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小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全.doc 62页
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小学奥数基础教程(六年级)第1讲 比较分数的大小第2讲 巧求分数第3讲 分数运算的技巧第4讲 循环小数与分数第5讲 工程问题(一)第6讲 工程问题(二)第7讲 巧用单位“1”第8讲 比和比例第9讲 百分数第10讲 商业中的数学第11讲 圆与扇形第12讲 圆柱与圆锥第13讲 立体图形(一)第14讲 立体图形(二)第15讲 棋盘的覆盖第16讲 找规律第17讲 操作问题第18讲 取整计算第19讲 近似值与估算第20讲 数值代入法
第21讲 枚举法第22讲 列表法
第23讲 图解法
第24讲 时钟问题
第25讲 时间问题
第26讲 牛吃草问题
第27讲 运筹学初步（一）
第28讲 运筹学初步（二）
第29讲 运筹学初步（三）
第30讲 趣题巧解
比较分数的大小
　　同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
　　第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
　　由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
　　如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
　　2.化为小数。
　　这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
　　3.先约分，后比较。
　　有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
　　4.根据倒数比较大小。
　　5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
　　6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
　（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。
　　（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。
　　前一个差比较小，所以m＜n。
　　（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。
注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
　　（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。
　　利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
　　比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。
　1.比较下列各组分数的大小：　
答案与提示
　　我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。数。
　　分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。
分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。
，这个分数是多少？
　　分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：
这个分数是多少？
于是与例3类似，可以求出
在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？
分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。　　　　 求这个自然数。
同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变
　　例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，
分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到
分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。　
　　在例8中，分母应加的数是
　　在例9中，分子应加的数是
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十五章复习
&&人教版八年级数学 上 第15单元复习
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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1
§ 6.1数列的概念及简单表示法1． 数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2． 数列的分类 分类原则 按项数分类 按项与项间 的大小关系 分类 按其他标准 分类 3． 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4． 数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)， 那么这 个式子叫作这个数列的通项公式．? S1 ? 5．已知数列{an}的前 n 项和 Sn，则 an＝? ?Sn－Sn－1 ?类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 摆动数列 an＋1__&__an an＋1__&__an an＋1＝an满足条件 项数有限 项数无限其中 n∈N＋存在正数 M，使|an|≤M 从第二项起， 有些项大于它的前一项， 有些项小 于它的前一项的数列?n＝1? ?n≥2?.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达． (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． 