循环曲线上各段的吸热15与过程的具体情况无关。 ?右图为一任意 可逆循环， ?由上式有b o的热温比的积分相等Pa 12.熵的增量??2V?力学中，根据保守力作功与路径无关， 引入了一个状态量---势能。 ?这里根据∫1( dQ ) 与可逆过程(路径)无关， T 也可以引入一个只由系统状态决定的物 理量--熵。 ?其定义是：当系统由平衡态 1 过渡到平衡 态 2 时，其熵的增量(以下简称“熵增”) 等于系统沿任何可逆过程由状态 1 到状态 dQ 2的 的积分，即 T2两状态间任一可逆过程∫ R( dQ ) = ∫ 1a2( dQ ) + ∫ 2b1( dQ ) = 0 T T T ?由于过程是可逆的，所以有 ∫ 2b1( dQ ) = -∫ 1b2( dQ ) T T 于是可得，∫ 1a2(dQ dQ ) = ∫ 1b2( ) T T22 dQ S2 - S1 = ∫ 1 ( T ) (R)克劳修斯熵公式 (1865 年克氏引入了熵的概念) ?积分只和始、末态有关，和中间过程无18dQ ) 和过 T 程无关(注意：必须是可逆过程), 也可以 这说明：在状态 1、2 之间，1 ( ∫ 说是积分与路径无关。17关。式中， S1 -- 初态熵， S2 -- 末态熵，于是TdS = dE + PdV(可逆过程) 热力学基本关系 (此式是综合热力学第一和第二定律的R 示沿可逆过程积分 熵的单位 -- J/K (焦尔/开)思考：可逆绝热过程，ΔS = ？ (答：熵增为零) 即系统经历此过程时，其熵保持不变。 可逆绝热过程 --- 等熵过程。 思考：可逆循环，ΔS = ？ (答：熵增为零) 3.熵值微分方程)?上式积分只能定义熵的增量。 ?欲知系统在某状态的熵的数值，还需先选 一基准状态，规定 基准状态： S 基准 = S0 (常数) 或 0?可逆元过程：熵增 dS = (dQ/T) 可写作 dQ = TdS?于是某状态 a 的熵值 Sa 为由热力学第一定律有 dQ = dE + PdVa dQ Sa = S0 + (R) ( T ) ∫基1920三、熵增的计算 ? 熵是状态的函数。 当系统从初态至末态时， 不管经历了什么过程，也不管这些过程是 否可逆，熵的增量总是一定的，只决定于 始、末两态。 ? 因此， 当给定系统的始、 末状态求熵增时， 可任选(或说拟定)一个可逆过程来计算。 ?计算熵增的步骤如下： (1) 选定系统 (2) 确定状态 (始、末态及其参量) (3) 拟定过程 (可逆过程) [例 1] 一摩尔理想气体从初态 a(P1,V1,T1)经 某过程变到末态 b(P2,V2,T2) ，求熵增。设P可逆过程Ⅰ(acb) 如图，a (P1V1T1)→c (P1V2Tc)→b (P2V2T2)等压膨胀 ΔS = Sb - Sa =b ∫a (等容降温dQ ) T c dQ b dQ P V = ∫a ( ) + ∫c ( ) T T b c = ∫a ( CP dT ) + ∫c ( CV dT ) T TV2 Tc ∵CP = (CV +R)， T1 = V1ΔS = CV ln( T2 ) + R ln( V2 ) V1 T1?理想气体熵公式(ν mol )， 可得S(T,V) = ν CV lnT +ν R lnV + 常量还可表示成CV、CP 均为常量。P1a (P1V1T1) ? ? d (P2V1Td )c (P1V2Tc ) ? ? b (P2V2T2 )V2 V解：(1)拟定P221S(T, P) ；S(P, V)22请自己写出oV1[例 2]把 1 千克 20°C 的水放到 100°C 的炉子 (2)拟定可逆过程Ⅱ(adb)如上图， 上加热，最后达 100°C。水的比热是 4.18×103J/kg?K ，分别求水和炉子的熵 增。 解:? 水被炉子加热是不可逆过程 (因温差不 是无限小)。 ?因水的熵增和实际怎样加热无关，所以现 拟定一个可逆过程： 把水依次与温度为 T1，T1+dT，T1+2dT，T1+3dT，…，T2 (每次只升高 dT) 的热源接触， 每次吸热 dQ 而达平衡，这就可使水经准静态的可逆过 程而升温至 T2 ΔS 水 = ∫1 (T2 dQ ) = ∫ T1 (mc dT ) T T T = mc ln( 2 ) T12a (P1V1T1)→d (P2V1Td)→b (P2V2T2)等容降温 等压膨胀 同样可得(请自己练习)：ΔS = CV ln(T2 V ) + R ln( 2 ) V1 T1?此例也可以拟定一个任意的可逆过程，由 热力学基本关系式有 TdS = dE + PdV dS = dE + ( P )dV T T dT + R dV = CV V T b ΔS = ∫a dS =T ∫T 2( CV 1∴dT ) + ∫ ( dV ) R V1 T VV2= CV ln(T2 V ) + R ln( 2 ) V1 T123= 1.01×103 J/K24&0水的熵增加?炉子，看作热源，它放热 Q 源放 = - Q 水吸= - mc(T2 -T1) 可看作是可逆 且放热过程中温度 T2 不变， 过程，所以， ΔS 炉 Q 源放 dQ = ∫1 ( T ) = T 22?本节讨论怎样用熵的变化来描述过程的方 向性。 一、克劳修斯不等式( Clausius inequality ) ☆对可逆循环：(对 T1， T2 两热源热机) 有 Q1 + T1 Q2 =0 T2= - mcT2 - T1 T2★对任意可逆循环： 克劳修斯等式R= -9.01×102 J/K 热源(炉子)放热，熵减少。 ?整个系统(水与炉子)的熵增 ΔS = ΔS 水 + ΔS 炉 = (1.01×103-9.01×102)J/K &0 整个系统熵增加。