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时间：2018-03-15 11:58
一学校老师举行婚礼。 各科研组为祝贺新人增添喜庆气氛，就各自写了一副对联送去。 &br&&br&1.政治组写的， &br&上联：一上一下并非阶级压迫，共创和谐社会&br&下联：几进几出不是野蛮侵入，造就一代新人 &br&横批：生命在于运动&br&&br&2.语文组写的是：&br&上联：新人新床新被褥共享新欢&br&下联：好疼好痒好舒服同干好事 &br&横批：夹道欢迎&br&&br&3.地理组写的是:&br&上联:
堵住疏通不如梯级开发&br&下联:
泄洪发电运输福利一家&br&横批:
河流开发&br&&br&4.地质组:&br&上联: 新人新井新钻头&br&下联: 越钻越深越出油&br&横批: 月明松&br&&br&5.数学组也写了：&br&上联：开括号解平方只为求根&br&下联：插直线穿圆心直达终点&br&横批：0大于1. &br&&br&6.历史组：&br&上联：夜袭珍珠港美人受惊&br&下联：两颗原子弹日德投降&br&横批：二次大战&br&&br&7.医务组：&br&上联：龙骨一根，退烧、止痒、生津&br&下联：陈皮二片，消肿、化痰、解渴&br&横批:
一日见效&br&&br&&br&&br&公众号：栗子味姑娘&br&喜欢就关注下吧 |?ω?｀)
一学校老师举行婚礼。 各科研组为祝贺新人增添喜庆气氛，就各自写了一副对联送去。 1.政治组写的， 上联：一上一下并非阶级压迫，共创和谐社会 下联：几进几出不是野蛮侵入，造就一代新人 横批：生命在于运动 2.语文组写的是： 上联：新人新床新被褥共享新…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_b.jpg& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_r.jpg&&&/figure&&p&冯小刚太会选女演员了。&/p&&p&对于《芳华》里的女孩子，原著里这么写，“丰满女兵，身高一米六九，还没碰到她，就能感到她青春体温的冲击波。”&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-db02915aaa2a39fddf19d75_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1071& data-rawheight=&597& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1071& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-db02915aaa2a39fddf19d75_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&《芳华》里的何小萍、郝淑文、萧穗子、林丁丁，不但都自带复古气质，而且每一寸肌肤也写满了青春的紧绷和充实。&/p&&p&电影里不单单有湿漉漉的额头、线条优美的大白腿、鼓胀的胸脯，还有战争、残疾和落魄苟且的生活。&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-ad2efb580ecd2f53fa1fc24ce0cda049_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&391& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-ad2efb580ecd2f53fa1fc24ce0cda049_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&文工团就像个青春的伊甸园，可是最后，还是被砸的稀巴烂；青春的芳华就是遮羞布，冯小刚真歹毒，撕开了这块红布。&/p&&p&前半场乌托邦，后半场屠宰场。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic3.zhimg.com/v2-bca78a8d617a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&602& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&http://pic3.zhimg.com/v2-bca78a8d617a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&青春可以解决谈恋爱，但是没法解决门当户对。刘峰可以向林丁丁表白，为她疯狂。&/p&&p&但是出身“从小就坐沙发、懂得鉴赏名表”的家庭，她怎么能和会做沙发的木匠的儿子在一起。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-6ba475e8cf55feea4c4cad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1066& data-rawheight=&476& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1066& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-6ba475e8cf55feea4c4cad_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&在青春里，我们同吃同住同劳动，同洗澡同战壕，甚至同睡过一张床，可是芳华过后呢？&/p&&p&你有你的海天盛筵和房地产，我有我的板车和关节炎。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/v2-db9c52690adcbffb483fc0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&911& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&911& data-original=&http://pic1.zhimg.com/v2-db9c52690adcbffb483fc0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&没吃过果丹皮的孩子死在远方；戴金项链的孩子继续辉煌。而刘峰你呢？&/p&&p&你以为自己活的坚强，就是回击给世界的耳光？对不起，曾经伤害过你的人，早已经原谅了自己，并且忘了你。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-99ac6bb47a069b06bf7bfd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&993& data-rawheight=&555& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&993& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-99ac6bb47a069b06bf7bfd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&也别指望《芳华》票房会好到感天动地，因为，这个电影看了让人闹心。就像许多人不愿意提及自己的“芳华”，不是健忘，而是怕疼。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-e78a87c94101c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&906& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&906& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-e78a87c94101c5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&青春为什么是最好的年纪，因为，在青春的世界里，地球最小、矛盾最少，大家最平等，希望最灿烂。当然，未来的日子，会逐一击碎这些假象。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&http://pic1.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&《芳华》的青春，就是一场虚妄的旅行，从深宅大院出发的，最后还是回到热闹繁华；从茅屋草棚出发的，最后还是要流落街头。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/v2-ebad8adcc35b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&767& data-rawheight=&581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&767& data-original=&http://pic1.zhimg.com/v2-ebad8adcc35b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&文工团，就是这场旅行里面，人气最高的景点，大家都嘻嘻哈哈的挤在里面。&/p&&p&但是，文工团会解散，芳华也会逝去。冯小刚恶毒的把世间真相放在眼前。&/p&&p&只能说，你真讨厌！&/p&&p&不过，我很喜欢。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic3.zhimg.com/v2-ecac4b96496_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&513& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&513& data-original=&http://pic3.zhimg.com/v2-ecac4b96496_r.jpg&&&/figure&
