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用配方法将二次型化为标准型,请写配方法的详细过程设矩阵A=1
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f = x1^2+x2^2-2x3^2-4x1x2+2x1x3+2x2x3= (x1-2x2+x3)^2-3x2^2-3x3^2+6x2x3= (x1-2x2+x3)^2-3(x2-x3)^2= y1^2-3y2^2
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讨论了被积函数或积分区域可以用二次型来表示的重积分的计算问题，通过引入进非退化线性变换，简化了这类重积分的计算，得出了计算公式。
By introducing the non-degenerate linear transformation, the calculation procedure of this type of multi-integration is simplified and the calculation formula is obtained.
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线性代数电子教案
线性代数电子教案四川农业大学生命科学与理学院四川农业大学生命科学与理学院第0章 第一章 第二章第三章前 言 行 列 式 矩 阵n维向量及其线性相关性第四章线性方程组第五章二 次 型四川农业大学生命科学与理学院第0章前言?本课程的性质、作用和任务?学习线性代数的具体要求、重点和难点?线性代数的学习方法四川农业大学生命科学与理学院本课程的性质、作用和任务一、关于《线性代数》 线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合 的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学 科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一 块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在 两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算 术》，这使我们引以自豪。四川农业大学生命科学与理学院本课程的性质、作用和任务由于线性代数在数学、力学、物理学和技术 科学中有各种重要应用，因而它现在还在各种代 数分枝中占居首要地位。 不仅如此，该学科所体现的几何观念与代 数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公 理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳 综合等，对强化人们的数学训练，增益科学智 能都是非常有用的。四川农业大学生命科学与理学院本课程的性质、作用和任务时至今日，多种专业人员都需要学习线性代数，还出于一个重要原因：随着科学技术的迅速发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要更进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题(不少是非线性的)大多数情况下，可以线性化，而 由于电子计算机科学的高度发展，线性化的问题又 可计算出来。线性代数正是解决这些问题的有力工 具。所以这门学科身价百倍，正保其青春活力。四川农业大学生命科学与理学院本课程的性质、作用和任务1、具体与抽象 线性代数运用所谓公理化的研究方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事物或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公理、性质(定义)，再从这里出发，采取统一的观点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新 的性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实 例中抽象出来的。可以说，抽象程度越高，则概 括程度越强，适用范围就越广，但也就不容易理解深透。四川农业大学生命科学与理学院本课程的性质、作用和任务2、特殊与一般 就我们研究问题来说，或者说就我们的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。数学更不例外。对于解析几何中的二 次曲线、二次曲面的标准形研究问题，是我们大家所熟知的问题，而且有它明显的几何直观意义。对于这样一个问题，我们怎样抽象到n维空间的一个一般问题呢？这在线 性代数理论，就产生了有关二次型的研究。在二次型的研 究方法中，我们采用了解析几何中二次曲线、二次曲面化 标准形的一些具体的直观的思想并将它移植到我们更一般 的n维抽象空间上来。 四川农业大学生命科学与理学院本课程的性质、作用和任务3、计算与论证 计算是按一定公式、法则机械地进行的。多数人容易学会；而探索一个论证要不断进行分析综合，弄不好便走错路。线性代数中大量需要论证，而且用到刚学过的比较抽象的概念。4、教材体系 不同教本采用不同体系，如线性方 程组、行列式、矩阵----，各书出现的先后不同， 起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加 了困难。四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点1、行列式 (1)掌握n阶行列式的概念；(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解线性方程组。重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字 母行列式的计算。四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点2、矩 阵(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等 矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理 论与方法。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点 3、n维向量及其线性相关性（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线 性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向 量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量 组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结 构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的 概念，掌握内积的概念。重点是利用初等变换方法求出线性代数方程 组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如 何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点4、线性方程组(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法 及有解判定法。四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点4、对称矩阵与二次型(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩 阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角 化的条件。 四川农业大学生命科学与理学院学习线性代数的具体要求、重点和难点重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。难点是惯性定理及正交法。四川农业大学生命科学与理学院线性代数的学习方法1、攻克“抽象化”堡垒 2、占领“一般性”阵地3、增强论证能力4、掌握全局和局部的关系四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式?§1.1行列式及其性质?§1.2行列式的计算 ?§1.3克莱姆法则四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的 [教学目的]:概念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解线性方程组. [重 点]: 行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。[难 点]： 高阶行列式及字母行列式的计算。 [学时数]： 4-6学时四川农业大学生命科学与理学院第一章§1.1一、2、3阶行列式的定义：引进符号：行 列 式行列式及其性质a11 a21a12 a22? a11a22 ? a21a12并称之为二阶行列式。其中aij (i ? 1,2; j ? 1,2) ? 元素i ? 行标，j ? 列标四川农业大学生命科学与理学院第一章同理，符号：行 列 式a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ? a11a22a33 ? a21a32a13 ? a12a23a31 ? a13a22a31 ? a23a32a11 ? a33a21a12称为三阶行列式。四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式二、2 、3阶行列式与线性方程组的关系设有两个未知数的线性方程组：a11 x1 ? a12 x2 ? b1 a21 x1 ? a22 x2 ? b2(1.1)其变量的系数可以构成一个2阶行列式，称为该 线性方程组的系数行列式，记为D四川农业大学生命科学与理学院第一章即：行 列 式D?a11 a21a12 a22 b1 b2 a12 a22 , D2 ? a11 a 21 b1 b2又记：D1 ?利用消元法解(1.1)得：b1a 22 ? a12 b2 D1 x1 ? ? a11a 22 ? a12 a 21 D a11b2 ? b1a 21 D2 x2 ? ? a11a 22 ? a12 a 21 D四川农业大学生命科学与理学院第一章三、n阶行列式的定义a11 a21 ? an1 a12 ? a1n a22 ? a2 n ? an 2 ? ? ? ann行 列 式定义 设有n 2个数aij (i ? 1,2? n, j ? 1,2? n)排成n行n列的算式称为n阶行列式，记为Dn或 det(aij )数aij 称为行列式的元素，横排为行，纵排位列。元素aij的余子式为：在Dn中去掉aij 所在的行和列，剩下元素（位置不变） 构成的n ? 1阶行列式，记为M ij元素aij的代数余子式为：Aij ? (?1) i ? j M ij四川农业大学生命科学与理学院第一章定义n阶行列式的值为a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2n ? ? ? ? an1 an 2 ? anna22 ? a2 na12行 列 式? a1na12 ? a1n? (?1)1?1 a11 ?an 2? ? (?1) 2?1 a21 ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) n ?1 an1 ? ? ann an ?1, 2 ? an ?1,n an 2 ? ann ?即D n ? (?1) 2 a11M 11 ? (?1) 2?1 a21M 21 ? ? ? (?1) n?1 an1M n1? ? (?1) i ?1 ai1M i1i ?1 n或Dn ? a11 A11 ? a21 A21 ? ? ? an1 An1? ? ai1 Ai1i ?1 n四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式*可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即定 理1 n阶 行 列 式 的 值 等 于 它 的 一 行 的 每 个 元 素 与 其 第 相应的代数余子式乘积 和，即 之 Dn ? a11 A11 ? a12 A12 ? ? ? a1n A1n ? ? a1 j A1 j证明：用数归纳法 （1）n=2时，显然成立 （2）设n=k-1时命题成立，现证n=k时，命题也成立。? Dn ? ? ai1 Ai1 ? a11M 11 ? ? ai1 ( ?1) i ?1 M i1 ? (*)i ?1 i ?2 k knj ?1其中Mi1是k-1阶行列式，则由归纳假设有： 四川农业大学生命科学与理学院第一章a12 a22 ? M i1 ? ai ?1, 2 ai ?1, 2 ? ak 2k j ?2行 列 式a1k a2 k ? ai ?1, k ai ?1, k ? akkk j ?2a13 a23 ? ai ?1,3 ai ?1,3 ? ak 3? ? ? ? ? ? ?? ? a1 j ( M i1 )1 j ( ?1)1? ( j ?1) ? ? ( ?1) j a1 j ( M i1 )1 j四川农业大学生命科学与理学院第一章代入（*）得：k行 列 式k? Dn ? a11M 11 ? ? ( ?1) i ?1 ai1[? a1 j ( M i1 )1 j ]i?2 j ?2? a11M 11 ? ? ? ( ?1) i ?1? j ai1a1 j ( M 1 j ) i1i ?2 j ?2 kkk? a11M 11 ? ? ( ?1)1? j a1 j [? ( ?1) i ai1 ( M 1 j ) i1 ]j ?2 k i?2k? a11M 11 ? ? ( ?1)1? j a1 j M 1 j ? ? a1 j A1 jj ?2 j ?1k四川农业大学生命科学与理学院第一章四、行列式的性质行 列 式性质1：行列式转置后，其值不变。设a11 a21 ? an1a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? ? an 2 ? annD的转置D ?Ta11 a12 ? a1na21 ? an1 a22 ? an 2 ? ? ? a2 n ? annD?则 DT ? D性质1表明：行列式对行满足的性质对列同样满足，反之亦然。 四川农业大学生命科学与理学院第一章性质 2：行 列 式互换一个行列式的两行（或两列），行列式的值变号。互换i, j两行可表示为：ri ? rj互换i, j两列可表示为：ci ? c j推论 ：行列式D中有两行（列）的对应元素完全相 同，则这个行列式的值为零。四川农业大学生命科学与理学院第一章可以提到行列式符号外。行 列 式性质 3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，第i行（列）乘以k可表示为：ri ? k (ci ? k )推论 1：若行列式有一行（列）的元素全为零，则这个行列式的值为零。 推论 2：若行列式有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零。四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式性质4：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1 项、第2项，其它位置的元素不变。