分式方程的最小公分母母不可能为0吧，因为分式方程的分母不为0，几个不为0的未知数的乘积也不可能是0，对吗
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时间：2017-09-13 11:50
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可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点 重点、 1、会用去分母的方法解分式方程。 会用去分母的方法解分式方程。 2、会用换元法解分方式方程。 会用换元法解分方式方程。 3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。 正确理解增根的意义，会排除方程的增根。 二、考点 1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。 2、掌握用换元法
解某些可化为一元二次方程的分式方程。 掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。 3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。 掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。 三、例题分析 第一阶段 解下列分式方程： 例 1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根， 思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根， 过程中可能产生增根 解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。 解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。 解： （1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母 方程两边同乘以(1- (1+x),去分母 (1 (1-x)+(1(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x) 整理得 x2+3x=0 x1=0, x2= -3 检验 代入(1 (1把 x=0 代入(1-x)(1+x)≠0 代入(1 (1把 x= -3 代入(1-x)(1+x)≠0是原方程的解。 ∴x1=0, x2= -3 是原方程的解。方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1) 方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1) (1+x)(x+2)(x x2整理得 x2-8x+12=0 解方程 x1=2,x2=6 检验： 代入(x+1)(x+2)(x 2)=0,∴ (x+1)(x+2)(x是增根， 检验：把 x=2 代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2 是增根，舍去 代入(x+1)(x+2)(x (x+1)(x+2)(x把 x=6 代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0 ∴原方程的根是 x=6 点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。 点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。 例 2、解下列方程思路分析： 题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x 1),就可转化为整 (x+1)(x思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整 式方程。 式方程。第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。 题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。可把原方程变形为，此时若设 解：的整式方程。 即可把原方程变为一个关于 y 的整式方程。（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得 2+x-1=x2-1, 方程两边同乘以(x+1)(x-1),得 2+x-1=x2(x+1)(x x2整理得 x2-x-2=0, 解这个方程得 x1=2, x2= -1. x2= 经检验： 是增根，故舍去， 是原方程的根。 经检验：x= -1 是增根，故舍去，x=2 是原方程的根。 ∴原方程的根是 x=2. (2)原方程的变形为 (2)原方程的变形为解这个方程， 解这个方程，得 解得 x3=x4=1.例 3、解方程 思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设 y=x2+x,原方程变为 思路分析：此题可用换元法解， (x2+x)看作一个整体， y=x2+x,原方程变为 看作一个整体看作是一个整体， y=x2+x+1， x2+x=y；若把 x2+x+1 看作是一个整体，可设 y=x2+x+1，则 x2+x=y-1，原方程就变为解题时， 看成一个整体进行变形， 题时，也可以不设铺助未知数 y，直接把 x2+x 或 x2+x+1 看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元 法。x2+x=y， 解：设 x2+x=y，则原方程变为 去分母，整理后， 去分母，整理后，得：y2+y-6=0 y2+y解这个方程得： 解这个方程得：y1= -3. y2=2. 3,Δ&0，无解。 当 y= -3 时，x2+x= -3,Δ&0，无解。 x2+x=2。 当 y=2 时，x2+x=2。 解得： 解得：x1= -2, x2=1.，经检验： 都是原方程的根。 经检验：x1= -2, x2=1 都是原方程的根。 x2=1。 ∴原方程的根为 x1= -2, x2=1。 第二阶段 例 4、的根， 的根，代入即可求出 a. 解：方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 方程两边同乘以(x+2)(x-2)， a(x+2)+1+2(x+2)(x(x+2)(x 代入所得方程， 把 x=2 代入所得方程，得 4a+1+0=0.例 5、解方程 思路分析：此方程若直接通分，将会出现高次方程，可采用方程两边各自分别通分的方法。 思路分析：此方程若直接通分，将会出现高次方程，可采用方程两边各自分别通分的方法。解： 解下列各分式方程； 例 6、解下列各分式方程；思路分析：解上述方程宜采用换元法，但在换元前要作适当的变形处理。 思路分析：解上述方程宜采用换元法，但在换元前要作适当的变形处理。设：x2+5=y,y1=6,y2=1当 y=6 时，x2+5=6 解方程得 x1=1, x2= -1 方程无实根（舍去） 当 y=1 时，x2+5=1 方程无实根（舍去） 经检验：x1=1, x2= -1 都是原方程的根。 经检验： 都是原方程的根。 2y2经整理得 2y2-7y+6=0原方程化为：12(y2-2)原方程化为：12(y2-2)-56y+89=0 12y2整理 12y2-56y+65=0 都是原方程的解。 都是原方程的解。 第三阶段 乙两人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这件工作， 例 7、甲、乙两人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这件工作，则比规定天数多 若乙单独完成这件工作， 求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？ 做 12 天；若乙单独完成这件工作，则比规定天数多做 27 天，求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？ 思路分析： 天完成，应该设甲、 思路分析：本题不要直接去设甲或乙单独需 x 天完成，应该设甲、乙共同完成需 x 天，即规定 那么甲单独做需（x+12）天完成，乙单独做需（x+27）天完成， 日期为 x 天，那么甲单独做需（x+12）天完成，乙单独做需（x+27）天完成，我们可根据他们的工作效率 为等量关系，列出方程。 为等量关系，列出方程。 天完成，则甲单独做需（x+12） 天完成，乙单独做需 x+27） 独做需（ 解：设甲乙两人共同做这件工作需 x 天完成，则甲单独做需（x+12）天完成，乙单独做需（x+27） 天完成。 天完成。根据题意， 根据题意，得 去分母， 去分母，得 x2+27x+x2+12x=x2+39x+324 整理得 x2=324解得 x1=18, x2= -18 经检验： 均为原方程的根， 不合题意，应当舍去。 经检验：x1=18,x2= -18 均为原方程的根，但 x= -18 不合题意，应当舍去。 X+12=18+12=30. X+27=18+27=45 天完成， 天完成。 答：甲单独做需 30 天完成，乙单独做需 45 天完成。 点评：列方程解应用题在设未知数这一环节上应多考虑一下， 点评：列方程解应用题在设未知数这一环节上应多考虑一下，有时间接设未知数很容易弄清等 量关系，列方程也就简单多了。 量关系，列方程也就简单多了。 乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门， 海里到达厦门； 例 8、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门，甲沿直线航行 180 海里到达厦门； 乙沿原来航线绕道香港后来厦门， 海里， 小时到达厦门， 乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了 720 海里，结果乙比甲晚 20 小时到达厦门，已知乙速比甲速 海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于 海里/小时） 每小时快 6 海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于 16 海里/小时） 思路分析：列方程解应用题的关键是找相等关系，这道题可以把“ 思路分析：列方程解应用题的关键是找相等关系，这道题可以把“结果乙比甲晚 20 小时到达 厦门”作为相等关系，即甲轮所用时间+20 小时=乙轮所用时间而甲轮航行的路程已知（ 海里）。 ）。故可 厦门”作为相等关系，即甲轮所用时间+20 小时=乙轮所用时间而甲轮航行的路程已知（180 海里）。故可海里/小时， 设甲轮的速度为 x 海里/小时，则甲轮所用时间为小时，乙轮航行的路程已知（ 海里）， ），速度为 小时，乙轮航行的路程已知（720 海里），速度为 （x+6）海里/小时，故乙轮所用时间为 x+6）海里/小时，小时，用这些量表示等量关系， 小时，用这些量表示等量关系，即得方程为海里/小时，根据题意， 解：设甲轮的速度为 x 海里/小时，根据题意，得整理后， 整理后，得：x2-21x+54=0 x2解得 x1=18, x2=3.经检验：x1=18,x2=3 都是所列方程的解，但速度 x2=3&16 不合题意，故 x=18。 经检验： 都是所列方程的解， 不合题意， x=18。 海里/ 答：甲客轮的速度为 18 海里/小时二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用一、重点、难点 重点、 1、二次三项式在实数范围内的因式分解。 二次三项式在实数范围内的因式分解。 2、列出一元二次方程解应用题。 列出一元二次方程解应用题。 二、考点 1、利用公式法将二次三项式在实数范围内进行因式分解。 利用公式法将二次三项式在实数范围内进行因式分解。 2、能列出一元二次方程解应用题。 能列出一元二次方程解应用题。 一般情况下应用一元二次方程解应用题是中考的重要内容。 一般情况下应用一元二次方程解应用题是中考的重要内容。 三、例题分析 第一阶段 把下列各式分解因式： 例 1、把下列各式分解因式： （1）4x2-8x+1; 4x2（2）3x2+12xy+11y2; （3）(x2-x)2-2x(x-1)-3. (x2-x)2-2x(x-1)思路分析： 思路分析： 这三道题都不宜用前面学过的方法（直接开平方法、套用乘法公式法、分组分解法、 这三道题都不宜用前面学过的方法（直接开平方法、套用乘法公式法、分组分解法、十字相乘 4x2的两根，代入分式中即可； 法）来分解因式，宜用分式法。其中（1）题直接求出对应方程 4x2-8x+1=0 的两根，代入分式中即可；第 来分解因式，宜用分式法。其中（ 的二次三项式，另一个字母看作是字母系数， （2）题是一个二次齐次式，应把它看作是关于 x 或 y 的二次三项式，另一个字母看作是字母系数，求得 题是一个二次齐次式， 对应方程的两根 再代入公式中； 对应方程的两根，再代入公式中；第（3）题先将原式变形为(x2-x)2-2(x2-x)-3,再把(x2-x)看作是一个 题先将原式变形为(x2-x)2-2(x2-x)-3,再把(x2-x)看作是一个 (x2 再把(x2 整体， x2-x=y， y2-2y- 转化成了第（ 题的类型。 整体，即设 x2-x=y，于是原方程变为 y2-2y-3 转化成了第（1）题的类型。 解： （1）∵Δ=（-8）2－4×4×1＝64－16＝48&0 Δ=（ 4×4×1＝64－16＝ ∴4x2-8x+1 在实数范围内可以进行因式分解。 4x2在实数范围内可以进行因式分解。（3）(x2-x)2-2x(x-1)-3=(x2-x)2-2(x2-x)-3 (x2- x)2- 2x(x- 1)- 3=(x2- x)2-2(x2-x)x2-x=y， y2-2y设 x2-x=y，则原式变为 y2-2y-3， ∵y2-2y-3=(y-3)(y+1), y2-2y-3=(y∴原式=(x2-x-3)(x2-x+1) 原式=(x2- 3)(x2=(x2即(x2-x)2-2x(x-1)-3 (x2-x)2-2x(x-1)- 3x2+4x+m,当 为何值时， 例 2、已知二次三项式 3x2+4x+m,当 m 为何值时， 能在实数范围内因式分解。 （1）3x2+4x+m 能在实数范围内因式分解。 不能在实数范围内因式分解。 （2）3x2+4x+m 不能在实数范围内因式分解。 是完全平方式。 （3）3x2+4x+m 是完全平方式。 ： ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内是否能分解的关键在于方程 思路分析 二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内是否能分解的关键在于方程 ax2+bx+c(a≠0) 是否在实数范围内有解， 来决定的。 时方程有两个相等实根， 是否在实数范围内有解，而方程是否有解是由判别式 Δ 来决定的。当 Δ=0 时方程有两个相等实根，此时 二次三项是一个完全平方式。 二次三项是一个完全平方式。 能在实数范围内因式分解。 解：Δ=b2-4ac=16-12m3x2+4x+m 能在实数范围内因式分解。 Δ=b2-4ac=16-(1)当 16-12m≥0.即 (1)当 16-12m≥0.即 m≤能在实数范围内因式分解。 3x2+4x+m 能在实数范围内因式分解。(2)当 16-12m&0.即 (2)当 16-12m&0.即 m&不能在实数范围内因式分解。 3x2+4x+m 不能在实数范围内因式分解。(3)当 16-12m=0. (3)当 16-3x2+4x+m 是完全平方式。 是完全平方式。年的各项经营收入中， 万元， 例 3、上海市某电脑公司 2000 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万元，占全年 40%， 万元， 每年经 经营收入的 40%，该公司预计 2002 年经营总收入要达到 2160 万元，且计划从 2000 年到 2000 年，每年经 营总收入的年增长率相同。 年预计经营总收入为多少万元？ 营总收入的年增长率相同。问 2001 年预计经营总收入为多少万元？ 思路分析：这是一道平均增长率问题， Q=a(1+x)n,这里 Q=2160，n=2， 思路分析：这是一道平均增长率问题，其基本关系式是 Q=a(1+x)n,这里 Q=2160，n=2，而易求 a 年全年总收入） 万元。 （即 2000 年全年总收入）为 600÷40%=1500 万元。故需设年增均增长率为 x 求出 x 后，2001 年经营总收 1+x），也可求。 ），也可求 入可表示为 a（1+x），也可求。 年的经营总收入为：600÷40%=1500（万元） 解：2000 年的经营总收入为：600÷40%=1500（万元） x,根据题意得 根据题意得： 设年平均增长率为 x,根据题意得： 1500（1+x）2=2160， 1500（1+x）2=2160， （1+x）2=1.44, 1+x）2=1.44, 1+x=±1.2, ∵1+x&1, ∴1+x=1.2, ∴1500(1+x)==1800(万元) 1500(1+x)==1800(万元) 万元 万元。 答：2001 年预计经营总收入为 1800 万元。 第二阶段 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式 在实数范围内不能分解因式， 例 4、已知关于 x 的二次三项式 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式，试判定关于 x 的方程(m-5)x2的根的情况。 的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 的根的情况。 (m 思路分析：要判定方程(m-5)x2是否有实数根， 思路分析：要判定方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 是否有实数根，首先要讨论它是一元一次方程还是 (m 一元二次方程。当它是一元二次方程时，根的存在性由“Δ”的符号来决定。 一元二次方程。当它是一元二次方程时，根的存在性由“Δ”的符号来决定。而由已知关于 x 的二次三项 “Δ”的符号来决定 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式 在实数范围内不能分解因式， 的取值范围， 式 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式，可得其判别式小于 0，可求得 m 的取值范围，最后根 的取值范围确定方程根的情况。 据 m 的取值范围确定方程根的情况。 解：∵mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式， mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式， 在实数范围内不能分解因式 =4m2+16m+16-4m2=∴Δ1=[-2(m+2)]2-4?m(m+5) =4m2+16m+16-4m2-20m =-4m+16&0. Δ1=[-2(m+2)]2∴m&4. 原方程为一元一次方程-14x+5=0，有唯一实数解， 当 m=5 时，原方程为一元一次方程-14x+5=0，有唯一实数解，原方程为一元二次方程， 当 m≠5 时，原方程为一元二次方程， =4（m+2） m2-5m） =4（9m+4）， ∵Δ2=[-2(m+2)]2-4m(m-5) =4（m+2）2-4（m2-5m） =4（9m+4）， Δ2=[-2(m+2)]2-4m(m又∵m&4， m&4， ∴9m+4&0， 9m+4&0， Δ2&0。 即 Δ2&0。 方程有两个不相等的实数根。 ∴当 m≠5 时，方程有两个不相等的实数根。 万元， 万元， 例 5、某厂 1 月份生产总值为 50 万元，3 月份增加到 60.5 万元，求生产总值平均每月增长百分 之几？ 之几？ 思路分析： 50（1+x）， ），3 思路分析：如果设每月平均增长率为 x，则 2 月份生产总产值为 50（1+x），3 月份生产总产值 50（1+x）（1+x）=50（1+x） ）（1+x 为 50（1+x）（1+x）=50（1+x）2。 解：设每月平均增长率为 x 50（1+x） 依题意 50（1+x）2=60.5 （1+x）2=1.21 1+x） 1+x=±1.1 x1=0.1=10% x2=x2=-2.1 不合题意舍去10%。 答：平均每月增长 10%。 元人民币按一年定其存入银行， 元用作购物， 例 6、某人将 2000 元人民币按一年定其存入银行，到期后支取 1000 元用作购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若银行存款的利息不变， 元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若银行存款的利息不变，到期后得到本金和利息共 1320 元， 求这种存款方式的年利率。 求这种存款方式的年利率。 思路分析：本题属于储蓄问题， 元是等量关系，这里有两次存款。 思路分析：本题属于储蓄问题，到期后得本金和利息共 1320 元是等量关系，这里有两次存款。 首先， 接着， 元后，再存入银行。 首先，第一次存入 2000 元；接着，把第一次存入到期后的本息和支取 1000 元后，再存入银行。最后支取 本息和的计算公式为： 本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× 1+利 得本息和为 1320 元，本息和的计算公式为： 本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利 率×期数） 期数） 根据题意， 解：设这种存款方式的年利率为 x，根据题意，得 [2000（1+x） [2000（1+x）-1000]?(1+x)=1320 整理，得 2x2+3x=0.32=0, 整理， 解这个方程， x1=0.1=10%,x2=-1.6&0(舍去 舍去) 解这个方程，得 x1=0.1=10%,x2=-1.6&0(舍去)。 10%。 答：这种存款方式的年利率为 10%。 第三阶段 x2-4mx+4x+3m2取何有理数， 例 7、找一个合适的 k 值，使关于 x 的方程 x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0 中无论 m 取何有理数，其根 均为有理数。 均为有理数。 思路分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数， 思路分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数，则原方程的判别式 Δ 须是 公式 的完全平方式， 关于 m 的完全平方式，也就是 又由二次三项式的因式分解公式， 又由二次三项式的因式分解公式，要使 Δ 是完全平方式， =0， 的值。 全平方式，需使 Δ 中的判别式 Δ@=0，这样就可求得 k 的值。 解：原方程化为一般形式，得 原方程化为一般形式， x2-4(m-1)x+(3m2-2m+4k)=0, x2-4(m- 1)x+(3m2若方程的根为有理数， 的完全平方式， 若方程的根为有理数，则需使其 Δ 为关于 m 的完全平方式， Δ=[]2-4?1?(3m2=4m2-24m为完全平方式， 即 Δ=[-4（m-1）]2-4?1?(3m2-2m+4k) =4m2-24m-16k+16 为完全平方式， 4m2-24m而在 4m2-24m-16k+16 中， Δ@=（-24）2-4×4×（-16k+16） 24） 4×4×（ 16k+16） 的完全平方式， =0。 ∵其为关于 m 的完全平方式，∴Δ@=0。 即（-24）2-16（-16k+16）=0， 24） 16（ 16k+16）=0，万个， 万个，若每月的增长率相同， 例 8、某厂 1 月份生产零件 2 万个，一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率相同，求每 月的平均增长率。 月的平均增长率。 思路分析： 1+x）， ），3 1+x） 思路分析：若设每月平均增长率为 x，则 2 月份产量为 2（1+x），3 月份产量为 2（1+x）2，而 2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98。 2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98。 解：设每月的平均增长率为 x， 依题意：2+2（1+x）+2（1+x） 依题意：2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98 经整理：100x+300x经整理：100x+300x-99=0 x1=0.3=30% x2=x2=-3.3 不合题意舍去答：平均每月增长 30% 四、练习题 A组 1、在实数范围内分解因式：（1）x2-7x+4=_________; 在实数范围内分解因式：（1 x2：（ （2）x2-11x+26=_______. x2-2kx2在实数范围内可分解因式， 2、若二次三项式 2kx2-4x+1 在实数范围内可分解因式，则 k________3、x2是一个完全平方式， 等于___________ 4、 若 x2-2(k+1)x+k2+5 是一个完全平方式，则 k 等于___________ 2x2+(1分解因式后，有一个因式为(x 1)， (x5、已知二次三项式 2x2+(1-3m)x+m+3 分解因式后，有一个因式为(x-1)，则这个二次三项式分 解因式的结果是___________ 解因式的结果是___________ x2+ax- 可分解为(x 2)(x+b),是 (x6、已知 x2+ax-1 可分解为(x-2)(x+b),是 a+b=_________ _______； 7、(a2+a)2-1 在有理数范围内分解因式为_______；在实数范围内分解因式为__________. (a2+a)2- 在有理数范围内分解因式为_______ 在实数范围内分解因式为__________. 8、下列二次三项式中，在实数范围内不能分解因式的是（ 下列二次三项式中，在实数范围内不能分解因式的是（ ）B、x2+20+x+69 C、-8x2-18xy-4y2 8x2- 18xyD、(a+b)2+7(a+b)-30 (a+b)2+7(a+b)-9、某二次三项式分解因式的结果是 ( )，则此二次三项式为9x2- 2x9x2+12x9x2A、-9x2+12x+1 B、-9x2-12x-1 C、-9x2+12x-9 D、-9x2-12x+9 、 x1=3.x2=-4.则二次三项式 x210 已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3.x2=-4.