冯小刚太会选女演员了。对于《芳华》里的女孩子，原著里这么写，“丰满女兵，身高一米六九，还没碰到她，就能感到她青春体温的冲击波。” 《芳华》里的何小萍、郝淑文、萧穗子、林丁丁，不但都自带复古气质，而且每一寸肌肤也写满了青春的紧绷和充实。电影…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/14bf9167bf41_b.jpg& data-rawwidth=&953& data-rawheight=&344& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&953& data-original=&https://pic2.zhimg.com/14bf9167bf41_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/66a20bd7abe38c0ecf5f05a08eeeb8b9_b.jpg& data-rawheight=&338& data-rawwidth=&338& class=&content_image& width=&338&&&/figure&&p&如果将科学比喻为一顶皇冠，那数学无疑是王冠顶上那颗最为耀眼的宝石。这门学科极为古老，甚至可以说是和语言一起，在原始的人类部落中诞生的最早的人类知识。但这门学科同时又极为新颖，充满了大量的未知区域。与物理学号称逐步接近终极理论不同，我们在数学上更像是刚进入宝山的孩子，甚至都不知道还有多少没有发现的珍宝埋藏在前方。&/p&&p&与其他学科相比较，数学是最要求天赋的一门学科。别的学科都是基于对实际世界的观测而来的，不管是多么奇妙的现象，多么有悖于常识的理论，其实都构建在可以对应的实验现象之上。在实验的帮助下，我们可以一次次去验证这些理论的正确性，也可以更好的去理解他们的意义。&/p&&p&但数学却完全不同。因为她极端的抽象性，导致数学其实是完全建立在人类逻辑思想之上的创造，是一门无需实验的学科。这是所有学科中最困难的一门，那些冰冷的公式、神秘的符号、连篇累牍的证明过程，可以让每一个人都望而却步。&/p&&p&不过，你喜欢玩策略游戏吗？喜欢下棋吗？赢得一局杀人游戏、通关一局文明、屠掉对方大龙的时候，有没有感到一种酣畅淋漓的快感？有没有一种放眼天下，“你们都是渣渣”的豪情？数学，就是一种更困难千百倍、快感也超过千百倍的智力游戏。自从她诞生的那一刻以来，就吸引了无数的智者心甘情愿地沉迷其中，无法自拔。&/p&&p&数学也是一种超越了文化的语言，当年，柏拉图在学院门口刻上“不懂几何学者免进”的文字。两千多年后，人类在发射向宇宙深处的黄金盘上，也是用数学铭刻下一个智慧种族存在的记号。如果我们有幸能在茫茫宇宙中遇到一个可以沟通的异星文明，那双方无疑会用数学作为文字，从双方对数学、对这个宇宙的理解开始进行沟通。我们相信这种沟通是可行的，因为数学是一种超越了一切的，对任何智慧种族来说都应该一致的存在。&/p&&p&数学有用吗？买菜用得着微积分吗？这是常常能看到的，很多人用来鄙薄大学教育，用来给自己低下的智力辩白的常用语。后一句是没错的，买菜当然用不到微积分，会加减乘除就足够了——去超市买的话连加减乘除都不用呢，岂不是更省事？&/p&&p&感谢毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德、刘徽、祖冲之等前辈，自从古希腊和古中国的数学家奠定了基本的数学和几何学基础后，人类曾经凭着加减乘除过了很多年。如果你觉得在没有智能手机、没有数字媒体、没有任何先进生活设施的中世纪过一辈子也很不错的话，那数学确实似乎是没什么用的。&/p&&p&不过，中世纪的人们并不这么想。他们忍受不了没有手机的落后生活，于是就开始从各个方面谋求进步。他们很快就发现，当你想做一些真正酷炫，真正超出这个时代，改进生活质量的东西时，光靠加减乘除是远远不足的。两千年的探索，人类已经把基于加减乘除能做的东西做到了极致。正是缺乏了数学这一最重要的工具，我们才在其他的学科上止步不前。&/p&&p&在这个关键的时候，两位伟人挺身而出，给人类带来了新的数学工具套装，为人类打开新世界的大门铸造了合适的钥匙。这两位伟人，一个是发明了解析几何的大贤者笛卡尔，另一位是发明微积分的大魔法师牛顿（还有莱布尼茨）。当然，这两位并不是专精数学的，笛卡尔同时是现代哲学之父、近代物理学的创始人；牛顿则亲手开创了大物理时代、同时也是神秘学大师。但撇开其他方面的贡献不谈，这两个点满了天赋树的猛人在数学上的贡献就足够让他们不朽。&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/70ec8548ed_b.png& data-rawheight=&601& data-rawwidth=&1068& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1068& data-original=&http://pic2.zhimg.com/70ec8548ed_r.png&&&/figure&&p&笛卡尔和牛顿重新定义了数学之后，研究者们的感觉就好像伐木工把老旧的铁斧换成了崭新的电锯——原来的难题在新的工具下迎刃而解。而且新的数学所带来的，是一片还未被探索过的天地，数学家们纷纷投身其中，体会着开荒带来的那种痛并快乐着的感觉，还有发现宝藏时颤抖的欣喜。&/p&&p&从十七世纪开始，一大批数学家涌现出来，数学的发展也随之进入黄金时代。笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶、高斯、柯西、罗巴切夫斯基、阿贝尔、迦罗瓦、黎曼、庞加莱、康托尔、哥德尔、陈省身等一系列数学家，都做出了极大的贡献，将数学从简单的加减乘除发展成为一个无比宏伟的体系，对物理学等实践学科的发展奠定了最重要的基础。&/p&&p&在这群常常出现在教科书里，出现在定理和公式前面的名字中，有一个名字是格外耀眼的。数学是一个如此重要和基础的学科，做出贡献的数学家又非常多，以至于不像其他学科一样，有“数学之王”、“数学之父”这种称号——因为没有一个人能当得起这样的称呼。但是在数学界中，却有一个被公认为“数学王子”的学霸存在，这个人就是德国数学家，约翰·卡尔·弗里德里希·高斯。&/p&&p&就像牛顿一样，高斯并没有出生在豪富之家，而是于1777年出生在德国乡下的一个贫穷家庭中。他的父亲是园丁和建筑工人，母亲是个女佣人，按照这一传统，高斯本来也应该做一个卑微的园丁，一辈子和果树、水沟打交道。&/p&&p&不过很幸运的是，真的学霸，从来都不会埋没在环境里。因为这一学科的特殊性，数学家们确实都是智商超过其他人的天才，而高斯则是这群天才中最突出的那个。高斯自己多次讲述过一个小故事，在他3岁以前的某一天，高斯的父亲正在计算他手下工人的工钱，他一边嘟囔，一边加总手上长长的账单。等他加到最后的时候，却意外的听到自己的小儿子在旁边奶声奶气的提示他：“爸爸，你算错了，答案是——”&/p&&p&大为吃惊的父亲重新算了一遍，发现自己小儿子算的果然是对的。在现在的早教环境下，有些经过训练的孩子也能做到这一点。但是从来没有人教过高斯任何关于数学和计算的知识，他完全是靠着自己平时的观察和逻辑能力归纳并学会了数字和加减！就像另一个精通计算的数学家欧拉一样，高斯从小就展现出了极其强大的复杂心算能力，并且到老都没有退步。&/p&&p&如果是在现代，看到这么出色的数学天赋，父母一定会把孩子送进各种奥数班，给他最完善系统的教育。但是高斯所生长的环境并没有这些，他一样是在村里被放养到7岁才进了乡村小学，由一个古板过时的老师教他们基本的字母语法。一直到了10岁，高斯才上了第一堂数学课，开始正式接触到这门科学。&/p&&p&有一个大家都耳熟能详的小段子，说明了高斯在第一次数学课上的壮举。这个段子的真实性很高，因为高斯和他的朋友都曾经说起过。据说在第一次课上，老师为了省事，在草草教完数字和加法以后，就给小孩子们出了一道题目：1+2+3+……+100，让孩子们去计算。在一群抓耳挠腮，茫然无措的熊孩子中间，只有高斯镇定而迅速的直接写下了答案：5050。&/p&&p&当他举手示意老师自己已经做完时，老师根本就不相信。他觉得这个班上最小的孩子肯定是完全不会，所以就随便写了个数。等到最后收卷时，老师才发现，所有的孩子都做错了，只有这个孩子一开始就直接写下的，才是唯一正确的答案。惊讶的老师问这个孩子是怎么算的，高斯告诉他，他把1+2+3+……+100简化成了(1+100)+(2+99)+……+(50+51)，于是只需要计算101*50，就可以迅速得到答案。&/p&&p&老师被深深的震惊了。这并不是多么复杂的数学技巧，但是一个小孩子却能无师自通的掌握这种技巧是闻所未闻的。老师倾尽全力，为这个孩子买来了当时所能找到的，甚至超出了他自己水准的最好数学书给高斯，高斯很轻松的就学完了。老师深感这个孩子的前途无法限量，于是就将这个孩子引荐给当地的公爵卡尔·威廉·斐迪南。&/p&&p&在当时的欧洲，资助学者和有前途的年轻人是很多贵族所愿意做的事情。少年高斯的谦和与数学天赋打动了公爵，公爵愿意出钱资助他，高斯就此得以摆脱自己家族的命运，15岁就进入大学预科学院，来到一个崭新的学术天地之中。&/p&&p&很少有资料提到高斯在数学道路上的老师都有谁。高斯基本是靠自学就掌握了当时已有的所有数学知识，他仿佛就是为数学而生的，这门学科，在他的面前几乎没有任何秘密可言。就像那个年代其他的大学者一样，他其实也通晓了其他学科，一度也对哲学表露出了很大的兴趣。所幸，他最后还是把精力放在了数学上，让现代数学的诞生提前了很多年。&/p&&p&某种意义上来说，在高斯之前，数学其实还是一栋到处漏风的大厦。很多部分的证明都并不够缜密和严格，牛顿、莱布尼茨等前辈们有时候会直接使用他们认为肯定正确的推论，而“忘记”加以证明（牛顿很爱干这事）。但在强迫症高斯眼里，任何不经严格证明就使用结论的行为都是耍流氓。于是，十几岁的高斯，一边读着牛顿等人的著作，一边将那些前人遗漏的、不会的、不严格的证明都重新证明了一遍，将数学从一栋漏风的大厦直接翻修成了华丽坚固的殿堂。&/p&&p&不要相信那些某科学家小时候学习不好，后来终于通过勤奋学习而成一代宗师的鸡汤故事。在现实中，科学宗师们一个个都是真正的学霸，不光小学是，中学、大学直到自立门派都是学霸。即使在这群学霸之中，高斯都是最狂霸拽酷炫的那个。别的科学家，能在二三十岁提出自己理论的就已经是名垂千古的大牛，但高斯却是十几岁的时候就干出了边读教材自学边重新修订教材的事，不到二十岁就名扬天下了，实在是学霸中的学霸。&/p&&p&关于少年学霸高斯，还有一个著名段子。据说在他读书时，有一次老师给他布置了三道课后作业题。前两题他毫不费力地就完成了，但第三道几何题却难住了他，让他苦思冥想了一整个晚上才做出来。第二天，他很惭愧的去给老师交作业，并且表示第三道题居然让他熬了一夜，说明自己在数学上还有很长的路要走。&/p&&p&老师当时就惊了。心说我明明就给你留了两道，第三道题是什么鬼？老师颤抖着打开作业一看，心里不由得卧了一个大槽。这第三道题，分明是古希腊时候就流传下来的绝世难题“尺规作图画正十七边形”，自己最近一直在钻研，不小心把写着问题的草稿纸一并给高斯了。结果这道两千多年没人解出来的题目，就被高斯当成有点难的课后作业，丫只花了一晚上时间……&/p&&p&而且不仅如此，高斯还顺便证明了符合哪些条件的正多边形才是可以通过尺规作图画出的，从而彻底解决了正多边形的尺规作图问题。在有些鸡汤文中，往往会煽情的写到：“如果高斯事先知道这是二千多年的难题，那他可能永远都无法解开。真正困难的不是困难本身，而是对困难的畏惧。”&/p&&p&这话说的很感动，很文艺，但对高斯并没有意义。他的存在，就是为了像玩笑般解决那些困扰人类上千年的难题，以远超人们想象的速度在数学道路上狂飙。在他18岁正式读完预科班进入格丁根大学时，他已经作出了二次互反律、最小二乘法等一系列不朽的成果，并开始着手写他的第一部伟大著作《算数研究》。到了他20岁的时候，这本书已经完成了，但在高斯的不断精益求精和出版商的延误下，这部数学史上的里程碑著作在他24岁那年“才”得以出版。&/p&&p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/7a2bbabcedacb90_b.png& data-rawheight=&909& data-rawwidth=&607& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&607& data-original=&http://pic1.zhimg.com/7a2bbabcedacb90_r.png&&&/figure&（高斯的算数研究，这本书被法国科学院拒了，高斯自己筹款才得以付印） &/p&&p&这部书初看起来并没有用到太过高深的知识，但却蕴含着仿佛无尽的智慧宝藏。高斯在这部一共七节的著作中，把当时针对算数、代数、几何的研究完美的结合在一起，将数论这一数学中的珍宝整理成了一门完整的学科。这部完美无瑕的著作，被后来的中二数学家们称为“七封印之书”，一方面用来形容这部书的难度，另一方面也说明了解开封印之后的巨大收获。&/p&&p&当时，正是业余数学家费马——他的本职其实是法官——所提出的费马大定理流行的时候。很多数学家投身于此，巴黎还举办了一场奖金不菲的竞赛，看哪位数学家能优先解决这一问题。