a11 D? a21 ? an1 a12 ? a1 j ? b1 ? an 2 ? anj ? bn ? a1n ? ? a22 ? a2 j ? b2 ? a2 n ? anna11 ? a21 ? an1a12 ? a1 j ? an 2 ? anj? a1n ? ?a11 ? a21 ? an1a12 ? b1 ? a1n a22 ? b2 ? a2 n ? ? ? an 2 ? bn ? anna22 ? a2 j ? a2 n ? ann四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式性质 5：若行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后，加到另一行（列）相应元素上，则该行列式的值不变。以k乘以第j行加到第i行上，记为ri ? krj 以k乘以第j列加到第i列上，记为ci ? kcja11 ? ai1 D? ? a j1 ? an1 a12 ? a1n ? ai 2 ? ? ? ? ain ? ?ri ? kr ja11 ? ai1 ? k aj1 ? a j1 ? an1a12 ? ? a j2 ? an 2?a1n ? ?ai 2 ? k aj 2 ? ain ? k ajn ? ? a jn ? ann?a j 2 ? a jn an 2 ? ann四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式性质6：行列式的值等于它任意一行（列）的元素 与它的代数余子式的乘积之和。 a11 a12 ? a1n a21 a22 ? a2 n ? ? ? ? an1 an 2 ? ann? ? aij Aijj ?1nn(i ? 1,2 ? n)( j ? 1,2? n)? ? aij Aiji ?1四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式性质7：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子的乘积子和为零。?ak ?1nikA jk ? ai1 A j1 ? ai 2 A j 2 ? ? ? ain A jn ? 0?ak ?1nkiAkj ? a1i A1 j ? a2i A2 j ? ? ? ani Anj ? 0四川农业大学生命科学与理学院第一章§1.2一、应用举例 例1：计算下三角行列式行 列 式行列式的计算a11 D? a 21 ? a n10 a 22 ? an 2? ? ?0 0 ? a nn的值。四川农业大学生命科学与理学院第一章解：按第一行展开得：行 列 式a22 D ? a11 a32 ? an 20 a33 ? an 3? ? ?0 0 ? ann? ? ? a11a22 ? ann四川农业大学生命科学与理学院第一章例2：计算行 列 式a D ? a a bb b a bb a b bb b a a的值。四川农业大学生命科学与理学院第一章2 1行 列 式解：第2行加上第1行的-1倍、第4行加上第3行的-1倍得： a b b b a b b b r ? ( ?1) r 0 a ?b 0 0 0 a ? b 0 r4 ? ( ?1) r3 0 D ? ? a a b a a a b a b?a b?a 0 0 b b b a第二行展a ( ?1) 2? 3 ( a ? b) ab ab a?第二行提出 a , 第三行提出 b ? aa (b ? a ) 2 a 1 1b 1 13b 1 0b?a b?a 0?r2 ? ( ?1) r3a b b (b ? a ) 2 a 0 0 1 1 1 0第二行展??? (b ? a ) a2a b 1 1? a(b ? a)四川农业大学生命科学与理学院第一章例3：计算行 列 式4 4 4 1 5 5 5 5 5 1的值1 2 D ? 2 2 22 1 3 3 33 3 1 4 4四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式解：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：15 15 D ? 15 15 152 1 3 3 33 3 1 4 44 4 4 1 55 5 5 5 1四川农业大学生命科学与理学院第一章1 1 ? 15 1 1 11 0 ? 15 0 0 0行 列 式4 4 4 1 54 0 0 ?3 12 1 3 3 32 ?1 1 1 13 3 1 4 43 0 ?2 1 15 5 5 5 15 0 0 0 ?4四川农业大学生命科学与理学院第一章?1 ? 15 1 1 1 0 ?2 1 1 0 0 ?3 1行 列 式0 0 0 ?4? 15(?1)( ?2)( ?3)( ?4) ? 15 ? 4!? 360四川农业大学生命科学与理学院第一章例4：计算?2 D? 1 3 2 5 ?1 8 ?1 5 3 7 5行 列 式? 9 13的值。? 7 ? 10四川农业大学生命科学与理学院第一章解：r ? 2 r1 2 r3 ? ( ?3) r2 r4 ? ( ?2 ) r2行 列 式第一列展0 ? 13 1 ?9 0 26 0 2625 1317 7? 13 ? 1? 26 2625 ? 3417 ? 16D?? 34 ? 16 ? 33 ? 2416 18 17 10?? 33 ? 24r2 ? 2 r1 r3 ? 2 r1? 13 25 17 ? 1? 0 0第一列展??16 18 ? 1? ? 13） （ ? 四川农业大学生命科学与理学院第一章例5： 证明n阶行列式:x 0 0 ? 0 ?1 x 0 ? 0 0 x ? 0 ? 0 ? 0 ? ? ? 0 0 0 0 ? x 0 0 0 ? ?1行 列 式?1 ? 0? x n ? a1 x n?1 ? ? ? an ? f n ( x)an an ?1 an?2 ? a3 a2 x ? a1四川农业大学生命科学与理学院第一章证:行 列 式等式左边第n列乘x加到第n-1列,(所得结果的)第n-1列乘x加到第n-2列, …, 第2列乘x加到第1列得:x 0 左? 0 ? 0 an?1 x 0 ? 0 an ?10 ?1 x ? 0? ? ? ? ?0 0 0 ? 00 0 0 ? 0 x 2 ? a1 x ? a20 0 0 ? ?1 x ? a1an ? 2 ? a3四川农业大学生命科学与理学院第一章x 0 ? 0 ? 0 an ?1 x 0 ? 0 an ?1 0 ?1 x ? 0 ? ? ? ? ? 0 0 0 ? 0行 列 式0 0 0 ? 0 x 2 ? a1 x ? a2 0 0 0 ? ?1 x ? a1an ? 2 ? x 3 a1 x 2 ? a2 x ? a3四川农业大学生命科学与理学院第一章0 0 ? 0 ? 0 f n ( x)按第一列展行 列 式0 0 0 ? 0 f 2 ( x) 0 0 0 ? ?1 f1 ( x)?1 0 0 ? 0 f n ?1 ( x)0 ?1 0 ? 0?1 ? 0? ? ? ? ?f n ? 2 ( x) ?0n ? （ ? 1）?1 f n ( x ) ?? ? f ( x)( ?1) n ?1 (?1) n ?1 ? f ( x) n n ? ?1四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式例6 证明范德蒙行列式(n≥2)1 x1 Vn ? x x2 11 x2 x x2 21 x3 x x2 3? ? ? ? ? x1 xn x2 n? ? ( xi ? x j ),1? j ?i ? n?n ?1 1?n ?1 2?n ?1 3?n ?1 n四川农业大学生命科学与理学院第一章证行 列 式用数学归纳法对n归纳证明1 x1 1 x2（ ）n ? 2时，V2 ? 1? x2 ? x1 , 结论成立。（2）假设对n ? 1阶成立，现证对n阶也成立。四川农业大学生命科学与理学院第一章1 x1 Vn ? x12 ? x1n ?11 0 0 ? 1 x2 ? x1 x2 ( x2 ? x1 ) ?行 列 式1 xn x2 n ri ? ( ? x1 ) ri ?1 i ? 2 , 3?n1 x2 x2 21 x3 x2 3? ? ? ?1 x3 ? x1??n x2 ?1??? ? ? ? 1 xn ? x1 xn ( xn ? x1 ) ?n n x3 ?1 ? xn ?1x3 ( x3 ? x1 ) ?n n n 0 x2 ? 2 ( x2 ? x1 ) x3 ? 2 ( x3 ? x1 ) ? xn ? 2 ( xn ? x1 )四川农业大学生命科学与理学院第一章x2 ? x1第一列展行 列 式? ? ? xn ? x1 xn ( xn ? x1 ) ?n-1阶范德 蒙行列式x3 ? x1 x3 ( x3 ? x1 ) ??x2 ( x2 ? x1 ) ?n n n x2 ? 2 ( x2 ? x1 ) x3 ? 2 ( x3 ? x1 ) ? xn ? 2 ( xn ? x1 )第j列提出 x j ?1? x j j ?1, 2?n ?11 ( x2 ? x1 )( x3 ? x1 ) ? ( xn ? x1 ) x2 ?n x2 ? 21 x3 ?? ? ?1 xn ??n n x3 ?2 ? xn ? 2四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式2? j ?i ? nVn ? ( x 2 ? x1 )( x3 ? x1 ) ? ( x n ? x1 ) ?1? j ?i ? n? (xi? xj)? (xi? xj)四川农业大学生命科学与理学院第一章an ? a 1 (a ? 1) n ? a ?1 1 (a ? 2) n ? a?2 1行 列 式? ( a ? n) n ? ? ? a?n 1n ?1例7：利用范德蒙行列式计算:a n ?1 (a ? 1) n ?1 (a ? 2) n ?1 ? (a ? n) n ?1解： 将第n ? 1行依次换到第一行（共交换n次），然后将新矩阵的第n ? 1行依次换到第二行（共交换n ? 1次），n(n ? 1) 共交换了 次 2??四川农业大学生命科学与理学院第一章1原式= (?1)n ( n ?1) 2行 列 式? ? 1 (a ? n ? 1) ? ? (a ? n ? 1) n 1 a?n ? ( a ? n) n1 a ?1 ? (a ? 1) na ? ana n?1 (a ? 1) n?1 ? (a ? n ? 1) n?1 (a ? n) n?1n ?1? (?1)? (?1)n ( n ?1) 20? j ?i ? nn ( n ?1) 2? [(a ? i) ? (a ? j )]n!(n ? 1)!?2!四川农业大学生命科学与理学院第一章例8：计算下列n阶行列式:行 列 式x a ? aa x ? a? ? ?a a ? x四川农业大学生命科学与理学院第一章x ? ( n ? 1) a a ? a x ? ( n ? 1) a行 列 式1 a x ? a ? ? ? a a ? x解: 从第二列起,以后各列加到第一列得:x ? a ? [ x ? ( n ? 1) a ]1 原式= ? ? ? ? 1 x ? ( n ? 1) a a ? x1 ? [ x ? (n ? 1)a ] 0 ? 0a ? 0?0 a ?x?a ?? [ x ? (n ? 1)a]( x ? a) n ?1? x?a四川农业大学生命科学与理学院第一章例9 计算行 列 式a2 ? a2 ? ? an an ?n1 ? a1 a1 ? a1Dn ?1 ? a2 ?? 1 ? an（加边法） 解：四川农业大学生命科学与理学院第一章1 Dn ? 0 ? 01ri ? r1 -1） （ i ? 2 , 3?n ?1行 列 式an an an ?a1 a1 ? a1a1 1 0 ? 0 ?1 ?1 ? ?1a2 a2 1 ? a2 ? a2a2 0 1 ? 0? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 ? a1? 1 ? an（n ?1）an 0 0 ? 1( n ?1)?四川农业大学生命科学与理学院第一章从第二 列起， 全加到 第一列行 列 式1 ? ? aii ?1na1 1 0 ? 0a2 ? an 0 1 ? 0 ? ? ? ? 0 ? 1 （n ?1） 0 ? 1 ? ? aii ?1 n?0 0 ? 0四川农业大学生命科学与理学院第一章*二、拉普拉斯定理1、行列式D的k阶子式M：行 列 式a11 设D ? a21 ? an1a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann任选D中k行k列，位于其交叉点元素按原来顺序排列成的一个k阶行列式叫做D的一个k阶子式,记为M四川农业大学生命科学与理学院第一章的一个n-k阶行列式,记为N3、M的代数余子式A：行 列 式2、M的余子式N： 划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序排成在 N 之前冠以一个符号，符号由下式决定(?1)(i ? i ??? i ) ? ( j ? j ??? j )1 2 k 11 2 k其中 (i1 , i2 ,?ik , j1 , j2 ,? jk )表示 M 在D中的行标和列标。四川农业大学生命科学与理学院第一章如：D? a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a 42 a43 a44D的一个二阶子式：M ? a21 a23 a31 a33行 列 式M的余子式为：N ?a12 a42a14 a44M的代数余子式为：A ? (?1)( 2?3)?(1?3) N四川农业大学生命科学与理学院第一章定理1（拉普拉斯定理）行 列 式在n阶行列式D中，任意取定k行(列)后，由这 k行(列)元素所组成的一切k阶子式与它的代数余 子式的乘积之和等于行列式D的值。四川农业大学生命科学与理学院第一章例1 计算2 0 D? 0 1 1行 列 式0 21 0 ?1 0 1 ?1 2 1 0 2 ?2 1 2 0 1 ?1 1 1 解： 按1，2行展开，不为零的二阶子式为M1 ?211 ?1M2 ?12?1 1四川农业大学生命科学与理学院第一章2 0 1 0 D? 0 1 0 1 1 0 2 ?1 0 1 ?1 2 1 ?1 1 1行 列 式0 2 ?2 1 21 2 1 M 1的余子式N1 ? 2 1 2 ? 0 1 1 1M1的代数余子式A1 ? (?1)1?1?1?3 N1 ? 00 1 2 M 2的余子式N 2 ? 0 2 1 ? 0 0 1 1M 2的代数余子式A2 ? (?1)1?1?3?5 N 2 ? 0由拉普拉斯定理D ? M1. A1 ? M 2 A2 ? 0四川农业大学生命科学与理学院第一章*行列式乘法Th1.3 设a11 D1 ? a 21 ? a n1 a12 a 22 ? an 2 ? a1n ? ? a nn行 列 式b11 , D2 ? b21 ? bn1b12 b22 ? bn 2? b1n ? b2 n ? ? bnn? a2n四川农业大学生命科学与理学院第一章则行 列 式D1 ? D2 ? C c11 ? c21 ? cn1 c12 c22 ? cn 2 ? c1n ? ? cnn , cij ? ? aik bkjk ?1 n? c2 n四川农业大学生命科学与理学院第一章§1.3行 列 式克莱姆法则设n个未知数、n个方程的线性方程组为：a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 a 21 x1 ? a 22 x2 ? ? ? a 2 n xn ? b2 ? a n1 x1 ? a n 2 x2 ? ? ? a nn xn ? bn（I）四川农业大学生命科学与理学院第一章记系数行列式为行 列 式a12 a 22 ? an 2 ? a1n ? ? a nn ? a2na11 D? a 21 ? a n1另外记a11 ? a1, j ?1 b1 a1, j ?1 ? a1n Dj ? a21 ? a2, j ?1 b2 a2, j ?1 ? a2 n ? ? ? ? ? an1 ? an, j ?1 bn an, j ?1 ? ann四川农业大学生命科学与理学院, ( j ? 1,2,...n)第一章则方程组（?）有唯一解，且行 列 式定理（克莱姆法则）若方程组(?)的系数行列式的值D ? 