则二次三项式 x2-px+q 可分解为 （ (x(x-3)(xA、(x+3)(x-4) B、(x-3)(x+4) C、(x+3)(x+4) D、(x-3)(x-4) (x+3)(x11、 bdx2分解的结果是（ 11、二次三项式因式 bdx2-(ad+bc)x+ac 分解的结果是（ A、(bx-a)(dx-c) (bx-a)(dxB、(bx+a)(dx+c) C、(bx-c)(dx-a) (bx-c)(dx） ）D、(bx+c)(dx+a)12、 x2+2x-(m+9)不能在实数范围内分解因式 不能在实数范围内分解因式， 12、已知关于 x 的二次三项式 x2+2x-(m+9)不能在实数范围内分解因式，则关于 y 的二次三项式 y2+myy2+my-2m+5 A、一定能在实数范围内分解因式 B、一定不能在实数范围内分解因式C、不一定能在实数范围内分解因式。 D、以上答案都不对 不一定能在实数范围内分解因式。 13、在实数范围内分解下列因式： 13、在实数范围内分解下列因式： 2x(1)x2 -2x-1; (2)(2)-5x2+2x+11; (3)2x2+6xy+y2： (3)2x2+6xy+y2：(5)4x2(5)4x2-8xy+y2; (7)(x2-5x)2+9(x2(7)(x2-5x)2+9(x2-5x)+18;(6)3x3-2x2y(6)3x3-2x2y-2xy2;(8)(k2+2)x2-(3k+2)x+k(3(8)(k2+2)x2-(3k+2)x+k(3-k).14、 为何值时， x2-16+m(x+4)是关于 的完全平方式 平方式。 14、m 为何值时，二次三项式 x2-16+m(x+4)是关于 x 的完全平方式。 15、 5x2-3x10x2-6x的根相同吗？为什么？ 2x2-3x4x2-6x15、方程 5x2-3x-1=0 与 10x2-6x-2=0 的根相同吗？为什么？二次三项式 2x2-3x-4 与 4x2-6x-8 分解因式的结果相同吗？把这两个二次三项式分别分解因式，并验证你的结论。 分解因式的结果相同吗？把这两个二次三项式分别分解因式，并验证你的结论。 A 组答案2、K≤2 且 k≠04 、2 5、2(x-1)(x-3) 6、-1 2(x-1)(x-7、 8 、A 9 、A 10、A 10、 13、 13、 11、A 11、 12、A 12、 y)(8)(x-1)[(k2+2)x(8)(x-1)[(k2+2)x-3k+k2] 14、 14、m=8 B组 16、 3x2-ax+a只有一个正根， x2-axy+(a16、已知关于 x 的方程 3x2-ax+a-3=0 只有一个正根，那么二次三项式 x2-axy+(a-1)y2 可能分 解为（ 解为（ ） 15、 15、略(X-Y)(X(x-y)(x(x+y)(xA、(x-y)(x-3y) B、(X-Y)(X-2y) C、(x-y)(x-5y) D、(x+y)(x-5y) (x-y)(x17、 、 的三边， 17 已知 a b c 为 ABC 的三边 且关于 x 的二次三项式 4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+a2c2) 、、 ， 为一完全平方式， 的形状。 为一完全平方式，试判定 △ABC 的形状。 B 组答案 16、 16、C． 17.该二次三项式为完全平方式， 17.该二次三项式为完全平方式，则△=0.即 16（a2+b2+c2）2-48(a2b2+b2c2+a2c2)=0，化简得 该二次三项式为完全平方式 =0.即 16（a2+b2+c2） 48(a2b2+b2c2+a2c2)=0， a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0,2a4+2b4+2c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2=0,配方得 a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0,2a4+2b4+2c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2=0,配方得 (a2-b2)2+(b2-c2)2+(a2-c2)2=0,a=b=c,故 为等边三角形。 (a2-b2)2+(b2-c2)2+(a2-c2)2=0,a=b=c,故△ABC 为等边三角形。 C组 把这个数的个位数字与十位数字对调后， 1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得 一个两位数， 736，求原来的两位数。 的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数。 （1 有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数。 2、 1）有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数。 （ 251，求这三个数。 （2）有三个连续奇数，已知它们的平方和等于 251，求这三个数。 有三个连续奇数，3、已知一个直角三角形的面积为求这个直角三角形的斜边的长。 求这个直角三角形的斜边的长。二月份因春节放假， 10%。三月份、 4、某校办工厂今年元月份生产课桌椅 1000 套，二月份因春节放假，减产 10%。三月份、四月份 某校办工厂今年元月份生产课桌椅 产量逐月上升， 求三、四份产量的平均增长率。 产量逐月上升，四月份产量达到 1296 套，求三、四份产量的平均增长率。 年底。 5、某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望，到 1998 年底。全县 某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望， 30%，此后，政府计划在近几年内， m%栽上树进 沙漠的绿化率已达 30%，此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的 m%栽上树进 行绿化， 年底， 43.3%， 的值。 行绿化，到 2000 年底，全县沙漠的绿化率已达 43.3%，求 m 的值。 张床位， 空床可全部租出， 6、某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 时，空床可全部租出，若每床每晚提高 2 元，则 张床位租出； 张床位租出； 减少 10 张床位租出；若每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出；以每次提高 2 元的这种方法变化 下去， 元的利润，每床每晚应提高多少元？ 下去，为了获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元？ 厘米， 厘米的铁片中间截去一个小长方形， 7、从一块长 80 厘米，宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周的宽度一 样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度。 并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度。 面积的一半 按一年定期存入银行， 8、红星中学某班前年暑假将勤工俭学挣得的班费 2000 元，按一年定期存入银行，去年暑假到 元寄往灾区， 元和利息继续按一年定期存入银行， 期后取出 1000 元寄往灾区，将剩下的 1000 元和利息继续按一年定期存入银行，待今年毕业后全部捐给母 问银行一年定期存款的年利率（假定利率不变）是多少？ 校，若今年到期后本息和为 1155 元，问银行一年定期存款的年利率（假定利率不变）是多少？ 厘米， 厘米，在四角都截去相同的小正方形， 9、有一块长方形铝皮，长 24 厘米，宽 18 厘米，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一 有一块长方形铝皮， 个没盖的盒子，使底面面积是原来面积的一半，求盒子的高。 个没盖的盒子，使底面面积是原来面积的一半，求盒子的高。 10、制造某种产品， 由于连续两次降低成本， 10、制造某种产品，原来每件成本是 700 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是 343 元， 如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之几？ 如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之几？ 11、某商场销售一批名牌衬衫， 为了扩大销售， 11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采用取适当的降价措施。经调查发现， 盈利，尽快减少库存，商场决定采用取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降低 1 元，商场平均 每件衬衫应降价多少元？ 每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 12、一个容器盛满烧碱溶液， 用水加满， 再用水加满， 12、一个容器盛满烧碱溶液，第一次倒出 10 升，用水加满，第二次又倒出 10 升，再用水加满，这时容器内的溶液浓度是原 13、 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价， 13、某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为 则可卖出（350-10a） 20%， a 元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，商店计划要赚 400 元， 需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？ 需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？ 14、一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡 14、一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡 132 张，求这个小组的人 数。 C 组答案 1、32 或 23 、－1 ；（2）－11、－9、－7 11、－ 2、（1）3、4、5、6 或－2、－1、0、1；（2）－11、－9、－7 或 7、9、11 、（13、 舍去) 4、20%,设平均增长率为 x.则 900(1+x)2=1296,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2&0(舍去) 20%,设平均增长率为 x.则 900(1+x)2=1296,解 x1=0.2=20%,x2=-2.2&0(舍去 不合题意， 5、10，依题意得（1－30％）（1－m%）2=1-43.3%,解得 m1=10,m2=190(不合题意，舍去) 10，依题意得（ 30％）（1 m%）2=1-43.3%,解得 m1=10,m2=190(不合题意 舍去) ％）（ 则依题意得：(10+2x)(100-2x)=1120,解得 6、设每晚应提高 x 个 2 元，则依题意得：(10+2x)(100-2x)=1120,解得 x１＝2，x２＝3 故 2x ＝4 或 6，所以每晚应提高 4 元或 6 元。 8、9、解得 x1=3,x2=18（舍去） x1=3,x2=18（舍去） 10、30%,设降低率为 700(1-x)2=343， 10、30%,设降低率为 x，则依题意得 700(1-x)2=343，解得 x1=0.3,=30%,x2=1.7&1 不合题意舍 去 11、 (40-x)(20+2x)=1200， 20， 10， 11、20 或 10 元，设每件衬衫应降低 x 元，则(40-x)(20+2x)=1200，解得 x１＝20，x２＝10， 更好。 降低 20 更好。 12、 12、13、依题意得(a-2)(350-10a)=400,解得 a1=25,a2=31,但当 20%， 13、依题意得(a-2)(350-10a)=400,解得 a1=25,a2=31,但当 a=31 时，加价超过进价的 20%，舍 (a 去 14、 x(x-1)=132,x1==12.x2=14、2 人，设有 x 人，则 x(x-1)=132,x1==12.x2=-11&0 舍去 D组 255，则这两个数的和是（ 1、两个连续奇数的积是 255，则这两个数的和是（ A．31 B、32 C、±31 D、±32 ）若二、 2、某饲料厂今年一月份生产饲料 500 吨，三月份生产饲料 720 吨，若二、三两个月平均每月增 则有( 长的百分率为 x，则有( A、500(1+2x)=720 C、500(1+x)2=720 ) B、500(1+x2)=720 D、720(1+x)2=500厘米宽的一条长方形， 平方厘米， 3、从正方形的铁片上，截去 2 厘米宽的一条长方形，余下的面积是 48 平方厘米，则原来的正 从正方形的铁片上， 方形铁片的面积是__________。 方形铁片的面积是__________。 __________ 4、某农场计划修一条横断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 0.65 米 2，上口宽比渠底宽多 1.4 某农场计划修一条横断面为等腰梯形的渠道， 横断面为等腰梯形的渠道 则渠底宽是_________ _________米 米，渠深比渠底宽少 0.1 米，则渠底宽是_________米。 36%，平均每年降低的百分数是________ ________。 5、某产品计划在两年内使它的成本降低 36%，平均每年降低的百分数是________。 的长方形养鸡场，为了节约材料， 6、如图，要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条 如图， 另三边用篱笆围成， ，（1 求鸡场的长与宽各是多少？（ ？（2 墙，墙长为 a 米，另三边用篱笆围成，如果篱笆的长为 35 米，（1）求鸡场的长与宽各是多少？（2）题 对题目的解起着怎样的作用？ 中墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？升的大桶内盛满了某种纯农药溶液，另有两只容积相同的小桶， 7、容积为 27 升的大桶内盛满了某种纯农药溶液，另有两只容积相同的小桶，把大桶中的溶液 倒满一只小桶后，注水加满大桶，再又把大桶中的溶液倒满另一只小桶，又加水注满大桶， 倒满一只小桶后，注水加满大桶，再又把大桶中的溶液倒满另一只小桶，又加水注满大桶，此时大桶内家 求小桶容积。 药与水之比为 4：5，求小桶容积。 8、某种新品种苹果中纯果实与水份之比为 9：1，但苹果放在果盘中其水份将按一定比例挥发 但苹果放在果盘中其水份将按一定比例挥发9.75 公斤，求该种水果平均每天的水份挥发率。 两天之后称得还有 9.75 公斤，求该种水果平均每天的水份挥发率。 D 组答案 1 、D 2 、C 3、64 方厘米 4、0.6 5、20％ 20％；（2 的长度可用来检查篱笆的长是否符合实际。 6、（1）10 或 7.5 米；（2）a 的长度可用来检查篱笆的长是否符合实际。 、（18、25%一元二次方程根与系数关系 一、教学目标 一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数， 一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等 于常数项除以二次项系数所得商。 x1、 (a≠0)的两个根 的两个根， 于常数项除以二次项系数所得商。即 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，则有x1+x2=x1?x2=。二、教学要求 1.能利用根与系数关系求方程两根之和、两根之积； 1.能利用根与系数关系求方程两根之和、两根之积； 能利用根与系数关系求方程两根之和 2. 能 利 用 根 与 系 数 关 系 求 有 关 根 的 代 数 表 达 式 ， 即 能 求 及相关变形式。 及相关变形式。 3. 掌 握 利 用 方 程 的 根 做 为 方 程 系 数 的 一 元 二 次 方 程 的 表 达 形 式 ， 即 x2-(x1+x2)x+x1?x2=0， （其中 x1、 是所求得方程的两个根。 x2-(x1+x2)x+x1?x2=0， 其中 x1、x2 是所求得方程的两个根。 （ 4.能利用判别式和根与系数关系求方程中待定系数的值 能利用判别式和根与系数关系求方程中待定系数的值。 4.能利用判别式和根与系数关系求方程中待定系数的值。 三、知识要点x1+x2=对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 总有 x1+x2=是方程的两根。 是方程的两根。，x1?x2=x1、 ，其中 x1、x2它的逆定理也是成立的， x2， x1+x2=它的逆定理也是成立的，即如果两个数 x1 和 x2，满足 x1+x2=-，x1?x2=，那么(a≠0)的两个根 这是根与系数的关系定理，又称韦达定理. 的两个根. x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理. 例题分析： 四、例题分析： 第一阶梯 例 1、已知 x1 和 x2 是方程 x2-5x的两个根， 3x1+3x2、 x2-5x-2=0 的两个根，求 3x1+3x2、3x1?3x2参考答案： 参考答案： (1)根与系数关系； (1)根与系数关系； 根与系数关系 是相乘关系。 (2) 3x1+3x2 提公因数 3，计算 3x1?3x2 系数 3 与 3 是相乘关系。分清提公因数与单 项式乘法中系数乘以系数两者区别. 项式乘法中系数乘以系数两者区别. 答案： 答案： 。3x2-4xx2，不解此方程，求下列有关根的代数式 例 2、已知方程 3x2-4x-2=0 的两根为 x1 和 x2，不解此方程，求下列有关根的代数式提示 ：由根与系数关系可得 x1+x2=，x1?x2=。所求如何变形就可以与 x1+x2=，x1x2=联系应用？结论是：通分变形。 联系应用？结论是：通分变形。所求 变形为： 变形为：又应如何变形？这时想到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，则应将 这时想到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2， (a+b)2=a2+2ab+b2所求（ 所求（2）也可以由条件 x1+x2= 式。入手解决，采取等式两边平方， 入手解决，采取等式两边平方，构造出、的形 即：∵x1+x2=，∴(x1+x2)2=()2(再将 x1?x2=代入) 代入)所求（ (x1可仿照所求（ 的方法解决。 所求（3）(x1-x2)2 可仿照所求（2）的方法解决。答案： 答案：(1) -2， (2)k=3， (3) k=3，最小值 0。x2例 3 、 已知关于 x 的方程 x2-2kx+k+6=0 的两实数根为 α 和 β ， 请问对于式子 (α-3)2+(β是否存在最小值。若存在， 为何值时，(α-3)2+(β(α-3)2+(β-3)2 是否存在最小值。若存在，请求出当 k 为何值时，(α-3)2+(β-3)2 的最 小值是多少；若不存在，请说明理由。 小值是多少；若不存在，请说明理由。 提示：(1)由(α(β-3)2≥0， 存在最小值为零， 提示：(1)由(α-3)2≥0 且(β-3)2≥0，所以只有在 α=β=3 时，存在最小值为零，此 两者缺一不可。由判别式△=4k2-4k-24， 情况应考虑判别式是否能为零且是否为 3 ， 两者缺一不可 。 由判别式 △ =4k2-4k-24 ， 令 4k2-4k- 4=0， k1=- k2=3。 k1=- 代入方程， x1=x2=-2≠3， k1=4k2-4k-24=0，可得 k1=-2，k2=3。把 k1=-2 代入方程，得 x1=x2=-2≠3，所以 k1=-2 时 (α-3)2+(β≠0，k=- (舍 (α-3)2+(β-3)2 ≠0，k=-2 (舍)。 x1=x2=3， 式子(α 3)2+(β(α最小值为零。 把 k2=3 代入方程得 x1=x2=3，所以当 k=3 时，式子(α-3)2+(β-3)2 最小值为零。 (2)若 (α-3)2+(β是否存在最小值？ 联系， (2)若 α≠β 时，(α-3)2+(β-3)2 是否存在最小值？为与待定字母 k 联系，则需利用 根与系数关系。 k+6，并将式子变形： 根与系数关系。即由 α+β=2k , α?β= k+6，并将式子变形：(α-3)2+(β=(α+β)2-2αβ=4k2=4(k(α-3)2+(β-3)2 =(α+β)2-2αβ-6(α+β)+18 =4k2-14k+6 =4(k-)2)2-4(k由 4(k-)2≥0， )2≥0，当 k=时，最小值为最小值为-。所以当 k=(α-3)2+(β时， (α-3)2+(β-3)2 存在最小值在最小值-提问：(α-3)2+(β-3)2≥0，为何求出最小值提问：(α-3)2+(β-3)2≥0，为何求出最小值-，矛盾原因在哪？ 矛盾原因在哪？为实数根， 题目中 α 和 β 为实数根 ， 而当 k=时 ， 代入原方程为此时＜0，方程无实根。所以 k= 方程无实根。时，式子所求的最小值不是实数范围，故 k= 式子所求的最小值不是实数范围，应舍 去。 第二阶梯 为何值时， mx2-2(m+1)x+m两实数根都是正数？ 例 1.m 为何值时，关于 x 的方程 mx2-2(m+1)x+m-1=0 的两实数根都是正数？ 提示:(1)为使方程为二次方程首先考虑什么？ :(1)为使方程为二次方程首先考虑什么 m≠0。 提示:(1)为使方程为二次方程首先考虑什么？答：二次项系数 m≠0。 (2)为使方程有实数根 判别式△≥0， 为使方程有实数根， 的取值范围。 (2)为使方程有实数根，判别式△≥0，确定 m 的取值范围。 (3)设方程两根为 x2，为使方程两根均为正数，结合根与系数关系，则应： (3)设方程两根为 x1 和 x2，为使方程两根均为正数，结合根与系数关系，则应：＞0 且＞0(4)解不等式 解不等式， 应注意什么？ (4)解不等式，不等式两边同乘以 m，应注意什么？ 参考答案: 参考答案: m≠0， ①m≠0，得 m＞0 或 m＜0。②由△≥0 得时方程有实数根。 时方程有实数根。③由 解得： 当 m＞0，解得：m＞1。 当 m＜0 时，解得 m＜-1 方程两根都是正数； ④由②和③得 m＞1 时，方程两根都是正数； 方程没有实数根， m＜-1 时，方程没有实数根，m＜-1（舍） 2.求证 求证： 的方程(x m)?(x(x有两个不等实数根， 例 2.求证：关于 x 的方程(x-m)?(x-m-k)=1 有两个不等实数根，且一个根大于 m，另 一个根小于 m。 提示: 提示: (1)为证明方程有两个不等实数根 首先求出判别式△的表达式，通过配方才能论述。 为证明方程有两个不等实数根， (1)为证明方程有两个不等实数根，首先求出判别式△的表达式，通过配方才能论述。 (2)由于方程中含有两个待定字母 求方程根就比较麻烦， (2)由于方程中含有两个待定字母 m 和 k，求方程根就比较麻烦，故可考虑每个根与 m 的差应该为异号，这样只要证出(x1 m)?(x2-m)＜ (x1的差应该为异号，这样只要证出(x1-m)?(x2-m)＜0。 (3)上式整理变形后应用根与系数关系 上式整理变形后应用根与系数关系。 (3)上式整理变形后应用根与系数关系。 参考答案 整理方程得△=m2+4＞ 所以方程有两个不等实根。由根与系数关系得： 答案: 参考答案:整理方程得△=m2+4＞0，所以方程有两个不等实根。由根与系数关系得： x1+x2=2m+k x1?x2=m2+mkx1?x2=m2+mk-1 (x1-m)(x2x1x2(x1-m)(x2-m) = x1x2-m(x1+x2)+m2 m2+mk= m2+mk-1-m(2m+k)+m2 =-1＜ 0 (x1-m)与(x2-m)异号 异号， x1x2(x1-m)与(x2-m)异号，不妨设 x1-m＞0，x2-m＜0 方程一个根大于 m，另一个根小于 m。 3.已知 已知， C=90， 分别为∠ 的对边， 例 3.已知，在△ABC 中，∠C=90，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a 与 b x2+2(k的两个不相等的实数根， 的平方比△ 分别是关于 x 的方程 x2+2(k-2)x+k2+4=0 的两个不相等的实数根，且斜边 c 的平方比△ABC 21。 的周长。 的面积的二倍还大 21。求：△ABC 的周长。 提示:(1) 的取值范围。 提示:(1) △＞0，确定 m 的取值范围。 (2)隐含条件： c2=a2+b2， (2)隐含条件：勾股定理 c2=a2+b2，面积 隐含条件 (3)根与系数关系。 (3)根与系数关系。 根与系数关系 参考答案: 参考答案:。c2=a2+b2， 由 △＞ 0 得 k ＜ 0；由勾股定理得 c2=a2+b2 ， S △ ABC=由根与系数关系得： ； 由根与系数关系得：a+b=-2(ka+b=-2(k-2)a?b=k2+4 ； 依 题 意 ：a2+b2-ab， 即 a2+b2-ab-21=0 变 形 为(a+b)2-3ab-21=0， k1=17(舍 k2=b=5， (a+b)2-3ab-21=0，即[-2(k-2)]2-3(k2+4)-21=0 得 k1=17(舍)，k2=-1。求得 a=1 , b=5， 2(k-2)]2-3(k2+4)c= ，△ABC 周长为 6+ 。第三阶梯 1.关于 k2x2+(k例 1.关于 x 的二次方程 k2x2+(k-3)x+1=0 为何值时，方程有两个不相等实数根？ (1) k 为何值时，方程有两个不相等实数根？ (2)如果方程的两个实数根 (2)如果方程的两个实数根 x1 与 x2 的倒数和为 m，试求 m 的取值范围 答案： 答案： (1)由二次项系数 =k2+2k－ 问题在于二次不等式如何解？ (1)由二次项系数 k2≠0 且△=k2+2k－3，问题在于二次不等式如何解？方法是运用因 式分解，转化为解不等式组。即分解为(k+3)?(k 1)＜ 转化为： (k+3)?(k式分解，转化为解不等式组。即分解为(k+3)?(k-1)＜0，转化为：的取值范围： k≠0。 解不等式组得 k 的取值范围：-3＜k＜1 且 k≠0。(2)依题意 (2)依题意推导出之间联系， 的取值范围确定出－ ，也就是确定出 k 与 m 之间联系，就可以利用 k 的取值范围确定出－m≠0， m≠3。 3＜3－m＜1 且 3－m≠0，所以 m 取值范围是 2＜m＜6 且 m≠3。 参考答案: 参考答案: 的解答中涉及一元二次不等式，判别因式分解转化为一元一次不等式组求解。 