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极限的几种计算方法
极限是高等数学中最重要的概念之一，是研究函数的重要工具。掌握极限概念与运算是学好高等数学的前提条件。对于极限的计算问题，常用方法有：“极限的运算法则”、“等价无穷小代换法”、“两个重要极限”、“罗必塔法则”等，结合多年的教学经验，再介绍几种求极限的方法。
作者单位：
泰州职业技术学院,江苏 泰州,225300
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万方数据电子出版社　　摘要：极限的计算可以说是考研数学中一个必出的考点，它以怎样的形式出现还会是很多研友们的困扰。今天我们就来详细地探讨一下有关极限计算的相关内容吧！
　　极限是考研数学每年必考的内容，在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。
　　?常见题型
　　极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。
　　?常用计算方法
　　极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。
　　四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度；在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效；夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算；单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。
　　?与极限计算相关知识点
　　1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；
　　2、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；
　　3、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
　　?数列极限的典型方法
　　下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。求数列极限可以归纳为以下三种形式。
　　1、抽象数列求极限
　　这类题一般以选择题的形式出现，因此可以通过举反例来排除。此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
　　2、求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
　　a.利用单调有界必收敛准则求数列极限
　　首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程，从而得到数列的极限值。
　　b.利用函数极限求数列极限
　　如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
　　3、求N项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
　　a.利用特殊级数求和法
　　如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
　　b.利用幂级数求和法
　　若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
　　c.利用定积分定义求极限
　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示，则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
　　d.利用夹逼定理求极限
　　若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
　　e.求N项数列的积的极限
　　一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
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考研帮地方站极限运算技巧
万学海文 孙燕
极限是高等数学中最基本，也是非常重要的内容。高等数学就是以极限为基本工具，来研究函数的微分和积分。高等数学中几乎所有的基本概念，如连续、导数、定积分等，都是用极限来描述的。因此，学好极限，会计算极限，是学好高等数学的一个关键。
我们看到一道极限题的时候，首先是看它的基本形式，是属于什么形式就用什么方法。
一、 不定式。
需要注意的是等价无穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
二、数列的通项是n项连加或连乘
因为当n无限增加时，项数也无限增加，所以不能直接应用和或积的极限运算法则，常用的方法是先求和或求积，再求极限。求和除了用求和公式外，通常还有下面两种方法：
（一）拆项法；
（二）倍和法。
三、运用夹逼准则求极限。
四、利用级数收敛的必要条件求极限。
五、利用无穷小的性质求极限。
老师为同学们整理了以上求极限的方法，希望可以对考数学的同学们有所帮助，最后海文的老师预祝2016届的同学们能够考上自己理想的院校！
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今日搜狐热点《高等数学》极限运算技巧
要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
&&&&一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
&&&从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧
&我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
&我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
&& 1，连续函数的极限
&这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。
&& 2，不定型
&我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
&第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：
（1），“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：
，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞
”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。
（2），“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0
”的形式，基本解法同上。比如：
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。
这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞
”或“0/0 ”的形式。
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“
”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公式。
第二种是取对数消指数。简单来说，“
”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：
可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。
三，极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
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极限的运算法则
前两节我们已经研究了数列极限和函数极限的概念及其性质,本节讨论计算极限的方法—极限的四则运算法则和复合函数求极限法则,并利用这些法则去求出一些函数和数列的极限,以后还将介绍求极限的其他方法.
一、极限的四则运算法则
下面的法则, 虽然针对函数极限的情况叙述的,但所得结论对数列极限也成立.由于法则对各种自变量变化过程的函数极限都成立,因此在符号下面没有写出自变量的变化过程,但要注意,在同一场合,自变量的变化过程相同.
1. 四则运算法则
下面的四则运算法则中,均设,且有限,则有:
法则Ⅰ .并且可以推广到有限多个函数的代数和的极限情形.
法则Ⅱ ,并且也可以推广到有限多个函数的乘积的极限情形.特别地，
(为正整数).
法则III 当时,.
以上法则均可根据极限的定义及其性质进行证明,这里我们以法则Ⅱ为例,就自变量的情形来证明.
根据函数极限的局部有界性,由知,
因为,所以对上述同一个,根据函数极限的定义有:
所以,,取,当时, 有
而我们知道,一个常数乘以任意小的一个正数仍是任意小的正数,所以有:
法则Ⅳ 由.
记,由极限的保号性即证.
2. 运用四则运算法则求极限举例
应用法则时,要特别注意条件:要求都存在;否则法则不能用.
例如,运算过程:是错误的,因为极限不存在, 因此不能用四则运算法则.此极限的为0,可用定义证明或用后面的方法求得.
对有理整式(即多项式)求的极限,只要将代入函数中即可.
直接应用四则运算法则,即有:
对有理分式,只要,则.若,则法则III不能用.
因为分母的极限,所以
分母的极限,不能用求极限的商的法则.但此时分子的极限也为零,我们可先消去零因子,而得到:
(约去趋零因子求极限法)
(为正整数).
利用约去趋零因子法,有:
注意到当时,两个分式的极限都不存在,不能直接应用四则运算法则,更不能将原式看成“”.应先通分并约去趋零因子后就有:
(先通分后约去趋零因子求极限法)
当时,分子、分母的极限都不存在,不能直接应用四则运算法则,更不能去将原式看成“”.这时用分母中的最高方次来遍除分子分母,很快就将常数分离了出来,从而得到结果.
这种求极限的方法我们称为“常数分离求极限法”.我们再举两例加以说明.
例9 设 求(1) ; (2) ; (3) .
(3) 注意到是分段函数的分界点,所以应先求它的左、右极限,而后才能判断它在分界点处极限是否存在.因为
二、极限的复合运算法则
设函数是由函数与函数复合而成,在点的某去心邻域内有定义,若
且存在,当时,有,则
(1) 在法则Ⅴ中,把换成或,而把换成, 可得类似的法则.
(2) 法则Ⅴ表明,在函数和满足法则要求的条件下,要求, 可以先作代换将其化为求, 如果, 则:
这是我们今后常用的方法或技巧之一.
(3) 特别地,若有,则有:
此时表明: 极限符号与函数符号可以交换次序. 由此可得,对于所有初等函数而言, 若在其定义域内,则,也即是直接代入得函数值.
解 将分子有理化,得
1. 填空题:
(1) 已知为常数, , 则
(2) 已知为常数, , 则
(3) 已知为常数, , 则
2. 求下列极限:
(为正整数);
(为正整数);
3. 设 分别求和时的极限.
4. 若当时的
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