当时，也有人邀请高斯参加，但高斯却平静地拒绝了。在他看来，像费马大定理这种难以证明也难以证伪的数论问题，他可以轻松提出一大堆来。他所追求的，是《算术研究》这种真正系统的理论。等他在这条路上多走几步，费马的假想只不过是他理论的自然推论而已。&/p&&p&正当高斯雄心勃勃，准备投入《算术研究》第二卷的编写中时，另一件事情却吸引了他的兴趣。自从一百年前牛顿爵士将宇宙纳入自己的掌控之后，就有无数的天文学家们孜孜不倦的观测着星空，希望能取得第一个发现新星的殊荣。这时候，恰好有几位天文学家，观测到了一颗疑似行星从天文望远镜中一闪而过，随即隐没在无尽的群星之中。仅靠这惊鸿一瞥，怎么才能抓住这颗神秘的行星呢？&/p&&p&这对于高斯来说，完全不是问题。带着一丝发现新玩具般的兴趣和慵懒，高斯轻松地推导出了只靠三次观测就可以计算出行星轨道的方法，这是牛顿都认为在天体物理学中最为困难的问题。高斯还大大地简化了计算轨道的工作量，提出了标准的计算规则，让这一复杂的工作从耗费许多天缩减成几个小时就可以完成的计算。值得注意的是，这些计算都是高斯特意为了让普通人能够看懂和使用才推导出来的，至于高斯自己——他向来都是直接心算的。&/p&&p&果不其然，这颗行星在高斯预言的位置上准确出现了，这颗行星随即成为人类所发现的第一颗小行星：谷神星。年轻的高斯，没有因为他的伟大著作被世人铭记，反而因为这颗小行星的发现而一下被誉为当代最伟大的数学家，年轻的数学天才。在虚荣的诱惑下，高斯在随后的二十年间将精力都投入在对天文学的研究上，并且出版了另一部伟大的著作《天体绕日运动理论》，将行星、彗星等全部纳入到他的公式支配下。对天文学而言，这确实是一部伟大的成就，是未来很多年人们探索研究太阳系的最高杰作。不过对数学界而言，这部著作更多的只是应用数学而已，没有为数学的殿堂带来新的东西，这不能不说是数学史上一个巨大的损失。&/p&&p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/9e533e02555fff4bc3793abef5b8d955_b.jpg& data-rawheight=&362& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&http://pic2.zhimg.com/9e533e02555fff4bc3793abef5b8d955_r.jpg&&&/figure&（谷神星，人类所发现的第一颗小行星） &/p&&p&但对高斯个人而言，这些成果确实让他功成名就，让他名满天下，能享受到更好的尊重和生活条件。数学家也是人，也需要解决温饱问题，过上体面的生活。在高斯的资助人卡尔公爵去世，高斯失去经济来源的时候，正是这些名誉让他和家庭不至于像山中隐士般忍饥挨饿，而是让他得到了天文台台长的职务，可以养活自己的妻子和孩子们。从这一点看，高斯的选择是无可厚非的。&/p&&p&高斯此后的精力，一直都在兼顾着纯数学理论的研究和应用数学的研究。在涉足了天文学很长时间之后，他还参与了大地测量学、电磁学等方面的研究。他不仅有着无与伦比的数学天赋，同时还具有当世第一流的实验才能，这一点只有牛顿可以和他相比。在这些数学的应用化研究中，他发明了大地测量所必须的回光仪、磁场测量器、电报机等一系列仪器。他在天文学、大地测量学、电磁学方面做出的贡献，也超出了这些领域的绝大部分科学家。有些科学史研究者甚至评论说，如果他在电磁学方面多走两步，很可能发现电磁方程的殊荣就不会属于麦克斯韦了。&/p&&p&可惜，数学和物理的领域是无限的，而高斯毕竟只有一个。他的思绪尽情在科学的原野上翱翔，无时无刻都在探索着每一个未知的方向。就像牛顿一样，同时代的人记载，高斯也常常在沟通时突然出神，沉浸在自己的思绪之中。往往经过几天的忘我思考后，高斯就又会抛出一个杰出的成果，解决那些令人绝望的难题。&/p&&p&每当解决一个重大问题后，高斯都会在他的随身小日记本上简单的记上一笔。这个不到二十页的、简陋的小日记本中，却记载了整整二十年间，高斯黄金时期在数学领域上那些最重大的发现。这个小日记本一直由他的后代保存，直到高斯去世43年之后，才由高斯的孙子交给科学院研究。从这些简短的日记中，可以确认高斯的一百多项重要成果，其中有些是从未发表的，直到将近一个世纪以后才被别的数学家重新“发现”并公布出来。&/p&&p&高斯活到了78岁，于1855年安详地去世。正如同很多数学家一样，他的个人生活其实和普通人并没有太大区别。少年成名的他，在第一位妻子去世以后在感情之伤和家务琐事中感到了很大的痛苦和煎熬。但很快，第二位妻子（同时也是他第一任妻子的闺蜜）的到来，重新给了他生活上的支柱，让他得以没有后顾之忧的投入到研究中去。他很早就被誉为世界上最伟大的数学家，在诸多荣誉之下，却终生过的淡泊而保守，一直到老都保持着无比旺盛的创造力和高产性。&/p&&p&高斯的名誉在他在世的时候就已经足够多了，而且他的性格很随和，并不在乎这些虚名上的纷争。他在世的时候，有一些成就被错误的归到其他研究者的头上。直到后来通过对他手稿和日记的研究，人们才知道他确实在很多领域上早就遥遥领先，走到了大家的前面。高斯是一个强迫症，当他做出发现时，他一般会将这项研究做到完美无瑕，然后才肯拿出来公诸于众。那些非常重要，但是还达不到他的完美标准的研究，就被他深藏在手稿之中了。&/p&&p&如果高斯肯放宽他的标准，把他的那些想法，以及解决问题的思路一并公布出来的话，数学的研究可能会超前半个世纪。这个完美主义者给出的成果，都是那些已经打磨成型的珍宝，以至于后来的数学家们都不知道他是怎么得出的，要经过一些极有天赋的数学家对他的著作进行再次解读后，大家才会恍然大悟，了解那些无懈可击的公式背后所隐含的更为重要的意义和道路。&/p&&p&很多人可能还会问到这个问题：高斯的研究有什么意义？姑且撇开他在天文学的贡献不谈，他在大地测量方面的成就，直接给我们今日能获取更准确的地理数据提供了帮助。在这项成果的背后，高斯开创了对于球面几何/非欧几何的研究，这项研究后来被他的学生黎曼继承和发扬，成为爱因斯坦相对论的数学基石。&/p&&p&高斯在电磁学方面的贡献意义更大。他不仅领导了对于地球磁场的测量，同时将电磁学中的很多经验数据用数学方法归纳起来，为后来电磁学的发展奠定了很好的基础。为了纪念他的贡献，高斯也被作为了磁场的计量单位，高斯步枪更是作为科学幻想作品中未来的主力枪械，出现在辐射、星际争霸等游戏大作中。&/p&&p&当然，以他的名字所命名的并不是只有一个电磁学单位。他的名字出现在一百多个数学成果和公式上，是所有数学家中最多的。从数论到数学分析，从复数平面到微分几何，他几乎是靠着一己之力，开创了现代数学的几乎全部领域。他所开创的部分研究方向，例如拓扑学，到今天为止还是偏向于纯理论的学科，似乎在实际中没有太多的用途。&/p&&p&但科学，尤其是数学，是不能简单地用“实际用途”去衡量的。用一个也许不是太恰当的比喻来形容，如果科学是我们用来敲打这个世界，让我们生活更舒适的工具箱，那数学就是引导我们发现金属、锻造金属的学问。你躲在山洞里不动的时候，这门学问当然没有什么用处。但当你走出山洞，发现铜斧不够锋利，砍不断碍事的大树时，只有数学才能告诉你，有一种金属叫做钢铁，有一种工具叫做锯子，恰好可以满足你弄断大树的需求——这就是数学的意义。&/p&&p&正是有了以高斯为代表的这些数学家们，才使得物理、化学、机械、地理、生物、信息等一切和我们息息相关的技术在过去数百年间得以毫无障碍的发展，引发了工业和信息的革命，诞生出这个五光十色的现代社会。正是他们的贡献，让无数人不再是地主老爷田地里埋头劳作的农奴，而是变成了可以一边悠闲地喝着冷饮，一边在网上质问“数学有什么用”的存在。&/p&&p&今天，数学依然在蓬勃发展，显示出自己旺盛的生命力。在这门人类理性的最高杰作里，仍存在着很多无解的问题，等待着一代代后来者的征服。在数学的众多分支体系中，最抽象、最核心的一些研究，我们确实还不知道它们的实际意义在哪里，但我们坚信总有一天，这些研究会化为人类征服世界时无法替代的、最有效的武器。&/p&&p&大学需要学习数学吗？那些积分和微分、矩阵和方程确实在实际生活中很少会用到，就算在一些专业领域中使用，其实也有完善的程序来实现它，不需要我们亲力亲为的去计算。可以预见，随着信息技术的更深入发展，大部分人类对于计算的需求会更低，不管你识不识数，懂不懂数学，都不会对你的日常生活带来太严重的影响。&/p&&p&但数学学习依然是需要的。她对我们最有用的，不是教给你如何求导，而是告诉你在一条条漂亮的定理背后，那完美无缺的逻辑思维方式、妙到峰巅的解决问题的方法。这些东西，才是对我们今后的生活最重要的，才是我们学习数学最大的意义所在。在理工科行业里，学数学专业的人是公认可以轻松转任何学科的——这并不是说其他行业都需要去算微积分，而是因为数学的思维方式、解决问题方法是一切理工科的基石。掌握了这个最重要的基础和工具，其他的专业知识更没难度了。&/p&&p&数学也是美的。任意一门学问发展到极致，都会产生自己独特的美感。当我们注视着梵高的向日葵时，我们会感动于那种生命的火热之美。当我们聆听贝多芬的命运交响曲时，我们会震撼于那种永不屈服的激昂之美。当我们吟诵苏轼的大江东去时，我们会沉醉于那种文字能展现的壮阔之美。同样的，当我们跟随着康托尔去证明一个个关于无穷的命题时，我们也会深切感受到人的智慧所能达到的极限，体会到用小学生都能看懂的方法和技巧可以作出多么伟大的成就。&/p&&p&数学家们并不都像很多文学作品所乐于宣传的那样变态，不是陈景润一样不食人间烟火，就是纳什一样精神分裂。绝大部分数学家，都是如同你我一样的普通人，看起来没有任何不凡之处，更没有清奇绝伦的根骨。他们只是在数学上拥有着超越旁人的天赋，并且甘于平淡，愿意将几年乃至几十年的时间都用来思索同一个问题。在他们走上讲台，写下证明过程的那一刹那，他们才会绽放出超新星一般灿烂的光芒，展现出他们作为数学女神选民所应有的荣耀。那些世俗的物质，与这纯粹而极致的快乐相比，又算得上什么呢？&/p&&p&向高斯、以及所有伟大的数学家们致敬！&/p&&figure&&img src=&http://pic3.zhimg.com/ec1e9ddbcb4dc22d2f1f672_b.jpg& data-rawheight=&881& data-rawwidth=&819& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&http://pic3.zhimg.com/ec1e9ddbcb4dc22d2f1f672_r.jpg&&&/figure&
如果将科学比喻为一顶皇冠，那数学无疑是王冠顶上那颗最为耀眼的宝石。这门学科极为古老，甚至可以说是和语言一起，在原始的人类部落中诞生的最早的人类知识。但这门学科同时又极为新颖，充满了大量的未知区域。与物理学号称逐步接近终极理论不同，我们在数…
&p&被 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/ecc0ec035f& data-hash=&ecc0ec035f& data-hovercard=&p$b$ecc0ec035f&&@vczh&/a& 轮子哥带来的，&/p&&p&说点自己的看法，其实还是吃了很多亏的。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&蔡小洪，&br&中央政府驻香港联络办秘书长，曾是英国间谍。&br&蔡小洪潜伏10多年，直到2003年才在广州被判监15年。上世纪80年代，中英关于香港问题谈判时，中方长期怀疑有内鬼，但一直查不出来，直到2003年才查出此人。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote&2003年6月，内地有关部门在例行监听时，意外地发现了一份中方绝密材料，当中包括时任领导人J即将访港的非常详尽的行程、保安计划及将要会晤的人物、发表讲话的内容等。中央有关部门随后展开调查，大半年后发现蔡小洪有问题。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote& 蔡小洪，&br&
