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《步步高》2015年高考数学总复习（人教A版，理科）配套教案：第七章 不等式 7.1[ 高考].DOC 14页
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《步步高》2015年高考数学总复习（人教A版，理科）配套教案：第七章 不等式 7.1[ 高考].DOC
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§7.1　不等关系与一元二次不等式
1.不等式的定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号&、&、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.
2.两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)；
(2)作商法 (a∈R，b&0).
3.不等式的性质
(1)对称性：a&bb&a；
(2)传递性：a&b，b&ca&c；
(3)可加性：a&ba＋c&b＋c，
a&b，c&da＋c&b＋d；
(4)可乘性：a&b，c&0ac&bc，
a&b&0，c&d&0ac&bd；
(5)可乘方：a&b&0an&bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a&b&0& (n∈N，n≥2).
4.“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4acΔ&0 Δ＝0 Δ&0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a&0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a&0)的根 有两相异实根x1，x2(x1&x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c&0(a&0)的解集 {x|x&x1或x&x2} {x|x≠x1} {x|x∈R}
ax2＋bx＋c&0(a&0)的解集 {x|x1&x&x2}
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)a&bac2&bc2.
(2)a&b&0，c&d&0&.
(3)若ab&0，则a&b&.
(4)若不等式ax2＋bx＋c&0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)
(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c&0的解集为R.(　×　)
(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a&0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)
2.设a&b&0，则下列不等式中不成立的是(　　)
C.|a|&－bD.&
解析　由题设得a&a－b&0，所以有&成立，
即&不成立.
3.已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a&0的解集是(　　)
A.(2,3)B.(－∞，2)∪(3，＋∞)
解析　由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a&0即为x2－5x＋6&0，解集为(2,3).
4.若不存在整数x满足不等式(kx－k2－4)(x－4)&0，则实数k的取值范围是________.
答案　[1,4]
解析　可判断k＝0或k&0均不符合题意，故k&0.
于是原不等式即为k(x－)(x－4)&0(x－)(x－4)&0，
依题意应有3≤≤5且k&0，∴1≤k≤4.
5.(2013·江苏)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x&0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)&x的解集用区间表示为________.
答案　(－5,0)∪(5，＋∞)
解析　由已知得f(0)＝0，当x&0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x，因此f(x)＝
不等式f(x)&x等价于或
解得：x&5，或－5&x&0.
题型一　不等式的性质及应用
例1　(1)设a&b&1，c&0，给出下列三个结论：
①&；②ac&bc；③logb(a－c)&loga(b－c).
其中所有正确结论的序号是(　　)
A.①B.①②
(2)(2012·四川)设a，b为正实数.现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b&1；②若－＝1，则a－b&1；③若|－|＝1，则|a－b|&1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|&1.
其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号)
思维启迪　利用不等式的性质进行变形，比较大小时要注意题设条件.
答案　(1)D　(2)①④
解析　(1)∵a&b&1，∴&.
又c&0，∴&，故结论①正确；函
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解此方程得.和;设所求矩形的两边分别是和,由题意得方程组,消去化简得:,,不存在矩形.满足时,矩形存在.由题意得方程组,消去化简得:,.和.由图可知,一次函数解析式为,反比例函数解析式为,组成方程组得到,整理得,,,于是,得或,和.由题意知,解得,或.
总结:一元二次方程根的情况与判别式的关系及根与系数的关系:方程有两个不相等的实数根;方程有两个相等的实数根;方程没有实数根;若一元二次方程有实数根,则,.
3745@@3@@@@根的判别式@@@@@@248@@Math@@Junior@@$248@@2@@@@一元二次方程@@@@@@50@@Math@@Junior@@$50@@1@@@@方程与不等式@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3789@@3@@@@一次函数的图象@@@@@@253@@Math@@Junior@@$253@@2@@@@一次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@$3806@@3@@@@反比例函数的图象@@@@@@254@@Math@@Junior@@$254@@2@@@@反比例函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
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