大学线性代数用配方法二次型配方法求解非退化的线性变换。
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时间：2018-02-12 00:10
线性代数-本科教材-第6章二次型-学路网-学习路上 有我相伴
线性代数-本科教材-第6章二次型
来源：DOCIN &责任编辑：李志 &时间: 10:21:41
线性代数到底有什么用？问：非常非常地不好意思，本人也是大学毕业，也学过线性代数，考试也及格了...答：线性代数是一个很神奇的东西，线性代数方法是使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。其实，所有的高深数学究其根本都离不开线性代数甚至是矩阵。只是我...线性代数里面的E与|E|有什么不一样答：E:指的是单位矩阵，比如：0001|E|：指的是单位矩阵的行列式，其值为1在线性代数中什么叫做“迹”问：在线性代数中什么叫做“迹”答：矩阵A的全体特征值之和成为矩阵的迹，记为tr(A)tr(A)又等于矩阵A的主对角线上元素之和线性代数-本科教材-第6章二次型(图3)线性代数-本科教材-第6章二次型(图7)线性代数-本科教材-第6章二次型(图9)线性代数-本科教材-第6章二次型(图11)线性代数-本科教材-第6章二次型(图16)线性代数-本科教材-第6章二次型(图18)线性代数的重点和难点问：要考试了，平时上课老是走神，不挂科就行了答：1行列式与矩阵的变化、运算、求解。尤其是逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵。2矩阵的正交。3二次型的求解，正定二次型。4方程组有解的条件5向防抓取，学路网提供内容。==========以下对应文字版==========线性代数adj什么意思如adj（sI-A)答：adj表示伴随矩阵。矩阵A的伴随矩阵即由A中各元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵。以三阶矩阵为例：a11a12a13a21a22a23a31a32a3防抓取，学路网提供内容。二次型本章重点 正定二次型和正定矩阵的概念、判断和性质本章难点 正定二次型的性质6.1 二次型的矩阵表示 (6.1)称为数域P 元二次型（简称二次型）．注意：(6.1)中 ）的系数写成2ij ，而不是简单地写成ij ,其目的是更加方便地用我们已熟悉的矩阵来研究二次型． 6.1 二次型的矩阵表示 【定义6.1】设 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 (6.2)称为由 的一个线性变换（简称线性变换）．如果系数行列式11 12 2122 ，则称线性变换(6.2)是非退化的．易知，若把(6.2)代入(6.1)，那么就会得到关于 的多项式仍然是二次齐次的．也就是说，线性变换把二次型变成二次型． 6.1 二次型的矩阵表示 为了用我们已熟知的矩阵来研究二次型，下面我们就来给出二次型的矩阵表示，为此先 ijji (6.3)把(6.3)的系数排成一个n 矩阵11 12 2122 称为二次型(6.1)的矩阵．6.1 二次型的矩阵表示
这说明二次型可以用矩阵的乘积表示出来．6.1 二次型的矩阵表示 我们知道，经过一个非退化的线性变换，二次型还是变成二次型．现在就来看一下，替 换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型 的矩阵之间的关系． 对二次型 ．现在来看B与A的关系． AC也是对称矩阵．由此，有 就是前后两个矩阵的关系．6.1 二次型的矩阵表示 【定义6.2】数域P 矩阵A与B称为合同的，如果有数域P 上可逆的n 【定理6.1】二次型 后得到一个新的二次型 即新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同．注意：在变换二次型时，我们总是要求所作的线性变换是非退化的． 6.2 标准形 只包含平方项的二次型是二次型中最简单的一种，称为标准形．本节讨论如何将一个二 次型化为一个标准形的问题． 6.2.1 配方法 【定理6.2】数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换变成标准形，如： 证明：我们用数学归纳法来证明 时，定理显然成立．现在假设定理对 个变量的二次型已成立，我们证明对n个变量也成立．设 6.2标准形 其中 12 ijij ji 的二次型．由归纳假设 6.2标准形 其中 .2标准形 ，那么我们可以先作一个变量的非退化线性替换，使变换后新的第一个变量的平方项的系数不为零(只要二次型不恒为零)． 事实上，若 11 ，则只需改变变量的足标即可．但如果11 6.2标准形 原二次型的矩阵A合同于对角矩阵D= 的关系，可由连续替换时矩阵相乘的关系得到．例如在证明中 11 6.2标准形 反之，矩阵为对角形则二次型就只含平方项．经非退化的线性变换，二次型的矩阵变到 一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理6.2 可以叙述为 【定理6.3】在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵．即对于任意一个 对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C AC为对角矩阵． 下面我们举例来说明如何化二次型为标准形： 【例6.1】化二次型 为标准形．6.2 标准形 6.2标准形 是平方和，而这几次线性变换的结果相当于一个总的线性变换 6.2标准形 6.2.2 正交变换法 因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵P 6.2标准形 【定理6.4】任给实二次型 是A的特征值.【例6.2】试求一正交变换 化成标准形.解：二次型 6.2标准形 6.2标准形 6.2标准形 6.2.3 初等变换法 求可逆矩阵C 施行行变换 整体施行 同类列变换 6.2 标准形 【例6.3】用初等变换法化 行变换同类列变换 可逆变换 6.3唯一性 我们看到，经过非退化的线性变换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵．而合同的 矩阵有相同的秩，即经过非退化的线性变换后，二次型矩阵的秩是不变的．标准形的矩阵是 对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数．因此，在一个二次型的 标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性变换无关．二 次型矩阵的秩有时也称为二次型的秩． 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的．这说明，在一般的数域内，二次型的标准形 不是唯一的，而与所作的非退化线性变换有关． 6.3 唯一性 下面我们就复数域和实数域的情况来进一步讨论唯一性的问题．先看复数域的情形． 可以变成标准形．不妨设它的标准形是 的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性变换就可以变成 (6.5)称为复二次型 的规范形．显然，规范形完全被原二次型的秩所决定6.3 唯一性 【定理6.5】任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性变换可以变成规范形； 且规范形是唯一的． 即任一复数的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1 的元素个 数等于该二次型的秩，其余元素均为零．故两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的 秩相等． 再来看实数域的情况． 是实数域的二次型．经适当的非退化线性变换再适当排列文字的次序，可使 (6.7)称为实二次型 这两个数所决定6.3 唯一性 【定理6.6】任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化线性变换可以变成规范形； 且规范形是唯一的． 【定义 6.3 的符号差．注意：虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是标准形系数为正的平方项的个数与规 范形中正平方项的个数是一致的．实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定 的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数． 即实二次型的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1 的元素 个数就是该二次型的正惯性指数， 的个数的和就是该二次型的秩，其余元素为零．故两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正 惯性指数与负惯性指数分别相等． 6.4 正定二次型 考察二次型 这二次型的特点是:不论 具有这种特点的二次型我们称为正定二次型.在数学及其他学科, 如力学, 电学, 物理 等都会经常遇到这种正定二次型. 6.4 正定二次型 【定义6.4】设有实二次型 正定(半正定) 二次型, 并称对称矩阵 是正定(半正定) 矩阵; 并称对称矩阵A是负定(半负定)矩阵．其他情况的二次型称为不定二次型． 【定理6.7】n 为正定的充要条件是它的标准形中的n个系数全 为正（即正惯性指数为n 6.4正定二次型 再证必要性.用反证法, 设有某 为正定二次型的假设矛盾.所以 6.4正定二次型 因为实对称矩阵A存在正交矩阵P 为A的特征值．故有推论1 A正定 A的特征值全正． 又因为 ，故又得推论2 A正定 推论3A正定存在可逆矩阵P 6.4正定二次型 【定理 6.8】(霍尔维茨定理)实对称矩阵A为正定的充分必要条件是: A的各阶顺序主 子式 11
实对称矩阵A为负定的充要条件是:A的奇数阶主子式为负, 而偶数阶主子式为正, 的正定性．6.4 正定二次型 解法一：利用定理6.7 的推论1，求 的特征值．A的特征值为 正定．解法二：用配方法化二次型为标准形 正定．解法三：利用霍尔维茨定理 11 正定．6.4 正定二次型 【例6.5】试求t 为何值时, 二次型 为正定二次型,即A为正定矩阵, 由定理6.8 为正定二次型．6.4 正定二次型 试证明:矩阵 为对称阵.又因为 所以A可逆.从而任给的非零列向量x 为正定阵．本章小结 1．二次型及其标准形 且正平方项数(正惯性指数)惟一，负平方项数惟一．本章小结 等价于：实对称矩阵A，存在可逆矩阵C ，使A合同于对角矩阵． 本章小结2.二次型化为标准形 二次型化为标准形有三种方法，配方法、正交变换法、初等变换法，其中用正交变换 化二次型是本章的重点问题． 实二次型 等价于：对n阶实对称矩阵A，存在正交矩阵C 个列向量是对应于这些特征值的标准正交的特征向量． 本章小结 正定二次型的判别二次型 个顺序主子式全大于零．对于具体矩阵A，主要用A的.线性代数中tr(A)是什么意思答：方阵A的迹tr(A)=a11+a22+...+ann，即等于对角线元素和防抓取，学路网提供内容。线性代数中A'是什么意思答：你那个表示《什么意思》的【关键】标识（右上角那个符号）没有给清楚！因此【不能】知道是什么意思！若是【T】，则是《转置》的意思；若是【-1】，则是《逆》的意思；若是【*】，则是《伴随》的意思；。。。。线性代数的重点和难点问：要考试了，平时上课老是走神，不挂科就行了答：1行列式与矩阵的变化、运算、求解。尤其是逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵。2矩阵的正交。3二次型的求解，正定二次型。4方程组有解的条件5向量组的线性相关与线性无关。线性代数adj什么意思如adj（sI-A)答：adj表示伴随矩阵。矩阵A的伴随矩阵即由A中各元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵。以三阶矩阵为例：a11a12a13a21a22a23a31a32a33首先求出各代数余子式A11=(-1)^2*(a22*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32A12=...
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线性代数串讲讲义[1]
华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn线性代数串讲 各位同学，大家好！今天我们要对经管类的线性代数进行串讲。对每章的主要知识点进行梳理，选择近年的真题作为例题 进行解析。通过讲解，希望大家进一步深刻理解考试大纲，准确地把握考试的测试点，以更有针对性地复习应考，取得满意的 考试成绩. 改版以后的线性代数试卷的结构是：10 个单选题， （占 20 分） ，10 个填空题（占 20 分） 个计算题（占 54 分）和一个证 ，6 明题（占 6 分）. 按大纲，各章在试卷中所占比例为第一章， 13 分左右；第二章，26 分左右； 第三章， 21 分左右；第四章， 19 分左右；第五章，16 分左右；第六章，5 分左右。但近一年来，这个比例发生了较大变化， 最突出的是第六章所占比例明显加大，都占了 15 分。 值得注意的是，线性代数课的特点是各章联系十分紧密，很多题目不能独立属于某一章，而是具有一定的综合性，另外，由于 试题中有 10 个单选题，10 个填空题，所以考的测试点非常全面，非常细致，随机性也较大。 纵观改版后历年的真题，可以看出经管类线性代数试题的特点是十分基本，主要考核大家基本概念，基本公式，基本方法 的掌握情况.从试题的难易程度来看，考试大纲规定，试题的难度分为：易，中等偏易，中等偏难，难；它们所占分数依次大 致为：20 分，40 分，30 分，10 分。实际执行中，绝大部分试题都是属于直接应用基本概念和基本运算就能得出结果的，只有 少数的试题比较灵活，综合性较强，但其测试点也是我们反复强调的。所以请大家不要紧张，要充满信心，应对考试. 针对上述情况，为了使大家立于不败之地，希望大家在复习中狠抓基本，全面复习，而且要把复习做细. 在复习方法上，建议大家首先对每章的主要知识点认真复习，争取把所涉及到的主要概念，主要定理和公式记住。在此基 础上再听串讲，听例题解析时，听了题目，不要急于听如何作答，先想一想这个题的测试点是什么，你是否能做，试做一下， 若能做，做完后对一下，若不能完全做对，再看问题出在哪，看看老师是如何做的，最后小结一下。我想，只要这样认真地做 了，就一定能取得满意的成绩. 近三次国考试题分布表 09.4 单选题 第一章 行列式 填空题 计算题 证明题 单选题 第二章 矩阵 填空题 计算题 证明题 单选题 第三章 向量空间 填空题 计算题 证明题 单选题 第四章 线性方程组 填空题 计算题 2? 1 2? 2 9? 1 0 2? 3 2? 3 9? 1 0 2? 2 2? 1 9? 1 0 2? 1 2? 1 9? 1 -109.7 2? 1 2? 1 9? 1 0 2? 3 2? 3 9? 1 0 2? 1 2? 1 9? 1 6? 1 2? 2 2? 2 9? 1 09.10 2? 1 2? 1 9? 1 0 2? 4 2? 3 9? 1 0 2? 1 2? 2 9? 1 6? 1 2? 1 2? 1 9? 1《线性代数》串讲讲义 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn证明题 单选题 第五章 特征值和特征向量 填空题 计算题 证明题 单选题 第六章 实二次型 填空题 计算题 证明题 0 2? 1 2? 2 9? 1 6? 1 2? 2 2? 1 9? 1 0 2? 1 2? 2 9? 1 0 2? 2 2? 1 9? 1 2? 2 2? 1 9? 1《线性代数》串讲讲义0 2? 1 2? 2 9? 1各章所占分数与大纲比较 考试大纲 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 13 分左右 26 分左右 21 分左右 19 分左右 16 分左右 5 分左右 09.4 试卷 15 21 15 13 21 15 09.7 试卷 13 21 19 17 15 15 09.10 试卷 13 23 21 13 15 15第一章 一．行列式的定义和性质 1. 余子式 M ij 和代数余子式 A ij 的定义行列式0例 1 行列式1 0 ?1 1?1 1 0 ?11 ?1 1 0C． 1 D． 2 第二行第一列元素的代数余子式 A 2 1 ? （ ）?1 1 ?1A． ? 2 测试点B． ? 1余子式和代数余子式的概念0解析1 0 ?1 1?1 1 0 ?11 ?1 1 0, A 2 1 ? ( ? 1)2 ?1?1 1 ?11 M21?1 0 ?111?1 ?1 01 2 ? ?1 ?1答案 B? ? ?1 11 ? ? 0 0 02．行列式按一行或一列展开的公式 1） A ? a ijn?n?na ij Aij , j ? 1, 2 , ? ( A ? a ijk ? j?ni ?1?aj ?1nijAij , i ? 1, 2 , ? n )k ?i k ?i2）?i ?1? A a ij Aik ? ? ? 0n ? A ; ? a ij A kj ? ? k ? j j ?1 ? 0-2- 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义. 例 2 设某 3 阶行列式的第二行元素分别为 ? 1, 2, 3, 对应的余子式分别为 ? 3, ? 2,1 则此行列式的值为 测试点 解 行列式按行(列)展开的定理2 ?1D ? ( ? 1) ? A2 1 ? 2 A2 2 ? 3 A2 3 ? ( ? 1)( ? 1)? ? 3 ? 4 ? 3 ? ? 10M21? 2 ( ? 1)2? 2M22? 3( ? 1)2?3M23例 3 已知行列式的第一列的元素为 1, 4, ? 3, 2 ，第二列元素的代数余子式为 2,3,4,x 问 x ? 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零..解 因第一列的元素为 1, 4, ? 3, 2 ，第二列元素的代数余子式为 2,3,4,x,故 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? ( ? 3) ? 4 ? 2 x ? 0 所以 x ? ? 1 3．行列式的性质 1） AT? A.2）用数 k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的 k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为 0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.a1 1例 4 已知 a 2 1a1 2 a 22 a 32a1 3 a 2 3 ? 3 ，那么 a 33C. ? 62 a1 1 a 21 ? 2 a 312 a1 2 a 22 ? 2 a 32D. 122 a1 3 a 23 ? 2 a33 ?（）a 31A. ? 24 测试点B. ? 12行列式的性质2 a1 1解析2 a1 2 a 22 ? 2 a 32a1 a2 b1 b22 a1 3 a 23 ? 2 a 33a1 a2 c1 c2a1 1 ? 2 ? ( ? 2 ) a 21 a 31=2，则a1 a2a1 2 a 22 a 32b1 ? c 1 b2 ? c2a1 3 a 23 ? ? 1 2 . a 33=（ ） 答案 Ba 21 ? 2 a 31例 5 设行列式 A． ? 3 测试点 解 故应选=1，B． ? 1 行列式的性质C．1D． 3a1 a2Db1 ? c1 b2 ? c 2?a1 a2b1 b2?a1 a2c1 c2?3答案 D二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式 -3- 华夏大地教育网?1 1 1 2 1http//:www.edu -edu.com.cn1 3 1 1 4 1 1 1《线性代数》串讲讲义例 6 求 4 阶行列式1 1 1的值.测试点行列式的计算1解1 1 2 11 3 1 14 1 1 1 ?1 0 0 01231 0 1 01 2 0 023 49 674 ?3 ?3 ?33 9. 70 ? 1 02 0 0?3 ? 3 ? ( ? 3) ?3 0 1 2 0 ?61 1 1例 7 计算 3 阶行列式249 367123解23 49 673 9 7(1) ? ( ? 1)( 2 )100 ? 200 30023 49 673 9 7( 2 ) ? ( ? 1)( 3 )100 ? 200 30020 40 603 9 ? 0. 7249 367x例 8 计算行列式：a x a aa a x aa a a xa a a测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.x解a x a aa a x aa a a x3x ? 3a ? x ? 3a x ? 3a x ? 3aa x a aa a x aa a a x ?x ? 3a 0 0 0a x?a 0 0a 0 x?a 0a 0 0 x?a ?D ?a a a? ( x ? 3 a )( x ? a ) .a 0例 9 计算行列式 D n ?b a 0 ? 0 00 b a ? 0 0? ? ? ? ? ?0 0 0 ? a 00 0 0 ? b a0 ? 0 b测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算-4- 华夏大地教育网?a 0解 Dn ?http//:www.edu -edu.com.cn? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? a 0 0 0 0 ? b a = a A1 1 ? b A n 1 = a M 1 1 + b ( ? 1)n ?1《线性代数》串讲讲义b a 0 ? 0 00 b a ? 0 00 ? 0 bMn1? a ? ( ? 1)nn ?1bn0 0例 10 计算行列式 D 6 ? ?0 0 ? 5 0 0 2 ? 0 0 1 0 ? 0 02? ? ? ? ?0 2 ? 0 01 0 ? 0 0 1 0 0 2 ? 0 0 ? ? ? ? ? 0 0 ? 5 0 0 0 ? ? ?6! 0 60 6 0 0解0 0 ? 5 0? ? ? ? ?D6 ? ? 0 6(1) ? ( 6 ) (2 )? (5) (3)? (4 )?( ? 1) ?30 01例 11 设 D ( x ) ?x 2 3 43xx31 1 14 9 168 27 64问（1） D ( x ) 中， x 项的系数＝？（2）方程 D ( x ) ? 0 有几个根？试写出所有的根。 测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.1解（1） x 项的系数 ? A1 4 ? ( ? 1) 132 3 44 9 ? ? (3 ? 2 )( 4 ? 2 )( 4 ? 3) ? ? 2 1651(2)因为 D ( x ) ? (2 ? x )(3 ? x )(4 ? x )(3 ? 2)(4 ? 2)(4 ? 3) 所以方程 D ( x ) ? 0 有三个根: x1 ? 2, x 2 ? 3, x 3 ? 4 . 第二章 一、矩阵的概念 1.要弄清矩阵与行列式的区别 二、矩阵的运算 1． 矩阵 A , B 的加、减、乘有意义的充分必要条件 例 1 设矩阵 A ? (1, 2) , B ? ? A． A C B B． A B C 2.两个矩阵相等的概念 3.几种特殊矩阵（0 矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 矩阵?1 ?32? ?1 ?， C ?? 4? ?42 53? ? ，则下列矩阵运算中有意义的是（ 6?）C． B A CD． C A B -5- 华夏大地教育网?测试点:http//:www.edu -edu.com.cn答案: B《线性代数》串讲讲义矩阵相乘有意义的充分必要条件?1 ? 例 2 设矩阵 A ? 2 ? ?0 ?测试点:2 1 00? ?1 ? ? 0 ， B ? 0 ? ? ?0 1? ? ?0 2 10? ? 1 ，则 A ? 2 B =_____________. ? 3? ?矩阵运算的定义解?1 ? A ? 2B ? 2 ? ?0 ?2 1 00? ? 0 ? ? 1? ??2 ? 0 ? ?0 ?0 4 20? ?3 ? ? 2 ? 2 ? ? 6? ?0 ? ?2 5 20? ? 2 . ? 7? ?例 3 设矩阵 A ? ??1? ?2? T ? ， B ? ? ? ，则 A B ? ____________. 2? 3? ? ?解测试点:矩阵运算的定义?2? T A B ? (1, 2 ) ? ? ? 8 . ?3?2．矩阵运算的性质 比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加 法的分配律； ）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点. ( ( A ? B ) ? A +AB ? BA ? B2 2 k k 2;( A ? B )( A - B ) ? A + B A - A B - B ;2 2( AB ) ? ABAB ? AB ? A B ;k(A ? E) ? A ? 2 A ? E2 2如果 A B ? O ，可能 A ? O , B ? O . 例如 A ? ? 3．转置 对称阵和反对称阵? 1 ??11 ? ? 2 ?,B ? ? ? 1? ??22 ? ? 都不为零，但 A B ? O . ?2?1）转置的性质(A ? B) ? A ? B ;T T T(? A)T? ? A ; ( ABC ) ? C B AT T T TT2）若 AT? A ( A ? ? A ) ，则称 A 为对称（反对称）阵T T例 4 矩阵 A , B , C 为同阶方阵，则 ( A B C ) =（ A． A B CT T T） D． A C B5T T TB． C B ATTTC． C A BTTT答案:B例 5 设 ? ? (1, 2, 3), ? ? (1, ? 1,1), 令 A ? ? ? ,试求 A .T测试点矩阵乘法的一个常用技巧? ? 解 因为 A ? ? ? ? ? ? ?T?1 ? 2 ? ?3 ?T?1 ?2 ?3T1?? ?? 2 ? ,所以 ? 3?? ??T T T T T TA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ? )( ? ? )( ? ? )( ? ? ) ?5 T T-6- 华夏大地教育网?T 5 Thttp//:www.edu -edu.com.cn?1? ?1 ? ? 5 ? 2 (1, ? 1,1) ? 2 2 ? ? ? ?3? ? ? ? ?3 ?1 ?2 ?3 1? ?1 ? ? 2 ? 32 2 ? ? ? ? 3? ?3《线性代数》串讲讲义?1 ?2 ?3 1? ? 2 . ? ? 3??1? ? ? 5 ? ( ? ? ) ? ? ? [(1, ? 1,1) 2 ] ? ? ?3? ? ? ?1 ? 32 2 ? ?3 ? ?1 ?2 ?3 1? ? 2 . ? 3? ?答案例 6 A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ A． A ? A 解析T）TB． A ? AT T TTC． A AT TTD． A AT( A ? A ) ? A ? ( A ) ? A ? A ? A ? A .故 A ? A 为对称阵.TT( A ? A ) ? A ? A ? ? ( A ? A ).故 A ? A 为反对称阵.T T T TT( A A ) ? A A . 故 A A 为对称阵.同理 A A 也为对称阵.T T TTT答案 B例 7 已知矩阵 A ? ? 测试点?1 ?2? 1? 2 ? , E 为 2 阶单位矩阵,令 B ? A ? 3 A ? 2 E , 求 B 3 ?方阵多项式的概念;?1 2 B ? A ? 3A ? 2E ? ? ?2 ??1 ? ? ? 8 ?4 ? ?3 ??? 7 ? ?6? 1? ? 3 ??1 ? ?2? 1? ?1 ? ?3? 3 ? ?2 0 ? ??2 ? ? ? 2? ? 2 ? 1? ? 0 ?? 1? ?1 ??2? 3 ? ?00? ? 1??3? ?2 ??? 9 ? ?04. 方阵的行列式的性质AT? A ;?A ? ?A?1nA ;AB ? A B ;?Ak? A ;k?1 A; A? An ?1.例 7 设 A 为 n 阶方阵， ? 为实数，则 ? A =（ A． ? A B． ? A C． ?n） D． ?nAA答案:C例 8 矩阵 A ? ??1 ?32? ?1 ?,B ? ? 4? ?4T2? T ?1 ? ，则行列式 A B ? ___________. 5?解析A BT?1? AB?1? A1 B? (?2) ?1 ( ? 3)?2 3.答案2 3.5.逆矩阵 1）方阵 A 可逆(也称非异， A 满秩)的充分必要条件是 A ? 0 .当 A 可逆时，?1A?1 AA .?-7- 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cnA2 1 A2 2 ? A2 n1《线性代数》串讲讲义? A1 1 ? A1 2 ? ? 其中方阵 A 的伴随阵 A 的定义 A ? ? ? ? ? ? A1 n?a 特别 当 ad ? bc ? 0 时， ? ?c重要公式? ? ? ?An1 ? ? An 2 ?。 ? ? ? An n ??b ? ? a ?b? ? d??1?? d ? ad ? bc ??cAA ? A A ? A E ； A???? An ?1；A 与A??1的关系?12）重要结论：若 n 阶方阵 A , B 满足 A B ? E ，则 A , B 都可逆，且 A 3）逆矩阵的性质：? B, B?1? A.(A )?1?1? A ; ;当 ? ? 0 时， ( ? A )?1?1?A ; ( AB )?1?1? B?1A?1；(A )T?1? (A ) ; A?1 T?1?1 A.4）消去律：设方阵 A 可逆，且 A B ? A C ( B A ? C A ) ，则必有 B ? C .（若不知 A 可逆， 仅知 A ? 0 结论不一定成立。 ） 6．分快矩阵 矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如? A1 1 A? ? ? A2 1A1 2 A2 2? B1 ? A1 3 ? ? A1 1 B 1 ? A1 2 B 2 ? A1 3 B 3 ? ? ? ? , B ? ? B2 ? , A B ? ? ?； A2 3 ? ? A 2 1 B1 ? A 2 2 B 2 ? A 2 3 B 3 ? ? B3 ? ? ?分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置? A1 1 ? A ? 21 ? ? ? ? Am 1A1 2 A2 2 ? Am 2? ? ? ?A1 k ? ? A2 k ? ? ? ? Am k ?T? A1T1 ? T A1 2 ? ? ? ? ? T ? A1 k ?A2 1 A2 2 ? A2 kT TT? ? ? ?Am 1 ? T ? Am 2 ? ? ? ? T Am k ? ?T准对角阵的逆矩阵： 如果 A1 , A 2 , ? , A k 都是可逆阵，则? A1 ? O ? ? ? ? ?OO A2 ? O? ? ? ??a ?cO ? ? O ? ? ? ? Ak ??1? A1? 1 ? O ? ? ? ? ? ? O ?O A2 ? O?1? ? ? ?）O ? ? O ? ? ? ? ?1 Ak ? ?例 9 二阶矩阵 A ? ?? d ?? c ? b? ? a ? ?b? ? ? ，则 A ＝（ d??? d ? b c ? ? ? a? ?A． ? ?B． ? ?C． ? ??? d ? cb ? ? ? a? ?D． ? ?? d ?? b? c? ? a ? ?测试点伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵 -8-答案:A 华夏大地教育网??1 ? 例 10 三阶阵 A ? 2 ? ?3 ?测试点 重要公式?http//:www.edu -edu.com.cn0 2 3 0? ? ? 0 ，则 A A = _____________. ? 3? ??《线性代数》串讲讲义AA ? A A ? A E .0? ? 0 ? 6? ? 0? ? ? 3 ，则 A ? ____________. ? 2? ??1?6 ? 答案 6 E ? 0 ? ?0 ? ?2 ? 例 11 A ? 3 ? ?5 ?0 6 0 0 6 3解A?? A3 ?1? 6 ? 362例 12 设 A 为 2 阶可逆矩阵，且已知 ( 2 A )?1 ? ? ?32? ? 4??12? ? ，则 A =（ 4?1 ?1 D． ? 2 ?3 2? ? 4??1）?1 A． 2 ? ?32? ? 4?1 ?1 B． ? 2 ?32? ? 4??1 C． 2 ? ?3测试点 逆矩阵的性质?1解由(2 A)?1 ? ? ?32? ?1 ? ,所以 2 A ? ? 4? ?32? ? 4??11 ?1 故A ? ? 2 ?32? ? 4??1答案D? 1 ? 例 13 设 A ? 2 ? ? ?3 ?测试点 解0 1 21 ? ? ?1 0 A . ,求 ? ?5 ? ?求逆矩阵的方法? 1 ? ? AE ? ? ? 2 ? ?3 ?0 1 21 0 ?51 0 00 1 00? (2)+ (- 2)(1) ? (3)+ 3(1) 0 ??? ? ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?0 1 21 ?2 ?21 ?2 30 1 00? ? 0 ?, ? 1? ??1 ? ? ? ? ?? 0 ? ?0 ?( 3 ) ? ( ? 2 )( 2 )0 1 01 ?2 21 ?2 70 1 ?20? ? 0 ? 1? ?? ?1 1 (3) ? ? 2 ? ?0 ?? ? ?0 ?0 1 01 ?2 11 ?2 7 20 1 ?1? 0? ? 0? ? 1? ? 2?-9- 华夏大地教育网?? 5 ?? 2 ? ? ? 5 ? 7 ? ? 2 1 ?1 ?1http//:www.edu -edu.com.cn? 1? 2? ? 1 ? 1 ? ? 2 ?《线性代数》串讲讲义所以 A?1注意 例 14 测试点一定要验算 已知 A ? 2 A ? 8 E ? O , 则 ( A ? E )2 ?1? _____________。关于逆矩阵的重要推论?1若 A , B 都是 n 阶矩阵，且满足 A B ? E n , 则 A , B 都可逆，且 A 解 即2 2? B, B?1? A.由 A ? 2 A ? 8 E ? O 得 A ? A ? 3 A ? 3 E ? 5 E ? 0 ，即 ( A ? E )( A ? 3 E ) ? 5 E ，(A ? E)( A ? 3E ) 5? E ，故 ( A ? E )2?1?1 5( A ? 3 E ).答案(A ? E)?1?1 5( A ? 3 E ).例 15 设 A 是 n 阶方阵，且 ( A ? E ) ? O ，证明 A 可逆. 测试点 证 若 A B ? E 则 A , B 都可逆,且 A22?1? B, B?1? A.因为 ( A ? E ) ? O ,即 A ? 2 A ? E ? 0 ,所以 ? A ( A ? 2 E ) ? E?1故 A 可逆,且 A? ?( A ? 2E ) .m例 16 设 n 阶方阵 A 满足 A? O ，其中 m 为正整数，证明 E ? A 可逆，且2 m ?1( E ? A)分析 证?1? E ? A ? A ?? ? A2只要检查 ( E ? A )( E ? A ? A ? ? ? A 因为m ?1) ? E 即可( E ? A )( E ? A ? A ? ? ? A22 2m ?1)?m? E ? A ? A ? A ? A ? ?? ? A? E? A故m? E.2 m ?1( E ? A)?1? E ? A ? A ?? ? A三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1．