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建筑制图与识图
学习目标：了解建筑制图的任务与学习方法，掌握常用的工程图的几个分类
教学重点：
1．搞清本章所讲的几个概念，及其相互间的关系；2．掌握本课程的学习方法，培养一丝不苟的学习作风。教学难点：
1．搞清“画法几何”与“工程制图”之间的关系，并在工程制图中正确运用画法几何理论；2．掌握本课程的学习方法，培养一丝不苟的学习作风。
课时：2个课时
1.1 建筑制图的任务
1．研究正投影的基本理论2．培养绘制和阅读工程图的能力3．研究常用的图解方法，培养图解能力4．通过绘图、读图和图解的实践，培养空间想象能力5．培养认真、细致、一丝不苟的工作作风6．培养用图形软件绘制图样的初步能力工程图：在生产建设和科学研究工程中，对于已有的或想象中的空间体（如地面、建筑物、机器等）的形状、大小、位置和其它有关部门资料，很难用语言和文字表达清楚，因而需要在平面上（例如图纸上）用图形表达出来。这种在平面上表达工程物体的图，称为工程图。
工程图常用的有以下几种： 1．透视图2．轴测图3．正投影图4．标高投影图
1.1.1 画法几何
当研究空间物体在平面上如何用图形来表达时，因空间物体的形状、大小和相互位置等不相同，不便以个别物体来逐一研究，并且为了使得研究时易于正确、深刻和完全，以及所得结论能广泛地应用于所有物体起见，特采用几何学中将空间物体综合概括成抽象的点、线、面等几何形体的方法，先研究这些几何形体在平面上如何用图形来表达，以及如何通过作图来解决它们的几何问题。这种研究在片面上用图形来表示空间几何形体和运用几何图来解决它们的几何问题的一门学科，称为画法几何。
6个面组成每个面由无数条线组成每条线由无数个点组
1.1.2 工程制图
把工程上具体的物体，视为由几何形体所组成，根据画法几何的理论，研究它们在平面上用图形来表达的问题，而形成工程图。在工程图中，除了有表达物体形状的线条以为，还要应用国家制图标准规定的一些表达方法和符号，注以必要的尺寸和文字说明，使得工程图能完善、明确和清晰地表达出物体的形状、大小和位置，以及其它必要的资料（例如：物体的名称、材料的种类和规格，生产方法等）。研究绘制工程图的这门学科，称为工程制图。注意：如将工程图比喻为工程界的一种语言，则画法几何便是这种语言的语法。
培养学生绘图、读图和图解的能力，通过这几方面的实践，培养学生的空间想象能力二、任务
1．研究正投影的基本理论2．培养绘制和阅读工程图的能力3．研究常用的图解方法，培养图解能力4．通过绘图、读图和图解的实践，培养空间想象能力5．培养认真、细致、一丝不苟的工作作风6．培养用图形软件绘制图样的初步能力
三、应达到的要求
1．掌握正投影的基本理论和作图方法2．确使用绘图工具，掌握绘图的技巧和方法，又快又好地作出符合国家标准的工程图，并能正确地阅读一般的工程图纸。3．具有图示空间几何形体和图解空间几何问题的能力4．初步掌握计算机绘图的基本知识
1.1.3 本课程的主要内容和学习方法
一、主要内容
1．图样的基本知识：绘图工具、仪器的使用，几何作图的知识，基本制图标准。2．投影作图：工程图样的图示原理和方法。3．工程图样的看图、画图的规则和方法。4．相关的其它图样：简介建筑制图图样的看图、画图规则和方法。5．计算机绘图。
二、学习方法
画法几何是制图的理论基础，比较抽象，系统性较强。制图是投影理论的运用，实践性较强，学习时要完成一系列的绘图、识图作业。但必须注意学习方法，才能提高学习的效果。1．要下工夫培养空间想象能力从二维的平面想象出三维形体的形状。这是初学者制图的一道难关。开始时可以借助于一些模型（没有），加强图物对照的感性认识，但要逐步减少使用模型，直至可以完全依靠自己的空间想象能力，看懂图纸。2．作图时要画图与读图相结合每一次根据物体画出投影图之后，随即移开物体，从所画的视图想象原来物体的形状，是否相符。坚持这种做法，有利于空间想象能力的培养。3．要培养解体能力课文易懂，习题难做。这是本门课程的第二道难关。要解决这个问题，一要掌握解体的思路，即空间问题，一定要拿到空间去分析研究，决定解体的方案；二要掌握几何元素之间的各种基本关系（如：平行、垂直、相交、交叉等）的表示方法，才能将解体逐步用作图表达出来，并求得解答。4．要提高自学成才能力课前预习，然后带着问题听老师讲课。复习时要着重检查自己能否用图表示书中每一个概念和每一种方法。5．工程图纸（机械图纸、化工图纸、建筑图纸等）是施工的根据，往往由于图纸上一条线的疏忽或一个数字的差错，结果造成严重的反工浪费。所以应从初学制图开始，就严格要求自己，养成认真负责、一丝不苟和力求符合国家标准的工作态度。同时又要逐步提高绘图速度，达到又快又好的要求。注意：工程质量终身负责制（工程质量、设计方面的问题）
教学重点：
1．掌握国家制图标准《建筑制图》等相关标准中的图幅、图框格式、常用比例、写字要求及字形、图线宽度等基本要求；2．掌握几何作图的基本方法，能正确利用作图工具绘制圆的内截多边形、椭圆等基本图形；3．能正确地对平面图形进行尺寸和线段分析，能正确选择尺寸基准，完整地标注定形尺寸和定位尺寸；4．掌握锥度和斜度的画法及其标注；5．掌握圆弧连接的基本画法。
教学难点：
.1．基本几何图形的基本画法；2．平面图形进行尺寸和线段分析、尺寸基准的选择、尺寸的正确标注。3．圆弧连接中应注意的问题。
教学过程：复习旧课 讲授新课
教学课时：8课时
制图规格与基本技能
目前，虽然计算机绘图技术正在逐渐步入设计、生产和科研等各个领域，但工程技术人员手工绘图的基本技能还是要具备的。
手工绘制工程图样通常是先在绘图纸上用绘图铅笔按规定方法和绘制图稿（也称白图），再在半透明的描图纸上用描图笔将图稿描正，或直接在画图稿并描正。描好的图样称为底图。用晒图机或复印机将底图上的图样翻晒或复印在图纸上，就得到了一般常见的工程图纸（称蓝图）。本章将简单介绍基本的绘图工具、一起的使用方法，国家标准的有关部门规定，并简要介绍徒手绘制技术草图的方法。
2．1制图工具和仪器的用法学习制图，首先要了解各种绘图工具和一起的性能，熟练掌握它们的正确使用方法，并经常注意维修保养，才能保证绘图质量，加快绘图速度。
2.1.1、绘图仪器
1．图板：板面要求光滑平整, 四周工作边要平直。（见如下图示）
2．丁子尺：丁字尺主要用于画水平线，使用时，左手握尺头，使尺头紧靠图板左边缘。
尺头沿图板的左边缘上下滑动到需要画线的位置，从左向右画水平线，应注意，尺头不能靠
图板的其它边缘滑动画线。丁字尺不用时应挂起来，以免尺身翘起变形。（见图2-7示）
图2-7 图板、丁字尺及其使用
3．三角板：由两块直角形三角板组成一幅，其中一块的两个锐角都为45°，另一块两个锐角分别为30°和60°。用三角板和丁字尺配合，可画出15°倍角的斜线，用三角板配合可画出平行线。（见如下两图示）
4．比例尺（1）比例尺：比例尺是用于放大（读图时）或缩小（绘图时）实际尺寸的一种尺子。 最常用的为三棱比例尺，常用比例有1：100，1：10，1：1000。（见如下图示）
5．圆规与分轨：用来画圆和圆弧的工具，具体使用见教材P16 图2-10
6．铅笔：由软到硬以2B， B， HB， H ，2H来表示型号
7．曲线板：曲线板是用以画非圆曲线的工具。如下图所示，连接曲线板上各个点可以做出不同形状的曲线，曲线板主要用于机械类制图，而建筑制图中曲线的出现概率不大。
2.2建筑制图国家标准的基本规定
工程图样之所以能成为工程技术界的共同语言，主要是由于图样格式、内容、画法几何
及工程制图和标注等，都有一系列必须共同遵循的统一规定，简言之，就是实现了制图的标
准化。制图的标准化工作是一切工业标准的基础。我国现行的制图标准，是国家标准局于1983年和1984年发布，1985年实施的《中华人民共和国国家机械制图标准》。国家标准简称“国标”，代号：“GB”，本节只介绍国家标准《机械制图》部分中的部分内容，其余将在以后各章节中结合各章节的内容介绍之。
2.1.1 图纸幅面（GB/5）
1．图纸幅面尺寸
注：b l 分别为图纸的短边与长边，a c分别为图框线到图幅边缘之间的距离。A0面积为1O，A1是A0的对开，其他以此类推2．图样格式
A0~A3横式幅面和立式幅面如下左右图所示：
3．标题栏和会签栏
图纸的标题栏（简称图标）和会签栏的位置、尺寸及内容如下图所示。
2.2.2 比例（GB/5）
图样的比例，应为图形与实物相对应的线型尺寸之比。比例的大小是指其比值的大小。
比例宜注写在图名的右侧，字的基准应取平。比例的字高宜比图名的字高小一号或二号。例如
在一般情况下，应该优选选用下表中所示比例
2.1.3字体（GB/5）
汉字、数字、字母等字体的大小以字号来表示，字号就是字体的高度。字高从下列序列中选用：3.5mm、5mm、7mm、10mm、14mm、20L。
1．汉字应采用简化汉字，书写成长仿宋字体。长仿宋字体的字高与字宽的比例大约为3：2（或1：0.7）长仿宋字的书写要领：横平竖直，起落分明，填满方格，结构匀称
10号字7号字5号字3.5
2．数字、字母拉丁字母及数字（包括阿拉伯数字和罗马数字及少数希腊字母）有一般字体和窄字体两种，其中又有直体字和斜体字之分。拉丁字母、阿拉伯数字与罗马数字的字高，应不少于2.5mm。
2.1.4 图线（GB/5）1．线型及其应用(见下表所示)
2．图线的画法
（1）同一图样中，同类线的宽度应基本一致，虚线、点划线、双点划线各自线段的长短和间隙应大致相符。（见图示说明）。
（2）绘制圆的中心线时
a）应超出圆外2～5mm；b）首末两端应是线段而不是点；c）圆心是线段的交点；d）当绘制小圆的中心线有困难时，可由细实线代替点划线。
（3）绘制虚线与虚线（或其它图线）相交时
a）应是线段相交；b）虚线是实线的延长线时，在相交处要离开。（见图示说明）。
图线交接的正确画法
2.1.5 尺寸标注（GB/5）
