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例14-1 求以下函数的象函数单位阶跃函数;单位冲击函数;指数函数.解(1)单位阶跃函数的象函数F= (2)单位冲击函数的象函数指数函数的象函数例14-2 若:(1)...
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求以下函数的象函数
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常见函数拉氏变换表x
&&函数拉氏变换
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02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
2 拉氏变换与反变换拉氏变换作用:将微分方程转换为代数方程, 拉氏变换作用:将微分方程转换为代数方程, 使求解大大简化,拉氏变换是分析机电控制系统的 使求解大大简化, 基本数学方法之一.在此基础上,进一步得到系统 基本数学方法之一.在此基础上, 的传递函数. 的传递函数.2.1 拉氏变换定义 对于函数x(t)满足 对于函数x(t)满足, 满足, t&0时 (1)t&0时, x(t)=0 t&=0时 t&=0时,x(t) 在每个有限区间上分段连续. 在每个有限区间上分段连续. ( 2)其中 是正实数, 为指数级的; 是正实数,即x(t)为指数级的;则x(t)的拉 氏变换存在,其表达式记作: 氏变换存在,其表达式记作:σ∫∞0x ( t ) e
σ t dt & ∞X ( s ) = L [ x ( t )] =式中,s是复变数; 式中, 是复变数;s = σ + jω∫∞ 0x (t )e stdtx (t ) 为原函数; X ( s ) 为象函数. 为原函数; 为象函数.2.1.1简单函数的拉氏变换 2.1.1简单函数的拉氏变换 1 单位阶跃函数 1(t )0, t & 0 1(t ) =
1, t ≥ 0 ∞ 1
st L[(t )] = ∫ 1(t )e dt =
e | = 0 0 s s2 指数函数ate 1(t )at∞L[e 1(t )] = ∫ e 1(t )
e dt 0 ∞ 1
( s a ) t ∞ 1
( s a ) t = ∫ 1(t )
e |0 = 0 s a saat st2.1.1 简单函数的拉氏变换 3 正弦函数 余弦函数 根据欧拉公式sin ωt 1(t ) cos ωt 1(t )e = cos θ + j sin θjθejθ jθ= cos θ
j sin θe e sin θ = 2jjθ
jθe +e cos θ = 2 jθ2.1.1 简单函数的拉氏变换L[sin ωt 1(t )] = L[ejωt1
jω s + jω
s + ωL[cos ωt 1(t )] = L[ ejωte 2j jωt1(t )]1 1 1
jω s + jω
s + ω+e 2 jωt1(t )]2.1.1 简单函数的拉氏变换 4 幂函数nt 1(t )n∞ 0L[t 1(t )] = ∫n1 n
st ∞ n ∞ n 1
t e |0 + ∫ t
e dt s s 0n
stn ∞ n 1
st n n 1 L[t 1(t )] = ∫ t
e dt = L[t 1(t )] s 0 s 1 1 n = 0 L[1 1(t )] = n = 1 L[t 1(t )] = 2 s s 2 n! 2 n n = 2 L[t 1(t )] = 3 L[t 1(t )] = n +1 s s2.1.1 简单函数的拉氏变换 5 单位脉冲函数0
t0 → 0 t0 x(t)1 t0δ (t )(t & 0且t&t0 ) (0 ≤ t ≤ t0 )∞0 t0 t 单位脉冲函数L[δ (t ) 1(t )] = ∫01
e dt = lim 1
st0 t0 → 0 t t0 →0 t s 0 0()1 (1
t0 s lim (1
e ) = lim 由洛必达法则: 由洛必达法则: t0 →0 t s t0 →0 (t0 s)′ 0 t0 s所以: L [δ (t ) ] = lim s
e 所以:t0 → 0 t0 ss=12.1.1 简单函数的拉氏变换 6 单位速度函数(斜坡函数) 单位速度函数(斜坡函数)x(t) 10 t & 0 x(t ) =
x(t ) 1( t )
= ∫ te dt
