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最佳平方逼近
&&最佳平方逼近原理方法实例图案matlab实现
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数值分析习题
&&数值分析部分习题与答案
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数值分析5.3 最佳平方及一致逼近解析.ppt 31页
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··········
定义2 假定f(x)∈C[a, b], 若存在Pn*(x)∈Hn使得 则称Pn*(x)是f(x)在[a, b]上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式.
注意,定义并未说明最佳逼近多项式是否存在,但可以证明下面的存在定理.
若f(x)∈C[a, b], 则总存在Pn*(x)使 证明略. 就称x0是P(x)对f(x)的偏差点. 若
称x0为“正”偏差点.
为了研究最佳逼近多项式的特性，先引进偏差点的定义.
定义3(偏差点定义) 设f(x)∈C[a, b]，P(x)∈Hn，若在x＝x0上有 若
称x0为“负”偏差点.
由于函数P(x)－f(x)在[a, b]上连续,因此,至少存在一个点x0∈[a, b]使
也就是说P(x)的偏差点总是存在的.
下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理.
定理2(切比雪夫定理 )
Pn(x)∈Hn是f(x)∈C[a, b]的最佳逼近多项式的充分必要条件是Pn(x)在[a, b]上至少有n+2个轮流为“正”，“负”的偏差点，即有n+2个点a≤x1＜x2＜...＜xn+2≤b，使 这样的点组称为切比雪夫交错点组.
切比雪夫定理说明用P(x)逼近f(x) 的误差曲线y=P(x)－f(x)是均匀分布的.
由这个定理还可得以下重要推论.
定理3 在区间[-1,1]上所有最高次项系数为1的n次多项式中,
利用切比雪夫定理可直接得到切比雪夫多项式Tn(x)的一个重要性质，即
推论1 若f(x)∈C[a, b]，则在Hn中存在唯一的最佳逼近多项式.
(证明略) 与零的偏差最小，其偏差为
(证明见p207)
即可以理解为f(x)－Pn-1*(x)与零的偏差等于最小当且仅当
求f(x)=2x3+x2+2x-1在 [-1,1]上的最佳2次逼近多项式.
由题意，所求最佳逼近多项式P2*(x)应满足 由定理3可知，当 时，多项式f(x)－P2*(x)与零偏差最小，故 就是f(x)在 [-1,1]上的最佳2次逼近多项式. *5.5.2 最佳一次逼近多项式
切比雪夫定理 给出了最佳逼近多项式P(x)的特性，但要求出P(x)却相当困难.
下面讨论n=1的情形.
假定f(x)∈C2[a, b]. 且f&(x)在(a,b)内不变号，我们要求最佳一次逼近多项式
P1(x)=a0 + a1x ， 根据定理可知至少有3个点a≤x1＜x2＜x3≤b，使
由于f&(x)在[a, b]上不变号,故f'(x)单调, f'(x)-a1在(a, b)内只有一个零点，记为x2,于是 即 另外两个偏差点必定是区间的端点，即x1=a, x3=b，且满足 由此得到 代入到(2)得 这就得到最佳一次逼近多项式P1(x)，其方程为 由(1)式得
由公式有 再由公式得
在 [0,1]上的最佳一次逼近多项式. 又
，解得 于是得
在 [0,1]上的最佳一次逼近多项式为 即 误差限为 在上一式中若令
，则可得一个求根式的公式. 上页 下页 *5.4 最佳平方逼近 *5.4.1 最佳平方逼近及其计算 最佳平方逼近问题: 对f(x)∈C[a, b]及C[a, b]中的一个子集 若存在函数
,使下式成立 则称 S*(x)是f(x)在子集
中的最佳平方逼近函数. 为了求S*(x), 由上式可知该问题等价于求多元函数 的最小值. 由于I(a0,a1,…,an)是关于a0,a1,…,an的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件 即 于是有 是关于a0,a1,…,an的线性方程组，称为法方程，即 由于函数组 线性无关，故系数矩阵的行列式非零，即 从而得到最佳平方逼近函数 于是方程组有唯一解
下面证明S*(x) 满足最佳平方逼近的定义，即 但我们只需证明 为此我们只要考虑 由于S*(x)的系数ak*是法方程的解，故 从而上式第二项积分为0. 于是可得 即得S*(x)必定是所求函数f