∫dQ =0 T☆对不可逆循环： (对 T1， T2 两热源热机) 由卡诺定理：η不可逆 & η可逆η可逆 = 1η不可逆 = 1T2 T1 |Q 2| Q2 =1+ Q1 Q1 Q2 &0 T226§5 熵增加原理 得25Q1 + T1∫1 ★对任意不可逆循环，可证明有： 克劳修斯不等式2不可逆1 dQ dQ ∫ T + R2 T&0∫不可逆dQ &0 TT：热源温度2 dQ S 2 - S 1& ∫ 1 ∴ T 不可逆★不可逆绝热过程(dQ = 0)：|| S 1- S2(见李椿《热学》附录 6-2) ★一般写作：S2 - S1 & 0 ，(ΔS & 0)★孤立系统(和外界无能量、物质交换) (1)不可逆过程：一定是不可逆绝热过程∫dQ ≤0 T(可逆过程取“=”)ΔS & 0熵增加原理： 孤立系统所进行的自然过程 总是沿着熵增加的方向进行二、熵增加原理 (principle of entropy increase)?对 不可逆过程 1 →2 选 可逆过程 2 →1P构成循环S1dQ ∫ T &027?R1(2)可逆过程：一定是可逆绝热过程 (等熵过程)不可逆ΔS = 0综合以上两方面，可以说S2o?2V28对孤立系统内的一切过程熵不会减少ΔS≥0其中不等号用于实际的不可逆过程， 等号 用于理想的可逆过程。 这一综合结论也叫熵增加原理。 ?孤立系统由非平衡态向平衡态过渡时 S 增加，最终的平衡态一定是 S = Smax 的状 态。 熵给出了孤立系统中过程进行的方向和 限度。 熵增加原理是 热力学第二定律的数学表示。三、熵增加原理举例 1.焦耳实验 ?孤立系统：水和重物。 ?不可逆过程 ?重物下落只是机械运动状态变化，热力学 参量未变，因此，ΔS 重物 = 0 ?水温由 T1 升至 T2，类似上节[例 2]， T ΔS 水= mc ln( T2 ) 1 ?整个孤立系统熵的增量 ΔS = ΔS 重物 + ΔS 水 = mc ln( T2 ) & 0 T1 因为 T2&T1，所以 ΔS &0，系统熵增加。楼 塌 熵 增29302.有限温差热传导 ?孤立系统：两物体 A、B，温度分别为 TA、 TB(TA&TB)。 ?两者接触后，发生不可逆传热过程， 热量|dQ| 从 A→B。 ?由于|dQ|很小，TA、TB 基本未变。在计算 A 的熵增时，可设想它经历一个可逆等温 过程放热|dQ|， 因此， 同样， dSA = |dQ| TA逆过程中熵是增加的。3.理想气体绝热自由膨胀 ?孤立系统:绝热容器内的理想气体 初态： 末态： V1 、 V2 (V2 &V1 )、 T0 ， T0?拟定：一可逆等温膨胀过程，使气体与温 度也为 T0 的恒温热源接触吸热而体积由 V1 缓慢膨胀至 V2 。 熵增： ΔS = ∫ 2 ( dQ ) = 1 ∫ 2 dQ 1 T0 1 T0 = νRln( V2 ) ν：摩尔数 V1 因为 V2 & V1 ， 所以 ΔS & 0|dQ| dSB = TB?整个孤立系统的熵增为 dS = dSA + dSB = |dQ|[ 1 - 1 ] TB TA 由于 TA & TB，所以 dS & 0 说明两物体在有限温差热传导这个不可31由于熵是状态的函数，所以ΔS 也就是自 由膨胀引起的气体的熵变。 ☆以上各例都说明孤立系统中进行的不可32逆过程都是使系统的熵增加了。不可逆的 数学表示就是熵增加。?然后以热量的形式从此热源中取出 Q1 (=W)的能量并用来作功， 这时会发现所作 的功& Q1(=W)。?§6 熵与能量退降(可选讲) 一、熵与能量退降 1.能量退降 (1)“能量是作功的本领”：物体有多少能量 就可作多少功。 例如， 具有重力势能 EP 的 重物落到地面时，所作的功 W = EP 。 (2)但对于与热运动有关的能量--内能， 并非 全部能量都可用来作功。不可逆过程的后 果使一部分能量 Ed 变成不能作功的形式， 此即能量的退降(degradation of energy)。 (3)例如， ?使数值为 W 的能量通过某种过程(如摩 擦)，转变为温度为 T 的热源的内能。33?下面我们计算此功的可能的最大值 W ′。W 要算它的最大值， 高温热源 T Q1=W W′ |Q2| 低温热源 T0能量的退降(a)要用卡诺热机； (b)要用可能的温度 最低(设为 T0)的 低温热源如图。于是， W ′ = Q ? η = W[1 - T0 ] 1 c T 和原来可作的功 W 相比，同样的能量所 作的功减少了 Ed = W - W ′， 于是有，Ed = W T0 TEd 即退降的能量的数值。34?由上式,当原可作功 W 的能量转变为不同 热源的内能时，热源的温度 T 越低，能量 退降得越多。 ?若 T=T0，即能量转变为最冷热源的内能 时， 能量 W 将完全退降， 完全不能用来作 功了。 二、能量退降举例 焦耳实验 ?重物 M 下降高度 dh ?通过搅拌使水温由 T 升至 T + dT ?本来，重力势能可全部作功 W= Mgdh ?现在，这些能量变成了水的内能(= W) 2.熵的增加是能量退降的量度 ?能量的退降是发生了不可逆过程的结果。 可以证明，不可逆过程的进行，总要引起 能量的退降， 而且能量退降的数值 Ed 和 不可逆过程的熵的增加ΔS 成正比。 可以证明， ?欲用此能量作尽可能多的功 W ′，需借助 一卡诺热机，且要用周围可用的温度最低 (T0)的低温热源，于是 W ′ = W ? ηc = Mgdh[1T0 ] T + dT T0 Ed = W - W ′= Mgdh[ ] T + dT ≈ Mgdh( T0 ) T ?对这一功变热的不可逆过程，系统熵增 dS = mc ln( T + dT ) T dT = mc ln(1 + 36 ) ≈ mc dT T TEd = T0 ΔS即能量退降的数值 Ed 等于熵的增量ΔS 与 可能利用的最冷的热源的温度 T0 的乘积。35?本节要说明无序程度的增大如何用数学表 由能量守恒，有 Mgdh = mcdT，可得 示，并进而说明熵的微观本质。 