st 0 ∞e =t s 1 = 2 s st ∞∫∞00e dt s st01 单位速度函数t2.1.1 简单函数的拉氏变换 7 单位加速度函数t&0 0
1 2 t≥0 2 t x(t)L [ x(t ) 1(t )] = ∫ 1 = 3 s∞01 2
st t e dt 20 t 单位加速度函数2.2 拉氏变换的性质 1 叠加定理(线性定理) 叠加定理(线性定理) 若L[ x1 (t )] = X 1 ( s)L[ x2 (t )] = X 2 ( s)则 L[a x (t ) + bx (t )] = a X ( s ) + bX ( s ) 1 2 1 2 例:L[sin ωt 1(t )] = L[ejωt1
jω s + jω
s + ωe 2j jωt1(t )]2.2 拉氏变换的性质 2 微分定理 L[ dx(t ) ] = sX (s)
x(0+ ) dt 推论: 推论: n
d (1)L[ x(t )] = s n X (s)
s n1x(0+ )
s n2 x(0+ )
dt nsx二阶导数的拉氏变换( n 2)(0 )
x+( n1)(0 )+d 2 x(t) 2 ' L[ 2 ] = s X (s)
x (0) dt(2)在零初始条件下dn L[ n x(t )] = s n X (s) dt2.2 拉氏变换的性质 3 积分定理 式中 推论: 推论:1X(s) x1(0) L[∫ x(t)dt] = + s st =0x (0) = ∫ x(t)dtX (s) x1 (0+ ) x2 (0+ ) (1) L[
x(t )(dt )n ] = + + n1 +
+ n n ∫ ∫ s s sx( n+1) (0+ ) x n (0+ ) + 2 s s (2)在零初始条件下 X ( s) n L[∫ ∫ x(t )(dt) ] = n s2.2 拉氏变换的性质 4 衰减定理 例:已知ω L[sin ωt 1(t )] = 2 2 s +ωL[e x(t )] = X ( s + a) ats L[cos ωt 1(t )] = 2 2 s +ω ω 求: L[e
sin ωt 1(t )] = ? 2 2 ( s + a) + ω s+a
cos ωt 1(t )] = ? 2 2 ( s + a) + ω2.2 拉氏变换的性质 5 延时定理L[ x(t
a)] = ex(t) x(t) asX (s)t atL[sin ω (t
4)] = e4 sω
2 2 s +ω2.2 拉氏变换的性质 例:求如下图的拉氏变换. 求如下图的拉氏变换.f (t ) = f1 (t ) + f 2 (t ) = E 1(t )
e ) L[ f (t )] = s s s2.2 拉氏变换的性质 6 初值定理t→ 0lim+ x ( t ) = lim s X ( s )s→ ∞7 终值定理lim x ( t ) = lim s X ( s )t→ ∞ s→ 0注意: 注意:运用终值定理的前提 lim x ( t ) 是存在. 是存在.t→ ∞2.2 拉氏变换的性质 8 时间比例尺改变的象函数(相似定理) 时间比例尺改变的象函数(相似定理)的拉氏变换. 例:求 L [ f ( a t
b )] 的拉氏变换.t L [ x ( )] = a X ( a s ) aL[ f ( at
b )] b b = L{ f [ a (t
s 1 s = F ( )e a a a2.2 拉氏变换的性质 9tx (t )的象函数dX (s) L [ tx ( t )] =
ds10x ( t ) 的拉氏变换 tx (t ) L[ ]= t∫∞ sX ( s ) ds2.2 拉氏变换的性质 11 周期函数的象函数x (t + T ) = x (t )1 L [ x ( t )] =
sT 1 e12 卷积分的象函数 卷积分的象函数∫T0x ( t )e stdtL [ x ( t )
y ( t )] = X ( s ) Y ( s )x ( t )
y ( t ) 的卷积分的数学表示为: 卷积分的数学表示为:x (t )
y (t ) =x (t )
y (t ) =∫t0x ( t
τ ) y (τ ) d τ∫t0x (ξ ) y ( t
ξ ) d ξ = y ( t )
x ( t )拉氏变换的应用1,试求 L [ e
at cosβt] 0, t & 0 2,试求 x ( t ) =
3 t 的拉氏变换. 的拉氏变换.
te , t ≥ 0 0, t & 0 3,试求 x ( t ) =
的拉氏变换. 的拉氏变换.