0Dn D1 D2 x1 ? , x2 ? , ?, xn ? D D D证明：分别用 A1 j , A2 j ,? Anj 乘方程组（I）的第1、第2、…第n个方程，然后 相加得：四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式(a11 A1 j ? a21 A2 j ? ? ? an1 Anj ) x1 ? ? ? (a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? ? ? anj Anj ) x j? ? ? (a1n A1 j ? a2 n A2 j ? ? ? ann Anj ) xn ? b1 A1 j ? b2 A2 j ? ? ? bn Anj （?? ）据性质6，7有：D? xj ? Dj ? xj ?Dj D（j=1，2，…,n）因(I)的解必是(II)的解，而(II)仅有唯一解 xj=Dj/D, 将其唯一解代入(I)验证也是(I)的解。所 以原方程有唯一解。四川农业大学生命科学与理学院第一章行 列 式例 1：用克莱姆法则解下列线性方程组? 2 x1 ? x2 ? 5 x3 ? x4 ? 8 ? x ?3 x ? 6 x ? 9 ? 1 2 4 ? ? 2 x2 ? x3 ? 2 x4 ? ?5 ? x1 ?4 x2 ? 7 x3 ? 6 x4 ? 0 ?解:方程组的系数行列式为2 D? 0 1 1 2 4 ?5 0 ?1 ?7 1 ?6 2 60 ? 0 07 2 7?5 0 ?1 ?713 ?6 2 121 ?31 ?37 ? ?2? 5 13 ?1 2 ? 277 ? 7 12四川农业大学生命科学与理学院第一章8 D1 ? 9 ?5 0 1 ?3 2 4 ?5 0 ?1 ?7 1 ?6 2 6 ? 81行 列 式D2 ? ?108，D3 ? ?27, D4 ? 27由克莱姆法则D3 D1 D2 D4 x1 ? ? 3, x2 ? ? ?4, x3 ? ? ?1, x4 ? ?1 D D D D四川农业大学生命科学与理学院第一章例2：问线性方程组行 列 式x1 ? x2 ? x3 ? 1 ax1 ? bx2 ? cx3 ? d a x1 ? b x2 ? c x3 ? d2 2 2 2其中 a, b, c 满足什么条件时，才可以用克莱姆法 求解？并解之。四川农业大学生命科学与理学院第一章解：行 列 式1 1 b?a 1 c?a1 a21 b b21 c2?D ? ac ?00 b 2 ? ab c 2 ? ac?b?ac?ab 2 ? ab c 2 ? ac? (b ? a )(c ? a )1 1 b c? (b ? a)(c ? a)(c ? b)四川农业大学生命科学与理学院第一章1 D1 ? d d21 D2 ? a a2 1 D3 ? a a2行 列 式当D ? 时，即a ? b ? c, 才能用克莱姆法则求解，且：1 b b21 d d2 1 b b21 c c21 c ? (c ? a )( c ? d )( d ? a ) c2 1 d ? ( d ? a )(b ? a )( d ? b) d2? (b ? d )(c ? d )(c ? b)四川农业大学生命科学与理学院第一章则行 列 式D1 (b ? d )(c ? d ) x1 ? ? D (b ? a )(c ? a ) D2 (c ? d )( a ? d ) x2 ? ? D ( a ? b)(c ? b) D3 ( a ? d )(b ? d ) x3 ? ? D (c ? a )(c ? b)四川农业大学生命科学与理学院第二章?§2.1 ?§2.2矩阵矩阵的概念 矩阵的运算?§2.3逆方阵?§2.4 分块矩阵四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵[教学目的]： 通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的 概念及一系列的运算，为以后各章打下坚 实的基础。[教学重点]：矩阵概念及矩阵的初等变换。 [难 点]： 有关定理的证明（可不重点要求）四川农业大学生命科学与理学院第二章§2.1矩阵矩阵的概念一、矩阵的定义 定义1 由 m? n个数 ij （i=1,2,…m;j=1,2,…n)所排成数表: a? a11 ?a ? 21 A? ? ? ?a ? m1记为:a12 a 22 ? am 2a1n ? ? a2n ? ? ? ? ? ? a mn ? ?称为m×n矩阵.A ? (aij ) m?nA ? (aij ), Am?n四川农业大学生命科学与理学院第二章几种常见的特殊矩阵: 1.零矩阵 0?0 0 ? 0? ?0 0 ? 0? ? 0?? ?? ? ? ?? ? ? 0 0 ? 0 ? mn ?矩阵2.行矩阵（n维行向量），即m=1时：A ? (a11 a12 ? a1n )四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵? a11 ? ? ? ? a 21 ? 3.列矩阵（m维列向量），即n=1时： A ? ? ? ? ? ?a ? ? 4.n阶方阵，即m=n时 ? m1 ?? a11 a12 ? ? a 21 a 22 A?? ? ? ? ?a ? n1 a n 2? a1n ? ? ? a2 n ? ? ?? ? ? ? a nn ?四川农业大学生命科学与理学院第二章5.对角矩阵(也是n阶方阵)?a11 ?0 ??? ?? ? ?0 0 a22 ? 0 ? ? ? ??1 ?0 ? ?? ? ?0矩阵特别地：0 ? 0 ? ? diag a a22 ? ? 11 ?? ? ann ? 0 ? 0? 1 ? 0? ? ? (? ij ) n , ? ij ? ?1, i ? j ? ? ? ?? ?0, i ? j ? 0 ? 1??ann ?叫做单位矩阵，记为E四川农业大学生命科学与理学院第二章6.n阶数量矩阵kE矩阵0 ? 0? ?k ? 0 k ? 0? ?, k ? 0 kE ? ? ?? ? ? ? ? ? 0 0 ? k? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章7.上三角矩阵?a11 a12 ?0 a 22 A?? ?? ? ? 0 ?0? a11 0 ?a ? 21 a22 A? ?? ? ? ?an1 an 2矩? a1n ? ? a2 n ? ? ? ? ? ? ? ann ?0? ? 0? ? ? ? ? ? ? ann ? ?阵8.下三角矩阵9.同型矩阵：指行数与列数相同的两个矩阵四川农业大学生命科学与理学院第二章§2.2矩阵的相等 设矩矩阵的运算阵A ? (aij ) m?n , B ? (bij ) m?n若aij ? bij , (i ? 1,2,?m; j ? 1,2?n)则称A与B相等。记为 A=B四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵我们把一 、矩阵的线性运算 1、矩阵的加法 设A ? (aij ) m?n , B ? (bij ) m?n 定义1A与B对应元素相加，所得到的矩阵称为A与B的和，记为A ? B即A ? B ? (aij ? bij ) m?n加法运算律：A? B ? B ? A ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) A?0 ? A四川农业大学生命科学与理学院第二章负矩阵矩阵矩阵A ? (aij ) mn 的全部元素改变符号后得到的新矩阵记为 ? A,即 ? A ? (?aij ) mn （? aij） 称为矩阵A的负矩阵， mn矩阵的减法A ? B ? A ? (? B) ? (aij ? bij ) mn显然A ? (? A) ? 0四川农业大学生命科学与理学院第二章2、数与矩阵的乘法（数乘法）定义2矩阵设A ? ( aij ) mn , k为常数，用k乘以矩阵A的每个元素，所得的矩阵（k aij） 称为数k与矩阵A的乘积，记为k A或Ak，即 mnk A ? Ak ? (k aij ) m?n , ?k ? R其运算律为：k ( A ? B ) ? kA ? kB ( k ? l ) A ? kA ? lA k (lA) ? ( kl ) A 1A ? A,?1A ? ? A, A ? A ? 0四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵?5 2? ? 1 0? ? ? ? ? 例1 设矩阵A ? ? 0 1 ?, B ? ? 4 2 ?, 且2 A ? 3 X ? B, 求X ?1 3? ? ?1 0 ? ? ? ? ?解： 2 A ? 3 X ? B ?1 ? X ? (2 A ? B) ? 3 ? 3 ? 9 4? ? ?5 2? ? 1 0? ? ? 4 ? ? ? 1? 1 ? ? （2? 0 1 ? ? ? 4 2 ?）? ? ? 4 0 ? ? ? ? 3 3? 3 ? ? ? ?1 0 ? 3 6? ? 1 ? ? ? ?1 3? ? ??四川农业大学生命科学与理学院4? ? 3? 0? ? 2? ? ?第二章二、矩阵的乘法定义3 设A ? (aij ) m?s , B ? (bij ) s?n矩阵则A与B的乘积是一个m行n列矩阵C ? AB ? (cij ) m?n其中： cij? ai1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ais bsj ? ? aik bkjk ?1s(i ? 1,2,? j ? 1,2,? n)四川农业大学生命科学与理学院第二章例2：设矩2? 3? ? 0? ? 4?阵?1 A?? ?22 03 1?1 0 ?? 1 1 4? ? ?, B ? ? 4 1 5? ?2 3 ?求AB四川农业大学生命科学与理学院第二章解：矩0 2? ? 1 3? 1 0? ? 3 4? 4?3阵?1 ?? 1 ?1 2 3 4 ? ? AB ? ? 2 0 1 5? 2?4 ? 4 ? ? ? ?2? ( AB) 2?3?19 17 24 ? ?? ? ?16 16 24 ? 2?3四川农业大学生命科学与理学院第二章注意:矩阵矩阵乘法与数的乘法的区别1.矩阵乘法不满足交换律， 即AB ? BA特别地，如果AB ? BA，则称A, B可交换2.两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵，即A ? 0, B ? 0, 有可能AB ? 03.当 AB ? AC，且A ? 0, 未必能推出B ? C四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵乘法运算律：矩阵A( BC ) ? ( AB )C ( A ? B )C ? AC ? BC A( B ? C ) ? AB ? AC k ( AB ) ? ( kA) B ? A( kB)（右分配律）（左分配律）四川农业大学生命科学与理学院第二章*选证( A ? B)C ? AC ? BC矩阵证明: 设 A ? (aij ) m? p , B ? (bij ) m? p , C ? (cij ) p?n 则 ( A ? B) ? (aij ? bij ) m? p再设( A ? B)C ? (?ij ) m?n其中:?ij ? (ai1 ? bi1 )c1 j ? (ai 2 ? bi 2 )c2 j ? ? ? (aip ? bip )c pj? (ai1c1i ? ai 2 c2 j ? ? ? aip c pj ) ? (bi1c1 j ? bi 2 c2 j ? ? ? bip c pj )四川农业大学生命科学与理学院第二章又设AC ? (kij ) m?n , BC ? (lij ) m?n矩阵则 AC ? BC ? (kij ? lij ) m?n其中:k ij ? ai1c1 j ? ai 2 c2 j ? ? ? aip c pj lij ? bi1c1 j ? bi1c2 j ? ? ? bip c pj? kij ? lij ? ?ij ? ( A ? B)C ? AC ? BC四川农业大学生命科学与理学院第二章证明: 设? a11 ?a ? 21 AE ? ?? ? ?am1 ?A矩阵例3: 证明对任意矩阵 Am×n，有AE=A, EA=AA ? (aij ) m?n , En?n ，则a12 ? a1n ? ? 1 a22 ? a2 n ? ? 0 ?? ? ? ? ? ?? ?? am 2 ? amn ? ? 0 0 ? 0 ? ? a11 1 ? 0 ? ? a21 ??? ? ? ?? ? ? ? ? 0 ? 1 ? ?am1 a12 ? a1n ? a22 ? a2 n ? ? ? ? ?? ? am 2 ? amn ?同理，设Em×m , 有EA=A四川农业大学生命科学与理学院第二章定义4矩阵三、n阶方阵的幂余方阵的多项式设矩阵A为n阶方阵，则A的正整数次幂定义为：A1 ? A, A2 ? A ? A,?, Ak ?1 ? Ak ? A运算律:k ?lA ?A ? Ak l;(A ) ? Ak l k kkl注意:( AB )k? A ?B四川农业大学生命科学与理学院第二章若g ( x)是一个m次多项式 g ( x) ? bm x ? bm ?1 xm m ?1矩阵? ?b1 x ? b0 , 则g ( A) ? bm Am ? bm?1 Am?1 ? ?b1 A ? b0 E称为方阵A的m次多项式。四川农业大学生命科学与理学院第二章成立的充要条件是AB ? BA矩阵例4 A, B均为n阶方阵，则等式( A ? B) 2 ? A2 ? 2 AB ? B 2证明：（必要性） ( A ? B) 2 ? A2 ? 2 AB ? B 2 ?而( A ? B) ? A ? B）A ? B) （ (2? A ? BA ? AB ? B22则BA ? AB ? 2 AB ? BA ? AB（充分性） ( A ? B) 2 ? A2 ? BA ? AB ? B 2 ?如果AB ? BA则( A ? B) 2 ? A2 ? 2 AB ? B 2四川农业大学生命科学与理学院第二章四、矩阵的转置 定义5 设T矩阵A ? (aij ) m?n , 则其转置定义为:' ' (aij ) n?m , (aijA ?? a ji )T运算律: ( AT ) T ? A; ( A ? B ) T ? AT ? B T( kA)T? kA ; ( AB )T?B ATT定义6 设A为n阶方阵，若AT ? A则称A为对称矩阵设A为n阶方阵，若AT ? ? A，则称A为反对称矩阵四川农业大学生命科学与理学院第二章（ ）为B 2 对称矩阵; 1矩阵例5 设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，证明 (2) AB ? BA为对称矩阵1? 证明：（ ） B为反对称矩阵，即BT ? ? BT 则（B 2） ? ( BB)T ? BT BT ? (? B)( ? B) ? B 2说明B 2为对称矩阵即 （2 ?）A为对称矩阵，B为反对称矩阵， A ? A, B ? ? BT T( AB ? BA)T ? ( AB)T ? ( BA)T? BT AT ? AT BT ? ? BA ? A(? B) ? AB ? BA说明AB ? BA为对称矩阵四川农业大学生命科学与理学院第二章五、方阵A的行列式矩阵设 A ? (aij ) n?n ,定义A的行列式为:a11 | A |?运算律:a12 a22 ? an 2? a1n ? a2 n ? ? ? anna21 ? an1| AT |?| A |; | ?A |? ?n | A |; | A ? B |?| A | ? | B |四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵例6 设A, B均为四阶方阵，且 A ? ?2, B ? 1, 计算 ? 2 AT ( BT A) 24 T T 2 解： ? 2 AT ( BT A) 2 ? （? 2） A ( B A)? 2） A ( B A) （?4 T T2? 16 A ( B A)T2? 16 A B A22? ?128四川农业大学生命科学与理学院第二章§2.3一、逆矩阵的概念矩逆方阵阵问题: 当Y=AX成立时,在什么条件下可得到X, 如何求出X?定义1 设A为一n阶方阵，如果有n阶方阵B存在，使得:AB = BA = E则称A可逆，并称B是A的逆方阵(简称A的逆)，记为B?A?1四川农业大学生命科学与理学院第二章由定义可得矩阵（ ）由于A, B的位置对称，故A与B互逆，即 1 A?1 ? B, B ?1 ? A?1（2）单位矩阵的逆矩阵是它本身，即E ? E问题：（ ）什么样的方阵可逆？ 