例 1 的解答中涉及一元二次不等式，判别因式分解转化为一元一次不等式组求解。在 的取值范围以后， 的取值范围， 之间关系式。 求 k 的取值范围以后，要求 m 的取值范围，关键是确定 k 与 m 之间关系式。 的方程（ 例 2、.关于 x 的方程（1） 两个相等的实数根， 的方程（ 两个相等的实数根，关于 x 的方程（2）的一个实数根是另一个实根的 3 倍 ， 求证 ： 关于 x 的方程 （ 3 ） 一定有实根。 对于任何实数 k 一定有实根。 提示:为证明方程（ 一定有实根，根据： 提示:为证明方程（3）一定有实根，根据： 的值。由方程（ m≠0， m 和 n 的值。由方程（1）得：m≠0， 设方程（ 3x1，则有： 设方程（2）两根为 x1 和 3x1，则有： ，应首先求出解之得： 解之得： m=2， 代入方程（ ， 把 m=2，n=4 代入方程（2） 代入 。 ＞0 方程（ 一定有实数根。 所以对任何实数 k 方程（3）一定有实数根。 参考答案: 参考答案: 例 2 的解答中是利用判别式 的方程。对于方程（ ，找到一个关于 m、n 的方程。对于方程（2）利用 的值符合题意， ＞0，说明 m、n 的值符合题意，这时才可以的方程， 的值。 根与系数关系又找到一个关于 m、n 的方程，通过解方程组求出 m、n 的值。 已知： 例 3、已知：关于 x 的方程 ，其中 b 和 c 分别是等腰三角形的腰和底边的长， 12， 15， 底边的长，若方程两实根 x1 和 x2 差的绝对值为 12，且等腰三角形的面积为 15，求等腰三 角形三条边的长。 角形三条边的长。 提示:（1）由 ，运用等式两边平方变形为， 由根与系数 4b2关系的一个方程，为利用等腰三角形面积应画示意图： 入 4b2-c2=144 得到关于 b、c 关系的一个方程，为利用等腰三角形面积应画示意图： 检测题： 五、检测题： 第一题， 第一题，选择题 1．已知方程 的两个实数根均为正数， 的两个实数根均为正数，则（ ），代 A.B.C.D.个真子集, 个真子集, 2．已知集合 M 中含有 3 个真子集,集合 N 中含有 7 个真子集,则集合 M∪N 中含有的最 多元素为A.B.C. 3．已知方程D. 的两个实数根异号且正根绝对值较大， 的两个实数根异号且正根绝对值较大，则（ ）A.B. C. 4．已知方程D. 的两个实数根异号且负根的绝对值较大， 的两个实数根异号且负根的绝对值较大，则（ ）A.B.& C.D. 则这两个数为（ 5．已知两数和为－6，两数积为 2，则这两个数为（ ） 已知两数和为－ A. C. B. D.的一个根， 的值为（ 6．若－7 是方程 的一个根，则方程另一个根与 k 的值为（ ） A.4， B.－ ，－28 C.4，－ ，－28 D.－ A.4，28 B.－4，－28 C.4，－28 D.－4，28 第二题， 第二题，问答题 不解方程， 7、不解方程，求出方程两根之和与两根之积 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ，两根和 ，两根和 两根和 ，两根和 ，两根积 ，两根积 ，两根积 ，两根积 ，两根和 两根和 ； ； ，两根积 ，两根积 ； ； ； 8、已知方程 已知方程 9、 以 10、 10、以 和的两根为 1 和－3，那么 p= 为根的一元二次方程 的两根的平方作为根的一元二次方程为，q= 。。。11、 11、方程两根的倒数和为 ，则 m=。 。12、 2x212、方程 2x2-3x+m=0 有一个根为 0，则 m= 13、 13、若关于 x 的方程的两根都是正数， 的两根都是正数，它们的差是 4，且一个求方程两根、 的值。 根是另一个根的 5 倍，求方程两根、k 及 a 的值。 14、 14、以一元二次方程 ，求：a、b 的值。 的值。 15、 的方程① 15、若关于 x 的方程① 程② 的一个根， 的值。 的一个根，求：m、n 的值。 ，和方程 的根（ 的根（ 有且仅有一个 ） 的一个根为－ 的一个根为－9，另一个根是正数且方 之和与两根之积为根， 之和与两根之积为根，所作的一元二次方程为16、 的方程（ 16、已知关于 x 的方程（1） 非零公共根，求证： 非零公共根，求证：它们其余的两个根是方程 答案： 答案： ――6 1――6 A， B， C， D， D， C7、①6，－1；② ，－1 0； 8、2，－3； ，－3 9、 10、 10、，0；③ ，；④8，14；⑤ 14；；⑥，；11、 11、3； 12、 12、0 13、 x2， x1＞x2＞ 13、设方程两根为 x1 和 x2，且 x1＞x2＞0依题意有 由根与系数，解得 14、 14、第一个方程的两根之和为 15、解方程（ 15、解方程（2）得，两根之积为 也是方程的另一个根， ，依题意 x2=5 也是方程的另一个根，应用根与系数得：m=1，n=－30。 数得：m=1，n=－30。 16、设方程（ 、 （2 依题意有： 16、设方程（1）（2）非零公共根为 α，依题意有：，解之得：α=c 解之得： ∴非零公共根为 c。 设方程（ 、 （2 x2， 设方程（1）（2）的另一个根分别为 x1 和 x2，则有： 代入方程（ 把 α=c 代入方程（1）得： 得x1， 为根的一元二次方程为 ∴以 x1，x2 为根的一元二次方程为 ∴ 根。，六、经典例题分析 已知一元二次方程的一个根， 1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值 x2-6x+m2例 1、已知方程 x2-6x+m2-2m+5=0 一个根为 2，求另一个根及 m 的值 分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义， 代入原方程， 分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把 x=2 代入原方程，先求出 m 的值，再通过解方程求另一个根； 的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根 的值. 及 m 的值. 解法一： 代入原方程， 解法一：把 x=2 代入原方程，得 22-6×2+m222-6×2+m2-2m+5=0 m2-2m即 m2-2m-3=0 m2=解得 m1=3 m2=-1 m2=当 m1=3 m2=-1 时，原方程都化为 x2x2-6x+8=0 ∴x1=2 x2=4 ∴方程的另一个根为 4，m 的值为 3 或-1. 解法二： 解法二：设方程的另一个根为 x.则 ∴或2、判别一元二次方程两根的符号. 判别一元二次方程两根的符号. 不解方程， 2x2+3x例 1、不解方程，判别 2x2+3x-7=0 两根的符号 分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△ 分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只 能用于判定根存在与否，若判定根的正负， 的正负情况. 能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察 x1?x2 或 x1+ x2 的正负情况. ∵△=32 4×2×(=32解：∵△=32-4×2×(-7)=65&0 x2， ∴方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为 x1, x2，∵x1?x2==-&0∴原方程有两个异号的实数根。 原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要“根的判别式” 根与系数的关系”结合起来进行确定. 说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定. x1?x2 可判定根为一正一负， x1?x2&0， 的正负， 另外本题中 x1?x20，可判定根为一正一负，若 x1?x2&0，仍需考虑 x1+ x2 的正负，从 而判别是两个正根还是两个负根 是两个负根. 而判别是两个正根还是两个负根. 为什么实数时， mx2-2(m+1)x+m的两个根都是正数。 例 2、当 m 为什么实数时，关于 x 的二次方程 mx2-2(m+1)x+m-1=0 的两个根都是正数。 分析： 负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零， 分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于 根的判别式大于等于零。 零，根的判别式大于等于零。 x2， x2&0， 解：设方程的二根为 x1, x2，且 x1&0, x2&0，则有=[-2(m+1)]2-4m(m由 △=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0 m&0， ∵m≠0, ∴m&0 或 m&0， 上面不等式组化为： ∴上面不等式组化为：解得：m≥解得：m≥-⑴或⑵由⑴得 m&1 不等式组的解集为空集. ⑵不等式组的解集为空集.∴m&1 方程的两个根都是正数 两个根都是正数。 ∴当 m&1 时，方程的两个根都是正数。 说明：当二次项系数含有字母时， 的条件。 说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记 a≠0 的条件。 为何值时， 2(k+1)x2+4kx+3k例 3、k 为何值时，方程 2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 （1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 有一根为零，另一根不为零。 （3）有一根为零，另一根不为零。 分析：两根“互为相反数” 互为倒数” 有一根为零，另一根不为零” 分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对 两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数， 两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即 x1+x2=0;互为倒数 互为倒数， x1=-x2,即 x1+x2=0;互为倒数，则 x1= x2， 解：设方程的两根为 x1, x2，x1?x2=1，但要注意考察判别式△ ，即 x1?x2=1，但要注意考察判别式△≥0.x1+x2=则 x1+x2=-=-x1x2= （1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，x1+x2=即 x1+x2=-=0， k=0， =0，∴k=0，=(4k)2-4×2(k+1)(3k当 k=0 时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16&0 方程两根互为相反数。 ∴当 k=0 时，方程两根互为相反数。（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是 1，即 x1x2= 要使方程两根互为倒数，必须两根的积是=1， =1，解得 k=4=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=当 k=4 时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144&0 为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。 ∴k 为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。 （3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0， =0，解得 k=又当 k=时，x1+x2=x1+x2=-≠0， ≠0，当 k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)= =(4k)2-4×2(k+1)(3k-&0， &0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零。 原方程有一根是零，另一根不是零。说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零， =b2不得小于零。 说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac 不得小于零。 根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值. 3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值. x2的取值范围。 例 1、关于 x 的一元二次方程 x2-3x+k+1=0 的两根的平方和小于 5，求 k 的取值范围。 x2， 解：设方程两根分别为 x1, x2， x1+x2=3, x1?x2=k+1 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)&5 ∴k&1 ① ∵△=( 3)2=(又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0∴k≤②由①②得：1&k≤ ①②得 说明： 是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想， 说明：例 1 是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字 母的取值范围. 母的取值范围. x2+2(m有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大 例 2、知：方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大 21， 的值。 21，求 m 的值。 分析：本题是利用转化的思想将等量关系“ 21”转化为 分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为 的方程, 的值. 关于 m 的方程,就可求得 m 的值. 方程有两个实数根， 解：∵方程有两个实数根， ∴△=[2(m 2)]2=[2(m∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0 解这个不等式， 解这个不等式，得 m≤0 x2， 设方程两根为 x1, x2， x1+x2=-2(m∴x1+x2=-2(m-2) x1?x2=m2+4 x12+x22∵x12+x22-x1x2=21 (x1+x2)2∴(x1+x2)2-3x1x2=21 2(m-2)]2∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21 整理得：m2- 6m整理得：m2-16m-17=0 解得： m2=解得：m1=17 m2=-1 m=又∵m≤0 ∴m=-1 说明： m2=m≤0， m=17。 说明：1、求出 m1=17, m2=-1 后，还要注意隐含条件 m≤0，舍去不合题意的 m=17。 一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛, 三、小结 ：一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛,在中学数学 中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视. 中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视. 测试 A组 x21．方程 x2-4x+m=0 的一个根是 （ A） （ C） 4+4 （ B） -4 ，那么另一根是（ 那么另一根是（ ）（D）以上答案都不对 ）那么（ 2．若方程 x2+px+q=0 的两根中只有一个根为 0，那么（ （A）p=q=0 （B）p=0, q≠0 （C）p≠0, q=0 （D）p≠0, q≠0 3．如果x2+mx的一个根， 的值为（ -1 是方程 x2+mx-1=0 的一个根，那么 m 的值为（ （D）2 ））（ A） -2 （B）-3 （ C） 1 为根的一元二次方程是（ 4．以 3 和-2 为根的一元二次方程是（ x2+x（A）x2+x-6=0 （B）x2+x+6=0 x2（C）x2-x-6=0 x2（D）x2-x+6=0 的一元二次方程是（ 5．两个实数根的和是 3 的一元二次方程是（ ） x2+3xx2（A）x2+3x-4=0 （B）x2-3x+4=0 x2-3x（C）x2-3x-4=0 （D）x2+3x+4=0 B组 不解方程， x2的两根之差。 6．不解方程，求方程 x2-7x+5=0 的两根之差。 （ A） （ B） ± （C）－ （D）以上都不对。 以上都不对。答案与解析 答案： 答案： 组答案： A 组答案：1、C 2、C 3、D 4、C 5、C 组答案： B 组答案：B 解析： 解析： 组详解： B 组详解： x1+x2=7， ∵x1+x2=7，x1?x2=5 |x1∴ |x1-x2|= , ∴x1-x2=± x1.注意： 注意：Δ≥0=中考解析 一元二次方程的根与系数的关系（参考） 一元二次方程的根与系数的关系（参考） 中考考点 理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 。 会运用根与系数的关系， 由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 2． 会运用根与系数的关系， 由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x2， x1+x2=1．若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x2，则 x1+x2=，x1?x2= 。 为根的一元二次方程是(x x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积， (x2．以 x1,x2 为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得 ax2+bx+c=0(a≠0)。 到方程 ax2+bx+c=0(a≠0)。 x1+x2=- x1?x2=q。 x1?x2=q。 3． 对二次项系数为 1 的方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2 时， 那么 x1+x2=-p， 反之， 为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积， 反之，以 x1,x2 为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍 得到方程：x2+px+q=0。 得到方程：x2+px+q=0。 一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： 4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： 已知一元二次方程的一个根，求另一个根， （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个 根。 已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用 根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的 2x2x1,x2，不解方程， 的值。 值。如，方程 2x2-3x+1=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求 x12+x22 的值。[∵x1+x2= x12+x22=(x1+x2)2x1?x2= ，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=( 验根、求根、确定根的符号。 （4）验根、求根、确定根的符号。 )2)2-2× = ] ， 。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程） 已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程） 已知两数和与积，求这两个数。 （6）已知两数和与积，求这两个数。 解特殊的方程或方程组。 （7）解特殊的方程或方程组。 考题评析 北京市东城区) x2+3xx1，x2， 1．( 北京市东城区)如果一元二次方程 x2+3x-2=0 的两个根为 x1，x2，那么 x1+x2 与 x1?x2 的值分别为 （ ） （ A） 3， 2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （ D） -3， 2 考点：一元二次方程的根与系数关系。 考点：一元二次方程的根与系数关系。 评析： ax2+bx+c=0(a≠0) x1,x2,满足 评析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 x1,x2,满足 x1+x2= 直接计算， 直接计算，答案为 B。 杭州市) 2 ． ( 杭州市 ) 若 （ ） （ A） C 7 （ B） 1 （ C） （ D） 是方程 的两个根， 的两个根 ， 则 ，x1x2= 可的值为答案： 答案：A 考点： 考点：一元二次方程根与系数的关系 x1+x2， 的值， 评析思路： ， ，先求出 x1+x2，x1?x2 的值， 评析思路：由韦达定理知 然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开， x1+x2， 的值代入即可。 然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将 x1+x2，x1?x2 的值代入即可。 数式(x1+1)(x2+1)展开 （ 辽宁省）下列方程中， 3． 辽宁省）下列方程中，两根分别为 （ A） （ C） （ B） （ D） 的是（ 的是（ ）答案： 答案：B 考点： 考点：一元二次方程 根与系数的关系 评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积， x1+x2=- x1?x2=q， 评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据 x1+x2=-p x1?x2=q，即可 确定正确答案为 B。 （ 辽宁省） 4． 辽宁省）已知 α，β 是方程 的两个实数根， 的两个实数根，则 的值为。 值为。 考点： 考点：一元二次方程 根与系数的关系 评析思路; a+b=部分， 评析思路;由根与系数的关系可知 a+b=-2，a?b= -5。而所求式中有 a2+2a 部分，因 a 是方程的根， a2+2a-5=0， a2+2a=5， a?b， 是方程的根，所以有 a2+2a-5=0，即 a2+2a=5，再加 a?b，原式值为 0。 答案： 答案：0 5． 河南省）关于 x 的方程 （ 河南省） ，是否存在负数 k，使方程的两若存在， 的值；若不存在，说明理由。 个实数根的倒数和等于 4？若存在，求出满足条件的 k 的值；若不存在，说明理由。 答案： x1、x2.由根与系数关系 由根与系数关系， 答案：解：设方程的两个实数根是 x1、x2.由根与系数关系，得 x1+x2=5k+1，x1x2=k2x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2. 又∵，=4， =4，∴=4.∴4k2-5k-9=0. 4k2-5k解这个方程， k1=不合题意，舍去） 解这个方程，得 k1=-1，k2= （不合题意，舍去）. k=当 k=-1 时，原方程的判别式 =b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2) =(-4)2-4(1=(-4)2-4(1-2)=20&0. k=所以存在满足条件的负数 k，k=-1. 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。 评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下， 评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进 行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△&0。 行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△&0。 为两个根的一元二次方程是（ 6． 福州市）以 2，-3 为两个根的一元二次方程是（ （ 福州市） ）. x2x2+xx2（A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0 答案： 答案：B 考点：一元二次方程根与系数关系 系数关系。 考点：一元二次方程根与系数关系。评析： 与系数关系： 评析：利用一元二次方程 x2+px+q=0 的根 x1,x2 与系数关系：直接计算即得答案。 即得答案。 x2+3mx的一个根， 7． 广州市）已知 2 是关于 x 的方程 x2+3mx-10=0 的一个根，则 m= （ 广州市） . 考点： 考点：一元二次方程的根与系数关系 评析：根据方程解的概念， 评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出 m，或利用根与系数的关系解方 程组求出。 程组求出。 答案： 答案：1x28． （ 贵 阳 市 ） 若 x1,x2 是 方 程 x2-2x+m=0 的 两 个 根 ， 且 m= . 考点： 考点：一元二次方程根与系数关系 评析： ax2+bx+c=0（ ≠0） x1、 评析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 x1、x2 与系数的关系=2 ， 则，得 x1+x2=2x1x2=ｍ，求 x1x2=ｍ，求 ｍ，的值，代入已知的等式求出ｍ。 的值，代入已知的等式求出ｍ。答案： 答案：1 （ 河北省） Rt△ C=900， 分别是∠ 的对边， 9． 