八九年从军方所属的《解放军报》调至新华社香港分社，至事发前已在港十四年之久，所担任的职务完全可以收集机密文件，参与高层级的机密会议。&br& 这种被对手挖掘到核心部位的间谍案，可以说是安全部门最大的失败，就是说北京对港政策的所有举措，在英国人或者其他西方情报机构，是完全透明的，根本没有任何机密可言。&br& 如果需要对蔡小洪造成的损失做出一个大致上的评估，则这宗案件的打击和影响，远远超过台湾军情局策反的共军少将刘连昆案件的损失。刘连昆提供的情报是局部的，但&b&蔡小洪提供的却是战略性的、全局性的，甚至在某些重要的领域是摧毁性的&/b&。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sina.com.cn/s/blog_4c091epc.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&前司法部长蔡诚逝世 临终前求中央释放间谍儿子&/a&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&邓取得战略胜利，铁娘子出门摔跟头，厉害！&/p&&p&&br&&/p&&p&同时，在邓撒之后，&/p&&p&各部门负责交接的谈判上，&/p&&p&由于叛徒出卖，也留下了隐患：&/p&&p&由于蔡小洪叛变，大量中英谈判机密全部泄露，中方底牌被摸透。&/p&&p&英国把间谍部门、即政治处人员全部化整为零安插到各部门，然后毁灭所有档案。&/p&&p&中方当年只好以底线全盘接手，反中的众多政客继续留任，&/p&&p&没有彻底扫除尘埃，留下祸根。&/p&&p&香港法制也产生了诸多混乱。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&文末小广告，答主税收系列回答：&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&房产税征收对只买一套房的人没有任何影响，为什么网上还有那么多人反对这个政策？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：消费者如何机智应对饭店找借口不开发票？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何评价索罗斯等 400 名美国富人致信国会，反对减税？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：中国的税真的很高吗？在世界上排第几名？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：代开发票是靠什么牟利的？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：你是什么时候感觉到「中国强大了」？&/a&&/p&
轮子哥带来的，说点自己的看法，其实还是吃了很多亏的。 蔡小洪， 中央政府驻香港联络办秘书长，曾是英国间谍。 蔡小洪潜伏10多年，直到2003年才在广州被判监15年。上世纪80年代，中英关于香港问题谈判时，中方长期怀疑有内鬼，但一直查不出来，直…
&p&假如你是领导，要考察部下的人品和素质，那么庄子可以给你一些指导。&/p&&p&庄子在《庄子·列御寇》一篇中，曾提出了九条领导考察部下的观人之术：&/p&&p&&b&一、远使之而观其忠&/b&。忠，即忠诚。我们常说的山高皇帝远，就是说离领导远，自然难以监督。倘若人在远方，又能自觉地忠实地执行上级政令，这样的人是值得信赖的。这也是我们常说的“领导在与不在一个样。”这是考察使用部下的一个基本条件。&/p&&p&&b&二、近使之而观其敬&/b&。敬，即恭敬，也有谨慎之意。意思是常与领导接触，并在周围工作，会因相熟而丧失约束，因为熟而忘乎所以，那是一个不可信赖的人。在我们日常工作中，不乏其人，他们在领导左右，不能严格要求自己，说话办事十分放肆，有的甚至参与决策、干预决策，影响了领导在下级心中的形象。&/p&&p&&b&三、烦使之而观其能&/b&。烦，多也。不断地增加一个人的工作量能考察他的能力。杰出的人，有超越一般人的工作能力，能解决一般人不能解决的问题。&/p&&p&&b&四、卒然向焉而观其知&/b&。这里的知主要是指应变能力。一个人在毫无准备的情况下，最能反映他的应变能力，我们在用人时，学历要看，但不能唯学历。一个光能抠书本而没有应变能力的人，无论如何也不堪大用。&/p&&p&&b&五、急与之期而观其信&/b&。就是说在限定的时间内让一个人完成某项任务，而观察他是否守信。如果能完成，说明遵守信约，具有克服困难、战胜困难的能力。&/p&&p&&b&六、委之以财而观其仁。&/b&仁，这是特指廉洁、清正。把金钱、财物委托给他全权处理，观察其是否廉洁。因为金钱、财物最能诱惑人、腐蚀人。一个人在金钱、财物面前不检点，有贪占行为，那就是不仁。一个不廉洁的人，哪怕他有再大的才能也不能用。&/p&&p&&b&七、告之以危而观其节&/b&。节是指人的气节或节操。如果能临危受命，见义勇为，舍已救人那便是一个气节高尚的人。&/p&&p&&b&八、醉之以酒而观其则&/b&。酒能麻痹人们的大脑神经，如果一个人醉酒之后胡言乱语，丑态百出，即是丧失原则的人，是很危险的，古往今来不乏其例。&/p&&p&&b&九、杂之以处而观其色&/b&。就是说在男女混杂相处之中，观察你是否自持。如果一个人心灵纯洁，不为美色所动，则可以任用。因为一个不为美色所动的人必定是一个意志坚强的人。&/p&
假如你是领导，要考察部下的人品和素质，那么庄子可以给你一些指导。庄子在《庄子·列御寇》一篇中，曾提出了九条领导考察部下的观人之术：一、远使之而观其忠。忠，即忠诚。我们常说的山高皇帝远，就是说离领导远，自然难以监督。倘若人在远方，又能自觉地…
&h2&（本回答以视频为主，总大小50M左右，请酌情选择WIFI观看。）&/h2&&h2&一、神秘的你&/h2&&p&&br&&/p&&p&第一部分：免疫&/p&&p&你失意的时候是否有过生活欺骗了你的感觉，是否放弃过努力？而你的巨噬细胞、白细胞们可没有一刻停止过努力呢。&/p&&p&生物课上学过人体由数万亿个细胞构成，人的免疫系统随时都在抵御外部有害物质的侵袭，仅此而已了。&/p&&p&直到看过BBC的纪录片《细胞之旅》，才真正震撼于机体每日为活下去所做的努力，每个细胞都这么努力，我又有什么借口不努力呢。&/p&&p&（播放地址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//v.youku.com/v_show/id_XMTY2MzI2Njg1Mg%3D%3D.html%3Fspm%3Da2h0k..0%26from%3Ds1.8-3-1.1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&细胞之旅1&/a&）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&1人体由亿万个细胞组成。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e89bbbd9d1de0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&961& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&961& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e89bbbd9d1de0_r.jpg&&&/figure&&p&2一次病毒入侵：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3fd626b25c9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3fd626b25c9_r.jpg&&&/figure&&p&3被免疫系统识别的病毒&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3cb5e7ced_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3cb5e7ced_r.jpg&&&/figure&&p&4虽然清理了很多病毒，仍有成千上万的病毒到达细胞表面。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-adfa6b5fa41c425c14bcb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&961& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&961& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-adfa6b5fa41c425c14bcb_r.jpg&&&/figure&&p&5虽然细胞表面有哨兵系统专门识别不属于身体的蛋白，相当于只能携带钥匙才能开门，但是病毒带着假钥匙&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2bd71cc72fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&966& data-rawheight=&542& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&966& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2bd71cc72fc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&然后顺利进入了细胞内，其中病毒劫持细胞本身的马达蛋白的一段简直精彩：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&br&&br&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/494784& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-c2facbffda370937_b.jpg& data-lens-id=&494784&&
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&/a&&br&&br&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&免疫系统也不是坐等闲的，正常健康的机体很快作出了反击，到此为止你就自愈了，并没有患上重感冒。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&br&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/525440& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-7ab5e12daa2eee66081c40_b.jpg& data-lens-id=&525440&&
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&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
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堵住疏通不如梯级开发&br&下联:
