x加2/9已知x1加x2等于 512这个怎么解
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按字母分类 ：人教版九年级数学下册全册教案2_甜梦文库
人教版九年级数学下册全册教案2
.第二十六章 二次函数 [本章知识重点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数[本课知识重点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为 a（cm），它的面积 s（cm2）是多少？ （2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平 方厘米，试写出 y 与 x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习 一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例 1． m 取哪些值时， 函数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是以 x 为自变量的二次函数？ 分析 若 函 数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是 二 次 函 数 ， 须 满 足 的 条 件 是 ：m2 ? m ≠ 0 ．解2 2 若函数 y = ( m ? m) x + mx + ( m + 1) 是二次函数，则m2 ? m ≠ 0 ．解得m ≠ 0 ，且 m ≠ 1 ．因此，当 m ≠ 0 ，且 m ≠ 1 时，函数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是二次函数． 回顾与反思 形如 y = ax 2 + bx + c 的函数只有在 a ≠ 0 的条件下才是二次函数． 探索 若函数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些 值？1 例 2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与 所存年数 x 之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间 的函数关系． 解 （1）由题意，得S = 6a 2 (a & 0) ，其中 S 是 a 的二次函数； x2 ( x & 0) ，其中 y 是 x 的二次函数； 4π（2）由题意，得y=（3）由题意，得y = 10000 + 1.98% x ? 10000 （x≥0 且是正整数），其中 y 是 x 的一次函数； （4） 由题意， 得S=1 1 x(26 ? x) = ? x 2 + 13 x(0 & x & 26) ， 其中 S 是 x 的二次函数． 2 2例 3．正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余 下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1） S = 15 ? 4 x = 225 ? 4 x (0 & x &2 2 2215 )； 2（2）当 x=3cm 时， S = 225 ? 4 × 3 = 189 （cm2）． [当堂课内练习] 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） y ? x 2 = 0 （3） y = x +2（2） y = ( x + 2)( x ? 2) ? ( x ? 1) 2 （4） y =k 2 +k1 xx 2 + 2x ? 32．当 k 为何值时，函数 y = ( k ? 1) x+ 1 为二次函数？3．已知正方形的面积为 y (cm 2 ) ，周长为 x（cm）． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数． [本课课外作业] A组2 1． 已知函数 y = ( m ? 3) xm 2 ?7是二次函数，求 m 的值．2 2． 已知二次函数 y = ax ，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值．3． 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式．若圆柱 的底面半径 x 为 3，求此时的 y． 4． 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之 间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围． B组 5．对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y = ( m ? 1) 2 x 2 B．y = (m + 1) 2 x 2 C．y = (m 2 + 1) x 2 D．y = ( m 2 ? 1) x 2 （ ）6．下列函数关系中，可以看作二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）模型的是A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B． 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计 空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一)知识与技能 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精 神． 2．通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一 步培养学生的数形结合思想． 3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创 造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2．具有初步的创新精神和实践能力．3 教学重点 1．体会方程与函数之间的联系． 2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根． 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标． 教学难点 1．探索方程与函数之间的联系的过程． 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k≠0)和一次函数 y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们 之间的关系．当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0， 且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b＝0 的解． 2 2 现在我们学习了一元二次方程 ax +bx+c＝0(a≠0)和二次函数 y＝ax +bx+c(a≠0)，它 们之间是否也存在一定的关系呢? 2.选教材提出的问题，直接引入新课 Ⅱ．合作交流 解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成. 观察：教材 22 页，学生小组交流. 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳. Ⅲ.应用迁移 巩固提高 1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 .抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围. 3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况 Ⅳ．总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的 联系． 2．理解了二次函数与 x 轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的 实根和没有实根. 3.数学方法:分类讨论和数形结合. 反思：在判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 Ⅴ．课后作业 P231.3.54 26．2 [本课知识重点]2二次函数的图象与性质（1）会用描点法画出二次函数 y = ax 的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维] 我们已经知道，一次函数 y = 2 x + 1 ，反比例函数 y = ，那么二次函数 y = x 2 的图象是什么呢？ （1）描点法画函数 y = x 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？23 的图象分别是 x、当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数 y = x 2 的图象，你能得出什么结论？ [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有 何共同点？有何不同点？ （1） y = 2 x 2 解 列表 x … … … -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 … … … （2） y = ?2 x 2y = 2x 2 y = ?2 x 2分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是 抛物线，如图 26．2．1． 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点： y = 2 x 2 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对 称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线 自左向右上升．y = ?2 x 2 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛 物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．5 例 2．已知 y = ( k + 2) xk 2 + k ?4是二次函数，且当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大．（1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解 （1）由题意，得 ??k 2 + k ? 4 = 2 ， 解得 k=2． ?k + 2 & 02 （2）二次函数为 y = 4x ，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴．例 3．已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2． （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题， 解这类问题时要注意自变量的取值范围； 画图象时， 自变量 C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得 S =1 2 C (C & 0) ． 166 8 4 … …列表： C 2 4 1S=1 2 C 161 49 4描点、连线，图象如图 26．2．2． （2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm． （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4 cm2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习] 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标． （1） y = 3x 2 2．（1）函数 y = （2） y = ?3x 2 ，对称轴是 ，对称轴是 （3） y =1 2 x 3； ．2 2 x 的开口 3 1 2 （2）函数 y = ? x 的开口 4，顶点坐标是 ，顶点坐标是3．已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的 草图．6 [本课课外作业] A组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1） y = ?4x 2 2．填空： （1）抛物线 y = ?5x 2 ，当 x= （2）当 m= 时，y 有最m2 ?m（2） y =1 2 x 4值，是 ．时，抛物线 y = ( m ? 1) x2 k 2 ? 2 k ?1开口向下． ，当 x 时，y（3）已知函数 y = ( k + k ) x 随 x 的增大而增大． 3．已知抛物线 y = kxk 2 + k ?10是二次函数，它的图象开口中，当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大．（1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图）． 4．已知抛物线 y = ax 2 经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值． B组 5．底面是边长为 x 的正方形，高为 0．5cm 的长方体的体积为 ycm3．（1）求 y 与 x 之间 的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的值； （4）根据图象，求出 x 取何值时，y≥4．5 cm3． 6．二次函数 y = ax 2 与直线 y = 2 x ? 3 交于点 P（1，b）． （1）求 a、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出SMON 的面积． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（2） [本课知识重点] 会画出 y = ax 2 + k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 同学们还记得一次函数 y = 2 x 与 y = 2 x + 1 的图象的关系吗？7 ，你能由此推测二次函数 y = x 与 y = x + 1 的图象之间的关系吗？2 2，那么 y = x 2 与 y = x 2 ? 2 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出函数 y = 2x 与 y = 2 x + 2 的图象．2 2解列表． x … … … -3 18 20 -2 8 10 -1 2 4 0 0 2 1 2 4 2 8 10 3 18 20 … … …y = 2x 2 y = 2x 2 + 2描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．3 所示．回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图 象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些 不同？你能由此说出函数 y = 2x 2 与 y = 2 x 2 ? 2 的图象之间的关系吗？ 例 2．在同一直角坐标系中，画出函数 y = ? x 2 + 1 与 y = ? x 2 ? 1 的图象，并说明，通过 怎样的平移，可以由抛物线 y = ? x 2 + 1 得到抛物线 y = ? x 2 ? 1 ． 解 列表． x … -3 -2 -1 08123… y = ?x2 +1 y = ?x2 ?1… …-8 -10-3 -50 -21 -10 -2-3 -5-8 -10… …描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．4 所示．可以看出，抛物线 y = ? x 2 ? 1 是由抛物线 y = ? x 2 + 1 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线 y = ? x 2 + 1 和抛物线 y = ? x 2 ? 1 分别是由抛物线 y = ? x 2 向上、向 下平移一个单位得到的． 探索 如果要得到抛物线 y = ? x 2 + 4 ，应将抛物线 y = ? x 2 ? 1 作怎样的平移？ 例 3．一条抛物线的开口方向、对称轴与 y =1 2 x 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过 2点（1，1），求这条抛物线的函数关系式． 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作 y = ax 2 ? 2( a & 0) ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以， 1 = a ? 1 ? 2 ，2解得 a = 3 ．故所求函数关系式为 y = 3 x 2 ? 2 ． 回顾与反思 归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标y = ax 2 + k （a、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标y = ax + k2a&0 a&09 [当堂课内练习] 1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=1 2 x ， 2y=1 2 x +2， 2y=1 2 x ? 2． 2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说1 2 x + k 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2 1 2 2．抛物线 y = x ? 9 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 4 1 2 以看作是由抛物线 y = x 向 平移 个单位得到的． 4出抛物线 y = 3．函数 y = ?3 x 2 + 3 ，当 x 数取得最 值，最 [本课课外作业] 1．已知函数 y = 值 y= 时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 x ． A组，它可时，函1 2 x ， 3y=1 2 x + 3， 3y=1 2 x ?2． 3（1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数 y =1 2 x + 5 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 3 1 2 2． 不画图象，说出函数 y = ? x + 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函 4 1 2 数 y = ? x 通过怎样的平移得到的． 43．若二次函数 y = ax 2 + 2 的图象经过点（-2，10），求 a 的值．这个函数有最大还是最 小值？是多少？ B组 4．在同一直角坐标系中 y = ax 2 + b 与 y = ax + b( a ≠ 0, b ≠ 0) 的图象的大致位置是 ( )10 5． 已知二次函数 y = 8 x 2 ? ( k ? 1) x + k ? 7 ， k 为何值时， 当 此二次函数以 y 轴为对称轴？ 写出其函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（3） [本课知识重点] 会画出 y = a ( x ? h) 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 我们已经了解到，函数 y = ax 2 + k 的图象，可以由函数 y = ax 2 的图象上下平移所 得，那么函数 y =1 1 ( x ? 2) 2 的图象，是否也可以由函数 y = x 2 平移而得呢？画图试一 2 2试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y=1 2 1 1 x ， y = ( x + 2) 2 ， y = ( x ? 2) 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐 2 2 2标． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …1 y = x2 2 1 y = ( x + 2) 2 21 y = ( x ? 2) 2 2…9 2 1 221 2 1 29 201 229 2……0225 2 825 2 ……25 2 821 201 2…11 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26．2．5 所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= -2 和直线 x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线 y = 当x 值 y= 探索1 ( x + 2) 2 ，当 x 2时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 时，函数取得最 值，最时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ．1 1 ( x + 2) 2 和抛物线 y = 1 ( x ? 2) 2 分别是由抛物线 y = x 2 向左、向右 2 2 2 1 1 2 2 平移两个单位得到的．如果要得到抛物线 y = ( x ? 4) ，应将抛物线 y = x 作怎样的 2 2抛物线 y =平移？ 例 2．不画出图象，你能说明抛物线 y = ?3x 2 与 y = ?3( x + 2) 2 之间的关系吗? 解 抛物线 y = ?3x 2 的顶点坐标为（0，0）；抛物线 y = ?3( x + 2) 2 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线 y = ?3x 2 与 y = ?3( x + 2) 2 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是 y 轴和直线 x = ?2 ．抛物线 y = ?3( x + 2) 2 是由 y = ?3x 2 向左平移 2 个单位而得的． 回顾与反思 标归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标y = a ( x ? h) 2 （a、h 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐y = a ( x ? h)2a&0 a&012 [当堂课内练习] 1 ． 画 图 填 空 ： 抛 物 线 y = ( x ? 1) 2 的 开 口 是 ，它可以看作是由抛物线 y = x 向2，对称轴是 平移，顶点坐标个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y = ?2x 2 ， y = ?2( x ? 3) 2 ， y = ?2( x + 3) 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． [本课课外作业] A组1 2 1 1 2 2 1．已知函数 y = ? x ， y = ? ( x + 1) ， y = ? ( x ? 1) ． 2 2 2（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质． 2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y = ? 线y=?1 2 x 得到抛物 21 1 ( x + 1) 2 和 y = ? ( x ? 1) 2 ？ 2 2时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 x ． 时，3．函数 y = ?3( x + 1) 2 ，当 x 函数取得最 值，最 值 y=4．不画出图象，请你说明抛物线 y = 5x 2 与 y = 5( x ? 4) 2 之间的关系． B组2 5．将抛物线 y = ax 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求 a 的值． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（4） [本课知识重点] 1．掌握把抛物线 y = ax 2 平移至 y = a ( x ? h ) 2 +k 的规律； 2．会画出 y = a ( x ? h ) 2 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]13 由前面的知识，我们知道，函数 y = 2x 的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数2y = 2 x 2 + 2 的图象； 函数 y = 2x 2 的图象， 向右平移 3 个单位， 可以得到函数 y = 2( x ? 3) 2的图象， 那么函数 y = 2x 的图象， 如何平移， 才能得到函数 y = 2( x ? 3) + 2 的图象呢？2 2[实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y=1 2 1 1 x ， y = ( x ? 1) 2 ， y = ( x ? 1) 2 ? 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点 2 2 2坐标． 解 列表． x … … … … -3 -2 2 -1 0 0 1 2 2 3 … … … …y= y=y=1 2 x 29 28 61 22 01 20 -29 22 01 ( x ? 1) 2 29 21 2? 3 21 2? 3 21 ( x ? 1) 2 ? 2 25 2描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26．2．6 所示．它们的开口方向都向 坐标分别为 、 间的关系．，对称轴分别为 、、 、 ，顶点 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 y = a ( x ? h ) 2 +k 中 k 的值； 左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确14 定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数 y = a ( x ? h ) 2 +k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标吗？试填写下表． 开口方向 对称轴 顶点坐标y = a ( x ? h ) 2 +ka&0 a&0例 2．把抛物线 y = x 2 + bx + c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线y = x 2 ，求 b、c 的值．分析 抛物线 y = x 2 的顶点为（0，0），只要求出抛物线 y = x 2 + bx + c 的顶点，根据顶 点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、c 的值． 解b 2 b2 b2 b2 y = x + bx + c = x + bx + ? + c = (x + ) + c ? ． 