图样中的图形仅仅确定了机件的形状，而机件的真实大小是靠尺寸确定的，因此，尺寸标注是图样中的另一重要内容。尺寸标注也是制图工作中极为重要的一环，需要认真细致，一丝不苟。1．基本原则（1）机件的真实大小应以图样上所标注的尺寸数值为依据，与图样的大小及绘图的准确性无关。（2）图样中（包括技术要求和其它说明）的尺寸，以mm为单位，不需标注计量单位的代号或名称，如采用其他单位，则必须注明相应的计量单位的代号或名称。（3）图样中所注的尺寸，为该图样所示机件的最后完工尺寸，否则，应另加说明。（4）机件的每一个尺寸，一般只标注一次，并应标注在反映该结构最清晰的图形上。2．尺寸的组成（标注尺寸的四要素）一个完整的尺寸由尺寸界线、尺寸线、尺寸数字和箭头（或斜线）组成，故常称为尺寸的四要素。(1)尺寸界线（表示尺寸的起止）的画法。一般用细实线画出并垂直于尺寸线。尺寸界线的一端应与轮廓线接触，另一端伸出尺寸线外2～3mm，有时也可以借用轮廓线、中心线等作为尺寸线。（2）尺寸线。a）尺寸线必须用细实线单独画出，不能用其它图线代替，也不能画在其它图线的延长线上；b）标注线性尺寸时，尺寸线必须与所注的尺寸方向平行；c）当有几条相互平行的尺寸线时，大尺寸要注在小尺寸的外面，以免尺寸线与尺寸界线相交。d）在圆或圆弧上标注直径尺寸时，尺寸线一般应通过圆心或其直径的延长线上；（3）尺寸线终端的两种形式。尺寸线终端有箭头和斜线两种形式。机械图多采用箭头。同一张图上箭头（或斜线）大小要一致，一般应采用一种形式。（4）尺寸数字。线性尺寸的数字一般注在尺寸线的上方（见图示），也可注在尺寸线的中断处。a）尺寸数字的书写，水平方向的尺寸数字头朝上；b）垂直方向的尺寸数字头朝左；c）倾斜方向的尺寸数字字头要保持朝上的趋势；d）应避免在300范围内标注尺寸，当实在无法避免时，可按图所示。
尺寸数字的注写方向
（1）尺寸数字应写在尺寸线的中间，在水平线上的应从左到右写在尺寸线上方，在铅直尺寸线上，应从下到上写在尺寸线左方；（2）长尺寸在外，短尺寸在内；（3）不能用尺寸界线左尺寸线；（4）轮廓线、中心线可以作尺寸界线，但不能作为尺寸线；（5）尺寸线倾斜时，数字的方向应便于阅读，应尽量避免在斜线300范围内注写尺寸（见书中图示）；（6）同一张图纸内尺寸数字大小应一致；（7）在剖面图中写尺寸数字时，应在留有空白处书写而在空白处不画剖面线；（8）两尺寸界线之间比较窄时，尺寸数字可注在尺寸界线外侧，或上下错开，或用引出线引出再标注；（9）桁架式结构的单线图，可将尺寸直接注在杆件的一侧。
2.3 几何作图
机件的形状虽然各不相同，但都是由各种几何形体组成。它们的图形也是由一些几何形体组成。最基本的几何作图包括：圆周等分、斜度和锥度的画法、线段连接等作图方法。
一、等分直线段和角
二、两平行线间的任意等分
三、角的二等分
分点，过各等分点作AB（或CD）的平行线，即为所求。
四、作已知圆规的内截正多边形（或称圆周的等分）1．内截正三角形
2．内截正四角形
3．内截正五边形
4．内截正六边形
五、斜度和锥度
1．斜度斜度 = H= tgα=1：n L斜度是指一条直线（或平面）对另一条直线（或平面）的倾斜程度，如上式。其大小以直角三角形两直角边之比来表示，如图所示。并把斜度注成1：n的形式；标注斜度时用符号“∠”表示，如图1―7所示。符号倾斜方向与轮廓线方向一致。例如：过A点对AB直线作一条1：5的倾斜线，其作图方法如图所示，先将AB直线五等分得点C，然后过C点作CD⊥AB，并使CD=1AC，连接AD
即得锁求的倾斜线。5斜度的作法和标注2．锥度
1：n =DD?d?==2tg Ll2锥度是指圆锥底圆直径与锥高之比。对于锥台，其锥度则为上、下两底圆直径之差与锥台的高度之比，如图所示。并把比例写1：n的形式。标注：标注锥度时用符号“S”表示，如图所示，符号的方向应与锥面的轮廓线方向一致。
图1―8锥度的作法和标注六、圆弧连接
圆弧连接是指用已知半径的圆弧，光滑地连接（即相切）两已知线（直线或圆弧）构成机件的轮廓，如图所示。这个起连接作用的圆弧，称为连接弧。
（c）圆弧连接作图举例
注意：为保证光滑连接，作图时必须准确地求出连接弧的圆心和连接圆弧与被连接线段的连接点（即切点）。切点：即连接两圆弧的圆心延长线与已知圆弧的交点即为切点。1．连接弧的圆心轨迹（1）与直线相切时，其圆心在与直线的距离为R的平行线上，如图（a）、（b）所示；（2）与圆心为O1，半径为R1的圆弧相切时，其圆心在已知圆弧的同心圆上，该圆半径根据相切情况（内切、外切）而定（a）两圆外切时，R外=R+R1，如图（c）所示；（b）两圆内切时，R内=R－R1
，如图（d）所示；根据已知条件分别作出两条轨迹弧，其交点即为轨迹弧的圆心。2．连接圆弧切点的位置（1）与直线相切时，从连接弧的圆心向已知直线作垂线，其垂足就是切点，如图所示，k1、k2点即为切点；（2）与圆弧相切时，切断在两圆弧圆心的连心线或延长线与已知圆弧的交点处,如图
（c）、（d）所示, k1、k2点即为切。3．圆弧连接的作图步骤（1）首先求连接弧圆心，它应满足两被连接线段的距离均为连接弧半径的条件；（2）找出连接点，即连接弧与已知线段的切点；（3）最后在两连接点之间画出连接圆弧。
七、椭圆的近似画法
椭圆画法较多，已知椭圆的长短轴（或共轭轴），（a）用四心圆法作近似椭圆，称为四心圆法；（b）用同心圆法作椭圆，称为同心圆法。如图（a）、（b）所示。
椭圆的近似画法（四心法）
（a）作图方法（四心法）：（1）画长短轴AB、CD，连接AC ，并取CF=OA－OC（长短轴差）；（2）作AF的中垂线与长、短轴上交于两点1、2，在轴上取对称点3、4得四个圆心；（3）连接O1O2，O2O3，O3O4，O4O1并适当延长；（4）分别以O1、O2、O3、O4为圆心，以O1A、O2C、O3B、O4D为半径，顺序作四段相连圆弧（两大两小四个切点在有关圆心连线上），即为所求。
（b）作图方法（同心圆法）：椭圆的近似画法（同心圆法）（见书中图例）
八、平面图形的尺寸分析及画法
平面几何图形都是由若干直线和曲线连接而成的，这些线段有必须根据给定的尺寸关系画出，所以要想正确而又迅速地画好平面图形，就必须首先对图形中标注的尺寸进行分析。通过分析，可使我们了解平面集合图形中各种线段的形状、大小、位置及性质。1．平面图形的尺寸分析标注平面图形的尺寸时，要求正确、完整、清晰、齐全。要达到此要求，就需了解平面图形应标注哪些尺寸。平面图形中的尺寸，按其作用分为定形尺寸和定位尺寸两类。而在标注和分析尺寸时，首先必须确定基准，如图1―11所示。（1）定形尺寸：确定组成平面图形的各个部分形状大小的尺寸，称为定形尺寸。如直线的长度、圆及圆弧的半径、角度大小等。如图1―11中的75、15、￠20、￠45、R15、R12、R50、R10、￠30均为定形尺寸。
平面图形的画图步骤及尺寸线段分析（书中图例）
（2）定位尺寸：确定构成平面图形的各简单的几何图形中线段间相互位置的尺寸，称为定位尺寸。如图1―11中尺寸8就是￠5的定位尺寸。（3）基准：标注尺寸的基点，称为尺寸基准。标注尺寸时应考虑基准，一般以图形的对称中心线、较大圆的中心线或图形中的较长直线作为尺寸基准。通常一个平面图形需要X、Y两个方向的基准。（4）定形尺寸兼作定位尺寸：如图1―11中的￠30尺寸即是。2．平面图形的线段分析及作图步骤平面图形的绘制步骤、尺寸标注都与线段连接情况相关。因此，根据锁标注的尺寸和组成图形的各线段间的关系，图形中的线段可以分为以下三种：（1）已知线段：定形尺寸、定位尺寸齐全，可以直接画出的线段。（2）中间线段：有定形尺寸，而定位尺寸则不全，还需根据与相邻线段的一个连接关系才能画出的线段（3）连接线段：只有定形尺寸，而无定位尺寸，需要根据两个连接关系才能画出的线段。
下面以图2―11为例进行分析（a）分析图形，画出基准线，并根据定位尺寸画出定位线；（b）画出已知线段，即那些定形尺寸、定位尺寸齐全的线段；（c）画连接线段，即那些只有定形尺寸，而定位尺寸不齐全或无定位尺寸的线段；注：这些线段必须在已知线段画出之后，依靠他们和相邻线段的关系采纳画出。 （d）擦去不必要的图线，标注尺寸，按线型描深如图1―11所示。
2．4 徒手作图
仪器图―――用绘图仪器画出的图。草图―――不用仪器，徒手作的图。草图是工程技术人员交谈、记录、构思、创作的有利工具，工程技术人员必须熟练掌握徒手作图的技巧。
一、草图的“草”字只是指徒手作图而言，并没有容许潦草的意思
草图上的线条也要粗细分明，基本平直，方向正确，长短大致符合比例，线形符合国家标准。画草图用的铅笔要软些，例如B、HB；铅笔要削长些，笔尖不要过尖，要圆滑些；画草图时，持笔的位置高些，手放松些，这样画起来比较灵活。画水平线时，铅笔要放平些，初学画草图时，可先画出直线两端点，然后持笔沿直线位置悬空比划一、两次，掌握好方向，并轻轻画出底线。然后眼睛盯住笔尖，沿底线画出直线，并改正底线不平滑之处。画铅直线时方法相同，但持铅笔可竖高些。画向右上倾斜的线，手法与画水平线相似。画向右下倾斜的线，与画沿直线相似，但铅笔要更竖高些，而且要特别注意眼睛要盯住线的终点。
二、画草图时要手眼并用
作垂直线、等分一线段或一圆弧，截取相等的线段等，都是靠眼睛估计决定的。
三、徒手画平面图形时，不要急于画细部，先要考虑大局
画草图时，既要注意图形的长与高的比例，以及图形的整体与细部的比例是否正确，草图最好成绩画在方格纸（坐标纸）上，图形各部分之间的比例可借助方格数的比例来解决（当然是在有条件时用）
四、画物体的立体草图时，可将物体摆在一个可以同时看到它的长、宽、高的位置，然后观察及分析物体的形状
1．有的物体可以看成由若干个几何形体叠砌而成如图2―12（a）所示的模型，可以看作由两个长方体叠加而成。画草图时，可先徒手画出底下一个长方体，使其高度方向铅直，长度和宽度方向与水平线成300角，并估计其大小，定出其长、宽高。然后在顶面上另加一个长方体，如图2―12（a）所示。2．有的物体如棱台，可以看成从一个长方体削去一部分而成先画（徒手）一个以棱台的下底为底，棱台的高为高的长方体，然后在其顶面画出棱台的顶面，并将上、下面的四个角连接起来。如图2―12（b）所示，即为一个棱台。
图2―12立体草图五、画立体草图应注意三点先定物体的长、宽、高的方向，使高度方向垂直，长度方向和宽度方向与水平线倾斜300； 物体上互相平行的直线，在立体图上也应互相平行；画不平行于长、宽、高的斜线时，只能先画出他的两个端点，然后连线，如图2―12（b
作业题：习题集2，3，4，5，6页
教学重点：
投影的概念，正投影的基本特性，三视图的形成及相互间的投影关系；
教学难点：
掌握正投影的基本特性，并能正确运用正投影的基本特性解决实际的作图问题；
教学课时：2个课时
注：考虑到知识的传承顺序，将第一章投影法的部分放到第三章中讲授
点、直线、平面的投影
一切空间立体，从几何的观点出发都可看成是由点，线，面所组成。本章重点研究将三维空间中的点，直线，平面及其相对位置关系在二维平面上表达出来的理论和方法。通过这个学习的过程，使学生初步建立起一定的空间概念，为学习后续内容打好基础。
3.1投影的概念
在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们