1 （2）如果一个方阵是可逆的，其逆矩阵有几个？ （3）怎么求逆矩阵？四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵二、逆矩阵的个数是唯一的(约定记为A-1)定理1: 若方阵A是可逆的,则有唯一的逆矩阵. 证明: 设B , C均为A的逆矩阵，即AB ? BA ? E, AC ? CA ? EB=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以，A的逆是唯一的，记为A-1四川农业大学生命科学与理学院第二章三、A可逆的充要条件:矩阵定义2 设方阵A ? (aij ) n?n，Aij 是方阵A的行列式 A中元素 aij的代数余子式，以Aij为元素组成的n阶方阵 ? A11 A21 ? An1 ? ?A A22 ? An 2 ? ? A* ? ? 12 ?? ? ? ? ? ? ? A1n A2 n ? Ann ? ? 称为A的伴随矩阵。四川农业大学生命科学与理学院第二章1 | A |? 0, 且A ? ? A* | A|?1矩阵定理2 n阶方阵A可逆的充分必要条件为证明：（必要性）设A可逆，即存在方阵B, 使得AB ? BA ? E则 | AB |?| E | | A | ? | B |? 1 1 | A |? 0, | B |? 0, | A |? |B|四川农业大学生命科学与理学院第二章（充分性） ∵ |A|≠0,矩阵1 1 1 n A?( ? A*) ? ? AA* ? (? aik Akj ) ? E | A| | A| | A | k ?1同理可证:1 ( A*) ? A ? E | A|1 ?A ? ? A* | A|?1四川农业大学生命科学与理学院第二章? a11 ? ? a21 AA* ? ? ? ? ?a ? n1 ?| A | ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ? a12 a22 ? an 2 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ?矩A21 A22 ? A2 n阵? ? ? ? An1 ? ? An 2 ? ?? ? Ann ? ?| A| ?a1n ?? A11 ?? a2 n ?? A12 ? ?? ? ?? ann ?? A1n ?? 0 ? ? 0 ? ?? ? | A |? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章四、可逆矩阵的性质矩阵1. 若矩阵A可逆, 且AB=E, 则必有BA=E. 反之亦然.2.( A?1)?1? A?13. 若A、B均可逆, 则AB也可逆,且有:( AB )?B?1A?14.( AT ) ?1 ? ( A?1 )T 1 ?1 ?1 5.( k A ) ? A k注: 若A,B均可逆, 但 A+B未必可逆!四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵? 1 0 1? ? 1 1? ? ? ? ? 例1: 设 A ? ? ? 1 1 1?, B ? ? 0 1 ? ? 2 ? 1 1? ? ?1 0? ? ? ? ?且AX=B, 求出X。1解:0 11 1 ?1? 0?| A |? ? 1 2所以A可逆?1 1四川农业大学生命科学与理学院第二章?1 ?1矩?1阵又因为AX=B，两边同左乘以A-1得:( A )( AX ) ? A ? B ? X ? A ? B?1而A? 2 ? 1 ? 1? 1 ? ? A* ? 1 ? ? 3 ? 1 ? 2? ? ? | A| 1 ? ?? 1 1 ? ?1? ? 2? 0? ?? 2 ? 1 ? 1? ? 1 1? ? 3 ? 3 ? 1 ? 2? ? 0 1 ? ? ? 5 ?X ? ? ?? ? ? ?? 1 1 1 ? ?? 1 0? ?? 2 ? ?? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵例2: 设矩阵B可逆, A与B同阶且满足:A 2 ? AB ? B 2 ? 0证明: A和A+B均可逆. 证: ? A ? AB ? B ? 02 2则A ? AB ? ? B22| A( A ? B) |?| ? B ? B |?| ? B | ? | B |? (?1) n | B |? 0?| A |? 0, | A ? B |? 0故A与A+B均可逆.四川农业大学生命科学与理学院第二章?1矩?1阵例3: 若A与B均为n阶方阵, 且E+AB可逆. 则E+BA也可逆,且 ( E ? BA) ? E ? B( E ? AB ) A 证明: ( E ? BA)[ E ? B( E ? AB) ?1 A]? E ? B( E ? AB) ?1 A ? BA ? BAB( E ? AB) ?1 A? E ? B( E ? AB) ?1 A ? B( E ? AB)( E ? AB) ?1 A ? BAB( E ? AB) ?1 A? E ? [ B( E ? AB) ? B]( E ? AB) ?1 A ? BAB( E ? AB) ?1 A?E? ( E ? BA)?1? E ? B( E ? AB ) A?1四川农业大学生命科学与理学院第二章解： ? ? ? a1a2 ? an ? 0? a1 ? ?0 而? ? ? ?0 ? 0 a2 ? 0 ?1 ? ? 0 ?? a1 ?? ? 0? 0 ? ?? ? ? ?? ? ? an ?? ? 0 ? ?? 0 ? 01 a2 ? 0 ? ? ? ? 0? ? ? ? ? 1? ? an ? ?矩? ?可逆阵?1 0 例4 设? ? diag(a1 , a2 ,? an ), 其中a1 , a2 ,? an均不为 ，求?0 1 a2 ? 0?1 ? ? a1 ? 0 -1 所以 ? ? ? ? ? ? ?0 ? ?? 0? ? ? ? 0? ?E ? ? ? ? 1? ? an ? ? ?1 1 1 即? ? diag( , ,? ) a1 a2 an?1四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵k k 例5 设? ? diag(a1 , a2 ,? an ), 证明?k ? diag(a1k , a2 ,? an )证明（用数学归纳法）? a1 ? ?0 2 （ ）k ? 2时，? ? ? 1 ? ? ?0 ? 0 a2 ? 0 0 ?? a1 ?? ? 0 ?? 0 ? ? ?? ? ?? ? an ?? 0 ?? ? 0 a2 ? 0? a1 0? ? ? ? 0? ?0 ?? ? ?? ? ? ? ? an ? ?0 ??202 a2? 0?0? ? ? 0? ? ? ? ? 2 ? an ? ? ?2 2 ? diag(a12 , a2 ,? an )四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵? a1k ?1 0 ? 0 ? ? ? k ?1 ? 0 ? ? 0 a2 k ?1 （2）假设对 ? 1结论成立，即 ? ? k ? ? ? ? ? ? ? ? k ? 0 0 ? an ?1 ? ? ? 现证对k结论也成立?a ? ?0 ?? ? ? ?0 ?k 1? a1k ?1 ? ? 0 k k -1 ? ?? ??? ? ? ? 0 ? ?0 ? 0 ? 0 ak 20k a2 ?1? 0? ? 0? k k ? diag(a1k , a2 ? an ) ? ? ? ? k ? an ? ?0 ?? a1 ?? ? 0 ?? 0 ?? ? ? ?? ? k ? an ?1 ?? 0 ?? ?0 a2 ? 00? ? ? 0? ? ? ?? ? an ? ? ?所以，结论成立四川农业大学生命科学与理学院第二章解： ? AA?1 ? E矩阵?1 * A 例6 设A为可逆方阵，且 ? 3，求 A , A? AA?1? E ?1则A A?1? 1,A?11 1 ? ? A 31 * 又? A ? A ，则A* ? A A?1 A-1? A ? AA*?1? A An?11 n ?1 n ?1 ? A ? A ?3 An四川农业大学生命科学与理学院第二章例7矩阵1 ? 4 ? 2? ? AP ? P?， P ? 2, 说明P可逆, P ? ? ? ?1 1 ? ? 2? ? ?1 ?1 右乘P , 得 A ? P?P?1?1 2 ? ?1 0? ?, ? ? ? ?, AP ? P?, 求An 设P ? ? ?1 4 ? ?0 2? ? ? ? ?则A ? ( P?P )( P?P ) ?( P?P )n?1?1?1? P?( P ?1P)?( P ?1 ? P)?P ?1 ? P?n P ?1?1 2 ?? 1 0 ? 1 ? 4 ? 2 ? n 则A ? ? ?1 4 ?? 0 2 n ? 2 ? ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2 ? 2n ?? ? 2 ? 2 n ?1 ?2 ?1 ? ? 2 n ?1 ? 1? ?n四川农业大学生命科学与理学院第二章§2.4分块矩阵的运算矩分块矩阵阵分块矩阵: 以分块子阵为元素的矩阵.1.分块矩阵的加法? A11 A12 ? A1s ? ? B11 B12 ? B1s ? ?A A ? A ? ?B B ? B ? 22 2s ? 22 2s ? 设A ? ? 21 , B ? ? 21 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ar1 Ar 2 ? Ars ? r?s ? Br1 Br 2 ? Brs ? r?s 其中，Aij , Bij (i ? 1,2? j ? 1,2? s)都是同型矩阵，则四川农业大学生命科学与理学院第二章? A11 ? B11 ?A ? B 21 ? 21 A? B ? ? ? ? ? Ar1 ? Br1 A12 ? B12 A22 ? B22 ? Ar 2 ? Br 2矩?阵A1s ? B1s ? ? ? A2 s ? B2 s ? ? ? ? ? ? Ars ? Brs ? r?s四川农业大学生命科学与理学院第二章2.数乘分块矩阵矩阵? A11 A12 ? A1s ? ?A A22 ? A2 s ? ? 设A ? ? 21 ?? ? ? ? ? ? ? Ar1 Ar 2 ? Ars ? r?s ? 用数k乘分块矩阵A, 等于用数k乘A的每一个子块，即? kA kA 11 12 ?kA kA 22 kA ? ? 21 ?? ? ? ? kAr1 kAr 2 ? kA s ? 1 ? kA2 s ? ? ? ?? ? ? kArs ? r?s四川农业大学生命科学与理学院第二章3.分块矩阵的乘法矩阵? A11 A12 ? A1s ? ? B11 B12 ? B1t ? ?A ?B A22 ? A2 s ? B22 ? B2t ? ? , B ? ? 21 ? 设A ? ? 21 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? Ar1 Ar 2 ? Ars ? r?s ? Bs1 Bs 2 ? Bst ? s?t 且子块Ai1，Ai 2 ? Ais的列数分别等于子块1 j , B2 j ,? Bsj的行数，则 B? C11 ?C 21 AB ? ? ?? ?C ? r1C12 C 22 ? Cr 2? C1t ? s ? C 2t ? ? Cij ? ? Aik Bkj , (i ? 1,2,? j ? 1,2,?t ) j ?1 ? ?? ? C rt ? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章4.分块矩阵的转置? A11 ?A 设A ? ? 21 ?? ? ? Ar1 A12 ? A1s ? A22 ? A2 s ? ? ? ? ?? ? Ar 2 ? Ars ? r?sT ? A11 ? T T ? A12 A ? ?? ? T ? A1s ?矩阵T A21 ? T A22? ? ??T A2 sArT1 ? T ? Ar 2 ? ? ? T ? Ars ? s?r ?四川农业大学生命科学与理学院第二章5.可逆分块矩阵的逆矩阵矩阵设Aii为ri阶(1 ? i ? s )矩 阵 ， 定 义 ? A11 ? ? ? A22 ? A?? ? ? ? ? ? Ass ? ? 为对角分块矩阵四川农业大学生命科学与理学院第二章分块对角阵的运算律矩阵设n阶矩阵A，B都是分块对角阵:? A11 ? ? B11 ? ? ? ? ? A22 B22 ?, B ? ? ? A?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ass ? Bss ? ? ?其中: Aii , Bii (i ? 1,2? s) 是同阶矩阵，则:四川农业大学生命科学与理学院第二章?kA 11 ? ? kA? ? ? ? ?? A11 ? B11 ? ? A? B ? ? ? ? ?矩? ? ? ? ? ? kA ? ss ?阵kA 22A22 ? B22 ?? ? ? ? ? Ass ? Bss ? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章? A11B11 ? ? AB ? ? ? ? ? A22 B22矩阵? ? ? ? ? Ass Bss ? ?? ? ? ? ? ? ?1 ? Ass ??若A可逆，则有:A ?1? ? A111 ? ? ?? ? ? ??1 A22四川农业大学生命科学与理学院第二章?3 ? ?2 例1 求矩阵A ? ? 0 ? ?0 ? 1 0 0? ? 1 0 0? ?的逆矩阵。 0 9 2 ? 0 4 1? ?矩阵? 3 1? ?9 2? ? A1 0 ? 其中A1 ? ? ? 解： A分块为A ? ? ? 2 1?，A2 ? ? 4 1 ? ? ? ? 将 ?0 A ? ? ? ? ? 2? ? ? 1 ? 1? ?1 ? 1 ? 2 ? ?1 而A1 ? ? ? ? 2 3 ?, A2 ? ? ? 4 9 ? ? ? ? ? ? ? ?? A1?1 ? A?1 ? ? ? 0 ? 0 ? ? 1 ?1 0 ? ? 0 0 ? 0 ? ?? 2 3 ??? ? 0 0 1 ? 2? A2 1 ? ? ? ? ? 0 0 ?4 9 ? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章? A?1 ?A 0? ?可逆，且D ?1 ? ? D?? ?C B? ? ? B ?1CA?1 ? ? ?矩0 ? ? ?1 ? B ?阵例2 A，B分别为r阶和s阶可逆矩阵，证明证明： DD ?1 ? ? A 0 ?? ? ?? ? ? ???CA?1B ?? ? B ?1CA?10 ? ? ?1 ? B ?? AA?1 ? 0 ? ? ?1 ? CA ? BB ?1CA?1 ?? A ?1 ?1 ?D ? ? ? ? B ?1CA?1 ?0 ? ?E ? ?1 ? ? ? BB ? ? 0 ? 0 ? ? ?1 ? B ?0? ??E E? ?四川农业大学生命科学与理学院第二章? a11 ?a 特别地，设 ? ? 21 A ?? ? ?am1 a12 a22 ? am 2矩阵? b1n ? ? b2 s ? ? ? ?? ? ? bsn ?? a1s ? ?b11 b12 ?b ? a2 s ? ?, B ? ? 21 b22 ?? ? ? ?? ? ? ? ams ? ?bs1 bs 2? ?1 ? ? ? ??2 ? 将A按行分块，则 ? ? ? A ? ? ? ?? ? ? m?其中，? i ? (ai1 , ai 2 ,? ais )? ai1 ? ? ? ? ai 2 ? T 显然，? i ? ? ? ? ? ? ?a ? ? is ?四川农业大学生命科学与理学院第二章矩阵将B按列分块，则 ? ( ?1 , ? 2 ? ? n ) B? b1i ? ? ? ? b2 i ? 其 中 ，? i ? ? ? ? ? ? ?b ? ? si ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性?§3.1P 132n维向量及其运算?§3.2 向量的线性相关性 ?