高数微积分是高数吗题目：欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器,问如何设计可使材料最省？为什么要求导？求解谢谢
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时间：2017-11-26 09:23
中值定理与导数的应用2(终)_百度文库
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中值定理与导数的应用2(终)
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你可能喜欢导读：思路：根据题意建立数学函数模型，★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1）y?x4?8x2?2,?1?x?3；（2）y?sinx?cosx,[0,2π]；（3）y?x?1?x,?5?x?1；（4）y?ln(x2?1),[?1,2]。知识点：导数的应用。思路：求函数f(x)在闭区间上最值的基本方法是先求y??0的点或者y?不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值★★4.求下列函数的最大值、最小值： （1）y?x4?8x2?2, ?1?x?3；
（2） y?sinx?cosx,[0,2π]；
（3） y?x?1?x,?5?x?1；
（4）y?ln(x2?1),[?1,2]。 知识点：导数的应用。 思路：求函数f(x)在闭区间上最值的基本方法是先求y??0的点或者y?不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是是f(x)在该闭区间上的最大值，最小的即f(x)在该闭区间上的最小值。 3解：（1）在[?1,3]上令y??4x?16x?0，得x1?0，x2?2； ∵y(?1)??5 ，y(0)?2，y(2)??14，y(3)?11， ∴比较可得y?x4?8x2?2, ?1?x?3的最小值为y(2)??14，最大值为y(3)?11。 y??cosx?sinx?0，得x1?，（2） 在[0,2π]上，令∵π5π，x2?44； 5π)??2，y(2π)?1， 45ππ[0,2π]的最小值为y()??2，最大值为y()?2∴比较可得y?sinx?cosx,44y(πy(0)?1，y()?24。 1]上，（3）在[?5,∵y??321?x?1?0，得x?421?x； 35y(?5)??5?6，y()?，y(1)?1， 4435y?x?1?x,?5?x?1的最小值为y(?5)??5?6，最大值为y()?。 442x?0，得x?0； （4）在[?1,2]上令y??2x?1∴比较可得∵y(?1)?ln2 ，y(0)?0，y(2)?ln5， ∴比较可得y?ln(x2?1),[?1,2]的最小值为y(0)?0，最大值为y(2)?ln5。 ★★★5.求下列数列的最大项： ?n10?（1） ?n?；
（2）?2?知识点：导数的应用。 ?n?。 n思路：求数列f(n)的最大项最小项问题可转化为求函数f(x)在区间[1,??)内的最值问题；若x?x0为则f(n)?f([x0])与f(n)?f([x0]?1)中最小的一个为数f(x)在区间[1,??)内的最小值点，列中的最小项；若x?x0为f(x)在区间[1,??)内的最大值点，则f(n)?f([x0])与f(n)?f([x0]?1)中最大的一个为数列中的最大项。 解：设x10f(x)?x28，则在区间[1,??)内，令10x9(10?xln2)x?f?(x)??0，得唯一驻点；
xln22由f??(x)?x(90?20xln2?xln2)10??，得f()?x2ln2?22?10(108)ln2?0， 102ln2（或者说：当x1010时，f?(x)?0；当x?时，f?(x)?0） ln2ln2在区间[1,??)内唯一的极大值点，也是最大值点； 10x10∴x?为f(x)?xln]?14，[]?14，且2∵[?1.00323?1， 15?n10?∴当n?14时，?取得最大项。 n??2?（2）设f(x)?x1x，则在区间[1,??)内，令1?lnxf?(x)?x(2)?0，得唯一驻点x?e； x1x当0?x?e时，有y??0，当x?e时，有y??0， ∴ x?e为f(x)?x1x在区间[1,??)内唯一的极大值点，也是最大值点； ∵[e]?2，[e]?1?3，且28??1，∴当n?3时，3936?n?取得最大项。 n★★6.从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？
x a 图3-5-6
知识点：求最值问题。 思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x0，且x0是函数f(x)的极值点，则当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值；f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x0，且f(x)在该区间上确实存在最值，则f(x0)就是f(x)在该区间上的最值。 解：设截去的小正方形的边长为x，则根据题意，得 aaadV?(a?2x)(a?6x)?0，得x?（舍去），x?；V(x)?x(a?2x)2，x?(0,)；令262dxaa23a，∴可得，当一个边长为a的正方形的四角上截去一块边长为 ∵V(0)?0,V()?0,V()?2627a的小方块，才能使盒子的容量最大。 6★★7.欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？ 解：设圆柱形容器的底为r，高为h，则表面积S?2πrh?2πr，又V?πrh，∴得 22S(r)?2V?2πr2,0?r???， r32V令S?(r)??2?4πr?0，得唯一的驻点r?r又由S??(r)V2π； ?4V?4π，知S??(r)3rr?3V2π?12π?0， 3∴r?V2π为S(r)的极小值点，也是最小值点； 3∴当r?V2π，h?2r时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。 ★★★8.从一块半径为R的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图3?5?8）容积为最大？ R4π2??2?R解：设漏斗的半径为r，高为h，容积为V，根据题意，得r?，h?2π2πR3?24π2??212V(?)?πrh?,0???2?； 2324πR3?24π2??288??0令V?(?)?，得（舍去），（舍去），????????03324π2∵漏斗的最大容积确实存在，即V(?)又V(?)，从而有 ； (0???2?)最大值确实存在， (0???2?)的驻点唯一， ∴??8?3时，V(?)(0???2?)取得最大值，即当切去圆心角为2??8?的扇形时，余下的3部分卷成的漏斗容积最大。 ★★★9.设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动（见图3?5?9），设磨擦系数μ?0.25，问力F与水平线的交角α为多少时，才可使力F的大小为最小？ 解：根据题意，得Fcosα?(P?Fsinα)μ，从而有F(?)?Pμ?,0???， 即cos???sin?2F(?)?则由1.25?,0???cos??0.25sin?2，令f(?)?cos??0.25sin?， ?f?(?)??sin??0.25cos??0，得f(?)在(0,)内唯一的驻点α?arctan(0.25)； 21.25?1.25?1.25， ∵F()??5，F(0)???cos0?0.25sin02cos?0.25sin221.25?1.213 cos(arctan(0.25))?0.25sin(arctan(0.25))?arctan(0.25)时，才可使力F的大小为最小。 (0.25))?且F(arctan∴力F与水平线的交角α1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.使杠杆保持水平（见图3?5?10），如果杠杆的线密度为5kg/m，求最省力的杆长。 解：设杠杆长为x，则根据题意和力的平衡关系，得xF?49?0.1?5x?x，即 2F(x)?4.95x?(x?0)； x24.955x2?9.89.8?0令F?(x)??2??，得唯一的驻点(x?0)x??1.4； 2x22x5∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长x?1.4m时最省力。 F ? ?RO 图3-5-8 P?5kg
S 0.1m A F a Ob xMx ?49kg 图3-5-10 ★★★★11.光源 图3-5-11
的哪一点再反射到点S的光线射到平面镜OxA，光线所走的路径最短（见图3?5?11）？ 解：设入射点为M,OM?x，则S所走的路程 y?SM?MA?a2?x2?b2?(τ?x)2(0?x?τ) 令y??xa2?x2?τ?xb2?(τ?x)2?0，得y在区间(0,τ)内的唯一驻点x0??aτ， a?b∵最短的距离确实存在，∴当入射点M在Ox上的点为x0容易验证，此时入射角（记为α）等于反射角（记为aτ时，光源S的光线所走的路径最短；a?bβ），即 tanβ?此为著名的光的反射定律。 τ?x0?bτ?aτa?b?τ?x0?tanα， ba?ba包含总结汇报、党团工作、考试资料、旅游景点、文档下载、IT计算机、外语学习、教学研究、教学教材、工作范文、人文社科、专业文献以及吴赣昌版高等数学第三章(2)等内容。本文共8页
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做一个容积固定为V的圆柱形带盖铁罐,问圆柱的高h和底半径r各为多少时,可使所用材料最少（即表面积最小？）
设底面半径为r，高为h，那么其体积为：V=πr^2*h
其表面积【即材料面积】为s=2πr*h+2πr^2=2πr*(V/πr^2)+2πr^2
=(2V/r)+2πr^2
则，s'(r)=(-2V/r^2)+4πr=0
===> V/r^2=2πr
===> r=(V/2π)^(1/3)
此时，h=V/(πr^2)=(4V/π)^(1/3)
即，当r=(V/2π)^(1/3)，h=(4V/π)^(1/3)时材料最省
依题意πr^2*h=v,h=v/(πr^2)，①
表面积S=2πr^2+2πrh=2πr^2+2v/r
=2πr^2+v/r+v/r
＞=3(2πv^2)^(1...
S=2πrh+2πr^2
S=2v/r+2v/h
S=2v*(r+h)(rh)
用h=v/(πr^2) 带入上式
S=2（πr^3+v)/r
（8-6）/8*50*17/8=425/16
题目：“注满容器全过程用分钟”，假设时间是t。
根据粗水管的口径是细水管口径的2倍，横截面积粗水管是细水管的4倍。【圆的面积比等于半径比的平方】
解：设设细水管...
答: 这个基本上应该都是一个三维图形吧,具体是看不出来是圆形还是长方形的,现在只要宝宝胎心胎芽正常的话就好了。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
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中值定理与导数的应用2(终)
★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1 ） y （3 ）? x 4 ? 8 x 2 ? 2, ? 1 ? x ? 3 ；（2） （4） yy ? sin x ? cos x,[0,2π ] ；y ? x ? 1 ? x, ? 5 ? x ? 1 ；? ln( x 2 ? 1),[?1,2] 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：求函数 f ( x) 在闭区间上最值的基本方法是先求 y? ? 0 的点或者 y ? 不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是 是f ( x) 在该闭区间上的最大值，最小的即f ( x) 在该闭区间上的最小值。3解： （1）在 [?1,3] 上令 y? ? 4 x ? 16 x ? 0 ，得 x1 ? 0 ， x 2 ? 2 ；∵y(?1) ? ?5， y (0)? 2 ， y(2) ? ?14 ， y(3) ? 11 ，∴比较可得y ? x 4 ? 8x 2 ? 2, ? 1 ? x ? 3 的最小值为 y(2) ? ?14 ，最大值为 y(3) ? 11 。y? ? cos x ? sin x ? 0 ，得 x1 ?（2） 在 [0,2π ] 上，令 ∵π 5π ， x2 ? ； 4 4π 5π y(0) ? 1， y ( ) ? 2 ， y ( ) ? ? 2 ， y(2π ) ? 1 ， 4 4 5π π ) ? ? 2 ，最大值为 y ( ) ? 2 。 ∴比较可得 y ? sin x ? cos x,[0,2π ] 的最小值为 y ( 4 4（3）在 [?5, 1] 上，y? ?3 2 1 ? x ?1 ? 0 ，得 x ? ； 4 2 1? x∵3 5 y(?5) ? ?5 ? 6 ， y ( ) ? ， y(1) ? 1， 4 43 5 y ? x ? 1 ? x , ? 5 ? x ? 1 的最小值为 y(?5) ? ?5 ? 6 ，最大值为 y ( ) ? 。 4 4 2x ? 0 ，得 x ? 0 ； （4）在 [?1,2] 上令 y? ? 2 x ?1∴比较可得 ∵y(?1) ? ln 2， y (0)? 0 ， y(2) ? ln 5 ，∴比较可得y ? ln( x 2 ? 1),[?1,2] 的最小值为 y(0) ? 0 ，最大值为 y(2) ? ln 5 。★★★5.求下列数列的最大项：（1 ）? n10 ? ? n ?； ?2 ?（2）? n ?。n知识点 ：导数的应用。 思路 ： 求数列 f (n) 的最大项最小项问题可转化为求函数 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最值问题； 若 x ? x0为 则 f (n) ? f ([ x0 ]) 与 f (n) ? f ([ x0 ] ? 1) 中最小的一个为数 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最小值点，列中的最小项；若x ? x0为f ( x)在区间[1, ? ?)内的最大值点，则f (n) ? f ([ x0 ])与f (n) ? f ([ x0 ] ? 1) 中最大的一个为数列中的最大项。解： 设 f ( x) ?x10 2x， 则在区间 [1, ? ?) 内， 令f ?( x) ?x9 (10 ? x ln 2) 10 ?0， 得唯一驻点 x ? ； x 2 ln 2由10 8 ?10( ) x8 (90 ? 20 x ln 2 ? x 2 ln 2 2) 10 ln 2 f ??( x) ? ，得 f ??( )? ?0， 10 2x ln 2 ln 2 2? 10 10 时， f ?( x) ? 0 ；当 x ? 时， f ?( x) ? 0 ） ln 2 ln 2在区间 [1, ? ?) 内唯一的极大值点，也是最大值点；（或者说：当 x∴x?x10 10 为 f ( x) ? x ln 2 2 10 ] ? 14 ， [ ] ? 14 ，且 2 ? 1.00323 ? 1 ， ∵[ 1510 ln 2 ln 2 215∴当 n? n10 ? ? 14 时， ? n ? 取得最大项。 ?2 ?f ( x) ? x1 x（2）设，则在区间 [1, ? ?) 内，令1 1 ? ln x f ?( x) ? x x ( 2 ) ? 0 ，得唯一驻点 x ? e ； x当0 ?x ? e 时，有 y? ? 0 ，当 x ? e 时，有 y? ? 0 ，1∴x ? e 为 f ( x) ? x x 在区间 [1, ? ?) 内唯一的极大值点，也是最大值点；2 ， [e] ? 1 ? 3 ，且∵ [e] ?2 8 ? ? 1 ，∴当 n ? 3 时， 3 9 36? n ?取得最大项。n★★6.从一个边长为a 的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图） ，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？ xa图 3-5-6 知识点 ：求最值问题。 思路 ：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，f ( x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x 0 ，且 x 0 是函数 f ( x) 的极值点，则当 f ( x0 ) 是极大值时，f ( x0 ) 就是 f ( x) 在该区间上的最大值；当 f ( x0 ) 是极小值时， f ( x0 ) 就是 f ( x) 在该区间上的最小值；f ( x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x 0 ，且 f ( x) 在该区间上确实存在最值，则 f ( x0 ) 就是f ( x) 在该区间上的最值。解 ：设截去的小正方形的边长为 x ，则根据题意，得a dV a a ? (a ? 2 x)(a ? 6 x) ? 0 ，得 x ? （舍去） V ( x) ? x(a ? 2 x) 2 ， x ? (0, ) ；令 ，x ? ； 2 dx 2 6 a a 2 3 a ，∴可得，当一个边长为 a 的正方形的四角上截去一块边长为 ∵ V (0) ? 0,V ( ) ? 0,V ( ) ? 2 6 27 a 的小方块，才能使盒子的容量最大。 6 ★★7.欲制造一个容积为 V 的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解 ：设圆柱形容器的底为 r ，高为 h ，则表面积 S ? 2πrh ? 2πr ，又 V ? πr h ，∴得2 2S (r ) ?2V ? 2πr 2 ,0 ? r ? ?? ， r32V V 令 S ?(r ) ? ? 2 ? 4πr ? 0 ，得唯一的驻点 r ? r 2π又由 S ??(r )；?4V ? 4π ，知 S ??(r ) r3r?3V 2π? 12π ? 0 ， 3∴r?V 2π3为 S (r ) 的极小值点，也是最小值点；∴当 r?V 2π，h? 2r 时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。★★★8.从一块半径为 R 的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图 3 ? 5 ? 8 ）容积为最大？解 ：设漏斗的半径为 r ，高为 h ，容积为 V ，根据题意，得 r ??R2π，h?R 4π 2 ? ? 2 2π，从而有R 3? 2 4π 2 ? ? 2 1 2 V (? ) ? πr h ? ,0 ? ? ? 2? ； 3 24π 2令 V ?(? ) ?R3? 2 4π 2 ? ? 2 8 ? 0 ，得 ? ? 0 （舍去） ，? ? ? ? 2 24π 3（舍去） ，??8 ? 3；∵漏斗的最大容积确实存在，即 V (? ) 又 V (? )(0 ? ? ? 2? ) 最大值确实存在，(0 ? ? ? 2? ) 的驻点唯一，∴??8 8 ? 时， V (? ) (0 ? ? ? 2? ) 取得最大值，即当切去圆心角为 2? ? ? 的扇形时，余下的 3 3部分卷成的漏斗容积最大。★★★9.设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力 F 的作用而开始移动（见图 3 ? 5 ? 9 ） ，设磨擦系数μ? 0.25 ，问力 F 与水平线的交角 α 为多少时，才可使力 F 的大小为最小？解 ：根据题意，得 F cos α ? ( P ? F sin α) μ ，从而有 F (? ) ?Pμ ? ,0 ? ? ? ， cos? ? ?sin? 2即F (? ) ?则由1.25 ? ,0 ? ? ? ，令 f (? ) ? cos? ? 0.25sin? ， cos? ? 0.25sin? 2f ?(? ) ? ?sin? ? 0.25cos? ? 0 ，得 f (? ) 在 (0, ) 内唯一的驻点 α ? arctan(0.25) ； 2 1.25 ? 1.25 ? 1.25 ， ? 5 ， F (0) ? ∵ F( ) ? ? ? cos0 ? 0.25sin0 2 cos ? 0.25sin 2 2?且 F (arctan (0.25))?1.25 ? 1.213 cos(arctan(0.25)) ? 0.25sin(arct an(0.25))? arctan(0.25) 时，才可使力 F 的大小为最小。∴力 F 与水平线的交角 α ★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点 0. 1m 处挂一重量为 49kg 的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图 3 ? 5 ? 10 ） ，如果杠杆的线密度为 5kg/m ，求最省力的杆长。解 ：设杠杆长为 x ，则根据题意和力的平衡关系，得 xF ? 49 ? 0. 1 ? 5x ?x ，即 2F ( x) ?令 F ?( x) ? ?4.9 5 x ? ( x ? 0) ； x 24.9 5 5 x 2 ? 9.8 9.8 ? ? ? 0 ( x ? 0) ，得唯一的驻点 x ? ? 1.4 ； 2 2 x 2 2x 5∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长 x? 1.4m 时最省力。F??RP ? 5kg图 3-5-9O图 3-5-8S0.1mAFaOxMbx49kg图 3-5-10★ ★ ★★ 11. 光 源?图 3-5-11S的光线射到平面镜Ox 的 哪 一 点 再 反 射 到 点 A ， 光 线 所 走 的 路 径 最 短 （ 见 图3 ? 5 ? 11 ）？解 ：设入射点为 M,OM ? x ，则 S 所走的路程y ? SM ? MA ? a 2 ? x 2 ? b 2 ? (τ ? x) 2 (0 ? x ? τ )令y? ?x a ?x2 2?τ?x b ? ( τ ? x)2 2? 0 ，得 y 在区间 (0,τ ) 内的唯一驻点 x0 ??aτ a?b，∵最短的距离确实存在， ∴当入射点 M 在 Ox 上的点为 x0 容易验证，此时入射角（记为 α ）等于反射角（记为aτ 时， 光源 S 的光线所走的路径最短； a?bβ） ，即 τ ? x0 tan β ? ? b此为著名的光的反射定律。τ?aτ a ? b ? τ ? x0 ? tan α ， b a?b a★★★★12.甲船以每小时 20 里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北 82 里处以每小时 16 里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解 ：设两船的距离为 S ，且经过 t 小时两船距离最近，则根据题意得S (t ) ? (82 ? 16t ) 2 ? (20t ) 2 (t ? 0)令 S ?(t ) ?656t ? 1312 (82 ? 16t )2 ? (20t ) 2? 0 ，得 S (t ) 在区间 (0, ? ?) 内唯一的驻点 t ? 2 ；∵两船最短的距离确实存在，∴ t? 2 时， S (t ) ? (82 ? 16t )2 ? (20t )2 (t ? 0) 取得最小值，即经过2 小时后两船距离最近。内容概要名称 3.6 函 数图形 的描绘 渐近线的概念： 1）水平渐近线：若函数 y 主要内容（3.6）? f ( x) 的定义域是无穷区间，且 lim f ( x ) ? C ，则称直线x ??y ? C 为曲线 y ? f ( x) 的水平渐近线；2）铅直渐近线：若函数y ? f ( x) 在 x 0 处间断，且 lim f ( x ) ? ? ，则称直线 x ? x0 为曲x ? x0线y ? f ( x) 的铅直渐近线； y ? f ( x) ， 若 lim[ f ( x) ? ( ax ? b)] ? 0 ， 则 称 y ? ax ? b 为x ??3 ） 斜渐 近 线： 设 函数y ? f ( x) 的斜渐近线，其中 a ? lim注：若 lim 渐近线。 函数图形描绘的步骤： 1）确定函数 2）求出x ??x ??f ( x) ( a ? 0), b ? lim[ f ( x ) ? ax ] 。 x ?? xf ( x) 不存在，或虽然它存在但 lim[ f ( x ) ? ax ] 不存在，则 y ? f ( x) 不存在斜 x ?? xf ( x ) 的定义域，求出函数的一阶导数 f ?( x) 和二阶导数 f ??( x) ；f ?( x) 和 f ??( x) 的全部零点， f ( x ) 的间断点， f ?( x) 和 f ??( x) 不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间； 3）确定在这些部分区间内 点和拐点；f ?( x) 和 f ??( x) 的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值 4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势； 5）算出f ?( x) 和 f ??( x) 的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画出函数大致图形。习题 3-6★1.求下列曲线的渐近线：? 1 x（1 ） y?e；（2）y?ex ； 1? x（3） y? x ? e?x。知识点 ：渐近线的概念。 思路 ：求出函数 f ( x) 定义域；在间断点处或无穷大时，讨论 f ( x) 的极限情况，用以求出 f ( x) 的水平渐近线和垂直渐近线；讨论1 xf ( x) 、 f ( x) ? ax 无穷大时的极限，用以求出斜渐近线。 x解： （1） y ? e∴x?的定义域为 (??,0) ? (0, ? ?) ；∵x ?0lim? e?1 x? ?? ， lim ex ???1 x? 1，? 0 为铅直渐近线， y ? 1 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。y? ex ex ex ? ? ， lim ? 0， 的定义域为 (??, ? 1) ? (?1, ? ?) ；∵ lim x ??1 1 ? x x ? ?? 1 ? x 1? x（2 ）∴x? ?1为铅直渐近线， y ? 0 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。y ? x ? e ? x 的定义域为 ( ? ?, ??) ；∵ lim (x ? e ? x ) ? ? ，∴函数不存在铅直渐近线及水平x ??（3 ）渐近线，x ? e?x ? 1 ? a ， lim [( x ? e ? x ) ? ax] ? 0 ? b ， 而 lim x ??? x ??? x∴y ? x 为函数 y ? x ? e ? x 的斜渐近线。★★★2.描绘下列函数的图形：（1 ）y?2x 2 ； x2 ?1（2）y? ?x 1? x2；（3） y?( x ? 3) 2 ； 4( x ? 1)（4 ）y ? x 3? x ；（5） yln x 。 x知识点 ：函数的性质及导数的应用。 思路 ：根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标，描绘函数图形。解： （1）1） y ?2x 2 的定义域为 (??, ? 1) ? (?1, 1) ? (1, ? ?) ； x2 ?1不存在；2）令y? ?4 x( x 2 ? 1) ? 2 x 2 ? 2 x ?4 x ? 2 ? 0 ， 得 驻 点 x ? 0 ； x ? ?1 时 y ? 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2y?? ?12 x 2 ? 4 ? 0 无解； ( x 2 ? 1)33）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x) f ( x)(??, ? 1)?1不存在(?1,0)0 0－(0,1)－1不存在(1, ? ?)－??－?J?不存在－ K?不存在?K?不存在J?极 大 值点不存在4 ）x ??1lim?2x 2 ? ?? x2 ?1，x ??1lim-2x 2 ? ?? x2 ?1，limx ?12x 2 ? ?? x2 ?1，x ?1lim ?2x 2 ? ?? x2 ?1，lim2x 2 ? 2 ，∴ x ? ?1 为铅直渐近线， y ? 2 为水平渐近线， x ?? x 2 ? 1容易验证，函数 y ?2x 2 没有斜渐近线； x2 ?1 ? 2x 2 的图形如下： x2 ?15）根据以上讨论，可描绘出函数 y y2?101x图 3-6-2-1注 ：也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在 (0, 1) ? (1, ? ?) 内的情况，描绘出此区间上函数图形，然后再利用图像的对称性，将函数图形补充完整。 （2）1）y?x 1? x2的定义域为 (??, ? ?) ；2）令y? ?x2 ? 1 ? x ? 2 x 1 ? x2 ? ?0 ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2，得驻点x1,2 ? ?1 ； 令 y?? ?2 x3 ? 6 x ?0 ( x 2 ? 1)3，得x3,4 ? ? 3 ， x5 ? 0 ；3）∵ y?x 1? x2为奇函数，∴在 (0, ? ?) 内列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x) f ( x)(0,1)1(1, 3 )－3－( 3, ? ?)－?－0－－ K?0拐点?K?J?极大点f (1) ? 1 / 2f ( 3) ?3 4x x ? 0 ，∴ y ? 0 为水平渐近线，容易验证，函数 y ? 没有斜渐近线； 2 x ?? 1 ? x 1? x2 x 5）根据以上讨论和函数 y ? 的奇偶性，可描绘出该函数的图形如下： 1? x24） lim y1/2?.?.3/40 1x3图 3-6-2-2（3）1） y?( x ? 3) 2 的定义域为 (??, 1) ? (1, ? ?) ； 4( x ? 1)2）令 y? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ，得驻点 x1 ? ?1 ， x2 ? 3 ； 4( x ? 