正项级数敛散性的探究毕业论文 三亿文库
正项级数敛散性的探究毕业论文
证明：当q?1时，可取??0，使得q?1??，由极限的保号性可知，存在自然数N，?1?ln??na???1?1n?1??1????当n?N时，总有，所以，由此?(lnn)?ln(lnn)?1??，即ln???nanln(lnn)?nan???11可得an?，从而由?的收敛性及比较判别法知?an收敛.当q?11??n(lnn)1??n(lnn)n?2n?2?1?ln??na???11n??时，存在自然数N，对一切n?N总有，而?发散，?1于是an?nlnnln(lnn)n?2nlnn从而?an?2?n发散.
例3.2.3：讨论级数?nan?2?1(?1)n?ln(lnn)(a?1)的敛散性. ((?1)n?ln(lnn))lna解：lim?lna，由拟对数判别法，当a?e时lna?1，级数n??ln(lnn)??11a?e时lna?1收敛；当，级数(a?1)(a?1)发散. ??(?1)n?ln(lnn)(?1)n?ln(lnn)n?2nan?2na 4 一些正项级数敛散性判别法之间强弱性的比较
?11在上一节中，分别以p级数?p和级数?作为比较级数，又给出了判别正pn?1nn?2n(lnn)?项级数敛散性的拉贝、对数、双比值、高斯、拟对数判别法以及新的判别法，自然会让人思考这些新判别法相互之间的强弱关系，在这一节中，将具体给出这些判别法间强弱性的比较.
4.1以级数??nn?11p为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较 4.1.1双比值判别法与拉贝判别法的比较 命题4.1.1：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用双比值判别法来判断，但反过来不成立，由此说明双比值判别法要强于拉贝判别法.如下例：
例4.1.1：设有正项级数n?2?n?(?1)，讨论其敛散性. n?1n?1?na2na2n?12(?1)2(?1)解：lim?limn?1?0，且lim?limn?1?0所以由双比值判别法知正n??an??2n??an??2nn?1项级数?2n?1??n?(?1)nan?12(?1)1收敛.但是?1?(?1)n?1，当n为奇数时，值为，当n为偶数时，值an828 n
为2，故极限limn??1?n????an?1??不存在，因此不能用拉贝判别法来判断敛散性. ?an? 4.1.2对数判别法与拉贝判别法的比较 命题4.1.2：能用拉贝判别法判别的正项级数一定能用对数判别法判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于拉贝判别法.如下例：
例4.1.2：设有正项级数?3??(?1)n?1?n?lnn?，讨论其敛散性. ?1?ln??a???n(?1)n?lnnln3n??解：lim?lim?ln3?1，故级数?3??(?1)?lnn?收敛.但是，n??n??lnnlnnn?1???2?ln?2?ln???an?1an?1?n?1?当n为奇数时，；当n为偶数时，?3?3?n?1?.故有anan?n??n??an?1??an?1????，且limn?1????limn1????，可见用拉贝判别法并不能判别级数???n???n???an?an???3?n?1??(?1)n?lnn?的敛散性.
4.1.3对数判别法与双比值判别法的比较 命题4.1.3：能用双比值判别法判别的正项级数也一定能用对数判别法来判别，但反过来不成立，由此说明对数判别法要强于双比值判别法.如下例：
例4.1.3：讨论级数??a?lnn?(?1)(a?1)的敛散性. n?12nna2na?ln2n?(?1)解：当n为奇数时，??lnn?(?1)n?a?ln2?2；当n为偶数时，anaaa2na?ln2n?(?1)??lnn?(?1)n?a?ln2.故lim2n不存在，从而双比值判别法失效，但是n??aanan?1?ln??a??lnalnn?1(lnn?(?1)n)lnan??，由对数判别法可知：当a?e时，lim?lim?limn??n??n??lnnlnnlnnlna?1，级数?an?1??lnn?(?1)n2n(a?1)收敛；当a?e时，lna?1，级数?a?lnn?(?1)(a?1)发n?1?n散；当a?e时，?an?1??lnn?(?1)n??en?1??lnn?(?1)n为调和级数，故级数发散. 可见，例4.1.3是例4.1.2的一般形式，但是不论用双比值判别法还是拉贝判别法都无法解决，显示出对数判别法的优越性.