根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法在投影法中：投影线――在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；投影面――在投影法中，出现影像的平面，称为投影面；投影―――在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。
二、投影法的分类
投影法依投影线性质的不同而分为两类：
1．中心投影法
投影线由由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。投影线的出发点称为投影中心。这种投影方法，称为中心投影法；A得的单面投影图，称为中心投影图。如图所示。由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法
中心投影法
平行投影法（a）
平行投影法（b）
2．平行投影法
如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面。 平行投影法又可分为两种，（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法。如上图所示。正投影法是工程制图中广泛应用的方法。
3．轴测投影
轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。以后将有一章专门讲解有关部门轴测图的基本知识。
三、正投影的基本特性
正投影特性
以对直线、平面进行正投影来说明其特性，如图2―4所示。1．真实性当直线或平面图形平行于投面时，投影反映线段的实长和平面图形的真实形状；2．积聚性当直线或平面图形垂直于投面时，直线段的投影积聚成一点，平面图形的投影积聚成一条线；3．类似性当直线或平面图形倾斜于投面时，直线段的投影仍然是直线段，比实长短；平面图形的投影仍然是平面图形，但不反映平面实形，而是原平面图形的类似形。由以上性质可知，在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量使物体上的平面或直线对投影呒处于平行或垂直的位置。
四、三个投影面的建立（三面投影体系的建立）
如图所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投影是相同的。很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的。
一个投影不能确定物体的形状
1．三个投影面的建立
一般需将物体放置在如图3―2的三面投影体系中，分别向三个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补充即可反映出物体的真实形状和大小。
图3―2三面投影体系
2．三投影面名称
正投影面――正立着的面，简称正投影面或V面，水平投影面――水平的面为水平投影面，简称水平面或H面，侧投影面――册立着的面为侧投影面，简称侧面或W面。在三投影面中：OX轴――V面和H面的交线，OY轴――H面和W面的交线，
OZ轴――V面和W面的交线，坐标原点O――OX、OY、OZ三轴的交点。
五、三视图的形成
按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图。为了得到能反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影体系中，分别向V面、H面、W面进行投影美丽V 面上得到的投影称为主视图；在H面上得到的投影称为俯视图；在W面上得到的投影称为左视图。三视图的形成工程如图3―2（a）所示。为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开，如图3―2（b）所示。展开方法：V面不动，H面绕OX轴旋转900，W面绕OZ轴旋转900，使H、W面与V面形成同一平面。在旋转工程中，需将OY轴一分为二，随H面的称为OYH，随W面的OYW。展开后的三视图，如图3―2（c）所示。值得注意的是：在生产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框，视图按上述位置布置时，不需注出视图名称，如图3―2（d）所示。
六、三视图的投影关系
从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：
1．位置关系
俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边；
三视图的形成
2．方位关系
任何物体都有前后、上下、左右六个方位。而每个视图只能表示其四个方位，如图3-3所示。在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示物体的左、右；俯左视图表示物体的前后。靠近主视图的一面是物体的后面，远离主视图的一面是物体的前面
图3-3 三视图与物体的方位关系
3．三等关系
任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X方向）的尺度称为长，上下方向（Z方向）尺度称为高，前后方向（Y方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图3―4所示）主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度，俯、左视图反映了物体的宽度。归纳上述三视图的三等关系是：主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等。简称为三视图的关系是上对正，高平齐，宽相等关系。
同时对应到坐标上应有以下关系：
1．长对正――X坐标相等
2．宽相等――Y坐标相等3．高平齐――Z坐标相等如此可以把这种空间形象的方位关系转化为“数学上的关系”，为以后的利用数学方法分析题目打下基础
注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部分都应符合三等关系。
图3-4 三视图的三等关系
学习目标：掌握点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法
教学重难点：点的三面投影规律以及彼此的位置关系和作图方法。
课时：4个课时
空间物体都是由面围成的，而呒可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素。学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状。
一、点的投影和三面投影规律
点的投影仍然是点，如图所示，设：空间有一点A，自A分别向三个投影面作垂线（即投影线），得三个垂足a、a?、a??。a、a?、a??分别表示A点在H面、V面、W面的投影。（通常规定空间点用大写字母如：A、B、C??等表示，其投影用响应的小写字母，如a、b、c??等表示）见下图。这样，A点到W 面的距离为A点的X坐标，A点到V 面的距离为A点的Y坐标，A点到H 面的距离为A点的Z坐标。若用坐标值确定点的空间位置时，可用下列规定书写形式：A=（XA，YA，ZA），
B=（XB，YB，ZB）???。
点的三面投影由作图可知，Aa⊥H面，Aa⊥V面，Aa⊥W面。则通过Aa所作的平面P必然同时垂直于H面和V面，当然，也垂直于H面与V 面的交线OX轴，它与OX轴的交点用ax表示，显然Aa?axa是一矩形，同理Aa??aya和Aa?aza??也是矩形。这三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影面的响应矩形围成一长方体。因为长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与三个投影面的关系为：
1．Aa=aay=aaz=oax（均为坐标XA） 2. Aa=aax=aaz=oay（均为坐标YA）3．Aa=a?ax =a??ay=oaz（均为坐标ZA）
可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由该点的两个坐标值决定的。点a由oax和oay，即A点的XA，YA两坐标决定；点a?由oax和oaz，即A点的XA，ZA两坐标决定；点a??由oay和oaz，即A点的YA，ZA两坐标决定。如图2―10（a）所示，将三投影面展开，使其与V面成同一平面。为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到aa?和a?a??（称为投影连线），分别与X、Z轴相交于ax和az点。由于Y轴展开后分为Yh和Yw，
在作图时，一种方法是采用以O点为圆心画弧ayH和ayw，如图2―10（b），另一种方法是自O点作450斜线，再从ayH引Y轴的垂线与450斜线得交点，再从此点引Yw的垂线与由a?引出的Z轴的垂线交点，即为a??点。注：在投影面上通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2―10（c）所示。按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：1．点的正投影和水平投影的连线垂直于X轴，即aa⊥OX两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离。即：a?a⊥OX，a?az=aayH=XA。2．点的正面投影a?和侧面投影a??的连线垂直于Z轴，这两个投影都反映空间点的Z坐标，即便表示点到水平面的距离。a?a??⊥Z轴，a?ax=a??ayw=ZA。3．点的水平投影到X轴的距离等于其侧面投影到Z轴的距离，这两个投影都反映空间的Y坐标，表示空间点到正投影面的距离：aax=a??az=YA。显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的。应用：（1）根据点的投影规律，可由点的三个坐标值X、Y、Z画出其三面投影图。（2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图。