1＋?－1? (3)数列：1,0,1,0,1,0，?，通项公式只能是 an＝ 2n＋1( × ( √ ( × ( √) ) ) ) ).(4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N＋，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.(5)在数列{an}中，对于任意正整数 m，n，am＋n＝amn＋1，若 a1＝1，则 a2＝2. ( √ (6)若已知数列{an}的递推公式为 an＋1＝ 项． 2． 设数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2，则 a8 的值为 A．15 答案 A 解析 ∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. ∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15. 3． 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10 等于 A．1 答案 A 解析 ∵Sn＋Sm＝Sn＋m，a1＝1，∴S1＝1. 可令 m＝1，得 Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1. 即当 n≥1 时，an＋1＝1，∴a10＝1. B．9 C．10 D．55 ( ) B．16 C．49 D．641 ，且 a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一 2an－1 ( √ ( ) )2 1 4． (2013? 课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝ an＋ ， 则{an}的通项公式是 an＝________. 3 3 答案 (－2)n－1解析 当 n＝1 时，a1＝1；当 n≥2 时， 2 2 an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1， 3 3 故 an － ＝－2，故 an＝(－2)n 1. an－1－当 n＝1 时，也符合 an＝(－2)n 1. 综上，an＝(－2)n 1.－5． (2013? 安徽)如图，互不相同的点 A1，A2，?，An，?和 B1， B2，?，Bn?分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn 相互平行， 且所有梯形 AnBnBn＋1An＋1 的面积均相等． 设 OAn＝an， 若 a1＝1， a2＝2，则数列{an}的通项公式是________． 答案 an＝ 3n－2 解析 由已知 S梯形A B B A ? S梯形A B B A n n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ? 2 n ? 2S?OBn?1An?1 ? S?OBn An ? S?OBn?2 An?2 ? S?OBn?1An?1 ，即 S△OBnAn＋ S?OBn?2 An?2 ? 2S?OBn?1An?12 2 2 2 2 由相似三角形面积比是相似比的平方知 OA2 n＋OAn＋2＝2OAn＋1，即 an＋an＋2＝2an＋1， 2 2 因此{a2 n}为等差数列且 an＝a1＋3(n－1)＝3n－2，故 an＝ 3n－2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，?； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ， ， ，?； 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)－1， ，－ ， ，－ ， ，?； 2 3 4 5 6 (4)3,33,333,3 333，?. 思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系， 项与前后项之间的关系． 解 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1.2n－1 (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，?，所以 an＝ n . 2 (3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，?；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2＋?－1?n 2－1，偶数项为 2＋1，所以 an＝(－1)n? . n?－n，n为正奇数， 也可写为 a ＝? 3 ?n，n为正偶数.n19 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为 ， ， ， ， ?， 分母都是 3， 而分子分别是 10－1,102－1,103 3 3 3 3 －1,104－1，?， 1 所以 an＝ (10n－1)． 3 思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时， 需仔细观察分析， 抓住其几方面的特征： 分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征， 应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． (1)数列－1,7，－13,19，?的一个通项公式是 an＝________________. 3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ，1， ， ，则这个数列的一个通项公式是 an＝________. 2 10 17 答案 解析 2n＋1 (1)(－1)n? (6n－5) (2) 2 n ＋1 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示， 其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)． 2×1＋1 2×2＋1 2×3＋1 2×4＋1 2n＋1 (2)数列{an}的前 4 项可变形为 2 ， 2 ， 2 ， 2 ，故 an＝ 2 . 