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访问太频繁了，服务器要炸。直觉，到底管用不管用？ | 科学人 | 果壳网 科技有意思
直觉，到底管用不管用？
直觉管用吗？直觉有什么科学道理吗？遇到不懂的问题怎么办？总统大选的得票数有什么规律？人们的存款有什么规律吗？
智利插画家阿尔贝托o蒙特（Alberto Montt）的作品
本文作者:賴以威
“应该是这样吧”。
许多时候我们遇到不懂的事情，常习惯就这么歪头两秒钟，然后，彷佛答案卡在脑袋里面一样，摇一摇，答案噗通一声就掉出来了。
有人称这是直觉。
然而，很遗憾地，大多数人的直觉都不是很准，不然就不会那么多人在彩票选号时面带微笑，还善良地想着要捐出一半头彩。
要是理性点，应该会很忧心忡忡地想着
50元花下去，中三码的概率仅有1.78%，好低。
六码全中的头彩概率更是低到7.15亿分之一，比每天车祸致死的概率5.25亿分之一还低，唉。
就算不讲容易让人不理性的彩票，直觉在许多时候也经不起数学的检验。更正确一点的说法是，直觉本来就不大准，只是这世界并没有太多事情能搞清楚对错，所以不容易察觉到直觉到底有多不准。好比你觉得隔壁同学暗恋你，因为她下课常问你要不要一起去商店，但事实上她只是单纯想找人陪，可是在告白之前，你无法确认这件事情的真相。
更可悲的是，就算告白成功了，你还是无法确认她是否真的爱你。
听不懂吗？没关系，再长大一点就懂了。
今天，我们藉由简单的数学统计，让大家实际看看，直觉跟事实间的差距，恐怕比台湾蓝绿两党之间的差距还大。后者至少还有“无能”、“贪污”、“让老百姓气到高血压”等等诸多共同点…嗯，他们其实蛮像的，我似乎举错例子了。
直觉 vs. 数学
翻开存折，看看最左边的数字，将这个数字称为“首位数”，一百多万的首位数是1，六千多元的首位数是6，八十几块的首位数即是8。现在，请用直觉判断，全台湾两千三百万人的存款金额首位数，1~9各个数字出现的概率各自是多少呢？
均匀分布，每个数字出现的概率皆是1/9。
许多人的直觉应该此刻在脑海里吶喊着这个答案，还带点不屑。
要是顺从直觉，按照这个逻辑继续推理下去，使用欧元的人的存款金额首位数，日本人的日币存款金额首位数，每个数字出现的概率应该也都是1/9的均匀分布。没理由这项统计数字在台湾是均匀分布，到欧洲或日本就会改变，大家理当都该一样。
现在，当我们假设有9个人，户头里各自有100、200…900元新台币，符合均匀分布。
要是银行忽然将他们的存款改以日币或欧元计算，会得到下表。
可以看见，首位数1从出现一次，大幅增加到三与四次，首位数9则消失在表格中。
考虑更一般的状况，可以得到下面的统计分析图。当台币换算成欧元或日币时，首位数数字小的出现概率都比较高。
至此，可以宣告直觉失败，输给了所谓的“本福特定律Benford’s Law”：以自然形式出的数字，首位数是1的概率约30%，2的概率是17.6%，依序递减，首位数是8与9的概率各自仅有5.1%与4.6%。
本福特定律是哪招
要解释这种不直觉的递减现象，我们得先提一个生活中的例子。
想象一条长条状的蛋糕，蛋糕上不同区域，有不同的装饰：有些地方是草莓、有些地方是樱桃、还有些地方是肉桂跟大蒜。
要是有四人想分这条蛋糕，而且每种装饰都想吃到，最常见的作法，就是先将蛋糕由上往下，切成许多片，每一片的大小符合每个人能拿到的比例，切完后依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每个人再根据自己的编号，周期性地挑出属于自己的蛋糕。如同下图。
上图就是其中一人的切法。在每隔一段距离，切下等宽的一部份。可以确保每个人拿到他该拿到的比例，且各种装饰都能拿到。我们称这种为“理想蛋糕分法”。
回到首位数的问题。
要是统计全台湾的人银行存款，可以画出存款的统计分布图，我们用下面这张示意图表示。
存款首位数为1的区域我们用紫色表示。要是将整个曲线想成一条蛋糕，切下的紫色区域起先是一条细细的“1”，过了2-9后，再来一块粗一点的“10-19”，这次得隔久一点，过了0-99，才会再出现更粗的“10-19”。然后，得一直等到“”。
切下的区域分别是1、10、100、1000……切的间隔是8、80、800……。
换句话说，依据不同首位数的蛋糕切法，在不同间隔间，切下大小不同的面积，不是刚才说的“理想蛋糕分法”。可能，落在300-500的樱桃就这么没了。
不过，要是将x轴的金额取对数(log)，就会得到下面这张图。