一、热力学概率 ?玻耳兹曼(Boltzmann)首先把熵和无序性 ☆由于自然界中所有的实际过程都是不可 逆的，这些不可逆过程的不断进行，将使 能量不断变为不能作功的形式。能量虽然 是守恒的， 但是越来越多地不能被用来 作功了。这是自然过程的不可逆性，亦即 熵增加的一个直接后果。 §7 熵的微观意义 ?前面讨论了自然过程的方向性 定性规律 定量描述 宏观上 热力学 第二定律 熵增加 原理37Ed = T0 ? dS联系起来。他认为： 从微观上看，对一 系统状态的宏观描述是很不完善的，系统 的同一宏观状态可能对应非常多的微观 状态， 而这些微观状态是粗略的宏观描 述所不能加以区别的。 ?下面以气体自由膨胀为例来说明(只考虑 分子的位置分布)。 1.微观状态与宏观状态微观上 无序程度 增大 本节 讨论如图容器内设有 3 个分子， 并编上号 a、 b、 c。设想容器分为左、右两半。左a b c c b38右分子的微观状态分布(图为一种状态)2.热力学概率 (1)分子的微观状态分布 左 abc 右 0 ab ac bc a c b a bc b c 0 ac ab abc 某一宏观状态对应的微观状态数叫该宏 观状态的热力学概率Ω。 ?当分子数 N = 3 时， 分子自动收缩到左边的宏观状态出现的 概率： 1 = 13 8 23 两边都有分子的概率： 6 = 2 - 2 8 23 ?当分子数 N = 4 时，分子的每一种微观分布叫一种微观状态。 (以上共 8 个微观状态)。 按统计理论的基本假设，对于孤立系统， 各微观状态出现的概率是相同的。 (2)分子的宏观状态分布 左 3个 2个 1个 0个 右 0个 1个 2个 3个 ?共 4 种宏观状态，各宏观状态所对应的微 观状态数一般不同。 ? 对应微观状态数大的宏观状态出现的概率 大(如左 2 右 1 的宏观状态对应有 3 个微观 状态，出现的概率就大)。1 分子自动收缩到左边的 概率： = 14 16 2 ?对 1 摩尔气体，NA= 6.023×1023 个/摩尔分 子自动收缩到左边的宏观状态的概率：1 2NA这种宏观状态虽原则上可出现，但实际上4039不可能(概率非常非常小)。 实例：如盘里有很多(例如 100 枚)硬币，用 手颠盘子，出现所有硬币都是正面朝上情 形的概率不能说没有，但实际上极小,以 至于不可能。(3)孤立系统 非平衡态 平衡态 (Ω =Ωmax 的宏观状态)二、熵和热力学概率的关 1.玻耳兹曼熵公式结合气体自由膨胀及上面的讨论可知， (1)孤立系统?综合前面的讨论，自然过程的方向性是 由 有序 S小 → 无序 S大 (微观定性表示) (宏观定量表示) (微观定量表示)Ω 较小的宏观状态Ω 较大的宏观状态Ω小Ω大这就是方向性的微观定量说明，即自然过 程是往热力学概率Ω 增大的方向进行。 (2)前面曾从微观上定性说明了自然过程总 是沿着使分子运动更加无序的方向进行。 两相对比，可知热力学概率Ω是分子运动 无序性的一种量度。41?可见，熵和热力学概率有密切的关系，它 们的大小都与状态的无序的程度有关。玻 耳兹曼最早引入了 S 和 Ω 的关系：S = k lnΩ此式称玻耳兹曼熵公式 k--玻耳兹曼常数。42熵值与之对应。所以玻耳兹曼熵意义更普 和Ω一样， 熵的微观意义是：系统内分子热运动的无 序性的一种量度。 ?对熵的本质的这一认识，现已远远超出分 子运动的领域。对任何作无序运动的粒子 系统，甚至大量无序的事件(如信息)，也 用熵的概念来分析研究。 2.玻耳兹曼熵与克劳修斯熵 (1)概念上的区别 ?克劳修斯熵只对系统的平衡态才有意义， 是系统平衡态的函数。熵的变化是指从某 一平衡态到另一平衡态熵的变化。 ?玻耳兹曼熵对非平衡态也有意义，对非平 衡态也有微观状态数与之对应，因而也有 式完全等价。 (在热力学中进行计算时用的多是克劳修斯 熵公式) ?下面仍以理想气体绝热自由膨胀为例说明 用玻耳兹曼熵公式得出的结果与用克劳 修斯熵公式所得的结果完全相同。 初态： V1 、 T (2)两个熵公式完全等价 两个熵公式：克劳修斯熵公式； 玻耳兹曼熵公式。 在统计物理中，可以普遍地证明两个熵公 遍。 ?由于平衡态对应于Ω 最大的状态，可以 说，克劳修斯熵是玻耳兹曼熵的最大值。4344末态：V2、T ，( V 2& V1 )?因为初、末态 T 相同，分子的速度分布不 变，只有位置分布改变，可以只按位置分 布计算热力学概率。 ?一个分子位置分布的可能的微观状态数 ∝ V (所能达到的空间体积) ?当体积从 V1→V2 时，一个分子的位置分 布的可能的微观状态数将增到 V2/V1 倍。 ?ν 摩尔气体有 νNA 个分子，整个气体的 微观状态数Ω 将增大到 (V2/V1 )νNA 倍， 即= νR ln( V2 ) &0 V1 与前结果相同。第 3 章结束Ω2 = ( V2 )νN Ω1 V1A?由玻耳兹曼熵公式可得熵增为 ΔS = S2 - S1 = k( lnΩ 2 - lnΩ 1 ) = k ln(Ω 2 )= νN k ln( V2 ) A Ω1 V145 463.振动分类 振动 受迫振动 自由振动 阻尼自由振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由非谐振动　 无阻尼自由谐振动 (简谐振动) (Simple Harmonic Motion) §1 简谐振动(运动学部分) 一、简谐振动 简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余 弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化。 1.表达式(运动学方程)o m x x第四篇 振动与波动第 1 章 振 动 (Vibration) 前言 1.