河北省）在 Rt△ABC 中，∠C=900，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，a、b 是关于 x 的方程 的两根， 边上的中线长是（ 的两根，那么 AB 边上的中线长是（ ） （ A）（ B）（ C） 5（D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理、 考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系 评析思路： 是方程的二根， a+b=7①a?b=c+7② 评析思路：因直角三角形两直角边 a、b 是方程的二根，∴有 a+b=7①a?b=c+7②，由 c2=a2+b2③ 联立①②③ ①②③组成方程组求得 c=5， 斜边上的中线为斜边的一半 勾股定理知 c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得 c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半， 故选 B。 10． 北京市海淀区）已知： （ 10． 北京市海淀区）已知：关于 x 的方程 ①的两个实数根的倒数和等于 3， 关于 x 的方程为正整数， ②有实数根且 k 为正整数， 求代数式的值。 考点：根的判别式，根与系数的关系。 考点：根的判别式，根与系数的关系。 评析： 代入到第二个方程。 评析：先根据根与系数的关系求得 a 值，再将 a 代入到第二个方程。因第二个方程只 证有实根， 1,然后再根据 证有实根，所以 k 可以等于 1,然后再根据 Δ 的范围再确定 k 值，分别代入所求代数式就可 以了。 以了。 答案： 答案：0 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个， 说明学生往往忽略 k=1 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全 面的， 的范围。 面的，也有的不考虑 Δ 的范围。11.（ 河北省） x1、 3x2+x的两个根, 11.（ 河北省）若 x1、x2 是一元二次方程 3x2+x-1=0 的两个根,则+的值是( 的值是( )(A)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 考点： 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：根据一元二次方程根与系数的关系， 的值， 评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出 x1+x2, x1?x2 的值，然后将求的代数式变为x1+x2=，最后将 x1+x2=-，x1?x2=- 代入即可，故选 C。 x1?x2=- 代入即可，2.（ 哈尔滨市） （本题 已知： AB、 12.（ 哈尔滨市） 本题 10 分）已知：△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次 （ x2的两个实数根， 方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5. 为何值时， 为斜边的直角三角形. （1）k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. 为何值时， 是等腰三角形，并求出△ 的周长. （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出△ABC 的周长. 考点：Rt△ 考点：Rt△三边关系 等腰三角形底与腰的关系 一元二次方程根与系数关系 评析： （1 已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程， 评析： 1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系 （ 达到目的， Rt△ 可知， AB2+AC2=(AB+AC)2－ 达到目的，又根据 Rt△三边的关系 AB2+AC2=BC2 可知，通过 AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB?AC 可实现。 可实现。 答案： （1 答案： 1） k=2 或 k= -5 （ (2) 14 或 16. 如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。 注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。 是否相等，再考虑其它情况， AC=BC， （2）首先利用判断式判断 AB 与 AC 是否相等，再考虑其它情况，即 AB=BC 或 AC=BC， 是一元二次方程的一个根， 的值，也就可求另一个根， 当 AB=BC 或 AC=BC 时，BC=5 是一元二次方程的一个根，故可求 k 的值，也就可求另一个根， 三角形的周长可求。 三角形的周长可求。 在求周长时，应判断是否能构成三角形。 注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。 13． 安徽） （ x2+(113． 安徽）已知方程 x2+(1)x)xx1、x2， =0 的两根为 x1、x2，求 x 的值。 +x 的值。 考点：一元二次方程根与系数的关系 考点：一元二次方程根与系数的关系 评 析 ： 根 据 根 与 系 数 的 关 系 ， 先 求 出 x1+x2 、 x1?x2 的 值 然 后 将 x12+x22=(x1+x2)2变为以上形式， x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 变为以上形式，再将 x1+x2= 解：由根与系数关系， 由根与系数关系， x1+x2=-1+ x1+x2=∴ x , x1x2=x1x2=, -1，x1?x2=x1?x2=代入即可。 代入即可。+x =(x1+x2)2-2x1x2 =(x1+x2)2=( =3=3-2 =3. -1)2+2 +2说明： x1、x2， 说明：如果先解出根 x1、x2，再求出 x的正确值也给满分。 +x 的正确值也给满分。14． 北京市东城区）已知关于 （ x2-(k14． 北京市东城区）已知关于 x 的方程 x2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根的平方和等 的值。 于 4，求实数 k 的值。 考点： 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析： x1、x2， x1+x2， 的值， 评析：先设方程二根为 x1、x2，分别求出 x1+x2，x1?x2 的值，再根据两根的平方和 但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△ 的值， 是 4，求出 k 值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△≥0 才能确定 k 的值，此 题一些考生忽略△ 的隐含条件的。 题一些考生忽略△≥0 的隐含条件的。 x2-(kx2， 解：设方程 x2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根是 x1, x2，那么 x1+x2=kx1+x2=k-1, x1?x2=k+1. 2分 由 x +x =4,(x1+x2)2得 (x1+x2)2-2x1x2=4. (k-1)2即 (k-1)2-2(k+1)=4 k2-4kk2-4k-5=0 解这个方程， k=解这个方程，得 k=5 或 k=-1. 6分 Δ=(5-1)2当 k=5 时, Δ=(5-1)2-4(5+1)&0, 原方程无实数根， 舍去. 原方程无实数根，故 x=5 舍去. 7分 k=,Δ=(- 1)2-4(当 k=-1 时,Δ=(-1-1)2-4(-1+1)&0, 因此，k=- 为所求。 因此，k=-1 为所求。 8分 真题实战 x2+mx－ 1． 常州市）已知关于 x 的方程 x2+mx－6=0 的一个根是 2，则另一个根是 （ 常州市） m= 。 答案： 答案：-3；1 2． 天门市）若方程 （ 天门市） 值是 。 答案： 答案：6 的两根是 x1、x2，则代数式 x1、x2，，的x1、 x2－ 的两个根， 3．已知 x1、x2 是方程 x2－x－1=0 的两个根，则的值是（ 的值是（） A、 1 答案： 答案：BB、－1 、－1C、±1D、 0（ 石家庄市） 4． 石家庄市）设方程x2， 的两根为 x1 和 x2，且，则 m 等于（ ） ．－8 ．－4 A．－8 B．－4 C． 8 D． 4 答案： 答案：C 的方程是（ 5． 潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于 2 的方程是（ （ 潍坊市）下列方程中， 2x2－ 2x2－2x－ A．2x2－4x+3=0 B．2x2－2x－3=0 2x2+4x－ 2x2－4x－ C．2x2+4x－3=0 D．2x2－4x－3=0 答案： 答案：D）（ 山西省） x2-2xx1， 则代数式 x2， 6． 山西省） 若方程 x2-2x-1=0 的二根为 x1， ， x2（ 的值是）A． 6 B． 4 C． 2 D． -2 答案： 答案：A 南昌市) 2x2+kx－ 的一个根是－ 的值。 7．( 南昌市)已知方程 2x2+kx－10=0 的一个根是－2，求它的另一根及 k 的值。 x1， 解：设方程的另一根为 x1，那么 2x1=-2x1=-5，又 k=∴k=-1。，答：方程的另一根是的值是，k 的值是-1。（ 苏州市） x2+(m－ 3=0。 8． 苏州市）已知关于 x 的方程 x2+(m－2)x+ m－3=0。 求证： 取什么实数值 这个方程总有两个不相等的实数根； 实数值， （1）求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； 2x1+x2=m+1,求 的值。 （2）若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足 2x1+x2=m+1,求 m 的值。 (1)证明 证明: (1)证明:∵取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根. ∴无论 m 取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根. (2)解 是这个方程的两个实数根, (2)解∵x1,x2 是这个方程的两个实数根,∴ 又 2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得 x1=2m(3)-(1),得 x1=2m-1……(4) (4)代入(1),得 代入(1), 把(4)代入(1),得 x2=3x2=3-3m……(5) (4)、 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3代入(2),得(2m-1)(3-3m)= (2), ∴ . .∴ x1、 x2－(k+2)+2k+1=0 的两个实数根， 9 ． 南通市 ） 设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2 － (k+2)+2k+1=0 的两个实数根 ， 且 （ 南通市） x12+x22=11. 的值； （1）求 k 的值； 利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和， （2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和， 另一根是原方程两根差的平方。 另一根是原方程两根差的平方。 （1 x1+x2=k+2， 解： 1）由题意得 x1+x2=k+2，x1?x2=2k+1 （ ， 又 ，∴ k=±3。 ，解得 k=±3。又∵Δ=[-(k+2)]2-4(2k+1)=k2-4k， Δ=[-(k+2)]2-4(2k+1)=k2-4k， Δ=原方程无实数解； 当 k=3 时，Δ=-3＜0，原方程无实数解； k=Δ=21＞ 原方程有实数解。 当 k=-3 时，Δ=21＞0，原方程有实数解。 k=故 k=-3。 k=x2+x-5=0。 （2）当 k=-3 时，原方程为 x2+x-5=0。 y2+py+q=0， y1、y2， 设所求方程为 y2+py+q=0，两根为 y1、y2， y1=x1+x2=则 y1=x1+x2=-1， y2=(x1-x2)2= y2=(x1-2x1x2=11+10=21。 2x1x2=11+10=21。∴y1+y2=20，y1?y2=-21 y1+y2=20，y1?y2=y2-20y所求方程是 y2-20y-21=010． 昆明） （ x2-2xx1、 则 x2， 10． 昆明） 已知一元二次方程 x2-2x-1=0 的两根是 x1、 ， x2+（ 的值是）A、 答案： 答案：DB、 2C、 -D、 -211． 沈阳） x1、 （ 2x2-4x的两个根， 11． 沈阳）设 x1、x2 是方程 2x2-4x-3=0 的两个根，则+=_________。 =_________。答案： 答案：一元二次方程根的判别式 2009-04数学知识点
10:22:47 阅读 14 评论 0字号： 字号：大中小 订阅 学习内容： 学习内容： 不解方程，利用判别式能判定方程根的情况； 1、不解方程，利用判别式能判定方程根的情况； 根据条件中方程根的情况，能够利用判别式求出方程中待定字母（待定系数） 2、根据条件中方程根的情况，能够利用判别式求出方程中待定字母（待定系数）的值 或取值范围； 或取值范围； 利用判别式证明方程根的情况。 3、利用判别式证明方程根的情况。 知识要点： 知识要点： 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 Δ=b2-4ac。 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 Δ=b2-4ac。 方程有两个不相等的实数根。 Δ&0 时，方程有两个不相等的实数根。 方程有两个相等的实数根。 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根。 方程没有实数根。 Δ&0 时，方程没有实数根。 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找 的值。 出 a、b、c 的值。 注意： （1 Δ=b2-4ac， 注意： 1）根的判别式是指 Δ=b2-4ac，不是 Δ= （ ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 2.根的判别式有以下应用 根的判别式有以下应用： 2.根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。 ①不解一元二次方程，判断根的情况。 根据方程根的情况 确定待定系数的取值范围。 根的情况， ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 证明字母系数方程有实数根或无实数根。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 注意： 注意： 如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况， ①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 b2的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此， ②根的判别式 b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要 注意隐含条件 a≠0. 例题分析 第一阶梯 不解方程，试判定方程根的情况： 例 1、不解方程，试判定方程根的情况： (1) 3x2 x－ sub& x－1=0 (2)提示：根据判别式△ b2－ b2≥0， 异号时，－4ac＞ ，－4ac 提示：根据判别式△= b2－4ac 中，因为 b2≥0，当 a 与 c 异号时，－4ac＞0，所以当 异号时，b2－4ac＞ 方程必有两个不等实数根。 a 与 c 异号时，b2－4ac＞0 方程必有两个不等实数根。 参考答案：由以上分析，方程(1) (1)的 异号， b2－4ac＞ 参考答案：由以上分析，方程(1)的 a 与 c 异号，判别式 b2－4ac＞0 方程必有两个不 等实根。对于方程（ 同号， b2－ 等实根。对于方程（2）由于 a 与 c 同号，所以只能把 a、b、c 值代入 b2－4ac 中计算后才 能得出结论。 能得出结论。 试判定方程（ mx2－(2m－1)x＋ 根的情况。 例 2、试判定方程（3）mx2－(2m－1)x＋m＋1=0 根的情况。 提示：对于方程（ 提示：对于方程（3）由于二次项系数含有待定字母 m，并且已知条件中既没讲明方程 的次数， 又没讲明方程的根的个数， 所以应在讨论方程次数的情况下， 研究方程根的情况。 的次数， 又没讲明方程的根的个数， 所以应在讨论方程次数的情况下， 研究方程根的情况。 参考答案 对于方程（ ， 答案： ，当 方程为一元一次方程， 1=0， 参考答案：对于方程（3） 当 m=0 时，方程为一元一次方程，方程为 x＋1=0，可知有 一个实数根； m≠0，方程为一元二次方程， b2－ =－8m＋ 此时应注意－ 一个实数根；当 m≠0，方程为一元二次方程，判别式 b2－4ac =－8m＋1。此时应注意－8m ；－8m 1=0；－8m＋ 8m＋ ；－8m 三种情况都有存在的可能性。 ＋1＞0；－8m＋1=0；－8m＋1＜0 三种情况都有存在的可能性。 的方程（ x2－(2m＋1)x＋2m2＋ 根的情况。 例 3、试判定关于 x 的方程（4）x2－(2m＋1)x＋2m2＋3=0 根的情况。 提示： 对于方程（ C=2m2＋ 同号。 提示： 对于方程（4）是否想到 C=2m2＋3＞0，故 a 与 c 同号。 b2－ =[－(2m＋1)]2－4(2m2＋3)]=－4m2＋4m－ 计算 △= b2－4ac =[－(2m＋1)]2－4(2m2＋3)]=－4m2＋4m－11 当所求出的△ 为含等定字母的二次代数式时， 只有通过配方将其变形， [ 注 ] 当所求出的 △ 为含等定字母的二次代数式时 ， 只有通过配方将其变形 ， 即 △ =才能判断出大于零？还是小于零。 －10 才能判断出大于零？还是小于零。 参考答案：方程（ 有两个不等实数根，方程（ 参考答案：方程（1）有两个不等实数根，方程（2） ，方程有两个相等实数根，方程（ x=－ 有两个相等实数根，方程（3）当 m=0 时，方程有一个实数根为 x=－1；当 m＞有两个不相等的实数根， 相等的实数根，当 m=方程有两个相等的实数根， 方程有两个相等的实数根，当 m＜方程无实数根 实数根。 且 m≠0 时，方程无实数根。方程（ 方程（4），因为≤0，－10＜0，所以 ，－10＜ 10方程无实数根。 －10＜0，即△＜0 方程无实数根。 10＜ 第二阶梯 例 1、已知关于 x 的二次方程 有两个实数根，求 k 的值。 有两个实数根， 的值。提示：为保证方程为二次方程， k2－3k＋4=2； 提示：为保证方程为二次方程，含未知数项的最高次数 k2－3k＋4=2；并且为保证方程 有两个实数根，判别式△ b2－4ac≥0。应注意以上两条要同时满足，缺一不可。 有两个实数根，判别式△= b2－4ac≥0。应注意以上两条要同时满足，缺一不可。参考答案： k2－3k＋ 参考答案：由 k2－3k＋4=2 得 k=1 或 2；由△≥0 得 k≤(舍 k=1。 ，所以 k=2 (舍)，k=1。的三条边的长， 的方程(c b)x2＋2(b－a)x＋ (c－ 例 2、已知 a、b、c 是△ABC 的三条边的长，且关于 x 的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋a 有两个相等的实数根，试判断△ 的形状。 －b=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。 提示： b≠0；判别式△ b2－ =0， [2(b－a)]2－ 提示：首先应考虑二次项系数 c－b≠0；判别式△= b2－4ac =0，即[2(b－a)]2－4(c b)(a－b)=0。整理得：a2－ab－ac＋bc=0，这时如何变形才能判断出△ 的形状？ －b)(a－b)=0。整理得：a2－ab－ac＋bc=0，这时如何变形才能判断出△ABC 的形状？ 参考答案： c≠b；由判别式 别式△ a2－ab－ac＋bc=0， 参考答案：由二次项系数 c－b≠0 得 c≠b；由判别式△＝0 得 a2－ab－ac＋bc=0，分 组分解得(a c)(a－ (a－ a=b=c， c≠b，所以只能是： a=b， 组分解得(a－c)(a－b)=0 得 a=c , a=b , 即 a=b=c，由于 c≠b，所以只能是：a=c 或 a=b， 为等腰三角形。 故△ABC 为等腰三角形。 x2－3x＋ 的两个根都是整数， 例 3、已知关于 x 的二次方程 x2－3x＋a=0 的两个根都是整数，求满足条件的 a 的非负 整数值。 整数值。 提示： 提示： 为保证方程根为整数，首先应使方程有实数根。这样就想到判别式△≥0， ①为保证方程根为整数，首先应使方程有实数根。这样就想到判别式△≥0，即 9－4a≥0， 的取值范围； 4a≥0，从而确定了 a 的取值范围；a≤ 为非负数负数， a≥0。 ②考虑 a 为非负数负数，即 a≥0。。③由①和②确定出 0≤a≤为整数， 的非负整数值。 ，并想到 a 为整数，从而确定出 a 的非负整数值。的非负整数值，为保证方程根为整数， ④以上是在实数根范围确定出 a 的非负整数值，为保证方程根为整数，只有将 a 的值 分别代入原方程分别验证是否符合题意。 分别代入原方程分别验证是否符合题意。 参考答案： 参考答案： 方程根不是整数， 时方程的根为整数。 a=1 时，方程根不是整数，a=0 或 1 时方程的根为整数。 第三阶梯 为直角三角形的三条边的长， 为斜边。求证： 例 1、已知 a、b、c 为直角三角形的三条边的长，c 为斜边。求证：关于 x 的方程 必有两个不相等的实数根。 必有两个不相等的实数根。 提示： 提示： ①方程整理为 ② ③隐条件：勾股定理 隐条件： 参考答案： 参考答案： 不等实根 x1、 例 2、已知 x1、x2 是关于 x 的方程 式子 的两个实数根， 的两个实数根，对于 为三角形边， 为三角形边，所以 ，故 ＞0，方程必有两个是否存在最小值零，请说明理由；是否存在最大值， 是否存在最小值零，请说明理由；是否存在最大值，请说明理由提示： (x1(x2-1)2≥0， (x1-1)2＋(x2≥0。若存在最小值， 提示：因为 (x1-1)2≥0 且 (x2-1)2≥0，故 (x1-1)2＋(x2-1)2 ≥0。若存在最小值， x1=x2=1。 能否相等，则由判别式是否等于零判定。 只有 x1=x2=1。而 x1 与 x2 能否相等，则由判别式是否等于零判定。 参考答案： 参考答案： =4(m+2)2+4， 4(m+2)2≥0， 4(m+2)2+4 +2)2+4＞ ①由△=4(m+2)2+4，因为 4(m+2)2≥0，4＞0，所以 4(m+2)2+4＞0，方程两根 x1≠x2 x1=x2=1， 式子(x1 1)2+(x2(x1的最小值为零， 而方程不存在相等实根， ②由于只有当 x1=x2=1， 式子(x1-1)2+(x2-1)2 的最小值为零， 而方程不存在相等实根， 所以式子的最小值不可能为零。 所以式子的最小值不可能为零。 x1≠x2，所以(x1 1)2+(x2-1)2＞ 所以式子不可能存在最大值。 (x1③由于 x1≠x2，所以(x1-1)2+(x2-1)2＞0，所以式子不可能存在最大值。 c≠0， 的二次方程(a b+c)x2+4(a-b)x+(a(a例 3、 a、 、 为实数且 c≠0， 设 b c 求证关于 x 的二次方程(a-b+c)x2+4(a-b)x+(a-b-c)=0 有实数根。 有实数根。 提示： 提示： 由判别式得 由 ，使 参考答案： 参考答案： 检测题 A组 ，如何整理变形？ 如何整理变形？ 则 应 变 形 为 ：再整理。 再整理。 方程有两个不等实根。 ＞0 方程有两个不等实根。1、已知关于 x=有两个相等的实数根 数根， 的方程 有两个相等的实数根，则 k=________ 2、关于 x 的方程 方程有两个不等实数根； 当k 时，方程有两个不等实数根；当 k 方程没有实数根。 方程没有实数根。 3、无论 k 为何值，代数式 为何值， 答案： 答案：当 ， k=时方程只有一个实数根； 时方程只有一个实数根； 时，时，方程有两个相等实数根；当 k= 方程有两个相等实数根；的值永远零？1.2. k= B组,k&,k=,k&3.大于。 3.大于。 大于 第一题，不解方程判断下列根的情况。 第一题，不解方程判断下列根的情况。 1、 2、 3、 4、 答案： 答案： 1.两个不等实数根 1.两个不等实数根 2.两个相等实数根 2.两个相等实数根 3. 没有实数根 4. 两个不相等实数根 C组 1．不解方程，试判定方程根的情况： 不解方程，试判定方程根的情况： 3x2－ (1) 3x2－ (2) (3)mx2－(2m－1)x＋ (3)mx2－(2m－1)x＋m＋1=0 x－1=0关于 x 的方程 2．当 ， k=________ 时方程只有一个实数k=________时 方程有两个不等实数根； k=________时 方程有两个相等实数根； 根；当 k=________时，方程有两个不等实数根；当 k=________时，方程有两个相等实数根； k=________时 当 k=________时，方程没有实数根3．已知关于 x=的方程有两个相等的实数根， 的方程有两个相等的实数根，则 k=________ 4．已知关于 x 的二次方程有两个实数根， 的值。 有两个实数根，求 k 的值。已知 a． ． 是△ABC 的三条边的长， 的三条边的长， 的方程(c b)x2＋2(b－a)x＋ (c－ 5． b c 且关于 x 的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋a－b=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。 答案： 答案： 由以上分析，方程(1) (1)的 异号， b2－4ac＞ 方程必有两个不等实根。 1．由以上分析，方程(1)的 a 与 c 异号，判别式 b2－4ac＞0 方程必有两个不等实根。 对于方程（ 同号， b2－ 对于方程（2）由于 a 与 c 同号，所以只能把 a．b．c 值代入 b2－4ac 中计算后才能得出结 (3)当 方程为一元一次方程， 1=0，可知有一个实数根； m≠0， 论(3)当 m=0 时，方程为一元一次方程，方程为 x＋1=0，可知有一个实数根；当 m≠0，方 程为一元二次方程， b2－ =－8m＋ 此时应注意－8m＋ ；－8m 1=0；－ 8m＋ ；－8m 程为一元二次方程，判别式 b2－4ac =－8m＋1。此时应注意－8m＋1＞0；－8m＋1=0；－8m 三种情况都有存在的可能性。 ＋1＜0 三种情况都有存在的可能性。2．k=,k&,k=,k&3．k2－3k＋ 4．由 k2－3k＋4=2 得 k=1 或 2；由△≥0 得 k≤(舍 ，所以 k=2 (舍)，k=1c≠b；由判别式△ a2－ab－ac＋bc=0， 5．由二次项系数 c－b≠0 得 c≠b；由判别式△＝0 得 a2－ab－ac＋bc=0，分组分解得 (a－c)(a－ a=b=c， c≠b，所以只能是： a=b， (a－c)(a－b)=0 得 a=c ,a=b , 即 a=b=c，由于 c≠b，所以只能是：a=c 或 a=b，故△ABC 为等腰三角形。 为等腰三角形。 经典例题精讲： 经典例题精讲： 不解方程，判断下列方程的根的情况： 例 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x(1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2 x(3)x2+1=x(4)ax2+bx=0(a≠0)(5)ax2+c=0(a≠0)}