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连续函数最佳平方逼近的算法程序
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你可能喜欢函数逼近与计算-学路网-学习路上 有我相伴
函数逼近与计算
来源：DOCIN &责任编辑：李志 &时间: 1:44:04
插值逼近拟合三者的区别和联系答：插值：用一个函数式来近似代替数据列表函数，并要求函数式通过列表函数中给定的数据点。（插值曲线要经过数据点。）――针对于离散的点，并求出函数表达式过数据点逼近：为复杂函数寻找近似替代函数，其误差在某种度量意义下最校（逼近只要求曲线...实验三函数逼近与曲线拟合实验3.1（曲线逼近方法...问：实验三函数逼近与曲线拟合实验3.1（曲线逼近方法的比较）一、问题提...答：这个，貌似是计算方法的课题啊，感觉程序都写给你了啊，用拉格朗日插值及样条插值再算一遍（继续翻书吧）。定性描述也就根据实际结果掰上几句好了。。多项式逼近函数除了幂级数和三角级数还有什么答：勒让德多项式，切比雪夫多项式。。。其实泰勒展开式对任意函数只是在某点处可以任意逼近，泰勒展开只是在某一点展开，并不是一个全局的概念。也就是说，在(x0,y0)得到的展开式，只在(x0,y0)点附近效果比较好。如果要对一个函数进行整体的逼近...函数逼近与计算(图2)函数逼近与计算(图4)函数逼近与计算(图6)函数逼近与计算(图8)函数逼近与计算(图10)函数逼近与计算(图12)插值，拟合，线性和非线性的区别答：n+1个数据点出的函数值与相应数据点的纵坐标相等,即yi=f(x1)(i=0,1,2...n)这种函数逼近问题称为插值问题,称函数y=f(x)为数据点的插值函数,xi称为插...防抓取，学路网提供内容。==========以下对应文字版==========举例说明插值与逼近的不同特点和用途(至少2000字)问：计算机图形学方面至少2000字，越详细越好！一定要举例，特点和用途都要...答：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离防抓取，学路网提供内容。函数逼近――最佳一致逼近（重点） 最佳平方逼近 数据拟合――最小二乘法 Fourier逼近与快速Fourier变换（简介） 在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常常通过函数表求得．用计算机计算时若把 函数表存入内存进行查表，则占用单元太多，不 如直接用公式计算方便．因此，我们希望求出便 于计算且计算量省的公式近似已知函数f 大时误差就很大．例如在[-1，1]上用近似 ，其误差 ，于是 它在整个区间上误差较大．若在计算机上用这种方法计算，如精度要求较高，则需取很多项，这样既费时又多占存储单元，因此，我 们要求在给定精度下求计算次数最少的近似公式，这就是函数逼近 与计算要解决的问题. 这问题可叙述为：“对函数类A中给定的函数f 要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 f(x)之差在某种度量意义下最小”.函数类A通常是区间[a，b]上的 连续函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函 数或三角多项式． 常用的两种度量标准这就是函数逼近的问题。“最佳一致逼近切比雪夫插值法”与“切比雪夫插值法”...问：MATLAB中还有一个“最佳一致多项式逼近”，用的是梅兹算法，这几个方法的...答：首先，插值和拟合是相关但不完全相同的问题一般来讲插值要求原来的函数和近似函数在某些点取值相等，有时还要求导数吻合（这些要求通常称为插值条件）但拟合并不要求原来的函数和近似函数在某些点取值相等，只要两个函数在一定意义下比较靠近...防抓取，学路网提供内容。1、一致逼近（均匀逼近） 度量标准为： 2、均方逼近（平方逼近） 度量标准为： 本章主要研究内容：在这两种度量标准下用代数多项式逼近 即用最佳一致逼近多项式与最佳平方逼近多项式逼近连续 函数 魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理一致逼近多项式的存在性 插值方法的缺点：某些点上可能没有误差， 但是整个区间上误差较大。原函数的N阶导数和逼近或者说约等于原函数么？答：不等于原函数。n阶导数应该是泰勒级数吧，一般来说会和原函数差个高阶无穷小望采纳防抓取，学路网提供内容。