泄洪发电运输福利一家&br&横批:
河流开发&br&&br&4.地质组:&br&上联: 新人新井新钻头&br&下联: 越钻越深越出油&br&横批: 月明松&br&&br&5.数学组也写了：&br&上联：开括号解平方只为求根&br&下联：插直线穿圆心直达终点&br&横批：0大于1. &br&&br&6.历史组：&br&上联：夜袭珍珠港美人受惊&br&下联：两颗原子弹日德投降&br&横批：二次大战&br&&br&7.医务组：&br&上联：龙骨一根，退烧、止痒、生津&br&下联：陈皮二片，消肿、化痰、解渴&br&横批:
一日见效&br&&br&&br&&br&公众号：栗子味姑娘&br&喜欢就关注下吧 |?ω?｀)
一学校老师举行婚礼。 各科研组为祝贺新人增添喜庆气氛，就各自写了一副对联送去。 1.政治组写的， 上联：一上一下并非阶级压迫，共创和谐社会 下联：几进几出不是野蛮侵入，造就一代新人 横批：生命在于运动 2.语文组写的是： 上联：新人新床新被褥共享新…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_b.jpg& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_r.jpg&&&/figure&&p&冯小刚太会选女演员了。&/p&&p&对于《芳华》里的女孩子，原著里这么写，“丰满女兵，身高一米六九，还没碰到她，就能感到她青春体温的冲击波。”&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-db02915aaa2a39fddf19d75_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1071& data-rawheight=&597& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1071& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-db02915aaa2a39fddf19d75_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&《芳华》里的何小萍、郝淑文、萧穗子、林丁丁，不但都自带复古气质，而且每一寸肌肤也写满了青春的紧绷和充实。&/p&&p&电影里不单单有湿漉漉的额头、线条优美的大白腿、鼓胀的胸脯，还有战争、残疾和落魄苟且的生活。&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-ad2efb580ecd2f53fa1fc24ce0cda049_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&391& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-ad2efb580ecd2f53fa1fc24ce0cda049_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&文工团就像个青春的伊甸园，可是最后，还是被砸的稀巴烂；青春的芳华就是遮羞布，冯小刚真歹毒，撕开了这块红布。&/p&&p&前半场乌托邦，后半场屠宰场。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic3.zhimg.com/v2-bca78a8d617a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&602& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&http://pic3.zhimg.com/v2-bca78a8d617a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&青春可以解决谈恋爱，但是没法解决门当户对。刘峰可以向林丁丁表白，为她疯狂。&/p&&p&但是出身“从小就坐沙发、懂得鉴赏名表”的家庭，她怎么能和会做沙发的木匠的儿子在一起。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-6ba475e8cf55feea4c4cad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1066& data-rawheight=&476& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1066& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-6ba475e8cf55feea4c4cad_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&在青春里，我们同吃同住同劳动，同洗澡同战壕，甚至同睡过一张床，可是芳华过后呢？&/p&&p&你有你的海天盛筵和房地产，我有我的板车和关节炎。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/v2-db9c52690adcbffb483fc0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&911& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&911& data-original=&http://pic1.zhimg.com/v2-db9c52690adcbffb483fc0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&没吃过果丹皮的孩子死在远方；戴金项链的孩子继续辉煌。而刘峰你呢？&/p&&p&你以为自己活的坚强，就是回击给世界的耳光？对不起，曾经伤害过你的人，早已经原谅了自己，并且忘了你。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-99ac6bb47a069b06bf7bfd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&993& data-rawheight=&555& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&993& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-99ac6bb47a069b06bf7bfd_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&也别指望《芳华》票房会好到感天动地，因为，这个电影看了让人闹心。就像许多人不愿意提及自己的“芳华”，不是健忘，而是怕疼。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/v2-e78a87c94101c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&906& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&906& data-original=&http://pic2.zhimg.com/v2-e78a87c94101c5_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&青春为什么是最好的年纪，因为，在青春的世界里，地球最小、矛盾最少，大家最平等，希望最灿烂。当然，未来的日子，会逐一击碎这些假象。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&994& data-rawheight=&552& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&994& data-original=&http://pic1.zhimg.com/v2-b104af122fed04a6e2ebd84_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&《芳华》的青春，就是一场虚妄的旅行，从深宅大院出发的，最后还是回到热闹繁华；从茅屋草棚出发的，最后还是要流落街头。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/v2-ebad8adcc35b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&767& data-rawheight=&581& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&767& data-original=&http://pic1.zhimg.com/v2-ebad8adcc35b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&文工团，就是这场旅行里面，人气最高的景点，大家都嘻嘻哈哈的挤在里面。&/p&&p&但是，文工团会解散，芳华也会逝去。冯小刚恶毒的把世间真相放在眼前。&/p&&p&只能说，你真讨厌！&/p&&p&不过，我很喜欢。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&http://pic3.zhimg.com/v2-ecac4b96496_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&513& data-rawheight=&601& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&513& data-original=&http://pic3.zhimg.com/v2-ecac4b96496_r.jpg&&&/figure&