4 4 2 42 2向上平移 2 个单位，得到 y = ( x +b 2 b2 ) +c? +2， 2 4 b b2 + 4) 2 + c ? + 2， 2 4再向左平移 4 个单位，得到 y = ( x +其顶点坐标是 ( ?b b2 ? 4, c ? + 2) ，而抛物线 y = x 2 的顶点为（0，0），则 2 4? b ?? 2 ? 4 = 0 ? ? 2 ?c ? b + 2 = 0 ? 4 ?解得?b = ?8 ? ?c = 14探索 把抛物线 y = x 2 + bx + c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线y = x 2 ，也就意味着把抛物线 y = x 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到抛15 物线 y = x + bx + c ．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．2[当堂课内练习] 1．将抛物线 y = 2( x ? 4) ? 1 如何平移可得到抛物线 y = 2x2 2（）A．向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B．向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C．向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 2．把抛物线 y = ? 关系式为3 2 x 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数 2． 平移 个单位， 再向 平1 2 1 2 3． 抛物线 y = 1 + 2 x ? x 可由抛物线 y = ? x 向 2 2移 个单位而得到． [本课课外作业] A组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y = ?3x 2 ， y = ?3( x + 2) 2 ， y = ?3( x + 2) 2 ? 1 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2．将抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 5 先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的 抛物线的函数关系式． 3．将抛物线 y = ?1 2 3 1 x + x + 如何平移，可得到抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 3 ？ 2 2 2B组4．把抛物线 y = x 2 + bx + c 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线y = x 2 ? 3 x + 5 ，则有A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21（）5．抛物线 y = ?3 x 2 + bx + c 是由抛物线 y = ?3 x 2 ? bx + 1 向上平移 3 个单位，再向左平 移 2 个单位得到的，求 b、c 的值． 再向上平移 k 个单位， 其中 h＞0， k＜0， 6． 将抛物线 y = ax 2 ( a ≠ 0) 向左平移 h 个单位， 求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会]16 26．2 二次函数的图象与性质（5） [本课知识重点] 1．能通过配方把二次函数 y = ax 2 + bx + c 化成 y = a ( x ? h) 2 +k 的形式，从而确定开口 方向、对称轴和顶点坐标； 2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM 及创新思维] 我们已经发现，二次函数 y = 2( x ? 3) 2 + 1 的图象，可以由函数 y = 2x 2 的图象先向 平移 的开口 个单位， 再向 平移 个单位得到， 因此， 可以直接得出： 函数 y = 2( x ? 3) 2 + 1 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函，对称轴是数，如 y = ? x 2 + 3 x ? 2 ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出 图象吗？ [实践与探索] 例 1．通过配方，确定抛物线 y = ?2 x 2 + 4 x + 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点 画图． 解y = ?2 x 2 + 4 x + 6= ? 2( x 2 ? 2 x ) + 6 = ?2( x 2 ? 2 x + 1 ? 1) + 6 = ? 2( x ? 1) 2 ? 1 + 6 = ?2( x ? 1) + 82[]因此， 抛物线开口向下， 对称轴是直线 x=1， 顶点坐标为 （1， ． 8） 由对称性列表： x … … -2 -10 -1 0 0 6 1 8 2 6 3 0 4 -10 … …y = ?2 x 2 + 4 x + 6描点、连线，如图 26．2．7 所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然 后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．17 探索对于二次函数 y = ax + bx + c ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请2你完成填空：对称轴2，顶点坐标．例 2．已知抛物线 y = x ? ( a + 2) x + 9 的顶点在坐标轴上，求 a 的值． 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；（2） 顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0． 解y = x 2 ? ( a + 2) x + 9 = ( x ?a+2 2 ( a + 2) 2 ) +9? ， 2 4则抛物线的顶点坐标是 ? 当顶点在 x 轴上时，有 解得 当顶点在 y 轴上时，有 解得?a + 2 (a + 2) 2 ? ,9 ? ?． 4 ? ? 2a+2 = 0， 2 a = ?2 ． ?9? ( a + 2) 2 = 0， 4a = 4 或 a = ?8 ．所以，当抛物线 y = x 2 ? ( a + 2) x + 9 的顶点在坐标轴上时， a 有三个值，分别是 C2，4， 8． [当堂课内练习] 1．（1）二次函数 y = ? x 2 ? 2 x 的对称轴是 （2）二次函数 y = 2 x 2 ? 2 x ? 1 的图象的顶点是 增大而减小． （3）抛物线 y = ax 2 ? 4 x ? 6 的顶点横坐标是-2，则 a = ． ． ，当 x 时，y 随 x 的2．抛物线 y = ax 2 + 2 x + c 的顶点是 ( ,?1) ，则 a 、c 的值是多少？ [本课课外作业] A组 1．已知抛物线 y =1 31 2 5 x ? 3 x + ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2 22． 利用配方法， 把下列函数写成 y = a ( x ? h) 2 +k 的形式， 并写出它们的图象的开口方向、18 对称轴和顶点坐标． （1） y = ? x 2 + 6 x + 1 （3） y = ? x + nx2（2） y = 2 x 2 ? 3 x + 4 （4） y = x + px + q23．已知 y = (k + 2) xk 2 + 2 k ?6是二次函数，且当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大．（1）求 k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴． B组 4．当 a & 0 时，求抛物线 y = x + 2ax + 1 + 2a 的顶点所在的象限．2 25. 已知抛物线 y = x 2 ? 4 x + h 的顶点 A 在直线 y = ?4 x ? 1 上，求抛物线的顶点坐标． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（6） [本课知识重点] 1．会通过配方求出二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的最大或最小值； 2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际 问题中的最大或最小值． [MM 及创新思维] 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题： 某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售， 一天可销出约 100 件． 该 店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每 降低 1 元， 其销售量可增加约 10 件． 将这种商品的售价降低多少时， 能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，则可得函数关系式为二 次函数 y = ?10 x 2 + 100 x + 2000 ．那么，此问题可归结为：自变量 x 为何值时函数 y 取 得最大值？你能解决吗? [实践与探索] 例 1．求下列函数的最大值或最小值． （1） y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 ； （2） y = ? x 2 ? 3 x + 4 ．分析 由于函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 和 y = ? x 2 ? 3 x + 4 的自变量 x 的取值范围是全体实数， 所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 中的二次项系数 2＞0，19 因此抛物线 y = 2 x ? 3 x ? 5 有最低点，即函数有最小值．2因为 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 = 2( x ? ) ?23 449 ， 8所以当 x =3 49 时，函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 有最小值是 ? ． 4 82（2）二次函数 y = ? x ? 3 x + 4 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线 y = ? x ? 3 x + 4 有最高点，即函数有最大值．2因为 y = ? x ? 3 x + 4 = ? ( x +23 2 25 ) + ， 2 4所以当 x = ?3 25 时，函数 y = ? x 2 ? 3 x + 4 有最大值是 ． 2 4回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a＞0 有最小值，a＜0 有最大 值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 探索 试一试，当 2．5≤x≤3．5 时，求二次函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 的最大值或最小值． 例 2．某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y （件）之间关系如下表： x（元） y（件） 130 150 165 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少 元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知 x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为 y = ? x + 200 ． 设每日销售利润为 s 元，则有s = y ( x ? 120) = ?( x ? 160) 2 + 1600 ．因为 ? x + 200 ≥ 0, x ? 120 ≥ 0 ，所以 120 ≤ x ≤ 200 ． 所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润最大，最大销售利润为 1600 元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所 得的函数，得出结果． 例 3．如图 26．2．8，在 RtSABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上， 分别作 DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF，设 DE=x，DF=y．20 （1）用含 y 的代数式表示 AE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形 DECF 为矩形，因此AE = AC ? DF = 8 ? y ．（2）由 DE ∥ BC ，得DE AE x 8? y = ，即 = ， BC AC 4 8所以， y = 8 ? 2 x ，x 的取值范围是 0 & x & 4 ． （3） S = xy = x(8 ? 2 x) = ?2 x 2 + 8 x = ?2( x ? 2) 2 + 8 ， 所以，当 x=2 时，S 有最大值 8． [当堂课内练习] 1．对于二次函数 y = x 2 ? 2 x + m ，当 x= 时，y 有最小值． （ ）2． 已知二次函数 y = a ( x ? 1) 2 + b 有最小值 C1， a 与 b 之间的大小关系是 则A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫 每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ [本课课外作业] A组 1．求下列函数的最大值或最小值． （1） y = ? x 2 ? 2 x ； （2） y = 2 x 2 ? 2 x + 1 ．2．已知二次函数 y = x 2 ? 6 x + m 的最小值为 1，求 m 的值．， 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满 足函数关系： y = ?0.1x 2 + 2.6 x + 43(0 ≤ x ≤ 30) ．y 值越大，表示接受能力越强． （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步 降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？21 B组 4．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2 x 2 ? 6 x + m 的函数值总是正值，求 m 的取值 范围． 5．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2． （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）如果要围成面积为 45 m2 的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比 45 m2 更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 6．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，线段 EF 在对角线 AC 上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是 G、H，且 EG+FH=EF． （1）求线段 EF 的长； （2）设 EG=x，SAGE 与SCFH 的面积和为 S， 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围， 并求出 S 的最小值． [本课学习体会] 26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点] 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． [MM 及创新思维] 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求 出函数关系式．例如：我们在确定一次函数 y = kx + b( k ≠ 0) 的关系式时，通常需要两个 独立的条件：确定反比例函数 y =k (k ≠ 0) 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确 x定二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的关系式，又需要几个条件 呢？ [实践与探索] 例 1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26．2．9 所示，现测得水 面宽 1．6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2．4m，在图中直角坐标 系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线 为 x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原 点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y = ax 2 (a & 0) ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．22 解由题意，得点 B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入 y = ax 2 ( a & 0) ，得? 2 .4 = a × 0 .8 2所以 因此，函数关系式是 y = ?a=?15 ． 415 2 x ． 4例 2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点 A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）； （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为 4． 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为 y = ax 2 + bx + c 的 形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为 y = a ( x ? 1) 2 ? 3 ，再根据抛 物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数 关系式为 y = a ( x + 3)( x ? 5) ，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（4）根据已知 抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为 y = a ( x ? 3) 2 ? 2 ，同时可知抛物线的对 称轴为 x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为 4，可得抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0） 和（5，0），任选一个代入 y = a ( x ? 3) 2 ? 2 ，即可求出 a 的值． 解 （1）设二次函数关系式为 y = ax 2 + bx + c ，由已知，这个函数的图象过（0，-1）， 可以得到 c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到?a + b = 1 ? ?a ? b = 3解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是 y = 2 x 2 ? 2 x ? 1 ． （2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为 y = a ( x ? 1) 2 ? 3 ， 又由于抛物线与 y 轴交于点（0，1），可以得到23 1 = a (0 ? 1) 2 ? 3解得a = 4．2 2所以，所求二次函数的关系式是 y = 4( x ? 1) ? 3 = 4 x ? 8 x + 1 ． （3）因为抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0）， 所以设二此函数的关系式为 y = a ( x + 3)( x ? 5) ． 又由于抛物线与 y 轴交于点（0，3），可以得到? 3 = a (0 + 3)(0 ? 5) ．解得 所以，所求二次函数的关系式是 y =a=1 ． 51 1 2 ( x + 3)( x ? 5) = x 2 ? x ? 3 ． 5 5 5（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成． 回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系 式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可 设如下三种形式： （1）一般式： y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ，给出三点坐标可利用此式来求． （2）顶点式： y = a ( x ? h) 2 + k ( a ≠ 0) ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来 求． （3）交点式： y = a ( x ? x1 )( x ? x 2 )(a ≠ 0) ，给出三点，其中两点为与 x 轴的两个交点( x1 ,0) 、 ( x 2 ,0) 时可利用此式来求．[当堂课内练习] 1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）； （2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）； （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 2．二次函数图象的对称轴是 x= -1，与 y 轴交点的纵坐标是 C6，且经过点（2，10），求 此二次函数的关系式． [本课课外作业] A组 1．已知二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过点 A（-1，12）、B（2，-3），24 （1）求该二次函数的关系式； （2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成 y = a ( x ? h) 2 + k 的形式，并求出该抛物线 的顶点坐标和对称轴． 2．已知二次函数的图象与一次函数 y = 4 x ? 8 的图象有两个公共点 P（2，m）、Q（n， -8），如果抛物线的对称轴是 x= -1，求该二次函数的关系式． 3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面 宽 AB=4m，顶部 C 离地面高度为 4．4m．现有一辆满载货物的 汽车欲通过大门， 货物顶部距地面 2． 8m， 装货宽度为 2． 4m． 请 判断这辆汽车能否顺利通过大门． 4．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ，当 x=3 时，函数取得最大值 10，且它的图象在 x 轴 上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式． B组 5．已知二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过（1，0）与（2，5）两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数 y = x 2 + bx + c 解析式的题 目，使所求得的二次函数与（1）的相同． 6．抛物线 y = x 2 + 2mx + n 过点（2，4），且其顶点在直线 y = 2 x + 1 上，求此二次函 数的关系式． [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（1） [本课知识重点] 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义． [MM 及创新思维] 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在 2004 雅典奥运会的 赛场上， 很多项目， 如跳水、 铅球、 篮球、 足球、 排球等都与二次函数及其图象息息相关． 你 知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ [实践与探索] 例 1．如图 26．3．1，一位运动员推铅球，铅 球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的 关系是 y = ?1 2 2 5 x + x + ，问此运动员把 12 3 325铅球推出多远？ 解如图，铅球落在 x 轴上，则 y=0，因此， ?1 2 2 5 x + x+ =0． 12 3 3解方程，得 x1 = 10, x 2 = ?2 （不合题意，舍去）． 所以，此运动员把铅球推出了 10 米． 探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情 境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面5 m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地 3面上的点 10m，铅球运行中最高点离地面 3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函 数关系式．你能解决吗？试一试． 例 2．如图 26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2．25m． （1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 使喷出的水流不致落到池外？ （2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 3． 要使水流不落到池外， 5m， 此时水流最大高度应达多少米？ （精确到 0．1m） 分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用 题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图 26．3．3， 我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可 解决问题． 解 （1）以 O 为原点，OA 为 y 轴建立坐标系．设抛物线顶点 为 B，水流落水与 x 轴交点为 C（如图 26．3．3）． 由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25）， 因此，设抛物线为 y = a ( x ? 