§3.3 矩阵的秩与向量组的秩 ?§3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵P 135 P 135?§3.5 向量空间四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性§3.1一、 n维向量的概念 定义1 n个实数组成的有序数组称为n维(实)向量.记为:n维向量及其运算? ? ( a1 , a2 , ? an )或:? a1 ? ? a2 ? ?? ? ? ?a ? n ? ? ? ? ? ? ?(n维行向量)(n维列向量)其中ai (i ? 1,2? n)是实数，叫做分量四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性二、n维向量的运算(可参看矩阵的运算) 设 ? ? (a1 , a2 ,?, an ), ? ? (b1 , b2 ,?, bn ) 1.相等 2.加法 3.数乘 4.转置? ? ? ? ai ? bi , (i ? 1,2,?n)? a1 ? ? ? T ? a2 ? T ? ? (a1 , a2 ,?, an ) ? ? ? ? ? ? ?a ? ? n?? ? ? ? (ai ? bi ), (i ? 1,2,?, n) k ? ? ( kai )四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性运算律 (满足以下八条性质构成的空间称为实n维向量空间) ? ? ? ? ? ?? 1.交换律 2.结合律(? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? )3.对任意向量 ，有? ? 0 ? ? ?4.对任意向量 ，有? ? ( ?? ) ? 0 ?5.分配律. 6.分配律 7.结合律(k ? l )? ? k? ? l?k (? ? ? ) ? k? ? k ?k (l? ) ? (kl)?8.1?? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性§3.2一、线性组合向量的线性相关性定义1 对于n维向量?1 , ? 2 , ?? s，， ?k1 , k2 ,? 如果存在一组数 k s，使得? ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s则称向量?是向量组?1，2， ? n，的一个线性组合， ? ? 或称向量?能由向量组?1，2， ? n线性表示 ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性?1? ? 0? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? 0? ?1? ? 0? ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? ?,?? n ? ? ?, 将?由?1，2 ?? n线性表示 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? 0? ?1? ? ? ? ? ? ? ?1? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ? 解： 显 然? ? a ? 0 ? ? a ? 1 ? ? ? a ? 0 ? ? a ? ? a ? ? ? ? a ? 1? ? 2? ? n? ? 1 1 2 2 n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ?0? ?1? ? ? ? ? ? ? ? a1 ? ? ? ? a2 ? 例1 设? ? ? ?, ? ? ? ?a ? ? n?例2 将0表为任意向量组a1，2 ? an的线性组合 a解： 显然0 ? 0a1 ? 0a2 ? ? ? 0an由此可得，零向量可由任意向量线性表示四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定义2 设两个向量组（?） （?? ）?1 , ? 2 , ?? s?1 , ? 2 , ? ? t如果I中的每个向量均可以由II线性表示, 则称 向量组I可由向量组II线性表示； 如果I与II能互相线性表示,则称I与II等价。记为I~ II四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性向量组等价的性质:~I 2)对称性：若I~II, 则II~ I1)自反性：I 3)传递性：若I ~ II、II~ III, 则I~ III四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性二、线性相关的概念 定义3 设给定s 个n 维向量?1 , ? 2 , ?? s ,如果存在s 个不全为零的常数 k1 , k 2 ,?k s使得k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ? 0成立，则称向量组?1 ,? 2 ,?? s是线性相关的.否则称为线性无关.四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? a11 ? ? a21 ? ? as1 ? ? ? ? ? ? ? ? a12 ? ? a22 ? ? as 2 ? 设? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 1n ? ? 2n ? ? sn ?k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ? 0 ?k1a11 ? k 2 a21 ? ? ? k s as1 ? 0 k1a12 ? k 2 a22 ? ? ? k s as 2 ? 0 ?? k1a1n ? k 2 a2 n ? ? ? k s asn ? 0四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例3: 试证n个n维单位向量:e1 ? (1,0,?,0), e2 ? (0,1,?,0),?, en ? (0,0,?,1)是线性无关的. 证:? ?k1从k1 e1 ? k 2 e2 ? ? ? k n en ? 0出发k2 ? kn ? ? 0? k1 ? 0, k2 ? 0,?, kn ? 0即e1 , e2 , ?, en线性无关（称为R 中的基）n四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例4：判断所给向量组的线性相关性:?1 ? (1,2,?1),? 2 ? (2,?3,1),? 3 ? (4,1,?1),? 4 ? (6,7,3)解： 从k1?1 ? k 2 ? 2 ? k3? ? k 4 ? n ? 0出发?1? ? 2 ? ?4? ?6? ? ? ? ? ? ? ? ? 即k1 ? 2 ? ? k 2 ? ? 3 ? ? k3 ? 1 ? ? k 4 ? 7 ? ? 0 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 1? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ??k1 ? 2k 2 ? 4k3 ? 6k 4 ? 0 ? 则? 2k1 ? 3k 2 ? k3 ? 7 k 4 ? 0 ? ? k ? k ? k ? 3k ? 0 4 ? 1 2 3? k1 ? 2k 2 ? 4k3 ? 6k 4 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2k1 ? 3k 2 ? k3 ? 7 k 4 ? ? ? 0 ? ? ? k ? k ? k ? 3k ? ? 0 ? 4 ? ? 1 2 3 ? ?k1 ? 2, k 2 ? 1, k3 ? ?1, k 4 ? 0 是方程组的解即2?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 0 ? ? 4 ? 0??1 , ? 2 , ? 3 , ? 4线性相关四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性三、向量组线性相关的判定设s（s ? 1 ）个n维向量构成一个向量组为 ? a11 ? ? a21 ? ? as1 ? ? ? ? ? ? ? ? a12 ? ? a22 ? ? as 2 ? ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? ?,?? s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 1n ? ? 2n ? ? sn ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性（1）直接运用向量组线性相关的定义;（2）当s ? 1时，即?1线性相关 ? ?1 ? 0（3）当s ? 2时，即?1，? 2线性相关 ? 对应分量成比例四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性（4）当s ? n时，即n个n维向量? a11 ? ? a21 ? ? an1 ? ? ? ? ? ? ? ? a12 ? ? a22 ? ? an 2 ? ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? ?,?? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 1n ? ? 2n ? ? nn ?a11 记D ? a12 ? a1na21 ? an1 a22 ? an 2 ? ? ? a2 n ? ann定理1 ?1，2 ?? n线性相关 ? D ? 0 ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性证明k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n ? 0k1a11 ? k 2 a21 ? ? ? k n an1 ? 0 k1a12 ? k 2 a22 ? ? ? k n an 2 ? 0 ?? k1a1n ? k 2 a2 n ? ? ? k n ann ? 0 （*）系数行列式为 a11 D? a12 ? a1n a21 ? an1 a22 ? an 2 ? ? ? a2 n ? ann??1，2 ?? n线性相关 ? k1 , k2 ,? kn不全为零 ?? ?方程组（ ）有非零解 *D?0四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性（5）定理2 n维向量组?1 , ? 2 ,?? s s ? 2）线性相关 ? （?1 , ? 2 ,?? s中至少有一个向量是其余s ? 1个向量的线性组合（必要性）若?1，2 ?? s 线性相关，必存在一组不全为零的实数 ? 证明： k1 , k 2 ? k s 使得, k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? k s ? s ? 0k3 ks k2 不妨设k1 ? 0, 则?1 ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? ? s k1 k1 k1即?1 , ? 2 ,?? s中至少有一个向量是其余s ? 1个向量的线性组合（充分性）不妨设?1可由? 2，3 ?? s 线性表示 ?即存在实数k 2 , k3 ? k s , 使得?1 ? k 2 ? 2 ? k3? 3 ? ? k s ? s从而 ? ?1 ? k 2 ? 2 ? k3? 3 ? ? k s ? s ? 0所以?1 , ? 2 ,??（s ? 2）线性相关 s四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性?1 , ? 2 , ? , ? s （6）定理3 如果向量组 中有一部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关。(即部分相关，则全体相关)。 （7）推论1 若 ?1 , ? 2 , ?? s 线性无关， 则它的任何一个部分组也一定线性无关。(即：全体无关，则部分无关)。（8）若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相 关。* 9）任意n ? 1个n维向量必线性相关 （四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性（10） 设? am1 ? ? a11 ? ? a21 ? ? ? ? ? ? ? ? am 2 ? ? a12 ? ? a22 ? ?1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? ?, ? , ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 1r ? ? 2r ? ? mr ? ? a11 ? ? a21 ? ? am1 ? ? ? ? ? ? ? ? a12 ? ? a22 ? ? am 2 ? ?1 ? ? ? ?, ? 2 ? ? ? ?, ? , ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1r ? ? a2 r ? ? amr ? ?a ? ?a ? ?a ? ? 1, r ?1 ? ? 2 , r ?1 ? ? m , r ?1 ?如果r维向量组?1，2 ?? m线性无关，则r ? 1维向量组?1，2 ? ? m也线性无关 ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性证明若?1，? 2， ? m线性无关，则 ?k1a11 ? k 2 a21 ? ? ? k m am1 ? 0 k1a12 ? k 2 a22 ? ? ? k m am 2 ? 0 ?? k1a1r ? k 2 a2 r ? ? ? k m amr ? 0 只有零解，则k1a11 ? k 2 a21 ? ? ? k m am1 ? 0 k1a12 ? k 2 a22 ? ? ? k m am 2 ? 0 ?? k1a1r ? k 2 a2 r ? ? ? k m amr ? 0 k1a1r ?1 ? k 2 a2 r ?1 ? ? ? k m amr ?1 ? 0 也只有零解所以?1，? 2， ? m也线性无关 ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定理4 设向量组 1，2 ?? s 线性无关， ? ? 如果向量组 1，2 ?? s , ? 线性相关， ? ? 则?必能由 1，2 ?? s 线性表示， ? ? 且表示式是唯一的（证 84页定理4.7） 明见四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例5: 设?1? ?0? ? ? 3 ? 试判定其线性相关性。 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0 ?，2 ? ? 1 ?，3 ? ? ? 2 ? ? ? ?0? ?0? ? 0? ? ? ? ? ? ?解: 因为1 0 ?3 D ? 0 1 ?2 ? 0 0 0 0??1 , ? 2 , ? 3线性相关四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例6 设?1 , ? 2 , ? 3线性无关，证明：?1 ? 2?1 ? ? 2 , ? 2 ? ? 2 ? 5? 3 , ? 3 ? 4? 3 ? 3?1也线性无关证: 要使k1 ?1 ? k 2 ? 2 ? k3 ? 3 ? 0成立即k1 (2?1 ? ? 2 ) ? k 2 (? 2 ? 5? 3 ) ? k3 (4? 3 ? 3?1 ) ? 0成立则(2k1 ? 