方才所说的“理想蛋糕分法”——等间隔切下同样大小的区域，在此重现了。
因为是等间隔，不同区域的装饰都能拿到，以取样的角度来，就是取下来的部分能够充分反映原来曲线的特性。
有趣的是，在对数转换后，首位数为1切下来的面积所占比例是log102- log101=log2-30%，首位数是2的比例则是log103- log102=log10(3/2)-17.6%，归纳出首位数为x时，所占比例为log10(1+1/x)。
这才是真正的首位数分布。
回到刚刚不同币值的问题，如果假设新台币的存款首位数分布是依据本福特定律时，换算成欧元跟日币后，可以得到下图。
可以看见，换算到不同货币后，趋势依然相似，大致依然符合本福特定律。终于，我们看到log离家出走，离开了数学课本。
数学界的捉虫达人，本福特定律
只要是自然产生的数据，且数据涵盖范围很大，首位数分布即会符合本福特定律。
因此，本福特定律相当具有实际用途。好比，统计公司一年的各种报账款项，便会看见本福特定律的存在。政府或会计师即可反过来利用本福特定律，审核公司报账是否诚实，如果不符合本福特定律，可能就有问题了。
奈何我无法拿各级政府，或首长特别费的资料实际测试一下本福特定律的威力(也怕测出来发现不符合，大家反而会说“这不是理所当然吗”)，只好拿2012“总统”大选各乡镇的投票结果来看：
结果相当符合本福特定律，这告诉我们，要么“总统”大选没作票，不然就是作票的人精通本福特定律。
从一开始就说，别相信直觉了嘛。
R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, 2009, Nov.
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通信工程、计算机硕士
当我和别人表白的时候，直觉认为会被拒的时候，我的直觉都是对的！直觉认为不会被拒的时候，也是对的！但只是对方不好意思说出来拒绝的话而已。。。。
我觉得，原因在于，在这里，1到9本来就不是随机的。因为计数的方法，必须先从1开始，然后再2.3.4.最后才是9，所以数字越小，越具有优先权。来自
引用 的话：六码全中的头彩概率更是低到7.15亿分之一，比每天车祸致死的概率5.25亿分之一还低，唉。=================莫名有种＂领奖金的人踏着一路车祸受害者的尸体＂的感觉
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全部评论(121)
空间信息与数字技术专业
好腻害的样子！来自
摔。我学过的的概率论数理统计之类的已经跟着我的节操掉光了。。。。。。
不明觉厉来自
最后那个总统大选的例子有问题，三个人的综合曲线是差不多，但个别的话 应该都是作弊的
不明觉厉...一头雾水，没明白这跟直觉准不准有什么关系......
通信工程、计算机硕士
当我和别人表白的时候，直觉认为会被拒的时候，我的直觉都是对的！直觉认为不会被拒的时候，也是对的！但只是对方不好意思说出来拒绝的话而已。。。。
原来只是为了讲 本福特定律，这个早知道了，想做假账的帐房必学定律之一嘛，我还以为是一篇关于直觉的心理学文章来着[挖鼻屎]
切蛋糕的例子没看懂。。。求解释。比如这句 “在每隔一段距离，切下等宽的一部份。可以确保每个人拿到他该拿到的比例，且各种装饰都能拿到。”为什么这种切法可以有这样的效果呢？
电子工程博士
引用 的话：Hello Sirius，我們分兩個層面來解釋，先講切片。一塊蛋糕如果你把它平均切成非常多片，每隔幾片，就拿一片起來。這個動作我們稱為取樣(sampling)，當每一片都很薄的時候，你可以想像，你將拿下來的這幾片重新拼再一起。會得到跟原來那塊蛋糕一模一樣，但長度變短的短蛋糕。這就是文章裡說的"各種裝飾都能拿到"的意思。比例的部分則是，假設你是每隔6片再抽一片出來，重新組成的短蛋糕就會是原來的1/6。所以如果你按照比例X切(X&1)，就會組成原來X倍長度的短蛋糕。講了這麼多，都怪我生下來美術細胞特別少...畫的示意圖太差勁了T_T
引用 的话：Hello Sirius，我們分兩個層面來解釋，先講切片。一塊蛋糕如果你把它平均切成非常多片，每隔幾片，就拿一片起來。這個動作我們稱為取樣(sampling)，當每一片都很薄的時候，你可以想像，你將...哇，多谢大神亲自解答！再看了下配图，若有所悟。再次感谢！
电子工程博士
引用 的话：哪裡哪裡，大家多交流。是說，我今天才又學會了＂不明覺厲＂....