1 ＋1 2 ＋1 3 ＋1 4 ＋1 n ＋1 题型二 由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项 例2 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 思维启迪 当 n＝1 时，由 a1＝S1，求 a1； 当 n≥2 时，由 an＝Sn－Sn－1 消去 Sn，得 an＋1 与 an 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a1＝S1＝2－3＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n 1＋b)＝2? 3n 1.－ －当 b＝－1 时，a1 适合此等式． 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式． ∴当 b＝－1 时，an＝2? 3n 1；－? n＝1， ?3＋b， 当 b≠－1 时，an＝? n－1 ?2? 3 ， n≥2. ?? ?S1，n＝1， 思维升华 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an＝? 当 n＝1 时，a1 ?Sn－Sn－1，n≥2. ?若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn －Sn－1，则用分段函数的形式表示． 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ 3n2 － 2n ＋ 1 ， 则 其 通 项 公 式 为 ________________． 答案 an＝??2，n＝1 ? ?6n－5，n≥2 ?解析 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当 n＝1 时，不满足上式．?2，n＝1， ? 故数列的通项公式为 an＝? ?6n－5，n≥2. ?题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式 例3 (1)设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项 an＝________. (2)数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的一个通项公式为 an＝________. n＋2 (3)在数列{an}中，a1＝1，前 n 项和 Sn＝ a .则{an}的通项公式为________． 3 n 思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 解析 n?n＋1? － (1) ＋1 (2)2×3n 1－1 2 (1)由题意得，当 n≥2 时， n?n＋1? (3)an＝ 2an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1) ?n－1??2＋n? n?n＋1? ＝2＋(2＋3＋?＋n)＝2＋ ＝ ＋1. 2 2 1×?1＋1? 又 a1＝2＝ ＋1，符合上式， 2 n?n＋1? 因此 an＝ ＋1. 2 (2)方法一 (累乘法) an＋1＝3an＋2，即 an＋1＋1＝3(an＋1)， 即 an＋1＋1 ＝3， an＋1a2＋1 a3＋1 a4＋1 an＋1＋1 所以 ＝3， ＝3， ＝3，?， ＝3. a1＋1 a2＋1 a3＋1 an＋1an＋1＋1 n 将这些等式两边分别相乘得 ＝3 . a1＋1 an＋1＋1 n 因为 a1＝1，所以 ＝3 ， 1＋1 即 an＋1＝2×3n－1(n≥1)， 所以 an＝2×3n 1－1(n≥2)，－又 a1＝1 也满足上式， 故数列{an}的一个通项公式为 an＝2×3n 1－1.－方法二 (迭代法) an＋1＝3an＋2， 即 an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1) ＝?＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)， 所以 an＝2×3n 1－1(n≥2)，－又 a1＝1 也满足上式， 故数列{an}的一个通项公式为 an＝2×3n 1－1.－(3)由题设知，a1＝1. n＋2 n＋1 当 n&1 时，an＝Sn－Sn－1＝ a－ a . 3 n 3 n－1 ∴ ∴ an n＋1 ＝ . an－1 n－1 an n＋1 a4 5 ＝ ，?， ＝ ， a3 3 an－1 n－1a3 4 a2 ＝ ， ＝3. a2 2 a1 an n?n＋1? 以上 n－1 个式子的等号两端分别相乘，得到 ＝ ， a1 2 n?n＋1? 又∵a1＝1，∴an＝ . 2 思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差数列；当出现 an＝xan－1＋y 时，构造等比数列；当出 现 an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现 an ＝f(n)时，用累乘法求解． an－1n－1 (1)已知数列{an}满足 a1＝1，an＝ a (n≥2)，则 an＝________. n n－1 (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－1(n∈N＋)，则 a5 等于 A．－16 答案 1 (1) (2)B n B．16 C．31 D．32 ( )解析n－1 (1)∵an＝ a (n≥2)， n n－1n－2 1 ∴an－1＝ a － ，?，a2＝ a1. 2 n－1 n 2 以上(n－1)个式子相乘得 1 2 n－1 a1 1 an＝a1??? ?? ＝ ＝ . 23 n n n (2)当 n＝1 时，S1＝2a1－1，∴a1＝1. 当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－1， ∴an＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1. ∴{an}是等比数列且 a1＝1，q＝2， 故 a5＝a1×q4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12 分)已知数列{an}． (1)若 an＝n2－5n＋4， ①数列中有多少项是负数？ ②n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (2)若 an＝n2＋kn＋4 且对于 n∈N＋，都有 an＋1&an.求实数 k 的取值范围． 思维启迪 (1)求使 an&0 的 n 值；从二次函数看 an 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项 公式可以看作相应的解析式 f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在 N＋上单调递增，但自变量不连续．从 二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答 解 (1)①由 n2－5n＋4&0，解得 1&n&4.∵n∈N＋，∴n＝2,3. ∴数列中有两项是负数，即为 a2，a3. [4 分]5?2 9 5 ②∵an＝n2－5n＋4＝? ?n－2? －4的对称轴方程为 n＝2.又 n∈N＋，∴当 n＝2 或 n＝3 时， an 有最小值，其最小值为 a2＝a3＝－2. [8 分](2)由 an＋1&an 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 an＝n2＋kn＋4，可以看作是关 k 3 于 n 的二次函数，考虑到 n∈N＋，所以－ & ，即得 k&－3. 2 2 [12 分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集 N＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数 k 的取值范围，使问题得到 解决． (2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为 k&－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是 正整数．方法与技巧 1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)； 已知数列中的递推关系， 一般只要求写出数列的前几项， 若求通项可用归纳、 猜想和转化的方法．? ?S1 2． 强调 an 与 Sn 的关系：an＝? ? ?Sn－Sn－1?n＝1? ?n≥2?.3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见 思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范 1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数 列 an＝f(n)和函数 y＝f(x)的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40 分钟) 一、选择题 1． 数列 0,1,0，－1,0,1,0，－1，?的一个通项公式是 an 等于 ?－1?n＋1 A. 2 C．cos n＋1 π 2 B．cos D．cos nπ 2 n＋2 π 2 ( )答案 D 解析 令 n＝1,2,3，?逐一验证四个选项，易得 D 正确．2．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则 a6 等于 A．3×44 C．45 答案 A 解析 当 n≥1 时，an＋1＝3Sn，则 an＋2＝3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即 an＋2＝4an＋1， ∴该数列从第二项开始是以 4 为公比的等比数列．? ?1?n＝1?， 又 a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝? n－2 ?3×4 ?n≥2?. ?()B．3×44＋1 D．45＋1∴当 n＝6 时，a6＝3×46 2＝3×44.－3． 若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋?＋a10 等于 A．15 答案 A 解析 由题意知，a1＋a2＋?＋a10 ＝－1＋4－7＋10＋?＋(－1)10×(3×10－2) ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋?＋[(－1)9× (3× 9－2)＋(－1)10× (3× 10－2)] ＝3×5＝15. 4 － 2 － 4．已知数列{an}的通项公式为 an＝( )n 1－( )n 1，则数列{an} 9 3 A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 答案 C 4 － 2 － 解析 ∵数列{an}的通项公式为 an＝( )n 1－( )n 1， 9 3 2 － 令 t＝( )n 1，t∈(0,1]，t 是减函数， 3 1 1 则 an＝t2－t＝(t－ )2－ ， 2 4 由复合函数单调性知 an 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选 C. n 1 5．若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝ ，则 等于 a5 n＋1 5 A. 6 6 B. 5 1 C. 30 D．30 B．12 C．－12 D．－15()()()答案 D n－1 n 1 解析 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝ ， n n＋1 n?n＋1? 1 所以 ＝5×6＝30. a5 二、填空题 n2 6．已知数列{ 2 }，则 0.98 是它的第________项． n ＋1 答案 7 解析 n2 49 ＝0.98＝ ，∴n＝7. 50 n ＋127． 数列{an}中， a1＝1， 对于所有的 n≥2， n∈N＋， 都有 a1? a2? a3? ?? an＝n2， 则 a3＋a5＝________. 答案 61 16解析 由题意知：a1? a2? a3? ?? an－1＝(n－1)2， n 2 ∴an＝( ) (n≥2)， n－1 3 5 61 ∴a3＋a5＝( )2＋( )2＝ . 2 4 16 8．已知{an}是递增数列，且对于任意的 n∈N＋，an＝n2＋λn 恒成立，则实数 λ 的取值范围是 ________． 