冯小刚太会选女演员了。对于《芳华》里的女孩子，原著里这么写，“丰满女兵，身高一米六九，还没碰到她，就能感到她青春体温的冲击波。” 《芳华》里的何小萍、郝淑文、萧穗子、林丁丁，不但都自带复古气质，而且每一寸肌肤也写满了青春的紧绷和充实。电影…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/14bf9167bf41_b.jpg& data-rawwidth=&953& data-rawheight=&344& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&953& data-original=&https://pic2.zhimg.com/14bf9167bf41_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/66a20bd7abe38c0ecf5f05a08eeeb8b9_b.jpg& data-rawheight=&338& data-rawwidth=&338& class=&content_image& width=&338&&&/figure&&p&如果将科学比喻为一顶皇冠，那数学无疑是王冠顶上那颗最为耀眼的宝石。这门学科极为古老，甚至可以说是和语言一起，在原始的人类部落中诞生的最早的人类知识。但这门学科同时又极为新颖，充满了大量的未知区域。与物理学号称逐步接近终极理论不同，我们在数学上更像是刚进入宝山的孩子，甚至都不知道还有多少没有发现的珍宝埋藏在前方。&/p&&p&与其他学科相比较，数学是最要求天赋的一门学科。别的学科都是基于对实际世界的观测而来的，不管是多么奇妙的现象，多么有悖于常识的理论，其实都构建在可以对应的实验现象之上。在实验的帮助下，我们可以一次次去验证这些理论的正确性，也可以更好的去理解他们的意义。&/p&&p&但数学却完全不同。因为她极端的抽象性，导致数学其实是完全建立在人类逻辑思想之上的创造，是一门无需实验的学科。这是所有学科中最困难的一门，那些冰冷的公式、神秘的符号、连篇累牍的证明过程，可以让每一个人都望而却步。&/p&&p&不过，你喜欢玩策略游戏吗？喜欢下棋吗？赢得一局杀人游戏、通关一局文明、屠掉对方大龙的时候，有没有感到一种酣畅淋漓的快感？有没有一种放眼天下，“你们都是渣渣”的豪情？数学，就是一种更困难千百倍、快感也超过千百倍的智力游戏。自从她诞生的那一刻以来，就吸引了无数的智者心甘情愿地沉迷其中，无法自拔。&/p&&p&数学也是一种超越了文化的语言，当年，柏拉图在学院门口刻上“不懂几何学者免进”的文字。两千多年后，人类在发射向宇宙深处的黄金盘上，也是用数学铭刻下一个智慧种族存在的记号。如果我们有幸能在茫茫宇宙中遇到一个可以沟通的异星文明，那双方无疑会用数学作为文字，从双方对数学、对这个宇宙的理解开始进行沟通。我们相信这种沟通是可行的，因为数学是一种超越了一切的，对任何智慧种族来说都应该一致的存在。&/p&&p&数学有用吗？买菜用得着微积分吗？这是常常能看到的，很多人用来鄙薄大学教育，用来给自己低下的智力辩白的常用语。后一句是没错的，买菜当然用不到微积分，会加减乘除就足够了——去超市买的话连加减乘除都不用呢，岂不是更省事？&/p&&p&感谢毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德、刘徽、祖冲之等前辈，自从古希腊和古中国的数学家奠定了基本的数学和几何学基础后，人类曾经凭着加减乘除过了很多年。如果你觉得在没有智能手机、没有数字媒体、没有任何先进生活设施的中世纪过一辈子也很不错的话，那数学确实似乎是没什么用的。&/p&&p&不过，中世纪的人们并不这么想。他们忍受不了没有手机的落后生活，于是就开始从各个方面谋求进步。他们很快就发现，当你想做一些真正酷炫，真正超出这个时代，改进生活质量的东西时，光靠加减乘除是远远不足的。两千年的探索，人类已经把基于加减乘除能做的东西做到了极致。正是缺乏了数学这一最重要的工具，我们才在其他的学科上止步不前。&/p&&p&在这个关键的时候，两位伟人挺身而出，给人类带来了新的数学工具套装，为人类打开新世界的大门铸造了合适的钥匙。这两位伟人，一个是发明了解析几何的大贤者笛卡尔，另一位是发明微积分的大魔法师牛顿（还有莱布尼茨）。当然，这两位并不是专精数学的，笛卡尔同时是现代哲学之父、近代物理学的创始人；牛顿则亲手开创了大物理时代、同时也是神秘学大师。但撇开其他方面的贡献不谈，这两个点满了天赋树的猛人在数学上的贡献就足够让他们不朽。&/p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/70ec8548ed_b.png& data-rawheight=&601& data-rawwidth=&1068& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1068& data-original=&http://pic2.zhimg.com/70ec8548ed_r.png&&&/figure&&p&笛卡尔和牛顿重新定义了数学之后，研究者们的感觉就好像伐木工把老旧的铁斧换成了崭新的电锯——原来的难题在新的工具下迎刃而解。而且新的数学所带来的，是一片还未被探索过的天地，数学家们纷纷投身其中，体会着开荒带来的那种痛并快乐着的感觉，还有发现宝藏时颤抖的欣喜。&/p&&p&从十七世纪开始，一大批数学家涌现出来，数学的发展也随之进入黄金时代。笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、傅里叶、高斯、柯西、罗巴切夫斯基、阿贝尔、迦罗瓦、黎曼、庞加莱、康托尔、哥德尔、陈省身等一系列数学家，都做出了极大的贡献，将数学从简单的加减乘除发展成为一个无比宏伟的体系，对物理学等实践学科的发展奠定了最重要的基础。&/p&&p&在这群常常出现在教科书里，出现在定理和公式前面的名字中，有一个名字是格外耀眼的。数学是一个如此重要和基础的学科，做出贡献的数学家又非常多，以至于不像其他学科一样，有“数学之王”、“数学之父”这种称号——因为没有一个人能当得起这样的称呼。但是在数学界中，却有一个被公认为“数学王子”的学霸存在，这个人就是德国数学家，约翰·卡尔·弗里德里希·高斯。&/p&&p&就像牛顿一样，高斯并没有出生在豪富之家，而是于1777年出生在德国乡下的一个贫穷家庭中。他的父亲是园丁和建筑工人，母亲是个女佣人，按照这一传统，高斯本来也应该做一个卑微的园丁，一辈子和果树、水沟打交道。&/p&&p&不过很幸运的是，真的学霸，从来都不会埋没在环境里。因为这一学科的特殊性，数学家们确实都是智商超过其他人的天才，而高斯则是这群天才中最突出的那个。高斯自己多次讲述过一个小故事，在他3岁以前的某一天，高斯的父亲正在计算他手下工人的工钱，他一边嘟囔，一边加总手上长长的账单。等他加到最后的时候，却意外的听到自己的小儿子在旁边奶声奶气的提示他：“爸爸，你算错了，答案是——”&/p&&p&大为吃惊的父亲重新算了一遍，发现自己小儿子算的果然是对的。在现在的早教环境下，有些经过训练的孩子也能做到这一点。但是从来没有人教过高斯任何关于数学和计算的知识，他完全是靠着自己平时的观察和逻辑能力归纳并学会了数字和加减！就像另一个精通计算的数学家欧拉一样，高斯从小就展现出了极其强大的复杂心算能力，并且到老都没有退步。&/p&&p&如果是在现代，看到这么出色的数学天赋，父母一定会把孩子送进各种奥数班，给他最完善系统的教育。但是高斯所生长的环境并没有这些，他一样是在村里被放养到7岁才进了乡村小学，由一个古板过时的老师教他们基本的字母语法。一直到了10岁，高斯才上了第一堂数学课，开始正式接触到这门科学。&/p&&p&有一个大家都耳熟能详的小段子，说明了高斯在第一次数学课上的壮举。这个段子的真实性很高，因为高斯和他的朋友都曾经说起过。据说在第一次课上，老师为了省事，在草草教完数字和加法以后，就给小孩子们出了一道题目：1+2+3+……+100，让孩子们去计算。在一群抓耳挠腮，茫然无措的熊孩子中间，只有高斯镇定而迅速的直接写下了答案：5050。&/p&&p&当他举手示意老师自己已经做完时，老师根本就不相信。他觉得这个班上最小的孩子肯定是完全不会，所以就随便写了个数。等到最后收卷时，老师才发现，所有的孩子都做错了，只有这个孩子一开始就直接写下的，才是唯一正确的答案。惊讶的老师问这个孩子是怎么算的，高斯告诉他，他把1+2+3+……+100简化成了(1+100)+(2+99)+……+(50+51)，于是只需要计算101*50，就可以迅速得到答案。&/p&&p&老师被深深的震惊了。这并不是多么复杂的数学技巧，但是一个小孩子却能无师自通的掌握这种技巧是闻所未闻的。老师倾尽全力，为这个孩子买来了当时所能找到的，甚至超出了他自己水准的最好数学书给高斯，高斯很轻松的就学完了。老师深感这个孩子的前途无法限量，于是就将这个孩子引荐给当地的公爵卡尔·威廉·斐迪南。&/p&&p&在当时的欧洲，资助学者和有前途的年轻人是很多贵族所愿意做的事情。少年高斯的谦和与数学天赋打动了公爵，公爵愿意出钱资助他，高斯就此得以摆脱自己家族的命运，15岁就进入大学预科学院，来到一个崭新的学术天地之中。&/p&&p&很少有资料提到高斯在数学道路上的老师都有谁。高斯基本是靠自学就掌握了当时已有的所有数学知识，他仿佛就是为数学而生的，这门学科，在他的面前几乎没有任何秘密可言。就像那个年代其他的大学者一样，他其实也通晓了其他学科，一度也对哲学表露出了很大的兴趣。所幸，他最后还是把精力放在了数学上，让现代数学的诞生提前了很多年。&/p&&p&某种意义上来说，在高斯之前，数学其实还是一栋到处漏风的大厦。很多部分的证明都并不够缜密和严格，牛顿、莱布尼茨等前辈们有时候会直接使用他们认为肯定正确的推论，而“忘记”加以证明（牛顿很爱干这事）。但在强迫症高斯眼里，任何不经严格证明就使用结论的行为都是耍流氓。于是，十几岁的高斯，一边读着牛顿等人的著作，一边将那些前人遗漏的、不会的、不严格的证明都重新证明了一遍，将数学从一栋漏风的大厦直接翻修成了华丽坚固的殿堂。&/p&&p&不要相信那些某科学家小时候学习不好，后来终于通过勤奋学习而成一代宗师的鸡汤故事。在现实中，科学宗师们一个个都是真正的学霸，不光小学是，中学、大学直到自立门派都是学霸。即使在这群学霸之中，高斯都是最狂霸拽酷炫的那个。别的科学家，能在二三十岁提出自己理论的就已经是名垂千古的大牛，但高斯却是十几岁的时候就干出了边读教材自学边重新修订教材的事，不到二十岁就名扬天下了，实在是学霸中的学霸。&/p&&p&关于少年学霸高斯，还有一个著名段子。据说在他读书时，有一次老师给他布置了三道课后作业题。前两题他毫不费力地就完成了，但第三道几何题却难住了他，让他苦思冥想了一整个晚上才做出来。第二天，他很惭愧的去给老师交作业，并且表示第三道题居然让他熬了一夜，说明自己在数学上还有很长的路要走。&/p&&p&老师当时就惊了。心说我明明就给你留了两道，第三道题是什么鬼？老师颤抖着打开作业一看，心里不由得卧了一个大槽。这第三道题，分明是古希腊时候就流传下来的绝世难题“尺规作图画正十七边形”，自己最近一直在钻研，不小心把写着问题的草稿纸一并给高斯了。结果这道两千多年没人解出来的题目，就被高斯当成有点难的课后作业，丫只花了一晚上时间……&/p&&p&而且不仅如此，高斯还顺便证明了符合哪些条件的正多边形才是可以通过尺规作图画出的，从而彻底解决了正多边形的尺规作图问题。在有些鸡汤文中，往往会煽情的写到：“如果高斯事先知道这是二千多年的难题，那他可能永远都无法解开。真正困难的不是困难本身，而是对困难的畏惧。”&/p&&p&这话说的很感动，很文艺，但对高斯并没有意义。他的存在，就是为了像玩笑般解决那些困扰人类上千年的难题，以远超人们想象的速度在数学道路上狂飙。在他18岁正式读完预科班进入格丁根大学时，他已经作出了二次互反律、最小二乘法等一系列不朽的成果，并开始着手写他的第一部伟大著作《算数研究》。到了他20岁的时候，这本书已经完成了，但在高斯的不断精益求精和出版商的延误下，这部数学史上的里程碑著作在他24岁那年“才”得以出版。&/p&&p&&figure&&img src=&http://pic1.zhimg.com/7a2bbabcedacb90_b.png& data-rawheight=&909& data-rawwidth=&607& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&607& data-original=&http://pic1.zhimg.com/7a2bbabcedacb90_r.png&&&/figure&（高斯的算数研究，这本书被法国科学院拒了，高斯自己筹款才得以付印） &/p&&p&这部书初看起来并没有用到太过高深的知识，但却蕴含着仿佛无尽的智慧宝藏。高斯在这部一共七节的著作中，把当时针对算数、代数、几何的研究完美的结合在一起，将数论这一数学中的珍宝整理成了一门完整的学科。这部完美无瑕的著作，被后来的中二数学家们称为“七封印之书”，一方面用来形容这部书的难度，另一方面也说明了解开封印之后的巨大收获。&/p&&p&当时，正是业余数学家费马——他的本职其实是法官——所提出的费马大定理流行的时候。很多数学家投身于此，巴黎还举办了一场奖金不菲的竞赛，看哪位数学家能优先解决这一问题。当时，也有人邀请高斯参加，但高斯却平静地拒绝了。在他看来，像费马大定理这种难以证明也难以证伪的数论问题，他可以轻松提出一大堆来。他所追求的，是《算术研究》这种真正系统的理论。等他在这条路上多走几步，费马的假想只不过是他理论的自然推论而已。