1)2 8 ? 0 无解； 4( x ? 1)31不存 在 － － － K? 不存 在x3 ? 1时， y?? 不存在； y?? ?3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x)f ( x)(??,?1)?1(?1,1)－(1,3)－30(3,??)?0??J??K??极小 点J?极大点不存 在( x ? 3) 2 ( x ? 3) 2 4） lim ? ?? ， lim? ?? ∴ x ? 1为铅直渐近线， x ?1? 4( x ? 1) x ?1 4( x ? 1)容易验证，函数y?( x ? 3) 2 没有水平渐近线； 4( x ? 1)而 lim( x ? 3) 2 1 ( x ? 3) 2 ( x ? 3) 2 1 5 ? ? a ， lim[ ? ax] ? lim[ ? x] ? ? ， x ?? 4 x( x ? 1) x ?? 4( x ? 1) x ?? 4( x ? 1) 4 4 4∴ 又y?1 5 x ? 为斜渐近线。 4 4f (?1) ? ?2 , f (3) ? 0 5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：y?1 0135y?1 5 x? 4 4? 5/ 4?2x图 3-6-2-3（4 ） 1 ） y 2）令 y? ?? x 3 ? x 的定义域为 (??,3] ；3? x ? x??1 6 ? 3x ? ? 0 ，得驻点 x ? 2 ； x2 ? 3 时， y ? 不存在； 2 3? x 2 3? x?3 3 ? x ? (6 ? 3x) ? y?? ?1 2 3 ? x ? 3x ? 12 ? 0 在 (??,3] 上无解； 3 2(3 ? x) 4(3 ? x) 23）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x)f ??( x)(??,2)2(2,3)－3不存在?－ －0－ K?不存在f ( x)4）容易验证，函数 y 又J?极大值 点0? x 3 ? x 没有渐近线。f (2) ? 2 , f (3) ? 0, f (0) ? 05）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下： y023x图 3-6-2-4（5）1） y?ln x 的定义域为 (0, ? ?) ； x32）令 y? ?1 ? ln x 2ln x ? 3 ? 0 ，得驻点 x1 ? e ；令 y?? ? ? 0 ，得 x 2 ? e 2 ； 2 x x33）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x) f ( x)4） lim(0,e)e0－(e,e )－3 2e3 2(e , ? ? )－3 2?－－－ K?0拐点?K?J?极大值 点ln x ln x ? ? ， lim ? 0 ∴ x ? 0 为铅直渐近线， y ? 0 为水平渐近线；函数无斜渐近线。 x ?0 x x ? ?? xye ?15）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：3 / 2e 3 / 2x0e图 3-6-2-5e3/ 2 内容概要名称 3.7 曲率 弧微分计算公式： ds 主要内容(3.7)? 1 ? ( y / ) 2 dx ，其中 s ? s ( x) 为弧函数，其性质为单调增加。y ? f ( x) ， f ( x ) 具有二阶导数，则曲线 y ? f ( x) 在点 x 处曲率计算公式：设曲线方程为的曲率计算公式为 K?y // (1 ? ( y ) )/ 2 3 2。1） 曲率圆与曲率半径： 设曲线在点 M y ? f ( x) 在点 M ( x, y ) 处的曲率为 K ( K ? 0) ，处1 ? ? 。以 D 为圆心， ? 为半径 K 的圆成为曲线在点 M 处的曲率圆。 曲率圆的圆心 D 称为曲线在点 M 处的曲率圆心。 曲率的曲线的法线上，在凹的一侧取点 D ，使得DM ?圆的半径 ? 称为曲线在点 M 处的曲率半径。 2）y ? f ( x) 在点 M ( x, y ) 处的曲率圆的圆心记为 (? ,? ) ，则其计算公式为：? y / (1 ? ( y / ) 2 ) ? ? x ? ? y // ? 。 ? / 2 ?? ? y ? 1 ? ( y ) ? y // ?习题 3-7★★★1.求曲线y ? ln x 的最大曲率。知识点 ：曲率的计算公式及最值的应用。 思路 ：根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于 x 的曲率函数，然后求该函数的最大值，便得原来函数的最大曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。解 ：∵ y? ?1 1 ， y?? ? ? 2 x x，∴得函数y ? ln x 在 x 处的曲率为1 x x2 K ( x) ? ? ? ( x ? 0) ， 3 3 3 1 2 2 2 2 2 (1 ? ( y?) ) (1 ? 2 ) (1 ? x ) x y??下面求 K ( x),( x? 0) 的最大值： 由 K ?( x)?1 (1 ? x )3 2 2? x( ?3? 2x2(1 ? x 2 ) 2)? 51 ? 2 x2 (1 ? x )5 2 2? 0 ，得 x ? ?2 2 ；舍去 x ? ? 2 2当0 ?x?2 2 时， K ?( x) ? 0 ；当 x ? 2 2时， K ?( x) ? 0 ，∴当 x?2 2时， K ( x) 在 (0, ? ?) 内取得极大值 K (2 2 ，也是 K ( x) 在 (0, ? ?) 内的最 )? 2 3 3大值，即曲线y ? ln x 的最大曲率为2 3 3。★2.求抛物线y ? x 2 ? 3x ? 2 在点 x ? 1处的曲率和曲率半径。知识点 ：曲率和曲率半径的计算公式。 思路 ：利用曲率及曲率半径的公式即可。 解 ：∵ y? ? 2 x ? 3 ， y?? ? 2 ，∴函数 y ? x ? 3x ? 2 在 x 处的曲率和曲率半径分别为2K ( x) ?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?2 (1 ? (2 x ? 3) )3 2 2， R( x)?1 ， K ( x)? 13 26 。将x? 1分别代入 K ( x) 、 R( x) 中，得曲率和曲率半径为 K ?? x ? a(t- sin t ) π 在t ? 处的曲率。 2 ? y ? a(1 ? cos t )1 13 26，R★★3.计算摆线 ?解 ：∵dy dxπ t? 2?y?(t ) x?(t )π t? 2?sin t 1 ? cos t ?t?π 2? 1， 1 ； ad2y dx 2π t? 2sin t 1 ?( )? ? 1 ? cos t x?(t )π 处的曲率为 K ? 2π t? 2cos t (1 ? cos t ) ? sin 2 t 1 ? 2 (1 ? cos t ) a(1 ? cos t )1 a (1 ? 1)3 2π t? 2??∴ 在t?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2??2 4a。★★★4.曲线弧y ? sin x(0 ? x ? π ) 上的哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。知识点 ：同 1。 思路 ：同 1。 解 ：∵ y? ? cos x ， y?? ? ? sin x ，∴得函数 y ? sin x 在 x 处的曲率半径为1 (1 ? ( y?)2 ) 2 (1 ? cos 2 x) 2 R( x) ? ? ? (0 ? x ? π ) ， K ( x) y?? sin x∵ R( x) 和 ln R( x) 的单调性一致，∴可通过求 ln R( x) 的最值得到 R( x) 的最值333 ln R( x) ? ln(1 ? cos 2 x) ? ln sin x, (0 ? x ? π ) 23 ?2cos x sin x cos x cos x(3sin 2 x ? 1 ? cos 2 x) (ln R( x))? ? ? ? ? ? ?0 2 1 ? cos 2 x sin x (1 ? cos 2 x)sin x得唯一的驻点 x 当0?π ； 2π π 时， (ln R( x))? ? 0 ；当 ? x ? π 时， (ln R( x))? ? 0 ； 2 2 π π ∴当 x ? 时， ln R( x) 也是 R( x) 在 (0,π ) 内取得极小值 R ( ) ? 1 ，也是 R( x) 在 (0,π ) 内的最小 2 2 π π 值，即曲线弧 y ? sin x(0 ? x ? π ) 在 x ? 处的曲率半径最小，且该点处的曲率半径为 R ( ) ? 1 。 2 2 ?x?注 ：此题也可通过求曲率 K ( x) 的最大值点和最大值得到结果。★5.求曲线y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) 在 (0,0) 处的曲率。x ?0解 ：∵dy dxx ?0?1 1? x2x3 2x ?0? 1，d2y dx 2??x ?0? 0；(1 ? x 2 )∴ 曲线 y? ln( x ? 1 ? x 2 ) 在 (0,0) 处的曲率为 K ?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?0 (1 ? 1)3 2? 0。★★★★6.汽车连同载重共 5t ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 21.6km/h ，桥的跨度为10m ，拱的矢高为0.25m ，求汽车越过桥顶时对桥的压力。知识点 ：曲率在物理中的应用。 思路 ：根据题意，利用数学知识，结合物理问题，建立数学模型。 解 ：取桥顶为原点，垂直向下为 y 轴正向，则抛物线方程为 y ? ax (a ? 0) ，从而桥端点坐标为2(5,0.25) 在抛物线上，∴ a ?0.25 ? 0.01 ， y ? 0.01x 2 ；∵ y?(0) ? 0, y??(0) ? 0.02 ， 2 5 (1 ? ( y?) 2 ) 2 ∴顶点处抛物线的曲率半径 R( 0 ) ? y??利用物理知识，得顶点处汽车的离心力 F3 x ?0? 50 ；?mv 2 5 ? 10 3 21.6 ? 10 3 2 ? ( ) ? 3600( N ) ， R 50 60 ? 60∴得汽车越过桥顶时对桥的压力为 G★★7.求曲线? mg ? F ? 5 ? 103 ? 9.8 ? 3600 ? 454009( N ) 。y ? ln x 在其与 x 轴的交点处的曲率圆方程。知识点 ：曲率圆的概念和计算公式。 思路 ：先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方程。解 ：∵ y ? ln x 与 x 轴的交点为 (1,0) ， y?x ?1?1 xx ?1? 1 ， y??x ?1??1 x2x ?1? ?1 ，K?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?1 2 2，∴曲率圆的半径为 R?1 ? 2 2 ；又由渐屈线方程的参数方程得 K? ?ξ ? ? ?η ? ?(1,0)y?(1 ? ( y?) 2 ) ? x? y?? 1 ? (y?)2 ? y? y??(1,0)(1,0)?3，即曲率圆的圆心为 (3, ? 2) ，(1,0)? ?2从而曲线y ? ln x 在其与 x 轴的交点处的曲率圆方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 。★★8.求曲线y 2 ? 2 px 的渐屈线方程。知识点 ：渐屈线的概念。 思路 ：根据渐屈线的参数方程公式求方程。 解 ： 由 y ? 2 px ，得 2 yy? ? 2 p ， y? ?2p ? py? p2 ， y?? ? ? ? y y2 y3；y?(1 ? ( y?) 2 ) y 2 ( p y)(1 ? ( p y ) 2 ) 3 y 2 ? 2 p 2 ∴ξ ? x? ? ? ? y?? 2p 2p ? p2 y3，η? y?1 ? ( y?)2 1 ? ( p y)2 y3 ? y? ? ? y?? ? p2 y3 p2，即所求渐屈线的参数方程为： ? 3y 2 ? 2 p2 ξ ? ? 2p ? ? 3 ?η ? ? y ? p2 ?总习题三（。 y 为参数）★★1.证明下列不等式：（1 ） 设 a （2）设 a? b ? 0,n ? 1，证明： nb n?1 (a ? b) ? a n ? b n ? na n?1 (a ? b) ；a ?b a a ?b ? ln ? 。 a b b? b ? 0 ，证明：知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：关键是寻找 y ? f ( x) ，用公式 f ?(ξ ) ?即可定f (b) ? f (a) 的范围，从而证明结论。 b?anf (b) ? f (a) ，当确定了 f ?(? ) 的范围， b?a证明 ：设 f ( x) ? x ，易见 f ( x) 在 [b, a] 连续，在 (b, a) 可导，且 f ?( x) ? nx值定理可知，至少存在一 ? ? (b, a) 使 又n ?1， 由拉格朗日中f (a) ? f (b) ? f ?(? )即an? b n ? nξ n?1(a ? b) ，b ? ? ? a, (a ? b) ? 0 ，故 nb n?1 (a ? b) ? a n ? b n ? na n?1 (a ? b) 。且 0 ? f ( x) ? 1 ， 对于任何 x ? (0, 都有 f ?( x) ? 1 ， 试证： 在 (0 , f ( x) 在 [0,1] 上可导， 1) ， 1)★★★2.设内，有且仅有一个数 ξ ，使f (ξ ) ? ξ 。知识点 ：零点定理，罗尔中值定理或者单调性的应用。 思路 ：从结论出发构造辅助函数，利用零点定理证明存在性，利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性；或者是利用单调性证明唯一性。证明 ：1）存在性。设 F ( x) ? f ( x) ? x ，易见函数在 [0, 1] 上连续，且F (0) ? f (0) ? 0 ， F (1) ? f (1) ?1 ? 0 ，由零点定理可知，至少存在一点 ? ? (0,1) ，使 2）唯一性。 假设存在另一点 ? ? (0,1), ，使 且F (? ) ? 0 ，即 f (? ) ? ? 。f (? ) ? ? ，则 F ( x) 在 [? ,? ]([? , ? ]) 上连续，在相应开区间内可导，F (? ) ? F (? ) ? 0 ， 由罗 尔定 理可 知 ，至 少存 在某 ? ? (? ,? ) ? (0,1) ， 使 F ?(? ) ? 0， 从 而 f ?(? ) ? 1 ? 0 ， f ?(? ) ? 1 ，这与 f / ( x) ? 1矛盾，故有且仅有一个数 ξ ，使 f (ξ ) ? ξ 。★★★3.若 a? b 时，可微函数 f ( x) 有 f (a) ? f (b) ? 0, f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0 ，则方程 f ?( x) ? 0在 (a,b) 内（）（A ） 无实根； （B） 有且仅有一实根； （C） 有且仅有二实根； （D）至少有二实根。知识点 ：极限的保号性，零点定理，罗尔中值定理。 思路 ：根据保号性及零点定理，可得 f ( x) 在 (a,b) 内有零点，再两次利用中值定理便得结论。 解 ：由 f ?(a) ? 0, 得 lim?x ?af ( x) ? f ( a) ? 0, x?ab-a 2 ) ，当 a ? x ? a ? δ0 时，有根据保号性，知 ?δ0? 0 (δ 0 ?f ( x) ? f (a ) ? 0, x?a从而有f ( x) ? f (a) ? 0 ，取 x0 ? (a,a ? δ0 ) ，则有 f ( x0 ) ? 0 ； f ?(b) ? 0 可知， ?δ1 ? 0 (δ1 ?同理，由b-a 2) ，当 b ? δ1 ? x ? b 时，有 f ( x) ? f (b) ? 0 ，取 x1? (b ? δ1 ,b) ，则有 f ( x1 ) ? 0 ；由零点定理，至少有一点 ξ 易知，? ( x0 ,x1 ) ，使 f (ξ ) ? 0 ；f ( x) 在 [a,ξ ] 、 [ξ,b] 在上连续，在 (a,ξ ) 、 (ξ,b) 内可导，∴由罗尔中值定理，知至少有一点 ξ1 故选（D） 。★★★4.设? (a,ξ ) 、 ξ 2 ? (ξ,b) ，使得 f ?(ξ 1 ) ? 0 ， f ?(ξ 2 ) ? 0 ；f ( x) 于 [0,π ] 上连续，于 (0,π ) 内可导，求证：存在 ξ ? (0,π ) ，使得f ?(ξ ) ? ? f (ξ ) cot ξ知识点 ：罗尔定理 思路 ：设置辅助函数，使其满足罗尔定理。x) ? f( x) s n i x 解： 设 F(， 则 F ( x) 在 [0, ? ] 上连续， 在 (0, ? ) 内可导， 且 F (0)? f (0) sin 0 ? 0 ，F (π ) ? f (π ) sin π ? 0 ，即 F (0) ? F (? ) ；由罗尔定理，至少存在一 ?? (0, ? ) ， F ?(? ) ? 0 ，即 f ?(? )sin ? ? f (? ) cos ? ? 0 ， 又 sin ?? 0, ? ? (0, ? ) ，故 f / (ξ ) ? ? f (ξ ) cot ξ 。注 ：辅助函数可通过如下推导获得：∵ f ?( x) ? ? f ( x) cot x ?f ?( x) cos x ?? f ( x) sin x? [ln f ( x)]? ? ?[ln sin x]? ? [ln( f ( x)sin x)]? ? 0 ? [ f ( x)sin x]? ? 0∴设 F ( x) ?★★★5.设f ( x)sin xf ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 可导，且 f (0) ? 0,f (1) ? 1 ，试证：对任意给定的正数 a,b 在(0,1) 内存在不同的 ? ,? ，使知识点 ：拉格朗日中值定理。a b ? ? a?b。 f ?(ξ ) f ?(? )思路 ：证明在 (a,b) 至少存在不相等的 ? ,? ，满足某种关系式，一般不构造辅助函数，而是依据结论中各部分的特点分别利用微分中值定理。a ? 1 ；又由 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) ? 0,f (1) ? 1 ， a?b a 根据介值定理，至少存在一点 τ ? (0, ； 1) ，使 f ( τ ) ? a?b证明 ：显然， 0 ?易知f ( x) 在 [0,τ ] 、 [ τ, 1] 上满足拉格朗日中值定理，从而存在 ? ? (0,? ),? ? (? ,1) ，分别使将（1） （2）两式相加，消去? 即得a ? τf ?(ξ ) （1） ； a?b a f (1) ? f ( τ ) ? (1 ? τ ) f ?(? ) ? 1 ? ? (1 ? ? ) f ?(? ) （2） ， a?b f ( τ ) ? f (0) ? ( τ ? 0) f ?(ξ ) ?a b ? ? a?b。 f ?(ξ ) f ?(? )★★★6.设f ( x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，证明：在 (a,b) 内存在点 ? 和? ，使f ?(ξ ) ?知识点 ：同 5。 思路 ：同 5。a?b f ?(? ) 。 2?证明 ：易知， f ( x) 、 g ( x) ? x 在 [a,b] 上满足柯西中值定理，从而 ?? ? (a,b) ，使得2 f (b) ? f (a) f ?(? ) ? b2 ? a 2 2?又由朗格朗日中值定理知， ?ξ（1）? (a,b) ，使得f (b) ? f (a) ? f ?(ξ ) b?a由（1） （2）两式相比得（2）1 f ?(? ) 1 ? b?a 2? f ?(ξ ) a?b f ?(? ) 。 2?即f ?(ξ ) ?★★★7.证明多项式f ( x) ? x 3 ? 3x ? a 在 [0,1] 上不可能有两个零点。知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：反证法。 解 ：假设 f ( x) ? x ? 3x ? a 在 [0, 1] 上有两个零点 x1 , x2 ，3不妨设 x1? x2 ，易知 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上连续，在 ( x1 , x2 ) 上可导，且 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ，f ?(? ) ? 0 ，即 3? 2 ? 3 ? 0 ，由罗尔定理，至少存在一 ? ? ( x1 , x2 ) ? (0,1) ，使得 但 3?2? 3 ? 0, ? ? (0,1) ，矛盾。故多项式 f ( x) ? x 3 ? 3x ? a 在 [0,1] 上不可能有两个零点。f ( x) 可导，试证 f ( x) 的两个零点之间一定有函数 f ( x) ? f ?( x) 的零点。★★★8.设知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：对于证明至少有一点 ξ ? (a,b) ，使得 f (ξ ) ? 0 ，一般从结论出发，构造辅助函数 F ( x) ，然后根据具体的条件使用零点定理，证明 F (? ) ? 0 ；或者使用罗尔中值定理，证明 F ?(? ) ? 0 。∵f ( x) ? f ?( x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ?( x) ?f ?( x) ? ?1 f ( x)? [ln f ( x)]? ? ? x? ? [ln( f ( x)e x )]? ? 0 ? ( f ( x)e x )? ? 0 ，故可构造辅助函数 F ( x)? f ( x)e xx证明 ：设 f ( x) 的两个零点 x1 , x2 ，不妨设 x1 ? x2 ，再令 F ( x) ? f ( x)e ，易知， F ( x) 在 [ x1 ,x2 ] 上 连续，在 ( x1 ,x2 ) 内可导，又f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，从而 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ，由罗尔中值定理知，至少有一点 ξ 又 F ?( x) ? ∵eξ? ( x1 ,x2 ) ，使得 F ?(ξ ) ? 0 ，f ?( x)e x ? f ( x)e x ? ( f ?( x) ? f ( x))e x ，从而有 ( f ?(ξ ) ? f (ξ ))e? ? 0 ，? 0 ，∴ f ?(ξ ) ? f (ξ ) ? 0 ，结论成立。★★★9.设 a1?a a2 ? ? ? (?1) n?1 n ? 0 ，证明方程 3 2n ? 1π a1 cos x ? a2 cos 3x ? ? ? an cos(2n ? 1) x ? 0 在 (0 , ) 内至少有一个实根。 2知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：构造辅助函数，证明辅助函数有驻点。 证明 ：设 f ( x) ? a1sinx ? a 2在 (0,?2sin3x ? 3) 上可导，且 f (0) ? 0 ，sin(2n ? 1)x ? ，易知 f ( x) 在 [0, ] 上连续， 2n ? 1 2 a2 a ? f ( ) ? a1 ? ? ? (?1) n ?1 n ? 0 ， 2 3 2n ? 1 ? an由罗尔中值定理知，至少存在 ? 又? (0, ) ，使得 f ?(? ) ? 0 ， 2?f ?( x) ? a1 cos x ? a2 cos3x ?? an cos(2n ?1) x ，故π a1 cos x ? a2 cos 3x ? ? ? an cos(2n ? 1) x ? 0 在 (0 , ) 内至少有一个实根。 2f ??( x) ? 0 ，且 f (1) ? 2, f ?(1) ? ?3 ，证明在 (1, ? ?) 内方程★★★10.设在 [1, ? ?) 上处处有f ( x) ? 0 仅有一实根。知识点 ：零点定理及其函数的单调性。 思路 ：利用零点定理，或者证明 f ( x) ? 0 有实根；再利用函数单调性证明根唯一。 证明 ：由泰勒公式得：f ( x) ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ?∵在 [1, ? ?) 上处处有 取 x0f ??(ξ ) f ??(ξ ) ( x ? 1) 2 ? ?3x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ； 2! 2! f ??(ξ ) ( x ? 1)2 ? 0 ，从而 f ( x) ? ?3x ? 5 ； f ??( x) ? 0 ，∴ 2!? 2 ，则有 f (2) ? ?3 ? 2 ? 5 ? ?1 ? 0 ，又 f (1) ? 2 ? 0 ，f (? ) ? 0 ，根的存在性成立；下证唯一性：∴由零点定理知， ?? ? (1,2) ，使得 ∵在 [1, ? ?) 上处处有 从而在 [1, ? ?) 上，有 ∴f ??( x) ? 0 ，∴ f ?( x) 在 [1, ? ?) 上单调递减，f ?( x) ? f ?(1) ? ?3 ，f ( x) 在 [1, ? ?) 上严格单调递减，从而 f ( x) ? 0 仅有一实根。 f ( x) 在 [1,2] 上具有二阶导数 f ??( x) ，且 f (2) ? f (1) ? 0 .若 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ，证? (1,2) ，使得 F ??(ξ ) ? 0 。★★★11.设明：至少存在一点 ξ知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：证明至少存在一点 ξ ? (a,b) ，使得 f( n)(ξ ) ? 0 的命题，可考虑连续 n 次使用罗尔中值定理。证明 ：由题意可知 F ( x) 在 [1,2] 上连续，在 (1,2) 上可导，且 F (1) ? F (2) ? 0 ，由罗尔定理，至少存在 ? ? (1,2) ，使得F ?(? ) ? 0 ；又 F ?( x) ? f ( x) ? ( x ?1) f ?( x) ， f (1) ? 0 ? 0 ，由题意 F ?( x) 在 [1,? ] 上连续，在 (1,? ) 上可导， 且 F ?(1) ? 即F ?(1) ? F ?(? ) ? 0 ，由罗尔定理，至少存在 ξ ? (1,? ) ? (1,2) ，使得 F ??(ξ ) ? 0 。★ ★★ 12. 设 函 数f ( x) 在 [a,b] 上 可 导 ， 且 f ??( a)? f?? ( b)? 0， 则 在 (a,b) 内 存 在 一 点 ξ，使得f ?(ξ ) ? 0。知识点 ：费马引理。 思路 ：可导的极值点必为驻点，所以证明在 (a,b) 内存在极值点即可。 证明 ：∵ f ??(a) ? f ??(b) ? 0 ，∴不妨设 f ??(a) ? 0 ， f ??(b) ? 0 ；f ( x) ? f (a ) ? 0 ，由极限的保号性知， x ?a x?a f ( x) ? f ( a ) ? 0 ，即有： f ( x) ? f (a) ?δ1 ? 0 ，当 a ? x ? a ? δ1 时，有 x?a f ( x) ? f (b) ?(b) ? 0 知， ?δ2 ? 0 ，当 b ? δ2 ? x ? b 时，有 ? 0， 同理由 f ? x?b∵f ??(a) ? lim ?（1）即有 易知，f ( x) ? f (b)（2）f ( x) 在 [a,b] 上连续，从而 f ( x) 在 [a,b] 上必有最值，且由（1） （2）知， f ( x) 的最小值点 f ?(ξ ) ? 0 ，结论成立。必在 (a,b) 内取得，设为 ξ ，则由费马引理知， ★★★13.用洛必达法则求下列极限：（ 1 ） limln(1 ? x 2 ) x ?0 sec x ? cos xsin x 1?cos x ) x1；（2 ）lim (1 ? x) tanx ?1πx 21； （3）? 1 ? 1 ； lim ? ? x ??1 x ? 1 ln( x ? 2) ? ? ?lim (x ?0（4） lim (x ?0；（5） lim (sin x ? ex ?0x)x；（6）sin x x 2 ) x1。知识点 ：洛必达法则。 思路 ：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：0 0型与? 型未定 ?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 ? ? ? 型与 0 ? ? 型的未定式，可通过通分或者取倒数的 形式化为基本形式；对于 0 型、 1 型与 ? 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可0?0以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解： （1） limln(1 ? x 2 ) cos x ? ln(1 ? x 2 ) x2 2x ? lim ? lim ? lim ? 1。 2 2 x ?0 sec x ? cos x x ?0 x ?0 1 ? cos x x ?0 2 cos x sin x 1 ? cos x(1 ? x) sin πx ?1 2 2 ? lim 1 ? x ? lim ? 。 x ?1 πx πx x?1 π πx π cos cos ? sin 2 2 2 2πx ? lim （2） lim (1 ? x) tan x ?1 2 x?1（3） lim ?? 1 ? 1 ln( x ? 2) ? x ? 1 ln( x ? 2) ? x ? 1 ? ? lim ? lim ? x ??1 x ? 1 ln( x ? 2) ? x??1 ( x ? 1) ln( x ? 1 ? 1) x??1 ( x ? 1) 2 ?1 ?1 ? (1 ? x) 1 ? lim x ? 2 ? lim ?? 。 x ? ?1 2( x ? 1) x ??1 2( x ? 1)( x ? 