例3-1 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″（题目）（求解）分析：利用长对正，宽相等，高平齐的方位相等关系，也就是XYZ三坐标相等，可以做出如上图中YH和YW中间的斜45°辅助线，然后过a′和a分别作出∥于相应投影轴的线最终做出一个以三投影为顶点的方形，且方形的第四个顶点就在45°辅助线上。
例题1：已知：A（20，10，35）
求作：A点的第三面投影例题2：已知：点的两面投影求作：点的第三面投影例题3：已知A、B两点的两面的投影求作：第三面投影并确定其相对位置解：∵XB＞XA，∴B点在左，A点在右∵ZA＞ZB， ∴A点在上，B点在下∵YA＞YB， ∴B点在后，A点在前总的结论：A点在B点的右前上方，B点在A点的左后下方。其它的例题自学。
二、两点的相对位置和重影点
1．两点的相对位置根据相对于投影面的距离确定如图2―11所示。（1）距离W面远者在左，近者在右（根据V、H的投影分析）；（2）距离V面远者在前，近者在后（根据H、W面的投影分析）；（3）距离H面远者在上，近者在下（根据V、W面的投影分析）
图2―11两点的相对位置
2．重影点当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起来。如图所示分别列出H面、V面、W面的上面的重影点：
H面上的重影点A和B
V面上的重影点C和D
W面上的重影点E和F
学习目标：掌握各种位置直线的投影特性和作图方法
教学重点：直角三角形法求一般位置直线与投影面的倾角以及线段的实长的方法；用定比方法确定直线上点的投影；以及两直线位置关系的判断
课时：8个课时
3．3直线的投影
空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图3―1所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。直线与投影面之间的夹角称为倾角，本学科规定直线与H、V、W之间的倾角分别用希腊字母α β γ来表示如图3―1所示
图3―1空间线段的投影
一、直线段对于一个投影面的投影
空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。三种不同的位置具有不同的投影特性。1．收缩性当直线段AB倾斜于投影面时，如图3―2（a），它在该投影面上的投影ab长度比空间AB 线段缩短了，这种性质称为收缩性。2．真实性当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，这种性质称为真实性。如图3―2（b）。3．积聚性当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性。如图2―14（c）。
图3―2线段的投影特性
二、直线段在三面投影体系中的投影特性
图3―2投影面的平行线
空间线段因对三个投影面的相对位置不同，可分为三种：投影面的平行线，投影面的垂
直线，投影面的一般位置直线（倾斜线）前面两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。
1．投影面的平行线平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面平行线。正平线――平行于V面的直线段；水平线――平行于H面的直线段；侧平线――平行于W面的直线段如图3―2所示，列出了三种投影面的平行线的投影特点和性质。
以水平线为例：按照定义，它平行于H面，线上所有点与H面的距离都相同，这就决定了它的投影特性是：（1）AB 的水平投影ab=AB ，即反映实长；（2）正面投影平行于OX轴，即a?b?∥OX轴；（3）侧面投影平行于OYw轴，即a??b??∥OYw轴；（4）水平投影ab与OX 轴的夹角，反映该直线对V面的倾角β；水平投影ab与OY轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。其它二投影面平行线的分析同上。
投影面平行线的投影特性概括为：如图3―2所示，（1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角；（2）另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。
投影面平行线的辨认：
（1）当直线的投影有两个平行于投影轴时；
（2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。
1．投影面垂直线
垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。投影面垂直线有三种：铅垂线――直线⊥H面；正垂线――直线⊥V面；侧垂线――直线⊥W面。图3―3列出了三种投影面垂直线的投影特点及性质。投影面垂直线的投影特性概括为：
（1）在所垂直的投影面貌上的投影积聚为一点；
（2）在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反反应直线段的实长。
如何判断投影面的垂直线？根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。
图3―3垂直线
3．一般位置直线由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上的投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图3―4所示。此特性对于在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用，因而，同理可得在三面投影体系中它的投影特性为：（1）三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长；（2）三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对投影面的倾角。
图3―4一般位置直线的投影判断：若直线段的投影与三个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。
三、求一般位置直线的实长及对投影面的倾角
一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法，二是利用换面法。
1．利用三角形法求直线段的实长及与投影面的倾角
如书中图3―5（a）中，在由直线AB及其对H面的投影线所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其两直角边分别为：AC=ab、BC=ZB－ZA，R而斜边AB即为实长，该直线对H面的倾角∠BAC=，α，而B、A点的高度民主坐标差，可从b?、a?中得到。由此，通过一般的几何作图便可得到如图2―18（c）或（d）所示，求直线段的实长及对投影面倾角了。
作图方法：
（1）以水平投影ab为一直角边，以正投影的坐标为另一直角边（ZB－ZA），作一直角三角形，该直角三角形可以画在原投影之外，也可以画在原投影之内。
（2）三角形的斜边即为实长，斜边（实长）与水平投影的夹角即为α。
用同样的方法，即可求出β角和γ角：a?b?=ZB－ZC（ZA）
∠αad=YA－YD（YB）
∠βae=XA－XE（XB）
(d)图3―5直角三角形法求空间直线段的实长和倾角
四、直线上点的投影
从图3―6（a）可以看出，点在直线实长的几何条件及投影特性：
1．直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。K点的投影k、k?、k??分别在ab、a?b?、a??b??上。
2．同一直线上两线段长度之比等于其投影长度之比。由于对同一投影面面的投影面线互AKaka?k?a??k??相平行，因此：=== 。由直线有积聚性的投影面特性可知： KBkbb?k?k??b??（1）如果点在已知直线上，则根据点的一个投影面（头版头条面垂直线有积聚性的投影面除外），求出它的另外两个投影面，如上图（c）所示；
（2）也可通过作第三面投影的方法求得；
（3）也可如图所示，通过a作一辅助线，在该线上量取：ako=a?k?，kobo=k?b?，然后连接Bob，并通过ko作kok∥Bob交于ab上的k点，即为所求。
（a）五、两直线的相对位置
图3―6直线上点的投影
图3―7两直线的相对位置
1．平行两直线
（1）平行两直线的所有同面投影面都互相平行；
（2）反之若两直线的同面投影均互相平行，则空间两直线必定互相平行；
（3）判定方法：（a）一般情况下，只要看他们的两个同面投影是否平行就可以了；
（b）特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据他们在所平行的那个投影面上的是否平行才能判定。
2．相交两直线
（1）若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的的规律。这是因为交点是两直线的共有点，如图3―7所示；
（2）反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交；
（3）特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断之。通常有两种方法：（a）用定比方法判定；（b）用两条直线的第三投影来判定。
3．交叉两直线
如图3―7，交叉两直线的同面投影可能相交，但各投影的交点不符合点的投影规律。交叉两直线上对该投影面的一对重影点的投影。可用它来判断这两直线的相对位置。
4．直角投影定理
（1）定理：a）空间两条互相垂直的直线，如果其中一条为某一投影面的平行线，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直；b）逆定理也成立；c）垂直交叉的两直线仍具有上述特性。
（2）定理的应用：（P39）
平面的投影
由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。
平面的表示方法
1．不在一条直线上的三点；2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。
图3―8几何元素表示平面
平面形在三面投影体系中的特性
平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。