sin(ω t + θ ), t ≥ 0x(t)4,试求图所示x(t)的拉 试求图所示x 氏变换. 氏变换.1 a2a 2a1
2 a0t拉氏变换的应用5,试求图所示x(t)的拉氏变换. 试求图所示x 的拉氏变换.x(t) T 6,3x(t ) + 4x(t ) + 5(t ) x x (1)若初值为零,即 x(0) = x(0) = (0) = 0 (1)若初值为零, 若初值为零0Tt x (2)若初值不为零,即 x(0) = 1, x(0) = 1, (0) = 2 (2)若初值不为零, 若初值不为零 求拉氏变换. 求拉氏变换.7, 求 u ( t ) +∫ u ( t ) dt + u ( t ) 的拉氏变换. 的拉氏变换.拉氏变换的应用8,已知 f (t) =t,t ≥0 1f1 (t) = f2 (t) = 0, t & 0试求 L[ f1 (t )
f 2 (t )]f2(t) =1et ,t ≥09,e ( t 2 )[1(t
3)] 求其拉氏变换. 求其拉氏变换.10,sin t
2) 求其拉氏变换. 10, 求其拉氏变换.2.3 拉氏反变换 定义: 定义:x (t ) =∫ 2π j1a + j∞a
j∞X ( s ) e st ds简写为: 简写为:x ( t ) = L [ X ( s )]1部分分式法求时间函数x(t): 部分分式法求时间函数x 将一个复杂的象函数X(s) 将一个复杂的象函数X(s)分解成若干个简单的有理 X(s)分解成若干个简单的有理 分式函数之和, 分式函数之和,然后由拉氏变换表一一查出对应的 原函数,各原函数之和即为所求的x(t) x(t). 原函数,各原函数之和即为所求的x(t).2.3 拉氏反变换 部分分式法求时间函数x 部分分式法求时间函数x(t)s 拉氏反变换. 拉氏反变换. 例2-3 试求 X ( s ) = 2 s + 2s + 5解:s s X (s) = 2 = s + 2 s + 5 ( s + 1) 2 + 4 s +1 1 2 =
2 2 ( s + 1) + 2 2 ( s + 1) 2 + 2 21 tx ( t ) = L [ X ( s )] = ( e1 cos 2 t
1( t ) 22.3 拉氏反变换 部分分式法求时间函数x 部分分式法求时间函数x(t) 一般机电系统,通常遇到如下形式的有理分式: 一般机电系统,通常遇到如下形式的有理分式:B (s) X (s) = A(s) b 0 s + b1 s +
b m 1 s + b m = (n ≥ m ) n n 1 a 0 s + a1 s +
a n 1 s + a nm m 1B ( s ) = 0 得零点: z 1 , 得零点:z2
, zmA ( s ) = 0 得极点: p 1 , p 2
, p n 得极点:2.3 拉氏反变换B (s) X (s) = A(s) = B (s) a n 1 an a1 n 1 a0 (s + s s+ + ) a0 a0 a0nB (s) = a 0 ( s + p1 ) ( s + p 2 )
( s + p n )用部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和, 部分分式法将上式分解为若干个简单分式之和 将上式分解为若干个简单分式之和, 并分三种情况讨论. 并分三种情况讨论.2.3 拉氏反变换 1.只含不同单极点的情况 1.只含不同单极点的情况B( s ) b0 s + b1s +
+ bm 1s + bm X (s) = = A( s ) ( s + p1 )( s + p2 )
( s + pn )mm 1an a1 a2 = + +
+ s + p1 s + p2 s + pnak = [ X ( s ) ( s + pk )]s = pk2.3 拉氏反变换s+3 拉氏反变换. 拉氏反变换. 例2-4 试求 X ( s ) = 2 s + 3s + 2 解:s+3 a1 a2 X (s) = 2 = + s + 3s + 2 s +1 s + 2a 1 = X ( s )
( s + 1)a 2 = X ( s )
( s + 2)s = 1= 2s = 2= 1x (t ) = ( 2 ete2t)
1( t )2.3 拉氏反变换 2. 含有共扼复数极点时B(s) b0 s + b1s +
+ bm1s + bm = X ( s) = A(s) (s + p1 )(s + p2 )
(s + pn )mm1a3 an a1s + a2 = + + + s + pn ( s + p1 )( s + p2 ) s + p3p1 =δ
jβp2 =δ + jβ2.3 拉氏反变换[a1s + a2 ]s=δ
jβ = [ X ( s) (s +δ + jβ)(s +δ
jβ令上式两边实部与虚部分别相等,即可求得a1和a2 令上式两边实部与虚部分别相等,即可求得a a3至an单极点的算法一样. 单极点的算法一样.2.3 拉氏反变换a1s + a2 可通过配方,化成如下正弦, 可通过配方,化成如下正弦,余弦象 2 函数的形式,然后求其拉氏反变换. s + β1s + β 2 函数的形式,然后求其拉氏反变换.