&/p&&p&正当高斯雄心勃勃，准备投入《算术研究》第二卷的编写中时，另一件事情却吸引了他的兴趣。自从一百年前牛顿爵士将宇宙纳入自己的掌控之后，就有无数的天文学家们孜孜不倦的观测着星空，希望能取得第一个发现新星的殊荣。这时候，恰好有几位天文学家，观测到了一颗疑似行星从天文望远镜中一闪而过，随即隐没在无尽的群星之中。仅靠这惊鸿一瞥，怎么才能抓住这颗神秘的行星呢？&/p&&p&这对于高斯来说，完全不是问题。带着一丝发现新玩具般的兴趣和慵懒，高斯轻松地推导出了只靠三次观测就可以计算出行星轨道的方法，这是牛顿都认为在天体物理学中最为困难的问题。高斯还大大地简化了计算轨道的工作量，提出了标准的计算规则，让这一复杂的工作从耗费许多天缩减成几个小时就可以完成的计算。值得注意的是，这些计算都是高斯特意为了让普通人能够看懂和使用才推导出来的，至于高斯自己——他向来都是直接心算的。&/p&&p&果不其然，这颗行星在高斯预言的位置上准确出现了，这颗行星随即成为人类所发现的第一颗小行星：谷神星。年轻的高斯，没有因为他的伟大著作被世人铭记，反而因为这颗小行星的发现而一下被誉为当代最伟大的数学家，年轻的数学天才。在虚荣的诱惑下，高斯在随后的二十年间将精力都投入在对天文学的研究上，并且出版了另一部伟大的著作《天体绕日运动理论》，将行星、彗星等全部纳入到他的公式支配下。对天文学而言，这确实是一部伟大的成就，是未来很多年人们探索研究太阳系的最高杰作。不过对数学界而言，这部著作更多的只是应用数学而已，没有为数学的殿堂带来新的东西，这不能不说是数学史上一个巨大的损失。&/p&&p&&figure&&img src=&http://pic2.zhimg.com/9e533e02555fff4bc3793abef5b8d955_b.jpg& data-rawheight=&362& data-rawwidth=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&http://pic2.zhimg.com/9e533e02555fff4bc3793abef5b8d955_r.jpg&&&/figure&（谷神星，人类所发现的第一颗小行星） &/p&&p&但对高斯个人而言，这些成果确实让他功成名就，让他名满天下，能享受到更好的尊重和生活条件。数学家也是人，也需要解决温饱问题，过上体面的生活。在高斯的资助人卡尔公爵去世，高斯失去经济来源的时候，正是这些名誉让他和家庭不至于像山中隐士般忍饥挨饿，而是让他得到了天文台台长的职务，可以养活自己的妻子和孩子们。从这一点看，高斯的选择是无可厚非的。&/p&&p&高斯此后的精力，一直都在兼顾着纯数学理论的研究和应用数学的研究。在涉足了天文学很长时间之后，他还参与了大地测量学、电磁学等方面的研究。他不仅有着无与伦比的数学天赋，同时还具有当世第一流的实验才能，这一点只有牛顿可以和他相比。在这些数学的应用化研究中，他发明了大地测量所必须的回光仪、磁场测量器、电报机等一系列仪器。他在天文学、大地测量学、电磁学方面做出的贡献，也超出了这些领域的绝大部分科学家。有些科学史研究者甚至评论说，如果他在电磁学方面多走两步，很可能发现电磁方程的殊荣就不会属于麦克斯韦了。&/p&&p&可惜，数学和物理的领域是无限的，而高斯毕竟只有一个。他的思绪尽情在科学的原野上翱翔，无时无刻都在探索着每一个未知的方向。就像牛顿一样，同时代的人记载，高斯也常常在沟通时突然出神，沉浸在自己的思绪之中。往往经过几天的忘我思考后，高斯就又会抛出一个杰出的成果，解决那些令人绝望的难题。&/p&&p&每当解决一个重大问题后，高斯都会在他的随身小日记本上简单的记上一笔。这个不到二十页的、简陋的小日记本中，却记载了整整二十年间，高斯黄金时期在数学领域上那些最重大的发现。这个小日记本一直由他的后代保存，直到高斯去世43年之后，才由高斯的孙子交给科学院研究。从这些简短的日记中，可以确认高斯的一百多项重要成果，其中有些是从未发表的，直到将近一个世纪以后才被别的数学家重新“发现”并公布出来。&/p&&p&高斯活到了78岁，于1855年安详地去世。正如同很多数学家一样，他的个人生活其实和普通人并没有太大区别。少年成名的他，在第一位妻子去世以后在感情之伤和家务琐事中感到了很大的痛苦和煎熬。但很快，第二位妻子（同时也是他第一任妻子的闺蜜）的到来，重新给了他生活上的支柱，让他得以没有后顾之忧的投入到研究中去。他很早就被誉为世界上最伟大的数学家，在诸多荣誉之下，却终生过的淡泊而保守，一直到老都保持着无比旺盛的创造力和高产性。&/p&&p&高斯的名誉在他在世的时候就已经足够多了，而且他的性格很随和，并不在乎这些虚名上的纷争。他在世的时候，有一些成就被错误的归到其他研究者的头上。直到后来通过对他手稿和日记的研究，人们才知道他确实在很多领域上早就遥遥领先，走到了大家的前面。高斯是一个强迫症，当他做出发现时，他一般会将这项研究做到完美无瑕，然后才肯拿出来公诸于众。那些非常重要，但是还达不到他的完美标准的研究，就被他深藏在手稿之中了。&/p&&p&如果高斯肯放宽他的标准，把他的那些想法，以及解决问题的思路一并公布出来的话，数学的研究可能会超前半个世纪。这个完美主义者给出的成果，都是那些已经打磨成型的珍宝，以至于后来的数学家们都不知道他是怎么得出的，要经过一些极有天赋的数学家对他的著作进行再次解读后，大家才会恍然大悟，了解那些无懈可击的公式背后所隐含的更为重要的意义和道路。&/p&&p&很多人可能还会问到这个问题：高斯的研究有什么意义？姑且撇开他在天文学的贡献不谈，他在大地测量方面的成就，直接给我们今日能获取更准确的地理数据提供了帮助。在这项成果的背后，高斯开创了对于球面几何/非欧几何的研究，这项研究后来被他的学生黎曼继承和发扬，成为爱因斯坦相对论的数学基石。&/p&&p&高斯在电磁学方面的贡献意义更大。他不仅领导了对于地球磁场的测量，同时将电磁学中的很多经验数据用数学方法归纳起来，为后来电磁学的发展奠定了很好的基础。为了纪念他的贡献，高斯也被作为了磁场的计量单位，高斯步枪更是作为科学幻想作品中未来的主力枪械，出现在辐射、星际争霸等游戏大作中。&/p&&p&当然，以他的名字所命名的并不是只有一个电磁学单位。他的名字出现在一百多个数学成果和公式上，是所有数学家中最多的。从数论到数学分析，从复数平面到微分几何，他几乎是靠着一己之力，开创了现代数学的几乎全部领域。他所开创的部分研究方向，例如拓扑学，到今天为止还是偏向于纯理论的学科，似乎在实际中没有太多的用途。&/p&&p&但科学，尤其是数学，是不能简单地用“实际用途”去衡量的。用一个也许不是太恰当的比喻来形容，如果科学是我们用来敲打这个世界，让我们生活更舒适的工具箱，那数学就是引导我们发现金属、锻造金属的学问。你躲在山洞里不动的时候，这门学问当然没有什么用处。但当你走出山洞，发现铜斧不够锋利，砍不断碍事的大树时，只有数学才能告诉你，有一种金属叫做钢铁，有一种工具叫做锯子，恰好可以满足你弄断大树的需求——这就是数学的意义。&/p&&p&正是有了以高斯为代表的这些数学家们，才使得物理、化学、机械、地理、生物、信息等一切和我们息息相关的技术在过去数百年间得以毫无障碍的发展，引发了工业和信息的革命，诞生出这个五光十色的现代社会。正是他们的贡献，让无数人不再是地主老爷田地里埋头劳作的农奴，而是变成了可以一边悠闲地喝着冷饮，一边在网上质问“数学有什么用”的存在。&/p&&p&今天，数学依然在蓬勃发展，显示出自己旺盛的生命力。在这门人类理性的最高杰作里，仍存在着很多无解的问题，等待着一代代后来者的征服。在数学的众多分支体系中，最抽象、最核心的一些研究，我们确实还不知道它们的实际意义在哪里，但我们坚信总有一天，这些研究会化为人类征服世界时无法替代的、最有效的武器。&/p&&p&大学需要学习数学吗？那些积分和微分、矩阵和方程确实在实际生活中很少会用到，就算在一些专业领域中使用，其实也有完善的程序来实现它，不需要我们亲力亲为的去计算。可以预见，随着信息技术的更深入发展，大部分人类对于计算的需求会更低，不管你识不识数，懂不懂数学，都不会对你的日常生活带来太严重的影响。&/p&&p&但数学学习依然是需要的。她对我们最有用的，不是教给你如何求导，而是告诉你在一条条漂亮的定理背后，那完美无缺的逻辑思维方式、妙到峰巅的解决问题的方法。这些东西，才是对我们今后的生活最重要的，才是我们学习数学最大的意义所在。在理工科行业里，学数学专业的人是公认可以轻松转任何学科的——这并不是说其他行业都需要去算微积分，而是因为数学的思维方式、解决问题方法是一切理工科的基石。掌握了这个最重要的基础和工具，其他的专业知识更没难度了。&/p&&p&数学也是美的。任意一门学问发展到极致，都会产生自己独特的美感。当我们注视着梵高的向日葵时，我们会感动于那种生命的火热之美。当我们聆听贝多芬的命运交响曲时，我们会震撼于那种永不屈服的激昂之美。当我们吟诵苏轼的大江东去时，我们会沉醉于那种文字能展现的壮阔之美。同样的，当我们跟随着康托尔去证明一个个关于无穷的命题时，我们也会深切感受到人的智慧所能达到的极限，体会到用小学生都能看懂的方法和技巧可以作出多么伟大的成就。&/p&&p&数学家们并不都像很多文学作品所乐于宣传的那样变态，不是陈景润一样不食人间烟火，就是纳什一样精神分裂。绝大部分数学家，都是如同你我一样的普通人，看起来没有任何不凡之处，更没有清奇绝伦的根骨。他们只是在数学上拥有着超越旁人的天赋，并且甘于平淡，愿意将几年乃至几十年的时间都用来思索同一个问题。在他们走上讲台，写下证明过程的那一刹那，他们才会绽放出超新星一般灿烂的光芒，展现出他们作为数学女神选民所应有的荣耀。那些世俗的物质，与这纯粹而极致的快乐相比，又算得上什么呢？&/p&&p&向高斯、以及所有伟大的数学家们致敬！&/p&&figure&&img src=&http://pic3.zhimg.com/ec1e9ddbcb4dc22d2f1f672_b.jpg& data-rawheight=&881& data-rawwidth=&819& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&819& data-original=&http://pic3.zhimg.com/ec1e9ddbcb4dc22d2f1f672_r.jpg&&&/figure&
如果将科学比喻为一顶皇冠，那数学无疑是王冠顶上那颗最为耀眼的宝石。这门学科极为古老，甚至可以说是和语言一起，在原始的人类部落中诞生的最早的人类知识。但这门学科同时又极为新颖，充满了大量的未知区域。与物理学号称逐步接近终极理论不同，我们在数…
&p&被 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/ecc0ec035f& data-hash=&ecc0ec035f& data-hovercard=&p$b$ecc0ec035f&&@vczh&/a& 轮子哥带来的，&/p&&p&说点自己的看法，其实还是吃了很多亏的。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&蔡小洪，&br&中央政府驻香港联络办秘书长，曾是英国间谍。&br&蔡小洪潜伏10多年，直到2003年才在广州被判监15年。上世纪80年代，中英关于香港问题谈判时，中方长期怀疑有内鬼，但一直查不出来，直到2003年才查出此人。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote&2003年6月，内地有关部门在例行监听时，意外地发现了一份中方绝密材料，当中包括时任领导人J即将访港的非常详尽的行程、保安计划及将要会晤的人物、发表讲话的内容等。中央有关部门随后展开调查，大半年后发现蔡小洪有问题。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote& 蔡小洪，&br&