振动是一种重要的运动形式 2.振动有各种不同的形式 机械振动：位移 x 随时间 t 的往复变化 电磁振动：电场、磁场等电磁量随 t 的往复 变化 微观振动：如晶格点阵上原子的振动 广义振动：任一物理量(如位移、电流等) 在 某一数值附近反复变化。1　水平弹簧振子2x(t)=Acos(ω t + ?)x ～ t 的关系曲线称振动曲线 2.特点： (1)是等幅振动 (2)是周期振动 x( t ) = x( t +T )数。ν = 1/T(单位：Hz)?角频率(angular frequency)：2π秒内的振 动次数。ω = 2πν =2π/T(单位：1/S 或 rad./S)3.相位 (1)(ωt +? )是 t 时刻的相位(phase)。二、描述简谐振动的特征量 1.振幅 振 幅 (amplitude)A ： 最 大 位 移 的 绝 对 值 (A 恒&0) 。 2.周期和频率(反映振动的快慢) ?周期(period)T ：振动一次所需时间。 ?频率(frequency)ν：单位时间内的振动次(2) t 时刻的相位反映 t 时刻的振动状态 (x、υ、a )。 由 x =Acos(ωt +? )ωt +?x(t)0 A 0π/2 0 -ωA 0π -A 03π/2 02π A 0 -ω2Aυ(t)ωA0a(t) -ω2Aω2A34(3)初相(c)m -Ax0 = -Ax A o x o -A x A x o -A?=πT t?初相(initial phase)是 t = 0 时刻的相位。 (t =0 称时间零点，是开始计时的时刻，不 一定是开始运动的时刻)。 ?反映 t = 0 时刻的振动状态(x0，υ0 )。 x0 = Acos?， υ0 = -ωAsin? 要熟记典型 ? 值所相应的振动情况和振动 曲线(如图)。(d)? = 3π/2(或 -π/2)T tm ox0 = 0弹簧振子的几个特殊的初始状态及相应的振动曲线?初相?的数值决定于时间零点的选择。 演示：简谐振动(弹簧振子)?x00 A 0π/2 0 -ωAm o Ax0 = Aπ -A 0A x o -A3π/2 02π A 三、简谐振动的描述方法?=0tυ0(a)ωA 0x1.解析法(由振动表达式) 由 x=Acos(ωt+?)T已知表达式 ?A、T、? 已知 A、T、? ?表达式x(b)m ox0 = 05A x o? = π/2tT -A62.曲线法(由振动曲线)x A o -A用振动曲线描述简谐振动[例] 已知简谐振动，A=4 cm，ν = 0.5 Hz，? = π/2T tt =1s 时 x =-2cm 且向 x 正向运动。 写出此简谐振动的表达式。A t=0解：由题意，T = 2 s 由图， ? = π/3， ∴x = 4cos(πt + π ) cm 3ωt=0 t = 1s 时矢量位置?x已知振动曲线 ? A、T、? 已知 A、T、? ?振动曲线 3.旋转矢量法(rotational vector) (可优先选用) (1)?旋转矢量t=t A例题用图四、相位差 1.相位差和初相差 ?相位差(phase difference)---相位之差。 ?对两同频率的简谐振动，相位差等于初相 差， Δ? = (ωt + ?2) - (ωt + ?1)长度 = A； ?以ω为角速度 绕 o 点逆时针旋转；ωt+? ?o x x = A cos(ω t + ?)旋转矢量图A?x?t = 0 时矢量与 x 轴的夹角为初相 ? (2)矢量端点在 x 轴上的投影做简谐振动 演示：旋转矢量模型Δ? = ?2 - ?17 82.同相和反相 ?当Δ? = ± 2kπ， ( k = 0,1,2,…)， 两振动步调相同，称同相(in-phase)。 ?当Δ? = ±(2k+1)π， ( k= 0,1,2,…)， 两振动步调相反，称反相(antiphase)。xA1 A2到正最大，称 x2 比 x1 领先(或 x1 比 x2 落后)。 ?领先、落后以 & π的相位角(或以& T/2 的时 间间隔)来判断。 思考：在上图中，x1 与 x2 两振动谁领先? 方法：振动曲线的画法：?为非典型值时，可 用领先、落后的概念画出振动曲线。T t o txx2x1同相 TA1 A2x1反相o- A2-A1- A2-A1x2?欲画 x = Acos(ωt +?)的曲线 ?先画辅助曲线 x 辅 = Acos ωt 的曲线 ?若? & 0，说明 x 比 x 辅落后，将 x 辅曲线右 移即得 x 的曲线。xA 辅助曲线(a) 两同相振动的振动曲线(b) 两反相振动的振动曲线x3.领先和落后 ?若Δ? = ?2-?1& 0, 则 x2 比 x1 较早达A1 A2x1To在横轴上移动的o- A2-A1x2t距离为T t T/6待画曲线Δt = (振动的领先与落后|? | )T 2π-A振动曲线的画法109例如，若? = -π/3，则右移 T/6速度作为简谐振动，其 ?角频率为ω?振幅 Aυ = ωA，五、简谐振动的速度、加速度 1.速度 (1)表达式υ = dxdt?初相?υ= ? + (π/2)，υ比 x 领先π/2。ax、υ、aω2A ωAAυ = -ωAsin(ω t + ?)= ωAcos(ωt +? +π/2) 也可写为υxT to-A -ωA-ω2A υ & 0a&0减速&0 &0加速&0 &0减速&0 &0加速υ(t) = Aυcos(ωt+?υ)(2)速度也是简谐振动， 任何一个物理量，如果它随时间按余弦函数 (或正弦函数)的规律变化，就说这个物理量 按简谐振动的规律随时间变化。简谐振动的位移、速度和加速度曲线(3)速度和位移的关系 t 时刻υ = ω (A2- x2)1/2t =0 时 υ0 = ω (A2- x02)1/2 2.加速度2 a= d x dt 21112(1)表达式§2 简谐振动(动力学部分) 一、简谐振动的动力学方程 1. 