初等变换的定义和性质 称矩阵的下列三种变换为初等行变换： （1）两行互换； （2）某一行乘一个非零的数； （3）某一行的 k 倍加到另一行上。 类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换. 方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况） 初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵 A 化 为标准形 ?? Er ?OO? ? ，其中 r 为矩阵 A 的秩. O?- 10 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义如果矩阵 A 经过有限次的初等变换变成 B , 则称矩阵 A 与 B 等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形. 2.初等矩阵的定义和性质 1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系 3) 对 任 意 m ? n 阶 矩 阵 A ， 总 存 在 一 系 列 m 阶 初 等 阵 P1 , P2 , ? , Pk 和 一 系 列 n 阶 初 等 阵 Q 1 , Q 2 ,? , Q ,使 得 l? Er P1 P 2 ? Pk A Q Q ? Q l ? ? 1 2 ?OO? ?. O?4)矩阵 m ? n 阶 A 与 B 等价的充分必要条件是存在一系列 m 阶初等阵 P1 , P2 , ? , Pk 和一系列 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , ? , Q l , 使得 P1 P2 ? Pk A Q1Q 2 ? Q l ? B . 例 17 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）?1 A． ? ?0测试点0? ? 0?? 0 ? B． ? 1 ? ? 0 ?1 0 0? 1? ? 1 ? 1 ? ??1 ? C． 0 ? ?1 ?0 1 00? ? 0 ? 1? ??0 ? D． 0 ? ?1 ?1 0 00? ? 3 ? 0? ?初等矩阵的定义和性质?1 ? 解析 C. 0 ? ?1 ?0 1 00? ? 0 是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。 ? 1? ? a1 2 a 22 a 32 a1 3 ? ? a 2 3 ,若存在初等矩阵 P ,使得 ? a 33 ? ? a1 3 ? 2 a 3 3 ? ? a 23 ,则P ? ? ? a 33 ? ?2? ? 0 ? 1 ? ? ? 1 ? C. ? 2 ? ? 0 ? 0 1 0 0? ? 0 ? 1? ?答案 B答案C? a1 1 ? 例 18 设三阶矩阵 A ? a 2 1 ? ? a 31 ? ? a1 1 ? 2 a 3 1 ? PA ? a 21 ? ? a 31 ? ? 1 ? A. 0 ? ??2 ?测试点a1 2 ? 2 a 3 2 a 22 a 32 ?1 ? B. 0 ? ?0 ? 0 1 0【】0 1 00? ? 0 ? 1? ??1 ? D. 0 ? ?0 ??2 1 00? ? 0 ? 1? ?矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系四、矩阵的 k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1 矩阵的 k 阶子式的概念 2 矩阵秩的概念 定义 O 矩阵的秩为 0，对于非零矩阵 A ，如果有一个 r 阶子式不等于 0 , 而所有的 r ? 1 阶子式（如果有的 话）都等于 0 , 则称矩阵 A 的秩为 r .显然 n 阶可逆矩阵的秩等于 n ，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的 个数. 3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵 A 左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相 等，则二者必等价. - 11 - 华夏大地教育网?4.求矩阵秩的方法http//:www.edu -edu.com.cn?1 3 0 0? ? 4 ，则 A 中（ ? 5? ?《线性代数》串讲讲义?1 ? 例 19 设矩阵 A ? 0 ? ?0 ?0 ?2 0）A．所有 2 阶子式都不为零 B．所有 2 阶子式都为零 C．所有 3 阶子式都不为零 D．存在一个 3 阶子式不为零 测试点 矩阵的 k 阶子式的概念. 答案 D?1 ? 例 20 设矩阵 A ? 0 ? ?0 ?测试点 矩阵秩的概念0 2 01? ? 0 ，矩阵 B ? A ? E ，则矩阵 B 的秩 r ( B ) =______________. ? 1? ?解?0 ? B ? A?E ? 0 ? ?0 ? 2 8 60 1 0 ?1 ?4 ?31? ? 0 ? 0? ?答案r(B) ? 2?1 ? 例 21 设矩阵 A ? 4 ? ?3 ?（1）秩 ( A ) ? 1 ； （2）秩 ( A ) ? 2 . 测试点3 ? ? 1 2 ，问 a 为何值时， ? a ? ?求矩阵秩的方法解?1 ? A? 4 ? ?3 ?2 8 6?1 ?4 ?33 ? ( 2 ) ? ( ? 4 )(1) ? ( 3 ) ? ( ? 3 )(1) 1 2 ? ? ? ?? ? ? a ??1 ? 0 ? ?0 ?2 0 0?1 0 0? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ?0 a ? 9? ? ? 32 0 0?1 0 0? ? a?9 ? 0 ? ? 3所以当 a ? 9 时, 秩 ( A ) ? 1 ;当 a ? 9 时, 秩 ( A ) ? 2例 22 设 A 为 m×n 矩阵， C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r ，则矩阵 B ? A C 的秩为__________. 测试点 用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵 A ,则 A 的秩不变. ） 答案r例 23 设 3 阶方阵 A 的秩为 2 ，则与 A 等价的矩阵为（?1 ? A． 0 ? ?0 ?测试点 解1 0 01? ?1 ? ? 0 B． 0 ? ? ?0 0? ? ?1 1 01? ?1 ? ? 1 C． 2 ? ? ?0 0? ? ?1 2 01? ? 2 ? 0? ??1 ? D． 2 ? ?3 ?1 2 31? ? 2 ? 3? ?答案 B矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.因为 A,C,D 的矩阵的秩都为 1 ，B 的矩阵的秩等于 2 .故答案应为 B.五、矩阵方程的标准形及解的公式- 12 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn?1《线性代数》串讲讲义AX ? B ? X ? A B; XA ? B ? X ? BA ; A1 X A 2 ? B ? X ? A1 B A 2 .例 24 设矩阵 A ? ? 测试点 解 验算!?1 ?1 ?1?2 ?51? ?1 ?， B ?? 3? ?23? ? ，求矩阵方程 X A ? B 的解 X . 0?解矩阵方程的方法X ? BA?1?1 ? ? ?23? 1 ? 3 ? ? 0 ? A ??5? 1? ? ? 1 2 ? ? ? 2 ? ? 65 ? ? ?2 ?? 1 ? 2 例 25 设 A , B 均为 3 阶矩阵, E 为 3 阶单位矩阵,且满足: A B ? E ? A ? B .若已知 A ? 0 ? ??1 ?测试点 解矩阵方程的方法 解 因为 A B ? E ? A ? B ，故 A B ? B ? A ? E20 2 0? 1? ? 0 , 求矩阵 B . ? 1 ? ?2从而 ( A ? E ) B ? A ? E ? ( A ? E )( A ? E ) ，又2? 1 ? A?E ? 0 ? ??1 ?0 2 0? 1? ? 1 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ?0 ? ? 0 3 0 0 2 00 1 0 ? 1? ? 0 . ? 2 ? ?0? ? 0 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ??1 ? ?0 1 0? 1? ? 0 , 显然 A ? E 可逆，应用消去律得 ? 0 ? ?? 2 ? B ? A?E ? 0 ? ??1 ? ? 1 ? AB ? E ? 0 ? ??1 ? ? 3 ? ? 0 ? ??3 ? 0 6 0验算? 1? ? 0 ? 1 ? ?? 2 ? 0 ? ??1 ?0 3 0? 1? ? 1 ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ?0 ? ? 0 7 00 1 0 ?3? ? 0 ? 4 ? ?0? ? 0 ? ? 1? ??3? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? 3 ? ?0 ? ? 0 4 020 1 00? ? 4 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ??3 ? ? 0 3 0? 2 ? 2 A ? B ? 0 ? ??2 ??2? ? 2 ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ??1 ? ?? 1? ? 4 ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ??3 ? ?0 7 0?3? ? 0 ? 4 ? ?所以确有 A B ? E ? A ? B 例 26 已知 A ? ? 求X 。 - 13 -?2 ?13? ? ?3 ?,B ? ? 0? ??2? 1? ?0 ? ,C ? ? 1 ? ?1?1 21? ?1 ?,D ? ? 0? ?12 00? ? , 矩阵 X 满足方程 A X ? B X ? D ? C ， 1? 华夏大地教育网?测试点 解 故http//:www.edu -edu.com.cn得(A ? B)X ? D ? C《线性代数》串讲讲义求矩阵方程的解由 AX ? BX ? D ? C?1X ? ( A ? B) (D ? C )??1 ??1 2? ?1 ?,D ?C ? ? 1? ?0 2 1 1 0 3 ?2 3 ?2 ? 1? ?. 1 ? ? 1 ? ??1 ?3 5 ?2 1 ?1 0 ?3 ?2 1? ? ? ?? 1?其中 A ? B ? ??A? B?1 ?? ? ? ?0 ?1 ?? ? ? ?0所以 验算??1 D ?C?? ? ??1 ?2 ?1 0 1 1 1 7 5 ?1 ?1 7 5 ?3 ?5? 1? ? ? ?? 1 ? ?2 11? ?1 ? ? ?? ? 2? ?0?1 11 ? ? ? ?? ?2 ??3? ? ?2 ??1 X ? ? ?1?3? ? ?2?第三章向量空间一、 n 维向量线性运算的定义和性质; 例 1．已知 ? 1 ? 5? 2 ? 2? 3 ? ? 其中， ? 1 ? (3, 4, ? 1), ? 2 ? (1, 0, 3), ? ? (0, 2, ? 5), 则 ? 3 ? ____________. 测试点 解n 维向量线性运算的定义和性质因为 ? 1 ? 5? 2 ? 2? 3 ? ? ,所以?3 ?T1 2(?T? ?1T? ? ? 1 ? ? 0 ? ? 3 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? T ? 5? 2 ) ? [ 2 ? 4 ? 5 0 ] ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?11 ? ? ? 5 ? ? ? 1? ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?答案T故? 3 ? (1, ? 1,11 2) (请验算)T? 3 ? (1, ? 1,T11 2).T例 2 设 向 量 ? 1 ? (1,1,1) , ? 2 ? (1,1, 0 ) , ? 3 ? (1, 0, 0 ) , ? ? (0,1,1) , 则 ? 由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线 性 表 出 的 表 示 式 为 _____________. 测试点 解 考虑 向量由向量组线性表示;组合系数的求法x1? 1 ? x 2? 2 ? x 3? 3 ? ?该线性方程组的增广矩阵- 14 - 华夏大地教育网?A ? ?? 1http//:www.edu -edu.com.cn?2 ?3?1 ? ??? 1 ? ?1 ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0? ? 1 ?? ? ? 1? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 1 0 ?1 0 1 0 1 ?1 ?1 0 0 1 0? ? 1 ? ? 1? ? 1 ? ? 0 ? ? 1? ?《线性代数》串讲讲义?1 ? ? 0 ? ?0 ?所以1 1 01 1 10 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ?1 ? ? 0 ?? ? ? ? 1? ?? ? ?1 ? ? 3答案? ? ? 1 ? ? 3 (验算!)二、 n 维向量组的线性相关性 1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件： 1）定义: 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 是一组 n 维向量.如果存在 m 个不全为零的数 ?1 , ? 2 , ? , ? m ，使得?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? ? ? m ? m ? 0 ,则称向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性相关，否则，即如果 ?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? ? ? m ? m ? 0 ，必有?1 ? ? 2 ? ? ? ? m ? 0 ，则称向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性无关.2) m 个 n 维 向 量 ? 1 , ? 2 , ? , ? m ( m ? 2) 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 至 少 存 在 某 个 ? i 是 其 余 向 量 的 线 性 组 合 . 即? 1 , ? 2 , ? , ? m ( m ? 2) 线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.例 3 设向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关，则必可推出（ A． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有一个向量为零向量 ）B． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有两个向量成比例C． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 测试点 向量组线性相关的概念 答案 C例 4 向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关的充分条件是 A. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 都不是零向量 B. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中任意两个向量都不成比例C. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合 D. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中任意 s ? 1 个向量都线性无关 测试点 解 向量组线性相关的概念; 充分条件;必要条件;充分必要条件.?1 ? ? ? ,? 2 ? ? ??1 ? ?2??1 ??2?都不是零向量,但 ? 1 , ? 2 线性相关.?1 ? ?0? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 0 ,? 2 ? 1 ,? 3 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?0? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ?中任意两个向量都不成比例,且其中任意 3 ? 1 ? 2 个向量都线性无关,但? 1 , ? 2 , ? 3 线性相关.故 A,B,D 都不正确.答案C例 5.设向量组 ? 1 , ? 2 线性无关，证明向量组 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 1 ? ? 2 也线性无关. - 15 - 华夏大地教育网?测试点 证 因为 则 即 设http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义向量组线性无关的定义;k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? 0?1 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 1 ? ? 2k 1 (? 1 ? ? 2 ) ? k 2 (? 1 ? ? 2 ) ? 0 ( k 1 ? k 2 )? 1 ? ( k 1 ? k 2 ) ? 2 ? 0因为 ? 1 , ? 2 线性无关,故 ?? k1 ? k 2 ? 0 ? k1 ? k 2 ? 0,所以只能 k 1 ? k 2 ? 0 .这表明若 k 1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? 0 ,必有 k 1 ? k 2 ? 0 .据向量组线性无关的定义,知 ? 1 , ? 2 也线性无关 例 6.若向量组 ? 1 ? (3,1, a ), ? 2 ? (4, a , 0 ), ? 3 ? (1, 0, a ) 线性无关,则 a 可能的取值应满足 测试点 .n 个 n 维向量线性无关 ? 相应的行列式 ? 0 ;3 4 a 0答案1 0 a解 D ? ?1T?2T?3 ? 1aT( 3 ) ? ( ? a )(1)3 1 ?2a4 a ?4a1 0 ? ?4a ? 2a ? 2a (a ? 2) ? 02?0所以 a ? 0 , 且 a ? 2 . 2. 关于线性相关的几个定理a ? 0, 且 a ? 2 .1) 如果向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性无关,而 ? 1 , ? 2 , ? , ? m , ? 线性相关,则 ? 可由 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性表示,且表示法唯 一. 2) 3) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关) 若向量组 ? i ? ( a i 1 , a i 2 , ? , a in ), i ? 1, 2, ? , m 线性无关,则接长向量组? i ? ( a i1 , a i 2 , ? , a in , a i ( n ? 1) ), i ? 1, 2, ? , m必线性无关. 3．判断向量组线性相关性的方法 1)一个向量 ? 线性相关 ? ? ? 0 ； 2)含有零向量的向量组必线性相关； 3)向量个数＝向量维数时，n 维向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 线性相关? A ? ?1?2??n ? 0 .4)向量个数&向量维数时, 向量组必线性相关； 5)部分相关，则整体必相关； （整体无关，则部分必无关）. 6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关； 7)向量组线性无关 ? 向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关 ? 向量组的秩&所含向量的个数; 8)向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组x1? 1 ? x 2? 2 ? ? ? x n ? n ? 0有（没有）非零解. - 16 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义例 7.设 n 维向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m ( m ? 2) 线性无关,则 A. B. C. D. 解析 组中减少任意一个向量后仍线性无关 组中增加任意一个向量后仍线性无关 存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ? , k m ,使? k?i i ?1mi?0组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向 答案 A量后仍线性无关例 8 设向量 ? 1 ? ( a1 , b1 , c1 ), ? 2 ? ( a 2 , b 2 , c 2 ), ? 1 ? ( a1 , b1 , c1 , d 1 ), ? 2 ? ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) ，下列命题中正确的是 A．若 ? 1 ,? 2 线性相关，则必有 ? 1 , ? 2 线性相关 C．若 ? 1 , ? 2 线性相关，则必有 ? 1 ,? 2 线性无关 答案 B B．若 ? 1 ,? 2 线性无关，则必有 ? 1 , ? 2 线性无关 D．若 ? 1 , ? 2 线性无关，则必有 ? 1 ,? 2 线性相关例 9.设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,而向量组 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关.证明:向量 ? 4 必可表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合. 测试点 关于线性相关性的几个定理证 1 因为 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关，故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关，又因为 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,所以 ? 4 必可表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线 性组合. 证2 证毕.因为 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,故 ? 2 , ? 3 必线性无关,又因为 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关 证毕.故 ? 4 必能由 ? 2 , ? 3 线性表示,当然可表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合. 三、向量组的极大无关组及向量组的秩 1．极大无关组的定义：设 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 是向量组 T 的一个部分组.如果（1）? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关； （2）任给 ? ? T ，都有 ? , ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线 性相关，则称 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 是向量组 T 的一个极大无关组. 2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法? ?1 ? 例 10 A ? 1 ? ? 1 ?测试点0? ? 3 的行向量组的秩 ? ? 6? ?____________.矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案2例 11 设 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是一个 4 维向量组 ，若已知 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，且表示法惟一，则向量组? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的秩为（A．1 B．2 C．3 D．4）- 17 - 华夏大地教育网?测试点 解http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义（1）向量组的秩的概念； （2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念因为 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，且表示法惟一，必有 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,因为设 ?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? 3? 3 ? 0 ，由 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，即 ? 4 ? k 1? 1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 故? 4 ? ? 4 ? 0 ? k 1? 1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 ? ?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? 3? 3? ( k 1 ? ?1 )? 1 ? ( k 2 ? ? 2 )? 2 ? ( k 3 ? ? 3 )? 3由表示法惟一，有k 1 ? ?1 ? k 1 , k 2 ? ? 2 ? k 2 , k 3 ? ? 3 ? k 3于是有 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0 ，故 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关，又 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，所以 ? 1 , ? 2 , ? 3 为向量组? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的一个极大无关组，故向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的秩为 3.T T T答案CT例 12 设向量组 ? 1 ? (1, ? 1, 2,1) , ? 2 ? (2, ? 2, 4, ? 2 ) , ? 3 ? (3, 0, 6, ? 1) , ? 4 ? (0, 3, 0, 4 ) （1）求向量组的秩和一个极大线性无关组； （2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合. 测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法解A ? ?? 1?2?3?4?? 1 ? ?1 ? ? ? 2 ? ? 12 ?2 4 ?23 0 6 ?1 ?1 ? 0 ? ?0 ? ?0 2 1 0 00? ( 2 ) ? (1) ( 3 ) ? ( ? 2 )(1) ? 3 4 ) ( ? 1)(1) ? ? (?? ? ?? 0? ? 4? 0 0 1 0?1 ? 0 ? ?0 ? ?02 0 0 ?43 3 0 ?40? ? 3 ?? 0? ? 4??1 ? 0 ?? ? ? ?0 ? ?0 ?1 ? 0 ? ? ?0 ? ?0所以2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 03 1 1 00 ? (1) ? ( ? 3 )( 3 ) ? ?1 ( 2 ) ? ( ? 1)( 3 ) ? ? ? ? ?? 1 ? ? 0 ? 1 ? ? ?2 ? 1 ? ? 0 ??3? ? ?2 ?2 2 ) ? ? (1) ? (?)(?? ? 1 ? ? 0 ?原向量组的秩为 3 ， ? 1 , ? 2 , ? 3 为所求的极大无关组. ? 4 ? ? 1 ? 2? 2 ? ? 3四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标 1. n 维向量空间的定义： n 维实向量的全体构成的集合称为 n 维向量空间，记为 R . 2. 子空间的定义：设 V 是 R 的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称 V 是 R 的一个子空间,简称为向量 空间 V . 3.生成子空间的定义： ? 1 , ? 2 , ? , ? m ? R , 则由它们的所有线性组合构成 R 的一个子空间， 设 称它为由 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 生nnnnn成的子空间. - 18 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义例 13 设 V1 ? { x ? ( x1 , x 2 , x 3 , 0 ) x1 , x 2 , x 3 ? R } , V 2 ? { x ? ( x1 , x 2 , x 3 ,1) x1 , x 2 , x 3 ? R }V 3 ? { x ? ( x1 , x 2 , ? , x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 0} ，说明哪个是子空间，那个不是.解析 在 V 1 中，任取 ? ? ( x1 , x 2 , x 3 , 0 ), ? ? ( y1 , y 2 , y 3 , 0 ) ? V1 , k 为任意数，都有? ? ? ? ( x1 ? y 1 , x 2 ? y 2 , x 3 ? y 3 , 0 ) ? V 1 ,k ? ? ( kx1 , kx 2 , kx 3 , 0) ? V1所以 V 1 是子空间. 类似地，可以证明 V 3 ? { x ? ( x1 , x 2 , ? , x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 0} 也是子空间. 但对 V 2 ? { x ? ( x1 , x 2 , x 3 ,1) x1 , x 2 , x 3 ? R } ，取 ? ? (1, 0, 0,1), ? ? (0,1, 0,1) 都属于 V 2 , 而? ? ? ? (1,1, 0, 2 ) ? V 2 . 这表明 V 2 对加法运算不封闭，故 V 2 不是子空间.4. 向量空间的基和维数的定义 向量空间 V 的一个向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关，且 V 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间{0} 没有基，定义它为 0 维，否则，称向量空间的基所含向量个数 r 为该空间的维数.设? ? x1? 1 ? x 2? 2 ? ? ? x r ? r称 ( x1 , x 2 , ? , x r ) 为 ? 在这组基下的坐标. 例 14 向量空间 V ? { x ? ( x1 , x 2 , 0) x1 , x 2 为实数}的维数为_______________. 测试点 向量空间维数的概念解 容易看出 ? ? (1, 0, 0 ), ? ? (0,1, 0 ) 是 V 的一个基。答案23例 15 证明向量组 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0), ? 3 ? (3, 0, 0) 是 R 的一组基，则向量 ? ? (8, 7, 3) 在这组基下的坐标是 ____________. 测试点 向量在一组基下的坐标1解 因为 ? 1T1 2 03331 2 01 1 ? ?6 ? 0 1?2T?3 ? 1T0 ? ? 0 0 01故 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关，所以它是 R 的一组基. 考虑x1? 1 ? x 2? 2 ? x 3? 3 ? ?T T TT该线性方程组的增广矩阵为T A ? ?? 1 ??2T?3T?1 ? T ? ?? 1 ? ? ?1 ?1 2 03 0 08? ? 7 ?? ? ? 3? ??1 ? 0 ? ?0 ?1 1 ?13 ?3 ?38 ? ? ?1 ? ?5? ?- 19 - 华夏大地教育网??1 ? ?? 0 ? ? ?0 ?得http//:www.edu -edu.com.cn3 ?3 ?6 8 ? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?0 ?6 ? ? ? 1 1 0 3 ?3 1 8 ? ? ?1 ? 1 ? ?《线性代数》串讲讲义1 1 0x1 ? 3, x 2 ? 2, x 3 ? 1 .答案所以 ? ? (8, 7, 3) 在这组基下的坐标是 (3, 2,1) （即 ? ? 3? 1 ? 2? 2 ? ? 3 ）(3, 2,1) .例 16 求由向量组 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0 ), ? 3 ? (2, 3,1) 生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数. 解析 显然 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0) 是 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0 ), ? 3 ? (2, 3,1) 的一个极大无关组，故是由向量组? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0 ), ? 3 ? (2, 3,1) 生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于 2 .第四章 一、线性方程组的三种表示方法 线性方程组1.? a 1 1 x 1 ? a 1 2 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? b1 ? ? a 2 1 x1 ? a 2 1 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 ? ?? ? ?a x ? a x ? ? ? a x ? b m2 2 mn n m ? m1 1 a1 2 a 22 ? am 2 ? ? ? ? a1 n ? ? b1 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? a2n b x ? ,b ? ? 