2) 2（4） lim (x ?0sin x ) x1 1?cos x? lim ex ?01 sin x ln 1? cos x x? lim ex ?0ln sin x ?ln x 1 2 x 2? lim ex ?0cos x 1 ? sin x x xx cos x ?sin xx cos x ?sin x? x sin x? lim ex ?0x 2 sin x? lim ex ?0x3? lim ex ?01 x3x2?e?1 3（5）方法一 ： lim (sin x ? ex ?0x) ? lim ex ?01 ln(sin x ? e x ) xcos x ? e x? lim e sin x ?e ? e 2xx ?0方法二 ： lim (sin x ? e ) ? lim ?[1 ? (sin x ? e ? 1)] sin x ? ex x x ?01 x? ? x ?0 ? ?11x?1? ? ? ? ?sin x ? e x ?1 x又 lim[1 ? (sin x ? ex ?0x? 1)]sin x ? e x ?1? e ， limx ?0sin x ? e x ?1 x? limx ?0sin x x? limx ?0e x ?1 x? 2， 故lim (sin x ? e ) ? e 2 。x x ?01 xsin x x 2 ) ? lim e （6） lim ( x ?0 x ?0 xx cos x ?sin x1ln sin x ? ln x x2? lim ex ?0? 1 6cos x 1 ? sin x x 2xx cos x ?sin x? lim ex ?02 x 2 sin x? x sin x? lim ex ?02 x3? lim ex ?06 x2?e。★★14.设 limx ??f ?( x) ? k ，求 lim[ f ( x ? a) ? f ( x)] 。x ??知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：结论中含有函数改变量，可联想到利用中值定理求得结论。 解 ： 由朗格朗日中值定理得， f ( x ? a) ? f ( x) ? f ?(ξ ) ? a （ ξ 介于 x 与 x ? a 之间） ，从而有lim[ f ( x ? a) ? f ( x)] ? lim f ?(ξ ) ? a ? lim f ?(ξ ) ? a ? k ? a 。x ?? x ?? ξ ??★★★15.当a 与 b 为何值时， lim (x ?0sin 3x a ? 2 ? b) ? 0 。 x3 x知识点 ：极限和洛必达法则。 思路 ：根据题意和已有的结论得关于 a 与 b 等式，求得 a 与 b 的值。 解 ：由题意知 lim上式成立，必须sin 3x ? ax 3 cos 3x ? a ? ?b ，在该式左边应用洛必达法则可得 lim ? ?b ， 3 x ?0 x ?0 x 3x 2lim (3 cos 3x ? a) ? 0 ，故 a ? ?3 ，代入上式后，左边再应用洛必达法则，得x ?0limx ?0? 9 sin 3x ? 9 ? 3x 9 9 ? ? ? ? ?b ，从而有 a ? ?3 ， b ? 。 6x 6x 2 2f ( x) ? ln(1 ? x),x ? (?1,1) ，由拉格朗日中值定理得： ?x ? 0,?θ ? (0,1), 使得★★★16.设ln(1 ? x) ? ln(1 ? 0) ?知识点 ：拉格朗日中值定理。1 1 x ，证明： lim ? ? x ?0 1?? x 2。思路 ：根据已知条件，求出 ? 的表达式，再利用求极限的方法求出极限。 证明 ：由题意知， θ ?x ? ln(1 ? x) x ? ln(1 ? x) x ? ln(1 ? x) ? lim ，∴ lim θ ? lim x ?0 x ?0 x ln(1 ? x) x ?0 x ln(1 ? x) x2 ? limx ?01?1 x 1 1 ? x ? lim ? 。 x ? 0 2x 2 x(1 ? x) 2f ( x) 在 x0 ? 0 的某个邻域内有二阶导数，且 lim (1 ? x ?x ?0★★★17.设f ( x) x ) ? e 3 ，求 x1f (0), f ?(0), f ??(0) 。知识点 ：导数的定义。 思路 ：求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求出各阶导数值。 解 ： 由 lim (1 ? x ?x ?0f ( x) f ( x) x ? 0 ，从而 lim f ( x) ? 0 ； ) ? e 3 ，可得 lim x ?0 x ?0 x xx ?01∵f ( x) 在 x0 ? 0 的某个邻域内有二阶导数，∴有 f (0) ? lim f ( x) ? 0 ，从而有f ?(0) ? limx ?0f ( x) ? f (0) f ( x) ? 0； ? lim x ? 0 x?0 x1 x x2 ? f ( x) x2f ( x) x x 2 ? f ( x) x 2 ? f ( x ) ) ? lim[(1 ? ) ] 再由 lim (1 ? x ? x ?0 x ?0 x x? e 3 ，知limx ?0x 2 ? f ( x) 2 x ? f ?( x) f ?( x) ? lim ? 3 ，∴ lim ? 4 ，从而有 2 x ?0 x ?0 x 2x xx ?0f ??(0) ? lim★★18.求f ?( x) ? f ?(0) f ?( x) ? lim ? 4。 x ? 0 x?0 xf ( x) ? e x cos x 的三阶麦克劳林公式。知识点 ：麦克劳林公式。 思路 ：利用公式直接展开。0 解 ： f (0) ? e cos 0 ? 1 ， f ?(0) ? e (cos x ? sin x)x x ?0? 1 ， f ??(0) ? ?2e x sin xx ?0? 0，f ???(0) ? ?2e x (sin x ? cos x)从而得x ?0? ?2 ， f ( 4) ( x) ? ?4e x cos x ，f ( x) ? e x cos x 的三阶麦克劳林公式为f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?f ??(0) 2 f ???(0) 3 f ( 4 ) (θx) 4 x ? x ? x 2! 3! 4! 1 3 e θx cos θx 4 ? 1? x ? x ? x (0 ? θ ? 1) 。 3 6★★19.证明：1? x ? 1?1 1 x3 x ? x2 ? (0 ? θ ? 1) 。 5 2 8 2 16(1 ? θx)证明 ：设 f ( x) ? 1 ? x ，则 f (0) ? 1 ， f ?(0) ?1 2 1? xx ?0?1 ， 23 ? 1 ?? f (0) ? ? (1 ? x) 2 4x ?05 ? 1 3 ??? ? ? ， f ( x) ? (1 ? x) 2 ，从而有 4 81 ? x ? f (0) ? f ?(0) x ?? 1?f ??(0) 2 f ???(θx) 3 x ? x 2! 3!1 1 x3 x ? x2 ? (0 ? θ ? 1) 。 5 2 8 2 16(1 ? θx)★★★20.设 0?x?x2 x2 π ? 1 ? cos x ? ，证明： π 2 2。知识点 ：麦克劳林公式的应用。 思路 ：泰勒公式（麦克劳林公式）可以应用于证明不等式；将函数展开到适当的形式，然后利用已知条件和结论得到结果。证明 ：由麦克劳林公式，得 cos x ? 1 ?x 2 cos θx 4 ? x (0 ? θ ? 1) ，从而有 2! 4!x 2 cos θx 4 1 cos θx 2 π 1 cos θx 2 1 ? cos x ? ? x ? x2 ( ? x ) ；∵ 0 ? x ? ，∴ ? x 2! 24 2 24 2 2 24 ? 1 1 π 2 48 π 2 48 10 32 1 1 cos θx 4 ? ( ) ? ? ? ? ? ? ? ，又 x ? 0 ，∴有 2 24 2 96 96 96 96 96 3 π 4!，结论成立。x2 x2 ? 1 ? cos x ? π 2★★★21.证明不等式：2 sin x π ? ? 1(0 ? x ? ) 。 π x 2知识点 ：导数的应用。 思路 ：拉格朗日中值定理，函数单调性，泰勒公式等都是常用的证明不等式的方法；根据此题特点，可以用拉格朗日中值定理或函数单调性的判定定理。 证明 ：方法一 ：? sin x ? 令 F ( x) ? ? x ? ?10? x? x?0π 2，则易知 F ( x) 在 [0 ,π ] 上连续； 2∵当 0π cos x( x ? tan x) 时，有 F ?( x) ? ? 0 ，∴由拉格朗日中值定理，易知 2 x2 π π π π 2 F ( x) ? F ( ) ? F ?(ξ )( x ? ) ? 0(0 ? x ? ξ ? ) ，即有： F ( x) ? F ( ) ? ①； 2 2 2 2 π ?x?F ?(? )( x ? 0) ? 0(0 ? ? ? x) 即： F ( x) ? F (0) ? 1②；又有 F ( x) ? F (0) ? 从而由①②知，当 0?x?π π 2 sin x ? 1 ，结论成立。 时，有 F ( ) ? F ( x) ? F (0) ，即 ? 2 2 π x? sin x ? 方法二 ：令 F ( x) ? ? x ? ?1∵当 00? x? x?0π 2，则易知 F ( x) 在 [0 ,π ] 上连续 2π cos x( x ? tan x) ?0 时，有 F ?( x) ? 2 x2 2 ? ? F ( ) ? F ( x) ? F (0) ? 1 ，得证 ∴ F ( x) 严格单调降，∴ ? 2 ?x?★★★22.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1 ）1 ? ? lim ? x ? x 2 ln(1 ? )? ； x ?? x ? ?（2） limx ?0cos x ? e 。 x ?x ? ln(1 ? x)?2?x2 2知识点 ： 泰勒公式的应用。 思路 ：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。 解： （1）由泰勒公式得 ln(1 ?1 1 1 1 1 ) ? ? ? 2 ? o( 2 ) x x 2 x x∴有1 ? 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 lim ? x ? x 2 ln(1 ? )? ? lim ? x ? x 2 ( ? ? 2 ? o( 2 ))? ? lim ? ? x 2 o( 2 ))? ? 。 x ?? x ? x?? ? x 2 x x ? x?? ? 2 x ? 2 ?（2）由泰勒公式得ln(1 ? x) ? ? x ?x2 x2 x4 ? o( x 2 ) ， cos x ? 1 ? ? ? o( x 5 ) ， 2 2! 4!ex2 ? 2x2 2 ) x x2 x4 4 2 ? 1? ? ? o( x ) ? 1 ? ? ? o( x 4 ) ，∴ 2 2! 2 82(cos x ? e ? x ?x ? ln(1 ? x)?2?x2 21?x2 x4 x2 x4 1 ? ? o(x 5 ) ? (1 ? ? ? o( x 4 )) ? x 4 ? o( x 4 ) 2! 4! 2 8 ? 12 1 x2 ? x 4 ? o( x 4 ) [? ? o( x 2 )]x 2 2 2 cos x ? e 从而 lim 2 ? x ?0 x ?x ? ln(1 ? x )?★★★23.求一个二次多项式?x2 2?1 4 x ? o( x 4 ) 1 12 ? 。 1 6 ? x 4 ? o( x 4 ) 2p 2 ( x) ，使 2 x ? p2 ( x) ? o( x 2 ), 式中 o( x 2 ) 代表 x ? 0 时比 x 2 高阶的无穷小。知识点 ：泰勒公式的应用。 思路 ：将函数 2 x 的麦克劳林公式展开，再根据已知条件即得结果。 解 ：由麦克劳林公式得：2 ? ex x ln 2? 1 ? x ln 2 ?ln 2 2 2 x ? o( x 2 ) ，再由 2 x ? p2 ( x) ? o( x 2 ), 2可知p 2 ( x) ? 1 ? x ln 2 ?ln 2 2 2 x 。 2★★★24.求下列函数的单调区间：（1）y? 3 (2 x ? a)(a ? x) 2 (a ? 0) ；（2）y ? x n e ? x (n ? 0,x ? 0) ；（3）y? x ? sin 2 x 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨 论，使得思路更清晰一些。解： （1） y ? 3 (2 x ? a)(a ? x) (a ? 0) 的定义域为 (??, ? ?) ；2令2 2 1 1 ? ? 2 2 2a ? 3 x y? ? (2 x ? a) 3 (a ? x) 3 ? (2 x ? a) 3 (a ? x) 3 ? ? 0 ，得驻点为 3 3 3 (2 x ? a) 2 (a ? x)x1 ?2 a a ；不可导点为 x 2 ? ， x3 ? a 。列表讨论如下： 3 2 x a a 2a 2 (??, ) ( , ) ( a,a) 2 2 3 3 － ? ? f ?( x)f ( x)J JK(a, ? ?)?J由上表可知， y 严格单减。 （2 ） y? 3 (2 x ? a)(a ? x) 2 (a ? 0) 在 (??,2a 2 ] 、[a, ? ?) 内严格单增，而在 [ a,a] 内 3 3? x n e ? x (n ? 0,x ? 0) ，令 y? ? nxn?1e? x ? xne? x ? x n?1e? x (n ? x) ? 0 ， 得 x1 ∴? 0 ， x2 ? n ；当 0 ? x ? n 时， y? ? 0 ，当 x ? n 时， y? ? 0 ；y ? x n e ? x (n ? 0,x ? 0) 的单增区间为 [0,n] ，单减区间为 (n, ? ?) 。? ? x ? sin 2 x, n? ? x ? n? ? ? ? 2 （3）由 y ? x ? sin 2 x 知， y ? x ? sin 2 x ? ? ? x ? sin 2 x, n? ? ? ? x ? n? ? ? ? ? 2? ? 1 ? 2 cos 2 x n ? ? x ? ? ? 2 ∴ y? ? ? ； ? ?1 ? 2 cos 2 x n? ? ? x ? n? ? ? ? ? 2①当 nπ，? x ? nπ ??x?π π ? nπ ， 时，令 y? ? 0 ，得 x ? 2 3并且当 nππ π π ? nπ 时， y? ? 0 ，函数单调递增，当 ? nπ ? x ? ? nπ 时， y? ? 0 ，函数 3 3 2单调递减；π 5π ? x ? nπ ? π 时，令 y? ? 0 ，得 x ? ? nπ ； 2 6 π 5π 5π ?x? ? nπ 时， y? ? 0 ， ? nπ ? x ? π ? nπ 时，y? ? 0 ， 并且当 nπ ? 函数单调递增， 当 2 6 6②当 nπ ? 函数单调递减； 综上可知，函数的增区间为 [★★★25.证明下列不等式：nπ nπ π nπ π nπ π , ? ] ，函数的减区间为 [ ? , ? ] 。 2 2 3 2 3 2 2；（1）当 x （2）当 x? 0 时， 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 21 ? 0 时， x ? x 3 ? sin x ? x 。 3知识点 ：函数单调性的应用。 思路 ：利用函数单调性是证明不等式常用的方法。 证明 ： （1）令 f ( x) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x ) ? 1 ? x ，则 f ( x) 在 [0, ? ?) 内连续，可导，2 2f ?( x) ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ?x 1? x2?x 1? x2? ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 0 ，f ( x) ? f (0) ? 0 ，∴f ( x) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2在 [0, ? ?) 上严格单增；从而即1 ?，结论成立。 （2）令f ( x) ? x ? sin x ，则 f ( x) 在 [0, ? ?) 内连续，可导，f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ，且 f ?( x) ? 0 仅在可数的孤立点处成立，∴f ( x) ? x ? sin x 在 [0, ? ?) 上严格单增，从而 f ( x) ? f (0) ? 0 ，即 x ? sin x( x ? 0) ；令 g ( x)1 ? sin x ? x ? x 3 ，则 g ( x) 在 [0, ? ?) 内连续，可导， 32且 g ?( x) ? cos x ? 1 ? x? x 2 ? 2 sin 2x x2 x2 ? x2 ? ? ? 0( x ? 0) ， 2 2 21 ? g (0) ? 0 ，即 sin x ? x ? x 3 ( x ? 0) ； 3从而 g ( x) 在 [0, ? ?) 上严格单增，从而 g ( x) 综上可知 x ?1 3 x ? sin x ? x ，结论成立。 3 b 2(b ? a) ? ★★★26.设 b ? a ? 0, 证明： ln 。 a a?b知识点 ：导数的应用。 思路 ：可以将 b 看作变量 x ，利用函数单调性证得结论。 证明 ：设 f ( x) ? (ln x ? ln a)(a ? x) ? 2( x ? a) ， ( x ? a) ，则1 a f ?( x) ? (a ? x) ? (ln x ? ln a) ? 2 ? (ln x ? ln a) ? ? 1 ， x x 1 1 a x?a f ??( x) ? (a ? x) ? (ln x ? ln a) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 0, ( x ? a) ， x x x x∴f ?( x) 在 [a, ? ?) 内严格单调递增，∴ f ?( x) ? f ?(a) ? 0 ，f ( x) ? (ln x ? ln a)(a ? x) ? 2( x ? a) 在 [a, ? ?) 内严格单调递增，从而有 ∴当 b? a 时，有 f (b) ? (ln b ? ln a)(a ? b) ? 2(b ? a) ? f (a) ? 0 ，b 2(b ? a) ? ，结论成立。 a a?b即有 ln★★27.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1 ）y ? x 4 (12 ln x ? 7) ；（2） y? xe ? x； （3）y ? 1? 3 x ? 2 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可 列表讨论，使得思路更清晰一些。 4 解： （1） y ? x (12 ln x ? 7) 的定义域为 (0, ? ?) ，y? ? 4 x3 (12ln x ? 7) ? x 4 ?12 ?1 ? 4 x3 (12ln x ? 4) ， x 1 y?? ? 12 x 2 (12ln x ? 4) ? 4 x3 ?12 ? ? 144 x 2 ln x ，令 y?? ? 0 ，得 x ? 1 ； x当0 ? ∴x ? 1 时， y?? ? 0 ，当 x ? 1时， y?? ? 0 ，y ? x 4 (12 ln x ? 7) 的凸区间为 (0,1] ，凹区间为 [1, ? ?) ，拐点为 (1, ? 7) 。 ? xe ? x 的定义域为 (??, ? ?) ， y? ? e? x (1 ? x) ， y?? ? e? x ( x ? 2) ，令 y?? ? 0 ，（2 ） y 得x ∴? 2 ；当 x ? 2 时， y?? ? 0 ，当 x ? 2 时， y?? ? 0 ，y ? xe ? x 的凸区间为 (??,2] ，凹区间为 [2, ? ?) ，拐点为 (2,2e ?2 ) 。2 ? 1 y ? 1 ? 3 x ? 2 的定义域为 (??, ? ?) ， y? ? ( x ? 2) 3 ， 3（3 ）5 ? 1 2 2 y?? ? ? (? )( x ? 2) 3 ? ? 3 3 9 3 ( x ? 2)5，x? 2 为 y?? 不存在的点；当x? 2 时， y?? ? 0 ，当 x ? 2 时， y?? ? 0 ，∴y ? 1 ? 3 x ? 2 的凹区间为 (??,2] ，凸区间为 [2, ? ?) ，拐点为 (2,1) 。x? y ( x ? 0,y ? 0,x ? y) ； 2 x x ? (0 ? x ? π ) 。 2 π★★★28.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：（1 ）x ln x ? y ln y ? ( x ? y) ln（2） sin知识点 ：函数凹凸性的概念。1 ? 0 ，∴ y ? t ln t 在 (0, ? ?) 内是凹的。 t x ln x ? y ln y x ? y x ? y ? ln 利用凹函数的定义，?x,y ? (0, ? ?) ( x ? 0,y ? 0,x ? y) ，有 ， 2 2 2 x? y 从而有 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln ，结论成立。 2 x x 1 x 1 1 x （2）令 f ( x) ? sin ? ， y? ? cos ? ，由 y?? ? ? sin ? 0, (0 ? x ? π ) ， 2 π 2 2 π 4 2 x x 0 0 π π ? 0 ， f (π ) ? sin ? ? 0 ， 可知 f ( x) ? sin ? 在 (0,π ) 内是凸的；又 f (0) ? sin ? 2 π 2 π 2 π x x x x ? 0(0 ? x ? π ) ，即 sin ? ，结论成立。 ∴由凸函数的定义知， f ( x) ? sin ? 2 π 2 π证明 ： （1）令 y ? t ln t , (t ? 0) ， y? ? 1 ? ln t ， y?? ?（也可用单调性证明） ★★★29.设f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 在 x ? 1处有极值 ? 2 ，试确定系数 a,b ，并求出 y ? f ( x) 的所有极值点及拐点。知识点 ：导数的应用。 思路 ：根据题意，得关于 a,b 的关系式，确定 a,b 的值；利用一阶导数符号判断函数的单调性和极值（可导的驻点还有第二充分条件） ；利用二阶导数的符号求函数的凹凸和拐点。解 ： f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ，根据题意有 ?2? ?1 ? a ? b ? ?2 ? f ( x) x ?1 ? ?2 ，即有 ? ，解得 3 ? 2 a ? b ? 0 ? f ( x ) ? 0 ? ? x ?1 ?a ? 0,b ? ?3 ，从而 f ( x) ? x3 ? 3x ；令f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ，得 x1,2 ? ?1 ；当x? ?1 或者 x ? 1时， f ?( x) ? 0 ，当 ? 1 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ， ? ?1为极大值点， x ? 1为极小值点；令 f ??( x) ? 6 x ? 0 ，得 x3 ? 0 ；从而知， x 当x? 0 时， f ??( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， f ??( x) ? 0 ，从而知 (0,0) 为拐点。★★★30.求下列函数的极值：（1）y?1 ? 3x 4 ? 5x2； （2）y ? 2e x ? e ? x； （ 3）y ? x ? tan x 。知识点 ：极值的充分条件。 思路 ：求 y? ? 0 的点或者 y ? 不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行 判断。解： （1） y ?1 ? 3x 4 ? 5x 2的定义域为 (??, ? ?) ，3 4 ? 5 x 2 ? (1 ? 3x) ?令5x 4 ? 5x2 ? 12 ? 5 x (4 ? 5 x 2 ) 4 ? 5 x 2 ? 0 ，得 x ?12 ； 5y? ??4 ? 5x2当x12 12 时， y? ? 0 ，当 x ? 时， y? ? 0 ， 5 51 ? 3x 4 ? 5x 2在x∴y??12 12 205 处取得极大值为 f ( ) ? 5 5 10。（2）y ? 2e x ? e ? x 的定义域为 (??, ? ?) ， x ?x 令 y? ? 2e ? e ?2e2 x ? 1 1 ? 0 ，得 x ? ? ln 2 ， x e 2又y?? ? 2e x ? e? x ? 0 ，∴ y??1 x ?? ln 2 2?0，1 1 y ? 2e x ? e ? x 在 x ? ? ln 2 处取得极小值为 f (? ln 2) ? 2 2 。 2 2 π π 2 （3） y ? x ? tan x 的定义域为 (kπ ? ,kπ ? )(k ? Z ) ， y? ? 1 ? sec x ? 0 ， 2 2 ∴ y ? x ? tan x 没有极值点。从而★★★31.研究函数f ( x) ? x e? x ?1的极值。思路 ：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求极值。解 ： f ( x) ? x e? x ?1?? xe x ?1 ? ? ? xe x ?1 ? xe ? x ?1 ?x?0 0 ? x ? 1 ，定义域为 (??, ? ?) ， x ?1??( x ? 1)e x ?1 ? f ?( x) ? ?( x ? 1)e x ?1 ?(1 ? x)e ? x ?1 ?在xx?0 0 ? x ? 1 ，令 f ?( x) ? 0 ，得驻点 x ? ?1 ； x ?1? 0 处，有 f ??(0) ? lim ?x ?0f ( x) ? f (0) ? xe x ?1 ? 0 ? lim ? ?e?1 ， ? x ? 0 x?0 x?0f ??(0) ? lim ?x ?0f ( x) ? f (0) xe x ?1 ? 0 ? lim ? e?1 ， x ?0? x?0 x?0∵f ??(0) ? f ??(0) ，∴ f ( x) 在 x ? 0 处不可导，同理， f ( x) 在 x ? 1 也处不可导；易知，当 x ∴? ?1 时， f ?( x) ? 0 ，当 ? 1 ? x ? 0 时， f ?( x) ? 0 ，f ( x) 在 x ? ?1处取得极大值为 f (?1) ? e ?2 ；当 ?1 ?x ? 0 时， f ?( x ) ? 0 ，当 0 ? x ? 1 时， f ?( x ) ? 0 ，∴ f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值为f (0) ? 0 ；当0 ?x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ，当 x ? 1时， f ?( x) ? 0 ，∴ f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值为 f (1) ? 1 。★★★32.求下列函数的最大值、最小值：（1）y?x2 1 ,x ? [? ,1] ； 1? x 21（2）y ? x x ,x ? (0, ? ?) 。 知识点 ：导数的应用。 解： （1） y ?x2 1 2 x ? x2 ,x ? [? ,1] ，令 y? ? ? 0 ，得 x ? 0 ； 1? x 2 (1 ? x) 2∵1 1 1 f (? ) ? ， f (0) ? 0 ， f (1) ? ， 2 2 2∴y?x2 1 1 1 在区间 [ ? , 1] 上的最大值为 f (? ) ? f (1) ? ，最小值为 f (0) ? 0 。 1? x 2 2 21 1 ? ln x ? y ? x , x ? (0, ? ?) ，令 y ? x x ( 2 ) ? 0 ，得唯一驻点 x ? e ； x（2）1 x当0 ?x ? e 时，有 y? ? 0 ，当 x ? e 时，有 y? ? 0 ，1∴x ? e 为 y ? x x 在区间 [1, ? ?) 内唯一的极大值点，y?x1 x从而在区间 [1, ? ?) 内的最大值为f ( e) ? e1 e，没有最小值。★★★33.设 a? 0 ，求 f ( x) ?1 1 ? 1? x 1? x ? a的最大值。知识点 ：导数的应用。 思路 ：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求最值。解：1 ? 1 ? x?0 ?1 ? x 1 ? a ? x , ? 1 ? 1 f ( x) ? ? ? , 0? x?a， 1 ? x 1 ? a ? x ? 1 ? 1 x?a ?1 ? x ? 1 ? x ? a , ?? 1 1 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? a ? x) 2 ? ? 1 1 f ?( x) ? ?? ? 2 2 ? (1 ? x) (1 ? a ? x) ? 1 1 ? ?? 2 2 ? (1 ? x) (1 ? x ? a)当xx?0 0? x ? a； x?a? 0 时， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x) 单调递增；当 x ? a 时， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x) 单调递减，1 1 ? 1? x 1? x ? a在定义域 (??, ? ?) 上的最大值即为在 [0,a] 上的最大值；∴f ( x) ? 令f ?( x) ? 0 ，得 x ?a a 4 2?a ，又 f ( ) ? ， f (0) ? f (a) ? ， 2 2 2?a 1? a且4 2?a a2 ? ?? ? 0， 2 ? a 1? a (2 ? a)(1 ? a) f ( x) ? 1 1 ? 1? x 1? x ? a在定义域 (??, ? ?) 上的最大值为∴函数f (0) ? f (a) ?2?a 。 1? a★★★34. 求数列? (1 ? n) 3 ? 的最小项的项数及该项的数值。 ? 2 ? ? (1 ? n) ?知识点 ：导数的应用。 思路 ： 求数列 f (n) 的最大项最小项问题可转化为求函数 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最值问题； 若 x ? x0为 则 f (n) ? f ([ x0 ]) 与 f (n) ? f ([ x0 ] ? 