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点 重点、 1、会用去分母的方法解分式方程。 会用去分母的方法解分式方程。 2、会用换元法解分方式方程。 会用换元法解分方式方程。 3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。 正确理解增根的意义，会排除方程的增根。 二、考点 1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。 掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。 2、掌握用换元法
解某些可化为一元二次方程的分式方程。 掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。 3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。 掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。 三、例题分析 第一阶段 解下列分式方程： 例 1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根， 思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根， 过程中可能产生增根 解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。 解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。 解： （1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母 方程两边同乘以(1- (1+x),去分母 (1 (1-x)+(1(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x) 整理得 x2+3x=0 x1=0, x2= -3 检验 代入(1 (1把 x=0 代入(1-x)(1+x)≠0 代入(1 (1把 x= -3 代入(1-x)(1+x)≠0是原方程的解。 ∴x1=0, x2= -3 是原方程的解。方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1) 方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1) (1+x)(x+2)(x x2整理得 x2-8x+12=0 解方程 x1=2,x2=6 检验： 代入(x+1)(x+2)(x 2)=0,∴ (x+1)(x+2)(x是增根， 检验：把 x=2 代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2 是增根，舍去 代入(x+1)(x+2)(x (x+1)(x+2)(x把 x=6 代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0 ∴原方程的根是 x=6 点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。 点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。 例 2、解下列方程思路分析： 题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x 1),就可转化为整 (x+1)(x思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整 式方程。 式方程。第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。 题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。可把原方程变形为，此时若设 解：的整式方程。 即可把原方程变为一个关于 y 的整式方程。（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得 2+x-1=x2-1, 方程两边同乘以(x+1)(x-1),得 2+x-1=x2(x+1)(x x2整理得 x2-x-2=0, 解这个方程得 x1=2, x2= -1. x2= 经检验： 是增根，故舍去， 是原方程的根。 经检验：x= -1 是增根，故舍去，x=2 是原方程的根。 ∴原方程的根是 x=2. (2)原方程的变形为 (2)原方程的变形为解这个方程， 解这个方程，得 解得 x3=x4=1.例 3、解方程 思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设 y=x2+x,原方程变为 思路分析：此题可用换元法解， (x2+x)看作一个整体， y=x2+x,原方程变为 看作一个整体看作是一个整体， y=x2+x+1， x2+x=y；若把 x2+x+1 看作是一个整体，可设 y=x2+x+1，则 x2+x=y-1，原方程就变为解题时， 看成一个整体进行变形， 题时，也可以不设铺助未知数 y，直接把 x2+x 或 x2+x+1 看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元 法。x2+x=y， 解：设 x2+x=y，则原方程变为 去分母，整理后， 去分母，整理后，得：y2+y-6=0 y2+y解这个方程得： 解这个方程得：y1= -3. y2=2. 3,Δ&0，无解。 当 y= -3 时，x2+x= -3,Δ&0，无解。 x2+x=2。 当 y=2 时，x2+x=2。 解得： 解得：x1= -2, x2=1.，经检验： 都是原方程的根。 经检验：x1= -2, x2=1 都是原方程的根。 x2=1。 ∴原方程的根为 x1= -2, x2=1。 第二阶段 例 4、的根， 的根，代入即可求出 a. 解：方程两边同乘以(x+2)(x-2)，得 a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 方程两边同乘以(x+2)(x-2)， a(x+2)+1+2(x+2)(x(x+2)(x 代入所得方程， 把 x=2 代入所得方程，得 4a+1+0=0.例 5、解方程 思路分析：此方程若直接通分，将会出现高次方程，可采用方程两边各自分别通分的方法。 思路分析：此方程若直接通分，将会出现高次方程，可采用方程两边各自分别通分的方法。解： 解下列各分式方程； 例 6、解下列各分式方程；思路分析：解上述方程宜采用换元法，但在换元前要作适当的变形处理。 思路分析：解上述方程宜采用换元法，但在换元前要作适当的变形处理。设：x2+5=y,y1=6,y2=1当 y=6 时，x2+5=6 解方程得 x1=1, x2= -1 方程无实根（舍去） 当 y=1 时，x2+5=1 方程无实根（舍去） 经检验：x1=1, x2= -1 都是原方程的根。 经检验： 都是原方程的根。 2y2经整理得 2y2-7y+6=0原方程化为：12(y2-2)原方程化为：12(y2-2)-56y+89=0 12y2整理 12y2-56y+65=0 都是原方程的解。 都是原方程的解。 第三阶段 乙两人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这件工作， 例 7、甲、乙两人共同做一件工作，规定若干天完成，若甲单独完成这件工作，则比规定天数多 若乙单独完成这件工作， 求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？ 做 12 天；若乙单独完成这件工作，则比规定天数多做 27 天，求甲、乙单独完成这件工作各需多少天？ 思路分析： 天完成，应该设甲、 思路分析：本题不要直接去设甲或乙单独需 x 天完成，应该设甲、乙共同完成需 x 天，即规定 那么甲单独做需（x+12）天完成，乙单独做需（x+27）天完成， 日期为 x 天，那么甲单独做需（x+12）天完成，乙单独做需（x+27）天完成，我们可根据他们的工作效率 为等量关系，列出方程。 为等量关系，列出方程。 天完成，则甲单独做需（x+12） 天完成，乙单独做需 x+27） 独做需（ 解：设甲乙两人共同做这件工作需 x 天完成，则甲单独做需（x+12）天完成，乙单独做需（x+27） 天完成。 天完成。根据题意， 根据题意，得 去分母， 去分母，得 x2+27x+x2+12x=x2+39x+324 整理得 x2=324解得 x1=18, x2= -18 经检验： 均为原方程的根， 不合题意，应当舍去。 经检验：x1=18,x2= -18 均为原方程的根，但 x= -18 不合题意，应当舍去。 X+12=18+12=30. X+27=18+27=45 天完成， 天完成。 答：甲单独做需 30 天完成，乙单独做需 45 天完成。 点评：列方程解应用题在设未知数这一环节上应多考虑一下， 点评：列方程解应用题在设未知数这一环节上应多考虑一下，有时间接设未知数很容易弄清等 量关系，列方程也就简单多了。 量关系，列方程也就简单多了。 乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门， 海里到达厦门； 例 8、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门，甲沿直线航行 180 海里到达厦门； 乙沿原来航线绕道香港后来厦门， 海里， 小时到达厦门， 乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了 720 海里，结果乙比甲晚 20 小时到达厦门，已知乙速比甲速 海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于 海里/小时） 每小时快 6 海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于 16 海里/小时） 思路分析：列方程解应用题的关键是找相等关系，这道题可以把“ 思路分析：列方程解应用题的关键是找相等关系，这道题可以把“结果乙比甲晚 20 小时到达 厦门”作为相等关系，即甲轮所用时间+20 小时=乙轮所用时间而甲轮航行的路程已知（ 海里）。 ）。故可 厦门”作为相等关系，即甲轮所用时间+20 小时=乙轮所用时间而甲轮航行的路程已知（180 海里）。故可海里/小时， 设甲轮的速度为 x 海里/小时，则甲轮所用时间为小时，乙轮航行的路程已知（ 海里）， ），速度为 小时，乙轮航行的路程已知（720 海里），速度为 （x+6）海里/小时，故乙轮所用时间为 x+6）海里/小时，小时，用这些量表示等量关系， 小时，用这些量表示等量关系，即得方程为海里/小时，根据题意， 解：设甲轮的速度为 x 海里/小时，根据题意，得整理后， 整理后，得：x2-21x+54=0 x2解得 x1=18, x2=3.经检验：x1=18,x2=3 都是所列方程的解，但速度 x2=3&16 不合题意，故 x=18。 经检验： 都是所列方程的解， 不合题意， x=18。 海里/ 答：甲客轮的速度为 18 海里/小时二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用一、重点、难点 重点、 1、二次三项式在实数范围内的因式分解。 二次三项式在实数范围内的因式分解。 2、列出一元二次方程解应用题。 列出一元二次方程解应用题。 二、考点 1、利用公式法将二次三项式在实数范围内进行因式分解。 利用公式法将二次三项式在实数范围内进行因式分解。 2、能列出一元二次方程解应用题。 能列出一元二次方程解应用题。 一般情况下应用一元二次方程解应用题是中考的重要内容。 一般情况下应用一元二次方程解应用题是中考的重要内容。 三、例题分析 第一阶段 把下列各式分解因式： 例 1、把下列各式分解因式： （1）4x2-8x+1; 4x2（2）3x2+12xy+11y2; （3）(x2-x)2-2x(x-1)-3. (x2-x)2-2x(x-1)思路分析： 思路分析： 这三道题都不宜用前面学过的方法（直接开平方法、套用乘法公式法、分组分解法、 这三道题都不宜用前面学过的方法（直接开平方法、套用乘法公式法、分组分解法、十字相乘 4x2的两根，代入分式中即可； 法）来分解因式，宜用分式法。其中（1）题直接求出对应方程 4x2-8x+1=0 的两根，代入分式中即可；第 来分解因式，宜用分式法。其中（ 的二次三项式，另一个字母看作是字母系数， （2）题是一个二次齐次式，应把它看作是关于 x 或 y 的二次三项式，另一个字母看作是字母系数，求得 题是一个二次齐次式， 对应方程的两根 再代入公式中； 对应方程的两根，再代入公式中；第（3）题先将原式变形为(x2-x)2-2(x2-x)-3,再把(x2-x)看作是一个 题先将原式变形为(x2-x)2-2(x2-x)-3,再把(x2-x)看作是一个 (x2 再把(x2 整体， x2-x=y， y2-2y- 转化成了第（ 题的类型。 整体，即设 x2-x=y，于是原方程变为 y2-2y-3 转化成了第（1）题的类型。 解： （1）∵Δ=（-8）2－4×4×1＝64－16＝48&0 Δ=（ 4×4×1＝64－16＝ ∴4x2-8x+1 在实数范围内可以进行因式分解。 4x2在实数范围内可以进行因式分解。（3）(x2-x)2-2x(x-1)-3=(x2-x)2-2(x2-x)-3 (x2- x)2- 2x(x- 1)- 3=(x2- x)2-2(x2-x)x2-x=y， y2-2y设 x2-x=y，则原式变为 y2-2y-3， ∵y2-2y-3=(y-3)(y+1), y2-2y-3=(y∴原式=(x2-x-3)(x2-x+1) 原式=(x2- 3)(x2=(x2即(x2-x)2-2x(x-1)-3 (x2-x)2-2x(x-1)- 3x2+4x+m,当 为何值时， 例 2、已知二次三项式 3x2+4x+m,当 m 为何值时， 能在实数范围内因式分解。 （1）3x2+4x+m 能在实数范围内因式分解。 不能在实数范围内因式分解。 （2）3x2+4x+m 不能在实数范围内因式分解。 是完全平方式。 （3）3x2+4x+m 是完全平方式。 ： ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内是否能分解的关键在于方程 思路分析 二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内是否能分解的关键在于方程 ax2+bx+c(a≠0) 是否在实数范围内有解， 来决定的。 时方程有两个相等实根， 是否在实数范围内有解，而方程是否有解是由判别式 Δ 来决定的。当 Δ=0 时方程有两个相等实根，此时 二次三项是一个完全平方式。 二次三项是一个完全平方式。 能在实数范围内因式分解。 解：Δ=b2-4ac=16-12m3x2+4x+m 能在实数范围内因式分解。 Δ=b2-4ac=16-(1)当 16-12m≥0.即 (1)当 16-12m≥0.即 m≤能在实数范围内因式分解。 3x2+4x+m 能在实数范围内因式分解。(2)当 16-12m&0.即 (2)当 16-12m&0.即 m&不能在实数范围内因式分解。 3x2+4x+m 不能在实数范围内因式分解。(3)当 16-12m=0. (3)当 16-3x2+4x+m 是完全平方式。 是完全平方式。年的各项经营收入中， 万元， 例 3、上海市某电脑公司 2000 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万元，占全年 40%， 万元， 每年经 经营收入的 40%，该公司预计 2002 年经营总收入要达到 2160 万元，且计划从 2000 年到 2000 年，每年经 营总收入的年增长率相同。 年预计经营总收入为多少万元？ 营总收入的年增长率相同。问 2001 年预计经营总收入为多少万元？ 思路分析：这是一道平均增长率问题， Q=a(1+x)n,这里 Q=2160，n=2， 思路分析：这是一道平均增长率问题，其基本关系式是 Q=a(1+x)n,这里 Q=2160，n=2，而易求 a 年全年总收入） 万元。 （即 2000 年全年总收入）为 600÷40%=1500 万元。故需设年增均增长率为 x 求出 x 后，2001 年经营总收 1+x），也可求。 ），也可求 入可表示为 a（1+x），也可求。 年的经营总收入为：600÷40%=1500（万元） 解：2000 年的经营总收入为：600÷40%=1500（万元） x,根据题意得 根据题意得： 设年平均增长率为 x,根据题意得： 1500（1+x）2=2160， 1500（1+x）2=2160， （1+x）2=1.44, 1+x）2=1.44, 1+x=±1.2, ∵1+x&1, ∴1+x=1.2, ∴1500(1+x)==1800(万元) 1500(1+x)==1800(万元) 万元 万元。 答：2001 年预计经营总收入为 1800 万元。 第二阶段 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式 在实数范围内不能分解因式， 例 4、已知关于 x 的二次三项式 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式，试判定关于 x 的方程(m-5)x2的根的情况。 的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 的根的情况。 (m 思路分析：要判定方程(m-5)x2是否有实数根， 思路分析：要判定方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0 是否有实数根，首先要讨论它是一元一次方程还是 (m 一元二次方程。当它是一元二次方程时，根的存在性由“Δ”的符号来决定。 一元二次方程。当它是一元二次方程时，根的存在性由“Δ”的符号来决定。而由已知关于 x 的二次三项 “Δ”的符号来决定 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式 在实数范围内不能分解因式， 的取值范围， 式 mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式，可得其判别式小于 0，可求得 m 的取值范围，最后根 的取值范围确定方程根的情况。 据 m 的取值范围确定方程根的情况。 解：∵mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式， mx2-2(m+2)x+(m+5)在实数范围内不能分解因式， 在实数范围内不能分解因式 =4m2+16m+16-4m2=∴Δ1=[-2(m+2)]2-4?m(m+5) =4m2+16m+16-4m2-20m =-4m+16&0. Δ1=[-2(m+2)]2∴m&4. 原方程为一元一次方程-14x+5=0，有唯一实数解， 当 m=5 时，原方程为一元一次方程-14x+5=0，有唯一实数解，原方程为一元二次方程， 当 m≠5 时，原方程为一元二次方程， =4（m+2） m2-5m） =4（9m+4）， ∵Δ2=[-2(m+2)]2-4m(m-5) =4（m+2）2-4（m2-5m） =4（9m+4）， Δ2=[-2(m+2)]2-4m(m又∵m&4， m&4， ∴9m+4&0， 9m+4&0， Δ2&0。 即 Δ2&0。 方程有两个不相等的实数根。 ∴当 m≠5 时，方程有两个不相等的实数根。 万元， 万元， 例 5、某厂 1 月份生产总值为 50 万元，3 月份增加到 60.5 万元，求生产总值平均每月增长百分 之几？ 之几？ 思路分析： 50（1+x）， ），3 思路分析：如果设每月平均增长率为 x，则 2 月份生产总产值为 50（1+x），3 月份生产总产值 50（1+x）（1+x）=50（1+x） ）（1+x 为 50（1+x）（1+x）=50（1+x）2。 解：设每月平均增长率为 x 50（1+x） 依题意 50（1+x）2=60.5 （1+x）2=1.21 1+x） 1+x=±1.1 x1=0.1=10% x2=x2=-2.1 不合题意舍去10%。 答：平均每月增长 10%。 元人民币按一年定其存入银行， 元用作购物， 例 6、某人将 2000 元人民币按一年定其存入银行，到期后支取 1000 元用作购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若银行存款的利息不变， 元及应得利息又全部按一年定期存入银行。若银行存款的利息不变，到期后得到本金和利息共 1320 元， 求这种存款方式的年利率。 求这种存款方式的年利率。 思路分析：本题属于储蓄问题， 元是等量关系，这里有两次存款。 思路分析：本题属于储蓄问题，到期后得本金和利息共 1320 元是等量关系，这里有两次存款。 首先， 接着， 元后，再存入银行。 首先，第一次存入 2000 元；接着，把第一次存入到期后的本息和支取 1000 元后，再存入银行。最后支取 本息和的计算公式为： 本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金× 1+利 得本息和为 1320 元，本息和的计算公式为： 本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数=本金×（1+利 率×期数） 期数） 根据题意， 解：设这种存款方式的年利率为 x，根据题意，得 [2000（1+x） [2000（1+x）-1000]?(1+x)=1320 整理，得 2x2+3x=0.32=0, 整理， 解这个方程， x1=0.1=10%,x2=-1.6&0(舍去 舍去) 解这个方程，得 x1=0.1=10%,x2=-1.6&0(舍去)。 10%。 答：这种存款方式的年利率为 10%。 第三阶段 x2-4mx+4x+3m2取何有理数， 例 7、找一个合适的 k 值，使关于 x 的方程 x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0 中无论 m 取何有理数，其根 均为有理数。 均为有理数。 思路分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数， 思路分析：根据一元二次方程的求根公式，若使方程的根为有理数，则原方程的判别式 Δ 须是 公式 的完全平方式， 关于 m 的完全平方式，也就是 又由二次三项式的因式分解公式， 又由二次三项式的因式分解公式，要使 Δ 是完全平方式， =0， 的值。 全平方式，需使 Δ 中的判别式 Δ@=0，这样就可求得 k 的值。 解：原方程化为一般形式，得 原方程化为一般形式， x2-4(m-1)x+(3m2-2m+4k)=0, x2-4(m- 1)x+(3m2若方程的根为有理数， 的完全平方式， 若方程的根为有理数，则需使其 Δ 为关于 m 的完全平方式， Δ=[]2-4?1?(3m2=4m2-24m为完全平方式， 即 Δ=[-4（m-1）]2-4?1?(3m2-2m+4k) =4m2-24m-16k+16 为完全平方式， 4m2-24m而在 4m2-24m-16k+16 中， Δ@=（-24）2-4×4×（-16k+16） 24） 4×4×（ 16k+16） 的完全平方式， =0。 ∵其为关于 m 的完全平方式，∴Δ@=0。 即（-24）2-16（-16k+16）=0， 24） 16（ 16k+16）=0，万个， 万个，若每月的增长率相同， 例 8、某厂 1 月份生产零件 2 万个，一季度共生产零件 7.98 万个，若每月的增长率相同，求每 月的平均增长率。 月的平均增长率。 思路分析： 1+x）， ），3 1+x） 思路分析：若设每月平均增长率为 x，则 2 月份产量为 2（1+x），3 月份产量为 2（1+x）2，而 2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98。 2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98。 解：设每月的平均增长率为 x， 依题意：2+2（1+x）+2（1+x） 依题意：2+2（1+x）+2（1+x）2=7.98 经整理：100x+300x经整理：100x+300x-99=0 x1=0.3=30% x2=x2=-3.3 不合题意舍去答：平均每月增长 30% 四、练习题 A组 1、在实数范围内分解因式：（1）x2-7x+4=_________; 在实数范围内分解因式：（1 x2：（ （2）x2-11x+26=_______. x2-2kx2在实数范围内可分解因式， 2、若二次三项式 2kx2-4x+1 在实数范围内可分解因式，则 k________3、x2是一个完全平方式， 等于___________ 4、 若 x2-2(k+1)x+k2+5 是一个完全平方式，则 k 等于___________ 2x2+(1分解因式后，有一个因式为(x 1)， (x5、已知二次三项式 2x2+(1-3m)x+m+3 分解因式后，有一个因式为(x-1)，则这个二次三项式分 解因式的结果是___________ 解因式的结果是___________ x2+ax- 可分解为(x 2)(x+b),是 (x6、已知 x2+ax-1 可分解为(x-2)(x+b),是 a+b=_________ _______； 7、(a2+a)2-1 在有理数范围内分解因式为_______；在实数范围内分解因式为__________. (a2+a)2- 在有理数范围内分解因式为_______ 在实数范围内分解因式为__________. 8、下列二次三项式中，在实数范围内不能分解因式的是（ 下列二次三项式中，在实数范围内不能分解因式的是（ ）B、x2+20+x+69 C、-8x2-18xy-4y2 8x2- 18xyD、(a+b)2+7(a+b)-30 (a+b)2+7(a+b)-9、某二次三项式分解因式的结果是 ( )，则此二次三项式为9x2- 2x9x2+12x9x2A、-9x2+12x+1 B、-9x2-12x-1 C、-9x2+12x-9 D、-9x2-12x+9 、 x1=3.x2=-4.