2 ? , X ? ? 2 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? amn ? ? bm ? ? xn ?? a1 1 ? a 21 2. A x ? b ，其中 A ? ? ? ? ? ? a m13． x1? 1 ? x 2? 2 ? ? ? x n ? n ? b? a1 j ? ? ? a ? 2 j ? ( j ? 1, 2, ? , n ) 其中 ? j ? ? ? ? ? ? ? amj ? ? ?二、齐次线性方程组 1．齐次方程组有非零解的条件 1）齐次方程组 A X ? 0 有非零解的充分必要条件是 r ( A ) ? 未知数的个数（即矩阵 A 的列数）. 2）n 个未知数 n 个方程的齐次方程组 A X ? 0 有非零解的充分必要条件是 A ? 0 . 3)设 A 是 m ? n 阶矩阵.若 m ? n ，则齐次方程组 A X ? 0 必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要) 例 1．设 A 为 m ? n 矩阵，齐次线性方程组 A x ? 0 有非零解的充分必要条件是（ A A 的列向量组线性相关 B A 的列向量组线性无关 C A 的行向量组线性相关 测试点 齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系. 答案 A ）D A 的行向量组线性无关例 2. 设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 A x ? 0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r ( A ) ? _____________. - 20 - 华夏大地教育网?测试点 解析http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2 根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数. 线性方程组 A x ? b 的系数矩阵 A 的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数因为 A 是 4×3 矩阵，故方程组 A x ? 0 的未知数的个数 n ? 3 ，故方程组 A x ? 0 只有零解 的充要条件是系数矩阵 A 的秩 ? n ? 3. 答案r ( A) ? 3? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? 例 3.齐次线性方程组 ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 有非零解,则 ? ? ?2x ? x ? x ? 0 2 3 ? 1.解析? ? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 有非零解 ? 1 ?2x ? x ? x ? 0 2 2 3 ? 111 ?1 ? 0 1??1 1?而11 ?1 1( 2 ) ? (1 ) ( 3 ) ? ( ? 1 )(1 )? ? ?12??11 2??1?? ?1?20 ? ( ? ? 1)( ? ? 4 ) 0? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? 故因为 ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 有非零解，则 ? ? ? 1 或 ? ? 4. ?2x ? x ? x ? 0 2 3 ? 12. 齐次方程组解的结构 1）齐次方程组解的性质答案? ? ? 1 或 ? ? 4.设 ? , ? 都是 A x ? 0 的解，则 C 1? ? C 2 ? 也是 A x ? 0 的解(C1，C2 为任意常数) 2）齐次方程组 A X ? 0 的基础解系的概念 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 是齐次方程组 A X ? 0 的一组解.如果它满足： （1） ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关； （2） A X ? 0 的任何一个解 ? 都可以表示为 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 的线性组合，则称 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 为 该齐次方程组的基础解系. 如果齐次方程组有非零解（即 r ( A ) ? n ） ，则它有基础解系. 重要结论:齐次方程组 A X ? 0 的基础解系含 n ? r ( A ) 个线性无关的解；齐次方程组 A X ? 0 的任意 n ? r ( A ) 个线性无关 的解都构成该齐次方程组的基础解系； 3）齐次方程组 A X ? 0 的基础解系的求法 例 4 3 元齐次方程组 ?? x1 ? x 2 ?=0x 2 ? x3 ? 0的基础解系所含解向量的个数为.测试点 解齐次方程组的基础解系 (定义;含几个解向量;求法)因为齐次方程组的系数矩阵为 ? 答案?1 ?0?1 10? ? 的 秩 为 2 , 未 知 数 的 个 数 为 3 , 所 以 其 基 础 解 系 含 3 ? 2 ? 1个 解 . 1?1- 21 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义例 5 已知? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是齐次方程组 A x ? 0 的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用 A. ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 4 , ? 4 ? ? 1 C.与? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 等秩的向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 测试点 1.齐次方程组的基础解系 B.? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 4 , ? 4 ? ? 1 D. 与? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 等价的向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4特别是若齐次方程组的一个基础解系含 4 个解,则它的任意 4 个线性无关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别 4,齐次方程组解的性质. 解 因 为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4是 齐 次 方 程 组 A x ? 0 的 一 个 基 础 解 系 , 故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 都 是 齐 次 方 程 组 A x ? 0 的 解 , 因 为? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4与 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 等价,故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 能由 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性表示,故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也都是 A x ? 0 的解.又因为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的秩也等于 4,所 以 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也线性无关.故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也是 A x ? 0 的基础解系. 所以 D 正确. 例 6.设 m×n 矩阵 A 的秩 r ( A ) ? n ? 3( n ? 3) ， ? , ? , ? 是齐次 线性方程组 A x ? 0 的三个线性无关的解向量，则方程组 答案 DA x ? 0 的基础解系为（A． ? , ? , ? ? ? 知识点 解 答案） C． ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? D． ? , ? ? ? , ? ? ? ? ?B． ? , ? , ? ? ?齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数;向量组线性相关性的判别显然 A,B,C 选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成. D3 ） 齐 次 方 程 组 AX ? 0 的 通 解 公 式如 果 ?1 , ? 2 ,? , ? n ? r 是 A X ? 0 基 础 解 系 ， 则 它 的 通 解 为x ? C 1? 1 ? C 2 ? 2 ? ? ? C n ? r ? n ? r ，其中 C 1 , C 2 , ? , C n ? r 为任意数.? x5 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 0 的基础解系及通解. 例 6 求齐次线性方程组 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x3 ? x 4 ? x5 ? 0 ?测试点 求齐次方程组的基础解系和通解的方法解?1 ? A? 1 ? ?0 ?1 1 00 ?1 10 0 11? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ?0 1? ? ?1 0 00 ?1 10 0 11 ? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?0 1 ? ? ?1 0 00 1 00 0 11? ? 1 ? 0? ?取 x1 , x 3 , x 4 为约束未知数, x 2 , x 5 为自由未知数,? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 1 0 ? ? ? ? 取 ? 1 ? ? 0 ? , ? 2 ? ? ? 1 ? 为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为 ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ?- 22 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 1 0 ? ? ? ? x ? k 1 ? 0 ? ? k 2 ? ? 1 ? ( k 1 , k 2 为任意数) ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ?三．非齐次方程组 1．非齐次方程组解的性质 1）设 ? 1 , ? 2 都是 A x ? b 的解，则 ? 1 ? ? 2 是它的导出组 A x ? 0 的解. 2）设 ? 1 , ? 2 都是 A x ? b 的解，则当 k 1 ? k 2 ? 1 时， k 1? 1 ? k 2? 2 也是 A x ? b 的解. 3）设 ? 是 A x ? b 的一个解， ? 是它的导出组 A x ? 0 的解,则 ? ? ? 是 A x ? b 的解. 例 7 已知 x1 ? (1, 0, ? 1) , x 2 ? (3, 4, 5) 是 3 元非齐次线性方程组 A x ? b 的两个解向量， 则对应齐次线性方程组 A x ? 0 有T T一个非零解向量 ? ? __________________. 测试点 解 线性非齐次方程组解的性质T? ? x 2 ? x1 ? (2, 4, 6)答案? ? ( 2, 4, 6 )T例 8 设齐次线性方程 A x ? 0 有解 ? ，而非齐次线性方程且 A x ? b 有解 ? ,则 ? ? ? 是方程组_____________的解。 试点 线性方程组解的性质 答案测Ax ? b2．关于非齐次方程组解的讨论 定理 n 个未知数， m 个方程的线性方程组 A X ? b 中， （系数矩阵 A 是 m ? n 阶矩阵） A ? ? A b ? 是增广矩阵.则 1）当且仅当 r ( A ) ? r ( A ) ? n （未知数的个数）时，方程组 A X ? b 有惟一解； 2）当且仅当 r ( A ) ? r ( A ) ? n （未知数的个数）时，方程组 A X ? b 有无穷多解； 3）当且仅当 r ( A ) ? r ( A ) 时，方程组 A X ? b 无解. 从以上定理可见 1）线性方程组 A X ? b 有解的充分必要条件是 r ( A ) ? r ( A ) . 2）当线性方程组 A X ? b ，方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式 A ? 0 .?1 ? 例 9 已知某个 3 元非齐次线性方程组 A x ? b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为： A ? ? 0 ?0 ? ? 2 2 0 3 ?1 a ( a ? 1) ?1 ? ? 2 ? ，若方程 a ? 1? ?组无解，则 a 的取值为____________. 测试点 1.增广矩阵 A 经初等行变换变成 B ,则以 B 为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解;2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩 解 例 10 解 当 a ? 0 时, r ( A ) ? 2, r ( A ) ? 3 ,故方程组无解. 答案a ? 0..如果非齐次线性方程组 A x ? b 有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组 A x ? 0非齐次线性方程组 A x ? b 有惟一解的充分必要条件是 r ( A ) ? r ( A ) ? 未知数的个数， - 23 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn答案 只有零解.《线性代数》串讲讲义而它恰是其导出组 A x ? 0 只有零解,没有非零解的充要条件. 3.非齐次方程组 A X ? b 的通解的结构x ? ? ? C 1? 1 ? C 2 ? 2 ? ? ? C n ? r ? n ? r其中 ? 是方程 A X ? b 的一个特解， r ? r ( A ) 为系数矩阵的秩， ? 1 , ? 2 , ? , ? n ? r 为它的导出组（与它对应的）齐次方程组??A X ? 0 的基础解系.例 10 设 3 元非齐次线性方程组 A x ? b 的两个解为 ? ? (1, 0, 2) , ? ? (1, ? 1, 3) ，且系数矩阵 A 的秩 r ( A ) ? 2 ，则对于T T任意常数 k , k 1 , k 2 , 方程组的通解可表为（）A . k 1 (1, 0, 2 ) ? k 2 (1, ? 1, 3)TTB . (1, 0, 2 ) ? k (1, ? 1, 3)TTC . (1, 0, 2) ? k (0,1, ? 1)TTD . (1, 0, 2) ? k (2, ? 1, 5)TT测试点 1.非齐次线性方程组的通解的公式; 2.非齐次方程组解的性质 3.齐次方程组的基础解系的概念 解 因为 ? ? (1, 0, 2) , ? ? (1, ? 1, 3) 都是非齐次方程组 A x ? b 的解，故 ? ? ? ? (0,1, ? 1)T T T是它的导出组 A x ? 0 的解，又因为 A x ? 0 为 3 元方程组， r ( A ) ? 2 ，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解 都是它的基础解系，故 ? ? ? ? (0,1, ? 1) 就是它的基础解系，又 ? ? (1, 0, 2 ) 是非齐次方程组 A x ? b 的解，所以T T(1, 0 , 2 ) ? k ( 0 , 1, 1) A x ? b 的通解. ? 为T T答案 C=3 ? x1 ? 2 x 2 ? ? 4 x1 ? 7 x 2 ? x 3 ? 1 0 例 11 设 3 元非齐次线性方程组 ? x 2 ? x3 ? b ? ? 2 x ? 3 x ? ax ? 4 2 3 ? 1(1) 试判定当 a , b 为何值时,方程组有无穷多个解? (2) 当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示). 测试点 线性方程组的讨论?1 ? 4 解A ? ? ?0 ? ?2 ?1 ? 0 ?? ? ? ?0 ? ?02 7 1 3 2 1 0 00 1 ?1 a 0 ?1 a ?1 03? ( 2 ) ? ( ? 4 )(1) ? 10 4 ) ( ?2 ? ? (?? ? )(1) ?? ? b ? 4? 3 ? ? 2 ? 0 ? ? b ? 2??1 ? 0 ? ?0 ? ?02 ?1 1 ?10 1 ?1 a3 ? ? ?2 ? ?? ? b ? ? ?2 ??1 ? 0 ? ?0 ? ?02 1 0 00 ?1 0 a ?13 ? ? 2 ? b ? 2? ? 0 ?- 24 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义所以 当 b ? 2 , 即 b ? 2 ? 0 时,方程组无解; 当 b ? 2, a ? 1, 即 b ? 2 ? 0, a ? 1 ? 0 时方程组有惟一解; 当 b ? 2, a ? 1 即 b ? 2 ? 0, a ? 1 ? 0 时,方程组有无穷多解.这时? ? 1? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数, x 3 为自由未知数,取 ? ? 2 , 为方程组的特解, ? ? ? 0 ? ? ????2? ? ? ? ? 1 为其导出组的基础解系.故方程组的通解为 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? ??2? ? ? ? ? x ? ? ? C? ? 2 ? C 1 . ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ??例 12 设向量 ? ? ( 2,1, b ) 可以由向量组 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? ( 2, 3, a ) 线性表示,则数 a , b 应满足的条件是 A. a ? b ? 4 解析 考察方程 ?TB. a ? b ? 0T TC. a ? b ? 4D. a ? b ? 0? x1? 1 ? x 2? 2 ,其增广矩阵为??T 1?2T?T?2 1 0?1 ? ? 1 ? ?1 ?2 3 a 22? ?1 ? ? 1 ? 0 ? ? ?0 b? ? ?2 1 a?2 2 1 0? ? ?1 ? ? b ? 2? ? 2 ? ? ?1 ? a ?b ? 4? ? 2答案 C?1 ? ? 0 ? ?0 ?? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? b ? 2 ? a ? 2? ?0 ? ?故方程组有解时,必有 a ? b ? 4第五章 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的定义 要点： ? 是 n 阶方阵 A 的特征值，是指存在非零列向量 ? ，使得 A? ? ? ? .这时，称 ? 为矩阵 A 属于特征值 ? 的特征向 量.由此知， ? 是 n 阶方阵 A 的特征值 ? ? E ? A ? 0 ，这时，齐次方程组 ( ? E ? A ) x ? 0 的非零解都是矩阵 A 属于特 征值 ? 的特征向量. 例 1 设 A 为 3 阶矩阵, E 为 3 阶单位阵,若行列式 2 E ? 3 A ? 0 ,则 A 的一个特征值为 A. 【 】3 2B.2 3C. ?2 3D. ?3 2测试点? 为 A 的特征值的充分必要条件是 ? E ? A ? 0 .- 25 - 华夏大地教育网?解http//:www.edu -edu.com.cn2 3 E ? A ? 0, 所以 A 必有一个特征值为《线性代数》串讲讲义2 3. 答案 B因为 2 E ? 3 A ? 0 ,故?1 ? 例 2 已知矩阵 A ? 0 ? ?1 ?测试点0 1 01? ? 0 的一个特征值为 0 ，则 x ? ____________. ? x? ?? 为 A 的特征值的充分必要条件是 ? E ? A ? 0 .0 1 0答案解?1 ? 0 为矩阵 A ? 0 ? ?1 ?1 1? ? 0 的一个特征值 ? A ? 0 ? 1 x? ?10 1 01 0 ? x 1 1 1 x ? x ?1 ? 0故x ?1.例 3 设 3 阶矩阵 A 的每行元素之和均为 2,则 A 必有一个特征值为.? a1 1 ? 测试点 1.特征值的定义 2. a 2 1 ? ? a 31 ?解a1 2 a 22 a 32a1 3 ? ? a 23 ? a 33 ? ??1 ? ? a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 ? ? ? ? ? 1 ? a ? a 22 ? a 23 ? ? ? 21 ? ?1 ? ? a 3 1 ? a 3 2 ? a 3 3 ? ? ? ? ?因为 3 阶矩阵 A 的每行元素之和均为 2,? a1 1 ? A x ? a 21 ? ? a 31 ?a1 2 a 22 a 32a1 3 ? ? a 23 ? a 33 ? ??1 ? ? a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? a ? a 22 ? a 23 ? 2 ? 2 1 ? 2 x. ? ? ? 21 ? ? ? ? ? ?1 ? ? a 3 1 ? a 3 2 ? a 3 3 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?答案所以 A 必有一个特征值为 2 .2?1 ? 0 例 4 设矩阵 A ? ? ?0 ? ?0A． 1 B． 21 2 0 01 1 3 01? ? 1 ? ，则 A 的线性无关的特征向量的个数是（ 1? ? 3?C． 3 D． 4）解 A 的特征值为 ?1 ? 1, ? 2 ? 2, ? 3 ? ? 4 ? 3 ，当 ? 3 ? ? 4 ? 3 时，?3 ? 1 ? 0 3E ? A ? ? ? 0 ? ? 0?1 3?2 0 0?1 ?1 3?3 0?1 ? ?2 ? ? ?1 0 ?? ? ?1 ? ?0 ? ? 3 ? 3? ?0?1 1 0 0?1 ?1 0 0? 1? ? ?1 ? ? 1? ? 0 ?所以 r (3 E ? A ) ? 3 ，故 (3 E ? A ) x ? 0 的基础解系只含一个解，这表明 A 只有一个属于特征值 3 的线性无关的特征向量， 故 A 的线性无关的特征向量的个数是 3 . 2．关于特征值、特征向量的性质 1） A 与 A 有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量； 2）设 ? 1 , ? 2 都是矩阵 A 属于特征值 ? 的特征向量， k 1 , k 2 是数，只要 k 1? 1 ? k 2? 2 ? 0 ，则 k 1? 1 ? k 2? 2 也是矩阵 A 属于 - 26 T答案C 华夏大地教育网?特征值 ? 的特征向量； 3) 设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值为 ?1 , ? 2 , ? , ? n ,则http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义(1) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? trA ? a11 ? a 22 ? ? ?(2) ?1 ? 2 ? ? n ? A . 4）矩阵 A 属于不同特征值的特征向量线性无关; 5 ） 设 ? 是 矩 阵 A 属 于 特 征 值 ? 的 特 征 向 量 ， 则 ? 是 矩 阵 f ( A ) 属 于 特 征 值 f (? ) 的 特 征 向 量 ， 其 中f ( x ) ? a 0 x ? a1 xkk ?1? ? ? ak .6)设 ? 是可逆矩阵 A 的特征值.则 ? ? 0 ，且1?是矩阵 A?1的特征值.3．特征值、特征向量的求法 例 5 设 n 阶矩阵 A 有一个特征值为 ? 2 ,对于 n 阶单位矩阵 E ,矩阵 A ? 2 E 必有一个特征值为 . 解f ( A) ? A ? 2 E , 则 f ( x) ? x ? 2 , 因 为 A 有 一 个 特 征 值 为 ? 2 , 故 A ? 2 E 必 有 一 个 特 征 值 为f ( ? 2) ? ? 2 ? 2 ? ? 4例 6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，已知 A 有一个特征值为 2 ，则 ( 2 A ) 测试点 若 ? 为可逆矩阵 A 的一个特征值，则?1必有一个特征值为_____________.1?为矩阵 A?1的特征值.解因为 A 有一个特征值为 2 ，故 2 A 有一个特征值为 4 ,所以 ( 2 A )2?1必有一个特征值为1 4.答案1 4.例 7 已知 A 是 n 阶矩阵，且满足方程 A ? 2 A ? O ,证明 A 的特征值只能是 0 或 ? 2 . 测试点 设 ? 为 A 的特征值， f ( A ) ? a m Am? a m ?1 Am ?1? ? ? a 0 E ，则 f ( ? ) 为矩阵 f ( A ) 的特征值. O 矩阵的所有特征值均为 0. 证2设 ? 为 A 的特征值，则 ?22? 2 ? 必为 A ? 2 A 的特征值，又因为2A ? 2 A ? O ，故 ? ? 2 ? ? 0 ，故必有 ? ? 0 或 ? ? ? 2 .证毕二、相似矩阵 1.相似矩阵的定义 设 A , B 都是 n 阶方阵，如果存在可逆阵 P , 使得 B ? P 2. 相似矩阵的性质 1)反身性，对称性，传递性； 2）若方阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值， （但不一定有相同的特征向量）进而 A ? B ? ?1 ? 2 ? ? n , ，且?1A P ，则称 A 与 B 相似.trA ? trB ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ,其中 tr A 表示矩阵 A 的迹，即 trA ? a1 1 ? a 2 2 ? ? ? a n n , ?1 , ? 2 , ? , ? n 为方阵 A 的 n个特征值； 注意：反之，若 A 与 B 有相同的特征值， A 与 B 不一定相似；例如 A ? ? 不相似. - 27 -?1 ?00? ?1 ?,B ? ? 1? ?01? ? 有相同的特征值，但 A 与 B 1? 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn【《线性代数》串讲讲义】例 8 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似,且已知 A 的特征值为 0 ,1, 2 , 则矩阵 B 的迹 tr ( B ) ? A. 3 B. 2 C.1 D.0测试点 1. 相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同； 2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系. 解 由已知 B 的特征值也为 0 ,1, 2 , 故 B 的迹 tr ( B ) ? 0 ? 1 ? 2 ? 3?1答案 =（ ）A例 9 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且已知 A 的特征值为 2, 2, 3 . 则 B A．1 12B．1 7C．7D．12测试点 (1) 相似矩阵的特征值相同; (2)设 ? 为矩阵 A 的一个特征值,则 f ( ? ) 为矩阵 f ( A ) 的特征值; (3)矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系. 解 因为 3 阶矩阵 A 与 B 相似,所以 B 与 A 有相同的特征值,所以 B 的特征值为 2, 2, 3 ,故?11?为矩阵 A?1的特征值.B的特征值为1 1 1 1 1 1 1 ?1 , , . 从而 B ? ? ? ? . 2 2 3 2 2 3 12答案A例 10 若 2 阶矩阵 A 相似于矩阵 B ? ??2 ?2C． ?0 ? ? ， E 为 2 阶单位矩阵，则与矩阵 E ? A 相似的矩阵是（ ?3 ? ? ?1 ? ?2 0? ? 4?D． ?）A． ??1 ?10? ? 4?B． ?? ?1 ? 10 ? ? ?4 ?? ?1 ? ?20 ? ? ?4 ?测试点相似矩阵的概念；相似矩阵的性质（若 A 与 B 相似，则 f ( A ) 与 f ( B ) 相似；相似矩阵有相同的特征值等） ；三角形矩阵的特征值 解1?1 E ?B ?? ?00? ?2 ??? 1? ?20 ? ? ?1 ??? ?3 ? ? ?20? ? ，故 E ? B 的特征值为 ?1 ? ? 1, ? 2 ? 4 .因为 A 与 B 相似，故 E ? A 4?与 E ? B 相似，所以，凡与矩阵 E ? A 相似的矩阵的特征值都是 ? 1, 4 ，故在 A,B,C,D 四个选项中，正确的只能是 C. 解2 因为二阶方阵 E ? A 有两个不同的特征值，故 E ? A 与对角阵 ?? ?1 ? 00? ? ?1 ? 相似，同理 ? 4? ? ?20? ? ?1 ? 也与对角阵 ? 4? ? 00? ? 相似， 4?故 E ? A 与?? ?1 ? ?20? ? 相似. 4?答案C3.方阵 A 的对角化问题 1)n 阶方阵 A 能与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量；设 ?1 , ? 2 , ? , ? n 是方阵 A 的 n 个特征值，p1 , p 2 , ? , p n 依次是方阵 A 的属于特征值 ?1 , ? 2 , ? , ? n 的 n 个线性无关的特征向量.若令 P ? ? p1- 28 -p2?p n ? ，则 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn? ?1 ? 0 ?1 P AP ? ? ?? ? ?0 0 ? ? ? ?《线性代数》串讲讲义?2? 00 ? ? 0 ?. ? ? ? ?n ?2）若方阵 A 有 n 个不同的特征值（即特征方程无重根） ，则 A 必能与对角阵相似.（这是 A 能与对角阵相似的充分条件，不 是必要条件） 例 11 n 阶矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是（ A 矩阵 A 有 n 个特征值 答案 例12 B 判断 A ? ? ） D 矩阵 A 的特征多项式没有重根B 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 C A ? 0?1 ?01? ? 能否与对角阵相似. 1? ?1 ? ?0 ? ? ? 1 ? 1? ? 0 ? 1? ?0 ?? ? 0 ? ?0 ?1 ?0 1? ? 0? 1? ? 只有一个线性无关的特征向量，故 1?解析?1 ? 1 E ? A? ? ? 0故 ( E ? A ) x ? 0 的基础解系只含一个解，即 A ? ??1 A? ? ?01? ? 不能与对角阵相似. 1?例 13 A 为三阶矩阵， 0, ? 1,1 为它的三个特征值, 其对应的特征向量为 p1 , p 2 , p 3 。设 P ? 错误的是（?1? p1p2p 3 ? ，则下列等式）A P?0 ? AP ? 0 ? ?0 ? ?0 ? AP ? 0 ? ?0 ?0 ?1 00? ?0 ? ? 0 B. A ? P 0 ? ? ?0 1? ? ?0 ?1 00? ? ?1 0 P ? 1? ?C. P?1?0 ? AP ? 0 ? ?0 ?0 1 00 ? ? 0 ? ? 1? ?D. A? 1 ? 0解析因为 p1 , p 2 , p 3 依次是矩阵 A 属于特征值 0, ? 1,1 的特征向量，故0 ?1 0P?10? ?0 ? ? ?1 0 ,所以 P A P ? 0 ? ? ?0 1? ? ? ?10 3 00 1 00 ? ? 0 . ? ? 1? ?答案 C??4 ? 例 14 设矩阵 A ? 1 ? ? 6 ?解0? ? ?1 0 ，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 D ，使得 P A P ? D . ? 0? ?(1)求 A 的特征值和线性无关的特征向量??4 ?E ? A ??1 ?6所以 A 的特征值为 (2) 当 ?1 ? 0 时100 0 ? ? ( ? ? ? ? 2 ) ? ? ( ? ? 2 )( ? ? 1) .2? ?30??1 ? 0, ? 2 ? ? 2, ? 3 ? 1 .- 29 - 华夏大地教育网?? 4 ? ? E ? A ? ?1 ? ??6 ?http//:www.edu -edu.com.cn10 ?3 0 0? ? 0 ?? ? ? 0? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 0 5 3 0? ? 0 ?? ? ? 0? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 0 5 3 0? ? 0 ?? ? ? 0? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 0 1 0《线性代数》串讲讲义0? ? 0 ? 0? ??0 ? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数,取 x 3 为自由未知数,得 p 1 ? 0 为齐次方程组 ( 0 E ? A ) x ? 0 的基础解系.故为 A 属于特征值 ? ? ?1 ? ? ?? 1 ? 0 的特征向量.当 ?2 ? ?2 时? 2 ? ? E ? A ? ?1 ? ??6 ?10 ?5 00 ? ? 0 ?? ? ? ?2 ? ??1 ? 0 ? ?0 ?5 0 150 ? ? 0 ?? ? ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?5 15 00 ? ? ?1 ? 0 ? ???5? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数,取 x 3 为自由未知数,得 p 2 ? 1 ? ? ?15 ? ? ?当 ?3 ? 1 时? 5 ? ? E ? A ? ?1 ? ??6 ?10 ?2 00? ? 0 ?? ? ? 1? ?? 1 ? ?1 ? ??6 ?2 ?2 00? ? 0 ?? ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?2 12 00? ? 