我的直觉就是越小的数字越容易出现，这不科学啊来自
这就是人择原理了，我很早就说过了，包括中奖的人说他买那组号靠的是直觉，问题是其他靠直觉买号的几百万人你是没机会知道他了。当然话又说回来，有时候对于一些专业人员，他们有更多经历以及经验，会有一种职业本能，这往往也被称为直觉。比如战场上的专业老兵，职业杀手，他们对危险的判断能力确实高于常人。那种能力往往也被称为直觉。普通人就算了，基本上没受过专业训练的人是不会有这种直觉的。
作者写的实在是很难懂，又跑到别的地方看了看才明白。作者是不是凭借直觉认为，读者们可以轻易看懂没有标注xy轴单位是什么的图XD我觉得，要想把科普文章写的人人都可以看明白，还是有一定难度的。作者加油！
电子工程博士
引用 的话：謝謝你的建議，比起其他篇，這篇的確可以寫得更好，下回我會再努力的，屆時請再多多指教 :)
如果能写一下什么情况下Benford定律会失效，我想更多的人会更容易看懂一些！
感谢作者，让我翻出了10年前的概率统计书 ：）
电子工程博士
引用 的话：班佛定律在數值涵蓋的範圍小時容易失效，也可以用這篇的蛋糕例子做解釋，不過讓我想個更清楚的例子好了，謝謝你的建議!
引用文章内容：直觉本来就不大准，只是这世界并没有太多事情能搞清楚对错，所以不容易察觉到直觉到底有多不准。好比你觉得隔壁同学暗恋你，因为她下课常问你要不要一起去商店，但事实上她只是单纯想找人陪，可是在告白之前，你无法...其实妹子只是觉得..恩..这个家伙..应该还算安全吧..也不算太无聊.....叫上他一起去好了...然后几次之后觉得..唉~~带着这个家伙还蛮方便的......然后...你去告白了....事实上..妹子确从没那么想过= =....55..........
我的直觉是数字越小越容易出现·····不过理由是拥有财富的不均匀程度，钱少的人更多一点···-_____-
这篇文章很好
电子工程博士
引用 的话：謝謝你喜歡 :)
引用 的话：我的直觉是数字越小越容易出现·····不过理由是拥有财富的不均匀程度，钱少的人更多一点···-_____-“自然”产生的数值，是指必须从某个值开始往上累积而得到的数。从财富来说，每个人当然都是一块一块地攥起来的（同样赚一块富人比穷人要快，得多）。与之相对，“随机”产生的数，就好比同样工作一小时，甲和乙拿的钱毫无理由地不同。。。
我觉得，原因在于，在这里，1到9本来就不是随机的。因为计数的方法，必须先从1开始，然后再2.3.4.最后才是9，所以数字越小，越具有优先权。来自
可是那个存款的首位数的，我的直觉就是觉得1应该是最多的啊！
觉得所谓“直觉”更多的是对生活中的经验经历等，在处理一些事件时的主观判断而已啊
本文一开始谬误，最后更是文不对题了。。。买彩票那叫瞎猜，和直觉有什么关系。直觉是建立在一系列认知体系上的，比如对一个人的言行举止的观察，或许你并不是一个微表情分析师，也不是一个心理学家，但是你通过这种观察和联系，可以得从一个笼统的主观结论，这个就是直觉。同样，又一个例子，开始的时候题目不会，相信绝大多数人都经历过直觉选答案的经验。这并不是简单的玩弄概率，你启用到的认知有可能是上课时听到的内容，潜藏在你的深沉记忆中，也可能是答题多了，但是根据统计认知，这种题的某个答案有可能是这个等。那概率来论直觉总体靠谱与否，本身就是扯蛋，你根本就无法把直觉简单作为一个质点来观察，这样只会导致观察对象偏失，结果谬误。从这篇文，我想到国内清华某个心理学导师有一片关于Gay形成的分析观，说是Gay的形成是先天+后天导致的，认为家庭母性强势或者把男孩当作女孩养育的容易形成Gay，后来去问她的分析对象是怎么统计的，统计了什么。。结果她只是统计了Gay里面娘炮的，C的这极小的一部分gay而已。
引用文章内容：终于，我们看到log离家出走，离开了数学课本。好厉害！
引用 的话：文一开始谬误，最后更是文不对题了。。。买彩票那叫瞎猜，和直觉有什么关系。直觉是建立在一系列认知体系上的，比如对一个人的言行举止的观察，或许你并不是一个微表情分析师，也不是一个心理学家，但是你通过...考试选答案不叫直觉，记得是模式认知之类的，通过相同的模式提取近似记忆。直觉应该是像作者打的比方中男生猜测女生是否喜欢他，一般和经验、学习之类的无关。对花花公子来说，猜准女性是否对他有好感的几率大很多，这不是因为直觉出众，而是通过经验得出结论的
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