1) 2 + 2.25 ． 将 A（0，1．25）代入上式，得 1.25 = a (0 ? 1) 2 + 2.25 ， 解得a = ?12 所以，抛物线的函数关系式为 y = ?( x ? 1) + 2.25 ．当 y=0 时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5， 所以 C（2．5，0），即水池的半径至少要 2．5m． （2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为 y = ?( x ? h) 2 + k ． 由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得 h= -1．6，k=3．7． 所以，水流最大高度应达 3．7m．26 [当堂课内练习] 1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面 1．9 米，当球飞行距离为 9 米时达最大高度 5．5 米，已知球场长 18 米，问这样发球是否会直 接把球打出边线？ 2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高 2．5 米，与球圈中心的水平距 离为 7 米，当球出手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米．设篮球运行轨迹为抛物线，球 圈距地面 3 米，问此球是否投中？ [本课课外作业] A组 1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距 离是 6 米时，球到达最高点，此时球高 3 米，已知球门高 2．44 米，问能否射中球门？ 2． 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品， 年初上市后， 公司经历了从亏损到赢利的过程． 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累 积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元） 与时间 t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ 3．如图，一位运动员在距篮下 4m 处跳起投篮，球运行的路 线是抛物线，当球运行的水平距离为 2．5m 时，达到最大高 度 3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3．05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式； （2）该运动员身高 1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ B组 4．某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间 距 0．4m 加设不锈钢管（如图 a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设 计人员利用图 b 所示的坐标系进行计算． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．27 5．某跳水运动员在进行 10m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如 图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况 下，该运动员在空中的最高处距水面 102 m，入水处距 3池边的距离为 4m，同时运动员在距水面高度 5m 以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则 就会出现失误． （1）求这条抛物线的函数关系式； （2） 在某次试跳中， 测得运动员在空中的运动路线是 （1） 中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池 边的水平距离为 3 计算说明理由． [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（2） [本课知识重点] 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程． [MM 及创新思维] 二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的 问题：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元， 设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解 决． [实践与探索] 例 1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元。 物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发现：单价 定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在销售过程中， 每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为 x 元，日 均获利为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成 y = a ( x +3 m， 问此次跳水会不会失误？并通过 5b 2 4ac ? b 2 ) + 的形式，写出顶点 2a 4a坐标； 在直角坐标系画出草图； 观察图象， 指出单价定为多少元时日均获利最多， 是多少？ 分析 若销售单价为 x 元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出 2（70-x）千克，日均 销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。28 解（1）根据题意，得y = ( x ? 30)[60 + 2(70 ? x)] ? 500 = ?2 x 2 + 260 x ? 6500 (30≤x≤70)。（2） y = ?2 x + 260 x ? 6500 = ?2( x ? 65) + 1950 。22顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。 经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元。 例 2。某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件．为 了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是 x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系 如下表： X（十万元） y 0 1 1 1．5 2 1．8 … …（1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元）与广告 费 x（十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为 10～30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随 广告费的增大而增大？ 解 （1）设二次函数关系式为 y = ax 2 + bx + c 。?c = 1 ? 由表中数据，得 ?a + b + c = 1.5 。 ?4a + 2b + c = 1.8 ?1 ? ?a = ? 10 ? 3 ? 解得 ?b = 。 5 ? ?c = 1 ? ?所以所求二次函数关系式为 y = ?1 2 3 x + x +1。 10 5（2）根据题意，得 S = 10 y ? (3 ? 2) x = ? x 2 + 5 x + 10 。29 （3） S = ? x + 5 x + 10 = ?( x ? ) +2 25 265 。 4由于 1≤x≤3，所以当 1≤x≤2。5 时，S 随 x 的增大而增大。． [当堂课内练习] 1．将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元一个售出时，每天能卖出 20 个，若这 种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润， 则 应 降 价 （ ） A、5 元 B、10 元 C、15 元 D、20 元 2．某公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万件，为了 获得更好的效益， 公司准备拿出一定的资金做广告． 根据经验， 每年投入的广告费是 x （万x2 7 7 + x + ，如果把利润看 元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y = ? 10 10 10作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（万元）与广告费 x（万元）的函数 关系式， 并计算广告费是多少万元时， 公司获得的年利润最大， 最大年利润是是多少万元？ [本课课外作业] A组 1.某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装， 根据试销得知： 这种服装每天的销售量 t 件） （ ， 与每件的销售价 x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。 （1）写出商场卖这种服装每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 之间的函数关系式（每天 的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； （2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件 的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 2．某旅社有客房 120 间，当每间房的日租金为 50 元时，每天都客满，旅社装修后，要提 高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加 5 元，则客房每天出租数会减少 6 间，不 考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客 房日租金总收入增加多少元？ 3．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品．据市场分析，若按每千克 50 元销 售，一个月能售出 500kg；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg．针对这种水产品的 销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式； (3)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单 价应定为多少？ B组 4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段 距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能v车速不超过 140 千米/时w， 对这种汽车进行测试，数据如下表：30 刹车时车速（千米/时） 刹车距离0 010 0．320 1．030 2．140 3．650 5．560 7．8v1w以车速为 x 轴，以刹车距离为 y 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并 用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象； v2w观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式； v3w该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为 46．5 米，请推 测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（3） [本课知识重点] （1）会求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点坐标； （2）了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． [MM 及创新思维] 给出三个二次函数： （1）y = x 2 ? 3 x + 2 ； （2）y = x 2 ? x + 1 ； （3）y = x 2 ? 2 x + 1 ． 它们的图象分别为观察图象与 x 轴的交点个数，分别是 个数与什么有关吗？个、个、个．你知道图象与 x 轴的交点另外，能否利用二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象寻找方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) ，不 等式 ax 2 + bx + c & 0( a ≠ 0) 或 ax 2 + bx + c & 0( a ≠ 0) 的解？ [实践与探索] 例 1．画出函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？31 （2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程 x ? 2 x ? 3 = 0 有什么关系？2（3）x 取什么值时，函数值 y 大于 0？x 取什么值时，函数值 y 小于 0？ 解 图象如图 26．3．4， （1）图象与 x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与 y 轴的 交点坐标为（0，-3）． （2）当 x= -1 或 x=3 时，y=0，x 的取值与方程 x ? 2 x ? 3 = 0 的2解相同． （3）当 x＜-1 或 x＞3 时，y＞0；当 -1＜x＜3 时，y＜0．回顾与反思 （1）二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解 决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决． （2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与 x 轴的交点， 再根据交点的坐标写出不等式的解集． 例 2．（1）已知抛物线 y = 2( k + 1) x 2 + 4kx + 2k ? 3 ，当 k= 轴相交于两点． （2） 已知二次函数 y = ( a ? 1) x 2 + 2ax + 3a ? 2 的图象的最低点在 x 轴上， a= 则 ． 时，抛物线与 x（3）已知抛物线 y = x 2 ? ( k ? 1) x ? 3k ? 2 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0）， 且 α 2 + β 2 = 17 ，则 k 的值是 分析 ．（1 ）抛 物线 y = 2( k + 1) x 2 + 4kx + 2k ? 3 与 x 轴相 交于 两点 ，相当于 方程2(k + 1) x 2 + 4kx + 2k ? 3 = 0 有两个不相等的实数根，即根的判别式S＞0．（2）二次函数 y = ( a ? 1) x 2 + 2ax + 3a ? 2 的图象的最低点在 x 轴上，也就是说，方程(a ? 1) x 2 + 2ax + 3a ? 2 = 0 的两个实数根相等，即S=0．（3）已知抛物线 y = x 2 ? ( k ? 1) x ? 3k ? 2 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0）， 即 α 、 β 是 方 程 x 2 ? ( k ? 1) x ? 3k ? 2 = 0 的 两 个 根 ， 又 由 于 α 2 + β 2 = 17 ， 以 及32 α 2 + β 2 = (α + β ) 2 ? 2αβ ，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空． 回顾与反思 二次函数的图象与 x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数 根的问题，这可从计算根的判别式入手． 例 3．已知二次函数 y = ? x + ( m ? 2) x + m + 1 ，2（1）试说明：不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点； （2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 y 轴？2 分析 （1）要说明不论 m 取任何实数，二次函数 y = ? x + ( m ? 2) x + m + 1 的图象必与x 轴有两个交点，只要说明方程 ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 = 0 有两个不相等的实数根，即S ＞0． （2） 两个交点都在原点的左侧， 也就是方程 ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 = 0 有两个负实数根， 因而必须符合条件①S＞0，② x1 + x 2 & 0 ，③ x1 ? x 2 & 0 ．综合以上条件，可解得所求 m 的值的范围． （3）二次函数的图象的对称轴是 y 轴，说明方程 ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 = 0 有一正一负 两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①S＞0，② x1 + x 2 = 0 ． 解 （1）S= (m ? 2) 2 ? 4 × ( ?1) × ( m + 1) = m 2 + 8 ，由 m ≥ 0 ，得 m + 8 & 0 ，所以2 2S＞0，即不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点． （2）由 x1 + x 2 = m ? 2 & 0 ，得 m & 2 ；由 x1 ? x 2 = ?m ? 1 & 0 ，得 m & ?1 ；又由（1）， S＞0，因此，当 m & ?1 时，两个交点都在原点的左侧． （3）由 x1 + x 2 = m ? 2 = 0 ，得 m=2，因此，当 m=2 时，二次函数的图象的对称轴是 y 轴． 探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是 y 轴，即二次函 数 y = ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 是 由函 数 y = ? x 2 上 下 平移 所 得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题． [当堂课内练习]33 1．已知二次函数 y = x ? 3 x ? 4 的图象如图，2则方程 x ? 3 x ? 4 = 0 的解是2， ， ． ，与 x 轴的交点坐标不等式 x ? 3 x ? 4 & 0 的解集是2不等式 x ? 3 x ? 4 & 0 的解集是2 22．抛物线 y = 3 x ? 2 x ? 5 与 y 轴的交点坐标为 为2．3．已知方程 2 x ? 3 x ? 5 = 0 的两根是 个交点间的距离为 ．5 ，-1，则二次函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 与 x 轴的两 24．函数 y = ax 2 ? ax + 3 x + 1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的值及交点坐标． [本课课外作业] A组 1．已知二次函数 y = x 2 + x ? 6 ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）方程 x + x ? 6 = 0 的解是什么？2（2）x 取什么值时，函数值大于 0？x 取什么值时，函数值小于 0？ 2．如果二次函数 y = x 2 ? 6 x + c 的顶点在 x 轴上，求 c 的值． 3．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2 x 2 ? 6 x + m 的函数值总是正值，求 m 的取值 范围． 4．已知二次函数 y = 2 x 2 ? 4 x ? 6 ， 求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与 x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x 为何值时，y＞0． 5．你能否画出适当的函数图象，求方程 x = ? x + 2 的解？2B组 6．函数 y = mx 2 + x ? 2m （m 是常数）的图象与 x 轴的交点有 A．0 个 B．1 个 C．2 个34（）D．1 个或 2 个 7．已知二次函数 y = x + ax + a ? 2 ．2 2 （1）说明抛物线 y = x + ax + a ? 2 与 x 轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于 a 的表达式）； （3）a 取何值时，两点间的距离最小？ [本课学习体会]26 . 3 实践与探索（4） [本课知识重点] 掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法． [MM 及创新思维] 上节课的作业第 5 题：画图求方程 x = ? x + 2 的解，你是如何解决的呢？我们来看2一看两位同学不同的方法．2 甲：将方程 x = ? x + 2 化为 x + x ? 2 = 0 ，画出 y = x + x ? 2 的图象，观察它与 x 轴 2 2的交点，得出方程的解． 乙：分别画出函数 y = x 2 和 y = ? x + 2 的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方 程的解． 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流． [实践与探索] 例 1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1） x + 2 x ? 3 = 0 ；2（2） 2 x ? 5 x + 2 = 0 ．2分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比 画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线 y = x 2 的图象，再根据待解的方程，画出相应 的直线，交点的横坐标即为方程的解． 解 （1）在同一直角坐标系中画出 函数 y = x 2 和 y = ?2 x + 3 的图象， 如图 26．3．5， 得到它们的交点（-3，9）、（1，1），35 则方程 x + 2 x ? 3 = 0 的解为 C3，1．2（2）先把方程 2 x ? 5 x + 2 = 0 化为25 x + 1 = 0 ，然后在同一直角 2 5 坐标系中画出函数 y = x 2 和 y = x ? 1 2 x2 ?的图象，如图 26．3．6，1 1 ， ）、（2，4）， 2 4 1 2 则方程 2 x ? 5 x + 2 = 0 的解为 ，2． 2得到它们的交点（ 回顾与反思 一般地，求一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的近似解时，可先将方程ax 2 + bx + c = 0 化为 x 2 +b c b c x + = 0 ，然后分别画出函数 y = x 2 和 y = ? x ? 的图 a a a a象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解． 例 2．利用函数的图象，求下列方程组的解：1 3 ? ?y = ? x + (1) ? 2 2； ?y = x2 ?分析 （1）可以通过直接画出函数 y = ?（2） ?? y = 3x + 62 ? y = x + 2x．1 3 x + 和 y = x 2 的图象，得到它们的交点，从 2 2 1 3 x+ 2 2而得到方程组的解；（2）也可以同样解决． 解 （1）在同一直角坐标系中画出函数 y = x 2 和 y = ? 的图象，如图 26．3．7， 得到它们的交点（ ?3 9 ， ）、（1，1）， 2 43 ? 1 3 ? ? x1 = ? 2 ? x 2 = 1 ? ?y = ? x + 则方程组 ? ,? ． 2 2 的解为 ? ?y = x2 ? y = 9 ? y2 = 1 ? ? 1 4 ?36 （2）在同一直角坐标系中画出函数 y = x 2 + 2 x 和 y = 3 x + 6 的 图象，如图 26．3．8， 得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组 ?? y = 3x + 62 ? y = x + 2x的解为 ?? x1 = ?2 ? x 2 = 3 ,? ． ? y1 = 0 ? y 2 = 15探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此 题的方法吗？比如利用抛物线 y = x 2 的图象，请尝试一下． [当堂课内练习] 1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1） ? x + x + 1 = 0 （精确到 0．1） ；2（2） 3 x ? 5 x + 2 = 0 ．22．利用函数的图象，求方程组 ? [本课课外作业]? y = ?x + 22 ?y = x的解：A组 1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1） x +23 x ?1 = 0 2（2）2 2 1 x + x+ =0 3 32．利用函数的图象，求下列方程组的解： （1） ??y = ?x2 ? y = ( x + 1) ? 5；（2） ? B组?y = x ? 62 ? y = ?x + 2x．3 ． 如 图 所 示 ， 二 次 函 数 y1 = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 与y 2 = kx + b(k ≠ 0) 的图象交于 A（-2，4）、B（8，2）．求能使 y1 & y 2 成立的 x 的取值范围。37 [本课学习体会]第二十六章小结与复习 一、本章学习回顾 1． 知识结构 实 际 问 题 二 次 函 数 二次函数的图象 二次函数的应用 二次函数的性质2．学习要点 （1）能结合实例说出二次函数的意义。 （2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。 （3）掌握二次函数的平移规律。 （4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。 （5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。 （6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。 （7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。 3．需要注意的问题 在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在 用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都 体现了数形结合的思想。 