1 ? 0? ?? 2 ? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数,取 x 3 为自由未知数,得 p 3 ? ? 1 ? ? ? ? ?1 2 ?取P ?? p1?1p2p3 ??0 ? ? 0 ? ?1 ??5 1 152 ? ?0 ? ? ?1 , D ? 0 ? ? ?0 12 ? ? ?0 ?2 00? ? 0 , ? 1? ?则有 PAP ? D. .??4 ? 验算 只要检查 A P ? 1 ? ? 6 ? ?0 ? PD ? 0 ? ?1 ?所以?10 3 0 0 ?2 0?10? ? 0 ? 0? ??0 ? 0 ? ?1 ??5 1 15 10 ?2 ?302 ? ?0 ? ? ?1 ? 0 ? ? 12 ? ?0 ? ? 2 ? ? ?1 ? 12 ? ?10 ?2 ?302 ? ? ?1 ? 12 ? ??5 1 152 ? ? ?1 ? 12 ? ??0 ? 0 ? ?0 ?0 ? ?0 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ?0 ? ?A P ? P D ，从而 PAP ? DT例 15 设 3 阶矩阵 A 的特征值为: ?1 ? 1, ? 2 ? ? 3 ? 2, 且已知 A 属于特征值 ?1 ? 1 的特征向量为 ? 1 ? (0,1, ? 1) ; A 属于特 - 30 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cnT T《线性代数》串讲讲义征值 ? 2 ? ? 3 ? 2 的特征向量为 ? 2 ? (1, 0, 0 ) , ? 3 ? (0,1,1) .求矩阵 A . 测试点 关于 n 阶方阵 A 与对角阵相似的公式:设 ?1 , ? 2 , ? 3 为三阶方阵 A 的三个特征值, ? 1 , ? 2 , ? 3 依次为 A 属于特征值?1 , ? 2 , ? 3 的线性无关的特征向量,则令? ?1 ? AP ? 0 ? ?0 ? 0 0 ? ? 0 ? ?3 ? ?P ? ?? 1?2?3?有P?1?20故? ?1 ? A? P 0 ? ?0 ?0?20 ? 0 ? ? 1 ? ??1 ?0 ? ? ?1 0 P ? ?3 ? ? 1 0 0 0? ?1 ? ? 1 ,? ? 0 ? ? ?0 1? ? ? 0 2 0 0? ? 0 . ? 2? ?解 令 P ? ?? 1?2?3?为求 A ,需先求 P?1.?P? 0 ? E?? 1 ? ??1 ?1 0 00 1 11 0 00 1 00? ? 0 ?? ? ? 1? ?? 1 ? 0 ? ??1 ?0 1 01 0 10 1 01 0 00? ? 0 ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?0 1 01 0 20 1 01 0 10? ? 0 ?? ? ? 1? ?? ?1 ? ?0 ? ?0 ?0 1 01 0 10 1 01 0 1 2? 0? ? 0? ?? ? 1? ? 2?? ?1 ? ?0 ? ?0 ?0 1 00 0 10 1 01 2 0 1 2?1? 2? ? 0 ? 1 ? ? 2 ?所以 P?1? ?0 ? ? ?1 ? ?0 ?1 2 0 1 2?1? 2? ? 0 ? 1 ? ? 2 ?? ?0 ? ?1 ? ?0 ? 1 2 0 1 2 ? 1? 2? ? 0 ? ? 0 ?? 1 ? 1 ? ??1 ? ? 2 ? ? ?0 ? ?1 ? ?0 ? 1 2 0 1 2 ? ? 1? ?2 2? ? ? 0 ? ? ?0 ? 1 ? ? ? 2 ? ?0 ? ? 0? ? 1? 2? 3? ? 2?5故A ? P?P?1? 0 ? ? 1 ? ??1 ?1 0 00? ? 1 ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?0 2 00? ? 0 ? 2? ?2 0 00? ? 2 ? 2? ?0 3 2 1 2例 16 已知 2 阶矩阵 A 的特征值为 ? 1 与 2 ，对应的特征向量分别为 ? 1 ? (1, 0 ) , ? 2 ? ( ? 1,1) . 求： （1） A ； （2） AT T? ?1 知识点 利用矩阵与对角阵形似将计算 A 转化为计算 ? ? ? ?0550 ? ? ? 15 ? ? ? ?2 ? ? 050 ? 5 ? ?2 ?- 31 - 华夏大地教育网?解http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义T T因 为 2 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 ? 1 与 2 ， 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 ? 1 ? (1, 0 ) , ? 2 ? ( ? 1,1) . 取P ? ?? 1?2? ? ??1 ?0?1? ? ?1 ?1 ? ，则 P A P ? ? 1 ? ? 0 ?1? ? ?1 ?? 1 ?? 0 0??1 ?? 2??00? ? ,所以 2? 1? ? ?1 ??? 1? ? 0 ?3 ? ?. 2 ?0 ? ?1 ? ?1 ?P ? P? 2? ? 0 0? ?1 ? P 2?5? ?1 A ? P? ? 0? ?1 A ? [P ? ? 050 ? ?1 ? 1 ?P ?? 2? ?00 ? ?1 5 ? ?1 ?P ] ? P? 2? ? 00? ? ?1 ?1 ? (P P) ? 2? ? 00 ? ?1 ? ?1 ?P ?P? 2? ? 0?1 ?? ?0?1? ? ?1 ?? 1 ?? 0 ?10 ??1 ?? 32 ? ? 01? ? ?1 ??? 1? ? 0?33 ? ? 32 ?例 17 设矩阵 A ? ??42? ?5 ?,B ? ? 3? ?2T0 ? T T ? ，存在 ? 1 ? (1, 2 ) , ? 2 ? ( ? 1,1) ，使得 A? 1 ? 5? 1 ? 1?T?1A? 2 ? ? ? 2 ；存在 ? 1 ? (3,1) , ? 2 ? (0,1) , 使得 B ? 1 ? 5 ? 1 , B ? 2 ? ? ? 2 .试求可逆矩阵 P ，使得 P测试点 解 方阵的特征值和特征向量的定义；方阵能与对角阵相似的充分必要条件及其相应的等式 因为 A? 1 ? 5? 1 ， A? 2 ? ? ? 2 ，令 Q 1 ? ? ? 1AP ? B .?2? ? ??1 ?2? 1? ?5 ?1 ? 有 Q1 A Q1 ? ? 1 ? ?00 ? ? ? 1?同理，取 Q 2 ? ? ? 1 故 B ? Q2 ??2? ? ??3 ?10? ?5 ?1 ? ，有 Q 2 B Q 2 ? ? 1? ?00 ? ?， ? 1??5 ?00 ? ?1 ?1 ?1 ? Q 2 ? Q 2 Q 1 A Q 1Q 2 ? 1? ? 1? 1 ?? 1 ? 3 ? 1 ? ??1 0? 1 ?2 ? ? ? 3? 3 ?1 ?3? ?， 3 ?故取?1?1 ?1 P ? Q 1Q 2 ? ? ?2则 P AP ? B . 三.向量的内积和正交矩阵? a1 ? ? b1 ? ? ? ? ? a b ? 2 ? , ? ? ? 2 ? , (? , ? ) ? ? T ? ? a b ? a b ? ? ? a b 1.向量内积的定义:设 ? ? 1 1 2 2 n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an ? ? bn ?2．向量的长度 ? ? 3．单位化向量 ?0(? , ? ) ?a1 ? a 2 ? ? ? a n2 22?? ?4．正交向量组的定义及其性质 定义 如果一个向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（简称两两正交） ，则称该向量组为正交向量组. 正交向量组必线性无关主要性质5 施密特正交化手续 例 18 已知 3 维向量 ? ? (1, ? 3, 2 ) , ? ? ( ? 1, 2, 0 ) , 则内积 (? , ? ) ? ____________.T T测试点内积的定义- 32 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn?7《线性代数》串讲讲义解? ? 1? ? ? (? , ? ) ? (1, ? 3, 2 ) 2 ? ? 7 ? ? ? 0 ? ? ?答案?1 ? ?1 ? ? ? ? ? 例 19 求一个单位向量 ? , 使得 ? 与 ? 1 ? 1 , ? 2 ? 2 都正交. ? ? ? ? ?1 ? ?3? ? ? ? ? ? x1 ? ? ? 解 设 ? ? x 2 与 ? 1 , ? 2 都正交,则 ? ? ? x3 ? ? ?? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 0? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ,单位化得 ? ? ? 可取 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 6 2 6 1 6? ? ? ? ? 即为所求. ? ? ? ?例 20 利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组:?1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1 0 ?1 ? ? ? ， ? 2 ? ? ? . ?0? ?1 ? ? ? ? ? ?0? ?0?测试点 施密特正交化手续? 1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 ? ? , ? ? ? ? k ? ? ? ? (? 2 , ? 1 ) ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 解 取 ?1 ? ? 1 ? 2 2 21 1 2 1 ?0 ? ?1 ? 2 ?0 ? ? 2 ? (?1, ?1 ) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ,?2 ? 2 ?2 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? 1 6 1 6 2 6 0 ? ? ? ? ? 为所求的单位正交向量组. ? ? ? ? ? ?- 33 -?1 ? 则 ?1 ? ?1 华夏大地教育网?验算 6. 正交矩阵 1）正交矩阵的定义；如果 n 阶方阵 A 满足 A AThttp//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义? E ，则称它为正交阵?12）正交矩阵的性质：设方阵 A 为正交阵，则 A ? ? 1; A 必可逆，且 A? A ；T n如果 A , B 都是 n 阶正交阵，则 A B 也是正交阵； A 是正交阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量组构成 R 的标准正交基. 四．实对称矩阵的相似标准形 1．实对称矩阵的特征值都是实数； 2．实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；?13．实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵 P ，使得 PA P 为对角形.?1 4．任给实对称阵 A ，如何求出正交阵 P ，使得 P A P 为对角形.例 21 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ? 2 ? 0, ? 3 ? 2 ，则秩 ( A ) =（ A． 0 测试点 1.相似矩阵与等价矩阵的概念; 2.等价矩阵有相等的秩; 3.阶梯形矩阵的秩 B． 1 C． 2 D． 3）?2 ? 解 因为 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ? 2 ? 0, ? 3 ? 2 ,故矩阵 A 必与对角阵 0 ? ?0 ? ?2 ? 0 ? ?0 ? 0 0 0 0? ? 0 等价,所以秩 ( A ) ? 1 . ? 0? ??1 ?20 0 00? ? 0 相似,所以 A 必与对角阵 ? 0? ?答案B例 22 设矩阵 A ? ?2? ?1 ? ，求正交矩阵 P ，使 P A P 为对角矩阵. 1?解(1)?E ? A ?? ?1?2?2? ?1? ( ? ? 1) ? 2 ? ( ? ? 1)( ? ? 3)2 2所以 A 的所有特征值为 ?1 ? ? 1, ? 2 ? 3 . (2)当 ?1 ? ? 1 时, ? E ? A ? ? E ? A ? ???2 ??2?2? ?1 ? ? ?? ? ?2? ?01? ? 0?取 x 1 为约束未知数, x 2 为自由未知数, p 1 ? ? 值 ?1 ? ? 1 的特征向量. 当 ? 1 ? 3 时, ? E ? A ? 3 E ? A ? ?? 1 ? ? 1 ? ? 为齐次方程组 ( ? E ? A ) x ? 0 的基础解系.故 p 1 ? ? ? 为 A 属于特征 ? ? 1? ? ? 1?? 2 ??2?2 ? ? ? ?? 2 ? ?1 ? ?1 ??1 ? ?0? 1? ? 0 ? ?1 ? ?1 ?取 x 1 为约束未知数, x 2 为自由未知数, p 2 ? ? ? 为齐次方程组 (3 E ? A ) x ? 0 的基础解系.故 p 2 ? ? ? 为 A 属于特征值? 1 ? 3 的特征向量.- 34 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn? 1 ? ? ? 2 ? ,则 P ? ? p1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2?? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? ? 2 ?《线性代数》串讲讲义1 ? ? 2 ? 正交阵, 1 ? ? 2?? (3) p1 ?p1 p1? 1 ? ? ? 2 ? , p2 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2? ?0? ? 3?(请验算!)p2 p2? p2 ?且P?1??1 AP ? ? ? 0第六章 一. 二次型及其矩阵表示T实二次型f ( x1 , x 2 , ? x n ) ? x A x ,称矩阵 A 的秩为该二次型的秩2 2 2例 1 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? x 1 ? x 2 ? x 3 ? 2 x 1 x 2 ? 4 x 1 x 3 的矩阵为（）?1 ? A． 2 ? ?4 ?测试点2 1 04? ?1 ? ? 0 B． 0 ? ? ?0 1? ? ?2 1 0?1 4? ? ? 0 C． ? 1 ? ?2 1? ? ?答案 C]1 1 02? ? 0? 1? ??1 ? 1 D． ? ?0 ?1 1 20? ? 2? 1? ?二次型的矩阵? 2 ? 例 2 已知二次型的矩阵为 1 ? ? ??1f ( x1 , x 2 , x 3 ) 为测试点 解1 3 4? 1? ? 4 ,则以它为矩阵的二次型 ? ? 5 ?.二次型的矩阵以及实对称矩阵的二次型所求二次型为f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 8 x 2 x 32 2 2二．矩阵的合同设 A 与 B 都是 n 阶方阵.如果存在可逆矩阵 P , 使得 B ? P A P ，则称 A 与 B 合同.TT对 于 二 次 型 f ( x1 , x 2 , ? x n ) ? x A x ， 做 非 退 化 的 线 性 变 换 变 换 x ? P y （ 其 中 P 为 可 逆 阵 ） 则f ( x1 , x 2 , ? x n ) ? x A x ? y ( P A P ) y ,可见经非退化的线性变换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。T T T三．用正交变换化二次型为标准形 1 定理 对任意实二次型 f ( x 1 , x 2 , ? , x n ) ? x A x ，总存在正交变换 x ? P y ，使得该二次型化为标准型Tf ( x1 , x 2 , ? , x n ) ? ?1 y1 ? ? 2 y 2 ? ? ? ? n y n ，2 2 2其中 ?1 , ? 2 , ? , ? n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征值. 此定理说明：对任意实对称矩阵 A ，总存在正交阵 P ，使得? ?1 ? 0 T P AP ? ? ?? ? ?00? ? ? ??2? 00 ? ? ? ? ? ? ? ?n ?其中 ?1 , ? 2 , ? , ? n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征值.（即实对称矩阵 A 必能与对角阵- 35 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn? ?1 ? 0 ? ? ? ?? ? ?0 0 ? ? ? ?《线性代数》串讲讲义?2? 00 ? ? 0 ? ? ? ? ?n ?合同. 2. 要掌握用正交变换化二次型为标准形（平方和）的方法. 例 3 已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x 1 x 2 ? 2 x 1 x 3 ? 2 x 2 x 3 ，求一正交变换 x ? Py ，将此二次型化为标准形． 测试点 用正交变换将二次型化为标准形的方法步骤?0 ? 解 该二次型的矩阵为 A ? 1 ? ?1 ?求矩阵 A 的特征值和特征向量1 0 11? ? 1 ? 0? ?? ? E ? A ? ?1?1?1?1??2 ??2?1 0?1?11?1?1 ?1 ???1?1 ? ? ? 2??1? 1 ? (? ? 2 ) 1??1??1?1?1 ? (? ? 2) 0 0令? ?10? ( ? ? 2 )( ? ? 1) ，2? ?1? E ? A ? 0, 得矩阵 A 的特征值 ?1 ? ? 2 ? ? 1, ? 3 ? 2 .??1 ? ?1 ? ? 2 ? ? 1 时， ? E ? A ? ? 1 ? ??1 ? ?1 ?1 ?1 ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 1 0 0 1? ? 0 ? 0? ?当? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 得 齐 次 方 程 组 ( ? E ? A ) x? 0 的 基 础 解 系 为 p 1 ? 1 , p 2 ? 0 ， 这 表 明 p1 , p 2 为 矩 阵 A 的 属 于 特 征 值 ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ??1 ? ? 2 ? ? 1 的两个线性无关的特征向量.? 2 ? 当 ? 3 ? 2 时， ? E ? A ? ? 1 ? ? ??1?1 ? ?? 0 ? ? ? ?0 1 3 ?3?1 2 ?1? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ??1 ? 0 ? ? ?0? 1 ? ?1 ? ? ? 21 1 01 2 ?1?2 ? ? ?1 ? ? 0 ??2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1??2? ? ?3 ? ? ? ? ? 3 ??1 ? ? ? 得齐次方程组 ( ? E ? A ) x ? 0 的基础解系为 p 3 ? 1 ，故 p 3 为矩阵 A 的属于特征值 ? 3 ? 2 的特征向量. ? ? ? ? ?1 ?- 36 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义? 1? ?? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ( p2 ,? 1 ) ? ? 1 ? ? ? 1? 将 p1 , p 2 正交化，令 ? 1 ? p 1 , ? 2 ? p 2 ? ?1 ? 0 ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? (? 1 , ? 1 ) ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 ? ? ?2 1 ? ? ,? ? ? ?? ? 2 ?2 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 6 ? 1 ? ? , ?3 ? 6 ? 2 ? ? 6 ? ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? ?. 3 ? ? ? 1 ? ? ? ? 3?单位化取 ? 1 ??1 ?1p3 p3得正交阵 P ? ? ? 1?2?3?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 0? ?1 6 1 6 2 61 ? ? 3 ? 1 ? ? ，当 x ? P y 时，原二次型化为标准形 3 ? 1 ? ? 3?f ? ? y1 ? y 2 ? 2 y 3 .2 2答案? ?? ? ? P ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 02? ?1 6 1 6 2 621 ? ? 3 ? 1 ? ? ，当 x ? P y 时，原二次型化为标准形 3 ? 1 ? ? 3?2f ? ? y1 ? y 2 ? 2 y 3 .四. 配方法化二次型为标准形（平方和）. 例 4.用配方法求二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? x1 ? 4 x 2 ? x 3 ? 2 x1 x 3 ? 4 x 2 x 3 的标准形，并写出相应的线性变换。 测试点 解 用配方法求二次型的标准形2 2 2222f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? x 1 ? 4 x 2 ? x 3 ? 2 x 1 x 3 ? 4 x 2 x 3? x1 ? 2 x1 x 3 ? x 3 ? 4 x 2 ? 4 x 2 x 32 2 2? ( x1 ? x 3 ) ? [(2 x 2 ) ? 2(2 x 2 ) x 3 ? x 3 ] ? x 32 2 22? ( x1 ? x 3 ) ? (2 x 2 ? x 3 ) ? x 32 22? y 1 ? x1 ? x 3 ? 2 2 2 令 ? y 2 ? 2 x 2 ? x 3 ，得二次型的标准形 f ? y1 ? y 2 ? y 3 . ?y ? x 3 ? 3相应的线性变换为 x 3 ? y 3 , x 2 ?1 2( y 2 ? y 3 ), x1 ? y1 ? y 3 ，- 37 - 华夏大地教育网??1 ? x1 ? ? ? ? x ? x2 ? ? 0 ? ? ? ? x3 ? ? ? ? ?0http//:www.edu -edu.com.cn0 1 2 0 1 ? ? ? y1 ? 1 ? ? ? ? y2 . 2?? ? ?y ? 1 ?? 3? ?《线性代数》串讲讲义即例 5 用配方法求二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 6 x 2 x 3 的标准形，并写出相应的线性变换.? x1 ? y 1 ? y 2 ? 解 令 ? x 2 ? y1 ? y 2 ?x ? y 3 ? 3则原二次型f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 6 x 2 x 3 ?? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 2 ( y1 y 3 ? y 2 y 3 ) ? 6 ( y1 y 3 ? y 2 y 3 ) ?2 2? 2 y1 ? 2 y 2 ? 4 y1 y 3 ? 8 y 2 y 32 2? 2 ( y1 ? 2 y1 y 3 ? y 3 ) ? 2 y 2 ? 8 y 2 y 3 ? 2 y 3 ?2 2 2 2? 2 ( y1 ? y 3 ) ? 2 ( y 2 ? 2 y 3 ) ? 6 y 3 }
线性代数-本科教材-第6章二次型
来源：DOCIN &责任编辑：李志 &时间: 10:21:41
线性代数到底有什么用？问：非常非常地不好意思，本人也是大学毕业，也学过线性代数，考试也及格了...答：线性代数是一个很神奇的东西，线性代数方法是使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。其实，所有的高深数学究其根本都离不开线性代数甚至是矩阵。只是我...线性代数里面的E与|E|有什么不一样答：E:指的是单位矩阵，比如：0001|E|：指的是单位矩阵的行列式，其值为1在线性代数中什么叫做“迹”问：在线性代数中什么叫做“迹”答：矩阵A的全体特征值之和成为矩阵的迹，记为tr(A)tr(A)又等于矩阵A的主对角线上元素之和线性代数-本科教材-第6章二次型(图3)线性代数-本科教材-第6章二次型(图7)线性代数-本科教材-第6章二次型(图9)线性代数-本科教材-第6章二次型(图11)线性代数-本科教材-第6章二次型(图16)线性代数-本科教材-第6章二次型(图18)线性代数的重点和难点问：要考试了，平时上课老是走神，不挂科就行了答：1行列式与矩阵的变化、运算、求解。尤其是逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵。2矩阵的正交。3二次型的求解，正定二次型。4方程组有解的条件5向防抓取，学路网提供内容。==========以下对应文字版==========线性代数adj什么意思如adj（sI-A)答：adj表示伴随矩阵。矩阵A的伴随矩阵即由A中各元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵。以三阶矩阵为例：a11a12a13a21a22a23a31a32a3防抓取，学路网提供内容。二次型本章重点 正定二次型和正定矩阵的概念、判断和性质本章难点 正定二次型的性质6.1 二次型的矩阵表示 (6.1)称为数域P 元二次型（简称二次型）．注意：(6.1)中 ）的系数写成2ij ，而不是简单地写成ij ,其目的是更加方便地用我们已熟悉的矩阵来研究二次型． 6.1 二次型的矩阵表示 【定义6.1】设 是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 (6.2)称为由 的一个线性变换（简称线性变换）．如果系数行列式11 12 2122 ，则称线性变换(6.2)是非退化的．易知，若把(6.2)代入(6.1)，那么就会得到关于 的多项式仍然是二次齐次的．也就是说，线性变换把二次型变成二次型． 6.1 二次型的矩阵表示 为了用我们已熟知的矩阵来研究二次型，下面我们就来给出二次型的矩阵表示，为此先 ijji (6.3)把(6.3)的系数排成一个n 矩阵11 12 2122 称为二次型(6.1)的矩阵．6.1 二次型的矩阵表示
这说明二次型可以用矩阵的乘积表示出来．6.1 二次型的矩阵表示 我们知道，经过一个非退化的线性变换，二次型还是变成二次型．现在就来看一下，替 换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型 的矩阵之间的关系． 对二次型 ．现在来看B与A的关系． AC也是对称矩阵．由此，有 就是前后两个矩阵的关系．6.1 二次型的矩阵表示 【定义6.2】数域P 矩阵A与B称为合同的，如果有数域P 上可逆的n 【定理6.1】二次型 后得到一个新的二次型 即新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同．注意：在变换二次型时，我们总是要求所作的线性变换是非退化的． 6.2 标准形 只包含平方项的二次型是二次型中最简单的一种，称为标准形．本节讨论如何将一个二 次型化为一个标准形的问题． 6.2.1 配方法 【定理6.2】数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换变成标准形，如： 证明：我们用数学归纳法来证明 时，定理显然成立．现在假设定理对 个变量的二次型已成立，我们证明对n个变量也成立．设 6.2标准形 其中 12 ijij ji 的二次型．由归纳假设 6.2标准形 其中 .2标准形 ，那么我们可以先作一个变量的非退化线性替换，使变换后新的第一个变量的平方项的系数不为零(只要二次型不恒为零)． 事实上，若 11 ，则只需改变变量的足标即可．但如果11 6.2标准形 原二次型的矩阵A合同于对角矩阵D= 的关系，可由连续替换时矩阵相乘的关系得到．例如在证明中 11 6.2标准形 反之，矩阵为对角形则二次型就只含平方项．经非退化的线性变换，二次型的矩阵变到 一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理6.2 可以叙述为 【定理6.3】在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵．即对于任意一个 对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C AC为对角矩阵． 下面我们举例来说明如何化二次型为标准形： 【例6.1】化二次型 为标准形．6.2 标准形 6.2标准形 是平方和，而这几次线性变换的结果相当于一个总的线性变换 6.2标准形 6.2.2 正交变换法 因为A为实对称矩阵,所以存在正交矩阵P 6.2标准形 【定理6.4】任给实二次型 是A的特征值.【例6.2】试求一正交变换 化成标准形.解：二次型 6.2标准形 6.2标准形 6.2标准形 6.2.3 初等变换法 求可逆矩阵C 施行行变换 整体施行 同类列变换 6.2 标准形 【例6.3】用初等变换法化 行变换同类列变换 可逆变换 6.3唯一性 我们看到，经过非退化的线性变换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵．而合同的 矩阵有相同的秩，即经过非退化的线性变换后，二次型矩阵的秩是不变的．标准形的矩阵是 对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数．因此，在一个二次型的 标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性变换无关．二 次型矩阵的秩有时也称为二次型的秩． 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的．这说明，在一般的数域内，二次型的标准形 不是唯一的，而与所作的非退化线性变换有关． 6.3 唯一性 下面我们就复数域和实数域的情况来进一步讨论唯一性的问题．先看复数域的情形． 可以变成标准形．不妨设它的标准形是 的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性变换就可以变成 (6.5)称为复二次型 的规范形．显然，规范形完全被原二次型的秩所决定6.3 唯一性 【定理6.5】任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性变换可以变成规范形； 且规范形是唯一的． 即任一复数的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1 的元素个 数等于该二次型的秩，其余元素均为零．故两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的 秩相等． 再来看实数域的情况． 是实数域的二次型．经适当的非退化线性变换再适当排列文字的次序，可使 (6.7)称为实二次型 这两个数所决定6.3 唯一性 【定理6.6】任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化线性变换可以变成规范形； 且规范形是唯一的． 【定义 6.3 的符号差．注意：虽然实二次型的标准形不是唯一的，但是标准形系数为正的平方项的个数与规 范形中正平方项的个数是一致的．实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定 的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数． 即实二次型的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1 的元素 个数就是该二次型的正惯性指数， 的个数的和就是该二次型的秩，其余元素为零．故两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正 惯性指数与负惯性指数分别相等． 6.4 正定二次型 考察二次型 这二次型的特点是:不论 具有这种特点的二次型我们称为正定二次型.在数学及其他学科, 如力学, 电学, 物理 等都会经常遇到这种正定二次型. 6.4 正定二次型 【定义6.4】设有实二次型 正定(半正定) 二次型, 并称对称矩阵 是正定(半正定) 矩阵; 并称对称矩阵A是负定(半负定)矩阵．其他情况的二次型称为不定二次型． 【定理6.7】n 为正定的充要条件是它的标准形中的n个系数全 为正（即正惯性指数为n 6.4正定二次型 再证必要性.用反证法, 设有某 为正定二次型的假设矛盾.所以 6.4正定二次型 因为实对称矩阵A存在正交矩阵P 为A的特征值．故有推论1 A正定 A的特征值全正． 又因为 ，故又得推论2 A正定 推论3A正定存在可逆矩阵P 6.4正定二次型 【定理 6.8】(霍尔维茨定理)实对称矩阵A为正定的充分必要条件是: A的各阶顺序主 子式 11
实对称矩阵A为负定的充要条件是:A的奇数阶主子式为负, 而偶数阶主子式为正, 的正定性．6.4 正定二次型 解法一：利用定理6.7 的推论1，求 的特征值．A的特征值为 正定．解法二：用配方法化二次型为标准形 正定．解法三：利用霍尔维茨定理 11 正定．6.4 正定二次型 【例6.5】试求t 为何值时, 二次型 为正定二次型,即A为正定矩阵, 由定理6.8 为正定二次型．6.4 正定二次型 试证明:矩阵 为对称阵.又因为 所以A可逆.从而任给的非零列向量x 为正定阵．本章小结 1．二次型及其标准形 且正平方项数(正惯性指数)惟一，负平方项数惟一．本章小结 等价于：实对称矩阵A，存在可逆矩阵C ，使A合同于对角矩阵． 本章小结2.二次型化为标准形 二次型化为标准形有三种方法，配方法、正交变换法、初等变换法，其中用正交变换 化二次型是本章的重点问题． 实二次型 等价于：对n阶实对称矩阵A，存在正交矩阵C 个列向量是对应于这些特征值的标准正交的特征向量． 本章小结 正定二次型的判别二次型 个顺序主子式全大于零．对于具体矩阵A，主要用A的.线性代数中tr(A)是什么意思答：方阵A的迹tr(A)=a11+a22+...+ann，即等于对角线元素和防抓取，学路网提供内容。线性代数中A'是什么意思答：你那个表示《什么意思》的【关键】标识（右上角那个符号）没有给清楚！因此【不能】知道是什么意思！若是【T】，则是《转置》的意思；若是【-1】，则是《逆》的意思；若是【*】，则是《伴随》的意思；。。。。线性代数的重点和难点问：要考试了，平时上课老是走神，不挂科就行了答：1行列式与矩阵的变化、运算、求解。尤其是逆矩阵、伴随矩阵、转置矩阵。2矩阵的正交。3二次型的求解，正定二次型。4方程组有解的条件5向量组的线性相关与线性无关。线性代数adj什么意思如adj（sI-A)答：adj表示伴随矩阵。矩阵A的伴随矩阵即由A中各元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵。以三阶矩阵为例：a11a12a13a21a22a23a31a32a33首先求出各代数余子式A11=(-1)^2*(a22*a33-a23*a32)=a22*a33-a23*a32A12=...