受力特点：线性恢复力F m o x xa = -ω2Acos(ωt + ?)= ω2Acos(ωt +?+π) 也可写作水平弹簧振子的受力情况(力和位移正比而反向， 具有F = -kx 的形式)。 2.动力学方程(以水平弹簧振子为例) ?由 F = ma = m d x 及 F = -kx d t2 简谐振动的振动方程(动力学方程)22a(t) = Aacos(ωt +?a)(2)加速度也是简谐振动，其 ?角频率 ?初相有ω?振幅 Aa = ω A a 和 x 反相。?a= ? + π，d2x + ω2x = 0 d t2?此振动方程的解即简谐振动的表达式。 ?用动力学的语言可以说：在线性恢复力的 作用下，质点作简谐振动 。 3.固有角频率 固有角频率(natural angular frequency)：(3) a 和 x 的关系a = -ω x2简谐振动的加速度和位移正比而反向。a = -ω2x1314弹簧振子： ω = 单摆：k √m l一般有两个值，需代回上面 x0 或υ0 的式中， 以判断取舍。ω =√ g固有角频率决定于振动系统的内在性质(如 弹簧振子，固有角频率决定于振动系统的 弹性和惯性)。 4.由初始条件求振幅和初相 ?初始条件：t = 0 时的振动状态(x0、υ0) ?由位移和速度的振动表达式有 x0 = Acos? ；υ0 = -Asin? 可得二、简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例) 1.简谐振动系统的能量特点 (1)动能 Ek= 1 mυ2 2Ek = 1 kA2sin2(ωt +?) 21 2 Ek 随 t 变 ?Ek max = 2 kA?Ek min = 0 ?平均值 Ek = T1 1 ∫t Ek dt = 4 kA2t +TA=√x02+(-υ0 ? = tg-1( ωx0 )υ0 )2 ω(2)势能Ep= 1 kx22?由上式定出的?，在 0 到 2π(或-π到π)之间15Ep = 1 kA2cos2(ωt +?) 216Ep 随 t 变，Ep max、Ep min、Ep 情况同动能。 (3)机械能 E = Ek + Ep综合以上：简谐振动的各特征量， 振幅 A 决定于系统的初始能量；E=1 2kA2角频率ω 决定于系统内在的性质； 初相? 决定于时间零点的选择。?简谐振动系统机械能守恒，能量没有输入， 也无损耗，各时刻的机械能均等于起始能 量 E0(t =0 时输入系统的能量)。1 2 2 kA A -A3.无阻尼自由振动的能量 ?对作无阻尼自由振动的系统 “自由”：振动过程中，没有外界驱动力作 功(机械振动情形)；E Ep Ek“无阻尼”：振动过程中，没有能量损耗，T简谐振动的能量曲线otx因此，系统作无阻尼自由振动时，振动能量 必然守恒。 ?无阻尼自由振动可分为： 无阻尼自由谐振动(如弹簧振子) 无阻尼自由非谐振动(如单摆的大幅度摆?可见，振动系统的能量正比于振幅的平方。 ?要求：已知 x ? t 曲线，能正确画出 Ek ? t 和 Ep ? t 曲线。 2.由初始能量求振幅A = √ 2E k= √ 2E017k18动) 对这两种情形，上述振动能量守恒的结论都 是正确的。 ?本章讨论的简谐振动(除后面要讲的受迫振 动系统稳态时所作的简谐振动外)， 实际上就 是无阻尼自由谐振动，所以其振动能量守 恒。 但不能认为一切简谐振动的振动能量都守 恒，如受迫振动系统所作的简谐振动，通常 在一个周期内的振动能量将随时间改变。?由牛顿定律列方程，如能得出 d2x +ω2x=0 形式的方程，则 dt 2 (1)说明振动是简谐振动 (2)可得出角频率ω [例]质量为 m 的刚体可 绕固定水平轴 o 摆动。 设刚体重心 C 到轴 o 的mg?θbo? C距离为 b，刚体对轴 o例题用图(复摆)的转动惯量为 J。试证刚体小幅度自由摆动 时做简谐振动，并求振动角频率(这样的摆 称作复摆)。三、简谐振动的动力学解法 1.由分析受力出发 ?分析物体在任一时刻的受力解：?刚体摆至任一角度θ 时受力 mg ?力对轴 o 的力矩 M = - mgb sinθ (负号是因 M 的转向与θ 的转向相反)1920?由转动定律 M = Jβ 有2 - mgb sinθ = J d θ2 dt振动是简谐振动，且可得出角频率ω 。 ?在振动物体不能看作质点的情形下(如 U 型 管中振动的液体)，用能量法更方便。 练习：横截面均匀的 U 型管中有适量的液 体(如图)， 液体的总S y y o y y?小角度时 sinθ ≈θ， 有 d2θ + mgb dt 2 J θ=0 ?可见：(1)此刚体的自由摆动是简谐振动 (2)角频率 ω = ( mgb 1/2 ) J思考：若一单摆的频率与此复摆的频率相等， 单摆的摆长 l 应是多少?( 此 l 称为复摆的等 值单摆长) 2.由分析能量出发 ?对无阻尼自由振动系统，其振动能量守恒。 分析系统在任一时刻的能量，列出守恒式 ?将守恒式对 t 求导一次，如能得出 d x +ω2x=0 dt 22长度为 L(总体积除以 横截面积)。求：液面 上下起伏的自由振动ρ练习题用图(U 型管中液柱 的振动)的角频率 (用能量法求)。 [答案： =(2g/L)1/2 ] ω§3 阻尼振动 ?阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 ?阻尼种类： 摩擦阻尼形式的方程，同样可知2122辐射阻尼 一、阻尼振动的振动方程和表达式 1.阻力 ?对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物 体速度较小时，阻力 ∝ 速度。 ? f 阻 = - γυ = - γ dx dt固有频率 ω0 = (k/m)1/2 得阻尼振动(damped vibration)的振动方程d2x + 2β dx + ω 2x = 0 0 dt dt2?此方程的解应分三种情形讨论：γ ：阻力系数β 2 & ω2 称作欠阻尼(underdamping) β 2 & ω2 称作过阻尼(overdamping)2.振动方程 讨论：在阻力作用下的弹簧振子 ?受力：弹性恢复力 -kx 阻力 ?振动方程2 x m d 2 = - γ dx - kx dt dtβ 2 = ω2 称作临界阻尼(critical damping )3.振动表达式 在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻 尼下的阻尼振动的振动表达式，为- γ dx dtx(t) = A0e-β tcos(ωt + ?)其中 ω = (ω02 - β 2)1/2引入阻尼系数 β = γ /2m23244.振动曲线 (欠阻尼下)x达到正向极大值的时间间隔A0e-βtoT = 2π = ωt2π &T0(固有周期) (ω02 - β 2)1/2三.阻尼振动的特点 (欠阻尼下) 1.振幅特点 ?振幅：A(t) = A0e-β t阻尼振动的振动曲线四、三种阻尼下的振动曲线 ?在 β 2 & ω2 (过阻尼)和β 2 = ω2(临界阻尼)情形下，阻尼振动微分 方程的解将是非振动性欠阻尼 o过阻尼t 临界阻尼三种阻尼?振动能量：E(t) = E0e-2β t 正因振动能量不断损耗，振幅才随 t 衰减。 2.周期特点 ?严格讲，阻尼振动不是周期性振动(更不是 简谐振动)，因为位移 x(t)不是 t 的期周函 数。 但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次的运动。运动物体连一次振动也不能完成， 能量即已耗光，物体慢慢移向平衡位置。 ?和过阻尼情形相比，临界阻尼情形下，物体 回到平衡位置并停在那里，所需时间最短。 演示：阻尼振动现象 应用：?电表阻尼2526?天平阻尼 §4 受迫振动与共振 一.受迫振动 受迫振动(forced vibration)：振动系统在周 期性驱动力(driving force)作用下的振动。 1.系统受力：以弹簧振子为例， 弹性力 -kx 阻尼力 -γ ( dx ) dt 周期性驱动力 f = F0 cosω t 2.振动方程：由牛顿定律有 m d x = -kx -γ ( dx ) + f dt dt 22； h = F0 m 3.稳态解：x =Acos(ωt+?)4.特点：稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不 是无阻尼自由谐振动，请注意两者的区别)。 (1)角频率：等于驱动力的角频率ω(2)振幅：?系统作等幅振动(虽有阻力消耗能 量，但同时有驱动力作功对系统输入能量， 系统仍可维持等幅振动)。 ?其振幅由系统参数(ω0)、阻尼(β)、驱动力 (F0,ω)共同决定。d x +2β dx +ω 2x = hcosωt 0 dt 2 dtk 1/2 其中 ω0 = ( m ) 是固有角频率 ；2A=[(ω ωh2 2 2 0 - ) +4β 2ω2]1/2β = 2m27 28γA 的大小敏感于ω和ω0 的相对大小关系，而和初始条件(x0、υ0)无关。 (3)初相：亦决定于ω0、β、和ω，与初始条件 无关。值、振动很剧烈的现象。 (1)共振角频率：ωr= (ω02-2β 2)1/2h 2β (ω02-β 2)1/2tg? =-2βω ω02- ω2(2)共振振幅：Ar =若阻尼很小，β 2&& ω02，则 ωr ≈ ω0 ， Ar ≈ h 2βω? 值在-π ? 0 之间。可见，位移 x 落后于驱动力 f 的变化( f 的初相为零)。 练习：请将无阻尼自由谐振动和稳态受迫 振动作一对比。位移共振的共振曲线(右图)称尖锐共振二、共振(resonance)： ?位移共振(displacement resonance) ?速度共振(velocity resonance) 1.位移共振 位移共振：当驱动力的角频率2.速度共振 速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统 的固有角频率时，速度幅ωA 达极大值的现 象。ω 等于某个(1)共振角频率：ωr= ω0适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大h (2)共振时速度的幅值：Vmr = 2β3029(3) 共振时速度的初相：?υ r = 0 即速度共振时，速度与驱动力同相，一周 期内驱动力总作 正功，此时向系 统输入的能量最 大。图片：小号发出的声波足以使酒杯破碎速度共振的共振曲线故事：从前有一座山，山里有座庙，…… (庙里的大钟不敲自响的故事)。 实例：电厂汽轮机平台的共振。 演示： 受迫振动与共振(音叉共振、 马达底座共 振、共振摆等) §5 简谐振动的合成 简谐振动的合成 (combination of simple harmonic motions)：同年7月的一场大风引起桥的 1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 共振使桥摧毁3132?同一直线上同频率的简谐振动的合成 ?同一直线上不同频率的简谐振动的合成 ?相互垂直的同频率的简谐振动的合成 ?相互垂直的不同频率的简谐振动的合成tg ? =A1sin?1 + A2sin?2 A1cos?1 + A2cos?2? A、? 可由旋转矢量法导出，这比用解析法 方便。由图，y Ay A A2一. 同一直线上同频率的简谐振动的合成 1.分振动：一物体同时参与两个在同一直线 上的同频率的简谐振动，其表达式为 x1=A1cos(ωt+?1) x2=A2cos(ωt+?2) 2.