?14.2以p级数?p建立的判别法与以等比级数?aqn建立的判别法的比较 n?1nn?0? 关于两个正项级数敛散快慢比较的问题（同收敛或同发散），在许多著作中，通常都有这样一个定义： an?0，就称?bn比?an收敛较慢； n??bnb设正项级数?an和?bn都发散，如果limn?0，就称?bn比?an发散较慢. n??an设正项级数?an和?bn都收敛，如果lim所以，根据这个定义，我们来比较一下等比级数和p级数的收敛快慢： 1annppnp?1设an?r，bn?p，则lim?lim?1n?lim?1n???，如此连续n??bn??(r)n??(r)?ln(r?1)nnn使用洛必达法则，可以发现该极限值为0，那么，由上述定义可是，p级数要比等比级数收敛较慢，这样便说明了以p级数为比较级数建立起来的拉贝判别法，要比以等比级数为比较级数建立的比式、根式判别法更加优越.但是，尽管以p级数为比较级数建立的拉贝判别法相对比式判别法和根式判别法的使用范围变得广泛了，但当出现“r?1”时仍不能判断敛散性，所以，拉贝判别法也是有它的局限性的. s?1?3??（??2n?1）如例：讨论级数??，当s?1,2,3时的敛散性. ??2?4???(2n)?u先用比式判别法：limn?1?n??un?1?3???(2n?1)(2n?1)??2?4???(2n)(2n?2)????1?3???(2n?1)??2?4???(2n)???ss?2n?1?，此时无论s为????2n?2?s1,2,3中的何值，该极限都是1，那么比值判别法失效了. 再用拉贝判别法：当s?1时，n??1???un?1??2n?1?n1?，级数发散；?n1??????un??2n?2?2n?22??2n?1?2?n(4n?3)?un?1??1，所以可知此时拉贝判别法失当s?2时，n????2?1?u???n?1??2n?2(2n?2)???n???????2n?1?3?n(12n2?18n?7)?un?1?3?1??n1???效；当s?3时，n?，由拉贝判别法????3??u2n?2(2n?2)2???n?????可知该级数收敛.
4.3以级数1为比较级数建立的判别法之间强弱性的比较 ?pn(lnn)n?21为比较级数建立的新判别法，这里我们把?pn?2n(lnn)10 ??4.3.1新判别法与高斯判别法的比较 在第三节中，介绍了一种以级数它和高斯判别法进行比较，来说明新的判别法在使用上比高斯判别法范围更广.
命题4.2.1：凡是能用高斯判别法判别敛散性的正项级数都能用这种新方法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知新判别法要强于高斯判别法.如下例： 例4.2.1：讨论级数??n?213(?1)n?ln(lnn)n的敛散性. ?n，当n为奇数时； ，当n为偶数时. ann?1n?1?n?ln??证明：由于??3an?1n1111?ln(n?1)??lnn?an?1?n?1?n?ln??
因此可求得： ?ln(lnn)??lnn???an??an???????lim(lnn)?n??1??1????且lim(lnn)?n??1???1???? n??n??aa??n?1????n?1??于是可见高斯判别法已经失效，但是， ?ln?an2n??1?32a2n3?ln(2n)??lnn???ln?an?1，n为奇数；?1?32n?2a2n1?ln(2n)??lnn??1，n为偶数. an?12n?1?2n?1?n?1?ln???1??32a2n?12(n?1)1111?ln(2n)??lnn??1，n为奇数；an?12n?1?2n?1?n?1?ln???1??32a2n?12(n?1)?ln(2n)??lnn??1，n为偶数. ??lnn?anlnn?an?1???最终得到lim?1??lim?1???ln3且n??ln2?2an??ln2?2a?2n??2n?1???lnn?anlnn?an?1????lim?1?lim?1?n??ln2?2a??ln3，由定理4.2.1可知级数收敛. n??ln2?2a?2n??2n?1? 4.3.2：拟对数判别法和高斯判别法的比较 命题4.2.2：能用对数判别法判别敛散性的正项级数也一定能用拟对数判别法来判别敛散性，但反过来不成立，由此可知拟对数判别法要强于对数判别法.如下例： 例4.2.2：讨论正项级数??(?1)解：由于 limn???n?5n?21(?1)n?ln(lnn)的敛散性. n?1?ln(lnn)ln5由拟对数判别法知级数??ln5?1，(?1)n?ln(lnn)ln(lnn)n?5n?2?收敛. ?2?ln?2?ln??ln(n?1)???ln(n?1)??an?1an?1nn??????3??3当n为奇数时，；当n为偶数时，，ann?1ann?1?lnn??lnn???an?1????an?1??????1????且lim(lnn)?n?1?因此，lim(lnn)?n?1?????1????，可见，用高斯n??n??aan?n???????判别法不能判别此级数的敛散性.
可见，例4.2.2是例3.2.3的一种特殊情况，它又一次说明了拟对数判别法的优越性.