平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。三角形是最简单的平面形，如图3―9所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。其它多边形的作法与此类似。又此可见，平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
图3―9一般位置平面的投影
图3―10投影面平行面的投影特性
平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：
1．一般位置平面――对于三个投影面都倾斜平面
对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图3―9所示。一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，
都比实形缩小了。
由此得到一般位置平面的投影特性：
（1）类似性――在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断――平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。
2．投影面平行面――平行于一个投影面的平面
平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。如图3―10所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。
三种投影面平行面的投影特征：
（1）真实性――如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性――在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断――若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。该平面形投影反映该空间平面形的实形。
2． 投影面垂直面――垂直于一个投影面的平面
图3―11投影面垂直面的投影特性
仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。如图3―11所示。投影面垂直面有三种：铅锤面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。三种投影面垂直面的投影特征：（1）积聚性――在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；（2）相仿性――若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形；（3）判断――若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则此平面垂直于积聚投影所在的投影面。
3. 4. 3 平面的投影
一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面（1）换V面图3-11（a）表示点A在原投影体系V/H中，其投影为a和a?现令H面不动，用新投影面V1来代替V面，V1面必须垂直于不动的H面，这样便形成新的投影体系V1/H，O1X1是新投影轴。?，?是新投影，过点A向V1面作垂线，得到V1面上的新投影a1点a1点a?是旧投影，点a是?是新的投影体系中的两个投影，新、旧投影体系中的共有的不变投影。a和a1将V1面绕O1X1
轴旋转到与H面重合的位置时，就得到图3-11（b）所示的投影图。由于在
（c）图3-11点的一次变换（换V面）
新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。所以有如下关系：?a⊥O1X1轴；a1?ax1=a?ax=Aa，即：换V面时Z坐标不变。 a1由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。换V面的作图方法和步骤如图3-11（c）所示：①在被保留的H投影a附近（适当的位置）作O1X1轴；?ax1=a?ax，点a1?即为所求。 ②由H投影a向新投影轴O1X1作垂线，在此垂线上量取a1（2）换H面换H面时，新就投影之间的关系与换V面类似，也存在如下关系：a?a⊥O1X1轴；a1ax1=aax=Aa?，换H面是Y坐标不变。其作图方法和步骤与换V面类似3-11（c），可依此类推，此略。
2．点的二次换面由于应用换面法解决实际问题时，有时一次换面还不便于解题，有时还需要二次或多次变换投影面。如图3-27表示点的二次换面，其求点的新投影的作图方法和原理与一次换面相同。但要注意：在更换投影面时，不能一次更换两个投影面，为在换面过程中二投影面保持垂直，必须在更换一个之后，在新的投影体系中交替地再更换另一个。如3-12（a）所示，先由H1代替H面，构成新的投影体系V/H1，O1X1为新坐标轴；再以这个新投影体系为基础，以V2面代替V面，又构成新的投影体系V2/H1，O2X2为新坐标轴。二次换面的作图步骤如图3-12（b）所示：（1）先换H面，以H1面替换H面，建立V/H1新投影体系，得新投影a1，而a1ax1=aax=Aa?，作图方法与点的一次换面完全相同；?，而（2）再换V面，以V2面替换V面，建立V2/H1新投影体系，得新投影a2?ax2=a?ax1=Aa1，作图方法与点的一次换面类似。 a2
图3-12点的二次换面注：根据实际需要也可以先换V 面，后换H 面，但两次或多次换面应该是V 面和H 面交替更换，如：VVVV→1→1→3??。 H2H2HH三、几个基本作图问题
1．将一般位置直线变换为投影面的平行线
如图3-13（a）为把一般位置直线AB变换为投影面平行线的情况。用V1面代替V面，使V1面∥AB并垂直于H面。此时，AB在新投影体系V1/H中为正平线。图3-13（b）为投影图。作图时，先在适当位置画出与不变投影ab平行的新投影轴O1X1（O1X1∥ab），然后根?、b1?，再连接据点的投影变换规律和作图方法，求出A、B两点在新投影面V1上的新投影a1?b1?和新投影轴（O1X1?b1?。则a1?b1?反应线段AB的实长，即a1?b1?=AB，并且新投影a1直线a1轴）的夹角即为直线AB对H面的倾角α，如图3-13（b）。如图3-13（c）所示若求线段AB的实长和与V面的倾角β，应将直线AB 变换成水平线（AB∥H1面）也即应该换H面，建立V/H1新投影体系，，基本原理和作图方法同上。
（c）图3-13将一般位置直线变换为投影面平行线
3．将投影面的平行线变换为投影面垂直线
将投影面平行线变换为投影面的垂直线，是为了使直线积聚成一个点，从而解决与直线有关部门的度量问题（如求两直线间的距离）和空间文质彬彬问题（如求线段面交点）。应该选择哪一个投影面进行变换，要根据给出的直线的位置而定。即选择一个与已知平行线垂直的新投影面进行变换，使该直线在新投影体系中成为垂直线。如图3-14（a）表示将水平线AB变换为新投影面的垂直线的情况。图3-14（b）表示投
影图的作法：因所选的新投影面垂直于AB，而AB为水平线，所以新投影面一定垂直于H面，故应换V面，用新投影体系V1/H更换旧投影体系V/H，其中O1X1⊥ab。
（b）图3-14将投影面的平行线变换为投影面垂直线
4．将一般位置直线变换为投影面垂直线（需要二次换面）如果要将一般位置直线变换为投影面垂直线，必须变换两次投影面。先将一般位置直线变换为投影面的平行线，然后再将该投影面平行线变换为投影面垂直线。如图3-15所示，先换V面，使直线AB在新投影体系V1/H中成为正平线，然后再换H面，使直线AB在新投影体系V1/H2中成为铅垂线。其作图方法详见图3-15（b），其中O1X1?b1?。
∥ab，O2X2⊥a1
（b）图3-15直线的二次换面
5．将一般位置平面变换为投影面垂直面（求倾角问题）将一般位置平面变换为投影面垂直面，只需使平面内的任一条直线垂直于新的投影面。我们知道要将一般位置直线变换为投影面的垂直线，必须经过两次变换，而将投影面平行线变换为投影面垂直线只需要一次变换。因此，在平面内不取一般位置直线，而是取一条投影面的平行线为辅助线，再取与辅助线垂直的平面为新投影面，则平面也就和新投影面垂直了。如图3-16表示将一般位置平面△ABC变换为新投影体系中的正平线段的情况。由于新投
影面V1既要垂直于△ABC平面，又要垂直于原有投影面H面，因此，它必须垂直于△ABC平面内的水平线。作图步骤（如图3-16（b））：（1）在△ABC平面内作一条水平线AD线作为辅助线及其投影ad、a?d?；（2）作O1X1⊥ad；?，a1? 三点连线必积聚?、b1?、c1?、b1?、c1（3）求出△ABC在新投影面V1面上的投影a1为一条直线，即为所求。而该直线与新投影轴的夹角即为该一般位置平面△ABC与H面的倾角α。同理，也可以将△ABC平面变换为新投影体系V/H1中的铅垂面，并同时求出一般位置平面△ABC与V面的倾角β。
（c）图3-16平面的一次换面（求倾角）
5．将投影面的垂直面变换为投影面平行面（求实形问题）
如图表示将铅垂面△ABC变为投影面平行面（求实形）的情况。由于新投影面平行于△ABC，因此它必定垂直于投影面H，并与H 面组成V1/H新投影体系。△ABC在新投影体系中是正平面。图3-16（b）为它的投影图。作图步骤（如图3-17（b））：?； ?b1?c1（1）在适当位置作O1X1∥a1（2）求出△ABC在H1面的投影a1、b1、c1，连接此三点，得△a1b1c1即为△ABC的实形。
（b）图3-17将投影面的垂直面变换为投影面平行面
6．将一般位置平面变换为投影面平行面（二次换面）要将一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。因为如果取新投影面平行于一般位置平面，则这个投影面也一定是一般位置平面，它和原体系V/H中的哪个投影面都不垂直而无法构成新投影体系。因此，一般位置平面变换为投影面平行面，必须经过两次换面。如图3-18（a）所示，先换V面，其变换顺序为Xa2b2c2=△ABC，即△a2b2c2是△ABC的实形； VVV→X11→X21，在H2面上得到△HH2H如图3-18（b）所示，先换H面，其变换顺序为X?b2?c2?=△ABC，即△a2?b2?c2?是△ABC的实形。 △a2VVV→X1→X22，在V2面上得到HH1H1