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线性代数串讲讲义[1]
华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn线性代数串讲 各位同学，大家好！今天我们要对经管类的线性代数进行串讲。对每章的主要知识点进行梳理，选择近年的真题作为例题 进行解析。通过讲解，希望大家进一步深刻理解考试大纲，准确地把握考试的测试点，以更有针对性地复习应考，取得满意的 考试成绩. 改版以后的线性代数试卷的结构是：10 个单选题， （占 20 分） ，10 个填空题（占 20 分） 个计算题（占 54 分）和一个证 ，6 明题（占 6 分）. 按大纲，各章在试卷中所占比例为第一章， 13 分左右；第二章，26 分左右； 第三章， 21 分左右；第四章， 19 分左右；第五章，16 分左右；第六章，5 分左右。但近一年来，这个比例发生了较大变化， 最突出的是第六章所占比例明显加大，都占了 15 分。 值得注意的是，线性代数课的特点是各章联系十分紧密，很多题目不能独立属于某一章，而是具有一定的综合性，另外，由于 试题中有 10 个单选题，10 个填空题，所以考的测试点非常全面，非常细致，随机性也较大。 纵观改版后历年的真题，可以看出经管类线性代数试题的特点是十分基本，主要考核大家基本概念，基本公式，基本方法 的掌握情况.从试题的难易程度来看，考试大纲规定，试题的难度分为：易，中等偏易，中等偏难，难；它们所占分数依次大 致为：20 分，40 分，30 分，10 分。实际执行中，绝大部分试题都是属于直接应用基本概念和基本运算就能得出结果的，只有 少数的试题比较灵活，综合性较强，但其测试点也是我们反复强调的。所以请大家不要紧张，要充满信心，应对考试. 针对上述情况，为了使大家立于不败之地，希望大家在复习中狠抓基本，全面复习，而且要把复习做细. 在复习方法上，建议大家首先对每章的主要知识点认真复习，争取把所涉及到的主要概念，主要定理和公式记住。在此基 础上再听串讲，听例题解析时，听了题目，不要急于听如何作答，先想一想这个题的测试点是什么，你是否能做，试做一下， 若能做，做完后对一下，若不能完全做对，再看问题出在哪，看看老师是如何做的，最后小结一下。我想，只要这样认真地做 了，就一定能取得满意的成绩. 近三次国考试题分布表 09.4 单选题 第一章 行列式 填空题 计算题 证明题 单选题 第二章 矩阵 填空题 计算题 证明题 单选题 第三章 向量空间 填空题 计算题 证明题 单选题 第四章 线性方程组 填空题 计算题 2? 1 2? 2 9? 1 0 2? 3 2? 3 9? 1 0 2? 2 2? 1 9? 1 0 2? 1 2? 1 9? 1 -109.7 2? 1 2? 1 9? 1 0 2? 3 2? 3 9? 1 0 2? 1 2? 1 9? 1 6? 1 2? 2 2? 2 9? 1 09.10 2? 1 2? 1 9? 1 0 2? 4 2? 3 9? 1 0 2? 1 2? 2 9? 1 6? 1 2? 1 2? 1 9? 1《线性代数》串讲讲义 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn证明题 单选题 第五章 特征值和特征向量 填空题 计算题 证明题 单选题 第六章 实二次型 填空题 计算题 证明题 0 2? 1 2? 2 9? 1 6? 1 2? 2 2? 1 9? 1 0 2? 1 2? 2 9? 1 0 2? 2 2? 1 9? 1 2? 2 2? 1 9? 1《线性代数》串讲讲义0 2? 1 2? 2 9? 1各章所占分数与大纲比较 考试大纲 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 13 分左右 26 分左右 21 分左右 19 分左右 16 分左右 5 分左右 09.4 试卷 15 21 15 13 21 15 09.7 试卷 13 21 19 17 15 15 09.10 试卷 13 23 21 13 15 15第一章 一．行列式的定义和性质 1. 余子式 M ij 和代数余子式 A ij 的定义行列式0例 1 行列式1 0 ?1 1?1 1 0 ?11 ?1 1 0C． 1 D． 2 第二行第一列元素的代数余子式 A 2 1 ? （ ）?1 1 ?1A． ? 2 测试点B． ? 1余子式和代数余子式的概念0解析1 0 ?1 1?1 1 0 ?11 ?1 1 0, A 2 1 ? ( ? 1)2 ?1?1 1 ?11 M21?1 0 ?111?1 ?1 01 2 ? ?1 ?1答案 B? ? ?1 11 ? ? 0 0 02．行列式按一行或一列展开的公式 1） A ? a ijn?n?na ij Aij , j ? 1, 2 , ? ( A ? a ijk ? j?ni ?1?aj ?1nijAij , i ? 1, 2 , ? n )k ?i k ?i2）?i ?1? A a ij Aik ? ? ? 0n ? A ; ? a ij A kj ? ? k ? j j ?1 ? 0-2- 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义. 例 2 设某 3 阶行列式的第二行元素分别为 ? 1, 2, 3, 对应的余子式分别为 ? 3, ? 2,1 则此行列式的值为 测试点 解 行列式按行(列)展开的定理2 ?1D ? ( ? 1) ? A2 1 ? 2 A2 2 ? 3 A2 3 ? ( ? 1)( ? 1)? ? 3 ? 4 ? 3 ? ? 10M21? 2 ( ? 1)2? 2M22? 3( ? 1)2?3M23例 3 已知行列式的第一列的元素为 1, 4, ? 3, 2 ，第二列元素的代数余子式为 2,3,4,x 问 x ? 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零..解 因第一列的元素为 1, 4, ? 3, 2 ，第二列元素的代数余子式为 2,3,4,x,故 1 ? 2 ? 4 ? 3 ? ( ? 3) ? 4 ? 2 x ? 0 所以 x ? ? 1 3．行列式的性质 1） AT? A.2）用数 k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的 k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为 0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.a1 1例 4 已知 a 2 1a1 2 a 22 a 32a1 3 a 2 3 ? 3 ，那么 a 33C. ? 62 a1 1 a 21 ? 2 a 312 a1 2 a 22 ? 2 a 32D. 122 a1 3 a 23 ? 2 a33 ?（）a 31A. ? 24 测试点B. ? 12行列式的性质2 a1 1解析2 a1 2 a 22 ? 2 a 32a1 a2 b1 b22 a1 3 a 23 ? 2 a 33a1 a2 c1 c2a1 1 ? 2 ? ( ? 2 ) a 21 a 31=2，则a1 a2a1 2 a 22 a 32b1 ? c 1 b2 ? c2a1 3 a 23 ? ? 1 2 . a 33=（ ） 答案 Ba 21 ? 2 a 31例 5 设行列式 A． ? 3 测试点 解 故应选=1，B． ? 1 行列式的性质C．1D． 3a1 a2Db1 ? c1 b2 ? c 2?a1 a2b1 b2?a1 a2c1 c2?3答案 D二．行列式的计算 1．二阶行列式和三角形行列式的计算. 2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算. 3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式 -3- 华夏大地教育网?1 1 1 2 1http//:www.edu -edu.com.cn1 3 1 1 4 1 1 1《线性代数》串讲讲义例 6 求 4 阶行列式1 1 1的值.测试点行列式的计算1解1 1 2 11 3 1 14 1 1 1 ?1 0 0 01231 0 1 01 2 0 023 49 674 ?3 ?3 ?33 9. 70 ? 1 02 0 0?3 ? 3 ? ( ? 3) ?3 0 1 2 0 ?61 1 1例 7 计算 3 阶行列式249 367123解23 49 673 9 7(1) ? ( ? 1)( 2 )100 ? 200 30023 49 673 9 7( 2 ) ? ( ? 1)( 3 )100 ? 200 30020 40 603 9 ? 0. 7249 367x例 8 计算行列式：a x a aa a x aa a a xa a a测试点各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.x解a x a aa a x aa a a x3x ? 3a ? x ? 3a x ? 3a x ? 3aa x a aa a x aa a a x ?x ? 3a 0 0 0a x?a 0 0a 0 x?a 0a 0 0 x?a ?D ?a a a? ( x ? 3 a )( x ? a ) .a 0例 9 计算行列式 D n ?b a 0 ? 0 00 b a ? 0 0? ? ? ? ? ?0 0 0 ? a 00 0 0 ? b a0 ? 0 b测试点行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算-4- 华夏大地教育网?a 0解 Dn ?http//:www.edu -edu.com.cn? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? a 0 0 0 0 ? b a = a A1 1 ? b A n 1 = a M 1 1 + b ( ? 1)n ?1《线性代数》串讲讲义b a 0 ? 0 00 b a ? 0 00 ? 0 bMn1? a ? ( ? 1)nn ?1bn0 0例 10 计算行列式 D 6 ? ?0 0 ? 5 0 0 2 ? 0 0 1 0 ? 0 02? ? ? ? ?0 2 ? 0 01 0 ? 0 0 1 0 0 2 ? 0 0 ? ? ? ? ? 0 0 ? 5 0 0 0 ? ? ?6! 0 60 6 0 0解0 0 ? 5 0? ? ? ? ?D6 ? ? 0 6(1) ? ( 6 ) (2 )? (5) (3)? (4 )?( ? 1) ?30 01例 11 设 D ( x ) ?x 2 3 43xx31 1 14 9 168 27 64问（1） D ( x ) 中， x 项的系数＝？（2）方程 D ( x ) ? 0 有几个根？试写出所有的根。 测试点 1.范德蒙行列式的判别和计算公式;2.行列式按行(列)展开的定理.1解（1） x 项的系数 ? A1 4 ? ( ? 1) 132 3 44 9 ? ? (3 ? 2 )( 4 ? 2 )( 4 ? 3) ? ? 2 1651(2)因为 D ( x ) ? (2 ? x )(3 ? x )(4 ? x )(3 ? 2)(4 ? 2)(4 ? 3) 所以方程 D ( x ) ? 0 有三个根: x1 ? 2, x 2 ? 3, x 3 ? 4 . 第二章 一、矩阵的概念 1.要弄清矩阵与行列式的区别 二、矩阵的运算 1． 矩阵 A , B 的加、减、乘有意义的充分必要条件 例 1 设矩阵 A ? (1, 2) , B ? ? A． A C B B． A B C 2.两个矩阵相等的概念 3.几种特殊矩阵（0 矩阵，单位阵，三角阵，对角阵，数量阵） 矩阵?1 ?32? ?1 ?， C ?? 4? ?42 53? ? ，则下列矩阵运算中有意义的是（ 6?）C． B A CD． C A B -5- 华夏大地教育网?测试点:http//:www.edu -edu.com.cn答案: B《线性代数》串讲讲义矩阵相乘有意义的充分必要条件?1 ? 例 2 设矩阵 A ? 2 ? ?0 ?测试点:2 1 00? ?1 ? ? 0 ， B ? 0 ? ? ?0 1? ? ?0 2 10? ? 1 ，则 A ? 2 B =_____________. ? 3? ?矩阵运算的定义解?1 ? A ? 2B ? 2 ? ?0 ?2 1 00? ? 0 ? ? 1? ??2 ? 0 ? ?0 ?0 4 20? ?3 ? ? 2 ? 2 ? ? 6? ?0 ? ?2 5 20? ? 2 . ? 7? ?例 3 设矩阵 A ? ??1? ?2? T ? ， B ? ? ? ，则 A B ? ____________. 2? 3? ? ?解测试点:矩阵运算的定义?2? T A B ? (1, 2 ) ? ? ? 8 . ?3?2．矩阵运算的性质 比较矩阵运算（包括加、减、数乘、乘法等）的性质与数的运算性质的相同点和不同点（加法的交换律和结合律；乘法关于加 法的分配律； ）重点是矩阵乘法没有交换律（由此产生了矩阵运算公式与数的运算的公式的不同点. ( ( A ? B ) ? A +AB ? BA ? B2 2 k k 2;( A ? B )( A - B ) ? A + B A - A B - B ;2 2( AB ) ? ABAB ? AB ? A B ;k(A ? E) ? A ? 2 A ? E2 2如果 A B ? O ，可能 A ? O , B ? O . 例如 A ? ? 3．转置 对称阵和反对称阵? 1 ??11 ? ? 2 ?,B ? ? ? 1? ??22 ? ? 都不为零，但 A B ? O . ?2?1）转置的性质(A ? B) ? A ? B ;T T T(? A)T? ? A ; ( ABC ) ? C B AT T T TT2）若 AT? A ( A ? ? A ) ，则称 A 为对称（反对称）阵T T例 4 矩阵 A , B , C 为同阶方阵，则 ( A B C ) =（ A． A B CT T T） D． A C B5T T TB． C B ATTTC． C A BTTT答案:B例 5 设 ? ? (1, 2, 3), ? ? (1, ? 1,1), 令 A ? ? ? ,试求 A .T测试点矩阵乘法的一个常用技巧? ? 解 因为 A ? ? ? ? ? ? ?T?1 ? 2 ? ?3 ?T?1 ?2 ?3T1?? ?? 2 ? ,所以 ? 3?? ??T T T T T TA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ? )( ? ? )( ? ? )( ? ? ) ?5 T T-6- 华夏大地教育网?T 5 Thttp//:www.edu -edu.com.cn?1? ?1 ? ? 5 ? 2 (1, ? 1,1) ? 2 2 ? ? ? ?3? ? ? ? ?3 ?1 ?2 ?3 1? ?1 ? ? 2 ? 32 2 ? ? ? ? 3? ?3《线性代数》串讲讲义?1 ?2 ?3 1? ? 2 . ? ? 3??1? ? ? 5 ? ( ? ? ) ? ? ? [(1, ? 1,1) 2 ] ? ? ?3? ? ? ?1 ? 32 2 ? ?3 ? ?1 ?2 ?3 1? ? 2 . ? 3? ?答案例 6 A 为任意 n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ A． A ? A 解析T）TB． A ? AT T TTC． A AT TTD． A AT( A ? A ) ? A ? ( A ) ? A ? A ? A ? A .故 A ? A 为对称阵.TT( A ? A ) ? A ? A ? ? ( A ? A ).故 A ? A 为反对称阵.T T T TT( A A ) ? A A . 故 A A 为对称阵.同理 A A 也为对称阵.T T TTT答案 B例 7 已知矩阵 A ? ? 测试点?1 ?2? 1? 2 ? , E 为 2 阶单位矩阵,令 B ? A ? 3 A ? 2 E , 求 B 3 ?方阵多项式的概念;?1 2 B ? A ? 3A ? 2E ? ? ?2 ??1 ? ? ? 8 ?4 ? ?3 ??? 7 ? ?6? 1? ? 3 ??1 ? ?2? 1? ?1 ? ?3? 3 ? ?2 0 ? ??2 ? ? ? 2? ? 2 ? 1? ? 0 ?? 1? ?1 ??2? 3 ? ?00? ? 1??3? ?2 ??? 9 ? ?04. 方阵的行列式的性质AT? A ;?A ? ?A?1nA ;AB ? A B ;?Ak? A ;k?1 A; A? An ?1.例 7 设 A 为 n 阶方阵， ? 为实数，则 ? A =（ A． ? A B． ? A C． ?n） D． ?nAA答案:C例 8 矩阵 A ? ??1 ?32? ?1 ?,B ? ? 4? ?4T2? T ?1 ? ，则行列式 A B ? ___________. 5?解析A BT?1? AB?1? A1 B? (?2) ?1 ( ? 3)?2 3.答案2 3.5.逆矩阵 1）方阵 A 可逆(也称非异， A 满秩)的充分必要条件是 A ? 0 .当 A 可逆时，?1A?1 AA .?-7- 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cnA2 1 A2 2 ? A2 n1《线性代数》串讲讲义? A1 1 ? A1 2 ? ? 其中方阵 A 的伴随阵 A 的定义 A ? ? ? ? ? ? A1 n?a 特别 当 ad ? bc ? 0 时， ? ?c重要公式? ? ? ?An1 ? ? An 2 ?。 ? ? ? An n ??b ? ? a ?b? ? d??1?? d ? ad ? bc ??cAA ? A A ? A E ； A???? An ?1；A 与A??1的关系?12）重要结论：若 n 阶方阵 A , B 满足 A B ? E ，则 A , B 都可逆，且 A 3）逆矩阵的性质：? B, B?1? A.(A )?1?1? A ; ;当 ? ? 0 时， ( ? A )?1?1?A ; ( AB )?1?1? B?1A?1；(A )T?1? (A ) ; A?1 T?1?1 A.4）消去律：设方阵 A 可逆，且 A B ? A C ( B A ? C A ) ，则必有 B ? C .（若不知 A 可逆， 仅知 A ? 0 结论不一定成立。 ） 6．分快矩阵 矩阵运算时，分快的原则：保证运算能顺利进行（包括分块矩阵和子块的运算）如? A1 1 A? ? ? A2 1A1 2 A2 2? B1 ? A1 3 ? ? A1 1 B 1 ? A1 2 B 2 ? A1 3 B 3 ? ? ? ? , B ? ? B2 ? , A B ? ? ?； A2 3 ? ? A 2 1 B1 ? A 2 2 B 2 ? A 2 3 B 3 ? ? B3 ? ? ?分快矩阵的运算规则；特别是分快矩阵的转置? A1 1 ? A ? 21 ? ? ? ? Am 1A1 2 A2 2 ? Am 2? ? ? ?A1 k ? ? A2 k ? ? ? ? Am k ?T? A1T1 ? T A1 2 ? ? ? ? ? T ? A1 k ?A2 1 A2 2 ? A2 kT TT? ? ? ?Am 1 ? T ? Am 2 ? ? ? ? T Am k ? ?T准对角阵的逆矩阵： 如果 A1 , A 2 , ? , A k 都是可逆阵，则? A1 ? O ? ? ? ? ?OO A2 ? O? ? ? ??a ?cO ? ? O ? ? ? ? Ak ??1? A1? 1 ? O ? ? ? ? ? ? O ?O A2 ? O?1? ? ? ?）O ? ? O ? ? ? ? ?1 Ak ? ?例 9 二阶矩阵 A ? ?? d ?? c ? b? ? a ? ?b? ? ? ，则 A ＝（ d??? d ? b c ? ? ? a? ?A． ? ?B． ? ?C． ? ??? d ? cb ? ? ? a? ?D． ? ?? d ?? b? c? ? a ? ?测试点伴随矩阵的定义,二阶方阵的伴随阵 -8-答案:A 华夏大地教育网??1 ? 例 10 三阶阵 A ? 2 ? ?3 ?测试点 重要公式?http//:www.edu -edu.com.cn0 2 3 0? ? ? 0 ，则 A A = _____________. ? 3? ??《线性代数》串讲讲义AA ? A A ? A E .0? ? 0 ? 6? ? 0? ? ? 3 ，则 A ? ____________. ? 2? ??1?6 ? 答案 6 E ? 0 ? ?0 ? ?2 ? 例 11 A ? 3 ? ?5 ?0 6 0 0 6 3解A?? A3 ?1? 6 ? 362例 12 设 A 为 2 阶可逆矩阵，且已知 ( 2 A )?1 ? ? ?32? ? 4??12? ? ，则 A =（ 4?1 ?1 D． ? 2 ?3 2? ? 4??1）?1 A． 2 ? ?32? ? 4?1 ?1 B． ? 2 ?32? ? 4??1 C． 2 ? ?3测试点 逆矩阵的性质?1解由(2 A)?1 ? ? ?32? ?1 ? ,所以 2 A ? ? 4? ?32? ? 4??11 ?1 故A ? ? 2 ?32? ? 4??1答案D? 1 ? 例 13 设 A ? 2 ? ? ?3 ?测试点 解0 1 21 ? ? ?1 0 A . ,求 ? ?5 ? ?求逆矩阵的方法? 1 ? ? AE ? ? ? 2 ? ?3 ?0 1 21 0 ?51 0 00 1 00? (2)+ (- 2)(1) ? (3)+ 3(1) 0 ??? ? ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?0 1 21 ?2 ?21 ?2 30 1 00? ? 0 ?, ? 1? ??1 ? ? ? ? ?? 0 ? ?0 ?( 3 ) ? ( ? 2 )( 2 )0 1 01 ?2 21 ?2 70 1 ?20? ? 0 ? 1? ?? ?1 1 (3) ? ? 2 ? ?0 ?? ? ?0 ?0 1 01 ?2 11 ?2 7 20 1 ?1? 0? ? 0? ? 1? ? 2?-9- 华夏大地教育网?? 5 ?? 2 ? ? ? 5 ? 7 ? ? 2 1 ?1 ?1http//:www.edu -edu.com.cn? 1? 2? ? 1 ? 1 ? ? 2 ?《线性代数》串讲讲义所以 A?1注意 例 14 测试点一定要验算 已知 A ? 2 A ? 8 E ? O , 则 ( A ? E )2 ?1? _____________。关于逆矩阵的重要推论?1若 A , B 都是 n 阶矩阵，且满足 A B ? E n , 则 A , B 都可逆，且 A 解 即2 2? B, B?1? A.由 A ? 2 A ? 8 E ? O 得 A ? A ? 3 A ? 3 E ? 5 E ? 0 ，即 ( A ? E )( A ? 3 E ) ? 5 E ，(A ? E)( A ? 3E ) 5? E ，故 ( A ? E )2?1?1 5( A ? 3 E ).答案(A ? E)?1?1 5( A ? 3 E ).例 15 设 A 是 n 阶方阵，且 ( A ? E ) ? O ，证明 A 可逆. 测试点 证 若 A B ? E 则 A , B 都可逆,且 A22?1? B, B?1? A.因为 ( A ? E ) ? O ,即 A ? 2 A ? E ? 0 ,所以 ? A ( A ? 2 E ) ? E?1故 A 可逆,且 A? ?( A ? 2E ) .m例 16 设 n 阶方阵 A 满足 A? O ，其中 m 为正整数，证明 E ? A 可逆，且2 m ?1( E ? A)分析 证?1? E ? A ? A ?? ? A2只要检查 ( E ? A )( E ? A ? A ? ? ? A 因为m ?1) ? E 即可( E ? A )( E ? A ? A ? ? ? A22 2m ?1)?m? E ? A ? A ? A ? A ? ?? ? A? E? A故m? E.2 m ?1( E ? A)?1? E ? A ? A ?? ? A三、矩阵的初等变换和初等矩阵 1．初等变换的定义和性质 称矩阵的下列三种变换为初等行变换： （1）两行互换； （2）某一行乘一个非零的数； （3）某一行的 k 倍加到另一行上。 类似地可定义初等列变换，初等行变换，初等列变换统称为初等变换. 方阵经初等变换后的行列式是否变化？（分别就三种初等变换说明行列式变化的情况） 初等变换不改变方阵的可逆性；初等变换不改变矩阵的秩；行初等变换必能将矩阵化为行最简形，初等变换必能将矩阵 A 化 为标准形 ?? Er ?OO? ? ，其中 r 为矩阵 A 的秩. O?- 10 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义如果矩阵 A 经过有限次的初等变换变成 B , 则称矩阵 A 与 B 等价.等价矩阵有相等的秩，从而有相等的等价标准形. 2.初等矩阵的定义和性质 1）初等矩阵的定义;初等阵都可逆，且其逆也是同类型的初等阵. 2) 初等变换和矩阵乘法之间的关系 3) 对 任 意 m ? n 阶 矩 阵 A ， 总 存 在 一 系 列 m 阶 初 等 阵 P1 , P2 , ? , Pk 和 一 系 列 n 阶 初 等 阵 Q 1 , Q 2 ,? , Q ,使 得 l? Er P1 P 2 ? Pk A Q Q ? Q l ? ? 1 2 ?OO? ?. O?4)矩阵 m ? n 阶 A 与 B 等价的充分必要条件是存在一系列 m 阶初等阵 P1 , P2 , ? , Pk 和一系列 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , ? , Q l , 使得 P1 P2 ? Pk A Q1Q 2 ? Q l ? B . 例 17 下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）?1 A． ? ?0测试点0? ? 0?? 0 ? B． ? 1 ? ? 0 ?1 0 0? 1? ? 1 ? 1 ? ??1 ? C． 0 ? ?1 ?0 1 00? ? 0 ? 1? ??0 ? D． 0 ? ?1 ?1 0 00? ? 3 ? 0? ?初等矩阵的定义和性质?1 ? 解析 C. 0 ? ?1 ?0 1 00? ? 0 是由单位矩阵经第三行加第一行得到的，故是初等矩阵。 ? 1? ? a1 2 a 22 a 32 a1 3 ? ? a 2 3 ,若存在初等矩阵 P ,使得 ? a 33 ? ? a1 3 ? 2 a 3 3 ? ? a 23 ,则P ? ? ? a 33 ? ?2? ? 0 ? 1 ? ? ? 1 ? C. ? 2 ? ? 0 ? 0 1 0 0? ? 0 ? 1? ?答案 B答案C? a1 1 ? 例 18 设三阶矩阵 A ? a 2 1 ? ? a 31 ? ? a1 1 ? 2 a 3 1 ? PA ? a 21 ? ? a 31 ? ? 1 ? A. 0 ? ??2 ?测试点a1 2 ? 2 a 3 2 a 22 a 32 ?1 ? B. 0 ? ?0 ? 0 1 0【】0 1 00? ? 0 ? 1? ??1 ? D. 0 ? ?0 ??2 1 00? ? 0 ? 1? ?矩阵的初等变换和用初等矩阵乘的关系四、矩阵的 k 阶子式和矩阵秩的概念，求矩阵秩的方法 1 矩阵的 k 阶子式的概念 2 矩阵秩的概念 定义 O 矩阵的秩为 0，对于非零矩阵 A ，如果有一个 r 阶子式不等于 0 , 而所有的 r ? 1 阶子式（如果有的 话）都等于 0 , 则称矩阵 A 的秩为 r .显然 n 阶可逆矩阵的秩等于 n ，故可逆阵又称是满秩的.阶梯形矩阵的秩等于其非零行的 个数. 3. 等价矩阵有相等的秩（初等变换不改变矩阵的秩）;从而矩阵 A 左乘（右乘）可逆阵其秩不变.反之两个同形矩阵只要秩相 等，则二者必等价. - 11 - 华夏大地教育网?4.求矩阵秩的方法http//:www.edu -edu.com.cn?1 3 0 0? ? 4 ，则 A 中（ ? 5? ?《线性代数》串讲讲义?1 ? 例 19 设矩阵 A ? 0 ? ?0 ?0 ?2 0）A．所有 2 阶子式都不为零 B．所有 2 阶子式都为零 C．所有 3 阶子式都不为零 D．存在一个 3 阶子式不为零 测试点 矩阵的 k 阶子式的概念. 答案 D?1 ? 例 20 设矩阵 A ? 0 ? ?0 ?测试点 矩阵秩的概念0 2 01? ? 0 ，矩阵 B ? A ? E ，则矩阵 B 的秩 r ( B ) =______________. ? 1? ?解?0 ? B ? A?E ? 0 ? ?0 ? 2 8 60 1 0 ?1 ?4 ?31? ? 0 ? 0? ?答案r(B) ? 2?1 ? 例 21 设矩阵 A ? 4 ? ?3 ?（1）秩 ( A ) ? 1 ； （2）秩 ( A ) ? 2 . 测试点3 ? ? 1 2 ，问 a 为何值时， ? a ? ?求矩阵秩的方法解?1 ? A? 4 ? ?3 ?2 8 6?1 ?4 ?33 ? ( 2 ) ? ( ? 4 )(1) ? ( 3 ) ? ( ? 3 )(1) 1 2 ? ? ? ?? ? ? a ??1 ? 0 ? ?0 ?2 0 0?1 0 0? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ?0 a ? 9? ? ? 32 0 0?1 0 0? ? a?9 ? 0 ? ? 3所以当 a ? 9 时, 秩 ( A ) ? 1 ;当 a ? 9 时, 秩 ( A ) ? 2例 22 设 A 为 m×n 矩阵， C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r ，则矩阵 B ? A C 的秩为__________. 测试点 用可逆矩阵左(右)乘任意矩阵 A ,则 A 的秩不变. ） 答案r例 23 设 3 阶方阵 A 的秩为 2 ，则与 A 等价的矩阵为（?1 ? A． 0 ? ?0 ?测试点 解1 0 01? ?1 ? ? 0 B． 0 ? ? ?0 0? ? ?1 1 01? ?1 ? ? 1 C． 