答案 (－3，＋∞) (定义法)解析 方法一因为{an}是递增数列，所以对任意的 n∈N＋，都有 an＋1&an， 即(n＋1)2＋λ(n＋1)&n2＋λn，整理，得 2n＋1＋λ&0，即 λ&－(2n＋1)． 因为 n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需 λ&－3. 方法二 (函数法) λ 设 f(n)＝an＝n2＋λn，其图像的对称轴为直线 n＝－ ， 2 要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数， 故只需满足 f(1)&f(2)，即 λ&－3. 三、解答题 9．数列{an}的通项公式是 an＝n2－7n＋6. (1)这个数列的第 4 项是多少？ (2)150 是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ (*)解(1)当 n＝4 时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令 an＝150，即 n2－7n＋6＝150， 解得 n＝16 或 n＝－9(舍去)， 即 150 是这个数列的第 16 项． (3)令 an＝n2－7n＋6&0，解得 n&6 或 n&1(舍)． 故数列从第 7 项起各项都是正数． 9n?n＋1? 10．已知数列{an}的通项公式为 an＝ ，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最 10n 大，最大项是多少？若没有，说明理由． 解 9n 1?n＋2? 9n?n＋1? 9n 8－n an＋1－an＝ － ＝ n? ， ＋ 10n 10 10 10n 1＋当 n&8 时，an＋1－an&0，即 an＋1&an； 当 n＝8 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n&8 时，an＋1－an&0，即 an＋1&an. 则 a1&a2&a3&?&a8＝a9&a10&a11&?， 故数列{an}有最大项，为第 8 项和第 9 项， 98×9 99 且 a8＝a9＝ 8 ＝ 8. 10 10 B 组 专项能力提升 (时间：30 分钟) 1．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第 1 个格子，在格子中每次可向前跳 1 格或 2 格， 那么人从格子外跳到第 8 个格子的方法种数为 ( )A．8 种 答案 CB．13 种C．21 种D．34 种解析 设跳到第 n 个格子的方法种数有 an，则到达第 n 个格子的方法有两类： ①向前跳 1 格到达第 n 个格子，方法种数为 an－1； ②向前跳 2 格到达第 n 个格子，方法种数为 an－2，则 an＝an－1＋an－2， 由数列的递推关系得到数列的前 8 项分别是 1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第 8 个格子的方法种数是 21.故选 C. 2．数列{an}满足 an＋an＋1＝ A．5 答案 B 7 B. 2 1 (n∈N＋)，a2＝2，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 S21 为( 2 9 C. 2 13 D. 2 )1 解析 ∵an＋an＋1＝ (n∈N＋)， 2 1 1 1 ∴a1＝ －a2＝ －2，a2＝2，a3＝ －2，a4＝2，?， 2 2 2 1 故 a2n＝2，a2n－1＝ －2. 2 1 1 7 ∴S21＝10× ＋a1＝5＋ －2＝ . 2 2 2 2 3． 若数列{n(n＋4)( )n}中的最大项是第 k 项，则 k＝________. 3 答案 4解析?k?k＋4??3? ≥?k＋1??k＋5??3? 由题意得? 2 2 ?k?k＋4??3? ≥?k－1??k＋3??3?k k22k ＋1，k －12 ? ?k ≥10 ? 所以 2 ，由 k∈N＋可得 k＝4. ?k －2k－9≤0 ?2 4． 已知数列{an}满足前 n 项和 Sn＝n2＋1，数列{bn}满足 bn＝ ，且前 n 项和为 Tn，设 an＋1 cn＝T2n＋1－Tn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性． 解 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 2?3?n＝1? ∴b ＝? 1 ?n?n≥2?n.(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋?＋b2n＋1 ＝ 1 1 1 ＋ ＋?＋ ， n＋1 n＋2 2n＋1 1 1 1 ＋ － 2n＋2 2n＋3 n＋1∴cn＋1－cn＝ ＝－1 1 1 － ＝ &0， 2n＋3 2n＋2 ?2n＋3??2n＋2?∴{cn}是递减数列． 5． 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋. (1)设 bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若 an＋1≥an，n∈N＋，求 a 的取值范围． 解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即 Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得 Sn＋1－3n 1＝2(Sn－3n)．＋即 bn＋1＝2bn，又 b1＝S1－3＝a－3， 因此，所求通项公式为 bn＝Sn－3n＝(a－3)2n 1，n∈N＋.－(2)由(1)知 Sn＝3n＋(a－3)2n 1，n∈N＋，－于是，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n 1－3n 1－(a－3)2n－ － －2＝2×3n 1＋(a－3)2n 2，－ －an＋1－an＝4×3n 1＋(a－3)2n－－23 － － ＝2n 2[12( )n 2＋a－3]， 2 3 － 当 n≥2 时，an＋1≥an?12( )n 2＋a－3≥0?a≥－9. 2 又 a2＝a1＋3&a1. 综上，所求的 a 的取值范围是[－9，＋∞)．
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