（b）图3-18平面的二次换面四、 应用举例
1．点到平面的距离确定点到平面的距离，只要把已知的平面变换成垂直面，点到平面的实际距离就可反映在投影图上了。图3-19，用变换V 面的方法，确定点D到△ABC的距离，作图步骤如下：（1）由于△ABC中的AC为水平线，故直接取新轴O1X1⊥ac；?（为一直线）?b1?c1（2）再作出D面和△ABC的新投影d1?和a1；?作垂线，得垂足的新投影k1?，投影d1?k1?之长即为所求的距离。?b1?c1（3）过点d1?向直线a1
图3-19点到平面的距离2. 点到直线的距离及其投影
如图3-20（a）所示：已知线段AB和线外一点C的两个投影，求点C到直线AB的距离，并作出C点对AB 的垂线的投影。分析：要使新投影直接反映C点到直线AB的距离，过C点对直线AB的垂线必须平行于新投影面。即直线AB 或垂直于新的投影面，或与点C所决定的平面平行于新投影面。要将一般位置直线变为投影面的垂直线，必须经过二次换面，因为垂直一般位置直线的平面不可能又垂直于投影面。因此要先将一般位置直线变换为投影面的平行线，再由投影面平行线变换为投影面的垂直线。作图步骤：（1）求C点到直线AB的距离。在图3-20（b）中先将直线AB变换为投影面的正平线（∥V1面），再将正平线变换为铅垂线（⊥H2面），C点的投影也随着变换过去，线段c2k2即等于C点到直线AB 的距离；（2）作出C点对直线AB的垂线的旧投影。如图3-20（c），由于直线AB的垂线CK在?d1?∥O2X2轴，?d1?⊥a1?b1?。新投影体系V1H2中平行于H2面，因此CK在V1面上的投影c1而与c1?点作O2X2轴的平行线，就可得到k1?点，利用直线上点的投影规律，由k1?点返回据此，过c1去，在直线AB 的相应投影上，先后求得垂足K点的两个旧投影k点和k?点，连接c?k?、ck。c?k?、ck即为C点对直线AB的垂线的旧投影。
（b）图3-20求点到直线的距离及其投影
3. 两交叉直线之间的距离
两交叉直线之间的距离，应该用它们的公垂线来度量。分析：（1）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的垂直线时，不必换面即可直接求出两交叉直线之间的距离；（2）当两交叉直线中有一条直线是某一投影面的平行线段时，只需要一次换面即可求出两交叉直线之间的距离；（3）当当两交叉直线都是一般位置直线时，则需要进行二次换面才能求出两交叉直线之间的距离。例
如图3-21所示：已知两条交叉直线AB、CD，求两直线间的距离。作图方法和步骤：（1）因为AB、CD两直线在V/H体系中均为一般位置直线，所以需要二次换面。先用V1面代替V面，使V1面∥AB，同时V1⊥H面。此时AB在新投影体系V1/H中为新投影面?b1?、c1?d1?； 的平行线。在新投影体系中求出AC、CD的新投影a1?b1?，用H2代替H面，使H2面⊥a1?b1?， （2）在适当的位置引新投影轴O2X2⊥a1
图3-21两交叉直线之间的距离
作业：习题集7-11页
学习目标：掌握平面立体和曲面立体的区分，棱柱以及棱锥的形状特点，熟练只能掌握立体的投影特征以及表面上的点和线的求解方法
教学重点和难点：基本形体的投影特征以及立体表面上点和线的求解
教学课时：6课时
第4章 立体的投影
各种立体形体，虽然形状结构各异，一般都可看作由若干个基本几何形体组成的组合体；而任何基本形体又都可以看作是由一个或若干个面围成的。根据这些表面性质，几何体可分为两类：平面立体――由若干个平面围成的几何体，如棱柱、棱锥体等；曲面立体――由曲面或曲面与平面形所围成的几何体，最常见的是回转体，如圆柱、圆锥、圆台、圆球、圆环等。
4．1 平面立体的投影
平面立体主要有棱柱、棱锥等，在投影图上表示立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判断其可见性。看得见的棱线投影画成粗实线，看不见的棱线的投影画成细实线。1．棱柱在一个平面立体中，若各棱面互相平行，则该平面立体称为棱柱，如图2―36所示为一正四棱柱，它由四个棱面、顶面和底面组成。（1）分析投影其顶面和底面为水平面，该两面的水平投影反映实形；正面、侧面投影分别积聚成直线；棱柱的前、后棱面为正平面，该两面的投影反映实形，水平面、侧平面投影积聚成直线；棱柱的左、右两棱面为侧平面，该两面的侧面投影反映实形，水平面、正平面积聚成直线。棱
线EC、FD为铅锤线，水平投影积聚成一点c（e）、d（f），正面投影、侧面投影反映实长 ，即：c?e?=c??e??=CE，d?f?=d??f??=DF，其它各棱线的投影分别与此类似。画图时，应先画出三个视图的中心线作为投影图的基准线，先画出反映实形的那个投影图（注意放高位置），再根据投影规律画出其他两个投影。画完底稿后一般应检查各投影图是否符合点、直线、平面形的投影规律，最后擦去不必要的作图线，加深需要的各种图线，使其符合国家标准，如图2―36。
图2―36四柱的投影、三视图及表面求点（2）棱柱表面上求点立体表面上的点，其投影一定位于立体表面的同面投影上。例题1：已知CDEF棱面上B点的正面投影b?，求：它的水平投影b和侧面投影b??。解：∵CDEF为铅锤面，其水平投影具有积聚性，∴点B的水平投影b必在cdef这条直线上，然后由b?和b求出b??。注意：点的可见性的识别。2．棱锥三棱锥是一个三角形底面和三个三角形棱面的四面体，如图2―37所示，就是这种锥体的立体图和按箭头方向投影所得的三视图。
图2―37三棱锥及其视图（1）投影分析按照图中所示的位置，三棱锥的三个三角形棱面都是一般位置平面，因此，它们的投影都不反映其真实形状和大小，但都是小于对应棱面的三角形线框。三个棱面既然都是一般位置平面，它们的交线即三棱锥的棱线自然也是一般位置直线，它们的都不积聚成点，而是小于实际长度的倾斜直线。（2）棱锥表面上求点组成棱锥的表面有特殊平面，也有一般位置平面；特殊位置平面上点的投影可利用平面积聚性作图；一般位置平面上点的投影可选取适当的辅助线作图，称为辅助线法。其依据是：在平面上的点，必然在平面上且通过该点的一条直线上。
图2-38棱锥表面上求点例题2：已知：（如上图）棱面ASB上点M的正面投影m?和棱面ASC上的N点的水平投影n，求：这两点的另外两个投影。解：①棱面ASB是一般位置平面，过顶点S及M作一辅助线SⅡ，通过SⅡ的水平投影s2可求出M的水平投影m，再根据m?和m求出m??；
②还可过M点在棱面ASB上作AB的平行线IM，即作1?m?∥a?b?，再作1m∥；棱面ASC是侧垂面，其侧ab，求出m，并从m，m?求出m??，如上图（b）投影a??s??(c??)具有积聚性，故（n??）必与a??(c??)重影，由n和n??即可求得（n?）。注意ASC是后侧棱面，该面上的点（不含棱线上的点）是正投影不可见。③棱锥表面上取线：方法1，作辅助线；方法2，直接延长已知线的投使与棱线相交，后求之。
曲面立体的投影常见的曲面立体主要有圆柱、圆锥、圆球、圆环、圆台等，在投影图上表示曲面立体，就是把组成立体的曲面或平面和曲面表示出来，然后判断其可见性。1．圆柱圆柱表示由圆柱面和顶、底圆形平面所组成，圆柱面可看成是一条直线AA1绕与它平行的固定轴OO1回转形成的曲面。直线OO1称为回转轴，直线AA1称为母线，AA1回转到任何一个位置称为素线，如图2―39所示。（1）圆柱的投影及特性圆柱的轴线⊥H面，上、下底面为水平面貌，其水平投影面上的投影反映实形，其正面和侧面投影积聚成一直线，圆柱面的水平投影也积聚为一个圆，外形轮廓的投影（即为圆柱?、面可见与不可见分界线的投影）。入正面上投影为最左、最右两条素线AA1、BB1的投影a?a1??和d??d1??。 bb1?；侧面上投为最前和最后两条素线投影c??c1作图时：首先画出中心线和轴线；然后画出投影是圆的那个投影面的投影；再画出其它两个投影面的投影。
如图4―1圆柱的形成和投影如图4―1所示，当圆柱的轴线垂直于某个投影面时，必有一个投影是圆，另两个投影图为全等的矩形。（2）圆柱表面上求点如图4―1中的p点k点。已知：其在V面投影p?和k?，均为可见，（如图2―39中的p点k点）。求：另外两个投影。解：由于p点位于圆柱面的最左边界母线上，其另外两投影p、p??可直接求出，而k点不在圆柱面的界限母线上，可利用圆柱面有积聚性的H投影先求出点K的水平投影k，再由k和k?求出k??，并判断可见性。2．圆锥圆锥表面由圆锥面和底面所组成，圆锥面可看成一直线绕与它相交的固定轴OO1回转而形成的曲面。SA为母线，SA在圆锥面的任意位置即是它的素线，如图2―40所示。
图4―2圆锥的形成和投影（1）圆锥的投影特性如图4―2，圆锥轴线⊥H面，底面圆为水平面，它的水平投影反映实形，其正面、侧面投影均积聚成一条水平线。在正、侧两面投影中还要分别画出锥面外形轮廓线的投影，在正面投影上为最左、最右两条素线SA、SB的投影s?a?、s?b?，在侧面投上为最前、最后两条素线SC、SD的投影s??c??、s??d??。作图：首先画出中心线和轴线，然后画出投影是圆的那个投影面的投影，再画出锥顶S的三面投影，最后分别画出其外形轮廓素线的投影，即得圆锥的投影图，如图2―32所示。特征：当圆锥轴线⊥某一个投影面时，在该投影面上的投影为一个与底圆相等的圆形；另两个投影必为全等的等腰三角形；其底边为底圆的直径投影（活说水平面积聚为一直线）；其两腰即为轮廓素线的投影；其顶点即为锥顶的投影。(2) 圆锥表面上求点已知：如图4―2，M、K为锥面上的两个点，M、K在V 面上的投影m?、k?，求：其它二个投影解：求M点，∵M点为特殊位置点（在界限母线上），它的作图简单，可直接利用投影关系求出。求K点，∵K点是一般位置的点，求它可利用两种方法：方法1： 过点K及锥顶S作锥面上的母线SE，即先过k?作s?e?由e?求出e、e??，连接se、s??e??，它们的辅助线SE点H、W面投影，而点K的H、W面投影必
在SE的同面投影上，从而求出k、k??。方法2：过点KL 锥面上作一辅助圆，该圆与圆锥的轴线⊥，称此圆为纬线。点K的投影必在纬线上。其作图步骤是，先过K作水平线，它是纬线的水平投影（圆心与S点重合、半径为R），由k?点向下引垂线与纬线圆的交点k，再由k、k?求k??。然后判断可敬否，即为所求。（2）圆球三、基本几何形体的尺寸标注视图表达了物体的形状，而形体的真实大小，是由图样上缩标注的尺寸决定的，任何物体都有长、宽、高三个方向的尺寸，在视图上标注基本几何形体的尺寸时，应将三个方向的尺寸标注齐全，但每个尺寸只标注一次，应注在相关视图之间。1．平面立体尺寸标注