Ex：Runge现象 Bernstein多项式 函数空间 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予 集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间. 阶连续导数的函数空间具有 上的线性空间； 多项式空间；维向量空间； 例如 果存在不全为零的数，使得 线性相关.否则，则称线性无关. 若线性空间S是由n个线性无关元素 生成的，即对 称为维空间，系数 ，称空间记为 的一组基， 称为空间 范数与赋范线性空间1、范数与赋范线性空间 一、基本概念及其理论 最佳一致逼近多项式定理3.3 同时存在正、负偏差点的最佳逼近多项式，则 证明：反证法。用一个6次多项式在区间[0,2]内逼近函数sinx,并且用...答：35x-1/6x+1/120x调用taylor函数就行画图结果如下可以看到在[0,2]上相当接近，但在之后就会立即分开,多项式值趋于无穷下附代码y=sin(x);taylor(y,x,6);a=0:0.01:2;b=sin(a);c=a-1/6*a.^3+1/120*a.^5;plot(a,b,a,c);防抓取，学路网提供内容。不防假设只存在正偏差点，于是对于所有的x有 推论2、若，则其最佳逼近多项 就是的一个Lagrange多 间端点，即另外两个偏差点必是区 ，于是内只有一个零点，记为 带入解出 MQMN 的中点平行，且通过 直线其几何意义如图所示 多项式这就得到最佳一次逼近 多项式上的一次最佳一致逼近 arctan0356 多项式上的一次最佳一致逼近 ln6633 上连续，求的零次最佳一 致逼近多项式？ 2、选取常数a，使达到极小，并问这 个解是否唯一 HW:p.76 3、正交多项式1、内积与内积空间 如果(u, v)＝0，则称u与v正交，这是向量相互垂直概念的推 上述两个式子一、最佳平方逼近及其计算 C[a,b]中的最佳平方逼近函数.的最小值. 的二次函数,取极值必要 于是有 这是关于a (x)线性无关,则系数detG( (k=0,1,…,n),可得 中求n次最佳平方逼近多项式: )对应的矩阵，即称为希尔伯特(Hilbert)矩阵. 1/21/(n+1) 1/2 1/3 1/(n+2) 1/(n+1) 1/(n+2) 1/(2n+1) 上的最佳平方逼近多项在空间 方程组，则系数满足 设欲求多项式 定义 一、正交函数族与正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有重要作用. 正交多项式定义5 则称之为标准正交函数族. 个不同的实零点内有 性质上与零的平房误差最小 性质：递推关系 性质 ：奇偶性 性质 ：正交性 性质 个重要性质： 勒让德多项式有以下几 的系数若为最高项 的系数为： 致逼近多项式次最佳一 的次数的要求下降低 ，试在允许误差上给定 设在 四、其他常用的正交多项式课堂练习 在[-1,1]上与零的偏差最小？r是否唯一？ 2、选择a使积分 取得 最小值。2.分别用2,3,4,6阶多项式拟合函数y=cosx，作出拟合...问：题目就这么多，我是新手，怎么做，快来大神，谢谢！！答：你好！以下是我的代码：clcx=linspace(0,4*pi,30);N=[2,3,4,6];holdony=cos(x);plot(x,y,'r.')p2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);plot(x,y2,'color','b')holdonp3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);plot(x,y3,'color','g')p4...防抓取，学路网提供内容。上求一元素，使其为的最佳平方逼 近，并比较其结果。函数逼近与计算的证明题以上为证明过程防抓取，学路网提供内容。dxax dxax 101100 本节主要内容1、利用正交多项式族做最佳平方逼近 2、最小二乘法（离散数据拟合） 3、Fourier逼近 二、用正交函数族作最佳平方逼近 多项式上的三次最佳平方逼近 多项式上的一次最佳平方逼近 求一个简单易算的近似函数P(x) 总体上尽可能小。matlab,均差,导数,函数导数逼近那个原函数就是y=x.^3。first_derivative中在做到f_prime=(f(x_plus_h)-f(x_minus_h))./(2*h);这一步中将会调用新文件中定义的子函数y=x.^3来计算。不难看出原函数就是新文件...防抓取，学路网提供内容。