2 ? ? ?0 0? ? ?1 2 01? ? 2 ? 0? ??1 ? D． 2 ? ?3 ?1 2 31? ? 2 ? 3? ?答案 B矩阵等价的概念；等价矩阵有相等的秩；反之同形的两个矩阵只要其秩相等，必等价.因为 A,C,D 的矩阵的秩都为 1 ，B 的矩阵的秩等于 2 .故答案应为 B.五、矩阵方程的标准形及解的公式- 12 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn?1《线性代数》串讲讲义AX ? B ? X ? A B; XA ? B ? X ? BA ; A1 X A 2 ? B ? X ? A1 B A 2 .例 24 设矩阵 A ? ? 测试点 解 验算!?1 ?1 ?1?2 ?51? ?1 ?， B ?? 3? ?23? ? ，求矩阵方程 X A ? B 的解 X . 0?解矩阵方程的方法X ? BA?1?1 ? ? ?23? 1 ? 3 ? ? 0 ? A ??5? 1? ? ? 1 2 ? ? ? 2 ? ? 65 ? ? ?2 ?? 1 ? 2 例 25 设 A , B 均为 3 阶矩阵, E 为 3 阶单位矩阵,且满足: A B ? E ? A ? B .若已知 A ? 0 ? ??1 ?测试点 解矩阵方程的方法 解 因为 A B ? E ? A ? B ，故 A B ? B ? A ? E20 2 0? 1? ? 0 , 求矩阵 B . ? 1 ? ?2从而 ( A ? E ) B ? A ? E ? ( A ? E )( A ? E ) ，又2? 1 ? A?E ? 0 ? ??1 ?0 2 0? 1? ? 1 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ?0 ? ? 0 3 0 0 2 00 1 0 ? 1? ? 0 . ? 2 ? ?0? ? 0 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ??1 ? ?0 1 0? 1? ? 0 , 显然 A ? E 可逆，应用消去律得 ? 0 ? ?? 2 ? B ? A?E ? 0 ? ??1 ? ? 1 ? AB ? E ? 0 ? ??1 ? ? 3 ? ? 0 ? ??3 ? 0 6 0验算? 1? ? 0 ? 1 ? ?? 2 ? 0 ? ??1 ?0 3 0? 1? ? 1 ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ?0 ? ? 0 7 00 1 0 ?3? ? 0 ? 4 ? ?0? ? 0 ? ? 1? ??3? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? 3 ? ?0 ? ? 0 4 020 1 00? ? 4 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ??3 ? ? 0 3 0? 2 ? 2 A ? B ? 0 ? ??2 ??2? ? 2 ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ??1 ? ?? 1? ? 4 ? ? 0 ? 0 ? ? 2 ? ??3 ? ?0 7 0?3? ? 0 ? 4 ? ?所以确有 A B ? E ? A ? B 例 26 已知 A ? ? 求X 。 - 13 -?2 ?13? ? ?3 ?,B ? ? 0? ??2? 1? ?0 ? ,C ? ? 1 ? ?1?1 21? ?1 ?,D ? ? 0? ?12 00? ? , 矩阵 X 满足方程 A X ? B X ? D ? C ， 1? 华夏大地教育网?测试点 解 故http//:www.edu -edu.com.cn得(A ? B)X ? D ? C《线性代数》串讲讲义求矩阵方程的解由 AX ? BX ? D ? C?1X ? ( A ? B) (D ? C )??1 ??1 2? ?1 ?,D ?C ? ? 1? ?0 2 1 1 0 3 ?2 3 ?2 ? 1? ?. 1 ? ? 1 ? ??1 ?3 5 ?2 1 ?1 0 ?3 ?2 1? ? ? ?? 1?其中 A ? B ? ??A? B?1 ?? ? ? ?0 ?1 ?? ? ? ?0所以 验算??1 D ?C?? ? ??1 ?2 ?1 0 1 1 1 7 5 ?1 ?1 7 5 ?3 ?5? 1? ? ? ?? 1 ? ?2 11? ?1 ? ? ?? ? 2? ?0?1 11 ? ? ? ?? ?2 ??3? ? ?2 ??1 X ? ? ?1?3? ? ?2?第三章向量空间一、 n 维向量线性运算的定义和性质; 例 1．已知 ? 1 ? 5? 2 ? 2? 3 ? ? 其中， ? 1 ? (3, 4, ? 1), ? 2 ? (1, 0, 3), ? ? (0, 2, ? 5), 则 ? 3 ? ____________. 测试点 解n 维向量线性运算的定义和性质因为 ? 1 ? 5? 2 ? 2? 3 ? ? ,所以?3 ?T1 2(?T? ?1T? ? ? 1 ? ? 0 ? ? 3 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? T ? 5? 2 ) ? [ 2 ? 4 ? 5 0 ] ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ?11 ? ? ? 5 ? ? ? 1? ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?答案T故? 3 ? (1, ? 1,11 2) (请验算)T? 3 ? (1, ? 1,T11 2).T例 2 设 向 量 ? 1 ? (1,1,1) , ? 2 ? (1,1, 0 ) , ? 3 ? (1, 0, 0 ) , ? ? (0,1,1) , 则 ? 由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线 性 表 出 的 表 示 式 为 _____________. 测试点 解 考虑 向量由向量组线性表示;组合系数的求法x1? 1 ? x 2? 2 ? x 3? 3 ? ?该线性方程组的增广矩阵- 14 - 华夏大地教育网?A ? ?? 1http//:www.edu -edu.com.cn?2 ?3?1 ? ??? 1 ? ?1 ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0? ? 1 ?? ? ? 1? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 1 0 ?1 0 1 0 1 ?1 ?1 0 0 1 0? ? 1 ? ? 1? ? 1 ? ? 0 ? ? 1? ?《线性代数》串讲讲义?1 ? ? 0 ? ?0 ?所以1 1 01 1 10 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ?1 ? ? 0 ?? ? ? ? 1? ?? ? ?1 ? ? 3答案? ? ? 1 ? ? 3 (验算!)二、 n 维向量组的线性相关性 1．向量组的线性相关性的定义和充分必要条件： 1）定义: 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 是一组 n 维向量.如果存在 m 个不全为零的数 ?1 , ? 2 , ? , ? m ，使得?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? ? ? m ? m ? 0 ,则称向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性相关，否则，即如果 ?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? ? ? m ? m ? 0 ，必有?1 ? ? 2 ? ? ? ? m ? 0 ，则称向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性无关.2) m 个 n 维 向 量 ? 1 , ? 2 , ? , ? m ( m ? 2) 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 至 少 存 在 某 个 ? i 是 其 余 向 量 的 线 性 组 合 . 即? 1 , ? 2 , ? , ? m ( m ? 2) 线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.例 3 设向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关，则必可推出（ A． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有一个向量为零向量 ）B． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有两个向量成比例C． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D． ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合 测试点 向量组线性相关的概念 答案 C例 4 向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关的充分条件是 A. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 都不是零向量 B. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中任意两个向量都不成比例C. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中任意一个向量都不能表为其余向量的线性组合 D. ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中任意 s ? 1 个向量都线性无关 测试点 解 向量组线性相关的概念; 充分条件;必要条件;充分必要条件.?1 ? ? ? ,? 2 ? ? ??1 ? ?2??1 ??2?都不是零向量,但 ? 1 , ? 2 线性相关.?1 ? ?0? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 0 ,? 2 ? 1 ,? 3 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?0? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ?中任意两个向量都不成比例,且其中任意 3 ? 1 ? 2 个向量都线性无关,但? 1 , ? 2 , ? 3 线性相关.故 A,B,D 都不正确.答案C例 5.设向量组 ? 1 , ? 2 线性无关，证明向量组 ? 1 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 1 ? ? 2 也线性无关. - 15 - 华夏大地教育网?测试点 证 因为 则 即 设http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义向量组线性无关的定义;k1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? 0?1 ? ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 1 ? ? 2k 1 (? 1 ? ? 2 ) ? k 2 (? 1 ? ? 2 ) ? 0 ( k 1 ? k 2 )? 1 ? ( k 1 ? k 2 ) ? 2 ? 0因为 ? 1 , ? 2 线性无关,故 ?? k1 ? k 2 ? 0 ? k1 ? k 2 ? 0,所以只能 k 1 ? k 2 ? 0 .这表明若 k 1 ? 1 ? k 2 ? 2 ? 0 ,必有 k 1 ? k 2 ? 0 .据向量组线性无关的定义,知 ? 1 , ? 2 也线性无关 例 6.若向量组 ? 1 ? (3,1, a ), ? 2 ? (4, a , 0 ), ? 3 ? (1, 0, a ) 线性无关,则 a 可能的取值应满足 测试点 .n 个 n 维向量线性无关 ? 相应的行列式 ? 0 ;3 4 a 0答案1 0 a解 D ? ?1T?2T?3 ? 1aT( 3 ) ? ( ? a )(1)3 1 ?2a4 a ?4a1 0 ? ?4a ? 2a ? 2a (a ? 2) ? 02?0所以 a ? 0 , 且 a ? 2 . 2. 关于线性相关的几个定理a ? 0, 且 a ? 2 .1) 如果向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性无关,而 ? 1 , ? 2 , ? , ? m , ? 线性相关,则 ? 可由 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 线性表示,且表示法唯 一. 2) 3) 线性相关的向量组再增加向量所得的新向量组必线性相关.(部分相关,则整体相关;或整体无关,则部分无关) 若向量组 ? i ? ( a i 1 , a i 2 , ? , a in ), i ? 1, 2, ? , m 线性无关,则接长向量组? i ? ( a i1 , a i 2 , ? , a in , a i ( n ? 1) ), i ? 1, 2, ? , m必线性无关. 3．判断向量组线性相关性的方法 1)一个向量 ? 线性相关 ? ? ? 0 ； 2)含有零向量的向量组必线性相关； 3)向量个数＝向量维数时，n 维向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? n 线性相关? A ? ?1?2??n ? 0 .4)向量个数&向量维数时, 向量组必线性相关； 5)部分相关，则整体必相关； （整体无关，则部分必无关）. 6)若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关； 7)向量组线性无关 ? 向量组的秩＝所含向量的个数，向量组线性相关 ? 向量组的秩&所含向量的个数; 8)向量组 ? 1 , ? 2 , ? ? n 线性相关（无关）的充分必要条件是齐次方程组x1? 1 ? x 2? 2 ? ? ? x n ? n ? 0有（没有）非零解. - 16 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义例 7.设 n 维向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? m ( m ? 2) 线性无关,则 A. B. C. D. 解析 组中减少任意一个向量后仍线性无关 组中增加任意一个向量后仍线性无关 存在不全为零的数 k 1 , k 2 , ? , k m ,使? k?i i ?1mi?0组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出 因为若向量组线性相关，则增加任何一个向量后仍线性相关，其等价的定理是向量组相性无关，则组中减少任意一个向 答案 A量后仍线性无关例 8 设向量 ? 1 ? ( a1 , b1 , c1 ), ? 2 ? ( a 2 , b 2 , c 2 ), ? 1 ? ( a1 , b1 , c1 , d 1 ), ? 2 ? ( a 2 , b 2 , c 2 , d 2 ) ，下列命题中正确的是 A．若 ? 1 ,? 2 线性相关，则必有 ? 1 , ? 2 线性相关 C．若 ? 1 , ? 2 线性相关，则必有 ? 1 ,? 2 线性无关 答案 B B．若 ? 1 ,? 2 线性无关，则必有 ? 1 , ? 2 线性无关 D．若 ? 1 , ? 2 线性无关，则必有 ? 1 ,? 2 线性相关例 9.设向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,而向量组 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关.证明:向量 ? 4 必可表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合. 测试点 关于线性相关性的几个定理证 1 因为 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关，故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关，又因为 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,所以 ? 4 必可表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线 性组合. 证2 证毕.因为 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,故 ? 2 , ? 3 必线性无关,又因为 ? 2 , ? 3 , ? 4 线性相关 证毕.故 ? 4 必能由 ? 2 , ? 3 线性表示,当然可表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合. 三、向量组的极大无关组及向量组的秩 1．极大无关组的定义：设 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 是向量组 T 的一个部分组.如果（1）? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关； （2）任给 ? ? T ，都有 ? , ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线 性相关，则称 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 是向量组 T 的一个极大无关组. 2．向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩；求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法? ?1 ? 例 10 A ? 1 ? ? 1 ?测试点0? ? 3 的行向量组的秩 ? ? 6? ?____________.矩阵的秩与向量组的秩之间的关系;答案2例 11 设 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是一个 4 维向量组 ，若已知 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，且表示法惟一，则向量组? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的秩为（A．1 B．2 C．3 D．4）- 17 - 华夏大地教育网?测试点 解http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义（1）向量组的秩的概念； （2）向量由向量组线性表示的概念 （3）向量组线性相关和线性无关的概念因为 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，且表示法惟一，必有 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关,因为设 ?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? 3? 3 ? 0 ，由 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，即 ? 4 ? k 1? 1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 故? 4 ? ? 4 ? 0 ? k 1? 1 ? k 2? 2 ? k 3? 3 ? ?1? 1 ? ? 2? 2 ? ? 3? 3? ( k 1 ? ?1 )? 1 ? ( k 2 ? ? 2 )? 2 ? ( k 3 ? ? 3 )? 3由表示法惟一，有k 1 ? ?1 ? k 1 , k 2 ? ? 2 ? k 2 , k 3 ? ? 3 ? k 3于是有 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0 ，故 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关，又 ? 4 可以表为 ? 1 , ? 2 , ? 3 的线性组合，所以 ? 1 , ? 2 , ? 3 为向量组? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的一个极大无关组，故向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的秩为 3.T T T答案CT例 12 设向量组 ? 1 ? (1, ? 1, 2,1) , ? 2 ? (2, ? 2, 4, ? 2 ) , ? 3 ? (3, 0, 6, ? 1) , ? 4 ? (0, 3, 0, 4 ) （1）求向量组的秩和一个极大线性无关组； （2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合. 测试点 求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法解A ? ?? 1?2?3?4?? 1 ? ?1 ? ? ? 2 ? ? 12 ?2 4 ?23 0 6 ?1 ?1 ? 0 ? ?0 ? ?0 2 1 0 00? ( 2 ) ? (1) ( 3 ) ? ( ? 2 )(1) ? 3 4 ) ( ? 1)(1) ? ? (?? ? ?? 0? ? 4? 0 0 1 0?1 ? 0 ? ?0 ? ?02 0 0 ?43 3 0 ?40? ? 3 ?? 0? ? 4??1 ? 0 ?? ? ? ?0 ? ?0 ?1 ? 0 ? ? ?0 ? ?0所以2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 03 1 1 00 ? (1) ? ( ? 3 )( 3 ) ? ?1 ( 2 ) ? ( ? 1)( 3 ) ? ? ? ? ?? 1 ? ? 0 ? 1 ? ? ?2 ? 1 ? ? 0 ??3? ? ?2 ?2 2 ) ? ? (1) ? (?)(?? ? 1 ? ? 0 ?原向量组的秩为 3 ， ? 1 , ? 2 , ? 3 为所求的极大无关组. ? 4 ? ? 1 ? 2? 2 ? ? 3四、子空间的定义，基、维数、向量在一组基下的坐标 1. n 维向量空间的定义： n 维实向量的全体构成的集合称为 n 维向量空间，记为 R . 2. 子空间的定义：设 V 是 R 的一个非空子集，且满足对加法运算和数乘运算封闭，则称 V 是 R 的一个子空间,简称为向量 空间 V . 3.生成子空间的定义： ? 1 , ? 2 , ? , ? m ? R , 则由它们的所有线性组合构成 R 的一个子空间， 设 称它为由 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 生nnnnn成的子空间. - 18 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义例 13 设 V1 ? { x ? ( x1 , x 2 , x 3 , 0 ) x1 , x 2 , x 3 ? R } , V 2 ? { x ? ( x1 , x 2 , x 3 ,1) x1 , x 2 , x 3 ? R }V 3 ? { x ? ( x1 , x 2 , ? , x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 0} ，说明哪个是子空间，那个不是.解析 在 V 1 中，任取 ? ? ( x1 , x 2 , x 3 , 0 ), ? ? ( y1 , y 2 , y 3 , 0 ) ? V1 , k 为任意数，都有? ? ? ? ( x1 ? y 1 , x 2 ? y 2 , x 3 ? y 3 , 0 ) ? V 1 ,k ? ? ( kx1 , kx 2 , kx 3 , 0) ? V1所以 V 1 是子空间. 类似地，可以证明 V 3 ? { x ? ( x1 , x 2 , ? , x n ) x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 0} 也是子空间. 但对 V 2 ? { x ? ( x1 , x 2 , x 3 ,1) x1 , x 2 , x 3 ? R } ，取 ? ? (1, 0, 0,1), ? ? (0,1, 0,1) 都属于 V 2 , 而? ? ? ? (1,1, 0, 2 ) ? V 2 . 这表明 V 2 对加法运算不封闭，故 V 2 不是子空间.4. 向量空间的基和维数的定义 向量空间 V 的一个向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? r 线性无关，且 V 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基.零空间{0} 没有基，定义它为 0 维，否则，称向量空间的基所含向量个数 r 为该空间的维数.设? ? x1? 1 ? x 2? 2 ? ? ? x r ? r称 ( x1 , x 2 , ? , x r ) 为 ? 在这组基下的坐标. 例 14 向量空间 V ? { x ? ( x1 , x 2 , 0) x1 , x 2 为实数}的维数为_______________. 测试点 向量空间维数的概念解 容易看出 ? ? (1, 0, 0 ), ? ? (0,1, 0 ) 是 V 的一个基。答案23例 15 证明向量组 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0), ? 3 ? (3, 0, 0) 是 R 的一组基，则向量 ? ? (8, 7, 3) 在这组基下的坐标是 ____________. 测试点 向量在一组基下的坐标1解 因为 ? 1T1 2 03331 2 01 1 ? ?6 ? 0 1?2T?3 ? 1T0 ? ? 0 0 01故 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关，所以它是 R 的一组基. 考虑x1? 1 ? x 2? 2 ? x 3? 3 ? ?T T TT该线性方程组的增广矩阵为T A ? ?? 1 ??2T?3T?1 ? T ? ?? 1 ? ? ?1 ?1 2 03 0 08? ? 7 ?? ? ? 3? ??1 ? 0 ? ?0 ?1 1 ?13 ?3 ?38 ? ? ?1 ? ?5? ?- 19 - 华夏大地教育网??1 ? ?? 0 ? ? ?0 ?得http//:www.edu -edu.com.cn3 ?3 ?6 8 ? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?0 ?6 ? ? ? 1 1 0 3 ?3 1 8 ? ? ?1 ? 1 ? ?《线性代数》串讲讲义1 1 0x1 ? 3, x 2 ? 2, x 3 ? 1 .答案所以 ? ? (8, 7, 3) 在这组基下的坐标是 (3, 2,1) （即 ? ? 3? 1 ? 2? 2 ? ? 3 ）(3, 2,1) .例 16 求由向量组 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0 ), ? 3 ? (2, 3,1) 生成的子空间的一个基，并说明该生成子空间的维数. 解析 显然 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0) 是 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0 ), ? 3 ? (2, 3,1) 的一个极大无关组，故是由向量组? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? (1, 2, 0 ), ? 3 ? (2, 3,1) 生成的子空间的一个基，所以该子空间的维数等于 2 .第四章 一、线性方程组的三种表示方法 线性方程组1.? a 1 1 x 1 ? a 1 2 x 2 ? ? ? a 1 n x n ? b1 ? ? a 2 1 x1 ? a 2 1 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? b 2 ? ?? ? ?a x ? a x ? ? ? a x ? b m2 2 mn n m ? m1 1 a1 2 a 22 ? am 2 ? ? ? ? a1 n ? ? b1 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? a2n b x ? ,b ? ? 2 ? , X ? ? 2 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? amn ? ? bm ? ? xn ?? a1 1 ? a 21 2. A x ? b ，其中 A ? ? ? ? ? ? a m13． x1? 1 ? x 2? 2 ? ? ? x n ? n ? b? a1 j ? ? ? a ? 2 j ? ( j ? 