二、本章复习题 A组 一、填空题 1．已知函数 y = mx 的开口向上；当 m=m2 ?m，当 m=时，它是二次函数；当 m=时，抛物线时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数． ． ．2．抛物线 y = ax 2 经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 3．抛物线 y = (k + 1) x 2 + k 2 ? 9 ，开口向下，且经过原点，则 k=38 4．点 A（-2，a）是抛物线 y = x 上的一点，则 a=2； A 点关于原点的对称点 B ； 其中点 B、点 C 在抛物线 y = x 2是 上的是； 点关于 y 轴的对称点 C 是 A ．25．若抛物线 y = x ? 4 x + c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是 6．把函数 y = ? 数关系式为．1 2 x 的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得新图象的函 6． ． ． 时，y 随2 7．已知二次函数 y = x ? 8 x + m 的最小值为 1，那么 m 的值等于8．二次函数 y = ? x 2 + 2 x + 3 的图象在 x 轴上截得的两交点之间的距离为 9．抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 1 的对称轴是 ，根据图象可知，当 xx 的增大而减小． 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关 系式为 ． 11．若二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式 为 ． ， 顶点坐标是 ， 对称轴是 ， x= 当2 212． 抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 3 的开口方向向 与 x 轴的交点坐标是 y 有最 值是， 时，， y 轴的交点坐标是 与 ．13． 抛物线 y = x 2 + x + c 与 x 轴的两个交点坐标分别为 ( x1 ,0) ， x 2 ,0) ， x1 + x 2 = 3 ， ( 若 那么 c 值为 ，抛物线的对称轴为 ． 时，函数的图象是直线；当 m14．已知函数 y = ( m ? 1) x 2 + 2 x + m 2 ? 4 ．当 m时，函数的图象是抛物线；当 m 时，函数的图象是开口向上，且经过 原点的抛物线． 15．一条抛物线开口向下，并且与 x 轴的交点一个在点 A（1，0）的左边，一个在点 A（1， 0） 的右边， 而与 y 轴的交点在 x 轴下方， 写出这条抛物线的函数关系式 ． 二、选择题 16． 下列函数中， 是二次函数的有 （ ） ① y = 1?2x 2②y=1 x2③ y = x (1 ? x )39④ y = (1 ? 2 x )(1 + 2 x) A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 （ ）17． 若二次函数 y = ( m + 1) x 2 + m 2 ? 2m ? 3 的图象经过原点， m 的值必为 则 A、-1 或 32B、-1C、3D、无法确定 （ D、至少有一个交点 ）18． 二次函数 y = x ? 2( m + 1) x + 4m 的图象与 x 轴 A、没有交点 B、只有一个交点 ） C、最小值 1 D、最小值 2 C、只有两个交点19．二次函数 y = x 2 ? 2 x + 2 有（ A、最大值 1 B、最大值 220．在同一坐标系中，作函数 y = 3x 2 ， y = ?3x 2 ， y =1 2 x 的图象，它们的共同特点是 3（D ） A、都是关于 x 轴对称，抛物线开口向上 B、都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下 C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D、都是关于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 21． 已知二次函数 y = kx 2 ? 7 x ? 7 的图象和 x 轴有交点， k 的取值范围是 则 （ ）7 4 7 C、 K ≥ ? 4A、 K & ?7 且k ≠ 0 4 7 D、 K & ? 且 k ≠ 0 4 1 1 2 2 22． 二次函数 y = ( x ? 1) + 2 的图象可由 y = x 的图象 2 2B、 K ≥ ?（）A．向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 B．向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 C．向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 D．向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 23．某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提 高 2 元， 则减少 10 张床位租出； 若每床每晚收费再提高 2 元， 则再减少 10 张床位租出． 以 每次提高 2 元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ） A、4 元或 6 元 B、4 元 C、6 元 D、8 元 24． 若抛物线 y = ax 2 + bx + c 的所有点都在 x 轴下方， 则必有 A、 a & 0, b 2 ? 4ac & 0 B、 a & 0, b 2 ? 4ac & 040（） C、 a & 0, b ? 4ac & 02D、 a & 0, b ? 4ac & 022 25． 抛物线 y = 2 x + 4 x ? 1 的顶点关于原点对称的点的坐标是（）A、（-1，3） 三、解答题 26．已知二次函数 y =B、（-1，-3）C、（1，3）D、（1，-3）1 2 x + 2x + 1． 2（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值； （2）求抛物线与 x 轴、y 轴的交点； （3）作出函数图象的草图； （4）观察图象，x 为何值时，y＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y＜0？ 27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式． 28．已知二次函数，当 x=2 时，y 有最大值 5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函 数的函数关系式． 29．已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值 2． （1）求二次函数的函数关系式； （2）设此二次函数图象的顶点为 P，求SABP 的面积． 30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解： （1） 2 x ? x ? 3 = 0 ；2（2） ?? y = ?3 x ? 12 ?y = x ? x．31． 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品， 试销中发现， 这种商品每天的销售量 m （件） 与每件的销售价 x（元）满足一次函数：m=162-3x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销 售利润为多少？ B组 一、选择题 32．若所求的二次函数的图象与抛物线 y = 2 x 2 ? 4 x ? 1 有相同的顶点，并且在对称轴的 左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，则所求二次函数的 函 数 关 系 式 为 （ D ） A、 y = ? x 2 + 2 x ? 4 C、 y = ?2 x 2 ? 4 x ? 5 B、 y = ax 2 ? 2ax + a ? 3( a & 0) D、 y = ax 2 ? 2ax + a ? 3( a & 0)41 33． 二次函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0) ， x=1 时， 当 函数 y 有最大值， ( x1 , y1 ) ， x 2 , y 2 ) 设 （2是这个函数图象上的两点，且 1 & x1 & x 2 ，则 A、 a & 0, y1 & y 2 C、 a & 0, y1 & y 2 34．若关于 x 的不等式组 ? x （ ） A、没有交点 C、相交于一点 二、解答题 35．若抛物线 y = 2 xm 2 ? 4 m ?3（）B、 a & 0, y1 & y 2 D、 a & 0, y1 & y 2?x ≥ a ? 3 1 2 无解，则二次函数 y = ( 2 ? a ) x ? x + 的图象与 4 ? x ≤ 15 ? 5a轴 B、相交于两点 D、相交于一点或没有交点+ (m ? 5) 的顶点在 x 轴的下方，求 m 的值．36．把抛物线 y = x 2 + mx + n 的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图 象的解析式是 y = x 2 ? 2 x + 2 ，求 m、n． 37．如图，已知抛物线 y = ?1 2 x + (5 ? m 2 ) x + m ? 3 ，与 x 2轴交于 A、B，且点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 x 轴负半轴上， OA=OB， （1）求 m 的值； （2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点 C 的坐标． 38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式． C组 解答题 39．如图，已知二次函数 y = ? x 2 + mx + n ，当 x=3 时， 有最大值 4． （1）求 m、n 的值；42 （2）设这个二次函数的图象与 x 轴的交点是 A、B， 求 A、B 点的坐标； （3）当 y＜0 时，求 x 的取值范围； （4）有一圆经过 A、B，且与 y 轴的正半轴相切于点 C， 求 C 点坐标． 40．阅读下面的文字后，解答问题． 2 有 这 样 一 道 题 目 ： “ 已 知 二 次 函 数 y=ax +bx+c 的 图 象 经 过 点 A(0,a) 、 B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x=2．” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不 能请说明理由； （2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整． 41．已知开口向下的抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于两点 A（ x1 ，0）、B（ x 2 ，0）， 其中 x1 ＜ x 2 ，P 为顶点，∠APB=90°，若 x1 、 x 2 是方程 x 2 ? 2( m ? 2) x + m 2 ? 21 = 0 的 两个根，且 x1 + x 2 = 26 ．2 2（1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的函数关系式． 42．已知二次函数 y = ? x 2 + ( m ? 2) x + 3(m + 1) 的图象如图所示． （1）当 m≠-4 时，说明这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点； （2）求 m 的取值范围； （3）在（2）的情况下，若 OA ? OB = 6 ，求 C 点坐标； （4）求 A、B 两点间的距离； （5）求SABC 的面积 S． 第二十六章自我检测题 （时间 45 分钟，满分 100 分） 一、精心选一选（每题 4 分，共 20 分） 1 ． 抛 物 线y = x2 ? 4的顶点坐标是（ ） A、（2，0）B、（-2，0）C、（1，-3）D、（0，-4） ）2．若（2，5）、 （4，5）是抛物线 y = ax 2 + bx + c 上的两个点，则它的对称轴是 （43 A、 x = ?b aB、 x = 1C、 x = 2D、 x = 33． 已知反比例函数 y = 的图象经过的象限是 A、第三、四象限 C、第二、三、四象限a (a ≠ 0) ，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，则函数 y = ax 2 + a x（ B、第一、二象限 D、第一、二、三象限 ）2 （-1， ， 3， ， 0） （ 0） 其形状与抛物线 y = ?2x 2 4． 抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴的两个交点为相同，则 y = ax + bx + c 的函数关系式为2（ B、 y = ?2 x 2 + 4 x + 5 D、 y = ?2 x 2 + 4 x + 6）A、 y = ?2 x 2 ? x + 3 C、 y = ?2 x 2 + 4 x + 85．把抛物线 y = x 2 + bx + c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线y = x 2 ? 2x + 1， 则A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 二、细心填一填（每空 3 分，共 45 分） 6．若 y = (2 ? m) xm2 ?2（ C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18）是二次函数，则 m= ，对称轴是。 。 ，当 x 时，y 随 x 的增大7．二次函数 y = ? x 2 ? 2 x 的开口 8．抛物线 y = 而增大。1 2 3 x + x ? 的最低点坐标是 2 29 ． 已 知 二 次 函 数 y = ax 2 ? 2 的 图 象 经 过 点 （ 1 ， -1 ） ， 则 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为2，它与 x 轴的交点的个数为个。 。10．若 y 与 x 成正比例，当 x=2 时，y=4，那么当 x= -3 时，y 的值为 11 ． 抛 物 线 y = x 2 + 3 x ? 4 与 y 轴 的 交 点 坐 标 是，与 x 轴的交点坐标是 。 12．有一长方形条幅，长为 a m，宽为 b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积 S（m2） 与花边宽度 x（m）之间的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范 围为 。44 13．抛物线 y = ax 与直线 y = 3 x ? b 只有一个公共点，则 b=2。 。2 14．已知抛物线 y = ax + x + c 与 x 轴交点的横坐标为 C1，则 a + c =15．已知点 A（1，4）和 B（2，2），试写出过 A、B 两点的二次函数的关系式（任写两 个） 、 。 三、认真答一答（第 17 题 8 分，其余各 9 分） 16．已知二次函数 y = x + bx ? 1 的图象经过点（3，2）。2（1）求这个二次函数的关系式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当 x＞0 时，求使 y≥2 的 x 的取值范围。17．根据下列条件，求二次函数的关系式： （1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）； （2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。18．已知抛物线 y = ax 2 + 4ax + t 与 x 轴的一个交点为 A（-1，0）。 （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的 面积为 9，求此抛物线的函数关系式。45 19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长 存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现 有一经销商， 按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内， 此时市场价为每千克 30 元。 据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但放养一天需各种费用 400 元，且平 均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克 20 元。 （1）设 x 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 x 的函数关系式； （2）如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售总额 Q 元，写出 Q 关 于 x 的函数关系式； （3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本 －费用）？最大利润是多少？相 似 形 图形的相似 教学目标 通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图 形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图 形． 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 教学重点 引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力． 教学难点 理解相似图形的概念． 教学过程 一、观察课本第 42 页图 24.1.1 、图 24.1.2 ，每组图形中的两图之间有什么关系？ 二、归纳： 每组图形中的两个图形形状相同，大小不同． 具有相同形状的图形叫相似图形． 师可结合实例说明： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形： 两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例――全等形． 三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．46 四、观察课本第 43 页图 24.1.3 中的三组图形，它们是否相似形？为什么？ 五、想一想： 放大镜下的图形与原来的图形相似吗？ 放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？ 可让学生动手实验，然后讨论得出结论． 六、观察课本第 43 页图 24.1.4 中的三组图形，它们是否相似形？为什么？ 让学生通过比较图 24.1.3 与图 24.1.4 ，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点． 七、课本第 43 页“试一试”． 让生各自独立完成作图，再展示评析． 八、巩固： ⒈课本第 43 页练习． ⒉课本第 44 页习题 24.1 ． 对于第 2 题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的 看法． 九、小结： 你通过这节课的学习，有哪些收获？ 十、作业：略．相似三角形 教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质 教学重点：相似三角形的判定与性质 教学过程： 一 知识要点： 1、相似形、成比例线段、黄金分割 相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。 相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的 比与另两条线段的长度的比相等，即 比例线段，简称比例线段。a c = （或 a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成 b d黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长 之比，则可得出这一比值等于 0?618…。这种分割称为黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄 金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 例 1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？47 （3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/ 例 2：判断下列各组长度的线段是否成比例： （1）2 厘米，3 厘米，4 厘米，1 厘米 （2）1?5 厘米，2?5 厘米，4?5 厘米，6?5 厘米 （3）1?1 厘米，2?2 厘米，3?3 厘米，4?4 厘米 （4）1 厘米， 2 厘米，2 厘米，4 厘米。 例 3：某人下身长 90 厘米，上身长 70 厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的 高跟鞋？ 例 4：等腰三角形都相似吗？ 矩形都相似吗？ 正方形都相似吗？ 2、相似形三角形的判断： a 两角对应相等 b 两边对应成比例且夹角相等 c 三边对应成比例 3、相似形三角形的性质： a 对应角相等 b 对应边成比例c 对应线段之比等于相似比 d 周长之比等于相似比 e 面积之比等于相似比的平方 4、相似形三角形的应用： 计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段例题 1：如图所示， ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于点 E，交 DC 于点 F，试找出图中所有的相似三 角形A E B C FDG48 2 如图在正方形网格上有 6 个斜三角形： :ABC； b: BCD a EFK，试找出与三角形 a 相似的三角形c: BDE d: BFGe: FGHf:3、在 ABC 中，AB=8 厘米，BC=16 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2 厘米 每秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4 厘米每秒的速度移动，如果 P、Q 分 别从 A、B 同时出发，经几秒钟 PBQ 与 ABC 相似？4、 某房地产公司要在一块矩形 ABCD 土地上规划建设一个矩 形 GHCK 小区公园（如图），为了使文物保护区 AEF 不被 破坏，矩形公园的顶点 G 不能在文物保护区内。已知 AB=200 米，AD=160 米，AF=40 米，AE=60 米。 （1）当矩形小区公园的顶点 G 恰是 EF 的中点时，求公园的 面积； （2）当 G 是 EF 上什么位置时，公园面积最大？DKCF G M A N EH B同步练习： 1．已知：AB=2，M 是的黄金分割点， （1） 求 AM 的长；（2）求 AM：MB2．已知：x:y:z=2:3:4, 求:49 (1)x+ y+ z 3x + 2 y ? z （2） （3）若 2x-3y+z=-2 求 x,y,z 的 x+ y?z x + 2 y ? 3z3．已知：d a b c = = = = k ，求 k 的值。 a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d4．已知：△ ABC 中，AD=AE，DE 交 BC 延长线于 F，求证：BF?CE=CF?BD。 A A A D M B C D E C M F B E CE F BDM FN 5．如图：已知 CD∥EF∥GH∥AB，AB=16，CD=10，DE∶ EG∶GA=1∶2∶3，求 EF+GH。 G A MD EC F H B6．如图,已知：CD∶DA=BE∶ED=2∶1， A 求 BF∶FC 及 AE∶EF。50E B FD C 7．如图，在直角坐标系中有两点 A（4，0），B（0，2），如果点 C 在 x 轴上，（C 与 A 不重合），当由点 B，O，C 组成的三角形与三角形 AOB 相似时，求点 C 的坐标？Y B X AO8．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，EC 平行 AD，DE 平行 BC，若三角形 BEC 的面 积=1，三角形 ADE 的面积=3，求三角形 CDE 的面积 A E D C B51 位似图形教案教学目标：1、知识目标：①了解位似图形及其有关概念； ②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2、能力目标：①利用图形的位似解决一些简单的实际问题； ②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。3、情感目标：①通过学习培养学生的合作意识； ②通过探究提高学生学习数学的兴趣。 教学重点： 探索并掌握位似图形的定义和性质； 教学难点： 运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。 教学方法： 从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、 发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习； 提高学生自主探究、合作交流和分析归纳能力；同时在教学过程对不同层次的学生进行分 类指导，让每个学生都得到充分的发展。52 教学准备： 刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、 教学手段： 小组合作、多媒体辅助教学教学设计说明：1、为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通过动手操作、 猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机 结合，形成对位似图形的认识. 2、探索知识是本节的重点，设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节 来完成，把学习的主动权充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索 创新. 教学过程： 一、创设情境 引入新知 观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 都是相似图形。 分别观察着五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征? C D 1 C1 A1 A (1) C C1 B1 B (3) A C D 1 C1 A1 (4) B1 B B B1 A B (2) D D 1 C1 A B1 (5) B C D C B1 C1 A1 D1DD D1 A1 AD53 （学生经过小组讨论交流的方式总结得出：） 特点：（1）两个图形相似： （2）每组对应点所在的直线交于一点。 二、合作交流 探究新知 请同学们阅读课本 58 页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？ 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似 ．． 图形，这个交点叫做位}