常见做法： 最小二乘拟合多项式确定多项式 ，对于一组数据(x 使得达到极小，这里n 法方程组(或正规方程组)回归系数 定理 最小二乘拟合多项式存在唯一(n 则有其中 对任意，必有 若不然，则存在一个 使得 B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。数值分析最佳平方逼近及其计算用分配律将内积项展开,抵消一项后即得结果。防抓取，学路网提供内容。Wait second!You only gave me criticalpoint, minimumpoint 定理Ba 的解确是的最小点。勒让德多项式函数逼近matlab程序怎么修改?legendre(0,x)所得矩阵结果的维数和legendre(1,x)、legendre(2,x)、legendre(3,x)都不相同不能够作加法运算防抓取，学路网提供内容。即：设a 对应的多项式必有 注：最小二乘法首先要求设定P(x)的形式。matlab如何计算正态分布函数N(x)normpdf(x)正态分布概率密度函数normcdf(x)正态分布累积密度函数防抓取，学路网提供内容。若设 n=m1，则可取P(x) 使得最小。请问算CDF累积分布函数的斜率使用阶梯形的曲线去逼近斜率...,坡度啊!!!目标是y=A+BX,坡度B,B一般方程为y=KX+B的话,斜率k更普遍的AX++C=0,然后斜率是-(A/B)防抓取，学路网提供内容。线性化：由可做变换 lnln lnBX (3.1)其中 (3.2)为了更具一般性, 通常考虑为加权平方和 ))的数据比重不同. (3.3)用最小二乘法求拟合曲线的问题,就是在形如(3.2)的S(x) (x),使(3.3)取得最小.它转化求多元函数 (3.4) 的极小值问题. (k=0,1,…,n)Ga 这方程称为法方程，可写成矩阵形式:上式可改写为 (3.5)(3.6) 由求多元函数的极值的必要条件，有 (3.7)要使法方程(3.6)有唯一解a 就要求矩阵G非奇异. 必须指出, (x)在[a,b]上线性无关不能推出矩阵G非奇异. 例如,令 (x)=sin2x,x[0,2], 显然{ k=0,1,2,由此得出 为保证(5.6)的系数矩阵G非奇异，必须加上另外的条件.定义10 ,i=0,l,...,m}上满足哈尔(Haar)条件. 可以证明,如果 足哈尔(Haar)条件,则法方程(5.6)的系数矩阵G非奇异.用最小二乘法得到的法方程组(3. 6)，其系数矩阵G 是病态的,但如果 正交的函数族，即则方程（5.6）的解为 182 58 354 100 30 100 30 10 30 10
正交多项式与最小二乘拟合例：连续型拟合中，取 Hilbert阵！改进： 若能取函数族={ 就化为对角阵！这时直接可算出a 正交多项式的构造：将正交函数族中的 有递推关系式： 1018 26 解：通过正交多项式 1049 用待定系数法确定函数族。Matlab中用Isqnonlin函数解决最小二乘逼近问题!!;%取初始值x1=?;x2=?;x3=?;x=?;y=?;%上面这一行既然为已知量,请你在&?&号处自己赋值[a,norm]=lsqnonlin(@fun,a0,[],[],[],x1,x2,x3,x,y)注意到:1)|x-X|与|y-...防抓取，学路网提供内容。一、最佳平方三角逼近与三角插值 为周期的复函数，则在是以计算数学中数值逼近的牛顿广义迭代法是什么东西?这是高数的...甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前...x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近防抓取，学路网提供内容。怎么用matlab演示傅里叶级数与周期函数的逼近程度答：根据傅里叶级数，得知一个周期信号的表达式可以写成：其中ak由分析公式得到为了验证x(t)如何有一系列的指数信号构成的，我们修改下x(t)的表达式为：仅仅是将正无穷大改为整数N，我们通过不断加大N来观察x(t)的情况。取一个周期内以周期T进行...插值，拟合，线性和非线性的区别答：n+1个数据点出的函数值与相应数据点的纵坐标相等,即yi=f(x1)(i=0,1,2...n)这种函数逼近问题称为插值问题,称函数y=f(x)为数据点的插值函数,xi称为插...举例说明插值与逼近的不同特点和用途(至少2000字)问：计算机图形学方面至少2000字，越详细越好！一定要举例，特点和用途都要...答：在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。1...
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