3k3 )?1 ? (k1 ? k 2 )? 2 ? (5k 2 ? 4k3 )? 3 ? 0? ?1 , ? 2 , ? 3线性无关? 2k1 ? 3k3 ? 0 ? ? ? k1 ? k 2 ? 0 ?5k ? 4k ? 0 3 ? 2? k1 ? 0, k2 ? 0, k3 ? 0? ?1 , ? 2 , ? 3线性无关四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性§3.3 矩阵的秩与向量组的秩 一、向量组的秩?1? ? ? 例：设?1 ? ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? ? ? 3? ? 1 ? ? ? ?4? ? ? ?3 ? ? 1 ? ? ? 1? ? ?容易判断?1，2，3线性相关 ? ?由单个向量构成的向量组?1线性无关由两个向量构成的向量组?1，2线性无关 ?而向量组?1，2满足： ? （ ）线性无关 1 （2）把原向量组中的任一向量添加进去，所得的向量组都线性相关四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定义1 设向量组 1，2 ?? m的一个部分组 1，2 ?? s 满足： ? ? ? ?（ ） 1 , ? 2 ,? , ? s 线性无关； 1?（2）向量组中任一向量均可由此部分组线性表示。则称?1 , ? 2 ,?, ? s是该向量组的一个极大线性无关组。结论 任意向量组与它的极大 1 线性无关组等价结论2 向量组的任意两个极大 线性无关组等价四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定理1： 设有两个向量组(1)?1 , ? 2 , ?? s( 2) ?1 , ? 2 , ? ? t且 如果向量组（2）能由（1）线性表示， t ? s,则向量组（2） 1 , ? 2 ,? ? t 线性相关。 ?（证明见教材84页定理4.8）四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性推论1:若 ?1 , ? 2 , ? ? t 可由 ?1 , ? 2 , ?? s 线性表示,且?1 , ? 2 , ? ? t 线性无关， 则t?s推论2: 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个 数的向量。 推论3: 任意n+1个n维向量组必然线性相关。? n 证明 ??1，? , 2， ? n?1可由e1 , e2 ,?en线性表示，且 ? 1 ? n?由定理 ?1，? , 2， ? n?1线性相关 1 ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定义2 一个向量组的任意两个极大线性无关组中所含向量的个数相等，称该个数为向量组的秩。规定: 全为零向量组成的向量组的秩为0。 结论: 两个等价的向量组必有相同的秩。 性质1 向量组线性无关 ? 向量组的秩等于向量组所含向量个数性质2 若向量组 可由向量组 线性表示， A B 则向量组 的秩 ? 向量组B的秩 A证明：设 , B的极大线性无关组为 ?? ，显然?由?? A ?, 线性表示，且线性无关 ，由推论，?的个数 ? ?? 1四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例1:设?1 ,? 2 ,?? n 为一组n维向量。证明:?1 ,? 2 ,?? n 线性无关的充要条件是任一个n维向量都能被它线性表出.证:必要性. 设 I ?1 ,? 2 ,?? n 线性无关,? 为任一n维向量 则 ?1 , ? 2 ,?? n , ? 必线性相关? ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k n ? n四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性充分性:记IIe1 , e2 , ? en显然 I可由II线性表出, 由题意如果任一向量可由I表出.则II可由I表出。所以 I~ II ? r ( II ) ? r ( I ) ? n线性无关.故?1 ,? 2 ,?? n四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性二、矩阵的秩 定义3 设一个m×n矩阵A=(aij)。在A中任取k行k列(k≤min{m,n})，位于这些行列交叉点处的元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列 式，称为矩阵A的k阶子式。 定义 4 矩阵A中至少存在一个r阶子式D不为0，且A 中所有r+1阶子式（如果存在）全为0，则D称为A的最高阶非零子式，数r称为A的秩。矩阵A的秩记为:rA , r ( A), R( A), rank( A)四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性注意:(1)对Am×n，有r(A)≤min{m,n}; (2)对n阶方阵A，若|A|≠0，则A为满秩的且r(A)=n; (3)r(0)=0（4）R( A) ? R( A )T四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性?1 2 3 4? ? ? 例1 求矩阵A ? ? 0 1 ? 1 0 ?的秩。 ?0 0 0 0? ? ?解：显然A的三阶子式全为 0而1 2 0 1?0? R( A) ? 2四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性三、矩阵的行秩和列秩 设? a11 ?a 21 A?? ?? ?a ? m1 a12 a 22 ? am 2 ? a1n ? ? a2n ? ? ? ?? ? a mn ? ?分块后:? ?1 ? ? ? ?? 2 ? , A? 或A ? ?1 ? ? ? ? ? ?? m ? 行向量组组 ? ???2? ?n?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性A的行向量组?1，2， ? m，的秩，称为A的行秩； ? ?A的列向量组?1，2， ? n，的秩，称为A的列秩。 ? ?定理2 任意一矩阵的秩等于它 的行秩， 也等于它的列秩。（ 页定理4.11） 86四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性证明：? a11 ? ? a21 ? ? 设A ? aij ) ? ? （ ? ar1 ? ? ? ?a ? m1 ? a11 ? ? ? ? a21 ? 其中?1 ? ? ?, ? 2 ? ? ? ?a ? ? m1 ? ? a1n ? ? a22 ? a2 r ? a2 n ? ? ? ? ? ? ? ?分块后为?1 , ? 2 , ?? n ) ( ar 2 ? arr ? arn ? ? ? ? ? ? ? ? am 2 ? amr ? amn ? ? ? a12 ? ? a1n ? ? ? ? ? ? a22 ? ? a2 n ? ?? ?, ?? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ? m2 ? ? mn ? a12 ? a1r四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? r ( A) ? r ,即A中有一个 阶子式不为零，不妨设 ra11 ? ar1 a12 ? a1r ? ? ? ar 2 ? arr ?0? a11 ? ? a12 ? ? a1r ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? ? a22 ? ? a2 r ? 记? 1 ? ? ?, ? 2 ? ? ?,?? r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? r1 ? ? r2 ? ? rr ?a21 a22 ? a2 r显然? 1，? 2， ? r 线性无关 ?则?1，? 2， ? r 也线性无关，即 的r个列向量线性无关 ? A四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性再证A的任意r ? 1个列向量线性相关，用 反证法，假设?1，? 2， ? r，? r ?1线性无关 ?? a11 ? ? a21 ? ? 记A2 ? ? ? ar1 ? ? ? ?a ? m1 a12 a22 ? ar 2 ? ? a1r ? a2 r ? ? ? ? ? arr a1r ?1 ? ? 显然r ( A2 ) ? r ? 1, 矛盾 a2 r ?1 ? ? ? ? arn ? 所以 ? ? ? r ( A) ? r (?1 , ? 2 , ?? n ) amr ?1 ? ?am 2 ? amr同理可证， 的秩等于 的行秩 A A四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性四、矩阵的秩的性质性质 max{ r ( A), r ( B)} ? r ( A, B) ? r ( A) ? r ( B) 1证明： ? A的最高阶非零子式也是 , B)的非零子时， (A? r ( A) ? r ( A, B)同理，r ( B) ? r ( A, B) 列变换 则 max{ r ( A), r ( B)} ? r ( A, B)B ? B1（含t个非零列） 则 （A, B）?（A1 , B1） ? r ( A, B ) ? r（A1 , B1）列变换设r ( A) ? r , r ( B) ? t则A ? A1（含r个非零列）列变换而( A1 , B1 )中只有r ? t个非零列，其秩最多是 ? t r所以，r ( A1 , B1 ) ? r ? t ? r ( A) ? r ( B)四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性性质2 r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B)列变换证明： ? ( A ? B, B)? ( A, B)? r ( A ? B, B) ? r ( A, B)由性质 1 r ( A ? B ) ? r ( A ? B, B ) r ( A, B) ? r ( A) ? r ( B)所以 r ( A ? B) ? r ( A) ? r ( B)四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性性质3性质4r ( AB) ? min{r ( A), r ( B)} （65页）若Aml Bln ? 0, 则r ( A) ? r ( B) ? l四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性§3.4 矩阵的初等变换与初等矩阵 一、矩阵的初等变换(55页）定义1 矩阵的初等变换是指对矩阵施行以下的三种变换:1.换法变换:互换矩阵的两行(列).记为 ri ? rj或ci ? c j 2.倍法变换: 以任意非零数k乘以矩阵的某一行(列)的 各元素.记为k r或k ci i3.消法变换: 以数k乘矩阵的某一行(列)上各元素加到 另一行(列)对应元素上去.记为 ri ? krj 或ci ? kcj四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性行阶梯型矩阵（1）若有零行，则零行都在矩阵的下方； （2）从第一行起，每行第一个非零元素前面的零的个数逐行递增。?1 ? ?0 例如 ? 0 ? ?0 ?2 3 4 5? ? 1 3 5 7? 0 0 2 4? ? 0 0 0 0? ??3 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?2 5 4 1? ? 1 8 4 1? 0 3 1 0? ? 0 0 6 2? ? 0 0 0 3?显然，行阶梯型矩阵的秩等于其非零行的行数四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性行简化阶梯矩阵 （1）首先它是一个行阶梯型矩阵；（2）它的非零行的第一个非零元素是1， 且1所在的列其余元素全为0.?1 ? ?0 例如 ? 0 ? ?0 ? 0 -3 0 1 0 0 3 0 0 3? ? 0 - 3? 1 2? ? 0 0? ??1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ?0 4 0 3? ? 1 1 0 3? 0 0 1 2? ? 0 0 0 0? ? 0 0 0 0?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性标准型? 1 0 ? 0 0 ? 0? ? ? ? 0 1 ? 0 0 ? 0? ?? ? ? ? 0 ? 0 ? ? ? Dr ? ? 0 0 ? 1 0 ? 0 ? ? 0 0 ? 0 0 ? 0? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 0 0 ? 0 0 ? 0 ? mn四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定理1 通过有限次初等行变换可以把A化为行阶梯型矩阵。有限次 初等行变换有限次 初等行变换Amn?行阶梯型矩阵初等 列变换?行简化阶梯型矩阵?标准型Dr四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性结论1: 对于任意满秩方阵A, 必可用初等行变换 将A化成单位矩阵E. 结论2: 秩为r的矩阵A=(aij)mn可通过行的初等变 换及列的换法变换化为:?1 ? ?0 ?? ? Cr ? ? 0 ?0 ? ?? ?0 ? 0 1 ? 0 0 ? 0 ? ? ? ? ? 0 0 ? 1 0 ? 0 c1, r ?1 c 2, r ?1 ? c r , r ?1 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? c1n ? ? c2 n ? ? ? ? c rn ? 0 ? ? ? ? 0 ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? 2 0 1 4? ? ? 例1 将矩阵A ? ? 1 3 ? 2 5 ?化为标准型 ? 3 3 ?1 9 ? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性解：? 2 0 1 4 ? r ?r ? 1 ? ?1 2? A ? ?1 3 ? 2 5? ? ? 2 ?3 ? 3 3 ?1 9 ? ? ? ? ? 1 3 - 2 5 ? ? 1 r2 ? 1 ? ? 6 ? ?0 - 6 5 - 6? ? ?0 ?0 0 0 0 ? ? ?0 ? ??3 - 2 5 ? r2 ? 2 r1 ? r3 ?3r1 0 1 4? ? 3 ?1 9 ? ?3 - 2 5? ? r1 ?3r2 5 1 1? ? 6 ? 0 0 0? ?? 1 3 - 2 5 ? r ?r ? ?3 2 ?0 - 6 5 - 6? ? ?0 - 6 5 - 6? ? ?? 2? c ?1c 2 ? c34 ? 2c11 1? ? ? 0? ? ??1 0 0 0? ? ? 5 ?0 1 1? ? 6 ? ? 0 0 0 0? ? ? ?5 c3 ? c2 6 c4 ? c2?1 0 0 0? ? ? ?0 1 0 0? ?0 0 0 0? ? ?1 ? 1 0 ? 2 ? ?0 1 - 5 ? 6 ?0 0 0 ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? 6 ?1 ?1 5 例2 将A ? ? ?2 3 ? ?? 4 62 ? ? 6 ? 4 ? 10 ? 化为标准型 5 ?1 ? 6 ? ? 2 ? 10 ? 12 ? 5 7四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性解:? 