1) 其中之一为数列中的 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最值点，最值项。解 ：设 f ( x) ?(1 ? x)3 , ( x ? 2) ，则在区间 [2, ? ?) 内， (1 ? x)2令f ?( x) ?3(1 ? x)2 (1 ? x) 2 ? 2(1 ? x)(1 ? x)3 (1 ? x) 2 (5 ? x) ? ? 0 ，得唯一驻点 x ? 5 ； (1 ? x)4 (1 ? x)3当2?x ? 5 时， f ?( x) ? 0 ，当 x ? 5 时， f ?( x) ? 0 ，(1 ? x) 3 f ( x) ? (1 ? x) 2在区间 [2, ? ?) 内唯一的极小值点，也是最小值点；∴x? 5为∴当 n? ( 1 ? n)3 ? 27 ? 5 时， ? 取得最小项，且该项的数值为 。 2 ? 2 ?( 1 ? n) ?1 2p ?1★★★35. 证明：? x p ? (1 ? x) p ? 1(0 ? x ? 1, p ? 1) 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：求函数在闭区间上的最大值和最小值。1] ，则 f ?( x) ? px 证明 ：设 f ( x) ? x ? (1 ? x) ,x ? [0,p pp ?1? p(1 ? x) p ?1 ，令f ?( x) ? 0 ，得 x ?1 ； 2当0?x?1 1 时， f ?( x) ? 0 ，当 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ， 2 2 1 处取得极小值， 2 1 1 1 1 又 f (0) ? f (1) ? 1 ， f ( ) ? p ? p ? p ?1 ， 2 2 2 2 1 p p ∴ f ( x) ? x ? (1 ? x) 在 [0, 1] 上的最小值为 p ?1 ，最大值为 1 ， 2 1 p p 从而有 p ?1 ? x ? (1 ? x) ? 1(0 ? x ? 1) 。 2 ★★★★36. 某商店每年销售某种商品 a 件，每次购进的手续费为 b 元，而每件的库存费为 c 元/年，若该商∴f ( x) ? x p ? (1 ? x) p 在 x ?品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商店应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库 存费总和最少？知识点 ：导数的应用。 思路 ：根据题意，建立函数模型，求函数的最值。 解 ：设商店分 x 批购进商品，则所用手续费为 bx 元，因为商品均匀销售，所以商店的库存量为库存费为a 件， 2xac ac ,( x ? 0) ； 元，从而手续费和库存费总和函数为 y ? bx ? 2x 2xac ? 0 ，得 x ? 2 x2为令y? ? b ?ac 2b；又y?? ?ac ac ? 0 ， y??( ) ? 0， 3 x 2b∴x?ac 2by ? bx ?ac 2bac ,( x ? 0) 的极小值点，也为最小值点； 2x批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少。从而可知，商店应分★★★★37. 以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖 4 只小船一日能来回16 次，每次拖 7 只小船则一日能来回 10 次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回 多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？知识点 ：同 36。 思路 ：同 36。 解 ：设每日来回 x 次，每次拖 z 只小船，每只小船运货为 a ，则每日的运货总量为 y ? axz ，又根据题意（小船增多的只数与来回减少的次数成正比）可得 从而得每日运货总量函数为 令z?4 7?4 1 ? ，∴ z ? 12 ? x ， 16 ? x 16 ? 10 2y ? ax(12 ?1 x) ( x ? 0) ， 21 1 y? ? a(12 ? x) ? ax(? ) ? a(12 ? x) ? 0 ，得 x ? 12 ； 2 2 又∴ x ? 12 为 y ? ax(12 ? y?? ? ?a ? 0 ， y??(12) ? 0 ，1 也为最大值点， x) ( x ? 0) 的极大值点， 2又x? 12 时， z ? 6 ，∴每日来回 12 次，每次拖 6 只小船能使运货总量达到最大。3★★★38.求笛卡尔曲线 x? y3 ? 3axy ? 0 的斜渐近线。知识点 ：斜渐近线的概念。 思路 ：利用结论：L: y ? kx ? b 为 y ? f ( x) 的斜渐近线 ? k ? limx ?? ? x ??? ? ? x ??? ? ? ?f ( x) ,b ? lim [ f ( x) ? kx] x ?? x ? x ??? ?? x ??? ? ? ?3at ? x? ? ? 1? t3 3 3 解 ：笛卡尔曲线 x ? y ? 3axy ? 0 的参数方程为 ? 2 ? y ? 3at ? 1? t3 ?，k ? limx ??f ( x) 3at 2 1 ? t 3 ? lim ? ? lim t ? ?1， t ??1 1 ? t 3 t ??1 x 3at3at 2 ? 3at 6at ? 3a ? lim ? ?a ， b ? lim[ f ( x) ? kx] ? lim[ f ( x) ? kx] ? lim 3 t ??1 t ? ? 1 x ?? x ?? 1? t 3t 2∴所求斜渐近线为★★39 求曲线y ? ?x ? a 。y ? ln(sec x) 在点 ( x,y ) 处的曲率及曲率半径。知识点 ：曲率和曲率半径的计算公式。 思路 ：利用曲率及曲率半径的公式即可。 解 ： ∵ y? ?∴曲线1 ? sec x ? tan x ? tan x ， y?? ? sec2 x ， sec xy ? ln(sec x) 在点 ( x,y ) 处的曲率及曲率半径分别为K?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?sec2 x (1 ? tan x)2 3 2?sec 2 x sec x3? cos x，R?1 ? sec x K。★★★40.证明曲线y ? achy2 x 在点 ( x,y ) 处的曲率半径为 a ax x。x x x x ? ? ? a 1 a 1 a x a a a a a ? 解 ：∵ y ? ach ? (e ? e ) ， y ? ? (e ? e ) ? (e ? e ) ， 2 a 2 a 2 y?? ?x x ? 1 a (e ? e a ) ， K ? 2ay?? (1 ? ( y?) )3 2 2?? 1 (e a ? e a ) 2a 3 ? 1 (1 ? (e a ? e a ) 2 ) 2 4 x xxx?? 1 (e a ? e a ) 2a ? 1 [ (e a ? e a )]3 2 x xxx?1 a 1 [ (e ? e )]2 2y ? achx a x ? a?a a [ (e ? e )]2 2x a x ? a?a y2，∴曲线y2 x 1 ? 在点 ( x,y ) 处的曲率半径 R ? a a Kx2 3。★★★41.求内摆线?y23?a23的曲率半径和曲率圆心坐标。知识点 ：曲率半径和曲率圆的概念。 思路 ：利用曲率半径和曲率圆中心公式。 解 ：内摆线 x2 3?y23?a23的参数方程为 ?3 ? ? x ? a cos θ ， 3 ? y ? a sin θ ?y? ?? y? 3a sin 2 θ cos θ 1 1 ? ? ? sec4 θ csc θ ， ?? ? ? tan θ ， y?? ? (? tan θ )? 2 ? ? 3a x? 3a cos θ sin θ x?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2K??sec4 θ csc θ 3a (1 ? tan θ )2 3 2?sec4 θ csc θ 3a sec θ3?1 3a sin θ cos θ，∴x23?y23?a23的曲率半径为 R?1 3 ? a sin 2θ K 2；令曲率圆的圆心为 (ξ,? ) ，则有y?(1 ? ( y?) 2 ) ? tan θ (1 ? tan 2 θ ) ? a cos3 θ ? ? a cos θ (cos 2 θ ? 3sin 2 θ ) 1 y?? sec4 θ csc θ 3a ， 1 ? ( y?) 2 1 ? tan 2 θ 3 2 2 ? ? y? ? a sin θ ? ? a sin θ (sin θ ? 3cos θ ) 1 y?? 4 sec θ csc θ 3a ξ ? x?即曲率圆的圆心为 (a cos θ (cos2θ ? 3sin 2 θ ) ,a sin θ (sin 2 θ ? 3cos2 θ )) 。课外习题与解答★★★★1、求下列极限 (1)、 （1998） lim (n tann ??1 n2 ) nt? 1 1ln tan t ?ln t t2解：令lim 1 2 x tan t t 2 1 2 ) ? et?0? f ( x) ? ( x tan ) x ，则 lim ( x tan ) x ? lim( ? x ??? t ?0 x t x?et ?0?limt sec2 t ? tan t 2t 2 tan t?et ?0?limt ?sin t cos t 2t 3 cos2 t?e1 t ? sin 2t 2 2t 3 t ?0? lim?et ?0?lim1? cos 2t 6t 2?et ?0? 6 tlim2t 22? e3 。1a 1 ? ( 2 ? a 2 ) ln(1 ? ax)](a ? 0) x x a 1 a ln(1 ? ax) 2 ? a 2 ln(1 ? ax)] 解： lim[ ? ( 2 ? a ) ln(1 ? ax)] ? lim[ ? 2 x ?0 x x ? 0 x x x a a? a ln(1 ? ax) ax ? ln(1 ? ax) 1 ? ax ? lim[ ? ] ? lim ? lim 2 x ?0 x x ?0 x ?0 2x x x2(2)、 （1997） lim[x ?0a ? a2 x ? a a2 。 ? lim ? x ?0 2 x(1 ? ax) 2(3)、 （1999） limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x x ln(1 ? x) ? x 2解： limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x tan x ? sin x ? lim 2 x ?0 x ln(1 ? x) ? x ( x ln(1 ? x) ? x 2 )( 1 ? tan x ? 1 ? sin x )x2 sin x(1 ? cos x) 1 2x 1 2 ? lim ? lim ? lim ?? x ?0 2 x cos x (ln(1 ? x ) ? x ) x ?0 2(ln(1 ? x ) ? x ) 4 x?0 ( 1 ? 1) 2 1? x a t n a t ( n x) ? n s i ( x) （4 ） 、 lim x ?0 a t n x ?n s i x 2 3 1 x ? o( x 3 ) , sin x ? x ? x 3 ? o( x 3 ) 解：∵ tan x ? x ? 3! 3! 2 1 3 3 3 3 ∴ tan(tan x) ? tan x ? tan x ? o( x ) , sin(sin x) ? sin x ? sin x ? o( x ) , 3! 3! 2 1 tan(tan x) ? sin(sin x) ? tan x ? sin x ? tan 3 x ? sin 3 x ? o( x 3 ) 3! 3! 2 1 tan x ? sin x ? tan 3 x ? sin 3 x ? o( x 3 ) tan(tan x) ? sin(sin x) 3! 3! ? lim 从而 lim x ?0 x ? 0 tan x ? sin x tan x ? sin x 2 1 tan 3 x ? sin 3 x ? o( x 3 ) 2 1 3! ? 1 ? lim 3! ? 1? ? 2 ? ? 2 ? 2 。 x ?0 1 3 3! 3! x 2 ★★★ 2 、设在区间 (??,??) 内，f ??( x) ? 0, f (0) ? 0 。试证明函数f ( x) x分别在区间 (??,0) 和(0,??) 内是单调增加的。证明：令 F ( x) 再令 g ( x) ? ∵?f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ，则 F ?( x) ? ， x x2xf ?( x) ? f ( x) ，则 g ?( x) ? f ??( x) x ? f ?( x) ? f ?( x) ? xf ??( x) ，f ??( x) ? 0 ，∴当 x ? 0 时， g ?( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， g ?( x) ? 0 ；∴ g ( x) 由? xf / ( x) ? f ( x) 在 (??,0) 内单调递减，在 (0,??) 内单调递增，f (0) ? 0 ，可得 g (0) ? 0 ，g (0) ? 0 ；从而 ?x ? (??, ??) ，均有 g ( x) ? ∴有 F ?( x) ? 成立。★★3、设xf ?( x) ? f ( x) g ( x) f ( x) ? 2 ? 0 ， F ( x) ? 在 (??,0) 和 (0,??) 内单调递增，结论 2 x x xf ( x) 在 [a, b] 上可导，若 c 为 (a, b) 内一定点，且 f (c) ? 0 ， ( x ? c) f ?( x) ? 0 。证明在[a, b] 上必有 f ( x) ? 0 。证明：∵f ( x) 在 [a, b] 上可导， ( x ? c) f ?( x) ? 0 ，∴当 x ? c 时，有 又∵f ?( x) ? 0 ， f ( x) 单调增；当 x ? c 时，有 f ?( x) ? 0 ， f ( x) 单调降，f (c) ? 0 ，∴在 [a, b] 上必有 f ( x) ? 0★★★4、 （1999）试证：当 x? 0 时， ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 。证明： 令 ? ( x)? ln x ?x ?1 1 2 x2 ? 1 ? ?0， ，则 ? ?( x) ? ? x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1) 2x ?1 1?1 ?0， 在 (0,??) 内单调递增；又 ? (1) ? ln 1 ? x ?1 1?1 x ?1 ? 0 ，( x ? 1) ln x ? x ? 1 ，从而 ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 ； ∴当 0 ? x ? 1 时，? ( x) ? ln x ? x ?1 x ?1 ? 0 ， ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ，从而 ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 ，综上 当 x ? 1时， ? ( x) ? ln x ? x ?1∴ ? ( x)? ln x ?可知，当 x? 0 时， ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 。y ? y( x) 由方程 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1 所确定。求 y ? y( x) 的驻点，并★★★★5、 （1996）设 判定其是否为极值点。 解：对方程两边求关于 x 的导数，得 6 y2y? ? 4 yy? ? 2 xy? ? 2 x ? 0 ，解得y? ?x? y ，令 y? ? 0 ，得 y ? x ； 3y ? 2 y ? x2将y ? x 代入 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1 ，得 2 x3 ? 2 x2 ? 2 x2 ? x2 ? 1 ? 2 x3 ? x2 ?1 ? 0 ①∵x? 1 是方程①的解，∴ 2 x3 ? 2 x2 ? 2 x2 ? x2 ? 1 ? ( x ? 1)(2 x2 ? x ? 1) ? 0 ， ? 1；由 x ? 1，得 y ? 1 ，(1 ? y?)(3 y 2 ? 2 y ? x) ? ( x ? y)(6 yy? ? 2 y? ? 1) (3 y 2 ? 2 y ? x)2 ? 1 ? 0， 2解得驻点 x又y??x ?1 y ?1?x ?1 y ?1∴x? 1为 y ? y( x) 的极小值点。y ? x 2 上点 A(a, a 2 ) （ a ? 0 ）处的法线交该抛物线的另一点为 B ，求线段 AB 的★★★6、设抛物线最短长度。 解：设 B(b, b2) ，则在点 A(a, a ) 处，法线的斜率 k 法2b2 ? a2 ? ?b?a， b?a而切线的斜率为 k切? y?x ?a? 2a ，∴有 b ? a ? ?1 1 ，即 b ? ?a ? ；从而 2a 2a1 (4a 2 ? 1) 2 ； 4a 23线段AB 的长度 L ? AB ? (b ? a) 2 ? (b 2 ? a 2 ) 2 ?3 1dL 1 1 3 ? ? 3 (4a 2 ? 1) 2 ? 2 ? (4a 2 ? 1) 2 ? 8a ? 令 da 2a 4a 2得a4a 2 ? 1(2a 2 ? 1) ? 0， 2a 3??1 2，且易验证 a??1 2为极小点，也为最小点，故可得1AB 的最短长度为3 3 2。★★★★7、设f ( x) 在 [0,1] 连续。 f (0) ? 0 , f (1) ? 1 试证 ? f ( x) ? f ?( x) dx ?011 。 e证明：根据已知条件，得?10f ( x) ? f ?( x) dx ? ? e? x f ?( x) ? f ( x) dx ?0? (e01?xf ?( x) ? e ? x f ( x))dx? e ? x f ( x) 1 0 ?★★★★8、1 ，结论成立。 ef ( x) 在[0，1]上具有二阶连续导数，且满足 f (1) ? f (0) 及 f ??( x) ? M ( x ? [0,1] ，证 明对一切 x ? [0,1] 有f ?( x) ?M 2成立。证明： ?x ? [0,1] ，由泰勒公式，可得f ??(?1 ) (1 ? x) 2 （ ? 1 介于 1 与 x 之间） ① 2! f ??(?2 ) 2 ② f (0) ? f ( x) ? f ?( x)(0 ? x) ? x （ ? 2 介于 0 与 x 之间） 2! f ??(?2 ) 2 f ??(?1 ) ∵ f (1) ? f (0) ，∴ 由②-①，得 f ?( x) ? x ? (1 ? x) 2 ， 2! 2! f (1) ? f ( x) ? f ?( x)(1 ? x) ?又 ?x ? [0,1] ，有 x2? (1 ? x) 2 ? 1 ，且 f ??( x) ? M ( x ? [0,1] ，从而有f ?( x) ?f ??(?2 ) 2!x2 ?f ??(?1 ) 2!(1 ? x)2 ?M 2 M [ x ? (1 ? x) 2 ] ? 2 2，结论成立。★★★★9、设函数f ( x) 在区间 [?1,1] 上具有三阶连续导数，且 f (?1) ? 0, f (0) ? 0, f (1) ? 1,f ?(0) ? 0 ，证明存在一点 ? ? (?1,1) ，使 f ???(? ) ? 3 。证明： ?x ? [?1,1] ，由泰勒公式得f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?分别令 xf ??(0) 2 f ???(? ) 3 x ? x （? 介于 0 与 x 之间） 2! 3!① ②? ?1和 x ? 1，并结合已知条件得 f ??(0) f ???(?1 ) 0 ? f (?1) ? ? （ ?1 介于 0 与 ? 1 之间） 2 6 f ??(0) f ???(?2 ) 1 ? f (1) ? ? （ ? 2 介于 0 与 1 之间） 2 6f ???(?2 ) ? f ???(?1 ) ? 6由②-①，得∵f ( x) 在区间 [?1,1] 上具有三阶连续导数，∴ f ???( x) 在 [?1 ,? 2 ] 上连续，从而由介值定理知，至少有一点 ?1? [?1 ,? 2 ] ? (?1,1) ，使得1 f ???(?1 ) ? [ f ???(?1 ) ? f ???(?2 )] ? 3 ； 2再由最值定理知，至少有一点 ? 从而有? [?1 ,? 2 ] ? (?1,1) 使得 f ???( x) 在 x ? ? 处取得 [?1 ,? 2 ] 上的最大值，f ???(? ) ? f ???(?1 ) ? 3 ，结论成立。f ( x) 在 [0,1] 上具有二阶连续导数， f ( x) ? a, f ??( x) ? b, c ? (0,1) ，求证：★★★★10、 （1996）设f ?(c) ? 2a ?b 。 2 证明： ?x ? [0,1] ，由泰勒公式，得f ( x) ? f (c) ? f ?(c)( x ? c) ?从而可得f ??(? ) ( x ? c) 2 ，又 f ( x) ? a, f ??( x) ? b, c ? (0,1) ， 2!f ??(? ) f ??(? ) ( x ? c) 2 ? f ( x) ? f (c) ? ( x ? c) 2 2! 2!f ?(c)( x ? c) ? f ( x) ? f (c) ?? 2a ?b 。 2
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中值定理与导数的应用2(终)
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你可能喜欢导读：思路：根据题意建立数学函数模型，★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1）y?x4?8x2?2,?1?x?3；（2）y?sinx?cosx,[0,2π]；（3）y?x?1?x,?5?x?1；（4）y?ln(x2?1),[?1,2]。知识点：导数的应用。思路：求函数f(x)在闭区间上最值的基本方法是先求y??0的点或者y?不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值★★4.求下列函数的最大值、最小值： （1）y?x4?8x2?2, ?1?x?3；
（2） y?sinx?cosx,[0,2π]；
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（2）?2?知识点：导数的应用。 ?n?。 n思路：求数列f(n)的最大项最小项问题可转化为求函数f(x)在区间[1,??)内的最值问题；若x?x0为则f(n)?f([x0])与f(n)?f([x0]?1)中最小的一个为数f(x)在区间[1,??)内的最小值点，列中的最小项；若x?x0为f(x)在区间[1,??)内的最大值点，则f(n)?f([x0])与f(n)?f([x0]?1)中最大的一个为数列中的最大项。 解：设x10f(x)?x28，则在区间[1,??)内，令10x9(10?xln2)x?f?(x)??0，得唯一驻点；
xln22由f??(x)?x(90?20xln2?xln2)10??，得f()?x2ln2?22?10(108)ln2?0， 102ln2（或者说：当x1010时，f?(x)?0；当x?时，f?(x)?0） ln2ln2在区间[1,??)内唯一的极大值点，也是最大值点； 10x10∴x?为f(x)?xln]?14，[]?14，且2∵[?1.00323?1， 15?n10?∴当n?14时，?取得最大项。 n??2?（2）设f(x)?x1x，则在区间[1,??)内，令1?lnxf?(x)?x(2)?0，得唯一驻点x?e； x1x当0?x?e时，有y??0，当x?e时，有y??0， ∴ x?e为f(x)?x1x在区间[1,??)内唯一的极大值点，也是最大值点； ∵[e]?2，[e]?1?3，且28??1，∴当n?3时，3936?n?取得最大项。 n★★6.从一个边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图），问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？
x a 图3-5-6
知识点：求最值问题。 思路：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x0，且x0是函数f(x)的极值点，则当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值；f(x)在某个区间内可导且只有一个驻点x0，且f(x)在该区间上确实存在最值，则f(x0)就是f(x)在该区间上的最值。 解：设截去的小正方形的边长为x，则根据题意，得 aaadV?(a?2x)(a?6x)?0，得x?（舍去），x?；V(x)?x(a?2x)2，x?(0,)；令262dxaa23a，∴可得，当一个边长为a的正方形的四角上截去一块边长为 ∵V(0)?0,V()?0,V()?2627a的小方块，才能使盒子的容量最大。 6★★7.欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？ 解：设圆柱形容器的底为r，高为h，则表面积S?2πrh?2πr，又V?πrh，∴得 22S(r)?2V?2πr2,0?r???， r32V令S?(r)??2?4πr?0，得唯一的驻点r?r又由S??(r)V2π； ?4V?4π，知S??(r)3rr?3V2π?12π?0， 3∴r?V2π为S(r)的极小值点，也是最小值点； 3∴当r?V2π，h?2r时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。 ★★★8.从一块半径为R的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图3?5?8）容积为最大？ R4π2??2?R解：设漏斗的半径为r，高为h，容积为V，根据题意，得r?，h?2π2πR3?24π2??212V(?)?πrh?,0???2?； 2324πR3?24π2??288??0令V?(?)?，得（舍去），（舍去），????????03324π2∵漏斗的最大容积确实存在，即V(?)又V(?)，从而有 ； (0???2?)最大值确实存在， (0???2?)的驻点唯一， ∴??8?3时，V(?)(0???2?)取得最大值，即当切去圆心角为2??8?的扇形时，余下的3部分卷成的漏斗容积最大。 ★★★9.设有重量为5kg的物体，置于水平面上，受力F的作用而开始移动（见图3?5?9），设磨擦系数μ?0.25，问力F与水平线的交角α为多少时，才可使力F的大小为最小？ 解：根据题意，得Fcosα?(P?Fsinα)μ，从而有F(?)?Pμ?,0???， 即cos???sin?2F(?)?则由1.25?,0???cos??0.25sin?2，令f(?)?cos??0.25sin?， ?f?(?)??sin??0.25cos??0，得f(?)在(0,)内唯一的驻点α?arctan(0.25)； 21.25?1.25?1.25， ∵F()??5，F(0)???cos0?0.25sin02cos?0.25sin221.25?1.213 cos(arctan(0.25))?0.25sin(arctan(0.25))?arctan(0.25)时，才可使力F的大小为最小。 (0.25))?且F(arctan∴力F与水平线的交角α1m处挂一重量为49kg的物体，加力于杠杆的另一端★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点0.使杠杆保持水平（见图3?5?10），如果杠杆的线密度为5kg/m，求最省力的杆长。 解：设杠杆长为x，则根据题意和力的平衡关系，得xF?49?0.1?5x?x，即 2F(x)?4.95x?(x?0)； x24.955x2?9.89.8?0令F?(x)??2??，得唯一的驻点(x?0)x??1.4； 2x22x5∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长x?1.4m时最省力。 F ? ?RO 图3-5-8 P?5kg
S 0.1m A F a Ob xMx ?49kg 图3-5-10 ★★★★11.光源 图3-5-11
的哪一点再反射到点S的光线射到平面镜OxA，光线所走的路径最短（见图3?5?11）？ 解：设入射点为M,OM?x，则S所走的路程 y?SM?MA?a2?x2?b2?(τ?x)2(0?x?τ) 令y??xa2?x2?τ?xb2?(τ?x)2?0，得y在区间(0,τ)内的唯一驻点x0??aτ， a?b∵最短的距离确实存在，∴当入射点M在Ox上的点为x0容易验证，此时入射角（记为α）等于反射角（记为aτ时，光源S的光线所走的路径最短；a?bβ），即 tanβ?此为著名的光的反射定律。 τ?x0?bτ?aτa?b?τ?x0?tanα， ba?ba包含总结汇报、党团工作、考试资料、旅游景点、文档下载、IT计算机、外语学习、教学研究、教学教材、工作范文、人文社科、专业文献以及吴赣昌版高等数学第三章(2)等内容。本文共8页
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做一个容积固定为V的圆柱形带盖铁罐,问圆柱的高h和底半径r各为多少时,可使所用材料最少（即表面积最小？）
设底面半径为r，高为h，那么其体积为：V=πr^2*h
其表面积【即材料面积】为s=2πr*h+2πr^2=2πr*(V/πr^2)+2πr^2
=(2V/r)+2πr^2
则，s'(r)=(-2V/r^2)+4πr=0
===> V/r^2=2πr
===> r=(V/2π)^(1/3)
此时，h=V/(πr^2)=(4V/π)^(1/3)
即，当r=(V/2π)^(1/3)，h=(4V/π)^(1/3)时材料最省
依题意πr^2*h=v,h=v/(πr^2)，①
表面积S=2πr^2+2πrh=2πr^2+2v/r
=2πr^2+v/r+v/r
＞=3(2πv^2)^(1...