?114.4以级数?建立的判别法与以p级数建立的判别法的比较 ?ppnn(lnn)n?1n?2? ?11我们探讨p级数?p和级数?的收敛快慢： pnn?1n?2n(lnn)11?q?p?1设bn?p，cn?，就的情形证明，先假设，于是有q?Npnn(lnn)?bnn(lnn)q(lnn)qq(lnn)q?1n?1lim?lim?limp?1?lim???，不断使用洛必达法则可得pn??cn??n??nn??(p?1)np?2nnbn(lnn)q(lnn)?q??1该极限为0；若q?p?1，而q?N，此时有0?lim?limp?1?lim?0，p?1n??cn??nn??nn??11同样可求得极限为0，这就说明了级数?比p级数收敛较慢.这样便说明了?ppn?1nn?2n(lnn)?1以级数?为比较级数建立的新判别法、高斯判别法和拟对数判别法，要比以p级pn(lnn)n?2?1数?p为比较级数建立的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法要更加优越. n?1n? 5 比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系
在前面的讨论中，给出了以等比级数为比较级数建立的比式判别法，根式判别法；以p级数???nn?11p为比较级数给出的拉贝判别法，双比值判别法和对数判别法；还有以级数1为比较级数给出的新判别法，高斯判别法和拟对数判别法.并且，将他们之间的?pn?2n(lnn)?1强弱关系进行了比较，得到了一系列有用的结论，从中知道，由于级数?比p级pn(lnn)n?2??11数?p收敛的速度较慢，而p级数?p比等比级数收敛的速度又慢，所以以级数n?1nn?1n?1为比较级数建立的判别法相对于其他判别法使用范围更广，但并不是用这三个?pn?2n(lnn)判别法可以解决所有正项级数的敛散性问题，这一节来讨论比较级数的敛散速度与正项级数判别法强弱性的关系.
考察级数1，同样可以通过积分判别法说明这个级数当p?1时级数是?pnlnn(lnlnn)n?112 ?
联系客服：cand57</An=1/(n^(1+1/n))的级数和是收敛还是发散的
1.An=1/(n^(1+1/n)).
Lim{n→∞}An/(1/n)=Lim{n→∞}n^(-1/n)=1>0.
由于∑{n≥1}1/n发散,所以∑{n≥1}An发散.
2.An=(n^(n+1/n))/((n+1/n)^n)=
=(n^(1/n))/((1+1/n^2)^n).
Lim{n→∞}An=
=[Lim{n→∞}(n^(1/n))][Lim{n→∞}(1+1/n^2)^(-n)]=
所以∑{n≥1}An发散.
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证明：交错级数，1/n是单调递减，n趋向无穷的时候值为0，所以满足莱布尼茨判别法，级数收敛
第一个是常数e的第一定义
第二个可用洛比达法则解决
第三个不一定正确，若分子、分母有公因式，则答案不是a/k，而是约去公因式之后的一次详系数值比。但无论是否约去...
∑ (-1)^n/(n-lnn)是交错级数，
u=1/(n-lnn)&u=1/[n+1-ln(n+1)],
lim u=lim (1/n)/[(1-lnn)/n...
当n为奇数时，
(n-1)!!/n!!=[2*4*6*…*(n-1)]/[1*3*5*…*n]
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(n-1)!!/n!!=[1*3*5*…*(n-...
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第12章答案
高数上习题册答案第十一章
常数项级数的概念和性质
设级数∑n ，则其和为（
5322、 若lim a n =0，则级数∑a n （
） n →∞∞n =1
A 收敛且和为
C 发散可能收敛也可能发散 3 、若级数∑u n 收敛于S ，则级数∑(u n +u n +1) （
n =1n =1∞∞
B收敛于2S+u
∞114、若lim b n =+∞，b n ≠0, 求 ∑(-) 的值 n →∞b b n =1n n +1解： S n =((-) +(-) +(-) +-) =- b 1b 2b 2b 3b 3b 4b n b n +1b 1b n +1
所以lim S n =n →∞
5、若级数∑a n 收敛，问数列{a n }是否有界
解：由于lim a n =0，故收敛数列必有界。 n →∞
6、若lim a n =a ，求级数∑(a n -a n +1) 的值 n →∞∞n =1
解：S n =(a 1-a 2) +((a 2-a 3)) +......(a n -a n +1) =a 1-a n +1
故∑(a n -a n +1) =lim (a 1-a n +1) =a 1-a
7、求∑(2n a -2n a ) 的值
n =1n =1∞n →∞∞
解：S n =(a -a ) +
n =1(a -a ) +......(2n a -2n a ) =2n a -a
n →∞故∑(2n a -2n a ) ==lim (2n a -a ) =1-a
8、求 ∑11的和
4n =1n (n +1)(n +2) ∞
常数项级数的审敛法
一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性
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