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按字母分类 ：人教版九年级数学下册全册教案2_甜梦文库
人教版九年级数学下册全册教案2
.第二十六章 二次函数 [本章知识重点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数[本课知识重点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为 a（cm），它的面积 s（cm2）是多少？ （2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平 方厘米，试写出 y 与 x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习 一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例 1． m 取哪些值时， 函数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是以 x 为自变量的二次函数？ 分析 若 函 数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是 二 次 函 数 ， 须 满 足 的 条 件 是 ：m2 ? m ≠ 0 ．解2 2 若函数 y = ( m ? m) x + mx + ( m + 1) 是二次函数，则m2 ? m ≠ 0 ．解得m ≠ 0 ，且 m ≠ 1 ．因此，当 m ≠ 0 ，且 m ≠ 1 时，函数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是二次函数． 回顾与反思 形如 y = ax 2 + bx + c 的函数只有在 a ≠ 0 的条件下才是二次函数． 探索 若函数 y = ( m 2 ? m) x 2 + mx + ( m + 1) 是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些 值？1 例 2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与 所存年数 x 之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间 的函数关系． 解 （1）由题意，得S = 6a 2 (a & 0) ，其中 S 是 a 的二次函数； x2 ( x & 0) ，其中 y 是 x 的二次函数； 4π（2）由题意，得y=（3）由题意，得y = 10000 + 1.98% x ? 10000 （x≥0 且是正整数），其中 y 是 x 的一次函数； （4） 由题意， 得S=1 1 x(26 ? x) = ? x 2 + 13 x(0 & x & 26) ， 其中 S 是 x 的二次函数． 2 2例 3．正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余 下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1） S = 15 ? 4 x = 225 ? 4 x (0 & x &2 2 2215 )； 2（2）当 x=3cm 时， S = 225 ? 4 × 3 = 189 （cm2）． [当堂课内练习] 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） y ? x 2 = 0 （3） y = x +2（2） y = ( x + 2)( x ? 2) ? ( x ? 1) 2 （4） y =k 2 +k1 xx 2 + 2x ? 32．当 k 为何值时，函数 y = ( k ? 1) x+ 1 为二次函数？3．已知正方形的面积为 y (cm 2 ) ，周长为 x（cm）． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数． [本课课外作业] A组2 1． 已知函数 y = ( m ? 3) xm 2 ?7是二次函数，求 m 的值．2 2． 已知二次函数 y = ax ，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值．3． 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式．若圆柱 的底面半径 x 为 3，求此时的 y． 4． 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之 间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围． B组 5．对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y = ( m ? 1) 2 x 2 B．y = (m + 1) 2 x 2 C．y = (m 2 + 1) x 2 D．y = ( m 2 ? 1) x 2 （ ）6．下列函数关系中，可以看作二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）模型的是A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B． 我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计 空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一)知识与技能 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精 神． 2．通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一 步培养学生的数形结合思想． 3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创 造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性， 2．具有初步的创新精神和实践能力．3 教学重点 1．体会方程与函数之间的联系． 2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根． 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标． 教学难点 1．探索方程与函数之间的联系的过程． 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k≠0)和一次函数 y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们 之间的关系．当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0， 且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b＝0 的解． 2 2 现在我们学习了一元二次方程 ax +bx+c＝0(a≠0)和二次函数 y＝ax +bx+c(a≠0)，它 们之间是否也存在一定的关系呢? 2.选教材提出的问题，直接引入新课 Ⅱ．合作交流 解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成. 观察：教材 22 页，学生小组交流. 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳. Ⅲ.应用迁移 巩固提高 1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 .抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围. 3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况 Ⅳ．总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的 联系． 2．理解了二次函数与 x 轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的 实根和没有实根. 3.数学方法:分类讨论和数形结合. 反思：在判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 Ⅴ．课后作业 P231.3.54 26．2 [本课知识重点]2二次函数的图象与性质（1）会用描点法画出二次函数 y = ax 的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维] 我们已经知道，一次函数 y = 2 x + 1 ，反比例函数 y = ，那么二次函数 y = x 2 的图象是什么呢？ （1）描点法画函数 y = x 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？23 的图象分别是 x、当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数 y = x 2 的图象，你能得出什么结论？ [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有 何共同点？有何不同点？ （1） y = 2 x 2 解 列表 x … … … -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 … … … （2） y = ?2 x 2y = 2x 2 y = ?2 x 2分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是 抛物线，如图 26．2．1． 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点： y = 2 x 2 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对 称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线 自左向右上升．y = ?2 x 2 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛 物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．5 例 2．已知 y = ( k + 2) xk 2 + k ?4是二次函数，且当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大．（1）求 k 的值； （2）求顶点坐标和对称轴． 解 （1）由题意，得 ??k 2 + k ? 4 = 2 ， 解得 k=2． ?k + 2 & 02 （2）二次函数为 y = 4x ，则顶点坐标为（0，0），对称轴为 y 轴．例 3．已知正方形周长为 Ccm，面积为 S cm2． （1）求 S 和 C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出 S=1 cm2 时，正方形的周长； （3）根据图象，求出 C 取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题， 解这类问题时要注意自变量的取值范围； 画图象时， 自变量 C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得 S =1 2 C (C & 0) ． 166 8 4 … …列表： C 2 4 1S=1 2 C 161 49 4描点、连线，图象如图 26．2．2． （2）根据图象得 S=1 cm2 时，正方形的周长是 4cm． （3）根据图象得，当 C≥8cm 时，S≥4 cm2． 回顾与反思 （1）此图象原点处为空心点． （2）横轴、纵轴字母应为题中的字母 C、S，不要习惯地写成 x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习] 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标． （1） y = 3x 2 2．（1）函数 y = （2） y = ?3x 2 ，对称轴是 ，对称轴是 （3） y =1 2 x 3； ．2 2 x 的开口 3 1 2 （2）函数 y = ? x 的开口 4，顶点坐标是 ，顶点坐标是3．已知等边三角形的边长为 2x，请将此三角形的面积 S 表示成 x 的函数，并画出图象的 草图．6 [本课课外作业] A组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1） y = ?4x 2 2．填空： （1）抛物线 y = ?5x 2 ，当 x= （2）当 m= 时，y 有最m2 ?m（2） y =1 2 x 4值，是 ．时，抛物线 y = ( m ? 1) x2 k 2 ? 2 k ?1开口向下． ，当 x 时，y（3）已知函数 y = ( k + k ) x 随 x 的增大而增大． 3．已知抛物线 y = kxk 2 + k ?10是二次函数，它的图象开口中，当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大．（1）求 k 的值； （2）作出函数的图象（草图）． 4．已知抛物线 y = ax 2 经过点（1，3），求当 y=9 时，x 的值． B组 5．底面是边长为 x 的正方形，高为 0．5cm 的长方体的体积为 ycm3．（1）求 y 与 x 之间 的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出 y=8 cm3 时底面边长 x 的值； （4）根据图象，求出 x 取何值时，y≥4．5 cm3． 6．二次函数 y = ax 2 与直线 y = 2 x ? 3 交于点 P（1，b）． （1）求 a、b 的值； （2）写出二次函数的关系式，并指出 x 取何值时，该函数的 y 随 x 的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过 M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象； （2）写出抛物线上与点 M 关于 y 轴对称的点 N 的坐标，并求出SMON 的面积． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（2） [本课知识重点] 会画出 y = ax 2 + k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 同学们还记得一次函数 y = 2 x 与 y = 2 x + 1 的图象的关系吗？7 ，你能由此推测二次函数 y = x 与 y = x + 1 的图象之间的关系吗？2 2，那么 y = x 2 与 y = x 2 ? 2 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出函数 y = 2x 与 y = 2 x + 2 的图象．2 2解列表． x … … … -3 18 20 -2 8 10 -1 2 4 0 0 2 1 2 4 2 8 10 3 18 20 … … …y = 2x 2 y = 2x 2 + 2描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．3 所示．回顾与反思 当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图 象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些 不同？你能由此说出函数 y = 2x 2 与 y = 2 x 2 ? 2 的图象之间的关系吗？ 例 2．在同一直角坐标系中，画出函数 y = ? x 2 + 1 与 y = ? x 2 ? 1 的图象，并说明，通过 怎样的平移，可以由抛物线 y = ? x 2 + 1 得到抛物线 y = ? x 2 ? 1 ． 解 列表． x … -3 -2 -1 08123… y = ?x2 +1 y = ?x2 ?1… …-8 -10-3 -50 -21 -10 -2-3 -5-8 -10… …描点、连线，画出这两个函数的图象，如图 26．2．4 所示．可以看出，抛物线 y = ? x 2 ? 1 是由抛物线 y = ? x 2 + 1 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线 y = ? x 2 + 1 和抛物线 y = ? x 2 ? 1 分别是由抛物线 y = ? x 2 向上、向 下平移一个单位得到的． 探索 如果要得到抛物线 y = ? x 2 + 4 ，应将抛物线 y = ? x 2 ? 1 作怎样的平移？ 例 3．一条抛物线的开口方向、对称轴与 y =1 2 x 相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过 2点（1，1），求这条抛物线的函数关系式． 解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作 y = ax 2 ? 2( a & 0) ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以， 1 = a ? 1 ? 2 ，2解得 a = 3 ．故所求函数关系式为 y = 3 x 2 ? 2 ． 回顾与反思 归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标y = ax 2 + k （a、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标y = ax + k2a&0 a&09 [当堂课内练习] 1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=1 2 x ， 2y=1 2 x +2， 2y=1 2 x ? 2． 2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说1 2 x + k 的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2 1 2 2．抛物线 y = x ? 9 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 4 1 2 以看作是由抛物线 y = x 向 平移 个单位得到的． 4出抛物线 y = 3．函数 y = ?3 x 2 + 3 ，当 x 数取得最 值，最 [本课课外作业] 1．已知函数 y = 值 y= 时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 x ． A组，它可时，函1 2 x ， 3y=1 2 x + 3， 3y=1 2 x ?2． 3（1）分别画出它们的图象； （2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （3）试说出函数 y =1 2 x + 5 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 3 1 2 2． 不画图象，说出函数 y = ? x + 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函 4 1 2 数 y = ? x 通过怎样的平移得到的． 43．若二次函数 y = ax 2 + 2 的图象经过点（-2，10），求 a 的值．这个函数有最大还是最 小值？是多少？ B组 4．在同一直角坐标系中 y = ax 2 + b 与 y = ax + b( a ≠ 0, b ≠ 0) 的图象的大致位置是 ( )10 5． 已知二次函数 y = 8 x 2 ? ( k ? 1) x + k ? 7 ， k 为何值时， 当 此二次函数以 y 轴为对称轴？ 写出其函数关系式． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（3） [本课知识重点] 会画出 y = a ( x ? h) 2 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维] 我们已经了解到，函数 y = ax 2 + k 的图象，可以由函数 y = ax 2 的图象上下平移所 得，那么函数 y =1 1 ( x ? 2) 2 的图象，是否也可以由函数 y = x 2 平移而得呢？画图试一 2 2试，你能从中发现什么规律吗？ [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y=1 2 1 1 x ， y = ( x + 2) 2 ， y = ( x ? 2) 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐 2 2 2标． 解 列表． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …1 y = x2 2 1 y = ( x + 2) 2 21 y = ( x ? 2) 2 2…9 2 1 221 2 1 29 201 229 2……0225 2 825 2 ……25 2 821 201 2…11 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26．2．5 所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是 y 轴、直线 x= -2 和直线 x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线 y = 当x 值 y= 探索1 ( x + 2) 2 ，当 x 2时，函数值 y 随 x 的增大而减小； 时，函数取得最 值，最时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x ．1 1 ( x + 2) 2 和抛物线 y = 1 ( x ? 2) 2 分别是由抛物线 y = x 2 向左、向右 2 2 2 1 1 2 2 平移两个单位得到的．如果要得到抛物线 y = ( x ? 4) ，应将抛物线 y = x 作怎样的 2 2抛物线 y =平移？ 例 2．不画出图象，你能说明抛物线 y = ?3x 2 与 y = ?3( x + 2) 2 之间的关系吗? 解 抛物线 y = ?3x 2 的顶点坐标为（0，0）；抛物线 y = ?3( x + 2) 2 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线 y = ?3x 2 与 y = ?3( x + 2) 2 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是 y 轴和直线 x = ?2 ．抛物线 y = ?3( x + 2) 2 是由 y = ?3x 2 向左平移 2 个单位而得的． 回顾与反思 标归纳如下： 开口方向 对称轴 顶点坐标y = a ( x ? h) 2 （a、h 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐y = a ( x ? h)2a&0 a&012 [当堂课内练习] 1 ． 画 图 填 空 ： 抛 物 线 y = ( x ? 1) 2 的 开 口 是 ，它可以看作是由抛物线 y = x 向2，对称轴是 平移，顶点坐标个单位得到的．2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y = ?2x 2 ， y = ?2( x ? 3) 2 ， y = ?2( x + 3) 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． [本课课外作业] A组1 2 1 1 2 2 1．已知函数 y = ? x ， y = ? ( x + 1) ， y = ? ( x ? 1) ． 2 2 2（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质． 2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 y = ? 线y=?1 2 x 得到抛物 21 1 ( x + 1) 2 和 y = ? ( x ? 1) 2 ？ 2 2时，函数值 y 随 x 的增大而减小．当 x ． 时，3．函数 y = ?3( x + 1) 2 ，当 x 函数取得最 值，最 值 y=4．不画出图象，请你说明抛物线 y = 5x 2 与 y = 5( x ? 4) 2 之间的关系． B组2 5．将抛物线 y = ax 向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求 a 的值． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（4） [本课知识重点] 1．掌握把抛物线 y = ax 2 平移至 y = a ( x ? h ) 2 +k 的规律； 2．会画出 y = a ( x ? h ) 2 +k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]13 由前面的知识，我们知道，函数 y = 2x 的图象，向上平移 2 个单位，可以得到函数2y = 2 x 2 + 2 的图象； 函数 y = 2x 2 的图象， 向右平移 3 个单位， 可以得到函数 y = 2( x ? 3) 2的图象， 那么函数 y = 2x 的图象， 如何平移， 才能得到函数 y = 2( x ? 3) + 2 的图象呢？2 2[实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y=1 2 1 1 x ， y = ( x ? 1) 2 ， y = ( x ? 1) 2 ? 2 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点 2 2 2坐标． 解 列表． x … … … … -3 -2 2 -1 0 0 1 2 2 3 … … … …y= y=y=1 2 x 29 28 61 22 01 20 -29 22 01 ( x ? 1) 2 29 21 2? 3 21 2? 3 21 ( x ? 1) 2 ? 2 25 2描点、连线，画出这三个函数的图象，如图 26．2．6 所示．它们的开口方向都向 坐标分别为 、 间的关系．，对称轴分别为 、、 、 ，顶点 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数 y = a ( x ? h ) 2 +k 中 k 的值； 左右平移，只影响 h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确14 定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数 y = a ( x ? h ) 2 +k（a、h、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标吗？试填写下表． 开口方向 对称轴 顶点坐标y = a ( x ? h ) 2 +ka&0 a&0例 2．把抛物线 y = x 2 + bx + c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线y = x 2 ，求 b、c 的值．分析 抛物线 y = x 2 的顶点为（0，0），只要求出抛物线 y = x 2 + bx + c 的顶点，根据顶 点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出 b、c 的值． 解b 2 b2 b2 b2 y = x + bx + c = x + bx + ? + c = (x + ) + c ? ． 