= ae sin ωt 2 2
( s + b) + ω
a ( s + b)
= ae cos ωt 2
( s + b) + ω 2
12.3 拉氏反变换s +1 拉氏反变换. 拉氏反变换. 例2-5 试求 X ( s ) = 3 s + s2 + s解:s +1 a1 s + a 2 a3 X (s) = 3 = 2 + 2 s + s + s s + s +1 sX ( s )( s + s + 1)2 1 3 s=
j 2 2= a1 s + a 211 3 s=
j 2 2令两边实部与虚部分别相等, 令两边实部与虚部分别相等,得: aa3 = X ( s )
ss =0=1= 1 a2 = 02.3 拉氏反变换1 3 3 (s + ) +
1 s 2 3 2 +1 X (s) = 2 + = s + s +1 s s 1 2 3 2 (s + ) + ( ) 2 2 1 3 (s + ) 3 1 2 2 = +
+ 3 1 2 3 2 1 2 3 2 s (s + ) + ( ) (s + ) + ( ) 2 2 2 2则:x(t ) = [e1
t 23 3 3 ( sin t
cos t ) + 1] 1(t ) 3 2 22.3 拉氏反变换 3.含有多重极点时 3.含有多重极点时 设p1为r个重根,pr+1 个重根, 展成: 展成: 为单根,则可将X(s) ,…… ,pn为单根,则可将X(s)B(s) B(s) X (s) = = A(s) (s + p1 )r (s + pr +1 )
(s + pn ) =( s + p1 )a01ra0r an ar +1 + + + ++ r 1 s + pn ( s + p1 ) s + pr+1 ( s + p1 )a022.3 拉氏反变换a01 = [ X ( s ) (s + p1 ) ]s = p1rd a02 = { [ X ( s ) (s + p1 )r ]}s= p1 ds1 d2 r a03 = { 2 [X ( s) (s + p1) ]}s= p1 2! ds根据拉氏反变换1 d r 1 a0 r = { r 1 [ X ( s ) ( s + p1 )r ]}s = p1 (r
1)! ds1 t k 1
p1 t 1 L [ ]= e
1( t ) k ( s + p1 ) ( k
1)!2.3 拉氏反变换s2 + 2s + 3 例2-7 试求 X ( s ) = 拉氏反变换. 拉氏反变换. 3 ( s + 1) 解: 2 a 01 a 02 a 03 s + 2s + 3 X (s) = = + + 3 3 2 ( s + 1) ( s + 1) ( s + 1) s +1a01 = [ X ( s )( s + 1) 3 ]s =1 = 2d a02 = { [ X ( s )( s + 1)3 ]}s =1 = {2 s + 2}s =1 = 0 ds 2 1 d 1 3 a03 = { 2 [ X ( s )( s + 1) ]}s =1 = {2}s =1 = 1 2! ds 2!2.3 拉氏反变换s + 2s + 3 2 1 X (s) = = + 3 3 ( s + 1) ( s + 1) s +12x (t ) = (t e + e2 tt) 1( t )2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程 例2-8 解方程 y ( t ) + 5 y ( t ) + 6 y ( t ) = 6 其中, 其中, y ( 0 ) = 2 y ( 0 ) = 2 解:方程两边取拉氏变换: 方程两边取拉氏变换:6 s Y ( s )
y (0) + 5[ sY ( s )
y (0)] + 6Y ( s ) = s22 s 2 + 12 s + 6 1 5 4 Y (s) = = +
s ( s + 2 )( s + 3 ) s s+2 s+3y (t ) = 1 + 5 e2t 4e3t2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程 求解步骤 的代数方程; 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程; 解代数方程,得到有关变量的拉氏变换表达式 ; 解代数方程, 应用拉氏反变换,得到微分方程的时域解. 应用拉氏反变换,得到微分方程的时域解.2.4 用拉氏变换解常系数线性微分方程原函数 微分方程的解) (微分方程的解) 拉氏反变换 象函数 解 代 数 方 程 微分方程 拉氏变换 象函数的 代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程
201403学期信号与系统作业二答案_数学_自然科学_专业...(t)-ε (t-2)〕 的拉氏变换的收敛域为 ( )...信号与系统课后答案(第二... 10页 3下载券 2011...二、授课内容 1、控制系统的工作原理、系统组成、系统分类; 2、系统数学模型的...第二章拉普拉斯变换 第一节拉普拉斯变换 一、定义: 二、典型信号的拉氏变换 1...(a) 图 2-58 电网络与机械系统 (b) 解 本题研究用拉氏变换法建立系统的传递函数数学模型。 (1) 对于图 2-58(a),根据复数阻抗的方法可得电网络的传递...正确 2.拉普拉斯变换是连续时间系统进行分析的一种方法。 3.冲击信号的拉氏变换...和系统的传递函数之间的关系是把传递函数中的 s 因子用 jω 代替后的数学...控制工程基础第2章课后答案,和增励版本相似题目较多。第2 章系统的数学模型 (...(a):由牛顿第二运动定律,在不计重力时,可得 整理得 将上式进行拉氏变换,并...数学基础_拉氏变换 暂无评价 4页 免费 第二章2拉氏变换[1] 暂无评价 38页...零点的概念 重点难点教学方法教具教学环节时间分配 教学内容 复数的概念及表示法...方程组在零初始条件下进行拉氏变换,得 第 2 章 自动控制系统的数学模型 ?23...? U (s) ? I (s) 1 02 2 ? sC 2 ? 这样(b)图对应的动态结构图如...第二章 拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程,可将微积分运算转化为代数运算,...脉冲函数的数学表达式为: 0 δ (t ) = 1 lim ε ε→0 其拉氏变换为 ...【学时分配】 8 课时 【教学内容】 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法,其优点是能将时间函数的导数 经拉氏变换后,变成复...第二章 拉氏变换与反变换拉氏变换解微分方程,可将微积分运算转化为代数运算,且...(t)的拉氏变换 单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换 如图所示,单位脉冲函数的数学...
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