6 ?1 ? 5 ? 1 A?? 2 3 ? ?? 4 6 ? 2 ? ? 6 ? 4 ? 10 ? r1 ? r2 ? ? 5 ?1 ? 6 ? 2 ? 10 ? 12 ? ? 5 71 r2 31 1 ? r3 7 1 r4 26 ??1 5 ? ? 6 ?1 ? 2 3 ? ?? 4 6 ?6 ? 4 ? 10 ? r2 ?6 r1 ? r3 ? 2 r1 5 7 2 ? r4 ? 4 r1 ?? 5 ?1 ? 6 ? 2 ? 10 ? 12 ? ?6 ? 4 ? 10 ? ?1 5 ? ? 62 ? ? 0 ? 31 ? 31 31 ? ?0 ? 7 ? 7 7 14 ? ? ? ? 0 26 26 ? 26 ? 52 ? ? ??1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?05 6 ? 4 ? 10 ? ? r3 ? r2 1 1 ? 1 ? 2 ? r4 ? r2 ?? 1 1 ?1 ? 2 ? 1 1 ?1 ? 2 ? ??1 ? ?0 ?0 ? ?0 ? 0 0 0 0? ? 1 0 0 0? 0 0 0 0? ? 0 0 0 0? ??1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?1 5 6 ? 4 ? 10 ? c32 ?6c1 ? c4 ? 4c1 1 1 ? 1 ? 2 ? c5 ?10c1 ? ? 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 ? ?c ?5 c?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?0 ? c3 ? c 2 ? c4 ? c2 1 1 ? 1 ? 2 ? c5 ? 2 c 2 ? ? 0 0 0 0 ? 0 0 0 0 ? ? 0 0四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定理2 初等变换不改变矩阵的秩.（64页性质3.3）显然，如果A ? B, 则B ? A定义2: 矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B， 则称A与B等价.记为: 显然，矩阵等价具有： 自反性、对称性、传递性四川农业大学生命科学与理学院A~ B第三章 n维向量及其线性相关性结论: 设A，B都是m×n阶矩阵，则:A ~ B ? r ( A) ? r ( B)证明: ? A ~ B 即A ? B 初等变换不改变矩阵的秩? r ( A) ? r ( B )反过来: 如果 r(A)= r(B)= r , 则:A ? Dr , B ? Dr ? A ? B ? A ~ B四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性二、初等矩阵（59页）定义3 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵有三种：1.换法矩阵(互换单位矩阵的某两行（或列）一次)?1 ? ? ? ? 1 ? ? ? Rij ? Cij ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1? ?0 ? 1? ? 1 ? ? ?1 ? 0四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性2.倍法矩阵(以非零数乘单位矩阵的某一行(或列))?1 ? ? ? ? Ri (? ) ? Ci (? ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?? 1?1 ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性3.消法矩阵(单位矩阵的某一行(列)乘以数k加到另一行(列)上).?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? k ? ? R ji ( k ) ? Cij ( k ) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性有关初等矩阵的性质:(60页定理3.2) （1）初等矩阵均是满秩的（即可逆的）; （2）初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵;1 ?1 R ? Rij， R (k ) ? Ri ( ) ，Rij (k ) ? Rij (?k ) k?1 ij ?1 i（3）初等矩阵的转置仍为初等矩阵：T Rij ? Rij，RiT (? ) ? Ri (? )， Rij (k )]T ? R ji (k ) [四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性?0 1 0? ? ? 设R12 ? ? 1 0 0 ? ?0 0 1? ? ?? 0 1 0 ?? 0 1 0 ? ? 1 0 0 ? ? ?? ? ? ? 显然? 1 0 0 ?? 1 0 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? E ? 0 0 1 ?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? ?? ? ? ??0 1 0? ? ? -1 所 以R12 ? ? 1 0 0 ? ? R12 ?0 0 1? ? ?显 然R12T?0 1 0? ? ? ? ? 1 0 0 ? ? R12 ?0 0 1? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? 3 0 0? ? ? 设 R1 (3) ? ? 0 1 0 ? ?0 0 1? ? ? ?1 ? ? 3 0 0 ?? 3 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? ?? ? ? ? 显然? 0 1 0 ?? 0 1 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? E ? 0 0 1 ?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? ?? ? ? ? ? ??1 ? 0 0? ? ?3 ? 1 ?1 所以R1 (3) ? ? 0 1 0 ? ? R1 ( ) 3 ? 0 0 1? ? ? ? ?? 3 0 0? ? ? T 显 然R1 (3) ? ? 0 1 0 ? ? R1 (3) ?0 0 1? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性?1 0 0? ? ? 设R12 (3) ? ? 3 1 0 ? ?0 0 1? ? ?? 1 0 0 ?? 1 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? ?? ? ? ? 显 然? 3 1 0 ?? ? 3 1 0 ? ? ? 0 1 0 ? ? E ? 0 0 1 ?? 0 0 1 ? ? 0 0 1 ? ? ?? ? ? ?? 1 0 0? ?1 3 0? ? ? ? ? T ?1 所以R 12 (3) ? ? ? 3 1 0 ? ? R12 (?3) 显 然R12 (3) ? ? 0 1 0 ? ? R21 (3) ?0 0 1? ? 0 0 1? ? ? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定理3用初等矩阵左乘某矩阵A，等于该矩阵A作相应的行初等变换；用初等矩阵右乘某矩阵B，等于该矩阵B作相应的列初等变换。（60页定理3.3）四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? 1 0 - 1? 设A ? ? ?2 3 5 ? ? ? ?? 3 0? R1 (3) ? ? ?0 1? ? ? ? ?1 2 0? ? ? C12 ( 2) ? ? 0 1 0 ? ?0 0 1? ? ?? 3 0 ?? 1 0 - 1? ? 3 0 - 3 ? R1 (3) A ? ? ? 0 1 ?? 2 3 5 ? ? ? 2 3 5 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??1 2 0? ? ? 1 2 - 1? ? 1 0 - 1?? AC12 (2) ? ? ? 2 3 5 ?? 0 1 0 ? ? ? 2 7 5 ? ? ? ? ? ?? 0 0 1 ? ? ? ? ?? 3 0 - 3? A ?? ?2 3 5 ? ? ? ?r1 ( 3)? 1 2 - 1? A ? ? ?2 7 5 ? ? ? ?c2 ? c1 ( 2 )四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性定理4: n阶方阵A为满秩的(可逆的)充要条件是A可 表为有限个初等矩阵的乘积.(60页定理3.4)? 证明: & ?&? A ??? ? E初等变换即存在初等矩阵 F1 , F2 ,? Fs , Q1 , Q2 ,?Qt , 使得: E ? Fs Fs ?1 ? F2 F AQ1Q2 ?Qt 1 则:A ? ( Fs ? F2 F1 ) ?1 E (Q1Q2 ? Qt ) ?1? ? F1?1 F2?1 ? Fs?1Qt ? Q2 1Q1?1 ?1& ?&? A ? F F2 ? Fs 1(Fi为初等矩阵)则 A ? F1 F2 ? Fs ? 0表明A可逆四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性推论1:r(AB) = r(A)，其中B为满秩矩阵.推论2:设A,，B均为m×n矩阵， 则:A~ B ? ? | P |? 0, | Q |? 0, ? B ? PAQ四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性由以上定理及推论,推出求逆矩阵的初等变换法:? A ? P P ? P , (| A |? 0) 1 2 r-1 -1 ? P P2 ? Pr） A ? P P2 ? Pr） ( P P2 ? Pr ) ? E （ 1 （ 1 1即Pr?1 ? P2?1 P ?1 A ? E 1-1 右乘A?1有（P P2 ? Pr） ? EA?1 ? A?1 1 -1 ? A?1 ? P P2 ? Pr） ? Pr?1 ? P2?1 P ?1 E （ 1 1说明: 当A经过行初等变换化为单位矩阵E时, E就变 成了A-1 ，即:( A? E ) ?? ?( E ? A ) ?行变换?1四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例3: 设 解:?1 ? A ? ?2 ?3 ? 2 2 4 3? ? 1? 3? ?求A-1?1 2 3 1 0 0? r1 ? rr2 r3 ? ?0 - 2 - 5 - 2 1 0? ?2 ? ? ?0 - 2 - 6 - 3 0 1 ? ? ?- r3 1 - r2 2( A? E ) ??2 ?1 2 3 1 0 0? r2 ?3rr1 r3 ?2 2 1 0 1 0? ?1 ? ? ?3 4 3 0 0 1? ? ??1 0 - 2 - 1 1 0? r1 -?25r3r ?1 0 0 1 3 - 2? r ?0 - 2 - 5 - 2 1 0? 2? 3 ?0 - 2 0 3 6 - 5? ? ? ? ? ? ?0 0 - 1 - 1 - 1 1 ? ?0 0 - 1 - 1 - 1 1 ? ? ? ? ??1 0 0 1 3 - 2? ? 3 5? 0 1 0 -3 ? 2 2? ?0 0 1 1 1 - 1 ? ? ?? 1 3 ? 2? ? A ?1 ? ?? 3 ? 3 5 ? 2 ? ? 2 ? 1 1 ? 1? ? ? 四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性? 2 1 ?1 ? ? ? 例4 设A ? ? 1 2 3 ?, 求A ?1 ? 3 1 ? 2? ? ?3 22 3 0 1 0? r ?2r ? 1 ? 2 1 ? 1 1 0 0 ? r ? r ? 1 2 3 0 1 0 ? r32 ?3r11 ? ? r -2 r ? ? ? ? 1 2 2 1 -1 1 0 0 ? ? 0 ? 3 - 7 1 ? 2 0 ? ? ? （A ? E ) ? ? 1 2 3 0 1 0 ? ? ? ? 0 ? 5 ? 11 0 ? 3 1 ? ? 3 1 ? 2 0 0 1? ? ? ? 3 1 ? 2 0 0 1? ? ? ? ?解：?1 3 0 1 0? ?1 2 ? ? r3 ? r2 ? ?0 ? 3 - 7 1 ? 2 0? ? ? 0 ?0 ?0 1 3 - 2 1 1? ? ? ?? ?1 0 - 3 4 ?0 1 3 - 2 ? 5 ?0 0 1 2 ? ? - 1 - 2 ? r2? 3r3 r ?3r ? 1?3 1 1 1 3? ? 2 2?0 ? r3 ?3r2 ? r1 ? 2 r2 1 3 - 2 1 1? ? - 3 - 7 1 - 2 0? ? 2 3 0 11 2 1 2 1 2 5 ? ? 2? 7 - ? 2? 3? ? 2?? 1 0 - 3 4 - 1 - 2 ? 1 r3 ? ?2 ?0 1 3 - 2 1 1 ?? ?0 0 2 -5 1 3 ? ? ?1 2 1 2 1 2 5 ? ? 2? 7 - ? 2? 3? ? 2?7 ? ?1 0 0 2 ? ? 0 1 0 11 ? 2 ? 5 ?0 0 1 2 ?? 7 ?? 2 11 ? A?1 ? ? ? 2 ? 5 ?? 2四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例5: 求 ?1 ? ?1 2 1 2 ?,? 2 ? ?? 1 ? 2 1 0 ?? 3 ? ?0 0 1 1?,? 4 ? ?1 2 0 1?的极大线性无关组,并将其余向量由它线性表出. 解:?1 ? 1 ?2 ? 2 A?? ?1 1 ? ?2 0?1 ? 1 0 1? ?0 0 ? 0 2? ? ? ?0 2 1 0? ? ? ?0 2 1 1?1? ?1 ? 1 ?0 2 0 0? ? ?? ?0 0 1 ? 1? ? ? 1 ? 1? ?0 0 01? 1 ? 1? ??B 0 0? ? 0 0? 0? rA ? rB ? 2四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性且 ?1 ? ?1 0 0 0?, ? 2 ? ?? 1 2 0 0? 线性无关??1 , ? 2 是一个极大线性无关组.令? 3 ? k1 ?1 ? k 2 ? 2?0? ?1? ? - 1? ? ? ? ? ? ? ?1? ?0? ?2? 即? ? ? k1 ? ? ? k 2 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ?0? ?0? ?0? ? ? ? ? ? ??? 3 ?1 1 ?k1 ? k 2 ? 0 ? k1 ? , k 2 ? ?? 2 2 ? 2k 2 ? 11 1 ?1 ? ? 2 2 2同理:? 4 ? ?1 ? ? 21 21 2四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性例6 设向量组?1? ? -1 ? ? 3 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? - 3? ? 2 ? ? ? 6? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? 10 ? 1 5 -1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ?1? ? p ? 2? ? p ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）当p为何值时，该向量组线性无关？ 