S=2πrh+2πr^2
S=2v/r+2v/h
S=2v*(r+h)(rh)
用h=v/(πr^2) 带入上式
S=2（πr^3+v)/r
（8-6）/8*50*17/8=425/16
题目：“注满容器全过程用分钟”，假设时间是t。
根据粗水管的口径是细水管口径的2倍，横截面积粗水管是细水管的4倍。【圆的面积比等于半径比的平方】
解：设设细水管...
答: 这个基本上应该都是一个三维图形吧,具体是看不出来是圆形还是长方形的,现在只要宝宝胎心胎芽正常的话就好了。
答: x->0:lim(1+x)^(-1/x)
=1/[x->0:lim(1+x)^(1/x)
x->∞:limxsin(1/x)
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答: 计算科学是一门什么样的学科？
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中值定理与导数的应用2(终)
★★4.求下列函数的最大值、最小值：（1 ） y （3 ）? x 4 ? 8 x 2 ? 2, ? 1 ? x ? 3 ；（2） （4） yy ? sin x ? cos x,[0,2π ] ；y ? x ? 1 ? x, ? 5 ? x ? 1 ；? ln( x 2 ? 1),[?1,2] 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：求函数 f ( x) 在闭区间上最值的基本方法是先求 y? ? 0 的点或者 y ? 不存在的点，然后求这些点处的函数值及其闭区间端点处的函数值，比较函数值，最大的即是 是f ( x) 在该闭区间上的最大值，最小的即f ( x) 在该闭区间上的最小值。3解： （1）在 [?1,3] 上令 y? ? 4 x ? 16 x ? 0 ，得 x1 ? 0 ， x 2 ? 2 ；∵y(?1) ? ?5， y (0)? 2 ， y(2) ? ?14 ， y(3) ? 11 ，∴比较可得y ? x 4 ? 8x 2 ? 2, ? 1 ? x ? 3 的最小值为 y(2) ? ?14 ，最大值为 y(3) ? 11 。y? ? cos x ? sin x ? 0 ，得 x1 ?（2） 在 [0,2π ] 上，令 ∵π 5π ， x2 ? ； 4 4π 5π y(0) ? 1， y ( ) ? 2 ， y ( ) ? ? 2 ， y(2π ) ? 1 ， 4 4 5π π ) ? ? 2 ，最大值为 y ( ) ? 2 。 ∴比较可得 y ? sin x ? cos x,[0,2π ] 的最小值为 y ( 4 4（3）在 [?5, 1] 上，y? ?3 2 1 ? x ?1 ? 0 ，得 x ? ； 4 2 1? x∵3 5 y(?5) ? ?5 ? 6 ， y ( ) ? ， y(1) ? 1， 4 43 5 y ? x ? 1 ? x , ? 5 ? x ? 1 的最小值为 y(?5) ? ?5 ? 6 ，最大值为 y ( ) ? 。 4 4 2x ? 0 ，得 x ? 0 ； （4）在 [?1,2] 上令 y? ? 2 x ?1∴比较可得 ∵y(?1) ? ln 2， y (0)? 0 ， y(2) ? ln 5 ，∴比较可得y ? ln( x 2 ? 1),[?1,2] 的最小值为 y(0) ? 0 ，最大值为 y(2) ? ln 5 。★★★5.求下列数列的最大项：（1 ）? n10 ? ? n ?； ?2 ?（2）? n ?。n知识点 ：导数的应用。 思路 ： 求数列 f (n) 的最大项最小项问题可转化为求函数 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最值问题； 若 x ? x0为 则 f (n) ? f ([ x0 ]) 与 f (n) ? f ([ x0 ] ? 1) 中最小的一个为数 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最小值点，列中的最小项；若x ? x0为f ( x)在区间[1, ? ?)内的最大值点，则f (n) ? f ([ x0 ])与f (n) ? f ([ x0 ] ? 1) 中最大的一个为数列中的最大项。解： 设 f ( x) ?x10 2x， 则在区间 [1, ? ?) 内， 令f ?( x) ?x9 (10 ? x ln 2) 10 ?0， 得唯一驻点 x ? ； x 2 ln 2由10 8 ?10( ) x8 (90 ? 20 x ln 2 ? x 2 ln 2 2) 10 ln 2 f ??( x) ? ，得 f ??( )? ?0， 10 2x ln 2 ln 2 2? 10 10 时， f ?( x) ? 0 ；当 x ? 时， f ?( x) ? 0 ） ln 2 ln 2在区间 [1, ? ?) 内唯一的极大值点，也是最大值点；（或者说：当 x∴x?x10 10 为 f ( x) ? x ln 2 2 10 ] ? 14 ， [ ] ? 14 ，且 2 ? 1.00323 ? 1 ， ∵[ 1510 ln 2 ln 2 215∴当 n? n10 ? ? 14 时， ? n ? 取得最大项。 ?2 ?f ( x) ? x1 x（2）设，则在区间 [1, ? ?) 内，令1 1 ? ln x f ?( x) ? x x ( 2 ) ? 0 ，得唯一驻点 x ? e ； x当0 ?x ? e 时，有 y? ? 0 ，当 x ? e 时，有 y? ? 0 ，1∴x ? e 为 f ( x) ? x x 在区间 [1, ? ?) 内唯一的极大值点，也是最大值点；2 ， [e] ? 1 ? 3 ，且∵ [e] ?2 8 ? ? 1 ，∴当 n ? 3 时， 3 9 36? n ?取得最大项。n★★6.从一个边长为a 的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子（见图） ，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？ xa图 3-5-6 知识点 ：求最值问题。 思路 ：根据题意建立数学函数模型，根据实际意义，确定自变量范围，在所确定的范围上求最值。特别地，f ( x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x 0 ，且 x 0 是函数 f ( x) 的极值点，则当 f ( x0 ) 是极大值时，f ( x0 ) 就是 f ( x) 在该区间上的最大值；当 f ( x0 ) 是极小值时， f ( x0 ) 就是 f ( x) 在该区间上的最小值；f ( x) 在某个区间内可导且只有一个驻点 x 0 ，且 f ( x) 在该区间上确实存在最值，则 f ( x0 ) 就是f ( x) 在该区间上的最值。解 ：设截去的小正方形的边长为 x ，则根据题意，得a dV a a ? (a ? 2 x)(a ? 6 x) ? 0 ，得 x ? （舍去） V ( x) ? x(a ? 2 x) 2 ， x ? (0, ) ；令 ，x ? ； 2 dx 2 6 a a 2 3 a ，∴可得，当一个边长为 a 的正方形的四角上截去一块边长为 ∵ V (0) ? 0,V ( ) ? 0,V ( ) ? 2 6 27 a 的小方块，才能使盒子的容量最大。 6 ★★7.欲制造一个容积为 V 的圆柱形有盖容器，问如何设计可使材料最省？解 ：设圆柱形容器的底为 r ，高为 h ，则表面积 S ? 2πrh ? 2πr ，又 V ? πr h ，∴得2 2S (r ) ?2V ? 2πr 2 ,0 ? r ? ?? ， r32V V 令 S ?(r ) ? ? 2 ? 4πr ? 0 ，得唯一的驻点 r ? r 2π又由 S ??(r )；?4V ? 4π ，知 S ??(r ) r3r?3V 2π? 12π ? 0 ， 3∴r?V 2π3为 S (r ) 的极小值点，也是最小值点；∴当 r?V 2π，h? 2r 时，可使材料最省，即圆柱形容器的底和半径相等时，可使材料最省。★★★8.从一块半径为 R 的圆片中应切去怎样的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（见图 3 ? 5 ? 8 ）容积为最大？解 ：设漏斗的半径为 r ，高为 h ，容积为 V ，根据题意，得 r ??R2π，h?R 4π 2 ? ? 2 2π，从而有R 3? 2 4π 2 ? ? 2 1 2 V (? ) ? πr h ? ,0 ? ? ? 2? ； 3 24π 2令 V ?(? ) ?R3? 2 4π 2 ? ? 2 8 ? 0 ，得 ? ? 0 （舍去） ，? ? ? ? 2 24π 3（舍去） ，??8 ? 3；∵漏斗的最大容积确实存在，即 V (? ) 又 V (? )(0 ? ? ? 2? ) 最大值确实存在，(0 ? ? ? 2? ) 的驻点唯一，∴??8 8 ? 时， V (? ) (0 ? ? ? 2? ) 取得最大值，即当切去圆心角为 2? ? ? 的扇形时，余下的 3 3部分卷成的漏斗容积最大。★★★9.设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力 F 的作用而开始移动（见图 3 ? 5 ? 9 ） ，设磨擦系数μ? 0.25 ，问力 F 与水平线的交角 α 为多少时，才可使力 F 的大小为最小？解 ：根据题意，得 F cos α ? ( P ? F sin α) μ ，从而有 F (? ) ?Pμ ? ,0 ? ? ? ， cos? ? ?sin? 2即F (? ) ?则由1.25 ? ,0 ? ? ? ，令 f (? ) ? cos? ? 0.25sin? ， cos? ? 0.25sin? 2f ?(? ) ? ?sin? ? 0.25cos? ? 0 ，得 f (? ) 在 (0, ) 内唯一的驻点 α ? arctan(0.25) ； 2 1.25 ? 1.25 ? 1.25 ， ? 5 ， F (0) ? ∵ F( ) ? ? ? cos0 ? 0.25sin0 2 cos ? 0.25sin 2 2?且 F (arctan (0.25))?1.25 ? 1.213 cos(arctan(0.25)) ? 0.25sin(arct an(0.25))? arctan(0.25) 时，才可使力 F 的大小为最小。∴力 F 与水平线的交角 α ★★★10.有一杠杆，支点在它的一端，在距支点 0. 1m 处挂一重量为 49kg 的物体，加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平（见图 3 ? 5 ? 10 ） ，如果杠杆的线密度为 5kg/m ，求最省力的杆长。解 ：设杠杆长为 x ，则根据题意和力的平衡关系，得 xF ? 49 ? 0. 1 ? 5x ?x ，即 2F ( x) ?令 F ?( x) ? ?4.9 5 x ? ( x ? 0) ； x 24.9 5 5 x 2 ? 9.8 9.8 ? ? ? 0 ( x ? 0) ，得唯一的驻点 x ? ? 1.4 ； 2 2 x 2 2x 5∵最省力的杠杆长确实存在，∴当杠杆长 x? 1.4m 时最省力。F??RP ? 5kg图 3-5-9O图 3-5-8S0.1mAFaOxMbx49kg图 3-5-10★ ★ ★★ 11. 光 源?图 3-5-11S的光线射到平面镜Ox 的 哪 一 点 再 反 射 到 点 A ， 光 线 所 走 的 路 径 最 短 （ 见 图3 ? 5 ? 11 ）？解 ：设入射点为 M,OM ? x ，则 S 所走的路程y ? SM ? MA ? a 2 ? x 2 ? b 2 ? (τ ? x) 2 (0 ? x ? τ )令y? ?x a ?x2 2?τ?x b ? ( τ ? x)2 2? 0 ，得 y 在区间 (0,τ ) 内的唯一驻点 x0 ??aτ a?b，∵最短的距离确实存在， ∴当入射点 M 在 Ox 上的点为 x0 容易验证，此时入射角（记为 α ）等于反射角（记为aτ 时， 光源 S 的光线所走的路径最短； a?bβ） ，即 τ ? x0 tan β ? ? b此为著名的光的反射定律。τ?aτ a ? b ? τ ? x0 ? tan α ， b a?b a★★★★12.甲船以每小时 20 里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北 82 里处以每小时 16 里的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？解 ：设两船的距离为 S ，且经过 t 小时两船距离最近，则根据题意得S (t ) ? (82 ? 16t ) 2 ? (20t ) 2 (t ? 0)令 S ?(t ) ?656t ? 1312 (82 ? 16t )2 ? (20t ) 2? 0 ，得 S (t ) 在区间 (0, ? ?) 内唯一的驻点 t ? 2 ；∵两船最短的距离确实存在，∴ t? 2 时， S (t ) ? (82 ? 16t )2 ? (20t )2 (t ? 0) 取得最小值，即经过2 小时后两船距离最近。内容概要名称 3.6 函 数图形 的描绘 渐近线的概念： 1）水平渐近线：若函数 y 主要内容（3.6）? f ( x) 的定义域是无穷区间，且 lim f ( x ) ? C ，则称直线x ??y ? C 为曲线 y ? f ( x) 的水平渐近线；2）铅直渐近线：若函数y ? f ( x) 在 x 0 处间断，且 lim f ( x ) ? ? ，则称直线 x ? x0 为曲x ? x0线y ? f ( x) 的铅直渐近线； y ? f ( x) ， 若 lim[ f ( x) ? ( ax ? b)] ? 0 ， 则 称 y ? ax ? b 为x ??3 ） 斜渐 近 线： 设 函数y ? f ( x) 的斜渐近线，其中 a ? lim注：若 lim 渐近线。 函数图形描绘的步骤： 1）确定函数 2）求出x ??x ??f ( x) ( a ? 0), b ? lim[ f ( x ) ? ax ] 。 x ?? xf ( x) 不存在，或虽然它存在但 lim[ f ( x ) ? ax ] 不存在，则 y ? f ( x) 不存在斜 x ?? xf ( x ) 的定义域，求出函数的一阶导数 f ?( x) 和二阶导数 f ??( x) ；f ?( x) 和 f ??( x) 的全部零点， f ( x ) 的间断点， f ?( x) 和 f ??( x) 不存在的点；用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间； 3）确定在这些部分区间内 点和拐点；f ?( x) 和 f ??( x) 的符号，并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值 4）确定函数图形的渐近线以及其他变化趋势； 5）算出f ?( x) 和 f ??( x) 的全部零点及其不存在时的点所对应的函数值，并在坐标平面内描出相应的点，有时适当补充一些辅助点，根据以上步骤画出函数大致图形。习题 3-6★1.求下列曲线的渐近线：? 1 x（1 ） y?e；（2）y?ex ； 1? x（3） y? x ? e?x。知识点 ：渐近线的概念。 思路 ：求出函数 f ( x) 定义域；在间断点处或无穷大时，讨论 f ( x) 的极限情况，用以求出 f ( x) 的水平渐近线和垂直渐近线；讨论1 xf ( x) 、 f ( x) ? ax 无穷大时的极限，用以求出斜渐近线。 x解： （1） y ? e∴x?的定义域为 (??,0) ? (0, ? ?) ；∵x ?0lim? e?1 x? ?? ， lim ex ???1 x? 1，? 0 为铅直渐近线， y ? 1 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。y? ex ex ex ? ? ， lim ? 0， 的定义域为 (??, ? 1) ? (?1, ? ?) ；∵ lim x ??1 1 ? x x ? ?? 1 ? x 1? x（2 ）∴x? ?1为铅直渐近线， y ? 0 为水平渐近线，容易验证该函数没有斜渐近线。y ? x ? e ? x 的定义域为 ( ? ?, ??) ；∵ lim (x ? e ? x ) ? ? ，∴函数不存在铅直渐近线及水平x ??（3 ）渐近线，x ? e?x ? 1 ? a ， lim [( x ? e ? x ) ? ax] ? 0 ? b ， 而 lim x ??? x ??? x∴y ? x 为函数 y ? x ? e ? x 的斜渐近线。★★★2.描绘下列函数的图形：（1 ）y?2x 2 ； x2 ?1（2）y? ?x 1? x2；（3） y?( x ? 3) 2 ； 4( x ? 1)（4 ）y ? x 3? x ；（5） yln x 。 x知识点 ：函数的性质及导数的应用。 思路 ：根据函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和极值、凹凸性和拐点、渐近线及其关键点的坐标，描绘函数图形。解： （1）1） y ?2x 2 的定义域为 (??, ? 1) ? (?1, 1) ? (1, ? ?) ； x2 ?1不存在；2）令y? ?4 x( x 2 ? 1) ? 2 x 2 ? 2 x ?4 x ? 2 ? 0 ， 得 驻 点 x ? 0 ； x ? ?1 时 y ? 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2y?? ?12 x 2 ? 4 ? 0 无解； ( x 2 ? 1)33）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x) f ( x)(??, ? 1)?1不存在(?1,0)0 0－(0,1)－1不存在(1, ? ?)－??－?J?不存在－ K?不存在?K?不存在J?极 大 值点不存在4 ）x ??1lim?2x 2 ? ?? x2 ?1，x ??1lim-2x 2 ? ?? x2 ?1，limx ?12x 2 ? ?? x2 ?1，x ?1lim ?2x 2 ? ?? x2 ?1，lim2x 2 ? 2 ，∴ x ? ?1 为铅直渐近线， y ? 2 为水平渐近线， x ?? x 2 ? 1容易验证，函数 y ?2x 2 没有斜渐近线； x2 ?1 ? 2x 2 的图形如下： x2 ?15）根据以上讨论，可描绘出函数 y y2?101x图 3-6-2-1注 ：也可以利用函数的奇偶性，只讨论函数在 (0, 1) ? (1, ? ?) 内的情况，描绘出此区间上函数图形，然后再利用图像的对称性，将函数图形补充完整。 （2）1）y?x 1? x2的定义域为 (??, ? ?) ；2）令y? ?x2 ? 1 ? x ? 2 x 1 ? x2 ? ?0 ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2，得驻点x1,2 ? ?1 ； 令 y?? ?2 x3 ? 6 x ?0 ( x 2 ? 1)3，得x3,4 ? ? 3 ， x5 ? 0 ；3）∵ y?x 1? x2为奇函数，∴在 (0, ? ?) 内列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x) f ( x)(0,1)1(1, 3 )－3－( 3, ? ?)－?－0－－ K?0拐点?K?J?极大点f (1) ? 1 / 2f ( 3) ?3 4x x ? 0 ，∴ y ? 0 为水平渐近线，容易验证，函数 y ? 没有斜渐近线； 2 x ?? 1 ? x 1? x2 x 5）根据以上讨论和函数 y ? 的奇偶性，可描绘出该函数的图形如下： 1? x24） lim y1/2?.?.3/40 1x3图 3-6-2-2（3）1） y?( x ? 3) 2 的定义域为 (??, 1) ? (1, ? ?) ； 4( x ? 1)2）令 y? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ，得驻点 x1 ? ?1 ， x2 ? 3 ； 4( x ? 1)2 8 ? 0 无解； 4( x ? 1)31不存 在 － － － K? 不存 在x3 ? 1时， y?? 不存在； y?? ?3）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x)f ( x)(??,?1)?1(?1,1)－(1,3)－30(3,??)?0??J??K??极小 点J?极大点不存 在( x ? 3) 2 ( x ? 3) 2 4） lim ? ?? ， lim? ?? ∴ x ? 1为铅直渐近线， x ?1? 4( x ? 1) x ?1 4( x ? 1)容易验证，函数y?( x ? 3) 2 没有水平渐近线； 4( x ? 1)而 lim( x ? 3) 2 1 ( x ? 3) 2 ( x ? 3) 2 1 5 ? ? a ， lim[ ? ax] ? lim[ ? x] ? ? ， x ?? 4 x( x ? 1) x ?? 4( x ? 1) x ?? 4( x ? 1) 4 4 4∴ 又y?1 5 x ? 为斜渐近线。 4 4f (?1) ? ?2 , f (3) ? 0 5）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：y?1 0135y?1 5 x? 4 4? 5/ 4?2x图 3-6-2-3（4 ） 1 ） y 2）令 y? ?? x 3 ? x 的定义域为 (??,3] ；3? x ? x??1 6 ? 3x ? ? 0 ，得驻点 x ? 2 ； x2 ? 3 时， y ? 不存在； 2 3? x 2 3? x?3 3 ? x ? (6 ? 3x) ? y?? ?1 2 3 ? x ? 3x ? 12 ? 0 在 (??,3] 上无解； 3 2(3 ? x) 4(3 ? x) 23）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x)f ??( x)(??,2)2(2,3)－3不存在?－ －0－ K?不存在f ( x)4）容易验证，函数 y 又J?极大值 点0? x 3 ? x 没有渐近线。f (2) ? 2 , f (3) ? 0, f (0) ? 05）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下： y023x图 3-6-2-4（5）1） y?ln x 的定义域为 (0, ? ?) ； x32）令 y? ?1 ? ln x 2ln x ? 3 ? 0 ，得驻点 x1 ? e ；令 y?? ? ? 0 ，得 x 2 ? e 2 ； 2 x x33）现列表讨论其单调性和极值，凹凸性和拐点：xf ?( x) f ??( x) f ( x)4） lim(0,e)e0－(e,e )－3 2e3 2(e , ? ? )－3 2?－－－ K?0拐点?K?J?极大值 点ln x ln x ? ? ， lim ? 0 ∴ x ? 0 为铅直渐近线， y ? 0 为水平渐近线；函数无斜渐近线。 x ?0 x x ? ?? xye ?15）根据以上讨论，可描绘出该函数的图形如下：3 / 2e 3 / 2x0e图 3-6-2-5e3/ 2 内容概要名称 3.7 曲率 弧微分计算公式： ds 主要内容(3.7)? 1 ? ( y / ) 2 dx ，其中 s ? s ( x) 为弧函数，其性质为单调增加。y ? f ( x) ， f ( x ) 具有二阶导数，则曲线 y ? f ( x) 在点 x 处曲率计算公式：设曲线方程为的曲率计算公式为 K?y // (1 ? ( y ) )/ 2 3 2。1） 曲率圆与曲率半径： 设曲线在点 M y ? f ( x) 在点 M ( x, y ) 处的曲率为 K ( K ? 0) ，处1 ? ? 。以 D 为圆心， ? 为半径 K 的圆成为曲线在点 M 处的曲率圆。 曲率圆的圆心 D 称为曲线在点 M 处的曲率圆心。 曲率的曲线的法线上，在凹的一侧取点 D ，使得DM ?圆的半径 ? 称为曲线在点 M 处的曲率半径。 2）y ? f ( x) 在点 M ( x, y ) 处的曲率圆的圆心记为 (? ,? ) ，则其计算公式为：? y / (1 ? ( y / ) 2 ) ? ? x ? ? y // ? 。 ? / 2 ?? ? y ? 1 ? ( y ) ? y // ?习题 3-7★★★1.求曲线y ? ln x 的最大曲率。知识点 ：曲率的计算公式及最值的应用。 思路 ：根据曲率计算公式，计算函数的导数及其二阶导数，代入公式，得关于 x 的曲率函数，然后求该函数的最大值，便得原来函数的最大曲率，最小值便为原来函数的最小曲率。解 ：∵ y? ?1 1 ， y?? ? ? 2 x x，∴得函数y ? ln x 在 x 处的曲率为1 x x2 K ( x) ? ? ? ( x ? 0) ， 3 3 3 1 2 2 2 2 2 (1 ? ( y?) ) (1 ? 2 ) (1 ? x ) x y??下面求 K ( x),( x? 0) 的最大值： 由 K ?( x)?1 (1 ? x )3 2 2? x( ?3? 2x2(1 ? x 2 ) 2)? 51 ? 2 x2 (1 ? x )5 2 2? 0 ，得 x ? ?2 2 ；舍去 x ? ? 2 2当0 ?x?2 2 时， K ?( x) ? 0 ；当 x ? 2 2时， K ?( x) ? 0 ，∴当 x?2 2时， K ( x) 在 (0, ? ?) 内取得极大值 K (2 2 ，也是 K ( x) 在 (0, ? ?) 内的最 )? 2 3 3大值，即曲线y ? ln x 的最大曲率为2 3 3。★2.