合振动： x = x1+x2Ax = A1cos?1 + A2cos?2 Ay = A1sin?1 + A2sin?2 再由 A2 = A12 + A22 tg? = Ay Ax?2o??1A1 Ax x两个沿 x 轴的同频简谐振动合成 的旋转矢量图可得以上 A、 ? 3.两种特殊情况的表示式。x =A cos(ωt+? )合振动是简谐振动，其角频率仍为ω，(1)若两分振动同相，?2 ? ?1 = ±2kπ，则A=A1+A2， 两分振动 相互加强。(2)若两分振动反相，?2 ? ?1= ±(2k+1)π,A = √ A12 +A22 + 2A1A2cos(?2 - ?1)3334则 A = |A1 - A2|， 两分振动 相互减弱。 (以上 k = 0,1,2,……) 如再有 A1=A2， 则 A = 0。 此情形下，“振动加振动等于不振动”。x1其中 A(t) = 2Acos( ω2 - ω1) t 2 cosω t = cos(ν1随 t 缓变；ω2 + ω12)t随 t 快变；二、 同一直线上不同频率的简谐振动的合成 1.分振动： 设为 x1 = Acosω1t x2 = Acosω2tx x2tν2tν =?ν 1 - ν2 ?t2.合振动：x = x1 + x2 合振动可看作振幅缓变的简谐振动。 3.拍(beat)9ω + ω1 x = 2Acos( ω2 - ω1 ) t? cos( 2 )t 2 2合振动不是简谐振动。 ?当ω2 ?ω1 时，ω2 - ω1&&ω2 +ω1， x 可写作合振动的周期性的时强时弱的现象称作拍。 拍频(beat frequency)：单位时间内合振动加x = A(t)cosω t35 36强或减弱的次数。?位移：是两个分振动位移的矢量和。 ?轨迹方程：2 x2 + y x y cos(? -? )= sin2(? -? ) 2 2 -2 2 1 2 1 A1 A2 A1 A2 合运动一般不是简谐振动。νb=|ν2-ν1| 或 ωb=|ω2-ω1|νb 即 A2(t) 或 |A(t)| 的变化频率。演示：用音叉演示拍现象 实例：?双簧管(oboe)， ?钢琴(piano)调 音。(1)合运动一般是在 2A1(x 向)、2A2(y 向) 范围 内的一个椭圆 。 (2)椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋) 在 A1、 A2 确定之后，主要决定于三、相互垂直的同频率简谐振动的合成 1.分振动：一个质点同时参与两个相互垂直的 同频率简谐振动 x = A1cos(ωt+?1) y = A2cos(ωt+?2) 2.合运动Δ? = ?2 - ?1Δ? = 0 Δ? = π/4? P ? QΔ? = π/2Δ? = 3π/4Δ? = πΔ? = 5π/4 Δ? = 3π/2Δ? = 7π/4两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹37 38注意：对?2 - ?1 = 0, π, ±π/2 等特殊情形下的 轨迹要熟记。 思考：什么条件下合运动的轨迹是圆? 演示：演示垂直方向同频率的振动合成方法：用旋转矢量法画合运动轨迹 例如要画 x = A1cos(ωt + π/4) y = A2cos(ωt + π/2) 的合运动的轨迹，可在 x、y 方向分别选一 旋转矢量如图。把方框中的小红点按顺序 用曲线连起来，即可得所求合运动轨迹。7 8 y 6 -A1 5 ? A2 ? 6 7 ? ? ?81 ?? x 1y1A2 π/2 t=02 3 4 5?A4? ? 2 ? -A?2 2 33 4 5 6A11 t=0 π/48 x7用旋转矢量法画两垂直振动的合运动的轨迹3940四、相互垂直的不同频率简谐振动的合成 ?其情形复杂，轨迹曲线一般不稳定(随 t 变 化)，也不一定闭合。两个常见的简单情形 如下： (1)若两分振动频率相差很小 ?则相位差 Δ? = (ω2 - ω1)t + (?2 - ?1)， ? 可近似看作两同频率的振动的合成， ?2 - ?1 而 随 t 缓慢变化。于是合运动轨迹将按上图给 出的形状依次缓慢变化。 (2)若两振动的频率成简单整数比， 则轨迹为稳 定的闭合曲线，称李萨如图形 (Lissajous figures)。 曲线的具体形状和两频率的比值及[例] 下图是 ωx :ωy=3:2， ?2 = 0， ?1 = π/4y A 1时的李萨如图形。 ?x 向达正最大的次数 nx 和 y 向达正最大的 次数 ny 之比正好等于 x 向和 y 向的频率之 比，-A2 o A2 x- A1李萨如图举例νx nx ny = νy?可根据李萨如图形由νx 求出νy 演示：李萨如图形?1 和?2 的大小有关。4142§6 谐振分析 谐振分析(harmonic vibration analysis)： 把一个复杂的振动分解为一系列不同频率 的简谐振动的方法称作谐振分析。 一、一个周期性振动可分解为一系列频率分立 的简谐振动。 ?若周期振动的频率为： ν0 则各分振动的频率为： ν0, 2ν0, 3ν0,…， 分别称作基频(fundamental frequency)； 二次谐频(second harmonic frequency)； …等。 三次谐频(third harmonic frequency)；o“方波”的分解?下图为“方波”形周期振动的分解 x 方波o t方波的分解x0+ x1 x1 x0otx3o tx5o x0+x1+x3+x5 tt?频谱图：一个实际振动所包含的各种谐振成4344分的振幅和它们的频率的关系图。 ?周期性振动的频谱是分立的线状频谱。下图 为“锯齿波”的频谱图。x A o T锯齿波 锯齿波频谱图 周期振动的频谱(举例)非周期性振动的频谱是连续频谱，如下图。