1 （2）当p为何值时，该向量组线性相关？ 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性解：? 1 -1 ? ?1 - 3 ?1 5 ? ?3 1 ? ? 2 ? r2 ? r1 ? r3 ? r1 2 ? 6 ? r4 ?3r1 ? ? -1 10 ? p?2 p ? ? 3? 1 -1 ? ?0 - 2 ?0 6 ? ?0 4 ?3 -1 -4 p-7?2 ? ? r3 ? 3r2 ? 4 ? r4 ? 2 r2 ? ? 12 ? p ? 6? ?? 1 -1 ? ?0 - 2 ?0 0 ? ?0 0 ?3 -1 -7 p -9?2 ? ? r4 ? 1 p ?9）r3 （ ?4 ? 7 ? ? 0 ? p - 2? ?? 1 -1 3 ? ? 0 - 2 -1 ?0 0 - 7 ? ?0 0 0 ??2 ? ? ?4 ? 0 ? ? p - 2? ?（ ）当p ? 2时，向量组线性无关。 1（2）当p ? 2时，向量组线性相关，且r (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? 3 显然，1 , ? 2 , ? 3为一个极大线性无关组。 ?四川农业大学生命科学与理学院第三章 n维向量及其线性相关性§3.5 向量空间定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V 对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为向量空间定义2 设V是向量空间，如果r个向量? 1， 2 ?? r ?V , 且满足 ?（ ） 1， 2 ?? r 线性无关； 1? ?（2）V中任意向量可由 1， 2 ?? r 线性表示。 ? ?则向量组? 1， 2 ?? r 称为向量空间V的一个基， ? r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。四川农业大学生命科学与理学院第四章§4.1线性方程组齐次线性方程组§4.2 非齐次线性方程组四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组[教学目的] 1. 熟练掌握线性方程组的解的判定; 2. 熟练掌握两类线性方程组的求解方法; 3. 正确表达方程组的解. [重 点] 解的判定、求解方法.[难点]解的结构四川农业大学生命科学与理学院第四章§4.1一、基本概念线性方程组齐次线性方程组含有m个方程、n个未知数的n元齐次线性方程组为：? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0 ? a x ? a x ??? a x ? 0 ? 21 1 22 2 2n n ? ?? ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0 ?四川农业大学生命科学与理学院（4.1）第四章可写成矩阵的形式为： ? a11 ?a ? 21 ?? ? ?am1? a11 ?a 记A ? ? 21 ?? ? ?am1 a12 a22 ? amn线性方程组a12 a22 ? amn ? ? ? ? a1n ? a2 n ? ? ?? ? amn ? ? x1 ? ?0? ? x ? ?0 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? xn ? ? 0 ?? a1n ? ? x1 ? ?0 ? ?x ? ?0 ? ? a2 n ? ?, x ? ? 2 ?, 0 ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? amn ? xn ? ?0 ? ?A为系数矩阵即Ax ? 0（4.3）四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组也可写成向量的形式为： ? a11 ? ? a12 ? ? a1n ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? ? a22 ? ? a2 n ? ? 0 ? x1 ? ? ? x2 ? ? ? ? xn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ? a ? ? 0? ? m1 ? ? m2 ? ? mn ? ? ?? a11 ? ? a12 ? ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? ? a22 ? ? a2 n ? 记? 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ?? n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? m1 ? ? m2 ? ? mn ?则 x1? 1 ? x2 ? 2 ? ? ? xn ? n ? 0（4.2）四川农业大学生命科学与理学院第四章方程组的解：若有一组数线性方程组a1 , a2 ,? an代入方程中的未知数使(4.1)成立,则称该组数为(4.1)的一组解。? a1 ? ? ? 同时，称向量 ? a 2 ? 为方程组（4.1）的解向量。 ? ? ? ? ? ?a ? ? n? 显然，齐次线性方程组总是有解的。因为x1 ? 0 x2 ? 0? xn ? 0就是一个解。这个解称为零解或平凡解。四川农业大学生命科学与理学院第四章二、齐次线性方程组解的判定线性方程组例1 解三元齐次线性方程组 ? 2 x1 ? x2 ? 3x3 ? 0 ? ?4 x1 ? 2 x2 ? 5 x3 ? 0 ?2 x ? 2 x3 ? 0 ? 1四川农业大学生命科学与理学院第四章解： ? 2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 0 ? ? 4 x1 ? 2 x2 ? 5 x3 ? 0 ?2 x ? 2 x3 ? 0 ? 1?2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 0 ? 4 x2 - x3 ? 0 ? ? x2 - x3 ? 0 ?线性方程组? 2 -1 3 ? ? ? ?4 2 5? ? 2 0 2? ? ??2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 0 ? x2 - x3 ? 0 ? ? 3 x3 ? 0 ? 求得方程组的解为（0,0,0）? 2 -1 3 ? ? ? ? 0 4 - 1? ? 0 1 - 1? ? ? ? 2 -1 3 ? ? ? ? 0 1 - 1? 行阶梯型矩阵 ?0 0 3 ? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第四章? 2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 0 ? ? 4 x1 ? 2 x2 ? 5 x3 ? 0 （I） ?2 x ? 2 x3 ? 0 ? 1消元线性方程组?2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 0 ? x2 - x3 ? 0 （II） ? ? 3 x3 ? 0 ??? ? ?（I） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? II） ? （? 2 -1 3 ? ? ? ?4 2 5? ? 2 0 2? ? ?消元过程 ( 线性方程组的初等变换 )： （1）互换两个方程位置； （2）用一个非零数乘以某 一方程； （3）把一个方程乘以某个 数加到另一个方程。? 2 -1 3 ? ? ? ? 0 1 - 1? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 3 ? ? ? ?矩阵的初等变换： （1）互换矩阵的两行； （2）用一个非零数乘以矩 阵的某一行； ( 3) 把矩阵的某一行乘以某 个数加到另一行。行阶梯型矩阵 四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组? 2 -1 3 ? ? ? ? 0 1 - 1? ?0 0 1 ? ? ??2 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 0 （II继续化简）? x2 - x3 ? 0 ? ? x3 ? 0 ??0 ?2 x1 ? x2 ? x2 ? 0 ? ? x3 ? 0 ?? 2 x1 ? ? ? ? ?0 x2 ? 0 x3 ? 0? 2 -1 0 ? ? ? 0 1 0? ? ?0 0 1? ? ?? 2 0 0? ? ? ?0 1 0? ?0 0 1? ? ?? x1 ? ? ? ??0 x2 ? 0 x3 ? 0以上过程为回代过程?1 0 0? ? ? ?0 1 0? ?0 0 1? ? ?行最简型矩阵四川农业大学生命科学与理学院第四章? ? 3x2 - 2 x3 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 0 ?4 x ? x ? 6 x ? 0 3 ? 1 2解：系数矩阵为线性方程组例2 解三元齐次线性方程组? 0 ? 3 ? 2? ? ? A ? ?1 1 2 ? ?4 1 6 ? ? ?四川农业大学生命科学与理学院第四章? 0 ? 3 ? 2 ? r ?r ? 1 ? ?1 2? A ? ?1 1 2 ? ? ?0 ?4 1 ?4 6 ? ? ? ?线性方程组1? 1 1 2 ? r -r ? ?3 2 ?0 - 3 - 2? ? ?0 - 3 - 2? ? ?4? ? 3? 2? 3? 0? ? ?对方程组的系数矩阵作行的初等变换2? ? r3 -4 r1 - 3 - 2? ? 1 6? ?2? 2 ? r1 ?r2 ?? 3? 0? ?? 1 1 2 ? r（- 1） ? ?2 3 ?0 - 3 - 2? ? ?0 0 0 ? ? ??1 1 ? ?0 1 ? ?0 0 ?? ?1 0 ? ?0 1 ? ?0 0 ? ?行阶梯型四川农业大学生命科学与理学院第四章? ?1 0 ? ?0 1 ? ?0 0 ? ? 4? ? 3? 2? 对应的方程组为 3? 0? ? ?线性方程组4 ? ? x1 ? ? 3 x3 即? 2 ? x2 ? ? x3 3 ?4 ? ? x1 ? ? 3 k 令x3 ? k , ? 2 ? 则原方程组的所有解为 ? x2 ? ? k (k为任意实数) 3 ? ? x3 ? k ? ? 显然，原方程组有无穷多解四川农业大学生命科学与理学院4 ? ? x1 ? 3 x3 ? 0 ? 2 ? x2 ? x3 ? 0 3 ?第四章线性方程组含有m个方程、n个未知数的n元齐次线性方程组为： ? a11 a12 ? a1n ?? x1 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? (4.1) ? a 21 a 22 ? a 2 n ?? x2 ? ? 0 ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?a a m 2 ? a mn ?? xn ? ? 0 ? ? m1 ?? ? ? ? 定理1 (1)R(A)=n时，齐次线性方程组（4.1）只有零解。 (2)当R(A)& n时, (4.1)除零解外，还有无穷多个解。四川农业大学生命科学与理学院第四章证明：线性方程组0 ? 0? ? 1 ? 0? ? ? ?? ? 0 ? 1? ? 0 ? 0? ? ? ?? ? 0 0 0??1 ? ?0 ?? ? 行初等变换 （1）当R( A) ? n时，A ?? ???? 0 ?0 ? ?? ? ?0四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组0 ? 0 0? ? 1 ? 0 0? ? ? ? ? ? 0 ? 1 0? 0 ? 0 0? ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0??1 ? ?0 ?? ? 行初等变换 （2）当R( A) ? n时，A ?? ???? 0 ?0 ? ?? ? ?0四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组[推论1]：齐次线性方程组的方程的个数m小于未知数个数n时，则必有非零解。 [推论2]: 若齐次线性方程组中的方程个数m等于未 知数个数n时，有非零解的充要条件是方程组的系 数行列式等于零。四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组例3：试问当λ为何值时，方程组 有非零解？(? ? 3) x1 ? x2 ? 0 ? ? 4 x1 ? (? ? 1) x2 ? 0 ? ? ? 4 x ? 8 x ? ( ? ? 2) x ? 0 1 2 3 ?解：? ?34 ?4?10 0?| A |?? ?18? (? ? 2)(? ? 1)2??2令|A|=0得：? ? 1, ? ? ?2由推论1知，此时方程组有非零解。四川农业大学生命科学与理学院第四章例4 判定方程组解的情况线性方程组? x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 0 ? ? ? 2 x1 ? x3 ? 5 x4 ? 0 ? 2 x2 ? x3 ? 3 x4 ? 0 ?解：因为方程个数3小于未知量个数4， 所以方程组有无穷多组解。四川农业大学生命科学与理学院第四章（4.1）的矩阵形式为线性方程组（4.3）s三、齐次线性方程组的解空间Ax ? 0性质：设 ?1 , ? 2 ,?? s 是方程组（4.3）的解，则 ? k i ? i i ?1 也是该方程组的解（即解的线性组合仍是方程组的解）。 证明：? A? ki ?i ? A(k1?1 ? k2 ? 2 ? ? k s ? s )i ?1 s表明? ki ? i是（4.3）的解。i ?1s? k1 A?1 ? k 2 A? 2 ? ? k s A? s ? 0由此看来，（4.3）的全体解构成的集合是一个向量空间， 称为（4.3）的解空间，记为S。四川农业大学生命科学与理学院第四章线性方程组四、齐次线性方程组的基础解系 定义： 齐次线性方程组 A x ? 0 (4.3) 的一组解向量： ?1 , ? 2 ,?? s 若满足： （1） ?1 , ? 2 ,?? s 线性无关；（2）解空间S的任意解向量 ? 均可由?1 , ? 2 ,?? s 线性表示。则称 ?1 , ? 2 ,?? s 为 Ax ? 0 的一个基础解系。 如果 ?1 , ? 2 ,?? s 为 Ax ? 0 的一个基础解系，则称x ? k1?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s为方程组A x ? 0的 通解其中k1 , k2 ?k s为任意实数。四川农业大学生命科学与理学院第四章定理2：n元齐次线性方程组线性方程组Amn x ? 0 (4.3)齐次线性方程组的基础解系的求法当r（A） n时， ? 该齐次线性方程组的基础解系存在，且基础解系含有n-r个线性无关的解向量。 证：?1 ? ?0 ?? ? 行初等变换 A ?? ???? 0 ?0 ? ?? ? ?0 0 ? 0 1 ? ? 0 ? c1,r ?1 c2,r ?1 ? cr ,r ?1 0 ? 0 ? c1n ? ? ? c2 n ? ? ? ? ? crn ? ? Cr ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 ?0 ? 1 0 ? 0 ? ? 0 ? 0四川农业大学生命科学与理学院第四章相应方程组为：线性方程组? y1? ?c1, r ?1 yr ?1 ? ? ? c1n yn ? y ? ?c ? 2 2 , r ?1 y r ?1 ? ? ? c2 n y n （4.3 ’ ） ? ? ? ? yr ? ?cr , r ?1 yr ?1 ? ? ? crn yn ? ? y r ?1 ? ? 1 ? ? 0 ? ?0? ? ? ? }