则二次三项式 x210 已知关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根为 x1=3.x2=-4.则二次三项式 x2-px+q 可分解为 （ (x(x-3)(xA、(x+3)(x-4) B、(x-3)(x+4) C、(x+3)(x+4) D、(x-3)(x-4) (x+3)(x11、 bdx2分解的结果是（ 11、二次三项式因式 bdx2-(ad+bc)x+ac 分解的结果是（ A、(bx-a)(dx-c) (bx-a)(dxB、(bx+a)(dx+c) C、(bx-c)(dx-a) (bx-c)(dx） ）D、(bx+c)(dx+a)12、 x2+2x-(m+9)不能在实数范围内分解因式 不能在实数范围内分解因式， 12、已知关于 x 的二次三项式 x2+2x-(m+9)不能在实数范围内分解因式，则关于 y 的二次三项式 y2+myy2+my-2m+5 A、一定能在实数范围内分解因式 B、一定不能在实数范围内分解因式C、不一定能在实数范围内分解因式。 D、以上答案都不对 不一定能在实数范围内分解因式。 13、在实数范围内分解下列因式： 13、在实数范围内分解下列因式： 2x(1)x2 -2x-1; (2)(2)-5x2+2x+11; (3)2x2+6xy+y2： (3)2x2+6xy+y2：(5)4x2(5)4x2-8xy+y2; (7)(x2-5x)2+9(x2(7)(x2-5x)2+9(x2-5x)+18;(6)3x3-2x2y(6)3x3-2x2y-2xy2;(8)(k2+2)x2-(3k+2)x+k(3(8)(k2+2)x2-(3k+2)x+k(3-k).14、 为何值时， x2-16+m(x+4)是关于 的完全平方式 平方式。 14、m 为何值时，二次三项式 x2-16+m(x+4)是关于 x 的完全平方式。 15、 5x2-3x10x2-6x的根相同吗？为什么？ 2x2-3x4x2-6x15、方程 5x2-3x-1=0 与 10x2-6x-2=0 的根相同吗？为什么？二次三项式 2x2-3x-4 与 4x2-6x-8 分解因式的结果相同吗？把这两个二次三项式分别分解因式，并验证你的结论。 分解因式的结果相同吗？把这两个二次三项式分别分解因式，并验证你的结论。 A 组答案2、K≤2 且 k≠04 、2 5、2(x-1)(x-3) 6、-1 2(x-1)(x-7、 8 、A 9 、A 10、A 10、 13、 13、 11、A 11、 12、A 12、 y)(8)(x-1)[(k2+2)x(8)(x-1)[(k2+2)x-3k+k2] 14、 14、m=8 B组 16、 3x2-ax+a只有一个正根， x2-axy+(a16、已知关于 x 的方程 3x2-ax+a-3=0 只有一个正根，那么二次三项式 x2-axy+(a-1)y2 可能分 解为（ 解为（ ） 15、 15、略(X-Y)(X(x-y)(x(x+y)(xA、(x-y)(x-3y) B、(X-Y)(X-2y) C、(x-y)(x-5y) D、(x+y)(x-5y) (x-y)(x17、 、 的三边， 17 已知 a b c 为 ABC 的三边 且关于 x 的二次三项式 4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+a2c2) 、、 ， 为一完全平方式， 的形状。 为一完全平方式，试判定 △ABC 的形状。 B 组答案 16、 16、C． 17.该二次三项式为完全平方式， 17.该二次三项式为完全平方式，则△=0.即 16（a2+b2+c2）2-48(a2b2+b2c2+a2c2)=0，化简得 该二次三项式为完全平方式 =0.即 16（a2+b2+c2） 48(a2b2+b2c2+a2c2)=0， a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0,2a4+2b4+2c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2=0,配方得 a4+b4+c4-a2b2-a2c2-b2c2=0,2a4+2b4+2c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2=0,配方得 (a2-b2)2+(b2-c2)2+(a2-c2)2=0,a=b=c,故 为等边三角形。 (a2-b2)2+(b2-c2)2+(a2-c2)2=0,a=b=c,故△ABC 为等边三角形。 C组 把这个数的个位数字与十位数字对调后， 1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得 一个两位数， 736，求原来的两位数。 的新的两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数。 （1 有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数。 2、 1）有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数。 （ 251，求这三个数。 （2）有三个连续奇数，已知它们的平方和等于 251，求这三个数。 有三个连续奇数，3、已知一个直角三角形的面积为求这个直角三角形的斜边的长。 求这个直角三角形的斜边的长。二月份因春节放假， 10%。三月份、 4、某校办工厂今年元月份生产课桌椅 1000 套，二月份因春节放假，减产 10%。三月份、四月份 某校办工厂今年元月份生产课桌椅 产量逐月上升， 求三、四份产量的平均增长率。 产量逐月上升，四月份产量达到 1296 套，求三、四份产量的平均增长率。 年底。 5、某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望，到 1998 年底。全县 某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望， 30%，此后，政府计划在近几年内， m%栽上树进 沙漠的绿化率已达 30%，此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初未被绿化的沙漠面积的 m%栽上树进 行绿化， 年底， 43.3%， 的值。 行绿化，到 2000 年底，全县沙漠的绿化率已达 43.3%，求 m 的值。 张床位， 空床可全部租出， 6、某旅行社有 100 张床位，每床每晚收费 10 时，空床可全部租出，若每床每晚提高 2 元，则 张床位租出； 张床位租出； 减少 10 张床位租出；若每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出；以每次提高 2 元的这种方法变化 下去， 元的利润，每床每晚应提高多少元？ 下去，为了获得 1120 元的利润，每床每晚应提高多少元？ 厘米， 厘米的铁片中间截去一个小长方形， 7、从一块长 80 厘米，宽 60 厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周的宽度一 样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度。 并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度。 面积的一半 按一年定期存入银行， 8、红星中学某班前年暑假将勤工俭学挣得的班费 2000 元，按一年定期存入银行，去年暑假到 元寄往灾区， 元和利息继续按一年定期存入银行， 期后取出 1000 元寄往灾区，将剩下的 1000 元和利息继续按一年定期存入银行，待今年毕业后全部捐给母 问银行一年定期存款的年利率（假定利率不变）是多少？ 校，若今年到期后本息和为 1155 元，问银行一年定期存款的年利率（假定利率不变）是多少？ 厘米， 厘米，在四角都截去相同的小正方形， 9、有一块长方形铝皮，长 24 厘米，宽 18 厘米，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一 有一块长方形铝皮， 个没盖的盒子，使底面面积是原来面积的一半，求盒子的高。 个没盖的盒子，使底面面积是原来面积的一半，求盒子的高。 10、制造某种产品， 由于连续两次降低成本， 10、制造某种产品，原来每件成本是 700 元，由于连续两次降低成本，现在的成本是 343 元， 如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之几？ 如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之几？ 11、某商场销售一批名牌衬衫， 为了扩大销售， 11、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加 盈利，尽快减少库存，商场决定采用取适当的降价措施。经调查发现， 盈利，尽快减少库存，商场决定采用取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降低 1 元，商场平均 每件衬衫应降价多少元？ 每天可多售出 2 件，若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 12、一个容器盛满烧碱溶液， 用水加满， 再用水加满， 12、一个容器盛满烧碱溶液，第一次倒出 10 升，用水加满，第二次又倒出 10 升，再用水加满，这时容器内的溶液浓度是原 13、 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价， 13、某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为 则可卖出（350-10a） 20%， a 元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，商店计划要赚 400 元， 需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？ 需要卖出多少件商品？每件商品售价多少元？ 14、一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡 14、一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送贺年卡 132 张，求这个小组的人 数。 C 组答案 1、32 或 23 、－1 ；（2）－11、－9、－7 11、－ 2、（1）3、4、5、6 或－2、－1、0、1；（2）－11、－9、－7 或 7、9、11 、（13、 舍去) 4、20%,设平均增长率为 x.则 900(1+x)2=1296,解得 x1=0.2=20%,x2=-2.2&0(舍去) 20%,设平均增长率为 x.则 900(1+x)2=1296,解 x1=0.2=20%,x2=-2.2&0(舍去 不合题意， 5、10，依题意得（1－30％）（1－m%）2=1-43.3%,解得 m1=10,m2=190(不合题意，舍去) 10，依题意得（ 30％）（1 m%）2=1-43.3%,解得 m1=10,m2=190(不合题意 舍去) ％）（ 则依题意得：(10+2x)(100-2x)=1120,解得 6、设每晚应提高 x 个 2 元，则依题意得：(10+2x)(100-2x)=1120,解得 x１＝2，x２＝3 故 2x ＝4 或 6，所以每晚应提高 4 元或 6 元。 8、9、解得 x1=3,x2=18（舍去） x1=3,x2=18（舍去） 10、30%,设降低率为 700(1-x)2=343， 10、30%,设降低率为 x，则依题意得 700(1-x)2=343，解得 x1=0.3,=30%,x2=1.7&1 不合题意舍 去 11、 (40-x)(20+2x)=1200， 20， 10， 11、20 或 10 元，设每件衬衫应降低 x 元，则(40-x)(20+2x)=1200，解得 x１＝20，x２＝10， 更好。 降低 20 更好。 12、 12、13、依题意得(a-2)(350-10a)=400,解得 a1=25,a2=31,但当 20%， 13、依题意得(a-2)(350-10a)=400,解得 a1=25,a2=31,但当 a=31 时，加价超过进价的 20%，舍 (a 去 14、 x(x-1)=132,x1==12.x2=14、2 人，设有 x 人，则 x(x-1)=132,x1==12.x2=-11&0 舍去 D组 255，则这两个数的和是（ 1、两个连续奇数的积是 255，则这两个数的和是（ A．31 B、32 C、±31 D、±32 ）若二、 2、某饲料厂今年一月份生产饲料 500 吨，三月份生产饲料 720 吨，若二、三两个月平均每月增 则有( 长的百分率为 x，则有( A、500(1+2x)=720 C、500(1+x)2=720 ) B、500(1+x2)=720 D、720(1+x)2=500厘米宽的一条长方形， 平方厘米， 3、从正方形的铁片上，截去 2 厘米宽的一条长方形，余下的面积是 48 平方厘米，则原来的正 从正方形的铁片上， 方形铁片的面积是__________。 方形铁片的面积是__________。 __________ 4、某农场计划修一条横断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 0.65 米 2，上口宽比渠底宽多 1.4 某农场计划修一条横断面为等腰梯形的渠道， 横断面为等腰梯形的渠道 则渠底宽是_________ _________米 米，渠深比渠底宽少 0.1 米，则渠底宽是_________米。 36%，平均每年降低的百分数是________ ________。 5、某产品计划在两年内使它的成本降低 36%，平均每年降低的百分数是________。 的长方形养鸡场，为了节约材料， 6、如图，要建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条 如图， 另三边用篱笆围成， ，（1 求鸡场的长与宽各是多少？（ ？（2 墙，墙长为 a 米，另三边用篱笆围成，如果篱笆的长为 35 米，（1）求鸡场的长与宽各是多少？（2）题 对题目的解起着怎样的作用？ 中墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？升的大桶内盛满了某种纯农药溶液，另有两只容积相同的小桶， 7、容积为 27 升的大桶内盛满了某种纯农药溶液，另有两只容积相同的小桶，把大桶中的溶液 倒满一只小桶后，注水加满大桶，再又把大桶中的溶液倒满另一只小桶，又加水注满大桶， 倒满一只小桶后，注水加满大桶，再又把大桶中的溶液倒满另一只小桶，又加水注满大桶，此时大桶内家 求小桶容积。 药与水之比为 4：5，求小桶容积。 8、某种新品种苹果中纯果实与水份之比为 9：1，但苹果放在果盘中其水份将按一定比例挥发 但苹果放在果盘中其水份将按一定比例挥发9.75 公斤，求该种水果平均每天的水份挥发率。 两天之后称得还有 9.75 公斤，求该种水果平均每天的水份挥发率。 D 组答案 1 、D 2 、C 3、64 方厘米 4、0.6 5、20％ 20％；（2 的长度可用来检查篱笆的长是否符合实际。 6、（1）10 或 7.5 米；（2）a 的长度可用来检查篱笆的长是否符合实际。 、（18、25%一元二次方程根与系数关系 一、教学目标 一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数， 一元二次方程两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等 于常数项除以二次项系数所得商。 x1、 (a≠0)的两个根 的两个根， 于常数项除以二次项系数所得商。即 x1、x2 是方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根，则有x1+x2=x1?x2=。二、教学要求 1.能利用根与系数关系求方程两根之和、两根之积； 1.能利用根与系数关系求方程两根之和、两根之积； 能利用根与系数关系求方程两根之和 2. 能 利 用 根 与 系 数 关 系 求 有 关 根 的 代 数 表 达 式 ， 即 能 求 及相关变形式。 及相关变形式。 3. 掌 握 利 用 方 程 的 根 做 为 方 程 系 数 的 一 元 二 次 方 程 的 表 达 形 式 ， 即 x2-(x1+x2)x+x1?x2=0， （其中 x1、 是所求得方程的两个根。 x2-(x1+x2)x+x1?x2=0， 其中 x1、x2 是所求得方程的两个根。 （ 4.能利用判别式和根与系数关系求方程中待定系数的值 能利用判别式和根与系数关系求方程中待定系数的值。 4.能利用判别式和根与系数关系求方程中待定系数的值。 三、知识要点x1+x2=对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 总有 x1+x2=是方程的两根。 是方程的两根。，x1?x2=x1、 ，其中 x1、x2它的逆定理也是成立的， x2， x1+x2=它的逆定理也是成立的，即如果两个数 x1 和 x2，满足 x1+x2=-，x1?x2=，那么(a≠0)的两个根 这是根与系数的关系定理，又称韦达定理. 的两个根. x1, x2 是方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理. 例题分析： 四、例题分析： 第一阶梯 例 1、已知 x1 和 x2 是方程 x2-5x的两个根， 3x1+3x2、 x2-5x-2=0 的两个根，求 3x1+3x2、3x1?3x2参考答案： 参考答案： (1)根与系数关系； (1)根与系数关系； 根与系数关系 是相乘关系。 (2) 3x1+3x2 提公因数 3，计算 3x1?3x2 系数 3 与 3 是相乘关系。分清提公因数与单 项式乘法中系数乘以系数两者区别. 项式乘法中系数乘以系数两者区别. 答案： 答案： 。3x2-4xx2，不解此方程，求下列有关根的代数式 例 2、已知方程 3x2-4x-2=0 的两根为 x1 和 x2，不解此方程，求下列有关根的代数式提示 ：由根与系数关系可得 x1+x2=，x1?x2=。所求如何变形就可以与 x1+x2=，x1x2=联系应用？结论是：通分变形。 联系应用？结论是：通分变形。所求 变形为： 变形为：又应如何变形？这时想到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，则应将 这时想到完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2， (a+b)2=a2+2ab+b2所求（ 所求（2）也可以由条件 x1+x2= 式。入手解决，采取等式两边平方， 入手解决，采取等式两边平方，构造出、的形 即：∵x1+x2=，∴(x1+x2)2=()2(再将 x1?x2=代入) 代入)所求（ (x1可仿照所求（ 的方法解决。 所求（3）(x1-x2)2 可仿照所求（2）的方法解决。答案： 答案：(1) -2， (2)k=3， (3) k=3，最小值 0。x2例 3 、 已知关于 x 的方程 x2-2kx+k+6=0 的两实数根为 α 和 β ， 请问对于式子 (α-3)2+(β是否存在最小值。若存在， 为何值时，(α-3)2+(β(α-3)2+(β-3)2 是否存在最小值。若存在，请求出当 k 为何值时，(α-3)2+(β-3)2 的最 小值是多少；若不存在，请说明理由。 小值是多少；若不存在，请说明理由。 提示：(1)由(α(β-3)2≥0， 存在最小值为零， 提示：(1)由(α-3)2≥0 且(β-3)2≥0，所以只有在 α=β=3 时，存在最小值为零，此 两者缺一不可。由判别式△=4k2-4k-24， 情况应考虑判别式是否能为零且是否为 3 ， 两者缺一不可 。 由判别式 △ =4k2-4k-24 ， 令 4k2-4k- 4=0， k1=- k2=3。 k1=- 代入方程， x1=x2=-2≠3， k1=4k2-4k-24=0，可得 k1=-2，k2=3。把 k1=-2 代入方程，得 x1=x2=-2≠3，所以 k1=-2 时 (α-3)2+(β≠0，k=- (舍 (α-3)2+(β-3)2 ≠0，k=-2 (舍)。 x1=x2=3， 式子(α 3)2+(β(α最小值为零。 把 k2=3 代入方程得 x1=x2=3，所以当 k=3 时，式子(α-3)2+(β-3)2 最小值为零。 (2)若 (α-3)2+(β是否存在最小值？ 联系， (2)若 α≠β 时，(α-3)2+(β-3)2 是否存在最小值？为与待定字母 k 联系，则需利用 根与系数关系。 k+6，并将式子变形： 根与系数关系。即由 α+β=2k , α?β= k+6，并将式子变形：(α-3)2+(β=(α+β)2-2αβ=4k2=4(k(α-3)2+(β-3)2 =(α+β)2-2αβ-6(α+β)+18 =4k2-14k+6 =4(k-)2)2-4(k由 4(k-)2≥0， )2≥0，当 k=时，最小值为最小值为-。所以当 k=(α-3)2+(β时， (α-3)2+(β-3)2 存在最小值在最小值-提问：(α-3)2+(β-3)2≥0，为何求出最小值提问：(α-3)2+(β-3)2≥0，为何求出最小值-，矛盾原因在哪？ 矛盾原因在哪？为实数根， 题目中 α 和 β 为实数根 ， 而当 k=时 ， 代入原方程为此时＜0，方程无实根。所以 k= 方程无实根。时，式子所求的最小值不是实数范围，故 k= 式子所求的最小值不是实数范围，应舍 去。 第二阶梯 为何值时， mx2-2(m+1)x+m两实数根都是正数？ 例 1.m 为何值时，关于 x 的方程 mx2-2(m+1)x+m-1=0 的两实数根都是正数？ 提示:(1)为使方程为二次方程首先考虑什么？ :(1)为使方程为二次方程首先考虑什么 m≠0。 提示:(1)为使方程为二次方程首先考虑什么？答：二次项系数 m≠0。 (2)为使方程有实数根 判别式△≥0， 为使方程有实数根， 的取值范围。 (2)为使方程有实数根，判别式△≥0，确定 m 的取值范围。 (3)设方程两根为 x2，为使方程两根均为正数，结合根与系数关系，则应： (3)设方程两根为 x1 和 x2，为使方程两根均为正数，结合根与系数关系，则应：＞0 且＞0(4)解不等式 解不等式， 应注意什么？ (4)解不等式，不等式两边同乘以 m，应注意什么？ 参考答案: 参考答案: m≠0， ①m≠0，得 m＞0 或 m＜0。②由△≥0 得时方程有实数根。 时方程有实数根。③由 解得： 当 m＞0，解得：m＞1。 当 m＜0 时，解得 m＜-1 方程两根都是正数； ④由②和③得 m＞1 时，方程两根都是正数； 方程没有实数根， m＜-1 时，方程没有实数根，m＜-1（舍） 2.求证 求证： 的方程(x m)?(x(x有两个不等实数根， 例 2.求证：关于 x 的方程(x-m)?(x-m-k)=1 有两个不等实数根，且一个根大于 m，另 一个根小于 m。 提示: 提示: (1)为证明方程有两个不等实数根 首先求出判别式△的表达式，通过配方才能论述。 为证明方程有两个不等实数根， (1)为证明方程有两个不等实数根，首先求出判别式△的表达式，通过配方才能论述。 (2)由于方程中含有两个待定字母 求方程根就比较麻烦， (2)由于方程中含有两个待定字母 m 和 k，求方程根就比较麻烦，故可考虑每个根与 m 的差应该为异号，这样只要证出(x1 m)?(x2-m)＜ (x1的差应该为异号，这样只要证出(x1-m)?(x2-m)＜0。 (3)上式整理变形后应用根与系数关系 上式整理变形后应用根与系数关系。 (3)上式整理变形后应用根与系数关系。 参考答案 整理方程得△=m2+4＞ 所以方程有两个不等实根。由根与系数关系得： 答案: 参考答案:整理方程得△=m2+4＞0，所以方程有两个不等实根。由根与系数关系得： x1+x2=2m+k x1?x2=m2+mkx1?x2=m2+mk-1 (x1-m)(x2x1x2(x1-m)(x2-m) = x1x2-m(x1+x2)+m2 m2+mk= m2+mk-1-m(2m+k)+m2 =-1＜ 0 (x1-m)与(x2-m)异号 异号， x1x2(x1-m)与(x2-m)异号，不妨设 x1-m＞0，x2-m＜0 方程一个根大于 m，另一个根小于 m。 3.已知 已知， C=90， 分别为∠ 的对边， 例 3.已知，在△ABC 中，∠C=90，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，如果 a 与 b x2+2(k的两个不相等的实数根， 的平方比△ 分别是关于 x 的方程 x2+2(k-2)x+k2+4=0 的两个不相等的实数根，且斜边 c 的平方比△ABC 21。 的周长。 的面积的二倍还大 21。求：△ABC 的周长。 提示:(1) 的取值范围。 提示:(1) △＞0，确定 m 的取值范围。 (2)隐含条件： c2=a2+b2， (2)隐含条件：勾股定理 c2=a2+b2，面积 隐含条件 (3)根与系数关系。 (3)根与系数关系。 根与系数关系 参考答案: 参考答案:。c2=a2+b2， 由 △＞ 0 得 k ＜ 0；由勾股定理得 c2=a2+b2 ， S △ ABC=由根与系数关系得： ； 由根与系数关系得：a+b=-2(ka+b=-2(k-2)a?b=k2+4 ； 依 题 意 ：a2+b2-ab， 即 a2+b2-ab-21=0 变 形 为(a+b)2-3ab-21=0， k1=17(舍 k2=b=5， (a+b)2-3ab-21=0，即[-2(k-2)]2-3(k2+4)-21=0 得 k1=17(舍)，k2=-1。求得 a=1 , b=5， 2(k-2)]2-3(k2+4)c= ，△ABC 周长为 6+ 。第三阶梯 1.关于 k2x2+(k例 1.关于 x 的二次方程 k2x2+(k-3)x+1=0 为何值时，方程有两个不相等实数根？ (1) k 为何值时，方程有两个不相等实数根？ (2)如果方程的两个实数根 (2)如果方程的两个实数根 x1 与 x2 的倒数和为 m，试求 m 的取值范围 答案： 答案： (1)由二次项系数 =k2+2k－ 问题在于二次不等式如何解？ (1)由二次项系数 k2≠0 且△=k2+2k－3，问题在于二次不等式如何解？方法是运用因 式分解，转化为解不等式组。即分解为(k+3)?(k 1)＜ 转化为： (k+3)?(k式分解，转化为解不等式组。即分解为(k+3)?(k-1)＜0，转化为：的取值范围： k≠0。 解不等式组得 k 的取值范围：-3＜k＜1 且 k≠0。(2)依题意 (2)依题意推导出之间联系， 的取值范围确定出－ ，也就是确定出 k 与 m 之间联系，就可以利用 k 的取值范围确定出－m≠0， m≠3。 3＜3－m＜1 且 3－m≠0，所以 m 取值范围是 2＜m＜6 且 m≠3。 参考答案: 参考答案: 的解答中涉及一元二次不等式，判别因式分解转化为一元一次不等式组求解。 