4 4 2 42 2向上平移 2 个单位，得到 y = ( x +b 2 b2 ) +c? +2， 2 4 b b2 + 4) 2 + c ? + 2， 2 4再向左平移 4 个单位，得到 y = ( x +其顶点坐标是 ( ?b b2 ? 4, c ? + 2) ，而抛物线 y = x 2 的顶点为（0，0），则 2 4? b ?? 2 ? 4 = 0 ? ? 2 ?c ? b + 2 = 0 ? 4 ?解得?b = ?8 ? ?c = 14探索 把抛物线 y = x 2 + bx + c 向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到抛物线y = x 2 ，也就意味着把抛物线 y = x 2 向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到抛15 物线 y = x + bx + c ．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．2[当堂课内练习] 1．将抛物线 y = 2( x ? 4) ? 1 如何平移可得到抛物线 y = 2x2 2（）A．向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B．向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C．向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D．向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 2．把抛物线 y = ? 关系式为3 2 x 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位，所得的抛物线的函数 2． 平移 个单位， 再向 平1 2 1 2 3． 抛物线 y = 1 + 2 x ? x 可由抛物线 y = ? x 向 2 2移 个单位而得到． [本课课外作业] A组 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．y = ?3x 2 ， y = ?3( x + 2) 2 ， y = ?3( x + 2) 2 ? 1 ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2．将抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 5 先向下平移 1 个单位，再向左平移 4 个单位，求平移后的 抛物线的函数关系式． 3．将抛物线 y = ?1 2 3 1 x + x + 如何平移，可得到抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 3 ？ 2 2 2B组4．把抛物线 y = x 2 + bx + c 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线y = x 2 ? 3 x + 5 ，则有A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21（）5．抛物线 y = ?3 x 2 + bx + c 是由抛物线 y = ?3 x 2 ? bx + 1 向上平移 3 个单位，再向左平 移 2 个单位得到的，求 b、c 的值． 再向上平移 k 个单位， 其中 h＞0， k＜0， 6． 将抛物线 y = ax 2 ( a ≠ 0) 向左平移 h 个单位， 求所得的抛物线的函数关系式． [本课学习体会]16 26．2 二次函数的图象与性质（5） [本课知识重点] 1．能通过配方把二次函数 y = ax 2 + bx + c 化成 y = a ( x ? h) 2 +k 的形式，从而确定开口 方向、对称轴和顶点坐标； 2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM 及创新思维] 我们已经发现，二次函数 y = 2( x ? 3) 2 + 1 的图象，可以由函数 y = 2x 2 的图象先向 平移 的开口 个单位， 再向 平移 个单位得到， 因此， 可以直接得出： 函数 y = 2( x ? 3) 2 + 1 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函，对称轴是数，如 y = ? x 2 + 3 x ? 2 ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出 图象吗？ [实践与探索] 例 1．通过配方，确定抛物线 y = ?2 x 2 + 4 x + 6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点 画图． 解y = ?2 x 2 + 4 x + 6= ? 2( x 2 ? 2 x ) + 6 = ?2( x 2 ? 2 x + 1 ? 1) + 6 = ? 2( x ? 1) 2 ? 1 + 6 = ?2( x ? 1) + 82[]因此， 抛物线开口向下， 对称轴是直线 x=1， 顶点坐标为 （1， ． 8） 由对称性列表： x … … -2 -10 -1 0 0 6 1 8 2 6 3 0 4 -10 … …y = ?2 x 2 + 4 x + 6描点、连线，如图 26．2．7 所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴 x=1 为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然 后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．17 探索对于二次函数 y = ax + bx + c ，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请2你完成填空：对称轴2，顶点坐标．例 2．已知抛物线 y = x ? ( a + 2) x + 9 的顶点在坐标轴上，求 a 的值． 分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在 x 轴上，则顶点的纵坐标等于 0；（2） 顶点在 y 轴上，则顶点的横坐标等于 0． 解y = x 2 ? ( a + 2) x + 9 = ( x ?a+2 2 ( a + 2) 2 ) +9? ， 2 4则抛物线的顶点坐标是 ? 当顶点在 x 轴上时，有 解得 当顶点在 y 轴上时，有 解得?a + 2 (a + 2) 2 ? ,9 ? ?． 4 ? ? 2a+2 = 0， 2 a = ?2 ． ?9? ( a + 2) 2 = 0， 4a = 4 或 a = ?8 ．所以，当抛物线 y = x 2 ? ( a + 2) x + 9 的顶点在坐标轴上时， a 有三个值，分别是 C2，4， 8． [当堂课内练习] 1．（1）二次函数 y = ? x 2 ? 2 x 的对称轴是 （2）二次函数 y = 2 x 2 ? 2 x ? 1 的图象的顶点是 增大而减小． （3）抛物线 y = ax 2 ? 4 x ? 6 的顶点横坐标是-2，则 a = ． ． ，当 x 时，y 随 x 的2．抛物线 y = ax 2 + 2 x + c 的顶点是 ( ,?1) ，则 a 、c 的值是多少？ [本课课外作业] A组 1．已知抛物线 y =1 31 2 5 x ? 3 x + ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2 22． 利用配方法， 把下列函数写成 y = a ( x ? h) 2 +k 的形式， 并写出它们的图象的开口方向、18 对称轴和顶点坐标． （1） y = ? x 2 + 6 x + 1 （3） y = ? x + nx2（2） y = 2 x 2 ? 3 x + 4 （4） y = x + px + q23．已知 y = (k + 2) xk 2 + 2 k ?6是二次函数，且当 x & 0 时，y 随 x 的增大而增大．（1）求 k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴． B组 4．当 a & 0 时，求抛物线 y = x + 2ax + 1 + 2a 的顶点所在的象限．2 25. 已知抛物线 y = x 2 ? 4 x + h 的顶点 A 在直线 y = ?4 x ? 1 上，求抛物线的顶点坐标． [本课学习体会] 26．2 二次函数的图象与性质（6） [本课知识重点] 1．会通过配方求出二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的最大或最小值； 2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际 问题中的最大或最小值． [MM 及创新思维] 在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题： 某商店将每件进价为 80 元的某种商品按每件 100 元出售， 一天可销出约 100 件． 该 店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每 降低 1 元， 其销售量可增加约 10 件． 将这种商品的售价降低多少时， 能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价 x 元，该商品每天的利润为 y 元，则可得函数关系式为二 次函数 y = ?10 x 2 + 100 x + 2000 ．那么，此问题可归结为：自变量 x 为何值时函数 y 取 得最大值？你能解决吗? [实践与探索] 例 1．求下列函数的最大值或最小值． （1） y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 ； （2） y = ? x 2 ? 3 x + 4 ．分析 由于函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 和 y = ? x 2 ? 3 x + 4 的自变量 x 的取值范围是全体实数， 所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 中的二次项系数 2＞0，19 因此抛物线 y = 2 x ? 3 x ? 5 有最低点，即函数有最小值．2因为 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 = 2( x ? ) ?23 449 ， 8所以当 x =3 49 时，函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 有最小值是 ? ． 4 82（2）二次函数 y = ? x ? 3 x + 4 中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线 y = ? x ? 3 x + 4 有最高点，即函数有最大值．2因为 y = ? x ? 3 x + 4 = ? ( x +23 2 25 ) + ， 2 4所以当 x = ?3 25 时，函数 y = ? x 2 ? 3 x + 4 有最大值是 ． 2 4回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定 a 的符号，a＞0 有最小值，a＜0 有最大 值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 探索 试一试，当 2．5≤x≤3．5 时，求二次函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 的最大值或最小值． 例 2．某产品每件成本是 120 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y （件）之间关系如下表： x（元） y（件） 130 150 165 70 50 35 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少 元？此时每日销售利润是多少？ 分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知 x+y=200， 因此，所求的一次函数的关系式为 y = ? x + 200 ． 设每日销售利润为 s 元，则有s = y ( x ? 120) = ?( x ? 160) 2 + 1600 ．因为 ? x + 200 ≥ 0, x ? 120 ≥ 0 ，所以 120 ≤ x ≤ 200 ． 所以，当每件产品的销售价定为 160 元时，销售利润最大，最大销售利润为 1600 元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所 得的函数，得出结果． 例 3．如图 26．2．8，在 RtSABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点 D 在斜边 AB 上， 分别作 DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，得四边形 DECF，设 DE=x，DF=y．20 （1）用含 y 的代数式表示 AE； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 x 的取值范围； （3）设四边形 DECF 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系，并求出 S 的最大值． 解 （1）由题意可知，四边形 DECF 为矩形，因此AE = AC ? DF = 8 ? y ．（2）由 DE ∥ BC ，得DE AE x 8? y = ，即 = ， BC AC 4 8所以， y = 8 ? 2 x ，x 的取值范围是 0 & x & 4 ． （3） S = xy = x(8 ? 2 x) = ?2 x 2 + 8 x = ?2( x ? 2) 2 + 8 ， 所以，当 x=2 时，S 有最大值 8． [当堂课内练习] 1．对于二次函数 y = x 2 ? 2 x + m ，当 x= 时，y 有最小值． （ ）2． 已知二次函数 y = a ( x ? 1) 2 + b 有最小值 C1， a 与 b 之间的大小关系是 则A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 件，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫 每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ [本课课外作业] A组 1．求下列函数的最大值或最小值． （1） y = ? x 2 ? 2 x ； （2） y = 2 x 2 ? 2 x + 1 ．2．已知二次函数 y = x 2 ? 6 x + m 的最小值为 1，求 m 的值．， 3．心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x（单位：分）之间满 足函数关系： y = ?0.1x 2 + 2.6 x + 43(0 ≤ x ≤ 30) ．y 值越大，表示接受能力越强． （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步 降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？21 B组 4．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2 x 2 ? 6 x + m 的函数值总是正值，求 m 的取值 范围． 5．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10m），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 AB 为 x m，面积为 S m2． （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）如果要围成面积为 45 m2 的花圃，AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比 45 m2 更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 6．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，线段 EF 在对角线 AC 上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是 G、H，且 EG+FH=EF． （1）求线段 EF 的长； （2）设 EG=x，SAGE 与SCFH 的面积和为 S， 写出 S 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围， 并求出 S 的最小值． [本课学习体会] 26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点] 会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． [MM 及创新思维] 一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求 出函数关系式．例如：我们在确定一次函数 y = kx + b( k ≠ 0) 的关系式时，通常需要两个 独立的条件：确定反比例函数 y =k (k ≠ 0) 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确 x定二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的关系式，又需要几个条件 呢？ [实践与探索] 例 1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图 26．2．9 所示，现测得水 面宽 1．6m，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2．4m，在图中直角坐标 系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 分析 如图，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线 为 x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原 点，对称轴是 y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y = ax 2 (a & 0) ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．22 解由题意，得点 B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代入 y = ax 2 ( a & 0) ，得? 2 .4 = a × 0 .8 2所以 因此，函数关系式是 y = ?a=?15 ． 415 2 x ． 4例 2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点 A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）； （2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与 y 轴交于点（0，1）； （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0），且与 y 轴交于点（0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为 4． 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为 y = ax 2 + bx + c 的 形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为 y = a ( x ? 1) 2 ? 3 ，再根据抛 物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数 关系式为 y = a ( x + 3)( x ? 5) ，再根据抛物线与 y 轴的交点可求出 a 的值；（4）根据已知 抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为 y = a ( x ? 3) 2 ? 2 ，同时可知抛物线的对 称轴为 x=3，再由与 x 轴两交点间的距离为 4，可得抛物线与 x 轴的两个交点为（1，0） 和（5，0），任选一个代入 y = a ( x ? 3) 2 ? 2 ，即可求出 a 的值． 解 （1）设二次函数关系式为 y = ax 2 + bx + c ，由已知，这个函数的图象过（0，-1）， 可以得到 c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到?a + b = 1 ? ?a ? b = 3解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是 y = 2 x 2 ? 2 x ? 1 ． （2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为 y = a ( x ? 1) 2 ? 3 ， 又由于抛物线与 y 轴交于点（0，1），可以得到23 1 = a (0 ? 1) 2 ? 3解得a = 4．2 2所以，所求二次函数的关系式是 y = 4( x ? 1) ? 3 = 4 x ? 8 x + 1 ． （3）因为抛物线与 x 轴交于点 M（-3，0）、（5，0）， 所以设二此函数的关系式为 y = a ( x + 3)( x ? 5) ． 又由于抛物线与 y 轴交于点（0，3），可以得到? 3 = a (0 + 3)(0 ? 5) ．解得 所以，所求二次函数的关系式是 y =a=1 ． 51 1 2 ( x + 3)( x ? 5) = x 2 ? x ? 3 ． 5 5 5（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成． 回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系 式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可 设如下三种形式： （1）一般式： y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ，给出三点坐标可利用此式来求． （2）顶点式： y = a ( x ? h) 2 + k ( a ≠ 0) ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来 求． （3）交点式： y = a ( x ? x1 )( x ? x 2 )(a ≠ 0) ，给出三点，其中两点为与 x 轴的两个交点( x1 ,0) 、 ( x 2 ,0) 时可利用此式来求．[当堂课内练习] 1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）； （2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）； （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）． 2．二次函数图象的对称轴是 x= -1，与 y 轴交点的纵坐标是 C6，且经过点（2，10），求 此二次函数的关系式． [本课课外作业] A组 1．已知二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过点 A（-1，12）、B（2，-3），24 （1）求该二次函数的关系式； （2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成 y = a ( x ? h) 2 + k 的形式，并求出该抛物线 的顶点坐标和对称轴． 2．已知二次函数的图象与一次函数 y = 4 x ? 8 的图象有两个公共点 P（2，m）、Q（n， -8），如果抛物线的对称轴是 x= -1，求该二次函数的关系式． 3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面 宽 AB=4m，顶部 C 离地面高度为 4．4m．现有一辆满载货物的 汽车欲通过大门， 货物顶部距地面 2． 8m， 装货宽度为 2． 4m． 请 判断这辆汽车能否顺利通过大门． 4．已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ，当 x=3 时，函数取得最大值 10，且它的图象在 x 轴 上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式． B组 5．已知二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过（1，0）与（2，5）两点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数 y = x 2 + bx + c 解析式的题 目，使所求得的二次函数与（1）的相同． 6．抛物线 y = x 2 + 2mx + n 过点（2，4），且其顶点在直线 y = 2 x + 1 上，求此二次函 数的关系式． [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（1） [本课知识重点] 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义． [MM 及创新思维] 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在 2004 雅典奥运会的 赛场上， 很多项目， 如跳水、 铅球、 篮球、 足球、 排球等都与二次函数及其图象息息相关． 你 知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？ [实践与探索] 例 1．如图 26．3．1，一位运动员推铅球，铅 球行进高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的 关系是 y = ?1 2 2 5 x + x + ，问此运动员把 12 3 325铅球推出多远？ 解如图，铅球落在 x 轴上，则 y=0，因此， ?1 2 2 5 x + x+ =0． 12 3 3解方程，得 x1 = 10, x 2 = ?2 （不合题意，舍去）． 所以，此运动员把铅球推出了 10 米． 探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情 境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面5 m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地 3面上的点 10m，铅球运行中最高点离地面 3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函 数关系式．你能解决吗？试一试． 例 2．如图 26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计 成水流在离 OA 距离为 1m 处达到距水面最大高度 2．25m． （1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 使喷出的水流不致落到池外？ （2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为 3． 要使水流不落到池外， 5m， 此时水流最大高度应达多少米？ （精确到 0．1m） 分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用 题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图 26．3．3， 我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可 解决问题． 解 （1）以 O 为原点，OA 为 y 轴建立坐标系．设抛物线顶点 为 B，水流落水与 x 轴交点为 C（如图 26．3．3）． 由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25）， 因此，设抛物线为 y = a ( x ? 1) 2 + 2.25 ． 将 A（0，1．25）代入上式，得 1.25 = a (0 ? 1) 2 + 2.25 ， 解得a = ?12 所以，抛物线的函数关系式为 y = ?( x ? 1) + 2.25 ．当 y=0 时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5， 所以 C（2．5，0），即水池的半径至少要 2．5m． （2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为 y = ?( x ? h) 2 + k ． 由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得 h= -1．6，k=3．7． 所以，水流最大高度应达 3．7m．26 [当堂课内练习] 1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面 1．9 米，当球飞行距离为 9 米时达最大高度 5．5 米，已知球场长 18 米，问这样发球是否会直 接把球打出边线？ 2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高 2．5 米，与球圈中心的水平距 离为 7 米，当球出手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米．设篮球运行轨迹为抛物线，球 圈距地面 3 米，问此球是否投中？ [本课课外作业] A组 1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方 10 米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距 离是 6 米时，球到达最高点，此时球高 3 米，已知球门高 2．44 米，问能否射中球门？ 2． 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品， 年初上市后， 公司经历了从亏损到赢利的过程． 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累 积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元） 与时间 t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ 3．如图，一位运动员在距篮下 4m 处跳起投篮，球运行的路 线是抛物线，当球运行的水平距离为 2．5m 时，达到最大高 度 3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3．05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式； （2）该运动员身高 1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ B组 4．某公司草坪的护栏是由 50 段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间 距 0．4m 加设不锈钢管（如图 a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设 计人员利用图 b 所示的坐标系进行计算． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．27 5．某跳水运动员在进行 10m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如 图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况 下，该运动员在空中的最高处距水面 102 m，入水处距 3池边的距离为 4m，同时运动员在距水面高度 5m 以前， 必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则 就会出现失误． （1）求这条抛物线的函数关系式； （2） 在某次试跳中， 测得运动员在空中的运动路线是 （1） 中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池 边的水平距离为 3 计算说明理由． [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（2） [本课知识重点] 让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程． [MM 及创新思维] 二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的 问题：某广告公司设计一幅周长为 12 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 1000 元， 设矩形一边长为 x 米，面积为 S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求 出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解 决． [实践与探索] 例 1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元。 物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元。市场调查发现：单价 定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克。在销售过程中， 每天还要支出其他费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为 x 元，日 均获利为 y 元。 （1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明 x 的取值范围； （2）将（1）中所求出的二次函数配方成 y = a ( x +3 m， 问此次跳水会不会失误？并通过 5b 2 4ac ? b 2 ) + 的形式，写出顶点 2a 4a坐标； 在直角坐标系画出草图； 观察图象， 指出单价定为多少元时日均获利最多， 是多少？ 分析 若销售单价为 x 元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出 2（70-x）千克，日均 销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。28 解（1）根据题意，得y = ( x ? 30)[60 + 2(70 ? x)] ? 500 = ?2 x 2 + 260 x ? 6500 (30≤x≤70)。（2） y = ?2 x + 260 x ? 6500 = ?2( x ? 65) + 1950 。22顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。 经观察可知，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是 1950 元。 例 2。某公司生产的某种产品，它的成本是 2 元，售价是 3 元，年销售量为 100 万件．为 了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是 x （十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系 如下表： X（十万元） y 0 1 1 1．5 2 1．8 … …（1）求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（十万元）与广告 费 x（十万元）的函数关系式； （3）如果投入的年广告费为 10～30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随 广告费的增大而增大？ 解 （1）设二次函数关系式为 y = ax 2 + bx + c 。?c = 1 ? 由表中数据，得 ?a + b + c = 1.5 。 ?4a + 2b + c = 1.8 ?1 ? ?a = ? 10 ? 3 ? 解得 ?b = 。 5 ? ?c = 1 ? ?所以所求二次函数关系式为 y = ?1 2 3 x + x +1。 10 5（2）根据题意，得 S = 10 y ? (3 ? 2) x = ? x 2 + 5 x + 10 。29 （3） S = ? x + 5 x + 10 = ?( x ? ) +2 25 265 。 4由于 1≤x≤3，所以当 1≤x≤2。5 时，S 随 x 的增大而增大。． [当堂课内练习] 1．将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元一个售出时，每天能卖出 20 个，若这 种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润， 则 应 降 价 （ ） A、5 元 B、10 元 C、15 元 D、20 元 2．某公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万件，为了 获得更好的效益， 公司准备拿出一定的资金做广告． 根据经验， 每年投入的广告费是 x （万x2 7 7 + x + ，如果把利润看 元）时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y = ? 10 10 10作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（万元）与广告费 x（万元）的函数 关系式， 并计算广告费是多少万元时， 公司获得的年利润最大， 最大年利润是是多少万元？ [本课课外作业] A组 1.某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装， 根据试销得知： 这种服装每天的销售量 t 件） （ ， 与每件的销售价 x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。 （1）写出商场卖这种服装每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 之间的函数关系式（每天 的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； （2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件 的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 2．某旅社有客房 120 间，当每间房的日租金为 50 元时，每天都客满，旅社装修后，要提 高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加 5 元，则客房每天出租数会减少 6 间，不 考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客 房日租金总收入增加多少元？ 3．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品．据市场分析，若按每千克 50 元销 售，一个月能售出 500kg；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg．针对这种水产品的 销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的函数关系式； (3)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单 价应定为多少？ B组 4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段 距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能v车速不超过 140 千米/时w， 对这种汽车进行测试，数据如下表：30 刹车时车速（千米/时） 刹车距离0 010 0．320 1．030 2．140 3．650 5．560 7．8v1w以车速为 x 轴，以刹车距离为 y 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并 用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象； v2w观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式； v3w该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为 46．5 米，请推 测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ [本课学习体会] 26 . 3 实践与探索（3） [本课知识重点] （1）会求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点坐标； （2）了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． [MM 及创新思维] 给出三个二次函数： （1）y = x 2 ? 3 x + 2 ； （2）y = x 2 ? x + 1 ； （3）y = x 2 ? 2 x + 1 ． 它们的图象分别为观察图象与 x 轴的交点个数，分别是 个数与什么有关吗？个、个、个．你知道图象与 x 轴的交点另外，能否利用二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象寻找方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) ，不 等式 ax 2 + bx + c & 0( a ≠ 0) 或 ax 2 + bx + c & 0( a ≠ 0) 的解？ [实践与探索] 例 1．画出函数 y = x 2 ? 2 x ? 3 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？31 （2）当 x 取何值时，y=0？这里 x 的取值与方程 x ? 2 x ? 3 = 0 有什么关系？2（3）x 取什么值时，函数值 y 大于 0？x 取什么值时，函数值 y 小于 0？ 解 图象如图 26．3．4， （1）图象与 x 轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与 y 轴的 交点坐标为（0，-3）． （2）当 x= -1 或 x=3 时，y=0，x 的取值与方程 x ? 2 x ? 3 = 0 的2解相同． （3）当 x＜-1 或 x＞3 时，y＞0；当 -1＜x＜3 时，y＜0．回顾与反思 （1）二次函数图象与 x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解 决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决． （2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与 x 轴的交点， 再根据交点的坐标写出不等式的解集． 例 2．（1）已知抛物线 y = 2( k + 1) x 2 + 4kx + 2k ? 3 ，当 k= 轴相交于两点． （2） 已知二次函数 y = ( a ? 1) x 2 + 2ax + 3a ? 2 的图象的最低点在 x 轴上， a= 则 ． 时，抛物线与 x（3）已知抛物线 y = x 2 ? ( k ? 1) x ? 3k ? 2 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0）， 且 α 2 + β 2 = 17 ，则 k 的值是 分析 ．（1 ）抛 物线 y = 2( k + 1) x 2 + 4kx + 2k ? 3 与 x 轴相 交于 两点 ，相当于 方程2(k + 1) x 2 + 4kx + 2k ? 3 = 0 有两个不相等的实数根，即根的判别式S＞0．（2）二次函数 y = ( a ? 1) x 2 + 2ax + 3a ? 2 的图象的最低点在 x 轴上，也就是说，方程(a ? 1) x 2 + 2ax + 3a ? 2 = 0 的两个实数根相等，即S=0．（3）已知抛物线 y = x 2 ? ( k ? 1) x ? 3k ? 2 与 x 轴交于两点 A（α，0），B（β，0）， 即 α 、 β 是 方 程 x 2 ? ( k ? 1) x ? 3k ? 2 = 0 的 两 个 根 ， 又 由 于 α 2 + β 2 = 17 ， 以 及32 α 2 + β 2 = (α + β ) 2 ? 2αβ ，利用根与系数的关系即可得到结果．请同学们完成填空． 回顾与反思 二次函数的图象与 x 轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数 根的问题，这可从计算根的判别式入手． 例 3．已知二次函数 y = ? x + ( m ? 2) x + m + 1 ，2（1）试说明：不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点； （2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ （3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 y 轴？2 分析 （1）要说明不论 m 取任何实数，二次函数 y = ? x + ( m ? 2) x + m + 1 的图象必与x 轴有两个交点，只要说明方程 ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 = 0 有两个不相等的实数根，即S ＞0． （2） 两个交点都在原点的左侧， 也就是方程 ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 = 0 有两个负实数根， 因而必须符合条件①S＞0，② x1 + x 2 & 0 ，③ x1 ? x 2 & 0 ．综合以上条件，可解得所求 m 的值的范围． （3）二次函数的图象的对称轴是 y 轴，说明方程 ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 = 0 有一正一负 两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①S＞0，② x1 + x 2 = 0 ． 解 （1）S= (m ? 2) 2 ? 4 × ( ?1) × ( m + 1) = m 2 + 8 ，由 m ≥ 0 ，得 m + 8 & 0 ，所以2 2S＞0，即不论 m 取任何实数，这个二次函数的图象必与 x 轴有两个交点． （2）由 x1 + x 2 = m ? 2 & 0 ，得 m & 2 ；由 x1 ? x 2 = ?m ? 1 & 0 ，得 m & ?1 ；又由（1）， S＞0，因此，当 m & ?1 时，两个交点都在原点的左侧． （3）由 x1 + x 2 = m ? 2 = 0 ，得 m=2，因此，当 m=2 时，二次函数的图象的对称轴是 y 轴． 探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是 y 轴，即二次函 数 y = ? x 2 + ( m ? 2) x + m + 1 是 由函 数 y = ? x 2 上 下 平移 所 得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题． [当堂课内练习]33 1．已知二次函数 y = x ? 3 x ? 4 的图象如图，2则方程 x ? 3 x ? 4 = 0 的解是2， ， ． ，与 x 轴的交点坐标不等式 x ? 3 x ? 4 & 0 的解集是2不等式 x ? 3 x ? 4 & 0 的解集是2 22．抛物线 y = 3 x ? 2 x ? 5 与 y 轴的交点坐标为 为2．3．已知方程 2 x ? 3 x ? 5 = 0 的两根是 个交点间的距离为 ．5 ，-1，则二次函数 y = 2 x 2 ? 3 x ? 5 与 x 轴的两 24．函数 y = ax 2 ? ax + 3 x + 1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，求 a 的值及交点坐标． [本课课外作业] A组 1．已知二次函数 y = x 2 + x ? 6 ，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）方程 x + x ? 6 = 0 的解是什么？2（2）x 取什么值时，函数值大于 0？x 取什么值时，函数值小于 0？ 2．如果二次函数 y = x 2 ? 6 x + c 的顶点在 x 轴上，求 c 的值． 3．不论自变量 x 取什么数，二次函数 y = 2 x 2 ? 6 x + m 的函数值总是正值，求 m 的取值 范围． 4．已知二次函数 y = 2 x 2 ? 4 x ? 6 ， 求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与 x 轴、y 轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x 为何值时，y＞0． 5．你能否画出适当的函数图象，求方程 x = ? x + 2 的解？2B组 6．函数 y = mx 2 + x ? 2m （m 是常数）的图象与 x 轴的交点有 A．0 个 B．1 个 C．2 个34（）D．1 个或 2 个 7．已知二次函数 y = x + ax + a ? 2 ．2 2 （1）说明抛物线 y = x + ax + a ? 2 与 x 轴有两个不同交点；（2）求这两个交点间的距离（关于 a 的表达式）； （3）a 取何值时，两点间的距离最小？ [本课学习体会]26 . 3 实践与探索（4） [本课知识重点] 掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法． [MM 及创新思维] 上节课的作业第 5 题：画图求方程 x = ? x + 2 的解，你是如何解决的呢？我们来看2一看两位同学不同的方法．2 甲：将方程 x = ? x + 2 化为 x + x ? 2 = 0 ，画出 y = x + x ? 2 的图象，观察它与 x 轴 2 2的交点，得出方程的解． 乙：分别画出函数 y = x 2 和 y = ? x + 2 的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方 程的解． 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流． [实践与探索] 例 1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1） x + 2 x ? 3 = 0 ；2（2） 2 x ? 5 x + 2 = 0 ．2分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比 画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线 y = x 2 的图象，再根据待解的方程，画出相应 的直线，交点的横坐标即为方程的解． 解 （1）在同一直角坐标系中画出 函数 y = x 2 和 y = ?2 x + 3 的图象， 如图 26．3．5， 得到它们的交点（-3，9）、（1，1），35 则方程 x + 2 x ? 3 = 0 的解为 C3，1．2（2）先把方程 2 x ? 5 x + 2 = 0 化为25 x + 1 = 0 ，然后在同一直角 2 5 坐标系中画出函数 y = x 2 和 y = x ? 1 2 x2 ?的图象，如图 26．3．6，1 1 ， ）、（2，4）， 2 4 1 2 则方程 2 x ? 5 x + 2 = 0 的解为 ，2． 2得到它们的交点（ 回顾与反思 一般地，求一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的近似解时，可先将方程ax 2 + bx + c = 0 化为 x 2 +b c b c x + = 0 ，然后分别画出函数 y = x 2 和 y = ? x ? 的图 a a a a象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解． 例 2．利用函数的图象，求下列方程组的解：1 3 ? ?y = ? x + (1) ? 2 2； ?y = x2 ?分析 （1）可以通过直接画出函数 y = ?（2） ?? y = 3x + 62 ? y = x + 2x．1 3 x + 和 y = x 2 的图象，得到它们的交点，从 2 2 1 3 x+ 2 2而得到方程组的解；（2）也可以同样解决． 解 （1）在同一直角坐标系中画出函数 y = x 2 和 y = ? 的图象，如图 26．3．7， 得到它们的交点（ ?3 9 ， ）、（1，1）， 2 43 ? 1 3 ? ? x1 = ? 2 ? x 2 = 1 ? ?y = ? x + 则方程组 ? ,? ． 2 2 的解为 ? ?y = x2 ? y = 9 ? y2 = 1 ? ? 1 4 ?36 （2）在同一直角坐标系中画出函数 y = x 2 + 2 x 和 y = 3 x + 6 的 图象，如图 26．3．8， 得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组 ?? y = 3x + 62 ? y = x + 2x的解为 ?? x1 = ?2 ? x 2 = 3 ,? ． ? y1 = 0 ? y 2 = 15探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此 题的方法吗？比如利用抛物线 y = x 2 的图象，请尝试一下． [当堂课内练习] 1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1） ? x + x + 1 = 0 （精确到 0．1） ；2（2） 3 x ? 5 x + 2 = 0 ．22．利用函数的图象，求方程组 ? [本课课外作业]? y = ?x + 22 ?y = x的解：A组 1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1） x +23 x ?1 = 0 2（2）2 2 1 x + x+ =0 3 32．利用函数的图象，求下列方程组的解： （1） ??y = ?x2 ? y = ( x + 1) ? 5；（2） ? B组?y = x ? 62 ? y = ?x + 2x．3 ． 如 图 所 示 ， 二 次 函 数 y1 = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 与y 2 = kx + b(k ≠ 0) 的图象交于 A（-2，4）、B（8，2）．求能使 y1 & y 2 成立的 x 的取值范围。37 [本课学习体会]第二十六章小结与复习 一、本章学习回顾 1． 知识结构 实 际 问 题 二 次 函 数 二次函数的图象 二次函数的应用 二次函数的性质2．