1, 2, ? , n ) 其中 ? j ? ? ? ? ? ? ? amj ? ? ?二、齐次线性方程组 1．齐次方程组有非零解的条件 1）齐次方程组 A X ? 0 有非零解的充分必要条件是 r ( A ) ? 未知数的个数（即矩阵 A 的列数）. 2）n 个未知数 n 个方程的齐次方程组 A X ? 0 有非零解的充分必要条件是 A ? 0 . 3)设 A 是 m ? n 阶矩阵.若 m ? n ，则齐次方程组 A X ? 0 必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要) 例 1．设 A 为 m ? n 矩阵，齐次线性方程组 A x ? 0 有非零解的充分必要条件是（ A A 的列向量组线性相关 B A 的列向量组线性无关 C A 的行向量组线性相关 测试点 齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系. 答案 A ）D A 的行向量组线性无关例 2. 设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 A x ? 0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r ( A ) ? _____________. - 20 - 华夏大地教育网?测试点 解析http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2 根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数. 线性方程组 A x ? b 的系数矩阵 A 的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数因为 A 是 4×3 矩阵，故方程组 A x ? 0 的未知数的个数 n ? 3 ，故方程组 A x ? 0 只有零解 的充要条件是系数矩阵 A 的秩 ? n ? 3. 答案r ( A) ? 3? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? 例 3.齐次线性方程组 ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 有非零解,则 ? ? ?2x ? x ? x ? 0 2 3 ? 1.解析? ? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 有非零解 ? 1 ?2x ? x ? x ? 0 2 2 3 ? 111 ?1 ? 0 1??1 1?而11 ?1 1( 2 ) ? (1 ) ( 3 ) ? ( ? 1 )(1 )? ? ?12??11 2??1?? ?1?20 ? ( ? ? 1)( ? ? 4 ) 0? ? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? 故因为 ? x1 ? ? x 2 ? x 3 ? 0 有非零解，则 ? ? ? 1 或 ? ? 4. ?2x ? x ? x ? 0 2 3 ? 12. 齐次方程组解的结构 1）齐次方程组解的性质答案? ? ? 1 或 ? ? 4.设 ? , ? 都是 A x ? 0 的解，则 C 1? ? C 2 ? 也是 A x ? 0 的解(C1，C2 为任意常数) 2）齐次方程组 A X ? 0 的基础解系的概念 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 是齐次方程组 A X ? 0 的一组解.如果它满足： （1） ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关； （2） A X ? 0 的任何一个解 ? 都可以表示为 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 的线性组合，则称 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 为 该齐次方程组的基础解系. 如果齐次方程组有非零解（即 r ( A ) ? n ） ，则它有基础解系. 重要结论:齐次方程组 A X ? 0 的基础解系含 n ? r ( A ) 个线性无关的解；齐次方程组 A X ? 0 的任意 n ? r ( A ) 个线性无关 的解都构成该齐次方程组的基础解系； 3）齐次方程组 A X ? 0 的基础解系的求法 例 4 3 元齐次方程组 ?? x1 ? x 2 ?=0x 2 ? x3 ? 0的基础解系所含解向量的个数为.测试点 解齐次方程组的基础解系 (定义;含几个解向量;求法)因为齐次方程组的系数矩阵为 ? 答案?1 ?0?1 10? ? 的 秩 为 2 , 未 知 数 的 个 数 为 3 , 所 以 其 基 础 解 系 含 3 ? 2 ? 1个 解 . 1?1- 21 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义例 5 已知? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 是齐次方程组 A x ? 0 的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用 A. ? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 4 , ? 4 ? ? 1 C.与? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 等秩的向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 测试点 1.齐次方程组的基础解系 B.? 1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 4 , ? 4 ? ? 1 D. 与? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 等价的向量组 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4特别是若齐次方程组的一个基础解系含 4 个解,则它的任意 4 个线性无关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别 4,齐次方程组解的性质. 解 因 为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4是 齐 次 方 程 组 A x ? 0 的 一 个 基 础 解 系 , 故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 都 是 齐 次 方 程 组 A x ? 0 的 解 , 因 为? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4与 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 等价,故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 能由 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性表示,故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也都是 A x ? 0 的解.又因为 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 的秩也等于 4,所 以 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也线性无关.故 ? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 也是 A x ? 0 的基础解系. 所以 D 正确. 例 6.设 m×n 矩阵 A 的秩 r ( A ) ? n ? 3( n ? 3) ， ? , ? , ? 是齐次 线性方程组 A x ? 0 的三个线性无关的解向量，则方程组 答案 DA x ? 0 的基础解系为（A． ? , ? , ? ? ? 知识点 解 答案） C． ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? D． ? , ? ? ? , ? ? ? ? ?B． ? , ? , ? ? ?齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数;向量组线性相关性的判别显然 A,B,C 选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成. D3 ） 齐 次 方 程 组 AX ? 0 的 通 解 公 式如 果 ?1 , ? 2 ,? , ? n ? r 是 A X ? 0 基 础 解 系 ， 则 它 的 通 解 为x ? C 1? 1 ? C 2 ? 2 ? ? ? C n ? r ? n ? r ，其中 C 1 , C 2 , ? , C n ? r 为任意数.? x5 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 0 的基础解系及通解. 例 6 求齐次线性方程组 ? x1 ? x 2 ? x 3 ? x3 ? x 4 ? x5 ? 0 ?测试点 求齐次方程组的基础解系和通解的方法解?1 ? A? 1 ? ?0 ?1 1 00 ?1 10 0 11? ?1 ? ? 0 ? 0 ? ? ?0 1? ? ?1 0 00 ?1 10 0 11 ? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?0 1 ? ? ?1 0 00 1 00 0 11? ? 1 ? 0? ?取 x1 , x 3 , x 4 为约束未知数, x 2 , x 5 为自由未知数,? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 1 0 ? ? ? ? 取 ? 1 ? ? 0 ? , ? 2 ? ? ? 1 ? 为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为 ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ?- 22 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 1 0 ? ? ? ? x ? k 1 ? 0 ? ? k 2 ? ? 1 ? ( k 1 , k 2 为任意数) ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ?三．非齐次方程组 1．非齐次方程组解的性质 1）设 ? 1 , ? 2 都是 A x ? b 的解，则 ? 1 ? ? 2 是它的导出组 A x ? 0 的解. 2）设 ? 1 , ? 2 都是 A x ? b 的解，则当 k 1 ? k 2 ? 1 时， k 1? 1 ? k 2? 2 也是 A x ? b 的解. 3）设 ? 是 A x ? b 的一个解， ? 是它的导出组 A x ? 0 的解,则 ? ? ? 是 A x ? b 的解. 例 7 已知 x1 ? (1, 0, ? 1) , x 2 ? (3, 4, 5) 是 3 元非齐次线性方程组 A x ? b 的两个解向量， 则对应齐次线性方程组 A x ? 0 有T T一个非零解向量 ? ? __________________. 测试点 解 线性非齐次方程组解的性质T? ? x 2 ? x1 ? (2, 4, 6)答案? ? ( 2, 4, 6 )T例 8 设齐次线性方程 A x ? 0 有解 ? ，而非齐次线性方程且 A x ? b 有解 ? ,则 ? ? ? 是方程组_____________的解。 试点 线性方程组解的性质 答案测Ax ? b2．关于非齐次方程组解的讨论 定理 n 个未知数， m 个方程的线性方程组 A X ? b 中， （系数矩阵 A 是 m ? n 阶矩阵） A ? ? A b ? 是增广矩阵.则 1）当且仅当 r ( A ) ? r ( A ) ? n （未知数的个数）时，方程组 A X ? b 有惟一解； 2）当且仅当 r ( A ) ? r ( A ) ? n （未知数的个数）时，方程组 A X ? b 有无穷多解； 3）当且仅当 r ( A ) ? r ( A ) 时，方程组 A X ? b 无解. 从以上定理可见 1）线性方程组 A X ? b 有解的充分必要条件是 r ( A ) ? r ( A ) . 2）当线性方程组 A X ? b ，方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式 A ? 0 .?1 ? 例 9 已知某个 3 元非齐次线性方程组 A x ? b 的增广矩阵 A 经初等行变换化为： A ? ? 0 ?0 ? ? 2 2 0 3 ?1 a ( a ? 1) ?1 ? ? 2 ? ，若方程 a ? 1? ?组无解，则 a 的取值为____________. 测试点 1.增广矩阵 A 经初等行变换变成 B ,则以 B 为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解;2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩 解 例 10 解 当 a ? 0 时, r ( A ) ? 2, r ( A ) ? 3 ,故方程组无解. 答案a ? 0..如果非齐次线性方程组 A x ? b 有解,则它有惟一解的充分必要条件是其导出组 A x ? 0非齐次线性方程组 A x ? b 有惟一解的充分必要条件是 r ( A ) ? r ( A ) ? 未知数的个数， - 23 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn答案 只有零解.《线性代数》串讲讲义而它恰是其导出组 A x ? 0 只有零解,没有非零解的充要条件. 3.非齐次方程组 A X ? b 的通解的结构x ? ? ? C 1? 1 ? C 2 ? 2 ? ? ? C n ? r ? n ? r其中 ? 是方程 A X ? b 的一个特解， r ? r ( A ) 为系数矩阵的秩， ? 1 , ? 2 , ? , ? n ? r 为它的导出组（与它对应的）齐次方程组??A X ? 0 的基础解系.例 10 设 3 元非齐次线性方程组 A x ? b 的两个解为 ? ? (1, 0, 2) , ? ? (1, ? 1, 3) ，且系数矩阵 A 的秩 r ( A ) ? 2 ，则对于T T任意常数 k , k 1 , k 2 , 方程组的通解可表为（）A . k 1 (1, 0, 2 ) ? k 2 (1, ? 1, 3)TTB . (1, 0, 2 ) ? k (1, ? 1, 3)TTC . (1, 0, 2) ? k (0,1, ? 1)TTD . (1, 0, 2) ? k (2, ? 1, 5)TT测试点 1.非齐次线性方程组的通解的公式; 2.非齐次方程组解的性质 3.齐次方程组的基础解系的概念 解 因为 ? ? (1, 0, 2) , ? ? (1, ? 1, 3) 都是非齐次方程组 A x ? b 的解，故 ? ? ? ? (0,1, ? 1)T T T是它的导出组 A x ? 0 的解，又因为 A x ? 0 为 3 元方程组， r ( A ) ? 2 ，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解 都是它的基础解系，故 ? ? ? ? (0,1, ? 1) 就是它的基础解系，又 ? ? (1, 0, 2 ) 是非齐次方程组 A x ? b 的解，所以T T(1, 0 , 2 ) ? k ( 0 , 1, 1) A x ? b 的通解. ? 为T T答案 C=3 ? x1 ? 2 x 2 ? ? 4 x1 ? 7 x 2 ? x 3 ? 1 0 例 11 设 3 元非齐次线性方程组 ? x 2 ? x3 ? b ? ? 2 x ? 3 x ? ax ? 4 2 3 ? 1(1) 试判定当 a , b 为何值时,方程组有无穷多个解? (2) 当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示). 测试点 线性方程组的讨论?1 ? 4 解A ? ? ?0 ? ?2 ?1 ? 0 ?? ? ? ?0 ? ?02 7 1 3 2 1 0 00 1 ?1 a 0 ?1 a ?1 03? ( 2 ) ? ( ? 4 )(1) ? 10 4 ) ( ?2 ? ? (?? ? )(1) ?? ? b ? 4? 3 ? ? 2 ? 0 ? ? b ? 2??1 ? 0 ? ?0 ? ?02 ?1 1 ?10 1 ?1 a3 ? ? ?2 ? ?? ? b ? ? ?2 ??1 ? 0 ? ?0 ? ?02 1 0 00 ?1 0 a ?13 ? ? 2 ? b ? 2? ? 0 ?- 24 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义所以 当 b ? 2 , 即 b ? 2 ? 0 时,方程组无解; 当 b ? 2, a ? 1, 即 b ? 2 ? 0, a ? 1 ? 0 时方程组有惟一解; 当 b ? 2, a ? 1 即 b ? 2 ? 0, a ? 1 ? 0 时,方程组有无穷多解.这时? ? 1? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数, x 3 为自由未知数,取 ? ? 2 , 为方程组的特解, ? ? ? 0 ? ? ????2? ? ? ? ? 1 为其导出组的基础解系.故方程组的通解为 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 1? ??2? ? ? ? ? x ? ? ? C? ? 2 ? C 1 . ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ??例 12 设向量 ? ? ( 2,1, b ) 可以由向量组 ? 1 ? (1,1,1), ? 2 ? ( 2, 3, a ) 线性表示,则数 a , b 应满足的条件是 A. a ? b ? 4 解析 考察方程 ?TB. a ? b ? 0T TC. a ? b ? 4D. a ? b ? 0? x1? 1 ? x 2? 2 ,其增广矩阵为??T 1?2T?T?2 1 0?1 ? ? 1 ? ?1 ?2 3 a 22? ?1 ? ? 1 ? 0 ? ? ?0 b? ? ?2 1 a?2 2 1 0? ? ?1 ? ? b ? 2? ? 2 ? ? ?1 ? a ?b ? 4? ? 2答案 C?1 ? ? 0 ? ?0 ?? ?1 ? ? ?1 ? 0 ? ? b ? 2 ? a ? 2? ?0 ? ?故方程组有解时,必有 a ? b ? 4第五章 特征值与特征向量 一、特征值与特征向量 1．特征值与特征向量的定义 要点： ? 是 n 阶方阵 A 的特征值，是指存在非零列向量 ? ，使得 A? ? ? ? .这时，称 ? 为矩阵 A 属于特征值 ? 的特征向 量.由此知， ? 是 n 阶方阵 A 的特征值 ? ? E ? A ? 0 ，这时，齐次方程组 ( ? E ? A ) x ? 0 的非零解都是矩阵 A 属于特 征值 ? 的特征向量. 例 1 设 A 为 3 阶矩阵, E 为 3 阶单位阵,若行列式 2 E ? 3 A ? 0 ,则 A 的一个特征值为 A. 【 】3 2B.2 3C. ?2 3D. ?3 2测试点? 为 A 的特征值的充分必要条件是 ? E ? A ? 0 .- 25 - 华夏大地教育网?解http//:www.edu -edu.com.cn2 3 E ? A ? 0, 所以 A 必有一个特征值为《线性代数》串讲讲义2 3. 答案 B因为 2 E ? 3 A ? 0 ,故?1 ? 例 2 已知矩阵 A ? 0 ? ?1 ?测试点0 1 01? ? 0 的一个特征值为 0 ，则 x ? ____________. ? x? ?? 为 A 的特征值的充分必要条件是 ? E ? A ? 0 .0 1 0答案解?1 ? 0 为矩阵 A ? 0 ? ?1 ?1 1? ? 0 的一个特征值 ? A ? 0 ? 1 x? ?10 1 01 0 ? x 1 1 1 x ? x ?1 ? 0故x ?1.例 3 设 3 阶矩阵 A 的每行元素之和均为 2,则 A 必有一个特征值为.? a1 1 ? 测试点 1.特征值的定义 2. a 2 1 ? ? a 31 ?解a1 2 a 22 a 32a1 3 ? ? a 23 ? a 33 ? ??1 ? ? a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 ? ? ? ? ? 1 ? a ? a 22 ? a 23 ? ? ? 21 ? ?1 ? ? a 3 1 ? a 3 2 ? a 3 3 ? ? ? ? ?因为 3 阶矩阵 A 的每行元素之和均为 2,? a1 1 ? A x ? a 21 ? ? a 31 ?a1 2 a 22 a 32a1 3 ? ? a 23 ? a 33 ? ??1 ? ? a 1 1 ? a 1 2 ? a 1 3 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? a ? a 22 ? a 23 ? 2 ? 2 1 ? 2 x. ? ? ? 21 ? ? ? ? ? ?1 ? ? a 3 1 ? a 3 2 ? a 3 3 ? ? 2 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?答案所以 A 必有一个特征值为 2 .2?1 ? 0 例 4 设矩阵 A ? ? ?0 ? ?0A． 1 B． 21 2 0 01 1 3 01? ? 1 ? ，则 A 的线性无关的特征向量的个数是（ 1? ? 3?C． 3 D． 4）解 A 的特征值为 ?1 ? 1, ? 2 ? 2, ? 3 ? ? 4 ? 3 ，当 ? 3 ? ? 4 ? 3 时，?3 ? 1 ? 0 3E ? A ? ? ? 0 ? ? 0?1 3?2 0 0?1 ?1 3?3 0?1 ? ?2 ? ? ?1 0 ?? ? ?1 ? ?0 ? ? 3 ? 3? ?0?1 1 0 0?1 ?1 0 0? 1? ? ?1 ? ? 1? ? 0 ?所以 r (3 E ? A ) ? 3 ，故 (3 E ? A ) x ? 0 的基础解系只含一个解，这表明 A 只有一个属于特征值 3 的线性无关的特征向量， 故 A 的线性无关的特征向量的个数是 3 . 2．关于特征值、特征向量的性质 1） A 与 A 有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量； 2）设 ? 1 , ? 2 都是矩阵 A 属于特征值 ? 的特征向量， k 1 , k 2 是数，只要 k 1? 1 ? k 2? 2 ? 0 ，则 k 1? 1 ? k 2? 2 也是矩阵 A 属于 - 26 T答案C 华夏大地教育网?特征值 ? 的特征向量； 3) 设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值为 ?1 , ? 2 , ? , ? n ,则http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义(1) ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ? trA ? a11 ? a 22 ? ? ?(2) ?1 ? 2 ? ? n ? A . 4）矩阵 A 属于不同特征值的特征向量线性无关; 5 ） 设 ? 是 矩 阵 A 属 于 特 征 值 ? 的 特 征 向 量 ， 则 ? 是 矩 阵 f ( A ) 属 于 特 征 值 f (? ) 的 特 征 向 量 ， 其 中f ( x ) ? a 0 x ? a1 xkk ?1? ? ? ak .6)设 ? 是可逆矩阵 A 的特征值.则 ? ? 0 ，且1?是矩阵 A?1的特征值.3．特征值、特征向量的求法 例 5 设 n 阶矩阵 A 有一个特征值为 ? 2 ,对于 n 阶单位矩阵 E ,矩阵 A ? 2 E 必有一个特征值为 . 解f ( A) ? A ? 2 E , 则 f ( x) ? x ? 2 , 因 为 A 有 一 个 特 征 值 为 ? 2 , 故 A ? 2 E 必 有 一 个 特 征 值 为f ( ? 2) ? ? 2 ? 2 ? ? 4例 6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，已知 A 有一个特征值为 2 ，则 ( 2 A ) 测试点 若 ? 为可逆矩阵 A 的一个特征值，则?1必有一个特征值为_____________.1?为矩阵 A?1的特征值.解因为 A 有一个特征值为 2 ，故 2 A 有一个特征值为 4 ,所以 ( 2 A )2?1必有一个特征值为1 4.答案1 4.例 7 已知 A 是 n 阶矩阵，且满足方程 A ? 2 A ? O ,证明 A 的特征值只能是 0 或 ? 2 . 测试点 设 ? 为 A 的特征值， f ( A ) ? a m Am? a m ?1 Am ?1? ? ? a 0 E ，则 f ( ? ) 为矩阵 f ( A ) 的特征值. O 矩阵的所有特征值均为 0. 证2设 ? 为 A 的特征值，则 ?22? 2 ? 必为 A ? 2 A 的特征值，又因为2A ? 2 A ? O ，故 ? ? 2 ? ? 0 ，故必有 ? ? 0 或 ? ? ? 2 .证毕二、相似矩阵 1.相似矩阵的定义 设 A , B 都是 n 阶方阵，如果存在可逆阵 P , 使得 B ? P 2. 相似矩阵的性质 1)反身性，对称性，传递性； 2）若方阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值， （但不一定有相同的特征向量）进而 A ? B ? ?1 ? 2 ? ? n , ，且?1A P ，则称 A 与 B 相似.trA ? trB ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ,其中 tr A 表示矩阵 A 的迹，即 trA ? a1 1 ? a 2 2 ? ? ? a n n , ?1 , ? 2 , ? , ? n 为方阵 A 的 n个特征值； 注意：反之，若 A 与 B 有相同的特征值， A 与 B 不一定相似；例如 A ? ? 不相似. - 27 -?1 ?00? ?1 ?,B ? ? 1? ?01? ? 有相同的特征值，但 A 与 B 1? 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn【《线性代数》串讲讲义】例 8 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似,且已知 A 的特征值为 0 ,1, 2 , 则矩阵 B 的迹 tr ( B ) ? A. 3 B. 2 C.1 D.0测试点 1. 相似矩阵的特征值相同;从而其迹和行列式也相同； 2.矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系. 解 由已知 B 的特征值也为 0 ,1, 2 , 故 B 的迹 tr ( B ) ? 0 ? 1 ? 2 ? 3?1答案 =（ ）A例 9 设 3 阶矩阵 A 与 B 相似，且已知 A 的特征值为 2, 2, 3 . 则 B A．1 12B．1 7C．7D．12测试点 (1) 相似矩阵的特征值相同; (2)设 ? 为矩阵 A 的一个特征值,则 f ( ? ) 为矩阵 f ( A ) 的特征值; (3)矩阵的特征值与该矩阵的迹和行列式的关系. 解 因为 3 阶矩阵 A 与 B 相似,所以 B 与 A 有相同的特征值,所以 B 的特征值为 2, 2, 3 ,故?11?为矩阵 A?1的特征值.B的特征值为1 1 1 1 1 1 1 ?1 , , . 从而 B ? ? ? ? . 2 2 3 2 2 3 12答案A例 10 若 2 阶矩阵 A 相似于矩阵 B ? ??2 ?2C． ?0 ? ? ， E 为 2 阶单位矩阵，则与矩阵 E ? A 相似的矩阵是（ ?3 ? ? ?1 ? ?2 0? ? 4?D． ?）A． ??1 ?10? ? 4?B． ?? ?1 ? 10 ? ? ?4 ?? ?1 ? ?20 ? ? ?4 ?测试点相似矩阵的概念；相似矩阵的性质（若 A 与 B 相似，则 f ( A ) 与 f ( B ) 相似；相似矩阵有相同的特征值等） ；三角形矩阵的特征值 解1?1 E ?B ?? ?00? ?2 ??? 1? ?20 ? ? ?1 ??? ?3 ? ? ?20? ? ，故 E ? B 的特征值为 ?1 ? ? 1, ? 2 ? 4 .因为 A 与 B 相似，故 E ? A 4?与 E ? B 相似，所以，凡与矩阵 E ? A 相似的矩阵的特征值都是 ? 1, 4 ，故在 A,B,C,D 四个选项中，正确的只能是 C. 解2 因为二阶方阵 E ? A 有两个不同的特征值，故 E ? A 与对角阵 ?? ?1 ? 00? ? ?1 ? 相似，同理 ? 4? ? ?20? ? ?1 ? 也与对角阵 ? 4? ? 00? ? 相似， 4?故 E ? A 与?? ?1 ? ?20? ? 相似. 4?答案C3.方阵 A 的对角化问题 1)n 阶方阵 A 能与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量；设 ?1 , ? 