求抛物线y ? x 2 ? 3x ? 2 在点 x ? 1处的曲率和曲率半径。知识点 ：曲率和曲率半径的计算公式。 思路 ：利用曲率及曲率半径的公式即可。 解 ：∵ y? ? 2 x ? 3 ， y?? ? 2 ，∴函数 y ? x ? 3x ? 2 在 x 处的曲率和曲率半径分别为2K ( x) ?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?2 (1 ? (2 x ? 3) )3 2 2， R( x)?1 ， K ( x)? 13 26 。将x? 1分别代入 K ( x) 、 R( x) 中，得曲率和曲率半径为 K ?? x ? a(t- sin t ) π 在t ? 处的曲率。 2 ? y ? a(1 ? cos t )1 13 26，R★★3.计算摆线 ?解 ：∵dy dxπ t? 2?y?(t ) x?(t )π t? 2?sin t 1 ? cos t ?t?π 2? 1， 1 ； ad2y dx 2π t? 2sin t 1 ?( )? ? 1 ? cos t x?(t )π 处的曲率为 K ? 2π t? 2cos t (1 ? cos t ) ? sin 2 t 1 ? 2 (1 ? cos t ) a(1 ? cos t )1 a (1 ? 1)3 2π t? 2??∴ 在t?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2??2 4a。★★★4.曲线弧y ? sin x(0 ? x ? π ) 上的哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。知识点 ：同 1。 思路 ：同 1。 解 ：∵ y? ? cos x ， y?? ? ? sin x ，∴得函数 y ? sin x 在 x 处的曲率半径为1 (1 ? ( y?)2 ) 2 (1 ? cos 2 x) 2 R( x) ? ? ? (0 ? x ? π ) ， K ( x) y?? sin x∵ R( x) 和 ln R( x) 的单调性一致，∴可通过求 ln R( x) 的最值得到 R( x) 的最值333 ln R( x) ? ln(1 ? cos 2 x) ? ln sin x, (0 ? x ? π ) 23 ?2cos x sin x cos x cos x(3sin 2 x ? 1 ? cos 2 x) (ln R( x))? ? ? ? ? ? ?0 2 1 ? cos 2 x sin x (1 ? cos 2 x)sin x得唯一的驻点 x 当0?π ； 2π π 时， (ln R( x))? ? 0 ；当 ? x ? π 时， (ln R( x))? ? 0 ； 2 2 π π ∴当 x ? 时， ln R( x) 也是 R( x) 在 (0,π ) 内取得极小值 R ( ) ? 1 ，也是 R( x) 在 (0,π ) 内的最小 2 2 π π 值，即曲线弧 y ? sin x(0 ? x ? π ) 在 x ? 处的曲率半径最小，且该点处的曲率半径为 R ( ) ? 1 。 2 2 ?x?注 ：此题也可通过求曲率 K ( x) 的最大值点和最大值得到结果。★5.求曲线y ? ln( x ? 1 ? x 2 ) 在 (0,0) 处的曲率。x ?0解 ：∵dy dxx ?0?1 1? x2x3 2x ?0? 1，d2y dx 2??x ?0? 0；(1 ? x 2 )∴ 曲线 y? ln( x ? 1 ? x 2 ) 在 (0,0) 处的曲率为 K ?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?0 (1 ? 1)3 2? 0。★★★★6.汽车连同载重共 5t ，在抛物线拱桥上行驶，速度为 21.6km/h ，桥的跨度为10m ，拱的矢高为0.25m ，求汽车越过桥顶时对桥的压力。知识点 ：曲率在物理中的应用。 思路 ：根据题意，利用数学知识，结合物理问题，建立数学模型。 解 ：取桥顶为原点，垂直向下为 y 轴正向，则抛物线方程为 y ? ax (a ? 0) ，从而桥端点坐标为2(5,0.25) 在抛物线上，∴ a ?0.25 ? 0.01 ， y ? 0.01x 2 ；∵ y?(0) ? 0, y??(0) ? 0.02 ， 2 5 (1 ? ( y?) 2 ) 2 ∴顶点处抛物线的曲率半径 R( 0 ) ? y??利用物理知识，得顶点处汽车的离心力 F3 x ?0? 50 ；?mv 2 5 ? 10 3 21.6 ? 10 3 2 ? ( ) ? 3600( N ) ， R 50 60 ? 60∴得汽车越过桥顶时对桥的压力为 G★★7.求曲线? mg ? F ? 5 ? 103 ? 9.8 ? 3600 ? 454009( N ) 。y ? ln x 在其与 x 轴的交点处的曲率圆方程。知识点 ：曲率圆的概念和计算公式。 思路 ：先根据曲率半径公式，计算曲率圆半径，然后再根据渐屈线的方程求曲率圆的圆心，得出曲率圆方程。解 ：∵ y ? ln x 与 x 轴的交点为 (1,0) ， y?x ?1?1 xx ?1? 1 ， y??x ?1??1 x2x ?1? ?1 ，K?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?1 2 2，∴曲率圆的半径为 R?1 ? 2 2 ；又由渐屈线方程的参数方程得 K? ?ξ ? ? ?η ? ?(1,0)y?(1 ? ( y?) 2 ) ? x? y?? 1 ? (y?)2 ? y? y??(1,0)(1,0)?3，即曲率圆的圆心为 (3, ? 2) ，(1,0)? ?2从而曲线y ? ln x 在其与 x 轴的交点处的曲率圆方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 。★★8.求曲线y 2 ? 2 px 的渐屈线方程。知识点 ：渐屈线的概念。 思路 ：根据渐屈线的参数方程公式求方程。 解 ： 由 y ? 2 px ，得 2 yy? ? 2 p ， y? ?2p ? py? p2 ， y?? ? ? ? y y2 y3；y?(1 ? ( y?) 2 ) y 2 ( p y)(1 ? ( p y ) 2 ) 3 y 2 ? 2 p 2 ∴ξ ? x? ? ? ? y?? 2p 2p ? p2 y3，η? y?1 ? ( y?)2 1 ? ( p y)2 y3 ? y? ? ? y?? ? p2 y3 p2，即所求渐屈线的参数方程为： ? 3y 2 ? 2 p2 ξ ? ? 2p ? ? 3 ?η ? ? y ? p2 ?总习题三（。 y 为参数）★★1.证明下列不等式：（1 ） 设 a （2）设 a? b ? 0,n ? 1，证明： nb n?1 (a ? b) ? a n ? b n ? na n?1 (a ? b) ；a ?b a a ?b ? ln ? 。 a b b? b ? 0 ，证明：知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：关键是寻找 y ? f ( x) ，用公式 f ?(ξ ) ?即可定f (b) ? f (a) 的范围，从而证明结论。 b?anf (b) ? f (a) ，当确定了 f ?(? ) 的范围， b?a证明 ：设 f ( x) ? x ，易见 f ( x) 在 [b, a] 连续，在 (b, a) 可导，且 f ?( x) ? nx值定理可知，至少存在一 ? ? (b, a) 使 又n ?1， 由拉格朗日中f (a) ? f (b) ? f ?(? )即an? b n ? nξ n?1(a ? b) ，b ? ? ? a, (a ? b) ? 0 ，故 nb n?1 (a ? b) ? a n ? b n ? na n?1 (a ? b) 。且 0 ? f ( x) ? 1 ， 对于任何 x ? (0, 都有 f ?( x) ? 1 ， 试证： 在 (0 , f ( x) 在 [0,1] 上可导， 1) ， 1)★★★2.设内，有且仅有一个数 ξ ，使f (ξ ) ? ξ 。知识点 ：零点定理，罗尔中值定理或者单调性的应用。 思路 ：从结论出发构造辅助函数，利用零点定理证明存在性，利用反证法和罗尔中值定理证明唯一性；或者是利用单调性证明唯一性。证明 ：1）存在性。设 F ( x) ? f ( x) ? x ，易见函数在 [0, 1] 上连续，且F (0) ? f (0) ? 0 ， F (1) ? f (1) ?1 ? 0 ，由零点定理可知，至少存在一点 ? ? (0,1) ，使 2）唯一性。 假设存在另一点 ? ? (0,1), ，使 且F (? ) ? 0 ，即 f (? ) ? ? 。f (? ) ? ? ，则 F ( x) 在 [? ,? ]([? , ? ]) 上连续，在相应开区间内可导，F (? ) ? F (? ) ? 0 ， 由罗 尔定 理可 知 ，至 少存 在某 ? ? (? ,? ) ? (0,1) ， 使 F ?(? ) ? 0， 从 而 f ?(? ) ? 1 ? 0 ， f ?(? ) ? 1 ，这与 f / ( x) ? 1矛盾，故有且仅有一个数 ξ ，使 f (ξ ) ? ξ 。★★★3.若 a? b 时，可微函数 f ( x) 有 f (a) ? f (b) ? 0, f ?(a) ? 0, f ?(b) ? 0 ，则方程 f ?( x) ? 0在 (a,b) 内（）（A ） 无实根； （B） 有且仅有一实根； （C） 有且仅有二实根； （D）至少有二实根。知识点 ：极限的保号性，零点定理，罗尔中值定理。 思路 ：根据保号性及零点定理，可得 f ( x) 在 (a,b) 内有零点，再两次利用中值定理便得结论。 解 ：由 f ?(a) ? 0, 得 lim?x ?af ( x) ? f ( a) ? 0, x?ab-a 2 ) ，当 a ? x ? a ? δ0 时，有根据保号性，知 ?δ0? 0 (δ 0 ?f ( x) ? f (a ) ? 0, x?a从而有f ( x) ? f (a) ? 0 ，取 x0 ? (a,a ? δ0 ) ，则有 f ( x0 ) ? 0 ； f ?(b) ? 0 可知， ?δ1 ? 0 (δ1 ?同理，由b-a 2) ，当 b ? δ1 ? x ? b 时，有 f ( x) ? f (b) ? 0 ，取 x1? (b ? δ1 ,b) ，则有 f ( x1 ) ? 0 ；由零点定理，至少有一点 ξ 易知，? ( x0 ,x1 ) ，使 f (ξ ) ? 0 ；f ( x) 在 [a,ξ ] 、 [ξ,b] 在上连续，在 (a,ξ ) 、 (ξ,b) 内可导，∴由罗尔中值定理，知至少有一点 ξ1 故选（D） 。★★★4.设? (a,ξ ) 、 ξ 2 ? (ξ,b) ，使得 f ?(ξ 1 ) ? 0 ， f ?(ξ 2 ) ? 0 ；f ( x) 于 [0,π ] 上连续，于 (0,π ) 内可导，求证：存在 ξ ? (0,π ) ，使得f ?(ξ ) ? ? f (ξ ) cot ξ知识点 ：罗尔定理 思路 ：设置辅助函数，使其满足罗尔定理。x) ? f( x) s n i x 解： 设 F(， 则 F ( x) 在 [0, ? ] 上连续， 在 (0, ? ) 内可导， 且 F (0)? f (0) sin 0 ? 0 ，F (π ) ? f (π ) sin π ? 0 ，即 F (0) ? F (? ) ；由罗尔定理，至少存在一 ?? (0, ? ) ， F ?(? ) ? 0 ，即 f ?(? )sin ? ? f (? ) cos ? ? 0 ， 又 sin ?? 0, ? ? (0, ? ) ，故 f / (ξ ) ? ? f (ξ ) cot ξ 。注 ：辅助函数可通过如下推导获得：∵ f ?( x) ? ? f ( x) cot x ?f ?( x) cos x ?? f ( x) sin x? [ln f ( x)]? ? ?[ln sin x]? ? [ln( f ( x)sin x)]? ? 0 ? [ f ( x)sin x]? ? 0∴设 F ( x) ?★★★5.设f ( x)sin xf ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 可导，且 f (0) ? 0,f (1) ? 1 ，试证：对任意给定的正数 a,b 在(0,1) 内存在不同的 ? ,? ，使知识点 ：拉格朗日中值定理。a b ? ? a?b。 f ?(ξ ) f ?(? )思路 ：证明在 (a,b) 至少存在不相等的 ? ,? ，满足某种关系式，一般不构造辅助函数，而是依据结论中各部分的特点分别利用微分中值定理。a ? 1 ；又由 f ( x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) ? 0,f (1) ? 1 ， a?b a 根据介值定理，至少存在一点 τ ? (0, ； 1) ，使 f ( τ ) ? a?b证明 ：显然， 0 ?易知f ( x) 在 [0,τ ] 、 [ τ, 1] 上满足拉格朗日中值定理，从而存在 ? ? (0,? ),? ? (? ,1) ，分别使将（1） （2）两式相加，消去? 即得a ? τf ?(ξ ) （1） ； a?b a f (1) ? f ( τ ) ? (1 ? τ ) f ?(? ) ? 1 ? ? (1 ? ? ) f ?(? ) （2） ， a?b f ( τ ) ? f (0) ? ( τ ? 0) f ?(ξ ) ?a b ? ? a?b。 f ?(ξ ) f ?(? )★★★6.设f ( x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，证明：在 (a,b) 内存在点 ? 和? ，使f ?(ξ ) ?知识点 ：同 5。 思路 ：同 5。a?b f ?(? ) 。 2?证明 ：易知， f ( x) 、 g ( x) ? x 在 [a,b] 上满足柯西中值定理，从而 ?? ? (a,b) ，使得2 f (b) ? f (a) f ?(? ) ? b2 ? a 2 2?又由朗格朗日中值定理知， ?ξ（1）? (a,b) ，使得f (b) ? f (a) ? f ?(ξ ) b?a由（1） （2）两式相比得（2）1 f ?(? ) 1 ? b?a 2? f ?(ξ ) a?b f ?(? ) 。 2?即f ?(ξ ) ?★★★7.证明多项式f ( x) ? x 3 ? 3x ? a 在 [0,1] 上不可能有两个零点。知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：反证法。 解 ：假设 f ( x) ? x ? 3x ? a 在 [0, 1] 上有两个零点 x1 , x2 ，3不妨设 x1? x2 ，易知 f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上连续，在 ( x1 , x2 ) 上可导，且 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ，f ?(? ) ? 0 ，即 3? 2 ? 3 ? 0 ，由罗尔定理，至少存在一 ? ? ( x1 , x2 ) ? (0,1) ，使得 但 3?2? 3 ? 0, ? ? (0,1) ，矛盾。故多项式 f ( x) ? x 3 ? 3x ? a 在 [0,1] 上不可能有两个零点。f ( x) 可导，试证 f ( x) 的两个零点之间一定有函数 f ( x) ? f ?( x) 的零点。★★★8.设知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：对于证明至少有一点 ξ ? (a,b) ，使得 f (ξ ) ? 0 ，一般从结论出发，构造辅助函数 F ( x) ，然后根据具体的条件使用零点定理，证明 F (? ) ? 0 ；或者使用罗尔中值定理，证明 F ?(? ) ? 0 。∵f ( x) ? f ?( x) ? 0 ? f ( x) ? ? f ?( x) ?f ?( x) ? ?1 f ( x)? [ln f ( x)]? ? ? x? ? [ln( f ( x)e x )]? ? 0 ? ( f ( x)e x )? ? 0 ，故可构造辅助函数 F ( x)? f ( x)e xx证明 ：设 f ( x) 的两个零点 x1 , x2 ，不妨设 x1 ? x2 ，再令 F ( x) ? f ( x)e ，易知， F ( x) 在 [ x1 ,x2 ] 上 连续，在 ( x1 ,x2 ) 内可导，又f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，从而 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 0 ，由罗尔中值定理知，至少有一点 ξ 又 F ?( x) ? ∵eξ? ( x1 ,x2 ) ，使得 F ?(ξ ) ? 0 ，f ?( x)e x ? f ( x)e x ? ( f ?( x) ? f ( x))e x ，从而有 ( f ?(ξ ) ? f (ξ ))e? ? 0 ，? 0 ，∴ f ?(ξ ) ? f (ξ ) ? 0 ，结论成立。★★★9.设 a1?a a2 ? ? ? (?1) n?1 n ? 0 ，证明方程 3 2n ? 1π a1 cos x ? a2 cos 3x ? ? ? an cos(2n ? 1) x ? 0 在 (0 , ) 内至少有一个实根。 2知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：构造辅助函数，证明辅助函数有驻点。 证明 ：设 f ( x) ? a1sinx ? a 2在 (0,?2sin3x ? 3) 上可导，且 f (0) ? 0 ，sin(2n ? 1)x ? ，易知 f ( x) 在 [0, ] 上连续， 2n ? 1 2 a2 a ? f ( ) ? a1 ? ? ? (?1) n ?1 n ? 0 ， 2 3 2n ? 1 ? an由罗尔中值定理知，至少存在 ? 又? (0, ) ，使得 f ?(? ) ? 0 ， 2?f ?( x) ? a1 cos x ? a2 cos3x ?? an cos(2n ?1) x ，故π a1 cos x ? a2 cos 3x ? ? ? an cos(2n ? 1) x ? 0 在 (0 , ) 内至少有一个实根。 2f ??( x) ? 0 ，且 f (1) ? 2, f ?(1) ? ?3 ，证明在 (1, ? ?) 内方程★★★10.设在 [1, ? ?) 上处处有f ( x) ? 0 仅有一实根。知识点 ：零点定理及其函数的单调性。 思路 ：利用零点定理，或者证明 f ( x) ? 0 有实根；再利用函数单调性证明根唯一。 证明 ：由泰勒公式得：f ( x) ? f (1) ? f ?(1)( x ? 1) ?∵在 [1, ? ?) 上处处有 取 x0f ??(ξ ) f ??(ξ ) ( x ? 1) 2 ? ?3x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ； 2! 2! f ??(ξ ) ( x ? 1)2 ? 0 ，从而 f ( x) ? ?3x ? 5 ； f ??( x) ? 0 ，∴ 2!? 2 ，则有 f (2) ? ?3 ? 2 ? 5 ? ?1 ? 0 ，又 f (1) ? 2 ? 0 ，f (? ) ? 0 ，根的存在性成立；下证唯一性：∴由零点定理知， ?? ? (1,2) ，使得 ∵在 [1, ? ?) 上处处有 从而在 [1, ? ?) 上，有 ∴f ??( x) ? 0 ，∴ f ?( x) 在 [1, ? ?) 上单调递减，f ?( x) ? f ?(1) ? ?3 ，f ( x) 在 [1, ? ?) 上严格单调递减，从而 f ( x) ? 0 仅有一实根。 f ( x) 在 [1,2] 上具有二阶导数 f ??( x) ，且 f (2) ? f (1) ? 0 .若 F ( x) ? ( x ? 1) f ( x) ，证? (1,2) ，使得 F ??(ξ ) ? 0 。★★★11.设明：至少存在一点 ξ知识点 ：罗尔中值定理。 思路 ：证明至少存在一点 ξ ? (a,b) ，使得 f( n)(ξ ) ? 0 的命题，可考虑连续 n 次使用罗尔中值定理。证明 ：由题意可知 F ( x) 在 [1,2] 上连续，在 (1,2) 上可导，且 F (1) ? F (2) ? 0 ，由罗尔定理，至少存在 ? ? (1,2) ，使得F ?(? ) ? 0 ；又 F ?( x) ? f ( x) ? ( x ?1) f ?( x) ， f (1) ? 0 ? 0 ，由题意 F ?( x) 在 [1,? ] 上连续，在 (1,? ) 上可导， 且 F ?(1) ? 即F ?(1) ? F ?(? ) ? 0 ，由罗尔定理，至少存在 ξ ? (1,? ) ? (1,2) ，使得 F ??(ξ ) ? 0 。★ ★★ 12. 设 函 数f ( x) 在 [a,b] 上 可 导 ， 且 f ??( a)? f?? ( b)? 0， 则 在 (a,b) 内 存 在 一 点 ξ，使得f ?(ξ ) ? 0。知识点 ：费马引理。 思路 ：可导的极值点必为驻点，所以证明在 (a,b) 内存在极值点即可。 证明 ：∵ f ??(a) ? f ??(b) ? 0 ，∴不妨设 f ??(a) ? 0 ， f ??(b) ? 0 ；f ( x) ? f (a ) ? 0 ，由极限的保号性知， x ?a x?a f ( x) ? f ( a ) ? 0 ，即有： f ( x) ? f (a) ?δ1 ? 0 ，当 a ? x ? a ? δ1 时，有 x?a f ( x) ? f (b) ?(b) ? 0 知， ?δ2 ? 0 ，当 b ? δ2 ? x ? b 时，有 ? 0， 同理由 f ? x?b∵f ??(a) ? lim ?（1）即有 易知，f ( x) ? f (b)（2）f ( x) 在 [a,b] 上连续，从而 f ( x) 在 [a,b] 上必有最值，且由（1） （2）知， f ( x) 的最小值点 f ?(ξ ) ? 0 ，结论成立。必在 (a,b) 内取得，设为 ξ ，则由费马引理知， ★★★13.用洛必达法则求下列极限：（ 1 ） limln(1 ? x 2 ) x ?0 sec x ? cos xsin x 1?cos x ) x1；（2 ）lim (1 ? x) tanx ?1πx 21； （3）? 1 ? 1 ； lim ? ? x ??1 x ? 1 ln( x ? 2) ? ? ?lim (x ?0（4） lim (x ?0；（5） lim (sin x ? ex ?0x)x；（6）sin x x 2 ) x1。知识点 ：洛必达法则。 思路 ：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：0 0型与? 型未定 ?式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于 ? ? ? 型与 0 ? ? 型的未定式，可通过通分或者取倒数的 形式化为基本形式；对于 0 型、 1 型与 ? 型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可0?0以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。解： （1） limln(1 ? x 2 ) cos x ? ln(1 ? x 2 ) x2 2x ? lim ? lim ? lim ? 1。 2 2 x ?0 sec x ? cos x x ?0 x ?0 1 ? cos x x ?0 2 cos x sin x 1 ? cos x(1 ? x) sin πx ?1 2 2 ? lim 1 ? x ? lim ? 。 x ?1 πx πx x?1 π πx π cos cos ? sin 2 2 2 2πx ? lim （2） lim (1 ? x) tan x ?1 2 x?1（3） lim ?? 1 ? 1 ln( x ? 2) ? x ? 1 ln( x ? 2) ? x ? 1 ? ? lim ? lim ? x ??1 x ? 1 ln( x ? 2) ? x??1 ( x ? 1) ln( x ? 1 ? 1) x??1 ( x ? 1) 2 ?1 ?1 ? (1 ? x) 1 ? lim x ? 2 ? lim ?? 。 x ? ?1 2( x ? 1) x ??1 2( x ? 1)( x ? 2) 2（4） lim (x ?0sin x ) x1 1?cos x? lim ex ?01 sin x ln 1? cos x x? lim ex ?0ln sin x ?ln x 1 2 x 2? lim ex ?0cos x 1 ? sin x x xx cos x ?sin xx cos x ?sin x? x sin x? lim ex ?0x 2 sin x? lim ex ?0x3? lim ex ?01 x3x2?e?1 3（5）方法一 ： lim (sin x ? ex ?0x) ? lim ex ?01 ln(sin x ? e x ) xcos x ? e x? lim e sin x ?e ? e 2xx ?0方法二 ： lim (sin x ? e ) ? lim ?[1 ? (sin x ? e ? 1)] sin x ? ex x x ?01 x? ? x ?0 ? ?11x?1? ? ? ? ?sin x ? e x ?1 x又 lim[1 ? (sin x ? ex ?0x? 1)]sin x ? e x ?1? e ， limx ?0sin x ? e x ?1 x? limx ?0sin x x? limx ?0e x ?1 x? 2， 故lim (sin x ? e ) ? e 2 。