学习要点 （1）能结合实例说出二次函数的意义。 （2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。 （3）掌握二次函数的平移规律。 （4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。 （5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。 （6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。 （7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。 3．需要注意的问题 在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在 用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都 体现了数形结合的思想。 二、本章复习题 A组 一、填空题 1．已知函数 y = mx 的开口向上；当 m=m2 ?m，当 m=时，它是二次函数；当 m=时，抛物线时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数． ． ．2．抛物线 y = ax 2 经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 3．抛物线 y = (k + 1) x 2 + k 2 ? 9 ，开口向下，且经过原点，则 k=38 4．点 A（-2，a）是抛物线 y = x 上的一点，则 a=2； A 点关于原点的对称点 B ； 其中点 B、点 C 在抛物线 y = x 2是 上的是； 点关于 y 轴的对称点 C 是 A ．25．若抛物线 y = x ? 4 x + c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是 6．把函数 y = ? 数关系式为．1 2 x 的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得新图象的函 6． ． ． 时，y 随2 7．已知二次函数 y = x ? 8 x + m 的最小值为 1，那么 m 的值等于8．二次函数 y = ? x 2 + 2 x + 3 的图象在 x 轴上截得的两交点之间的距离为 9．抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 1 的对称轴是 ，根据图象可知，当 xx 的增大而减小． 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关 系式为 ． 11．若二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式 为 ． ， 顶点坐标是 ， 对称轴是 ， x= 当2 212． 抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 3 的开口方向向 与 x 轴的交点坐标是 y 有最 值是， 时，， y 轴的交点坐标是 与 ．13． 抛物线 y = x 2 + x + c 与 x 轴的两个交点坐标分别为 ( x1 ,0) ， x 2 ,0) ， x1 + x 2 = 3 ， ( 若 那么 c 值为 ，抛物线的对称轴为 ． 时，函数的图象是直线；当 m14．已知函数 y = ( m ? 1) x 2 + 2 x + m 2 ? 4 ．当 m时，函数的图象是抛物线；当 m 时，函数的图象是开口向上，且经过 原点的抛物线． 15．一条抛物线开口向下，并且与 x 轴的交点一个在点 A（1，0）的左边，一个在点 A（1， 0） 的右边， 而与 y 轴的交点在 x 轴下方， 写出这条抛物线的函数关系式 ． 二、选择题 16． 下列函数中， 是二次函数的有 （ ） ① y = 1?2x 2②y=1 x2③ y = x (1 ? x )39④ y = (1 ? 2 x )(1 + 2 x) A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 （ ）17． 若二次函数 y = ( m + 1) x 2 + m 2 ? 2m ? 3 的图象经过原点， m 的值必为 则 A、-1 或 32B、-1C、3D、无法确定 （ D、至少有一个交点 ）18． 二次函数 y = x ? 2( m + 1) x + 4m 的图象与 x 轴 A、没有交点 B、只有一个交点 ） C、最小值 1 D、最小值 2 C、只有两个交点19．二次函数 y = x 2 ? 2 x + 2 有（ A、最大值 1 B、最大值 220．在同一坐标系中，作函数 y = 3x 2 ， y = ?3x 2 ， y =1 2 x 的图象，它们的共同特点是 3（D ） A、都是关于 x 轴对称，抛物线开口向上 B、都是关于 y 轴对称，抛物线开口向下 C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D、都是关于 y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 21． 已知二次函数 y = kx 2 ? 7 x ? 7 的图象和 x 轴有交点， k 的取值范围是 则 （ ）7 4 7 C、 K ≥ ? 4A、 K & ?7 且k ≠ 0 4 7 D、 K & ? 且 k ≠ 0 4 1 1 2 2 22． 二次函数 y = ( x ? 1) + 2 的图象可由 y = x 的图象 2 2B、 K ≥ ?（）A．向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 B．向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 C．向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到 D．向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到 23．某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提 高 2 元， 则减少 10 张床位租出； 若每床每晚收费再提高 2 元， 则再减少 10 张床位租出． 以 每次提高 2 元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ） A、4 元或 6 元 B、4 元 C、6 元 D、8 元 24． 若抛物线 y = ax 2 + bx + c 的所有点都在 x 轴下方， 则必有 A、 a & 0, b 2 ? 4ac & 0 B、 a & 0, b 2 ? 4ac & 040（） C、 a & 0, b ? 4ac & 02D、 a & 0, b ? 4ac & 022 25． 抛物线 y = 2 x + 4 x ? 1 的顶点关于原点对称的点的坐标是（）A、（-1，3） 三、解答题 26．已知二次函数 y =B、（-1，-3）C、（1，3）D、（1，-3）1 2 x + 2x + 1． 2（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值； （2）求抛物线与 x 轴、y 轴的交点； （3）作出函数图象的草图； （4）观察图象，x 为何值时，y＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y＜0？ 27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式． 28．已知二次函数，当 x=2 时，y 有最大值 5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函 数的函数关系式． 29．已知二次函数的图象与 x 轴交于 A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值 2． （1）求二次函数的函数关系式； （2）设此二次函数图象的顶点为 P，求SABP 的面积． 30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解： （1） 2 x ? x ? 3 = 0 ；2（2） ?? y = ?3 x ? 12 ?y = x ? x．31． 某商场以每件 30 元的价格购进一种商品， 试销中发现， 这种商品每天的销售量 m （件） 与每件的销售价 x（元）满足一次函数：m=162-3x． （1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 间的函数关系式； （2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销 售利润为多少？ B组 一、选择题 32．若所求的二次函数的图象与抛物线 y = 2 x 2 ? 4 x ? 1 有相同的顶点，并且在对称轴的 左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，则所求二次函数的 函 数 关 系 式 为 （ D ） A、 y = ? x 2 + 2 x ? 4 C、 y = ?2 x 2 ? 4 x ? 5 B、 y = ax 2 ? 2ax + a ? 3( a & 0) D、 y = ax 2 ? 2ax + a ? 3( a & 0)41 33． 二次函数 y = ax + bx + c( a ≠ 0) ， x=1 时， 当 函数 y 有最大值， ( x1 , y1 ) ， x 2 , y 2 ) 设 （2是这个函数图象上的两点，且 1 & x1 & x 2 ，则 A、 a & 0, y1 & y 2 C、 a & 0, y1 & y 2 34．若关于 x 的不等式组 ? x （ ） A、没有交点 C、相交于一点 二、解答题 35．若抛物线 y = 2 xm 2 ? 4 m ?3（）B、 a & 0, y1 & y 2 D、 a & 0, y1 & y 2?x ≥ a ? 3 1 2 无解，则二次函数 y = ( 2 ? a ) x ? x + 的图象与 4 ? x ≤ 15 ? 5a轴 B、相交于两点 D、相交于一点或没有交点+ (m ? 5) 的顶点在 x 轴的下方，求 m 的值．36．把抛物线 y = x 2 + mx + n 的图象向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图 象的解析式是 y = x 2 ? 2 x + 2 ，求 m、n． 37．如图，已知抛物线 y = ?1 2 x + (5 ? m 2 ) x + m ? 3 ，与 x 2轴交于 A、B，且点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 x 轴负半轴上， OA=OB， （1）求 m 的值； （2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点 C 的坐标． 38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式． C组 解答题 39．如图，已知二次函数 y = ? x 2 + mx + n ，当 x=3 时， 有最大值 4． （1）求 m、n 的值；42 （2）设这个二次函数的图象与 x 轴的交点是 A、B， 求 A、B 点的坐标； （3）当 y＜0 时，求 x 的取值范围； （4）有一圆经过 A、B，且与 y 轴的正半轴相切于点 C， 求 C 点坐标． 40．阅读下面的文字后，解答问题． 2 有 这 样 一 道 题 目 ： “ 已 知 二 次 函 数 y=ax +bx+c 的 图 象 经 过 点 A(0,a) 、 B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线 x=2．” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不 能请说明理由； （2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整． 41．已知开口向下的抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴交于两点 A（ x1 ，0）、B（ x 2 ，0）， 其中 x1 ＜ x 2 ，P 为顶点，∠APB=90°，若 x1 、 x 2 是方程 x 2 ? 2( m ? 2) x + m 2 ? 21 = 0 的 两个根，且 x1 + x 2 = 26 ．2 2（1）求 A、B 两点的坐标； （2）求抛物线的函数关系式． 42．已知二次函数 y = ? x 2 + ( m ? 2) x + 3(m + 1) 的图象如图所示． （1）当 m≠-4 时，说明这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点； （2）求 m 的取值范围； （3）在（2）的情况下，若 OA ? OB = 6 ，求 C 点坐标； （4）求 A、B 两点间的距离； （5）求SABC 的面积 S． 第二十六章自我检测题 （时间 45 分钟，满分 100 分） 一、精心选一选（每题 4 分，共 20 分） 1 ． 抛 物 线y = x2 ? 4的顶点坐标是（ ） A、（2，0）B、（-2，0）C、（1，-3）D、（0，-4） ）2．若（2，5）、 （4，5）是抛物线 y = ax 2 + bx + c 上的两个点，则它的对称轴是 （43 A、 x = ?b aB、 x = 1C、 x = 2D、 x = 33． 已知反比例函数 y = 的图象经过的象限是 A、第三、四象限 C、第二、三、四象限a (a ≠ 0) ，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，则函数 y = ax 2 + a x（ B、第一、二象限 D、第一、二、三象限 ）2 （-1， ， 3， ， 0） （ 0） 其形状与抛物线 y = ?2x 2 4． 抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴的两个交点为相同，则 y = ax + bx + c 的函数关系式为2（ B、 y = ?2 x 2 + 4 x + 5 D、 y = ?2 x 2 + 4 x + 6）A、 y = ?2 x 2 ? x + 3 C、 y = ?2 x 2 + 4 x + 85．把抛物线 y = x 2 + bx + c 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线y = x 2 ? 2x + 1， 则A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 二、细心填一填（每空 3 分，共 45 分） 6．若 y = (2 ? m) xm2 ?2（ C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18）是二次函数，则 m= ，对称轴是。 。 ，当 x 时，y 随 x 的增大7．二次函数 y = ? x 2 ? 2 x 的开口 8．抛物线 y = 而增大。1 2 3 x + x ? 的最低点坐标是 2 29 ． 已 知 二 次 函 数 y = ax 2 ? 2 的 图 象 经 过 点 （ 1 ， -1 ） ， 则 这 个 二 次 函 数 的 关 系 式 为2，它与 x 轴的交点的个数为个。 。10．若 y 与 x 成正比例，当 x=2 时，y=4，那么当 x= -3 时，y 的值为 11 ． 抛 物 线 y = x 2 + 3 x ? 4 与 y 轴 的 交 点 坐 标 是，与 x 轴的交点坐标是 。 12．有一长方形条幅，长为 a m，宽为 b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积 S（m2） 与花边宽度 x（m）之间的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范 围为 。44 13．抛物线 y = ax 与直线 y = 3 x ? b 只有一个公共点，则 b=2。 。2 14．已知抛物线 y = ax + x + c 与 x 轴交点的横坐标为 C1，则 a + c =15．已知点 A（1，4）和 B（2，2），试写出过 A、B 两点的二次函数的关系式（任写两 个） 、 。 三、认真答一答（第 17 题 8 分，其余各 9 分） 16．已知二次函数 y = x + bx ? 1 的图象经过点（3，2）。2（1）求这个二次函数的关系式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当 x＞0 时，求使 y≥2 的 x 的取值范围。17．根据下列条件，求二次函数的关系式： （1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）； （2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。18．已知抛物线 y = ax 2 + 4ax + t 与 x 轴的一个交点为 A（-1，0）。 （1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标； （2）D 是抛物线与 y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以 AB 为一底的梯形 ABCD 的 面积为 9，求此抛物线的函数关系式。45 19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长 存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现 有一经销商， 按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内， 此时市场价为每千克 30 元。 据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但放养一天需各种费用 400 元，且平 均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克 20 元。 （1）设 x 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 x 的函数关系式； （2）如果放养 x 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售总额 Q 元，写出 Q 关 于 x 的函数关系式； （3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本 －费用）？最大利润是多少？相 似 形 图形的相似 教学目标 通过一些相似的实例，让生观察相似图形的特点，感受形状相同的意义，理解相似图 形的概念．能通过观察识别出相似的图形．能根据直觉在格点图中画出已知图形的相似图 形． 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 教学重点 引导学生通过观察识别相似的图形，培养学生的观察分析及归纳能力． 教学难点 理解相似图形的概念． 教学过程 一、观察课本第 42 页图 24.1.1 、图 24.1.2 ，每组图形中的两图之间有什么关系？ 二、归纳： 每组图形中的两个图形形状相同，大小不同． 具有相同形状的图形叫相似图形． 师可结合实例说明： ⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况． ⑶我们可以这样理解相似形： 两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例――全等形． 三、你还见过哪些相似的图形？请举出一些例子与同学们交流．46 四、观察课本第 43 页图 24.1.3 中的三组图形，它们是否相似形？为什么？ 五、想一想： 放大镜下的图形与原来的图形相似吗？ 放大镜下的角与原来图形中的角是什么关系？ 可让学生动手实验，然后讨论得出结论． 六、观察课本第 43 页图 24.1.4 中的三组图形，它们是否相似形？为什么？ 让学生通过比较图 24.1.3 与图 24.1.4 ，体会相似图形与不相似图形的“形状”特点． 七、课本第 43 页“试一试”． 让生各自独立完成作图，再展示评析． 八、巩固： ⒈课本第 43 页练习． ⒉课本第 44 页习题 24.1 ． 对于第 2 题，学生的判断是对相似图形的一种直观认识，最好让学生充分交流彼此的 看法． 九、小结： 你通过这节课的学习，有哪些收获？ 十、作业：略．相似三角形 教学目标：使学生掌握相似三角形的判定与性质 教学重点：相似三角形的判定与性质 教学过程： 一 知识要点： 1、相似形、成比例线段、黄金分割 相似形：形状相同、大小不一定相同的图形。特例：全等形。 相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的 比与另两条线段的长度的比相等，即 比例线段，简称比例线段。a c = （或 a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成 b d黄金分割：将一条线段分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长 之比，则可得出这一比值等于 0?618…。这种分割称为黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄 金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 例 1：（1）放大镜下的图形和原来的图形相似吗？ （2）哈哈镜中的形象与你本人相似吗？47 （3）你能举出生活中的一些相似形的例子吗/ 例 2：判断下列各组长度的线段是否成比例： （1）2 厘米，3 厘米，4 厘米，1 厘米 （2）1?5 厘米，2?5 厘米，4?5 厘米，6?5 厘米 （3）1?1 厘米，2?2 厘米，3?3 厘米，4?4 厘米 （4）1 厘米， 2 厘米，2 厘米，4 厘米。 例 3：某人下身长 90 厘米，上身长 70 厘米，要使整个人看上去成黄金分割，需穿多高的 高跟鞋？ 例 4：等腰三角形都相似吗？ 矩形都相似吗？ 正方形都相似吗？ 2、相似形三角形的判断： a 两角对应相等 b 两边对应成比例且夹角相等 c 三边对应成比例 3、相似形三角形的性质： a 对应角相等 b 对应边成比例c 对应线段之比等于相似比 d 周长之比等于相似比 e 面积之比等于相似比的平方 4、相似形三角形的应用： 计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度以及等份线段例题 1：如图所示， ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG 交 BD 于点 E，交 DC 于点 F，试找出图中所有的相似三 角形A E B C FDG48 2 如图在正方形网格上有 6 个斜三角形： :ABC； b: BCD a EFK，试找出与三角形 a 相似的三角形c: BDE d: BFGe: FGHf:3、在 ABC 中，AB=8 厘米，BC=16 厘米，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 2 厘米 每秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 4 厘米每秒的速度移动，如果 P、Q 分 别从 A、B 同时出发，经几秒钟 PBQ 与 ABC 相似？4、 某房地产公司要在一块矩形 ABCD 土地上规划建设一个矩 形 GHCK 小区公园（如图），为了使文物保护区 AEF 不被 破坏，矩形公园的顶点 G 不能在文物保护区内。已知 AB=200 米，AD=160 米，AF=40 米，AE=60 米。 （1）当矩形小区公园的顶点 G 恰是 EF 的中点时，求公园的 面积； （2）当 G 是 EF 上什么位置时，公园面积最大？DKCF G M A N EH B同步练习： 1．已知：AB=2，M 是的黄金分割点， （1） 求 AM 的长；（2）求 AM：MB2．已知：x:y:z=2:3:4, 求:49 (1)x+ y+ z 3x + 2 y ? z （2） （3）若 2x-3y+z=-2 求 x,y,z 的 x+ y?z x + 2 y ? 3z3．已知：d a b c = = = = k ，求 k 的值。 a+b+c b+c+d a+c+d a+b+d4．已知：△ ABC 中，AD=AE，DE 交 BC 延长线于 F，求证：BF?CE=CF?BD。 A A A D M B C D E C M F B E CE F BDM FN 5．如图：已知 CD∥EF∥GH∥AB，AB=16，CD=10，DE∶ EG∶GA=1∶2∶3，求 EF+GH。 G A MD EC F H B6．如图,已知：CD∶DA=BE∶ED=2∶1， A 求 BF∶FC 及 AE∶EF。50E B FD C 7．如图，在直角坐标系中有两点 A（4，0），B（0，2），如果点 C 在 x 轴上，（C 与 A 不重合），当由点 B，O，C 组成的三角形与三角形 AOB 相似时，求点 C 的坐标？Y B X AO8．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，EC 平行 AD，DE 平行 BC，若三角形 BEC 的面 积=1，三角形 ADE 的面积=3，求三角形 CDE 的面积 A E D C B51 位似图形教案教学目标：1、知识目标：①了解位似图形及其有关概念； ②了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2、能力目标：①利用图形的位似解决一些简单的实际问题； ②在有关的学习和运用过程中发展学生的应用意识和动手操作能力。3、情感目标：①通过学习培养学生的合作意识； ②通过探究提高学生学习数学的兴趣。 教学重点： 探索并掌握位似图形的定义和性质； 教学难点： 运用定义和性质进行简单的位似图形的证明和计算。 教学方法： 从学生生活经验和已有的知识出发，采用引导、启发、合作、探究等方法，经历观察、 发现、动手操作、归纳、交流等数学活动，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习； 提高学生自主探究、合作交流和分析归纳能力；同时在教学过程对不同层次的学生进行分 类指导，让每个学生都得到充分的发展。52 教学准备： 刻度尺、为每个小组准备好打印的五幅位似图形、多媒体展示课件、 教学手段： 小组合作、多媒体辅助教学教学设计说明：1、为了便于学生理解位似图形的特征，我在设计中特别注意让学生通过动手操作、 猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机 结合，形成对位似图形的认识. 2、探索知识是本节的重点，设计这一环节，通过学生的做、议、读、想、试等环节 来完成，把学习的主动权充分放给学生，每一环节及时归纳总结，使学生学有所获，探索 创新. 教学过程： 一、创设情境 引入新知 观察大屏幕有五个图形，每个图形中的四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 都是相似图形。 分别观察着五个图形，你发现每个图形中的两个四边形各对应点的连线有什么特征? C D 1 C1 A1 A (1) C C1 B1 B (3) A C D 1 C1 A1 (4) B1 B B B1 A B (2) D D 1 C1 A B1 (5) B C D C B1 C1 A1 D1DD D1 A1 AD53 （学生经过小组讨论交流的方式总结得出：） 特点：（1）两个图形相似： （2）每组对应点所在的直线交于一点。 二、合作交流 探究新知 请同学们阅读课本 58 页，掌握什么叫位似图形、位似中心、位似比？ 如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这样的两个图形叫做位似 ．． 图形，这个交点叫做位}
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