例 1 的解答中涉及一元二次不等式，判别因式分解转化为一元一次不等式组求解。在 的取值范围以后， 的取值范围， 之间关系式。 求 k 的取值范围以后，要求 m 的取值范围，关键是确定 k 与 m 之间关系式。 的方程（ 例 2、.关于 x 的方程（1） 两个相等的实数根， 的方程（ 两个相等的实数根，关于 x 的方程（2）的一个实数根是另一个实根的 3 倍 ， 求证 ： 关于 x 的方程 （ 3 ） 一定有实根。 对于任何实数 k 一定有实根。 提示:为证明方程（ 一定有实根，根据： 提示:为证明方程（3）一定有实根，根据： 的值。由方程（ m≠0， m 和 n 的值。由方程（1）得：m≠0， 设方程（ 3x1，则有： 设方程（2）两根为 x1 和 3x1，则有： ，应首先求出解之得： 解之得： m=2， 代入方程（ ， 把 m=2，n=4 代入方程（2） 代入 。 ＞0 方程（ 一定有实数根。 所以对任何实数 k 方程（3）一定有实数根。 参考答案: 参考答案: 例 2 的解答中是利用判别式 的方程。对于方程（ ，找到一个关于 m、n 的方程。对于方程（2）利用 的值符合题意， ＞0，说明 m、n 的值符合题意，这时才可以的方程， 的值。 根与系数关系又找到一个关于 m、n 的方程，通过解方程组求出 m、n 的值。 已知： 例 3、已知：关于 x 的方程 ，其中 b 和 c 分别是等腰三角形的腰和底边的长， 12， 15， 底边的长，若方程两实根 x1 和 x2 差的绝对值为 12，且等腰三角形的面积为 15，求等腰三 角形三条边的长。 角形三条边的长。 提示:（1）由 ，运用等式两边平方变形为， 由根与系数 4b2关系的一个方程，为利用等腰三角形面积应画示意图： 入 4b2-c2=144 得到关于 b、c 关系的一个方程，为利用等腰三角形面积应画示意图： 检测题： 五、检测题： 第一题， 第一题，选择题 1．已知方程 的两个实数根均为正数， 的两个实数根均为正数，则（ ），代 A.B.C.D.个真子集, 个真子集, 2．已知集合 M 中含有 3 个真子集,集合 N 中含有 7 个真子集,则集合 M∪N 中含有的最 多元素为A.B.C. 3．已知方程D. 的两个实数根异号且正根绝对值较大， 的两个实数根异号且正根绝对值较大，则（ ）A.B. C. 4．已知方程D. 的两个实数根异号且负根的绝对值较大， 的两个实数根异号且负根的绝对值较大，则（ ）A.B.& C.D. 则这两个数为（ 5．已知两数和为－6，两数积为 2，则这两个数为（ ） 已知两数和为－ A. C. B. D.的一个根， 的值为（ 6．若－7 是方程 的一个根，则方程另一个根与 k 的值为（ ） A.4， B.－ ，－28 C.4，－ ，－28 D.－ A.4，28 B.－4，－28 C.4，－28 D.－4，28 第二题， 第二题，问答题 不解方程， 7、不解方程，求出方程两根之和与两根之积 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ，两根和 ，两根和 两根和 ，两根和 ，两根积 ，两根积 ，两根积 ，两根积 ，两根和 两根和 ； ； ，两根积 ，两根积 ； ； ； 8、已知方程 已知方程 9、 以 10、 10、以 和的两根为 1 和－3，那么 p= 为根的一元二次方程 的两根的平方作为根的一元二次方程为，q= 。。。11、 11、方程两根的倒数和为 ，则 m=。 。12、 2x212、方程 2x2-3x+m=0 有一个根为 0，则 m= 13、 13、若关于 x 的方程的两根都是正数， 的两根都是正数，它们的差是 4，且一个求方程两根、 的值。 根是另一个根的 5 倍，求方程两根、k 及 a 的值。 14、 14、以一元二次方程 ，求：a、b 的值。 的值。 15、 的方程① 15、若关于 x 的方程① 程② 的一个根， 的值。 的一个根，求：m、n 的值。 ，和方程 的根（ 的根（ 有且仅有一个 ） 的一个根为－ 的一个根为－9，另一个根是正数且方 之和与两根之积为根， 之和与两根之积为根，所作的一元二次方程为16、 的方程（ 16、已知关于 x 的方程（1） 非零公共根，求证： 非零公共根，求证：它们其余的两个根是方程 答案： 答案： ――6 1――6 A， B， C， D， D， C7、①6，－1；② ，－1 0； 8、2，－3； ，－3 9、 10、 10、，0；③ ，；④8，14；⑤ 14；；⑥，；11、 11、3； 12、 12、0 13、 x2， x1＞x2＞ 13、设方程两根为 x1 和 x2，且 x1＞x2＞0依题意有 由根与系数，解得 14、 14、第一个方程的两根之和为 15、解方程（ 15、解方程（2）得，两根之积为 也是方程的另一个根， ，依题意 x2=5 也是方程的另一个根，应用根与系数得：m=1，n=－30。 数得：m=1，n=－30。 16、设方程（ 、 （2 依题意有： 16、设方程（1）（2）非零公共根为 α，依题意有：，解之得：α=c 解之得： ∴非零公共根为 c。 设方程（ 、 （2 x2， 设方程（1）（2）的另一个根分别为 x1 和 x2，则有： 代入方程（ 把 α=c 代入方程（1）得： 得x1， 为根的一元二次方程为 ∴以 x1，x2 为根的一元二次方程为 ∴ 根。，六、经典例题分析 已知一元二次方程的一个根， 1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值 x2-6x+m2例 1、已知方程 x2-6x+m2-2m+5=0 一个根为 2，求另一个根及 m 的值 分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义， 代入原方程， 分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把 x=2 代入原方程，先求出 m 的值，再通过解方程求另一个根； 的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根 的值. 及 m 的值. 解法一： 代入原方程， 解法一：把 x=2 代入原方程，得 22-6×2+m222-6×2+m2-2m+5=0 m2-2m即 m2-2m-3=0 m2=解得 m1=3 m2=-1 m2=当 m1=3 m2=-1 时，原方程都化为 x2x2-6x+8=0 ∴x1=2 x2=4 ∴方程的另一个根为 4，m 的值为 3 或-1. 解法二： 解法二：设方程的另一个根为 x.则 ∴或2、判别一元二次方程两根的符号. 判别一元二次方程两根的符号. 不解方程， 2x2+3x例 1、不解方程，判别 2x2+3x-7=0 两根的符号 分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△ 分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只 能用于判定根存在与否，若判定根的正负， 的正负情况. 能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察 x1?x2 或 x1+ x2 的正负情况. ∵△=32 4×2×(=32解：∵△=32-4×2×(-7)=65&0 x2， ∴方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为 x1, x2，∵x1?x2==-&0∴原方程有两个异号的实数根。 原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要“根的判别式” 根与系数的关系”结合起来进行确定. 说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定. x1?x2 可判定根为一正一负， x1?x2&0， 的正负， 另外本题中 x1?x20，可判定根为一正一负，若 x1?x2&0，仍需考虑 x1+ x2 的正负，从 而判别是两个正根还是两个负根 是两个负根. 而判别是两个正根还是两个负根. 为什么实数时， mx2-2(m+1)x+m的两个根都是正数。 例 2、当 m 为什么实数时，关于 x 的二次方程 mx2-2(m+1)x+m-1=0 的两个根都是正数。 分析： 负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零， 分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于 根的判别式大于等于零。 零，根的判别式大于等于零。 x2， x2&0， 解：设方程的二根为 x1, x2，且 x1&0, x2&0，则有=[-2(m+1)]2-4m(m由 △=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0 m&0， ∵m≠0, ∴m&0 或 m&0， 上面不等式组化为： ∴上面不等式组化为：解得：m≥解得：m≥-⑴或⑵由⑴得 m&1 不等式组的解集为空集. ⑵不等式组的解集为空集.∴m&1 方程的两个根都是正数 两个根都是正数。 ∴当 m&1 时，方程的两个根都是正数。 说明：当二次项系数含有字母时， 的条件。 说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记 a≠0 的条件。 为何值时， 2(k+1)x2+4kx+3k例 3、k 为何值时，方程 2(k+1)x2+4kx+3k-2=0 （1）两根互为相反数 （2）两根互为倒数 有一根为零，另一根不为零。 （3）有一根为零，另一根不为零。 分析：两根“互为相反数” 互为倒数” 有一根为零，另一根不为零” 分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对 两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数， 两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即 x1+x2=0;互为倒数 互为倒数， x1=-x2,即 x1+x2=0;互为倒数，则 x1= x2， 解：设方程的两根为 x1, x2，x1?x2=1，但要注意考察判别式△ ，即 x1?x2=1，但要注意考察判别式△≥0.x1+x2=则 x1+x2=-=-x1x2= （1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零， 要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，x1+x2=即 x1+x2=-=0， k=0， =0，∴k=0，=(4k)2-4×2(k+1)(3k当 k=0 时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=16&0 方程两根互为相反数。 ∴当 k=0 时，方程两根互为相反数。（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是 1，即 x1x2= 要使方程两根互为倒数，必须两根的积是=1， =1，解得 k=4=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=当 k=4 时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-144&0 为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。 ∴k 为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。 （3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，即x1x2==0， =0，解得 k=又当 k=时，x1+x2=x1+x2=-≠0， ≠0，当 k=时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)= =(4k)2-4×2(k+1)(3k-&0， &0，∴k=时，原方程有一根是零，另一根不是零。 原方程有一根是零，另一根不是零。说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零， =b2不得小于零。 说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac 不得小于零。 根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值. 3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值. x2的取值范围。 例 1、关于 x 的一元二次方程 x2-3x+k+1=0 的两根的平方和小于 5，求 k 的取值范围。 x2， 解：设方程两根分别为 x1, x2， x1+x2=3, x1?x2=k+1 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)&5 ∴k&1 ① ∵△=( 3)2=(又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0∴k≤②由①②得：1&k≤ ①②得 说明： 是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想， 说明：例 1 是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字 母的取值范围. 母的取值范围. x2+2(m有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大 例 2、知：方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大 21， 的值。 21，求 m 的值。 分析：本题是利用转化的思想将等量关系“ 21”转化为 分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大 21”转化为 的方程, 的值. 关于 m 的方程,就可求得 m 的值. 方程有两个实数根， 解：∵方程有两个实数根， ∴△=[2(m 2)]2=[2(m∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0 解这个不等式， 解这个不等式，得 m≤0 x2， 设方程两根为 x1, x2， x1+x2=-2(m∴x1+x2=-2(m-2) x1?x2=m2+4 x12+x22∵x12+x22-x1x2=21 (x1+x2)2∴(x1+x2)2-3x1x2=21 2(m-2)]2∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21 整理得：m2- 6m整理得：m2-16m-17=0 解得： m2=解得：m1=17 m2=-1 m=又∵m≤0 ∴m=-1 说明： m2=m≤0， m=17。 说明：1、求出 m1=17, m2=-1 后，还要注意隐含条件 m≤0，舍去不合题意的 m=17。 一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛, 三、小结 ：一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛,在中学数学 中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视. 中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视. 测试 A组 x21．方程 x2-4x+m=0 的一个根是 （ A） （ C） 4+4 （ B） -4 ，那么另一根是（ 那么另一根是（ ）（D）以上答案都不对 ）那么（ 2．若方程 x2+px+q=0 的两根中只有一个根为 0，那么（ （A）p=q=0 （B）p=0, q≠0 （C）p≠0, q=0 （D）p≠0, q≠0 3．如果x2+mx的一个根， 的值为（ -1 是方程 x2+mx-1=0 的一个根，那么 m 的值为（ （D）2 ））（ A） -2 （B）-3 （ C） 1 为根的一元二次方程是（ 4．以 3 和-2 为根的一元二次方程是（ x2+x（A）x2+x-6=0 （B）x2+x+6=0 x2（C）x2-x-6=0 x2（D）x2-x+6=0 的一元二次方程是（ 5．两个实数根的和是 3 的一元二次方程是（ ） x2+3xx2（A）x2+3x-4=0 （B）x2-3x+4=0 x2-3x（C）x2-3x-4=0 （D）x2+3x+4=0 B组 不解方程， x2的两根之差。 6．不解方程，求方程 x2-7x+5=0 的两根之差。 （ A） （ B） ± （C）－ （D）以上都不对。 以上都不对。答案与解析 答案： 答案： 组答案： A 组答案：1、C 2、C 3、D 4、C 5、C 组答案： B 组答案：B 解析： 解析： 组详解： B 组详解： x1+x2=7， ∵x1+x2=7，x1?x2=5 |x1∴ |x1-x2|= , ∴x1-x2=± x1.注意： 注意：Δ≥0=中考解析 一元二次方程的根与系数的关系（参考） 一元二次方程的根与系数的关系（参考） 中考考点 理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 。 会运用根与系数的关系， 由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 2． 会运用根与系数的关系， 由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x2， x1+x2=1．若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1,x2，则 x1+x2=，x1?x2= 。 为根的一元二次方程是(x x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积， (x2．以 x1,x2 为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得 ax2+bx+c=0(a≠0)。 到方程 ax2+bx+c=0(a≠0)。 x1+x2=- x1?x2=q。 x1?x2=q。 3． 对二次项系数为 1 的方程 x2+px+q=0 的两根为 x1,x2 时， 那么 x1+x2=-p， 反之， 为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积， 反之，以 x1,x2 为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍 得到方程：x2+px+q=0。 得到方程：x2+px+q=0。 一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： 4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： 已知一元二次方程的一个根，求另一个根， （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个 根。 已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用 根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的 2x2x1,x2，不解方程， 的值。 值。如，方程 2x2-3x+1=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求 x12+x22 的值。[∵x1+x2= x12+x22=(x1+x2)2x1?x2= ，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=( 验根、求根、确定根的符号。 （4）验根、求根、确定根的符号。 )2)2-2× = ] ， 。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程） 已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程） 已知两数和与积，求这两个数。 （6）已知两数和与积，求这两个数。 解特殊的方程或方程组。 （7）解特殊的方程或方程组。 考题评析 北京市东城区) x2+3xx1，x2， 1．( 北京市东城区)如果一元二次方程 x2+3x-2=0 的两个根为 x1，x2，那么 x1+x2 与 x1?x2 的值分别为 （ ） （ A） 3， 2 （B）-3，-2 （C）3，-2 （ D） -3， 2 考点：一元二次方程的根与系数关系。 考点：一元二次方程的根与系数关系。 评析： ax2+bx+c=0(a≠0) x1,x2,满足 评析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根 x1,x2,满足 x1+x2= 直接计算， 直接计算，答案为 B。 杭州市) 2 ． ( 杭州市 ) 若 （ ） （ A） C 7 （ B） 1 （ C） （ D） 是方程 的两个根， 的两个根 ， 则 ，x1x2= 可的值为答案： 答案：A 考点： 考点：一元二次方程根与系数的关系 x1+x2， 的值， 评析思路： ， ，先求出 x1+x2，x1?x2 的值， 评析思路：由韦达定理知 然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开， x1+x2， 的值代入即可。 然后将代数式(x1+1)(x2+1)展开，最后将 x1+x2，x1?x2 的值代入即可。 数式(x1+1)(x2+1)展开 （ 辽宁省）下列方程中， 3． 辽宁省）下列方程中，两根分别为 （ A） （ C） （ B） （ D） 的是（ 的是（ ）答案： 答案：B 考点： 考点：一元二次方程 根与系数的关系 评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积， x1+x2=- x1?x2=q， 评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据 x1+x2=-p x1?x2=q，即可 确定正确答案为 B。 （ 辽宁省） 4． 辽宁省）已知 α，β 是方程 的两个实数根， 的两个实数根，则 的值为。 值为。 考点： 考点：一元二次方程 根与系数的关系 评析思路; a+b=部分， 评析思路;由根与系数的关系可知 a+b=-2，a?b= -5。而所求式中有 a2+2a 部分，因 a 是方程的根， a2+2a-5=0， a2+2a=5， a?b， 是方程的根，所以有 a2+2a-5=0，即 a2+2a=5，再加 a?b，原式值为 0。 答案： 答案：0 5． 河南省）关于 x 的方程 （ 河南省） ，是否存在负数 k，使方程的两若存在， 的值；若不存在，说明理由。 个实数根的倒数和等于 4？若存在，求出满足条件的 k 的值；若不存在，说明理由。 答案： x1、x2.由根与系数关系 由根与系数关系， 答案：解：设方程的两个实数根是 x1、x2.由根与系数关系，得 x1+x2=5k+1，x1x2=k2x1+x2=5k+1，x1x2=k2-2. 又∵，=4， =4，∴=4.∴4k2-5k-9=0. 4k2-5k解这个方程， k1=不合题意，舍去） 解这个方程，得 k1=-1，k2= （不合题意，舍去）. k=当 k=-1 时，原方程的判别式 =b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2△=b2-4ac=[-(5k+1)]2-4(k2-2) =(-4)2-4(1=(-4)2-4(1-2)=20&0. k=所以存在满足条件的负数 k，k=-1. 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。 考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。 评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下， 评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进 行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△&0。 行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意△&0。 为两个根的一元二次方程是（ 6． 福州市）以 2，-3 为两个根的一元二次方程是（ （ 福州市） ）. x2x2+xx2（A）x2-x-6=0 （B）x2+x-6=0 （C）x2-x+6=0 （D）x2+x+6=0 答案： 答案：B 考点：一元二次方程根与系数关系 系数关系。 考点：一元二次方程根与系数关系。评析： 与系数关系： 评析：利用一元二次方程 x2+px+q=0 的根 x1,x2 与系数关系：直接计算即得答案。 即得答案。 x2+3mx的一个根， 7． 广州市）已知 2 是关于 x 的方程 x2+3mx-10=0 的一个根，则 m= （ 广州市） . 考点： 考点：一元二次方程的根与系数关系 评析：根据方程解的概念， 评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出 m，或利用根与系数的关系解方 程组求出。 程组求出。 答案： 答案：1x28． （ 贵 阳 市 ） 若 x1,x2 是 方 程 x2-2x+m=0 的 两 个 根 ， 且 m= . 考点： 考点：一元二次方程根与系数关系 评析： ax2+bx+c=0（ ≠0） x1、 评析：由一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 x1、x2 与系数的关系=2 ， 则，得 x1+x2=2x1x2=ｍ，求 x1x2=ｍ，求 ｍ，的值，代入已知的等式求出ｍ。 的值，代入已知的等式求出ｍ。答案： 答案：1 （ 河北省） Rt△ C=900， 分别是∠ 的对边， 9． 河北省）在 Rt△ABC 中，∠C=900，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，a、b 是关于 x 的方程 的两根， 边上的中线长是（ 的两根，那么 AB 边上的中线长是（ ） （ A）（ B）（ C） 5（D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理、 考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系 评析思路： 是方程的二根， a+b=7①a?b=c+7② 评析思路：因直角三角形两直角边 a、b 是方程的二根，∴有 a+b=7①a?b=c+7②，由 c2=a2+b2③ 联立①②③ ①②③组成方程组求得 c=5， 斜边上的中线为斜边的一半 勾股定理知 c2=a2+b2③，联立①②③组成方程组求得 c=5，∴斜边上的中线为斜边的一半， 故选 B。 