2 , ? , ? n 是方阵 A 的 n 个特征值，p1 , p 2 , ? , p n 依次是方阵 A 的属于特征值 ?1 , ? 2 , ? , ? n 的 n 个线性无关的特征向量.若令 P ? ? p1- 28 -p2?p n ? ，则 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn? ?1 ? 0 ?1 P AP ? ? ?? ? ?0 0 ? ? ? ?《线性代数》串讲讲义?2? 00 ? ? 0 ?. ? ? ? ?n ?2）若方阵 A 有 n 个不同的特征值（即特征方程无重根） ，则 A 必能与对角阵相似.（这是 A 能与对角阵相似的充分条件，不 是必要条件） 例 11 n 阶矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是（ A 矩阵 A 有 n 个特征值 答案 例12 B 判断 A ? ? ） D 矩阵 A 的特征多项式没有重根B 矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量 C A ? 0?1 ?01? ? 能否与对角阵相似. 1? ?1 ? ?0 ? ? ? 1 ? 1? ? 0 ? 1? ?0 ?? ? 0 ? ?0 ?1 ?0 1? ? 0? 1? ? 只有一个线性无关的特征向量，故 1?解析?1 ? 1 E ? A? ? ? 0故 ( E ? A ) x ? 0 的基础解系只含一个解，即 A ? ??1 A? ? ?01? ? 不能与对角阵相似. 1?例 13 A 为三阶矩阵， 0, ? 1,1 为它的三个特征值, 其对应的特征向量为 p1 , p 2 , p 3 。设 P ? 错误的是（?1? p1p2p 3 ? ，则下列等式）A P?0 ? AP ? 0 ? ?0 ? ?0 ? AP ? 0 ? ?0 ?0 ?1 00? ?0 ? ? 0 B. A ? P 0 ? ? ?0 1? ? ?0 ?1 00? ? ?1 0 P ? 1? ?C. P?1?0 ? AP ? 0 ? ?0 ?0 1 00 ? ? 0 ? ? 1? ?D. A? 1 ? 0解析因为 p1 , p 2 , p 3 依次是矩阵 A 属于特征值 0, ? 1,1 的特征向量，故0 ?1 0P?10? ?0 ? ? ?1 0 ,所以 P A P ? 0 ? ? ?0 1? ? ? ?10 3 00 1 00 ? ? 0 . ? ? 1? ?答案 C??4 ? 例 14 设矩阵 A ? 1 ? ? 6 ?解0? ? ?1 0 ，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 D ，使得 P A P ? D . ? 0? ?(1)求 A 的特征值和线性无关的特征向量??4 ?E ? A ??1 ?6所以 A 的特征值为 (2) 当 ?1 ? 0 时100 0 ? ? ( ? ? ? ? 2 ) ? ? ( ? ? 2 )( ? ? 1) .2? ?30??1 ? 0, ? 2 ? ? 2, ? 3 ? 1 .- 29 - 华夏大地教育网?? 4 ? ? E ? A ? ?1 ? ??6 ?http//:www.edu -edu.com.cn10 ?3 0 0? ? 0 ?? ? ? 0? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 0 5 3 0? ? 0 ?? ? ? 0? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 0 5 3 0? ? 0 ?? ? ? 0? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 0 1 0《线性代数》串讲讲义0? ? 0 ? 0? ??0 ? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数,取 x 3 为自由未知数,得 p 1 ? 0 为齐次方程组 ( 0 E ? A ) x ? 0 的基础解系.故为 A 属于特征值 ? ? ?1 ? ? ?? 1 ? 0 的特征向量.当 ?2 ? ?2 时? 2 ? ? E ? A ? ?1 ? ??6 ?10 ?5 00 ? ? 0 ?? ? ? ?2 ? ??1 ? 0 ? ?0 ?5 0 150 ? ? 0 ?? ? ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?5 15 00 ? ? ?1 ? 0 ? ???5? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数,取 x 3 为自由未知数,得 p 2 ? 1 ? ? ?15 ? ? ?当 ?3 ? 1 时? 5 ? ? E ? A ? ?1 ? ??6 ?10 ?2 00? ? 0 ?? ? ? 1? ?? 1 ? ?1 ? ??6 ?2 ?2 00? ? 0 ?? ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?2 12 00? ? 1 ? 0? ?? 2 ? ? ? 取 x1 , x 2 为约束未知数,取 x 3 为自由未知数,得 p 3 ? ? 1 ? ? ? ? ?1 2 ?取P ?? p1?1p2p3 ??0 ? ? 0 ? ?1 ??5 1 152 ? ?0 ? ? ?1 , D ? 0 ? ? ?0 12 ? ? ?0 ?2 00? ? 0 , ? 1? ?则有 PAP ? D. .??4 ? 验算 只要检查 A P ? 1 ? ? 6 ? ?0 ? PD ? 0 ? ?1 ?所以?10 3 0 0 ?2 0?10? ? 0 ? 0? ??0 ? 0 ? ?1 ??5 1 15 10 ?2 ?302 ? ?0 ? ? ?1 ? 0 ? ? 12 ? ?0 ? ? 2 ? ? ?1 ? 12 ? ?10 ?2 ?302 ? ? ?1 ? 12 ? ??5 1 152 ? ? ?1 ? 12 ? ??0 ? 0 ? ?0 ?0 ? ?0 ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ? ?0 ? ?A P ? P D ，从而 PAP ? DT例 15 设 3 阶矩阵 A 的特征值为: ?1 ? 1, ? 2 ? ? 3 ? 2, 且已知 A 属于特征值 ?1 ? 1 的特征向量为 ? 1 ? (0,1, ? 1) ; A 属于特 - 30 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cnT T《线性代数》串讲讲义征值 ? 2 ? ? 3 ? 2 的特征向量为 ? 2 ? (1, 0, 0 ) , ? 3 ? (0,1,1) .求矩阵 A . 测试点 关于 n 阶方阵 A 与对角阵相似的公式:设 ?1 , ? 2 , ? 3 为三阶方阵 A 的三个特征值, ? 1 , ? 2 , ? 3 依次为 A 属于特征值?1 , ? 2 , ? 3 的线性无关的特征向量,则令? ?1 ? AP ? 0 ? ?0 ? 0 0 ? ? 0 ? ?3 ? ?P ? ?? 1?2?3?有P?1?20故? ?1 ? A? P 0 ? ?0 ?0?20 ? 0 ? ? 1 ? ??1 ?0 ? ? ?1 0 P ? ?3 ? ? 1 0 0 0? ?1 ? ? 1 ,? ? 0 ? ? ?0 1? ? ? 0 2 0 0? ? 0 . ? 2? ?解 令 P ? ?? 1?2?3?为求 A ,需先求 P?1.?P? 0 ? E?? 1 ? ??1 ?1 0 00 1 11 0 00 1 00? ? 0 ?? ? ? 1? ?? 1 ? 0 ? ??1 ?0 1 01 0 10 1 01 0 00? ? 0 ? ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?0 1 01 0 20 1 01 0 10? ? 0 ?? ? ? 1? ?? ?1 ? ?0 ? ?0 ?0 1 01 0 10 1 01 0 1 2? 0? ? 0? ?? ? 1? ? 2?? ?1 ? ?0 ? ?0 ?0 1 00 0 10 1 01 2 0 1 2?1? 2? ? 0 ? 1 ? ? 2 ?所以 P?1? ?0 ? ? ?1 ? ?0 ?1 2 0 1 2?1? 2? ? 0 ? 1 ? ? 2 ?? ?0 ? ?1 ? ?0 ? 1 2 0 1 2 ? 1? 2? ? 0 ? ? 0 ?? 1 ? 1 ? ??1 ? ? 2 ? ? ?0 ? ?1 ? ?0 ? 1 2 0 1 2 ? ? 1? ?2 2? ? ? 0 ? ? ?0 ? 1 ? ? ? 2 ? ?0 ? ? 0? ? 1? 2? 3? ? 2?5故A ? P?P?1? 0 ? ? 1 ? ??1 ?1 0 00? ? 1 ? 1? ??1 ? 0 ? ?0 ?0 2 00? ? 0 ? 2? ?2 0 00? ? 2 ? 2? ?0 3 2 1 2例 16 已知 2 阶矩阵 A 的特征值为 ? 1 与 2 ，对应的特征向量分别为 ? 1 ? (1, 0 ) , ? 2 ? ( ? 1,1) . 求： （1） A ； （2） AT T? ?1 知识点 利用矩阵与对角阵形似将计算 A 转化为计算 ? ? ? ?0550 ? ? ? 15 ? ? ? ?2 ? ? 050 ? 5 ? ?2 ?- 31 - 华夏大地教育网?解http//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义T T因 为 2 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 ? 1 与 2 ， 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 ? 1 ? (1, 0 ) , ? 2 ? ( ? 1,1) . 取P ? ?? 1?2? ? ??1 ?0?1? ? ?1 ?1 ? ，则 P A P ? ? 1 ? ? 0 ?1? ? ?1 ?? 1 ?? 0 0??1 ?? 2??00? ? ,所以 2? 1? ? ?1 ??? 1? ? 0 ?3 ? ?. 2 ?0 ? ?1 ? ?1 ?P ? P? 2? ? 0 0? ?1 ? P 2?5? ?1 A ? P? ? 0? ?1 A ? [P ? ? 050 ? ?1 ? 1 ?P ?? 2? ?00 ? ?1 5 ? ?1 ?P ] ? P? 2? ? 00? ? ?1 ?1 ? (P P) ? 2? ? 00 ? ?1 ? ?1 ?P ?P? 2? ? 0?1 ?? ?0?1? ? ?1 ?? 1 ?? 0 ?10 ??1 ?? 32 ? ? 01? ? ?1 ??? 1? ? 0?33 ? ? 32 ?例 17 设矩阵 A ? ??42? ?5 ?,B ? ? 3? ?2T0 ? T T ? ，存在 ? 1 ? (1, 2 ) , ? 2 ? ( ? 1,1) ，使得 A? 1 ? 5? 1 ? 1?T?1A? 2 ? ? ? 2 ；存在 ? 1 ? (3,1) , ? 2 ? (0,1) , 使得 B ? 1 ? 5 ? 1 , B ? 2 ? ? ? 2 .试求可逆矩阵 P ，使得 P测试点 解 方阵的特征值和特征向量的定义；方阵能与对角阵相似的充分必要条件及其相应的等式 因为 A? 1 ? 5? 1 ， A? 2 ? ? ? 2 ，令 Q 1 ? ? ? 1AP ? B .?2? ? ??1 ?2? 1? ?5 ?1 ? 有 Q1 A Q1 ? ? 1 ? ?00 ? ? ? 1?同理，取 Q 2 ? ? ? 1 故 B ? Q2 ??2? ? ??3 ?10? ?5 ?1 ? ，有 Q 2 B Q 2 ? ? 1? ?00 ? ?， ? 1??5 ?00 ? ?1 ?1 ?1 ? Q 2 ? Q 2 Q 1 A Q 1Q 2 ? 1? ? 1? 1 ?? 1 ? 3 ? 1 ? ??1 0? 1 ?2 ? ? ? 3? 3 ?1 ?3? ?， 3 ?故取?1?1 ?1 P ? Q 1Q 2 ? ? ?2则 P AP ? B . 三.向量的内积和正交矩阵? a1 ? ? b1 ? ? ? ? ? a b ? 2 ? , ? ? ? 2 ? , (? , ? ) ? ? T ? ? a b ? a b ? ? ? a b 1.向量内积的定义:设 ? ? 1 1 2 2 n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?an ? ? bn ?2．向量的长度 ? ? 3．单位化向量 ?0(? , ? ) ?a1 ? a 2 ? ? ? a n2 22?? ?4．正交向量组的定义及其性质 定义 如果一个向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（简称两两正交） ，则称该向量组为正交向量组. 正交向量组必线性无关主要性质5 施密特正交化手续 例 18 已知 3 维向量 ? ? (1, ? 3, 2 ) , ? ? ( ? 1, 2, 0 ) , 则内积 (? , ? ) ? ____________.T T测试点内积的定义- 32 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn?7《线性代数》串讲讲义解? ? 1? ? ? (? , ? ) ? (1, ? 3, 2 ) 2 ? ? 7 ? ? ? 0 ? ? ?答案?1 ? ?1 ? ? ? ? ? 例 19 求一个单位向量 ? , 使得 ? 与 ? 1 ? 1 , ? 2 ? 2 都正交. ? ? ? ? ?1 ? ?3? ? ? ? ? ? x1 ? ? ? 解 设 ? ? x 2 与 ? 1 , ? 2 都正交,则 ? ? ? x3 ? ? ?? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? 0? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ,单位化得 ? ? ? 可取 ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 6 2 6 1 6? ? ? ? ? 即为所求. ? ? ? ?例 20 利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组:?1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1 0 ?1 ? ? ? ， ? 2 ? ? ? . ?0? ?1 ? ? ? ? ? ?0? ?0?测试点 施密特正交化手续? 1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 ? ? , ? ? ? ? k ? ? ? ? (? 2 , ? 1 ) ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 解 取 ?1 ? ? 1 ? 2 2 21 1 2 1 ?0 ? ?1 ? 2 ?0 ? ? 2 ? (?1, ?1 ) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?0 ? ?0 ? ?0 ? ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ,?2 ? 2 ?2 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? 1 6 1 6 2 6 0 ? ? ? ? ? 为所求的单位正交向量组. ? ? ? ? ? ?- 33 -?1 ? 则 ?1 ? ?1 华夏大地教育网?验算 6. 正交矩阵 1）正交矩阵的定义；如果 n 阶方阵 A 满足 A AThttp//:www.edu -edu.com.cn《线性代数》串讲讲义? E ，则称它为正交阵?12）正交矩阵的性质：设方阵 A 为正交阵，则 A ? ? 1; A 必可逆，且 A? A ；T n如果 A , B 都是 n 阶正交阵，则 A B 也是正交阵； A 是正交阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量组构成 R 的标准正交基. 四．实对称矩阵的相似标准形 1．实对称矩阵的特征值都是实数； 2．实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交；?13．实对称矩阵必能与对角阵相似，且存在正交阵 P ，使得 PA P 为对角形.?1 4．任给实对称阵 A ，如何求出正交阵 P ，使得 P A P 为对角形.例 21 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ? 2 ? 0, ? 3 ? 2 ，则秩 ( A ) =（ A． 0 测试点 1.相似矩阵与等价矩阵的概念; 2.等价矩阵有相等的秩; 3.阶梯形矩阵的秩 B． 1 C． 2 D． 3）?2 ? 解 因为 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ? 2 ? 0, ? 3 ? 2 ,故矩阵 A 必与对角阵 0 ? ?0 ? ?2 ? 0 ? ?0 ? 0 0 0 0? ? 0 等价,所以秩 ( A ) ? 1 . ? 0? ??1 ?20 0 00? ? 0 相似,所以 A 必与对角阵 ? 0? ?答案B例 22 设矩阵 A ? ?2? ?1 ? ，求正交矩阵 P ，使 P A P 为对角矩阵. 1?解(1)?E ? A ?? ?1?2?2? ?1? ( ? ? 1) ? 2 ? ( ? ? 1)( ? ? 3)2 2所以 A 的所有特征值为 ?1 ? ? 1, ? 2 ? 3 . (2)当 ?1 ? ? 1 时, ? E ? A ? ? E ? A ? ???2 ??2?2? ?1 ? ? ?? ? ?2? ?01? ? 0?取 x 1 为约束未知数, x 2 为自由未知数, p 1 ? ? 值 ?1 ? ? 1 的特征向量. 当 ? 1 ? 3 时, ? E ? A ? 3 E ? A ? ?? 1 ? ? 1 ? ? 为齐次方程组 ( ? E ? A ) x ? 0 的基础解系.故 p 1 ? ? ? 为 A 属于特征 ? ? 1? ? ? 1?? 2 ??2?2 ? ? ? ?? 2 ? ?1 ? ?1 ??1 ? ?0? 1? ? 0 ? ?1 ? ?1 ?取 x 1 为约束未知数, x 2 为自由未知数, p 2 ? ? ? 为齐次方程组 (3 E ? A ) x ? 0 的基础解系.故 p 2 ? ? ? 为 A 属于特征值? 1 ? 3 的特征向量.- 34 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn? 1 ? ? ? 2 ? ,则 P ? ? p1 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 2?? 1 ? 2 ? ? 1 ? ? ? 2 ?《线性代数》串讲讲义1 ? ? 2 ? 正交阵, 1 ? ? 2?? (3) p1 ?p1 p1? 1 ? ? ? 2 ? , p2 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2? ?0? ? 3?(请验算!)p2 p2? p2 ?且P?1??1 AP ? ? ? 0第六章 一. 二次型及其矩阵表示T实二次型f ( x1 , x 2 , ? x n ) ? x A x ,称矩阵 A 的秩为该二次型的秩2 2 2例 1 二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? x 1 ? x 2 ? x 3 ? 2 x 1 x 2 ? 4 x 1 x 3 的矩阵为（）?1 ? A． 2 ? ?4 ?测试点2 1 04? ?1 ? ? 0 B． 0 ? ? ?0 1? ? ?2 1 0?1 4? ? ? 0 C． ? 1 ? ?2 1? ? ?答案 C]1 1 02? ? 0? 1? ??1 ? 1 D． ? ?0 ?1 1 20? ? 2? 1? ?二次型的矩阵? 2 ? 例 2 已知二次型的矩阵为 1 ? ? ??1f ( x1 , x 2 , x 3 ) 为测试点 解1 3 4? 1? ? 4 ,则以它为矩阵的二次型 ? ? 5 ?.二次型的矩阵以及实对称矩阵的二次型所求二次型为f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x1 ? 3 x 2 ? 5 x 3 ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 8 x 2 x 32 2 2二．矩阵的合同设 A 与 B 都是 n 阶方阵.如果存在可逆矩阵 P , 使得 B ? P A P ，则称 A 与 B 合同.TT对 于 二 次 型 f ( x1 , x 2 , ? x n ) ? x A x ， 做 非 退 化 的 线 性 变 换 变 换 x ? P y （ 其 中 P 为 可 逆 阵 ） 则f ( x1 , x 2 , ? x n ) ? x A x ? y ( P A P ) y ,可见经非退化的线性变换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。T T T三．用正交变换化二次型为标准形 1 定理 对任意实二次型 f ( x 1 , x 2 , ? , x n ) ? x A x ，总存在正交变换 x ? P y ，使得该二次型化为标准型Tf ( x1 , x 2 , ? , x n ) ? ?1 y1 ? ? 2 y 2 ? ? ? ? n y n ，2 2 2其中 ?1 , ? 2 , ? , ? n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征值. 此定理说明：对任意实对称矩阵 A ，总存在正交阵 P ，使得? ?1 ? 0 T P AP ? ? ?? ? ?00? ? ? ??2? 00 ? ? ? ? ? ? ? ?n ?其中 ?1 , ? 2 , ? , ? n 为实对称矩阵 A 的 n 个特征值.（即实对称矩阵 A 必能与对角阵- 35 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn? ?1 ? 0 ? ? ? ?? ? ?0 0 ? ? ? ?《线性代数》串讲讲义?2? 00 ? ? 0 ? ? ? ? ?n ?合同. 2. 要掌握用正交变换化二次型为标准形（平方和）的方法. 例 3 已知二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x 1 x 2 ? 2 x 1 x 3 ? 2 x 2 x 3 ，求一正交变换 x ? Py ，将此二次型化为标准形． 测试点 用正交变换将二次型化为标准形的方法步骤?0 ? 解 该二次型的矩阵为 A ? 1 ? ?1 ?求矩阵 A 的特征值和特征向量1 0 11? ? 1 ? 0? ?? ? E ? A ? ?1?1?1?1??2 ??2?1 0?1?11?1?1 ?1 ???1?1 ? ? ? 2??1? 1 ? (? ? 2 ) 1??1??1?1?1 ? (? ? 2) 0 0令? ?10? ( ? ? 2 )( ? ? 1) ，2? ?1? E ? A ? 0, 得矩阵 A 的特征值 ?1 ? ? 2 ? ? 1, ? 3 ? 2 .??1 ? ?1 ? ? 2 ? ? 1 时， ? E ? A ? ? 1 ? ??1 ? ?1 ?1 ?1 ? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 1? ? ?1 ? 0 ? ?0 ? 1 0 0 1? ? 0 ? 0? ?当? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 得 齐 次 方 程 组 ( ? E ? A ) x? 0 的 基 础 解 系 为 p 1 ? 1 , p 2 ? 0 ， 这 表 明 p1 , p 2 为 矩 阵 A 的 属 于 特 征 值 ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ??1 ? ? 2 ? ? 1 的两个线性无关的特征向量.? 2 ? 当 ? 3 ? 2 时， ? E ? A ? ? 1 ? ? ??1?1 ? ?? 0 ? ? ? ?0 1 3 ?3?1 2 ?1? 1? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 ??1 ? 0 ? ? ?0? 1 ? ?1 ? ? ? 21 1 01 2 ?1?2 ? ? ?1 ? ? 0 ??2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1??2? ? ?3 ? ? ? ? ? 3 ??1 ? ? ? 得齐次方程组 ( ? E ? A ) x ? 0 的基础解系为 p 3 ? 1 ，故 p 3 为矩阵 A 的属于特征值 ? 3 ? 2 的特征向量. ? ? ? ? ?1 ?- 36 - 华夏大地教育网? http//:www.edu -edu.com.cn 《线性代数》串讲讲义? 1? ?? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ( p2 ,? 1 ) ? ? 1 ? ? ? 1? 将 p1 , p 2 正交化，令 ? 1 ? p 1 , ? 2 ? p 2 ? ?1 ? 0 ? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? (? 1 , ? 1 ) ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ?? ? 2 ? ? ?2 1 ? ? ,? ? ? ?? ? 2 ?2 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 6 ? 1 ? ? , ?3 ? 6 ? 2 ? ? 6 ? ? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? ?. 3 ? ? ? 1 ? ? ? ? 3?单位化取 ? 1 ??1 ?1p3 p3得正交阵 P ? ? ? 1?2?3?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?21 2 1 2 0? ?1 6 1 6 2 61 ? ? 3 ? 1 ? ? ，当 x ? P y 时，原二次型化为标准形 3 ? 1 ? ? 3?f ? ? y1 ? y 2 ? 2 y 3 .2 2答案? ?? ? ? P ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 02? ?1 6 1 6 2 621 ? ? 3 ? 1 ? ? ，当 x ? P y 时，原二次型化为标准形 3 ? 1 ? ? 3?2f ? ? y1 ? y 2 ? 2 y 3 .四. 配方法化二次型为标准形（平方和）. 例 4.用配方法求二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? x1 ? 4 x 2 ? x 3 ? 2 x1 x 3 ? 4 x 2 x 3 的标准形，并写出相应的线性变换。 测试点 解 用配方法求二次型的标准形2 2 2222f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? x 1 ? 4 x 2 ? x 3 ? 2 x 1 x 3 ? 4 x 2 x 3? x1 ? 2 x1 x 3 ? x 3 ? 4 x 2 ? 4 x 2 x 32 2 2? ( x1 ? x 3 ) ? [(2 x 2 ) ? 2(2 x 2 ) x 3 ? x 3 ] ? x 32 2 22? ( x1 ? x 3 ) ? (2 x 2 ? x 3 ) ? x 32 22? y 1 ? x1 ? x 3 ? 2 2 2 令 ? y 2 ? 2 x 2 ? x 3 ，得二次型的标准形 f ? y1 ? y 2 ? y 3 . ?y ? x 3 ? 3相应的线性变换为 x 3 ? y 3 , x 2 ?1 2( y 2 ? y 3 ), x1 ? y1 ? y 3 ，- 37 - 华夏大地教育网??1 ? x1 ? ? ? ? x ? x2 ? ? 0 ? ? ? ? x3 ? ? ? ? ?0http//:www.edu -edu.com.cn0 1 2 0 1 ? ? ? y1 ? 1 ? ? ? ? y2 . 2?? ? ?y ? 1 ?? 3? ?《线性代数》串讲讲义即例 5 用配方法求二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 6 x 2 x 3 的标准形，并写出相应的线性变换.? x1 ? y 1 ? y 2 ? 解 令 ? x 2 ? y1 ? y 2 ?x ? y 3 ? 3则原二次型f ( x1 , x 2 , x 3 ) ? 2 x1 x 2 ? 2 x1 x 3 ? 6 x 2 x 3 ?? 2 ( y1 ? y 2 ) ? 2 ( y1 y 3 ? y 2 y 3 ) ? 6 ( y1 y 3 ? y 2 y 3 ) ?2 2? 2 y1 ? 2 y 2 ? 4 y1 y 3 ? 8 y 2 y 32 2? 2 ( y1 ? 2 y1 y 3 ? y 3 ) ? 2 y 2 ? 8 y 2 y 3 ? 2 y 3 ?2 2 2 2? 2 ( y1 ? y 3 ) ? 2 ( y 2 ? 2 y 3 ) ? 6 y 3 }
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