x x ?01 xsin x x 2 ) ? lim e （6） lim ( x ?0 x ?0 xx cos x ?sin x1ln sin x ? ln x x2? lim ex ?0? 1 6cos x 1 ? sin x x 2xx cos x ?sin x? lim ex ?02 x 2 sin x? x sin x? lim ex ?02 x3? lim ex ?06 x2?e。★★14.设 limx ??f ?( x) ? k ，求 lim[ f ( x ? a) ? f ( x)] 。x ??知识点 ：拉格朗日中值定理。 思路 ：结论中含有函数改变量，可联想到利用中值定理求得结论。 解 ： 由朗格朗日中值定理得， f ( x ? a) ? f ( x) ? f ?(ξ ) ? a （ ξ 介于 x 与 x ? a 之间） ，从而有lim[ f ( x ? a) ? f ( x)] ? lim f ?(ξ ) ? a ? lim f ?(ξ ) ? a ? k ? a 。x ?? x ?? ξ ??★★★15.当a 与 b 为何值时， lim (x ?0sin 3x a ? 2 ? b) ? 0 。 x3 x知识点 ：极限和洛必达法则。 思路 ：根据题意和已有的结论得关于 a 与 b 等式，求得 a 与 b 的值。 解 ：由题意知 lim上式成立，必须sin 3x ? ax 3 cos 3x ? a ? ?b ，在该式左边应用洛必达法则可得 lim ? ?b ， 3 x ?0 x ?0 x 3x 2lim (3 cos 3x ? a) ? 0 ，故 a ? ?3 ，代入上式后，左边再应用洛必达法则，得x ?0limx ?0? 9 sin 3x ? 9 ? 3x 9 9 ? ? ? ? ?b ，从而有 a ? ?3 ， b ? 。 6x 6x 2 2f ( x) ? ln(1 ? x),x ? (?1,1) ，由拉格朗日中值定理得： ?x ? 0,?θ ? (0,1), 使得★★★16.设ln(1 ? x) ? ln(1 ? 0) ?知识点 ：拉格朗日中值定理。1 1 x ，证明： lim ? ? x ?0 1?? x 2。思路 ：根据已知条件，求出 ? 的表达式，再利用求极限的方法求出极限。 证明 ：由题意知， θ ?x ? ln(1 ? x) x ? ln(1 ? x) x ? ln(1 ? x) ? lim ，∴ lim θ ? lim x ?0 x ?0 x ln(1 ? x) x ?0 x ln(1 ? x) x2 ? limx ?01?1 x 1 1 ? x ? lim ? 。 x ? 0 2x 2 x(1 ? x) 2f ( x) 在 x0 ? 0 的某个邻域内有二阶导数，且 lim (1 ? x ?x ?0★★★17.设f ( x) x ) ? e 3 ，求 x1f (0), f ?(0), f ??(0) 。知识点 ：导数的定义。 思路 ：求抽象函数在具体某一点处的导数值，根据题意和导数定义，分别求出各阶导数值。 解 ： 由 lim (1 ? x ?x ?0f ( x) f ( x) x ? 0 ，从而 lim f ( x) ? 0 ； ) ? e 3 ，可得 lim x ?0 x ?0 x xx ?01∵f ( x) 在 x0 ? 0 的某个邻域内有二阶导数，∴有 f (0) ? lim f ( x) ? 0 ，从而有f ?(0) ? limx ?0f ( x) ? f (0) f ( x) ? 0； ? lim x ? 0 x?0 x1 x x2 ? f ( x) x2f ( x) x x 2 ? f ( x) x 2 ? f ( x ) ) ? lim[(1 ? ) ] 再由 lim (1 ? x ? x ?0 x ?0 x x? e 3 ，知limx ?0x 2 ? f ( x) 2 x ? f ?( x) f ?( x) ? lim ? 3 ，∴ lim ? 4 ，从而有 2 x ?0 x ?0 x 2x xx ?0f ??(0) ? lim★★18.求f ?( x) ? f ?(0) f ?( x) ? lim ? 4。 x ? 0 x?0 xf ( x) ? e x cos x 的三阶麦克劳林公式。知识点 ：麦克劳林公式。 思路 ：利用公式直接展开。0 解 ： f (0) ? e cos 0 ? 1 ， f ?(0) ? e (cos x ? sin x)x x ?0? 1 ， f ??(0) ? ?2e x sin xx ?0? 0，f ???(0) ? ?2e x (sin x ? cos x)从而得x ?0? ?2 ， f ( 4) ( x) ? ?4e x cos x ，f ( x) ? e x cos x 的三阶麦克劳林公式为f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?f ??(0) 2 f ???(0) 3 f ( 4 ) (θx) 4 x ? x ? x 2! 3! 4! 1 3 e θx cos θx 4 ? 1? x ? x ? x (0 ? θ ? 1) 。 3 6★★19.证明：1? x ? 1?1 1 x3 x ? x2 ? (0 ? θ ? 1) 。 5 2 8 2 16(1 ? θx)证明 ：设 f ( x) ? 1 ? x ，则 f (0) ? 1 ， f ?(0) ?1 2 1? xx ?0?1 ， 23 ? 1 ?? f (0) ? ? (1 ? x) 2 4x ?05 ? 1 3 ??? ? ? ， f ( x) ? (1 ? x) 2 ，从而有 4 81 ? x ? f (0) ? f ?(0) x ?? 1?f ??(0) 2 f ???(θx) 3 x ? x 2! 3!1 1 x3 x ? x2 ? (0 ? θ ? 1) 。 5 2 8 2 16(1 ? θx)★★★20.设 0?x?x2 x2 π ? 1 ? cos x ? ，证明： π 2 2。知识点 ：麦克劳林公式的应用。 思路 ：泰勒公式（麦克劳林公式）可以应用于证明不等式；将函数展开到适当的形式，然后利用已知条件和结论得到结果。证明 ：由麦克劳林公式，得 cos x ? 1 ?x 2 cos θx 4 ? x (0 ? θ ? 1) ，从而有 2! 4!x 2 cos θx 4 1 cos θx 2 π 1 cos θx 2 1 ? cos x ? ? x ? x2 ( ? x ) ；∵ 0 ? x ? ，∴ ? x 2! 24 2 24 2 2 24 ? 1 1 π 2 48 π 2 48 10 32 1 1 cos θx 4 ? ( ) ? ? ? ? ? ? ? ，又 x ? 0 ，∴有 2 24 2 96 96 96 96 96 3 π 4!，结论成立。x2 x2 ? 1 ? cos x ? π 2★★★21.证明不等式：2 sin x π ? ? 1(0 ? x ? ) 。 π x 2知识点 ：导数的应用。 思路 ：拉格朗日中值定理，函数单调性，泰勒公式等都是常用的证明不等式的方法；根据此题特点，可以用拉格朗日中值定理或函数单调性的判定定理。 证明 ：方法一 ：? sin x ? 令 F ( x) ? ? x ? ?10? x? x?0π 2，则易知 F ( x) 在 [0 ,π ] 上连续； 2∵当 0π cos x( x ? tan x) 时，有 F ?( x) ? ? 0 ，∴由拉格朗日中值定理，易知 2 x2 π π π π 2 F ( x) ? F ( ) ? F ?(ξ )( x ? ) ? 0(0 ? x ? ξ ? ) ，即有： F ( x) ? F ( ) ? ①； 2 2 2 2 π ?x?F ?(? )( x ? 0) ? 0(0 ? ? ? x) 即： F ( x) ? F (0) ? 1②；又有 F ( x) ? F (0) ? 从而由①②知，当 0?x?π π 2 sin x ? 1 ，结论成立。 时，有 F ( ) ? F ( x) ? F (0) ，即 ? 2 2 π x? sin x ? 方法二 ：令 F ( x) ? ? x ? ?1∵当 00? x? x?0π 2，则易知 F ( x) 在 [0 ,π ] 上连续 2π cos x( x ? tan x) ?0 时，有 F ?( x) ? 2 x2 2 ? ? F ( ) ? F ( x) ? F (0) ? 1 ，得证 ∴ F ( x) 严格单调降，∴ ? 2 ?x?★★★22.利用函数的泰勒展开式求下列极限：（1 ）1 ? ? lim ? x ? x 2 ln(1 ? )? ； x ?? x ? ?（2） limx ?0cos x ? e 。 x ?x ? ln(1 ? x)?2?x2 2知识点 ： 泰勒公式的应用。 思路 ：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。 解： （1）由泰勒公式得 ln(1 ?1 1 1 1 1 ) ? ? ? 2 ? o( 2 ) x x 2 x x∴有1 ? 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 lim ? x ? x 2 ln(1 ? )? ? lim ? x ? x 2 ( ? ? 2 ? o( 2 ))? ? lim ? ? x 2 o( 2 ))? ? 。 x ?? x ? x?? ? x 2 x x ? x?? ? 2 x ? 2 ?（2）由泰勒公式得ln(1 ? x) ? ? x ?x2 x2 x4 ? o( x 2 ) ， cos x ? 1 ? ? ? o( x 5 ) ， 2 2! 4!ex2 ? 2x2 2 ) x x2 x4 4 2 ? 1? ? ? o( x ) ? 1 ? ? ? o( x 4 ) ，∴ 2 2! 2 82(cos x ? e ? x ?x ? ln(1 ? x)?2?x2 21?x2 x4 x2 x4 1 ? ? o(x 5 ) ? (1 ? ? ? o( x 4 )) ? x 4 ? o( x 4 ) 2! 4! 2 8 ? 12 1 x2 ? x 4 ? o( x 4 ) [? ? o( x 2 )]x 2 2 2 cos x ? e 从而 lim 2 ? x ?0 x ?x ? ln(1 ? x )?★★★23.求一个二次多项式?x2 2?1 4 x ? o( x 4 ) 1 12 ? 。 1 6 ? x 4 ? o( x 4 ) 2p 2 ( x) ，使 2 x ? p2 ( x) ? o( x 2 ), 式中 o( x 2 ) 代表 x ? 0 时比 x 2 高阶的无穷小。知识点 ：泰勒公式的应用。 思路 ：将函数 2 x 的麦克劳林公式展开，再根据已知条件即得结果。 解 ：由麦克劳林公式得：2 ? ex x ln 2? 1 ? x ln 2 ?ln 2 2 2 x ? o( x 2 ) ，再由 2 x ? p2 ( x) ? o( x 2 ), 2可知p 2 ( x) ? 1 ? x ln 2 ?ln 2 2 2 x 。 2★★★24.求下列函数的单调区间：（1）y? 3 (2 x ? a)(a ? x) 2 (a ? 0) ；（2）y ? x n e ? x (n ? 0,x ? 0) ；（3）y? x ? sin 2 x 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨 论，使得思路更清晰一些。解： （1） y ? 3 (2 x ? a)(a ? x) (a ? 0) 的定义域为 (??, ? ?) ；2令2 2 1 1 ? ? 2 2 2a ? 3 x y? ? (2 x ? a) 3 (a ? x) 3 ? (2 x ? a) 3 (a ? x) 3 ? ? 0 ，得驻点为 3 3 3 (2 x ? a) 2 (a ? x)x1 ?2 a a ；不可导点为 x 2 ? ， x3 ? a 。列表讨论如下： 3 2 x a a 2a 2 (??, ) ( , ) ( a,a) 2 2 3 3 － ? ? f ?( x)f ( x)J JK(a, ? ?)?J由上表可知， y 严格单减。 （2 ） y? 3 (2 x ? a)(a ? x) 2 (a ? 0) 在 (??,2a 2 ] 、[a, ? ?) 内严格单增，而在 [ a,a] 内 3 3? x n e ? x (n ? 0,x ? 0) ，令 y? ? nxn?1e? x ? xne? x ? x n?1e? x (n ? x) ? 0 ， 得 x1 ∴? 0 ， x2 ? n ；当 0 ? x ? n 时， y? ? 0 ，当 x ? n 时， y? ? 0 ；y ? x n e ? x (n ? 0,x ? 0) 的单增区间为 [0,n] ，单减区间为 (n, ? ?) 。? ? x ? sin 2 x, n? ? x ? n? ? ? ? 2 （3）由 y ? x ? sin 2 x 知， y ? x ? sin 2 x ? ? ? x ? sin 2 x, n? ? ? ? x ? n? ? ? ? ? 2? ? 1 ? 2 cos 2 x n ? ? x ? ? ? 2 ∴ y? ? ? ； ? ?1 ? 2 cos 2 x n? ? ? x ? n? ? ? ? ? 2①当 nπ，? x ? nπ ??x?π π ? nπ ， 时，令 y? ? 0 ，得 x ? 2 3并且当 nππ π π ? nπ 时， y? ? 0 ，函数单调递增，当 ? nπ ? x ? ? nπ 时， y? ? 0 ，函数 3 3 2单调递减；π 5π ? x ? nπ ? π 时，令 y? ? 0 ，得 x ? ? nπ ； 2 6 π 5π 5π ?x? ? nπ 时， y? ? 0 ， ? nπ ? x ? π ? nπ 时，y? ? 0 ， 并且当 nπ ? 函数单调递增， 当 2 6 6②当 nπ ? 函数单调递减； 综上可知，函数的增区间为 [★★★25.证明下列不等式：nπ nπ π nπ π nπ π , ? ] ，函数的减区间为 [ ? , ? ] 。 2 2 3 2 3 2 2；（1）当 x （2）当 x? 0 时， 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 21 ? 0 时， x ? x 3 ? sin x ? x 。 3知识点 ：函数单调性的应用。 思路 ：利用函数单调性是证明不等式常用的方法。 证明 ： （1）令 f ( x) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x ) ? 1 ? x ，则 f ( x) 在 [0, ? ?) 内连续，可导，2 2f ?( x) ? ln( x ? 1 ? x 2 ) ?x 1? x2?x 1? x2? ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 0 ，f ( x) ? f (0) ? 0 ，∴f ( x) ? 1 ? x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2x ln( x ? 1 ? x 2 ) ? 1 ? x 2在 [0, ? ?) 上严格单增；从而即1 ?，结论成立。 （2）令f ( x) ? x ? sin x ，则 f ( x) 在 [0, ? ?) 内连续，可导，f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ，且 f ?( x) ? 0 仅在可数的孤立点处成立，∴f ( x) ? x ? sin x 在 [0, ? ?) 上严格单增，从而 f ( x) ? f (0) ? 0 ，即 x ? sin x( x ? 0) ；令 g ( x)1 ? sin x ? x ? x 3 ，则 g ( x) 在 [0, ? ?) 内连续，可导， 32且 g ?( x) ? cos x ? 1 ? x? x 2 ? 2 sin 2x x2 x2 ? x2 ? ? ? 0( x ? 0) ， 2 2 21 ? g (0) ? 0 ，即 sin x ? x ? x 3 ( x ? 0) ； 3从而 g ( x) 在 [0, ? ?) 上严格单增，从而 g ( x) 综上可知 x ?1 3 x ? sin x ? x ，结论成立。 3 b 2(b ? a) ? ★★★26.设 b ? a ? 0, 证明： ln 。 a a?b知识点 ：导数的应用。 思路 ：可以将 b 看作变量 x ，利用函数单调性证得结论。 证明 ：设 f ( x) ? (ln x ? ln a)(a ? x) ? 2( x ? a) ， ( x ? a) ，则1 a f ?( x) ? (a ? x) ? (ln x ? ln a) ? 2 ? (ln x ? ln a) ? ? 1 ， x x 1 1 a x?a f ??( x) ? (a ? x) ? (ln x ? ln a) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 0, ( x ? a) ， x x x x∴f ?( x) 在 [a, ? ?) 内严格单调递增，∴ f ?( x) ? f ?(a) ? 0 ，f ( x) ? (ln x ? ln a)(a ? x) ? 2( x ? a) 在 [a, ? ?) 内严格单调递增，从而有 ∴当 b? a 时，有 f (b) ? (ln b ? ln a)(a ? b) ? 2(b ? a) ? f (a) ? 0 ，b 2(b ? a) ? ，结论成立。 a a?b即有 ln★★27.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：（1 ）y ? x 4 (12 ln x ? 7) ；（2） y? xe ? x； （3）y ? 1? 3 x ? 2 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可 列表讨论，使得思路更清晰一些。 4 解： （1） y ? x (12 ln x ? 7) 的定义域为 (0, ? ?) ，y? ? 4 x3 (12ln x ? 7) ? x 4 ?12 ?1 ? 4 x3 (12ln x ? 4) ， x 1 y?? ? 12 x 2 (12ln x ? 4) ? 4 x3 ?12 ? ? 144 x 2 ln x ，令 y?? ? 0 ，得 x ? 1 ； x当0 ? ∴x ? 1 时， y?? ? 0 ，当 x ? 1时， y?? ? 0 ，y ? x 4 (12 ln x ? 7) 的凸区间为 (0,1] ，凹区间为 [1, ? ?) ，拐点为 (1, ? 7) 。 ? xe ? x 的定义域为 (??, ? ?) ， y? ? e? x (1 ? x) ， y?? ? e? x ( x ? 2) ，令 y?? ? 0 ，（2 ） y 得x ∴? 2 ；当 x ? 2 时， y?? ? 0 ，当 x ? 2 时， y?? ? 0 ，y ? xe ? x 的凸区间为 (??,2] ，凹区间为 [2, ? ?) ，拐点为 (2,2e ?2 ) 。2 ? 1 y ? 1 ? 3 x ? 2 的定义域为 (??, ? ?) ， y? ? ( x ? 2) 3 ， 3（3 ）5 ? 1 2 2 y?? ? ? (? )( x ? 2) 3 ? ? 3 3 9 3 ( x ? 2)5，x? 2 为 y?? 不存在的点；当x? 2 时， y?? ? 0 ，当 x ? 2 时， y?? ? 0 ，∴y ? 1 ? 3 x ? 2 的凹区间为 (??,2] ，凸区间为 [2, ? ?) ，拐点为 (2,1) 。x? y ( x ? 0,y ? 0,x ? y) ； 2 x x ? (0 ? x ? π ) 。 2 π★★★28.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：（1 ）x ln x ? y ln y ? ( x ? y) ln（2） sin知识点 ：函数凹凸性的概念。1 ? 0 ，∴ y ? t ln t 在 (0, ? ?) 内是凹的。 t x ln x ? y ln y x ? y x ? y ? ln 利用凹函数的定义，?x,y ? (0, ? ?) ( x ? 0,y ? 0,x ? y) ，有 ， 2 2 2 x? y 从而有 x ln x ? y ln y ? ( x ? y ) ln ，结论成立。 2 x x 1 x 1 1 x （2）令 f ( x) ? sin ? ， y? ? cos ? ，由 y?? ? ? sin ? 0, (0 ? x ? π ) ， 2 π 2 2 π 4 2 x x 0 0 π π ? 0 ， f (π ) ? sin ? ? 0 ， 可知 f ( x) ? sin ? 在 (0,π ) 内是凸的；又 f (0) ? sin ? 2 π 2 π 2 π x x x x ? 0(0 ? x ? π ) ，即 sin ? ，结论成立。 ∴由凸函数的定义知， f ( x) ? sin ? 2 π 2 π证明 ： （1）令 y ? t ln t , (t ? 0) ， y? ? 1 ? ln t ， y?? ?（也可用单调性证明） ★★★29.设f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx 在 x ? 1处有极值 ? 2 ，试确定系数 a,b ，并求出 y ? f ( x) 的所有极值点及拐点。知识点 ：导数的应用。 思路 ：根据题意，得关于 a,b 的关系式，确定 a,b 的值；利用一阶导数符号判断函数的单调性和极值（可导的驻点还有第二充分条件） ；利用二阶导数的符号求函数的凹凸和拐点。解 ： f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b ，根据题意有 ?2? ?1 ? a ? b ? ?2 ? f ( x) x ?1 ? ?2 ，即有 ? ，解得 3 ? 2 a ? b ? 0 ? f ( x ) ? 0 ? ? x ?1 ?a ? 0,b ? ?3 ，从而 f ( x) ? x3 ? 3x ；令f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ，得 x1,2 ? ?1 ；当x? ?1 或者 x ? 1时， f ?( x) ? 0 ，当 ? 1 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ， ? ?1为极大值点， x ? 1为极小值点；令 f ??( x) ? 6 x ? 0 ，得 x3 ? 0 ；从而知， x 当x? 0 时， f ??( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， f ??( x) ? 0 ，从而知 (0,0) 为拐点。★★★30.求下列函数的极值：（1）y?1 ? 3x 4 ? 5x2； （2）y ? 2e x ? e ? x； （ 3）y ? x ? tan x 。知识点 ：极值的充分条件。 思路 ：求 y? ? 0 的点或者 y ? 不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行 判断。解： （1） y ?1 ? 3x 4 ? 5x 2的定义域为 (??, ? ?) ，3 4 ? 5 x 2 ? (1 ? 3x) ?令5x 4 ? 5x2 ? 12 ? 5 x (4 ? 5 x 2 ) 4 ? 5 x 2 ? 0 ，得 x ?12 ； 5y? ??4 ? 5x2当x12 12 时， y? ? 0 ，当 x ? 时， y? ? 0 ， 5 51 ? 3x 4 ? 5x 2在x∴y??12 12 205 处取得极大值为 f ( ) ? 5 5 10。（2）y ? 2e x ? e ? x 的定义域为 (??, ? ?) ， x ?x 令 y? ? 2e ? e ?2e2 x ? 1 1 ? 0 ，得 x ? ? ln 2 ， x e 2又y?? ? 2e x ? e? x ? 0 ，∴ y??1 x ?? ln 2 2?0，1 1 y ? 2e x ? e ? x 在 x ? ? ln 2 处取得极小值为 f (? ln 2) ? 2 2 。 2 2 π π 2 （3） y ? x ? tan x 的定义域为 (kπ ? ,kπ ? )(k ? Z ) ， y? ? 1 ? sec x ? 0 ， 2 2 ∴ y ? x ? tan x 没有极值点。从而★★★31.研究函数f ( x) ? x e? x ?1的极值。思路 ：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求极值。解 ： f ( x) ? x e? x ?1?? xe x ?1 ? ? ? xe x ?1 ? xe ? x ?1 ?x?0 0 ? x ? 1 ，定义域为 (??, ? ?) ， x ?1??( x ? 1)e x ?1 ? f ?( x) ? ?( x ? 1)e x ?1 ?(1 ? x)e ? x ?1 ?在xx?0 0 ? x ? 1 ，令 f ?( x) ? 0 ，得驻点 x ? ?1 ； x ?1? 0 处，有 f ??(0) ? lim ?x ?0f ( x) ? f (0) ? xe x ?1 ? 0 ? lim ? ?e?1 ， ? x ? 0 x?0 x?0f ??(0) ? lim ?x ?0f ( x) ? f (0) xe x ?1 ? 0 ? lim ? e?1 ， x ?0? x?0 x?0∵f ??(0) ? f ??(0) ，∴ f ( x) 在 x ? 0 处不可导，同理， f ( x) 在 x ? 1 也处不可导；易知，当 x ∴? ?1 时， f ?