八九年从军方所属的《解放军报》调至新华社香港分社，至事发前已在港十四年之久，所担任的职务完全可以收集机密文件，参与高层级的机密会议。&br& 这种被对手挖掘到核心部位的间谍案，可以说是安全部门最大的失败，就是说北京对港政策的所有举措，在英国人或者其他西方情报机构，是完全透明的，根本没有任何机密可言。&br& 如果需要对蔡小洪造成的损失做出一个大致上的评估，则这宗案件的打击和影响，远远超过台湾军情局策反的共军少将刘连昆案件的损失。刘连昆提供的情报是局部的，但&b&蔡小洪提供的却是战略性的、全局性的，甚至在某些重要的领域是摧毁性的&/b&。&/blockquote&&p&&br&&/p&&blockquote&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//blog.sina.com.cn/s/blog_4c091epc.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&前司法部长蔡诚逝世 临终前求中央释放间谍儿子&/a&&/blockquote&&p&&br&&/p&&p&邓取得战略胜利，铁娘子出门摔跟头，厉害！&/p&&p&&br&&/p&&p&同时，在邓撒之后，&/p&&p&各部门负责交接的谈判上，&/p&&p&由于叛徒出卖，也留下了隐患：&/p&&p&由于蔡小洪叛变，大量中英谈判机密全部泄露，中方底牌被摸透。&/p&&p&英国把间谍部门、即政治处人员全部化整为零安插到各部门，然后毁灭所有档案。&/p&&p&中方当年只好以底线全盘接手，反中的众多政客继续留任，&/p&&p&没有彻底扫除尘埃，留下祸根。&/p&&p&香港法制也产生了诸多混乱。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&文末小广告，答主税收系列回答：&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&房产税征收对只买一套房的人没有任何影响，为什么网上还有那么多人反对这个政策？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：消费者如何机智应对饭店找借口不开发票？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何评价索罗斯等 400 名美国富人致信国会，反对减税？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：中国的税真的很高吗？在世界上排第几名？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：代开发票是靠什么牟利的？&/a&&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&麦托什：你是什么时候感觉到「中国强大了」？&/a&&/p&
轮子哥带来的，说点自己的看法，其实还是吃了很多亏的。 蔡小洪， 中央政府驻香港联络办秘书长，曾是英国间谍。 蔡小洪潜伏10多年，直到2003年才在广州被判监15年。上世纪80年代，中英关于香港问题谈判时，中方长期怀疑有内鬼，但一直查不出来，直…
&p&假如你是领导，要考察部下的人品和素质，那么庄子可以给你一些指导。&/p&&p&庄子在《庄子·列御寇》一篇中，曾提出了九条领导考察部下的观人之术：&/p&&p&&b&一、远使之而观其忠&/b&。忠，即忠诚。我们常说的山高皇帝远，就是说离领导远，自然难以监督。倘若人在远方，又能自觉地忠实地执行上级政令，这样的人是值得信赖的。这也是我们常说的“领导在与不在一个样。”这是考察使用部下的一个基本条件。&/p&&p&&b&二、近使之而观其敬&/b&。敬，即恭敬，也有谨慎之意。意思是常与领导接触，并在周围工作，会因相熟而丧失约束，因为熟而忘乎所以，那是一个不可信赖的人。在我们日常工作中，不乏其人，他们在领导左右，不能严格要求自己，说话办事十分放肆，有的甚至参与决策、干预决策，影响了领导在下级心中的形象。&/p&&p&&b&三、烦使之而观其能&/b&。烦，多也。不断地增加一个人的工作量能考察他的能力。杰出的人，有超越一般人的工作能力，能解决一般人不能解决的问题。&/p&&p&&b&四、卒然向焉而观其知&/b&。这里的知主要是指应变能力。一个人在毫无准备的情况下，最能反映他的应变能力，我们在用人时，学历要看，但不能唯学历。一个光能抠书本而没有应变能力的人，无论如何也不堪大用。&/p&&p&&b&五、急与之期而观其信&/b&。就是说在限定的时间内让一个人完成某项任务，而观察他是否守信。如果能完成，说明遵守信约，具有克服困难、战胜困难的能力。&/p&&p&&b&六、委之以财而观其仁。&/b&仁，这是特指廉洁、清正。把金钱、财物委托给他全权处理，观察其是否廉洁。因为金钱、财物最能诱惑人、腐蚀人。一个人在金钱、财物面前不检点，有贪占行为，那就是不仁。一个不廉洁的人，哪怕他有再大的才能也不能用。&/p&&p&&b&七、告之以危而观其节&/b&。节是指人的气节或节操。如果能临危受命，见义勇为，舍已救人那便是一个气节高尚的人。&/p&&p&&b&八、醉之以酒而观其则&/b&。酒能麻痹人们的大脑神经，如果一个人醉酒之后胡言乱语，丑态百出，即是丧失原则的人，是很危险的，古往今来不乏其例。&/p&&p&&b&九、杂之以处而观其色&/b&。就是说在男女混杂相处之中，观察你是否自持。如果一个人心灵纯洁，不为美色所动，则可以任用。因为一个不为美色所动的人必定是一个意志坚强的人。&/p&
假如你是领导，要考察部下的人品和素质，那么庄子可以给你一些指导。庄子在《庄子·列御寇》一篇中，曾提出了九条领导考察部下的观人之术：一、远使之而观其忠。忠，即忠诚。我们常说的山高皇帝远，就是说离领导远，自然难以监督。倘若人在远方，又能自觉地…
&h2&（本回答以视频为主，总大小50M左右，请酌情选择WIFI观看。）&/h2&&h2&一、神秘的你&/h2&&p&&br&&/p&&p&第一部分：免疫&/p&&p&你失意的时候是否有过生活欺骗了你的感觉，是否放弃过努力？而你的巨噬细胞、白细胞们可没有一刻停止过努力呢。&/p&&p&生物课上学过人体由数万亿个细胞构成，人的免疫系统随时都在抵御外部有害物质的侵袭，仅此而已了。&/p&&p&直到看过BBC的纪录片《细胞之旅》，才真正震撼于机体每日为活下去所做的努力，每个细胞都这么努力，我又有什么借口不努力呢。&/p&&p&（播放地址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//v.youku.com/v_show/id_XMTY2MzI2Njg1Mg%3D%3D.html%3Fspm%3Da2h0k..0%26from%3Ds1.8-3-1.1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&细胞之旅1&/a&）&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&1人体由亿万个细胞组成。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-e89bbbd9d1de0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&961& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&961& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-e89bbbd9d1de0_r.jpg&&&/figure&&p&2一次病毒入侵：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3fd626b25c9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3fd626b25c9_r.jpg&&&/figure&&p&3被免疫系统识别的病毒&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3cb5e7ced_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&960& data-rawheight=&541& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&960& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-3cb5e7ced_r.jpg&&&/figure&&p&4虽然清理了很多病毒，仍有成千上万的病毒到达细胞表面。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-adfa6b5fa41c425c14bcb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&961& data-rawheight=&543& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&961& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-adfa6b5fa41c425c14bcb_r.jpg&&&/figure&&p&5虽然细胞表面有哨兵系统专门识别不属于身体的蛋白，相当于只能携带钥匙才能开门，但是病毒带着假钥匙&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2bd71cc72fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&966& data-rawheight=&542& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&966& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2bd71cc72fc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&然后顺利进入了细胞内，其中病毒劫持细胞本身的马达蛋白的一段简直精彩：&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&br&&br&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/494784& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic4.zhimg.com/80/v2-c2facbffda370937_b.jpg& data-lens-id=&494784&&
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&/a&&br&&br&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&免疫系统也不是坐等闲的，正常健康的机体很快作出了反击，到此为止你就自愈了，并没有患上重感冒。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&br&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/525440& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-7ab5e12daa2eee66081c40_b.jpg& data-lens-id=&525440&&
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