10． 北京市海淀区）已知： （ 10． 北京市海淀区）已知：关于 x 的方程 ①的两个实数根的倒数和等于 3， 关于 x 的方程为正整数， ②有实数根且 k 为正整数， 求代数式的值。 考点：根的判别式，根与系数的关系。 考点：根的判别式，根与系数的关系。 评析： 代入到第二个方程。 评析：先根据根与系数的关系求得 a 值，再将 a 代入到第二个方程。因第二个方程只 证有实根， 1,然后再根据 证有实根，所以 k 可以等于 1,然后再根据 Δ 的范围再确定 k 值，分别代入所求代数式就可 以了。 以了。 答案： 答案：0 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个， 说明学生往往忽略 k=1 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全 面的， 的范围。 面的，也有的不考虑 Δ 的范围。11.（ 河北省） x1、 3x2+x的两个根, 11.（ 河北省）若 x1、x2 是一元二次方程 3x2+x-1=0 的两个根,则+的值是( 的值是( )(A)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 考点： 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析：根据一元二次方程根与系数的关系， 的值， 评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出 x1+x2, x1?x2 的值，然后将求的代数式变为x1+x2=，最后将 x1+x2=-，x1?x2=- 代入即可，故选 C。 x1?x2=- 代入即可，2.（ 哈尔滨市） （本题 已知： AB、 12.（ 哈尔滨市） 本题 10 分）已知：△ABC 的两边 AB、AC 的长是关于 x 的一元二次 （ x2的两个实数根， 方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5. 为何值时， 为斜边的直角三角形. （1）k 为何值时，△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形. 为何值时， 是等腰三角形，并求出△ 的周长. （2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求出△ABC 的周长. 考点：Rt△ 考点：Rt△三边关系 等腰三角形底与腰的关系 一元二次方程根与系数关系 评析： （1 已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程， 评析： 1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系 （ 达到目的， Rt△ 可知， AB2+AC2=(AB+AC)2－ 达到目的，又根据 Rt△三边的关系 AB2+AC2=BC2 可知，通过 AB2+AC2=(AB+AC)2－2AB?AC 可实现。 可实现。 答案： （1 答案： 1） k=2 或 k= -5 （ (2) 14 或 16. 如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。 注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。 是否相等，再考虑其它情况， AC=BC， （2）首先利用判断式判断 AB 与 AC 是否相等，再考虑其它情况，即 AB=BC 或 AC=BC， 是一元二次方程的一个根， 的值，也就可求另一个根， 当 AB=BC 或 AC=BC 时，BC=5 是一元二次方程的一个根，故可求 k 的值，也就可求另一个根， 三角形的周长可求。 三角形的周长可求。 在求周长时，应判断是否能构成三角形。 注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。 13． 安徽） （ x2+(113． 安徽）已知方程 x2+(1)x)xx1、x2， =0 的两根为 x1、x2，求 x 的值。 +x 的值。 考点：一元二次方程根与系数的关系 考点：一元二次方程根与系数的关系 评 析 ： 根 据 根 与 系 数 的 关 系 ， 先 求 出 x1+x2 、 x1?x2 的 值 然 后 将 x12+x22=(x1+x2)2变为以上形式， x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 变为以上形式，再将 x1+x2= 解：由根与系数关系， 由根与系数关系， x1+x2=-1+ x1+x2=∴ x , x1x2=x1x2=, -1，x1?x2=x1?x2=代入即可。 代入即可。+x =(x1+x2)2-2x1x2 =(x1+x2)2=( =3=3-2 =3. -1)2+2 +2说明： x1、x2， 说明：如果先解出根 x1、x2，再求出 x的正确值也给满分。 +x 的正确值也给满分。14． 北京市东城区）已知关于 （ x2-(k14． 北京市东城区）已知关于 x 的方程 x2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根的平方和等 的值。 于 4，求实数 k 的值。 考点： 考点：一元二次方程根与系数的关系 评析： x1、x2， x1+x2， 的值， 评析：先设方程二根为 x1、x2，分别求出 x1+x2，x1?x2 的值，再根据两根的平方和 但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△ 的值， 是 4，求出 k 值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证△≥0 才能确定 k 的值，此 题一些考生忽略△ 的隐含条件的。 题一些考生忽略△≥0 的隐含条件的。 x2-(kx2， 解：设方程 x2-(k-1)x+k+1=0 的两个实数根是 x1, x2，那么 x1+x2=kx1+x2=k-1, x1?x2=k+1. 2分 由 x +x =4,(x1+x2)2得 (x1+x2)2-2x1x2=4. (k-1)2即 (k-1)2-2(k+1)=4 k2-4kk2-4k-5=0 解这个方程， k=解这个方程，得 k=5 或 k=-1. 6分 Δ=(5-1)2当 k=5 时, Δ=(5-1)2-4(5+1)&0, 原方程无实数根， 舍去. 原方程无实数根，故 x=5 舍去. 7分 k=,Δ=(- 1)2-4(当 k=-1 时,Δ=(-1-1)2-4(-1+1)&0, 因此，k=- 为所求。 因此，k=-1 为所求。 8分 真题实战 x2+mx－ 1． 常州市）已知关于 x 的方程 x2+mx－6=0 的一个根是 2，则另一个根是 （ 常州市） m= 。 答案： 答案：-3；1 2． 天门市）若方程 （ 天门市） 值是 。 答案： 答案：6 的两根是 x1、x2，则代数式 x1、x2，，的x1、 x2－ 的两个根， 3．已知 x1、x2 是方程 x2－x－1=0 的两个根，则的值是（ 的值是（） A、 1 答案： 答案：BB、－1 、－1C、±1D、 0（ 石家庄市） 4． 石家庄市）设方程x2， 的两根为 x1 和 x2，且，则 m 等于（ ） ．－8 ．－4 A．－8 B．－4 C． 8 D． 4 答案： 答案：C 的方程是（ 5． 潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于 2 的方程是（ （ 潍坊市）下列方程中， 2x2－ 2x2－2x－ A．2x2－4x+3=0 B．2x2－2x－3=0 2x2+4x－ 2x2－4x－ C．2x2+4x－3=0 D．2x2－4x－3=0 答案： 答案：D）（ 山西省） x2-2xx1， 则代数式 x2， 6． 山西省） 若方程 x2-2x-1=0 的二根为 x1， ， x2（ 的值是）A． 6 B． 4 C． 2 D． -2 答案： 答案：A 南昌市) 2x2+kx－ 的一个根是－ 的值。 7．( 南昌市)已知方程 2x2+kx－10=0 的一个根是－2，求它的另一根及 k 的值。 x1， 解：设方程的另一根为 x1，那么 2x1=-2x1=-5，又 k=∴k=-1。，答：方程的另一根是的值是，k 的值是-1。（ 苏州市） x2+(m－ 3=0。 8． 苏州市）已知关于 x 的方程 x2+(m－2)x+ m－3=0。 求证： 取什么实数值 这个方程总有两个不相等的实数根； 实数值， （1）求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根； 2x1+x2=m+1,求 的值。 （2）若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足 2x1+x2=m+1,求 m 的值。 (1)证明 证明: (1)证明:∵取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根. ∴无论 m 取什么实数,这个方程总有两个不相等的实数根. (2)解 是这个方程的两个实数根, (2)解∵x1,x2 是这个方程的两个实数根,∴ 又 2x1+x2=m+1,(3) (3)-(1),得 x1=2m(3)-(1),得 x1=2m-1……(4) (4)代入(1),得 代入(1), 把(4)代入(1),得 x2=3x2=3-3m……(5) (4)、 把(4)、(5) 代入(2),得(2m-1)(3代入(2),得(2m-1)(3-3m)= (2), ∴ . .∴ x1、 x2－(k+2)+2k+1=0 的两个实数根， 9 ． 南通市 ） 设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x2 － (k+2)+2k+1=0 的两个实数根 ， 且 （ 南通市） x12+x22=11. 的值； （1）求 k 的值； 利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和， （2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和， 另一根是原方程两根差的平方。 另一根是原方程两根差的平方。 （1 x1+x2=k+2， 解： 1）由题意得 x1+x2=k+2，x1?x2=2k+1 （ ， 又 ，∴ k=±3。 ，解得 k=±3。又∵Δ=[-(k+2)]2-4(2k+1)=k2-4k， Δ=[-(k+2)]2-4(2k+1)=k2-4k， Δ=原方程无实数解； 当 k=3 时，Δ=-3＜0，原方程无实数解； k=Δ=21＞ 原方程有实数解。 当 k=-3 时，Δ=21＞0，原方程有实数解。 k=故 k=-3。 k=x2+x-5=0。 （2）当 k=-3 时，原方程为 x2+x-5=0。 y2+py+q=0， y1、y2， 设所求方程为 y2+py+q=0，两根为 y1、y2， y1=x1+x2=则 y1=x1+x2=-1， y2=(x1-x2)2= y2=(x1-2x1x2=11+10=21。 2x1x2=11+10=21。∴y1+y2=20，y1?y2=-21 y1+y2=20，y1?y2=y2-20y所求方程是 y2-20y-21=010． 昆明） （ x2-2xx1、 则 x2， 10． 昆明） 已知一元二次方程 x2-2x-1=0 的两根是 x1、 ， x2+（ 的值是）A、 答案： 答案：DB、 2C、 -D、 -211． 沈阳） x1、 （ 2x2-4x的两个根， 11． 沈阳）设 x1、x2 是方程 2x2-4x-3=0 的两个根，则+=_________。 =_________。答案： 答案：一元二次方程根的判别式 2009-04数学知识点
10:22:47 阅读 14 评论 0字号： 字号：大中小 订阅 学习内容： 学习内容： 不解方程，利用判别式能判定方程根的情况； 1、不解方程，利用判别式能判定方程根的情况； 根据条件中方程根的情况，能够利用判别式求出方程中待定字母（待定系数） 2、根据条件中方程根的情况，能够利用判别式求出方程中待定字母（待定系数）的值 或取值范围； 或取值范围； 利用判别式证明方程根的情况。 3、利用判别式证明方程根的情况。 知识要点： 知识要点： 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 Δ=b2-4ac。 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式 Δ=b2-4ac。 方程有两个不相等的实数根。 Δ&0 时，方程有两个不相等的实数根。 方程有两个相等的实数根。 Δ=0 时，方程有两个相等的实数根。 方程没有实数根。 Δ&0 时，方程没有实数根。 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式 以上定理也可以逆向应用。在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找 的值。 出 a、b、c 的值。 注意： （1 Δ=b2-4ac， 注意： 1）根的判别式是指 Δ=b2-4ac，不是 Δ= （ ，（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。 2.根的判别式有以下应用 根的判别式有以下应用： 2.根的判别式有以下应用： 不解一元二次方程，判断根的情况。 ①不解一元二次方程，判断根的情况。 根据方程根的情况 确定待定系数的取值范围。 根的情况， ②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 证明字母系数方程有实数根或无实数根。 ③证明字母系数方程有实数根或无实数根。 注意： 注意： 如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况， ①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。 b2的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此， ②根的判别式 b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要 注意隐含条件 a≠0. 例题分析 第一阶梯 不解方程，试判定方程根的情况： 例 1、不解方程，试判定方程根的情况： (1) 3x2 x－ sub& x－1=0 (2)提示：根据判别式△ b2－ b2≥0， 异号时，－4ac＞ ，－4ac 提示：根据判别式△= b2－4ac 中，因为 b2≥0，当 a 与 c 异号时，－4ac＞0，所以当 异号时，b2－4ac＞ 方程必有两个不等实数根。 a 与 c 异号时，b2－4ac＞0 方程必有两个不等实数根。 参考答案：由以上分析，方程(1) (1)的 异号， b2－4ac＞ 参考答案：由以上分析，方程(1)的 a 与 c 异号，判别式 b2－4ac＞0 方程必有两个不 等实根。对于方程（ 同号， b2－ 等实根。对于方程（2）由于 a 与 c 同号，所以只能把 a、b、c 值代入 b2－4ac 中计算后才 能得出结论。 能得出结论。 试判定方程（ mx2－(2m－1)x＋ 根的情况。 例 2、试判定方程（3）mx2－(2m－1)x＋m＋1=0 根的情况。 提示：对于方程（ 提示：对于方程（3）由于二次项系数含有待定字母 m，并且已知条件中既没讲明方程 的次数， 又没讲明方程的根的个数， 所以应在讨论方程次数的情况下， 研究方程根的情况。 的次数， 又没讲明方程的根的个数， 所以应在讨论方程次数的情况下， 研究方程根的情况。 参考答案 对于方程（ ， 答案： ，当 方程为一元一次方程， 1=0， 参考答案：对于方程（3） 当 m=0 时，方程为一元一次方程，方程为 x＋1=0，可知有 一个实数根； m≠0，方程为一元二次方程， b2－ =－8m＋ 此时应注意－ 一个实数根；当 m≠0，方程为一元二次方程，判别式 b2－4ac =－8m＋1。此时应注意－8m ；－8m 1=0；－8m＋ 8m＋ ；－8m 三种情况都有存在的可能性。 ＋1＞0；－8m＋1=0；－8m＋1＜0 三种情况都有存在的可能性。 的方程（ x2－(2m＋1)x＋2m2＋ 根的情况。 例 3、试判定关于 x 的方程（4）x2－(2m＋1)x＋2m2＋3=0 根的情况。 提示： 对于方程（ C=2m2＋ 同号。 提示： 对于方程（4）是否想到 C=2m2＋3＞0，故 a 与 c 同号。 b2－ =[－(2m＋1)]2－4(2m2＋3)]=－4m2＋4m－ 计算 △= b2－4ac =[－(2m＋1)]2－4(2m2＋3)]=－4m2＋4m－11 当所求出的△ 为含等定字母的二次代数式时， 只有通过配方将其变形， [ 注 ] 当所求出的 △ 为含等定字母的二次代数式时 ， 只有通过配方将其变形 ， 即 △ =才能判断出大于零？还是小于零。 －10 才能判断出大于零？还是小于零。 参考答案：方程（ 有两个不等实数根，方程（ 参考答案：方程（1）有两个不等实数根，方程（2） ，方程有两个相等实数根，方程（ x=－ 有两个相等实数根，方程（3）当 m=0 时，方程有一个实数根为 x=－1；当 m＞有两个不相等的实数根， 相等的实数根，当 m=方程有两个相等的实数根， 方程有两个相等的实数根，当 m＜方程无实数根 实数根。 且 m≠0 时，方程无实数根。方程（ 方程（4），因为≤0，－10＜0，所以 ，－10＜ 10方程无实数根。 －10＜0，即△＜0 方程无实数根。 10＜ 第二阶梯 例 1、已知关于 x 的二次方程 有两个实数根，求 k 的值。 有两个实数根， 的值。提示：为保证方程为二次方程， k2－3k＋4=2； 提示：为保证方程为二次方程，含未知数项的最高次数 k2－3k＋4=2；并且为保证方程 有两个实数根，判别式△ b2－4ac≥0。应注意以上两条要同时满足，缺一不可。 有两个实数根，判别式△= b2－4ac≥0。应注意以上两条要同时满足，缺一不可。参考答案： k2－3k＋ 参考答案：由 k2－3k＋4=2 得 k=1 或 2；由△≥0 得 k≤(舍 k=1。 ，所以 k=2 (舍)，k=1。的三条边的长， 的方程(c b)x2＋2(b－a)x＋ (c－ 例 2、已知 a、b、c 是△ABC 的三条边的长，且关于 x 的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋a 有两个相等的实数根，试判断△ 的形状。 －b=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。 提示： b≠0；判别式△ b2－ =0， [2(b－a)]2－ 提示：首先应考虑二次项系数 c－b≠0；判别式△= b2－4ac =0，即[2(b－a)]2－4(c b)(a－b)=0。整理得：a2－ab－ac＋bc=0，这时如何变形才能判断出△ 的形状？ －b)(a－b)=0。整理得：a2－ab－ac＋bc=0，这时如何变形才能判断出△ABC 的形状？ 参考答案： c≠b；由判别式 别式△ a2－ab－ac＋bc=0， 参考答案：由二次项系数 c－b≠0 得 c≠b；由判别式△＝0 得 a2－ab－ac＋bc=0，分 组分解得(a c)(a－ (a－ a=b=c， c≠b，所以只能是： a=b， 组分解得(a－c)(a－b)=0 得 a=c , a=b , 即 a=b=c，由于 c≠b，所以只能是：a=c 或 a=b， 为等腰三角形。 故△ABC 为等腰三角形。 x2－3x＋ 的两个根都是整数， 例 3、已知关于 x 的二次方程 x2－3x＋a=0 的两个根都是整数，求满足条件的 a 的非负 整数值。 整数值。 提示： 提示： 为保证方程根为整数，首先应使方程有实数根。这样就想到判别式△≥0， ①为保证方程根为整数，首先应使方程有实数根。这样就想到判别式△≥0，即 9－4a≥0， 的取值范围； 4a≥0，从而确定了 a 的取值范围；a≤ 为非负数负数， a≥0。 ②考虑 a 为非负数负数，即 a≥0。。③由①和②确定出 0≤a≤为整数， 的非负整数值。 ，并想到 a 为整数，从而确定出 a 的非负整数值。的非负整数值，为保证方程根为整数， ④以上是在实数根范围确定出 a 的非负整数值，为保证方程根为整数，只有将 a 的值 分别代入原方程分别验证是否符合题意。 分别代入原方程分别验证是否符合题意。 参考答案： 参考答案： 方程根不是整数， 时方程的根为整数。 a=1 时，方程根不是整数，a=0 或 1 时方程的根为整数。 第三阶梯 为直角三角形的三条边的长， 为斜边。求证： 例 1、已知 a、b、c 为直角三角形的三条边的长，c 为斜边。求证：关于 x 的方程 必有两个不相等的实数根。 必有两个不相等的实数根。 提示： 提示： ①方程整理为 ② ③隐条件：勾股定理 隐条件： 参考答案： 参考答案： 不等实根 x1、 例 2、已知 x1、x2 是关于 x 的方程 式子 的两个实数根， 的两个实数根，对于 为三角形边， 为三角形边，所以 ，故 ＞0，方程必有两个是否存在最小值零，请说明理由；是否存在最大值， 是否存在最小值零，请说明理由；是否存在最大值，请说明理由提示： (x1(x2-1)2≥0， (x1-1)2＋(x2≥0。若存在最小值， 提示：因为 (x1-1)2≥0 且 (x2-1)2≥0，故 (x1-1)2＋(x2-1)2 ≥0。若存在最小值， x1=x2=1。 能否相等，则由判别式是否等于零判定。 只有 x1=x2=1。而 x1 与 x2 能否相等，则由判别式是否等于零判定。 参考答案： 参考答案： =4(m+2)2+4， 4(m+2)2≥0， 4(m+2)2+4 +2)2+4＞ ①由△=4(m+2)2+4，因为 4(m+2)2≥0，4＞0，所以 4(m+2)2+4＞0，方程两根 x1≠x2 x1=x2=1， 式子(x1 1)2+(x2(x1的最小值为零， 而方程不存在相等实根， ②由于只有当 x1=x2=1， 式子(x1-1)2+(x2-1)2 的最小值为零， 而方程不存在相等实根， 所以式子的最小值不可能为零。 所以式子的最小值不可能为零。 x1≠x2，所以(x1 1)2+(x2-1)2＞ 所以式子不可能存在最大值。 (x1③由于 x1≠x2，所以(x1-1)2+(x2-1)2＞0，所以式子不可能存在最大值。 c≠0， 的二次方程(a b+c)x2+4(a-b)x+(a(a例 3、 a、 、 为实数且 c≠0， 设 b c 求证关于 x 的二次方程(a-b+c)x2+4(a-b)x+(a-b-c)=0 有实数根。 有实数根。 提示： 提示： 由判别式得 由 ，使 参考答案： 参考答案： 检测题 A组 ，如何整理变形？ 如何整理变形？ 则 应 变 形 为 ：再整理。 再整理。 方程有两个不等实根。 ＞0 方程有两个不等实根。1、已知关于 x=有两个相等的实数根 数根， 的方程 有两个相等的实数根，则 k=________ 2、关于 x 的方程 方程有两个不等实数根； 当k 时，方程有两个不等实数根；当 k 方程没有实数根。 方程没有实数根。 3、无论 k 为何值，代数式 为何值， 答案： 答案：当 ， k=时方程只有一个实数根； 时方程只有一个实数根； 时，时，方程有两个相等实数根；当 k= 方程有两个相等实数根；的值永远零？1.2. k= B组,k&,k=,k&3.大于。 3.大于。 大于 第一题，不解方程判断下列根的情况。 第一题，不解方程判断下列根的情况。 1、 2、 3、 4、 答案： 答案： 1.两个不等实数根 1.两个不等实数根 2.两个相等实数根 2.两个相等实数根 3. 没有实数根 4. 两个不相等实数根 C组 1．不解方程，试判定方程根的情况： 不解方程，试判定方程根的情况： 3x2－ (1) 3x2－ (2) (3)mx2－(2m－1)x＋ (3)mx2－(2m－1)x＋m＋1=0 x－1=0关于 x 的方程 2．当 ， k=________ 时方程只有一个实数k=________时 方程有两个不等实数根； k=________时 方程有两个相等实数根； 根；当 k=________时，方程有两个不等实数根；当 k=________时，方程有两个相等实数根； k=________时 当 k=________时，方程没有实数根3．已知关于 x=的方程有两个相等的实数根， 的方程有两个相等的实数根，则 k=________ 4．已知关于 x 的二次方程有两个实数根， 的值。 有两个实数根，求 k 的值。已知 a． ． 是△ABC 的三条边的长， 的三条边的长， 的方程(c b)x2＋2(b－a)x＋ (c－ 5． b c 且关于 x 的方程(c－b)x2＋2(b－a)x＋a－b=0 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。 答案： 答案： 由以上分析，方程(1) (1)的 异号， b2－4ac＞ 方程必有两个不等实根。 1．由以上分析，方程(1)的 a 与 c 异号，判别式 b2－4ac＞0 方程必有两个不等实根。 对于方程（ 同号， b2－ 对于方程（2）由于 a 与 c 同号，所以只能把 a．b．c 值代入 b2－4ac 中计算后才能得出结 (3)当 方程为一元一次方程， 1=0，可知有一个实数根； m≠0， 论(3)当 m=0 时，方程为一元一次方程，方程为 x＋1=0，可知有一个实数根；当 m≠0，方 程为一元二次方程， b2－ =－8m＋ 此时应注意－8m＋ ；－8m 1=0；－ 8m＋ ；－8m 程为一元二次方程，判别式 b2－4ac =－8m＋1。此时应注意－8m＋1＞0；－8m＋1=0；－8m 三种情况都有存在的可能性。 ＋1＜0 三种情况都有存在的可能性。2．k=,k&,k=,k&3．k2－3k＋ 4．由 k2－3k＋4=2 得 k=1 或 2；由△≥0 得 k≤(舍 ，所以 k=2 (舍)，k=1c≠b；由判别式△ a2－ab－ac＋bc=0， 5．由二次项系数 c－b≠0 得 c≠b；由判别式△＝0 得 a2－ab－ac＋bc=0，分组分解得 (a－c)(a－ a=b=c， c≠b，所以只能是： a=b， (a－c)(a－b)=0 得 a=c ,a=b , 即 a=b=c，由于 c≠b，所以只能是：a=c 或 a=b，故△ABC 为等腰三角形。 为等腰三角形。 经典例题精讲： 经典例题精讲： 不解方程，判断下列方程的根的情况： 例 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x(1)2x2+3x-4=0 (2)3x2+2=2 x(3)x2+1=x(4)ax2+bx=0(a≠0)(5)ax2+c=0(a≠0)}
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