x AA 2 πA o ω0 3ω 5ω 0 0o oω阻尼振动频谱图tω阻尼振动曲线非周期振动的频谱(举例)思考：有时赞誉一歌唱家：“声音洪亮，音域 宽广，音色甜美”。这各指什么物理因 素? (注：音色和谐频有关)第 1 章结束二、一个非周期性振动可分解为无限多个频率 连续变化的简谐振动。4546第 2 章 波 动 (Wave) 前言： 1.振动在空间的传播过程叫做波动。 波动是一种重要的运动形式。 2.常见的波有两大类: (1)机械波：机械振动在媒质中的传播。 (2) 电磁波：变化电场和变化磁场在空间中的 传播。 ?此外，在微观中波动的概念也很重要。 3.各种波的本质不同，传播机理不同，但其基 本传播规律相同。 本章讨论：机械波(Mechanical wave)的特征 和有关规律，具体为， (1)波动的基本概念；(2)与波的传播特性有关的原理、现象 和规律； (3)与波的叠加特性有关的原理、现象和规律。§1 机械波的产生和传播 一、机械波的产生 1.产生条件：(1)波源； (2)媒质 2.弹性波：机械振动在弹性媒质中的传播 (如弹性绳上的波)。 弹性媒质的质元之间以弹性力(elastic force) 相联系。 3.简谐波：若媒质中的所有质元均按一定的相 位传播规律做简谐振动，此种波称为简谐波 (simple harmonic wave)。 以下我们主要讨论简谐波。12二、波的传播 1.波是振动状态的传播 以弹性绳上的横波为例，由图可见：(1)媒质中各质元都只在自己的平衡位置附近 振动，并未“随波逐流”。波的传播不是 媒质质元的传播。 (2)“上游”的质元依次带动“下游”的质元 振动(依靠质元间的弹性力)。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t = 0 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t = T/4 ???? ?? ???? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t = T/2 ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? t = 3T/4 ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ? t=T ? ??? ? ? ? ??? ? ??弹性绳上的横波048121620(3)某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于 “下游”某处出现，这就是“波是振动状 态的传播”的含义。 (4)有些质元的振动状态相同，它们称作同相 点。相邻的同相点间的距离叫做波长(wavelength)λ ，它们的相位差是 2π。 2.波是相位的传播 ?由于振动状态是由相位决定的，“振动状态由图可见：的传播”也可说成是“相位的传播”，即34某时刻某点的相位将在 较晚时刻重现于“下游”某处。 ?于是沿波的传播方向，各质元的相位依次落 后。 ?Δxb 点和 a 点的相位比较三、波形曲线(波形图) 1.波形曲线(ξ?x 曲线) 波形曲线(wave form curve) 是ξ?x 关系o波形曲线ξutλxu a传播方向?bx曲线)， ?ξ－质元的位移 ?x－质元平衡位置的坐标图中 b 点比 a 点的相位落后Δ? = ( 2π )Δx?ξ--x 曲线反映某时刻 t 各质元位移ξ 在空间 的分布情况。 (t 时刻用照相机为所有质元拍的团体相) ?波的传播在外貌上表现为波形的传播。不同 时刻对应有不同的波形曲线。每过一个周期 (质元振动一次)， 波形向前传播一个波长的距 离。λ即 a 点在 t 时刻的相位(或振动状态)经Δt 的 时间传给了与它相距为Δx 的 b 点，或 b 点 在 t +Δt 时刻的相位(或振动状态)与 a 点在 t 时刻的情况相同( Δx 即波的传播速度)。 Δt56?在波形曲线上必须标明时刻 t 和波的传播方 向。 ?波形曲线不仅能反映横波也能反映纵波的位 移情况。 2.注意区别波形曲线和振动曲线 波形曲线：ξ? x 曲线 振动曲线：ξ? t 曲线，反映某一质元的位 移随 t 的变化。 (用摄像机为“舞姿优美”的某质元拍的一段 特写镜头)。 ?在振动曲线上应标明是哪个质元的振动曲 线。 3.要求：应掌握， (1)由某时刻的波形曲线→画出另一时刻的波形曲线； (2)由某时刻的波形曲线 →确定某些质元的振动趋势 →画出这些质元的振动曲线； (3)由某质元的振动曲线 →画出某时刻的波形曲线。 ☆重要原则：不管是在波形曲线还是振动曲线 上，同一质元在同一时刻的振动位移应相同 (可用此原则检验所画曲线是否正确)。 练习： 1.已知 t = 0 时刻的波形曲线如下图， (1)画出 t +(T/4)， t +(T/2)， t +(3T/4) 各时刻的波形曲线。ξu(2)在题图上用小箭o? ?bat=0?x d ? cλ78(a)头示出 a、b、c、d 各质元的振动趋势，并 分别画出它们的振动曲线。 2.已知 x=0 处质元ξ波的个数。 ?通常情况下有 波的频率ν = 波源的振动频率νsx=0T的振动曲线如图，o t3.波速 u：波速是振动状态的传播速度，数值 上等于单位时间内振动状态传播的距离。画出 t = 0 时刻的 波形曲线(设波沿 +x 方向传播)。(b) 练习题用图u = λ =νλ T?波速 u 主要决定于媒质的性质和波 的类型(横波、纵波)。 ?因振动状态由相位决定，所以波速也就是相 位传播的速度，称相速度(phase velocity)。 ?要注意区分波速 u 和 媒质质元的振动速度 ?ξ ?t 。四、波的特征量 1.波长λ：两相邻同相点间的距离。 波}