( x) ? 0 ，当 ? 1 ? x ? 0 时， f ?( x) ? 0 ，f ( x) 在 x ? ?1处取得极大值为 f (?1) ? e ?2 ；当 ?1 ?x ? 0 时， f ?( x ) ? 0 ，当 0 ? x ? 1 时， f ?( x ) ? 0 ，∴ f ( x) 在 x ? 0 处取得极小值为f (0) ? 0 ；当0 ?x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ，当 x ? 1时， f ?( x) ? 0 ，∴ f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值为 f (1) ? 1 。★★★32.求下列函数的最大值、最小值：（1）y?x2 1 ,x ? [? ,1] ； 1? x 21（2）y ? x x ,x ? (0, ? ?) 。 知识点 ：导数的应用。 解： （1） y ?x2 1 2 x ? x2 ,x ? [? ,1] ，令 y? ? ? 0 ，得 x ? 0 ； 1? x 2 (1 ? x) 2∵1 1 1 f (? ) ? ， f (0) ? 0 ， f (1) ? ， 2 2 2∴y?x2 1 1 1 在区间 [ ? , 1] 上的最大值为 f (? ) ? f (1) ? ，最小值为 f (0) ? 0 。 1? x 2 2 21 1 ? ln x ? y ? x , x ? (0, ? ?) ，令 y ? x x ( 2 ) ? 0 ，得唯一驻点 x ? e ； x（2）1 x当0 ?x ? e 时，有 y? ? 0 ，当 x ? e 时，有 y? ? 0 ，1∴x ? e 为 y ? x x 在区间 [1, ? ?) 内唯一的极大值点，y?x1 x从而在区间 [1, ? ?) 内的最大值为f ( e) ? e1 e，没有最小值。★★★33.设 a? 0 ，求 f ( x) ?1 1 ? 1? x 1? x ? a的最大值。知识点 ：导数的应用。 思路 ：先去掉函数的绝对值，将函数写成分段函数的形式，然后再求最值。解：1 ? 1 ? x?0 ?1 ? x 1 ? a ? x , ? 1 ? 1 f ( x) ? ? ? , 0? x?a， 1 ? x 1 ? a ? x ? 1 ? 1 x?a ?1 ? x ? 1 ? x ? a , ?? 1 1 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? a ? x) 2 ? ? 1 1 f ?( x) ? ?? ? 2 2 ? (1 ? x) (1 ? a ? x) ? 1 1 ? ?? 2 2 ? (1 ? x) (1 ? x ? a)当xx?0 0? x ? a； x?a? 0 时， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x) 单调递增；当 x ? a 时， f ?( x) ? 0 ，函数 f ( x) 单调递减，1 1 ? 1? x 1? x ? a在定义域 (??, ? ?) 上的最大值即为在 [0,a] 上的最大值；∴f ( x) ? 令f ?( x) ? 0 ，得 x ?a a 4 2?a ，又 f ( ) ? ， f (0) ? f (a) ? ， 2 2 2?a 1? a且4 2?a a2 ? ?? ? 0， 2 ? a 1? a (2 ? a)(1 ? a) f ( x) ? 1 1 ? 1? x 1? x ? a在定义域 (??, ? ?) 上的最大值为∴函数f (0) ? f (a) ?2?a 。 1? a★★★34. 求数列? (1 ? n) 3 ? 的最小项的项数及该项的数值。 ? 2 ? ? (1 ? n) ?知识点 ：导数的应用。 思路 ： 求数列 f (n) 的最大项最小项问题可转化为求函数 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最值问题； 若 x ? x0为 则 f (n) ? f ([ x0 ]) 与 f (n) ? f ([ x0 ] ? 1) 其中之一为数列中的 f ( x) 在区间 [1, ? ?) 内的最值点，最值项。解 ：设 f ( x) ?(1 ? x)3 , ( x ? 2) ，则在区间 [2, ? ?) 内， (1 ? x)2令f ?( x) ?3(1 ? x)2 (1 ? x) 2 ? 2(1 ? x)(1 ? x)3 (1 ? x) 2 (5 ? x) ? ? 0 ，得唯一驻点 x ? 5 ； (1 ? x)4 (1 ? x)3当2?x ? 5 时， f ?( x) ? 0 ，当 x ? 5 时， f ?( x) ? 0 ，(1 ? x) 3 f ( x) ? (1 ? x) 2在区间 [2, ? ?) 内唯一的极小值点，也是最小值点；∴x? 5为∴当 n? ( 1 ? n)3 ? 27 ? 5 时， ? 取得最小项，且该项的数值为 。 2 ? 2 ?( 1 ? n) ?1 2p ?1★★★35. 证明：? x p ? (1 ? x) p ? 1(0 ? x ? 1, p ? 1) 。知识点 ：导数的应用。 思路 ：求函数在闭区间上的最大值和最小值。1] ，则 f ?( x) ? px 证明 ：设 f ( x) ? x ? (1 ? x) ,x ? [0,p pp ?1? p(1 ? x) p ?1 ，令f ?( x) ? 0 ，得 x ?1 ； 2当0?x?1 1 时， f ?( x) ? 0 ，当 ? x ? 1 时， f ?( x) ? 0 ， 2 2 1 处取得极小值， 2 1 1 1 1 又 f (0) ? f (1) ? 1 ， f ( ) ? p ? p ? p ?1 ， 2 2 2 2 1 p p ∴ f ( x) ? x ? (1 ? x) 在 [0, 1] 上的最小值为 p ?1 ，最大值为 1 ， 2 1 p p 从而有 p ?1 ? x ? (1 ? x) ? 1(0 ? x ? 1) 。 2 ★★★★36. 某商店每年销售某种商品 a 件，每次购进的手续费为 b 元，而每件的库存费为 c 元/年，若该商∴f ( x) ? x p ? (1 ? x) p 在 x ?品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商店应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库 存费总和最少？知识点 ：导数的应用。 思路 ：根据题意，建立函数模型，求函数的最值。 解 ：设商店分 x 批购进商品，则所用手续费为 bx 元，因为商品均匀销售，所以商店的库存量为库存费为a 件， 2xac ac ,( x ? 0) ； 元，从而手续费和库存费总和函数为 y ? bx ? 2x 2xac ? 0 ，得 x ? 2 x2为令y? ? b ?ac 2b；又y?? ?ac ac ? 0 ， y??( ) ? 0， 3 x 2b∴x?ac 2by ? bx ?ac 2bac ,( x ? 0) 的极小值点，也为最小值点； 2x批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少。从而可知，商店应分★★★★37. 以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖 4 只小船一日能来回16 次，每次拖 7 只小船则一日能来回 10 次。如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回 多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？知识点 ：同 36。 思路 ：同 36。 解 ：设每日来回 x 次，每次拖 z 只小船，每只小船运货为 a ，则每日的运货总量为 y ? axz ，又根据题意（小船增多的只数与来回减少的次数成正比）可得 从而得每日运货总量函数为 令z?4 7?4 1 ? ，∴ z ? 12 ? x ， 16 ? x 16 ? 10 2y ? ax(12 ?1 x) ( x ? 0) ， 21 1 y? ? a(12 ? x) ? ax(? ) ? a(12 ? x) ? 0 ，得 x ? 12 ； 2 2 又∴ x ? 12 为 y ? ax(12 ? y?? ? ?a ? 0 ， y??(12) ? 0 ，1 也为最大值点， x) ( x ? 0) 的极大值点， 2又x? 12 时， z ? 6 ，∴每日来回 12 次，每次拖 6 只小船能使运货总量达到最大。3★★★38.求笛卡尔曲线 x? y3 ? 3axy ? 0 的斜渐近线。知识点 ：斜渐近线的概念。 思路 ：利用结论：L: y ? kx ? b 为 y ? f ( x) 的斜渐近线 ? k ? limx ?? ? x ??? ? ? x ??? ? ? ?f ( x) ,b ? lim [ f ( x) ? kx] x ?? x ? x ??? ?? x ??? ? ? ?3at ? x? ? ? 1? t3 3 3 解 ：笛卡尔曲线 x ? y ? 3axy ? 0 的参数方程为 ? 2 ? y ? 3at ? 1? t3 ?，k ? limx ??f ( x) 3at 2 1 ? t 3 ? lim ? ? lim t ? ?1， t ??1 1 ? t 3 t ??1 x 3at3at 2 ? 3at 6at ? 3a ? lim ? ?a ， b ? lim[ f ( x) ? kx] ? lim[ f ( x) ? kx] ? lim 3 t ??1 t ? ? 1 x ?? x ?? 1? t 3t 2∴所求斜渐近线为★★39 求曲线y ? ?x ? a 。y ? ln(sec x) 在点 ( x,y ) 处的曲率及曲率半径。知识点 ：曲率和曲率半径的计算公式。 思路 ：利用曲率及曲率半径的公式即可。 解 ： ∵ y? ?∴曲线1 ? sec x ? tan x ? tan x ， y?? ? sec2 x ， sec xy ? ln(sec x) 在点 ( x,y ) 处的曲率及曲率半径分别为K?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2?sec2 x (1 ? tan x)2 3 2?sec 2 x sec x3? cos x，R?1 ? sec x K。★★★40.证明曲线y ? achy2 x 在点 ( x,y ) 处的曲率半径为 a ax x。x x x x ? ? ? a 1 a 1 a x a a a a a ? 解 ：∵ y ? ach ? (e ? e ) ， y ? ? (e ? e ) ? (e ? e ) ， 2 a 2 a 2 y?? ?x x ? 1 a (e ? e a ) ， K ? 2ay?? (1 ? ( y?) )3 2 2?? 1 (e a ? e a ) 2a 3 ? 1 (1 ? (e a ? e a ) 2 ) 2 4 x xxx?? 1 (e a ? e a ) 2a ? 1 [ (e a ? e a )]3 2 x xxx?1 a 1 [ (e ? e )]2 2y ? achx a x ? a?a a [ (e ? e )]2 2x a x ? a?a y2，∴曲线y2 x 1 ? 在点 ( x,y ) 处的曲率半径 R ? a a Kx2 3。★★★41.求内摆线?y23?a23的曲率半径和曲率圆心坐标。知识点 ：曲率半径和曲率圆的概念。 思路 ：利用曲率半径和曲率圆中心公式。 解 ：内摆线 x2 3?y23?a23的参数方程为 ?3 ? ? x ? a cos θ ， 3 ? y ? a sin θ ?y? ?? y? 3a sin 2 θ cos θ 1 1 ? ? ? sec4 θ csc θ ， ?? ? ? tan θ ， y?? ? (? tan θ )? 2 ? ? 3a x? 3a cos θ sin θ x?y?? (1 ? ( y?) )3 2 2K??sec4 θ csc θ 3a (1 ? tan θ )2 3 2?sec4 θ csc θ 3a sec θ3?1 3a sin θ cos θ，∴x23?y23?a23的曲率半径为 R?1 3 ? a sin 2θ K 2；令曲率圆的圆心为 (ξ,? ) ，则有y?(1 ? ( y?) 2 ) ? tan θ (1 ? tan 2 θ ) ? a cos3 θ ? ? a cos θ (cos 2 θ ? 3sin 2 θ ) 1 y?? sec4 θ csc θ 3a ， 1 ? ( y?) 2 1 ? tan 2 θ 3 2 2 ? ? y? ? a sin θ ? ? a sin θ (sin θ ? 3cos θ ) 1 y?? 4 sec θ csc θ 3a ξ ? x?即曲率圆的圆心为 (a cos θ (cos2θ ? 3sin 2 θ ) ,a sin θ (sin 2 θ ? 3cos2 θ )) 。课外习题与解答★★★★1、求下列极限 (1)、 （1998） lim (n tann ??1 n2 ) nt? 1 1ln tan t ?ln t t2解：令lim 1 2 x tan t t 2 1 2 ) ? et?0? f ( x) ? ( x tan ) x ，则 lim ( x tan ) x ? lim( ? x ??? t ?0 x t x?et ?0?limt sec2 t ? tan t 2t 2 tan t?et ?0?limt ?sin t cos t 2t 3 cos2 t?e1 t ? sin 2t 2 2t 3 t ?0? lim?et ?0?lim1? cos 2t 6t 2?et ?0? 6 tlim2t 22? e3 。1a 1 ? ( 2 ? a 2 ) ln(1 ? ax)](a ? 0) x x a 1 a ln(1 ? ax) 2 ? a 2 ln(1 ? ax)] 解： lim[ ? ( 2 ? a ) ln(1 ? ax)] ? lim[ ? 2 x ?0 x x ? 0 x x x a a? a ln(1 ? ax) ax ? ln(1 ? ax) 1 ? ax ? lim[ ? ] ? lim ? lim 2 x ?0 x x ?0 x ?0 2x x x2(2)、 （1997） lim[x ?0a ? a2 x ? a a2 。 ? lim ? x ?0 2 x(1 ? ax) 2(3)、 （1999） limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x x ln(1 ? x) ? x 2解： limx ?01 ? tan x ? 1 ? sin x tan x ? sin x ? lim 2 x ?0 x ln(1 ? x) ? x ( x ln(1 ? x) ? x 2 )( 1 ? tan x ? 1 ? sin x )x2 sin x(1 ? cos x) 1 2x 1 2 ? lim ? lim ? lim ?? x ?0 2 x cos x (ln(1 ? x ) ? x ) x ?0 2(ln(1 ? x ) ? x ) 4 x?0 ( 1 ? 1) 2 1? x a t n a t ( n x) ? n s i ( x) （4 ） 、 lim x ?0 a t n x ?n s i x 2 3 1 x ? o( x 3 ) , sin x ? x ? x 3 ? o( x 3 ) 解：∵ tan x ? x ? 3! 3! 2 1 3 3 3 3 ∴ tan(tan x) ? tan x ? tan x ? o( x ) , sin(sin x) ? sin x ? sin x ? o( x ) , 3! 3! 2 1 tan(tan x) ? sin(sin x) ? tan x ? sin x ? tan 3 x ? sin 3 x ? o( x 3 ) 3! 3! 2 1 tan x ? sin x ? tan 3 x ? sin 3 x ? o( x 3 ) tan(tan x) ? sin(sin x) 3! 3! ? lim 从而 lim x ?0 x ? 0 tan x ? sin x tan x ? sin x 2 1 tan 3 x ? sin 3 x ? o( x 3 ) 2 1 3! ? 1 ? lim 3! ? 1? ? 2 ? ? 2 ? 2 。 x ?0 1 3 3! 3! x 2 ★★★ 2 、设在区间 (??,??) 内，f ??( x) ? 0, f (0) ? 0 。试证明函数f ( x) x分别在区间 (??,0) 和(0,??) 内是单调增加的。证明：令 F ( x) 再令 g ( x) ? ∵?f ( x) xf ?( x) ? f ( x) ，则 F ?( x) ? ， x x2xf ?( x) ? f ( x) ，则 g ?( x) ? f ??( x) x ? f ?( x) ? f ?( x) ? xf ??( x) ，f ??( x) ? 0 ，∴当 x ? 0 时， g ?( x) ? 0 ，当 x ? 0 时， g ?( x) ? 0 ；∴ g ( x) 由? xf / ( x) ? f ( x) 在 (??,0) 内单调递减，在 (0,??) 内单调递增，f (0) ? 0 ，可得 g (0) ? 0 ，g (0) ? 0 ；从而 ?x ? (??, ??) ，均有 g ( x) ? ∴有 F ?( x) ? 成立。★★3、设xf ?( x) ? f ( x) g ( x) f ( x) ? 2 ? 0 ， F ( x) ? 在 (??,0) 和 (0,??) 内单调递增，结论 2 x x xf ( x) 在 [a, b] 上可导，若 c 为 (a, b) 内一定点，且 f (c) ? 0 ， ( x ? c) f ?( x) ? 0 。证明在[a, b] 上必有 f ( x) ? 0 。证明：∵f ( x) 在 [a, b] 上可导， ( x ? c) f ?( x) ? 0 ，∴当 x ? c 时，有 又∵f ?( x) ? 0 ， f ( x) 单调增；当 x ? c 时，有 f ?( x) ? 0 ， f ( x) 单调降，f (c) ? 0 ，∴在 [a, b] 上必有 f ( x) ? 0★★★4、 （1999）试证：当 x? 0 时， ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 。证明： 令 ? ( x)? ln x ?x ?1 1 2 x2 ? 1 ? ?0， ，则 ? ?( x) ? ? x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1) 2x ?1 1?1 ?0， 在 (0,??) 内单调递增；又 ? (1) ? ln 1 ? x ?1 1?1 x ?1 ? 0 ，( x ? 1) ln x ? x ? 1 ，从而 ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 ； ∴当 0 ? x ? 1 时，? ( x) ? ln x ? x ?1 x ?1 ? 0 ， ( x ? 1) ln x ? x ? 1 ，从而 ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 ，综上 当 x ? 1时， ? ( x) ? ln x ? x ?1∴ ? ( x)? ln x ?可知，当 x? 0 时， ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 。y ? y( x) 由方程 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1 所确定。求 y ? y( x) 的驻点，并★★★★5、 （1996）设 判定其是否为极值点。 解：对方程两边求关于 x 的导数，得 6 y2y? ? 4 yy? ? 2 xy? ? 2 x ? 0 ，解得y? ?x? y ，令 y? ? 0 ，得 y ? x ； 3y ? 2 y ? x2将y ? x 代入 2 y 3 ? 2 y 2 ? 2 xy ? x 2 ? 1 ，得 2 x3 ? 2 x2 ? 2 x2 ? x2 ? 1 ? 2 x3 ? x2 ?1 ? 0 ①∵x? 1 是方程①的解，∴ 2 x3 ? 2 x2 ? 2 x2 ? x2 ? 1 ? ( x ? 1)(2 x2 ? x ? 1) ? 0 ， ? 1；由 x ? 1，得 y ? 1 ，(1 ? y?)(3 y 2 ? 2 y ? x) ? ( x ? y)(6 yy? ? 2 y? ? 1) (3 y 2 ? 2 y ? x)2 ? 1 ? 0， 2解得驻点 x又y??x ?1 y ?1?x ?1 y ?1∴x? 1为 y ? y( x) 的极小值点。y ? x 2 上点 A(a, a 2 ) （ a ? 0 ）处的法线交该抛物线的另一点为 B ，求线段 AB 的★★★6、设抛物线最短长度。 解：设 B(b, b2) ，则在点 A(a, a ) 处，法线的斜率 k 法2b2 ? a2 ? ?b?a， b?a而切线的斜率为 k切? y?x ?a? 2a ，∴有 b ? a ? ?1 1 ，即 b ? ?a ? ；从而 2a 2a1 (4a 2 ? 1) 2 ； 4a 23线段AB 的长度 L ? AB ? (b ? a) 2 ? (b 2 ? a 2 ) 2 ?3 1dL 1 1 3 ? ? 3 (4a 2 ? 1) 2 ? 2 ? (4a 2 ? 1) 2 ? 8a ? 令 da 2a 4a 2得a4a 2 ? 1(2a 2 ? 1) ? 0， 2a 3??1 2，且易验证 a??1 2为极小点，也为最小点，故可得1AB 的最短长度为3 3 2。★★★★7、设f ( x) 在 [0,1] 连续。 f (0) ? 0 , f (1) ? 1 试证 ? f ( x) ? f ?( x) dx ?011 。 e证明：根据已知条件，得?10f ( x) ? f ?( x) dx ? ? e? x f ?( x) ? f ( x) dx ?0? (e01?xf ?( x) ? e ? x f ( x))dx? e ? x f ( x) 1 0 ?★★★★8、1 ，结论成立。 ef ( x) 在[0，1]上具有二阶连续导数，且满足 f (1) ? f (0) 及 f ??( x) ? M ( x ? [0,1] ，证 明对一切 x ? [0,1] 有f ?( x) ?M 2成立。证明： ?x ? [0,1] ，由泰勒公式，可得f ??(?1 ) (1 ? x) 2 （ ? 1 介于 1 与 x 之间） ① 2! f ??(?2 ) 2 ② f (0) ? f ( x) ? f ?( x)(0 ? x) ? x （ ? 2 介于 0 与 x 之间） 2! f ??(?2 ) 2 f ??(?1 ) ∵ f (1) ? f (0) ，∴ 由②-①，得 f ?( x) ? x ? (1 ? x) 2 ， 2! 2! f (1) ? f ( x) ? f ?( x)(1 ? x) ?又 ?x ? [0,1] ，有 x2? (1 ? x) 2 ? 1 ，且 f ??( x) ? M ( x ? [0,1] ，从而有f ?( x) ?f ??(?2 ) 2!x2 ?f ??(?1 ) 2!(1 ? x)2 ?M 2 M [ x ? (1 ? x) 2 ] ? 2 2，结论成立。★★★★9、设函数f ( x) 在区间 [?1,1] 上具有三阶连续导数，且 f (?1) ? 0, f (0) ? 0, f (1) ? 1,f ?(0) ? 0 ，证明存在一点 ? ? (?1,1) ，使 f ???(? ) ? 3 。证明： ?x ? [?1,1] ，由泰勒公式得f ( x) ? f (0) ? f ?(0) x ?分别令 xf ??(0) 2 f ???(? ) 3 x ? x （? 介于 0 与 x 之间） 2! 3!① ②? ?1和 x ? 1，并结合已知条件得 f ??(0) f ???(?1 ) 0 ? f (?1) ? ? （ ?1 介于 0 与 ? 1 之间） 2 6 f ??(0) f ???(?2 ) 1 ? f (1) ? ? （ ? 2 介于 0 与 1 之间） 2 6f ???(?2 ) ? f ???(?1 ) ? 6由②-①，得∵f ( x) 在区间 [?1,1] 上具有三阶连续导数，∴ f ???( x) 在 [?1 ,? 2 ] 上连续，从而由介值定理知，至少有一点 ?1? [?1 ,? 2 ] ? (?1,1) ，使得1 f ???(?1 ) ? [ f ???(?1 ) ? f ???(?2 )] ? 3 ； 2再由最值定理知，至少有一点 ? 从而有? [?1 ,? 2 ] ? (?1,1) 使得 f ???( x) 在 x ? ? 处取得 [?1 ,? 2 ] 上的最大值，f ???(? ) ? f ???(?1 ) ? 3 ，结论成立。f ( x) 在 [0,1] 上具有二阶连续导数， f ( x) ? a, f ??( x) ? b, c ? (0,1) ，求证：★★★★10、 （1996）设f ?(c) ? 2a ?b 。 2 证明： ?x ? [0,1] ，由泰勒公式，得f ( x) ? f (c) ? f ?(c)( x ? c) ?从而可得f ??(? ) ( x ? c) 2 ，又 f ( x) ? a, f ??( x) ? b, c ? (0,1) ， 2!f ??(? ) f ??(? ) ( x ? c) 2 ? f ( x) ? f (c) ? ( x ? c) 2 2! 2!f ?(c)( x ? c) ? f ( x) ? f (c) ?? 2a ?b 。 2
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