图4-3平面立体尺寸标注
2．曲面立体尺寸标注
图4-4曲面立体尺寸标注常见不完整基本形体的三视图例1：画出球体缺口的三视图（1）平面截切球：平面截切球，其切口为正圆形，如图4―4所示。其切口的水平投影是球水平投影的同心圆并反映切口实形，其它两切口积聚成直线。
图4―4平面水平切球（2）开槽的半圆球及视图
图4―5开槽的半圆球及视图如图4―5所示，它是在半圆球上开槽而成。作图：①画法几何及工程制图出半圆球的三视图，及开槽的主视图，
②画开槽两侧平面与球的交线，按主、左、俯的顺序作图，③画槽底平面与球的交线，按主、左、俯的顺序作图，④擦去多余的线条，最后便是它的三视图。
4.3 平面立体的截交线
特殊位置平面与平面立体的截交线平面立体被较平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平面多边形。多边形的各边是立体表面的交线，而多边形的顶点是立体的棱线与截平面的交点。截交线即在立体表面上，又在截平面上，∴它是立体表面和截平面的共有线，截交线上每一点都是共有点。因此，求平面与平面立体的截交线可归结为：求平面立体棱线与截平面的交点，或求截平面与平面立体表面的交线。例1：求四棱锥SABCD被正垂面P切割后截交线的投影。
图4―6四棱锥被正垂面切割
例2：求P、Q二平面与三棱锥SABC截交线的投影（其中：P⊥V面，Q∥H面）。
图4―7三棱锥被二平面切割常见回转体的截交线平面与回转体表面相交时，其截交线是由曲线或曲线与直线组成的封闭平面图形。截交线既是截平面上的线，又是回转体上的线，它是回转体表面与截平面的共有线。因此求截交线的实质是求截交线上的若干共有点，然后顺序连接成封闭的平面图形。方法是：（1）利用截平面和回转体表面的积聚性，按投影关系直接求出截交线上点的投影，（2）利用截平面的积聚性和求曲面立体上点的方法，求出截交线上点的投影。1．特殊位置平面与回转体的截交线（1）圆柱的截交线平面与圆柱相交时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：①两条平行线，②圆，③椭圆。例1：求圆柱的截交线
图4―8圆柱的截交线例2：圆柱被一正垂面截切，画三视图
（2）圆锥的截交线平面与圆锥面相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同（截平面与圆锥轴线的倾斜程度），其截交线的形状也不同。共有五种情况：详见书中表所示。
作业：习题集12-15页
本章目标：掌握画组合体三面投影图的方法和步骤，了解组合体尺寸的基本方法和要求。
本章重点：1．组合体的组合方式；2．组合体的形体分析；3．组合体视图选择；4．组合体视图的尺寸标注。本章难点：1．组合体的组合方式；2．组合体的形体分析；3．组合体视图选择及其组合体视图的尺寸标注；4．组合体视图的阅读。
组合体的投影
组合体：由两个以上的基本几何组成的较复杂的物体，称为组合体。在实践中机器的零部件更接近于组合体，而任何组合体总可以分解问若干个基本几何形体组成，因此，只要掌握分解组合体的方法，组合体投影图也就迎刃而解了。主要内容：组合体视图的画法组合体视图的尺寸标注组合体的读图方法
一、组合体的组合方式组合体按其组成形状不同可分为：叠加式（堆积）和截割式1．叠加体：由两个或两个以上的基本几何体叠加而成的叠加式组合体，简称叠加体。
2．截割体：由一个或多个截平面对简单基本几何体进行截割，使之变为较复杂的形体，是组合体的另一种组合形式。3．既叠加又截割：叠加和截割是形成组合体的两种基本形式。在许多情况下，叠加式与截割式并无严格的界限，往往是同一物体既有叠加又有截割。如图：图
图5-1组合体的组合方式二、有关组合体的投影分析由基本几何形体组成组合体时，常见有下列几种表面之间的结合关系：1．两基本形体几何体上的两个平面互相平齐地连接成一个平面，则它们在连接处（是共面关系）而不再存在分界线。（如图5-2（d））因此在画出它的主视图时不应该再画它们的分界线。2．如果两基本几何体的表面相切时，则称其相切关系。如图5-2在相切处两表面似乎光滑过渡的，故该处的投影不应该画出分界线。注：（1）只有平面与曲线相切的平面之间才会出现相切情况。（2）画图时，当曲面相切的平面，或两曲面的公切面垂直于投影面时，在该投影面上投影要画出相切处的转向投影轮廓线，否则则不应该画出公切面的投影。见图5-43．如果两基本几何体的表面彼此相交，则称其为相交关系。表面交线是它们的表面分界线，图上必须画出它们交线的投影。如图5-3
图5-4三、形体分析方法1．形体分析方法
把复杂的物体分解成由若干个几何体按不同方式组合而成的方法，称形体分析法。2．用途可把复杂的物体转变为简单的形体，便于深入分析和理解复杂物体的本质，可提高绘图速度等，提高绘图质量。
组合体视图的画法
组合体的形状是多种多样的，但从形体的角度来分析，任何复杂的组合体都可以分解为由若干个简单的基本几何形体。因此，画图时必须首先假想地把组合体分解成若干部分，即若干个基本几何体的视图，并根据它们的组合形式的不同，画出它们之间连接处的交线投影，以完成整个组合体的视图。利用上节已讲过形体分析法。
一、进行形体分析1．分析它们是唷哪些简单的基本几何体组成的2．各基本几何体之间又是按什么形式组合的3．它们各自对投影的相对位置关系如何从形体分析中，进一步认识组合体的结构特点，为正确地画组合体的视图做好准备。二、选择主视图主视图四三视图中最重要的视图，主视图选择恰当与否，直接影响组合体视图表达的清晰性。所谓选择主视图也即是怎样放置所表达的物体和用怎样的投影方向来作为主视图的投影方向的问题。选择主视图的原则：1．组合体应按自然位置放置，即保持组合体自然稳定的位置。2．主视图应较多地反映出组合体的结构形状特征，即把反映组合体的各基本几何体和它们之间相对位置关系最多的方向作为主视图的投影方向。3．在主视图中尽量较少产生虚线，即在选择组合体的安放位置和投影方向是，要同时考虑各视图中，不可见部分的最少，以尽量减少各视图中的虚线。
三、遵守正确的画图方法和步骤正确的画图方法和步骤是保证绘图质量和提高绘图效率的关键：（1）在画组合体的三视图时，应分清组合体上结构体形状的主次，先画其主要部分，后画其次要部分；（2）在画每一本分时，要先画反映该本分形状特性的视图，后画其他视图；（3）要严格按照投影关系，三个视图配合起来逐一画出每一组成部分的投影，切忌画完一个视图，再画另一个视图。当主视图确定了，则其他视图也就随之而确定了，具体作图步骤如下：
1．选比例、定图幅画图时，应遵照国标，尽量选用1U1的比例，这样可以从图上直接看出物体的真实大小。选定比例后，由物体的长、宽、高尺寸，计算三个视图所占的面积，并在视图之间留出标注尺寸的位置和适当的间距。根据估算的结果，选用恰当的标准图幅。
2．布图（布置图面）是指确定各视图在图纸上的位置。布图前先把图纸的边框和标题的边框画出来。各视图的位置要匀称。并注意两视图之间要留出适当距离，用以标注尺寸。大致确定各视图的位置后，画作图基准线。（基准线一般为：对称中心线、轴线，确定主要表面的基准线）基准线也是画图时测量尺寸的基准，每个视图应画出与相应坐标轴对应的两个方向的基准线。
3．画底稿根据以上形体分析的结果，逐步画出它们的三视图。画图时，要先用细实线轻而清晰地画出各视图的底稿。画底稿的顺序是：（1）先画主要形体，后画次要形体；（2）先画外形轮廓，后化内部细节；（3）先画可见部分，后画不可见部分。对称中心线和轴线可用点划线直接画出，不可见部分的虚线也可直接画出。
4．标注尺寸画完底稿后，可标注出组合体的定形尺寸和定位尺寸。后面详述其方法。
5．检查、描深、完成全图底稿画完后，按照形体及画图顺序和投影规律进行逐个检查，不仅组合体的整体要符合“三等”规律，组成组合体的各基本形体也应符合“三等”规律。纠正错误和补充遗漏（不能多线、漏线）。检查无误后，再用标准图线加深、描粗，最后填写标题栏，完成全图。
组合体视图尺寸注法
组合体的视图只能表示他恩德形状，要想表示其大小，还应注出尺寸。在图样上标注尺寸是表达物体的重要手段。真正掌握好组合体三视图上所标注尺寸的方法，可为今后在零件图上标注尺寸打下良好的基础。一、标注尺寸的基本要求1．符合国家标准的规定，即严格遵守国标所规定的尺寸标注规则。2．尺寸齐全，即所标注的尺寸完整不遗漏、不多余、不重复。3．尺寸布置清晰，即把尺寸标注在图中合适的地方，以便于看图。总之，组合体的三视图上标注尺寸应该体现：正确、齐全、清晰、完整。二、尺寸分类和尺寸基准1．尺寸分类：定形尺寸――确定组合体中各组成部分的形体大小的尺寸。定位尺寸――确定组合体中各组成部分形体之间相对位置的尺寸。总体尺寸――在组合体中除以上两类尺寸外，还常需要标注出组合体的总体尺寸：总长、总高、总宽尺寸。2．尺寸基准：每一个尺寸都有起点和终点，标注尺寸的起点就是尺寸基准。在组合体三视图中，常沿x、y、z轴方向，每个方向至少有一个尺寸基准。一般采用对称中心线、轴线和重要的平面及端面作为尺寸基准。如图5-21三、标注尺寸应注意的问题对组合体进行尺寸标注时，尺寸布置应该整齐、清晰，便于阅读。需主要以下几点：1．定形尺寸尽量标注在反映该形体特征的视图上（例V行槽的定形吃寻在主视图上）。如图5-22所示（P88）
2．同一形体的定形尺寸和定位尺寸应尽可能标注在同一视图上。如图5-23中φ4的两个圆孔的定形定位尺寸应集中标在视图上（P88）。3．尺寸排列要整齐，平行的几个尺寸应按“大尺寸在外，小尺寸在内”的规律排列，以避免尺寸线与尺寸界线交叉，如图5-24（P88）。4．内形尺寸和外形尺寸应分别标注在视图的两侧避免混合标注在视图的同一侧。图5-25（P88）。5．同轴回转体的直径，最好标注在非圆的视图上。即避免在同心圆较多视图上标注过多的直径尺寸。也避免用回转体的界限素线作为尺寸基准。图5-26（P89）6．一般应尽量将尺寸注在视图外面，且布置在两视图之间。一般也不在虚线轮廓线上标注尺寸。7．不应在交线上注尺寸，因为交线是在加工过中的自然形成的。如图4-2所示8．常见结构形状的尺寸标注，如表5-1所示（P89）四、尺寸标注举例1．见书中P90，图4-272．结合挂图。
五．阅读组合体视图
读图――根据组合体的视图，想象出物体的空间形状称为读图。绘制组合体的视图时，运用形体分析方法，用正投影原理在平面上（图纸上）表达组合体；阅读组合体的视图，同样也要运用形体分析法，并在读图的过程中，逐步培养丰富的空间想象能力。本节主要介绍阅读组合体视图的基本方法。一、读图的基本方法形体分析法、线面分析法。1．形体分析法根据组合体的视图，假想把它分成若干个基本形体的视图，然后按照各视图的投影关系，想象出这些基本形体的几何形状和相对位置，最后确定该组合体的完整形状。具体读图步骤如下：（1）看大致、分形体
先大致看一下各个视图，找出其中一个视图，该视图宜分成若干简单的线框。一般情况下，总是从主视图入手，从较大的线框开始。（2）对投影、想形状根据投影关系（借助三角板、分规等制图工具），逐个找到与各基本形体主视图相对应的俯视图和左视图，根据各基本形体的三视图想出其形状。想形状时应是：先看主要部分，后看次要部分；先看容易确定的部分，后看难确定的部分；先看某一组成部分的整体，后看细节部分的形状。（此部分结合书中的图例讲解，P132―134）（3）合起来，想整体在看清每个视图的基础实上，再根据整体的三视图，找出它们之间的相对应的位置关系，逐渐想出整体的形状。（结合书中的图例讲解，P132―134）2．线面分析法组合体读图应以形体分析法为主，但有时图形的某一部分难以看懂，可对这些部分作线面分析。如上图，，（a）图所示物体，通过形体分析可知，它由底板和直立板堆积而成，但俯视图上长方形线框Ⅰ和三角形线框Ⅱ都是什么面？可用线面分析的方法读图。与三角形线框Ⅱ对应的正面、侧面投影，均分别为三角形线框Ⅱ'和Ⅱ''，故它表示是在底板上用一般位置平面Ⅱ切去一斜角三角形。三角形每边分别为水平线、正平线和侧平线。综上所述，该立体图为上图（b）所示。二、补视图、补缺线有些组合体用两个视图就能基本表达清楚它的形状，看懂视图后，应能根据这边两个视图画出第三个视图。1．补视图已知两个视图补画第三视图的方法是：根据已知两视图，运用形体分析方法和线面分析方法，想象出物体的形状，在此基础上，再根据两个已知视图按照“三等”关系画出物体的第三视图。2．补缺线画物体的视图时，必须做到完整准确，不多线也不漏线。补缺线就是补画出在视图上漏画的图线。方法：可采用形体和“对投影”的方法。即根据已知视图初步想象形体，检查形体上每一部分在三视图中的投影是否遗漏，补画所缺的图线。
作业：习题集组合体的投影
学习目标：了解轴测图的基本知识，掌握正轴测图和斜轴测图的画法教学重点：1．轴测图的基本知识，基本作图方法；2．正等轴测图的几个重要参数，作图方法；3．斜二等轴测图的几个重要参数，作图方法。教学难点：1．轴测图的基本作图方法；2．正等轴测图、斜二等轴测图的区别及其各自适用的情况。
6.1 概述在工程上广泛应用的正投影图（三视图），可以准确完整地表达出立体的真实形状和大小。即它作图简便，度量性好，这是它最大的优点，因此在时间中得到广泛应用。但是它立体感差，对于缺乏读图知识的人难以看懂。而轴测图（立体的轴测投影图）能在一个投影面上同时反映出物体三个方面的形状，所以富有立体感，直观性强，但这种图不能表示物体的真实形状，度量性也较差，因此，常用轴测图作为正投影图的辅助图样。如图6-1所示
图6-1有上可知，轴测图在生产中应用较少，但由于它的立体感较强，通常多用于表达较复杂的空间结构，传动原理，空间管路的布置和机器设备的外形图等方面。
基本知识用平行投影法，将物体和确定该物体空间位置的直角坐标系，按选定的投影方向S，一起投射到投影面P上，即可得到轴测投影图。为使轴测投影图具有较好的直观性，投射方向不应平行于坐标轴和坐标面。否则坐标轴和坐标面的投影便会产生积聚性，就表达不出物体上平行于该坐标轴和坐标面的线段和表面的形状和大小，因而消弱了物体轴测图的立体感。1．轴测投影面、投射方面、轴测轴、轴测角、变系数
图6-2正轴测图轴测投影方向垂直于轴测投影面，将立体倾斜放，使轴测投影面与立体上任何一个坐标面都不平行，即与立体上的三个直角坐标轴都斜交，这样所得的轴测图称为正轴测图。如图6-2所示。①P――轴测投影图②S――投影方向③轴测轴：立体上空间直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上所得到的轴测投影O1X1、O1Y1、O1Z1称为轴测轴。（轴测投影轴）④轴间角：轴测轴间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1，称为轴间角。⑤变形系数：将轴测轴的度量单位与相应空间坐标轴的度量单位单位之比，称为变形系数。在空间坐标轴上截取线段OA=OB=OC=e，e称为空间坐标度量单位。轴测投影分别为
O1A1=eX，O1B1= eY，O1C1=eZeX，eY，eZ分别称为相应轴测轴的度量单位 eyexe并令：?q，z?r ?p，eee则p、q、r分别是指O1X1、O1Y1、O1Z1轴的轴向变形系数。⑥轴测投影图是由平行投影得到的，所以它具有平行投影的一切特性。常用到：空间平行的两直线，轴测投影应保持平行空间平行于某一投影轴的线段，其轴测投影的长度等于该坐标轴的变形系数与该段长度的乘积。⑦两个投影特性：椐此，若已知轴间角和各轴的轴向变形系数，就可以画出轴测轴，并沿着轴测轴的方向定出与空间坐标轴平行的线段的大小，从而可很方便地画出物体的轴测图。
2．轴测投影图分类分两大类：①正轴测投影图：投影方向上⊥轴测投影面P②斜轴测投影图：投影方向倾斜于轴测投影面P在正轴测投影中，由于确定物体位置的空间坐标系与轴测投影面的相对位置不同，故轴间角与变形系数也不相同。根据变形系数的不同，正投影图由可分为：正轴测投影图：（a）正等轴测图，简称正等测：p=q=r（b）正二等轴测图，简称正二测：一般采用p=r，q=（c）正三测轴测图，简称正三测：p≠q≠r同样：斜轴测投影图：斜等测、斜二测、斜三测
3．国标规定国标GB中，推荐了三种轴测图①正等测
②正二测 ③斜二测1p 26. 3
基本作图方法只要已知轴间角和就可以画轴测图，并可以椐轴测图画出正投影图。结合书中例题讲（正等、斜二测、后面详讲）
结论：画线段的轴测图，要先画出线段端点的轴测图，而在画点的轴测图时，一定要根据点的坐标值计算出点的轴测坐标值，再沿轴测轴测量，才能画出点的轴测图。这种轴测量定位的方法，是画轴测图最基本的方法。
a) 正等轴测图一、正等轴测图的轴间角和变形系数1．正等轴测图的投射（影）方向垂直于轴测投影面。2空间三个坐标轴均与轴测投影面倾斜35°16′3．因此三轴间角相等：即∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=∠Z1O1X1=120°4．沿三个轴测轴向变形系数也相等，即p=q=r=0.82如图6-3所示
图6-3正等轴测图的轴间角作图方法：a）通常将O1Z1轴画成铅垂线；b）O1X1、O1Y1轴与水平线成30°角；c）为作图方便，国标（GB）规定用简化的变形系数“1”代替理论变形系数0.82，（也就是说，凡是平行于坐标轴的尺寸，均按原尺寸画出。）这样画出的轴测图，比按理论变形系数画出的轴测图放大1/0.82=1.22倍，但对物体形状的表达没有影响，今后在画正等轴测图时，如不特别指明，均按简化的变形系数作图。二、正等轴测图中平行于坐标面的圆的轴测投影在正等测中，由于空间各坐标面对轴测投影面的位置都是倾斜的，其倾角均相等。所以在各坐标面的直径相同的圆，其轴测投影为长、短轴大小相等的椭圆。为画出各椭圆，需要
掌握长、短轴的大小、方向和椭圆的画法。
图6-4轴线平行于坐标轴的圆柱的正等轴测图1．椭圆长、短轴方向：平行于X1O1Y1坐标面的圆（水平圆）
等测为水平椭圆
长轴⊥O1Z1轴 短轴∥O1Z1轴平行于X1O1Z1坐标面的圆（水平圆）
等测为水平椭圆
长轴⊥O1Y1轴 短轴∥O1Y1轴平行于Y1O1Z1坐标面的圆（水平圆）
等测为水平椭圆
长轴⊥O1X1轴 短轴O1X1轴综上所述：椭圆的长轴⊥与圆所平行的坐标面垂直的那个轴，短轴则平行与该轴测轴。 例如：水平圆的正等测水平椭圆，长轴垂直于圆所平行的水平面垂直的轴测轴Z1轴，短轴则∥Z1轴。
图6-5平行于坐标面的圆的正等轴测图
图6-62．椭圆长、短轴的大小长轴：是圆内平行于轴测投影面的直径的轴测投影。因此：（1）在采用变形系数0.82作图时，椭圆长轴大小为d，短轴大小为0.58d。（2）采用简化作图时，因整个轴测图放大了约1.22倍，所以椭圆长短轴也相应放大1.22
倍，即长轴=1.22d，短轴=0.71d。3．正等测图中，椭圆长、短轴端点的连线与长轴约为30°角，因此已知长轴的大小，即可求出短轴的大小，反之亦然。如图6-6所示。4圆角的画法：
图3-7圆角的画法从图（图3-7）中所示的椭圆的近似画法可以看出；菱形的钝角与大圆相对相应，锐角与小圆弧对应；菱形相邻两边的中垂钱的交点是圆心。由此可得出平板上圆角的近似画法，如图3-7所示。三、正等轴测图的作图方法根据物体在正投影图上的坐标，画出物体的轴测图，称为用坐标法画轴测图。这种方法是画轴测图的基本方法。因各物体的形状不同，除基本方法外，还有：切割法、堆积法、综合法。详见书中P92~93§3-3 斜二等轴测图一、斜轴测投影图、斜二测图将物体连同确定其空间位置的直角坐标系，按倾斜于轴测投影面P的投射方向S，一起投射到轴测投影面上，这样得到的轴测图，称斜轴测投影图。斜二等轴测图：是以平行于X1O1Z1坐标面的平面作为轴测投影面。
这样，凡是平行于X1O1Z1坐标面的平面图形，在斜等轴测图上反映实形。这种斜二等轴
测图，是斜轴到投影图的特例。又称为正面斜二等轴测图。二、斜二等轴测图的轴间角、变形系数：《机械制图》的国标中规定了斜二等轴测图：变形系数：p=r=1，q=0.5（O1Y1轴的轴向变形系数）轴间角∠X1O1Z1=90°，∠X1O1Y1=∠Y1O1Z1=135°，如图3-8所示
图3-8三、斜二等轴测图中平行于坐标面的圆的轴测投影因为轴侧投影面∥X1O1Z1坐标面，所以∥X1O1Z1坐标面的圆其轴测投影仍为原来的大小的图。若所画物体仅在一个方向上有圆，画它的斜二测时，把圆放在∥X1O1Z1坐标面的位置，可避免画椭圆，这是斜二测的一个优点。∥X1O1Y1和Y1O1Z1坐标面的圆，其斜二测投影为长、短轴大小分别相同的椭圆。长轴方向与相应坐标轴夹角约为7°。偏向于椭圆外切平行四边形的长对角线一边。长=1.06d，短轴垂直于长轴，大小=d/3。四、斜二等轴测图的作图方法重点：选好投影方向，这样可使画图简化，而且直观。（p96）b) 轴测图中剖视的画法（略）为表达物体的内部形状，在画轴测图时，可假想用剖切面将物体的一部分剖去，再画出它的轴测图。常用的剖切方法是切去一角或一半。作业:习题集 轴侧图
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