史上最全二次根式练习题(各题型,含答案)-共享资料网
史上最全二次根式练习题(各题型,含答案)
第二十一章二次根式教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》 、第十八章《勾股定理及其 应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解 a （a≥0）是一个非负数， （ a ）2=a（a≥0） ， a2 =a（a≥0） ． （3）掌握 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ? b ；a a a a = （a≥0，b&0） ， = （a≥0，b&0） ． b b b b（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．? 再对概念的 内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，? 并运 用规定进行计算． （3）利用逆向思维，? 得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，? 给出最简二次根式的 概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算 和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生： 利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神， 经过探索二 次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式 a （a≥0）的内涵． a （a≥0）是一个非负数； （ a ）2＝a（a≥0） ；a2 =a（a≥0）? 及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点第1页1．对 a （a≥0）是一个非负数的理解；对等式（ a ）2＝a（a≥0）及 a2 =a（a ≥0）的理解及应用． 2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，? 培养学生一丝不 苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需 11 课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3 课时 21．2 二次根式的乘法 3 课时 21．3 二次根式的加减 3 课时 教学活动、习题课、小结 2 课时21．1教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标二次根式第一课时理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ a （a≥0） ”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题 1：已知反比例函数 y=3 ，那么它的图象在第一象限横、? 纵坐标相等的点的坐标 x是___________． 问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么 AB 边的长是 __________．第2页ABC问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的 方差是 S2，那么 S=_________． 老师点评： 问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y，所以 x2=3．因为点在第一象限，所以 x= 3 ，所以 所求点的坐标（ 3 ， 3 ） ． 问题 2：由勾股定理得 AB= 10问题 3：由方差的概念得 S= 二、探索新知 很明显 3 、 10 、4 . 64 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 6的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）? 的式子叫做二 次根式， “ ”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1 有算术平方根吗？ 2．0 的算术平方根是多少？ 3．当 a&0， a 有意义吗？ 老师点评:（略） 例 1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、1 、 x （x&0） 、 x0 、 4 2 、- 2 、1 、 x ? y （x≥0，y? ≥0） ． x? y” ；第二，被开方数是正数分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 或 0．第3页解：二次根式有： 2 、 x （x&0） 、 0 、- 2 、 x ? y （x≥0，y≥0） ；不是二次 根式的有： 3 3 、1 4 1 、 2、 ． x x? y例 2．当 x 是多少时， 3x ?1 在实数范围内有意义？ 分析： 由二次根式的定义可知， 被开方数一定要大于或等于 0， 所以 3x-1≥0， ? 才能有意义． 解：由 3x-1≥0，得：x≥ 当 x≥3x ?11 31 时， 3x ?1 在实数范围内有意义． 3三、巩固练习 教材 P 练习 1、2、3． 四、应用拓展 例 3．当 x 是多少时， 2 x ? 3 + 分析：要使 2 x ? 3 +1 在实数范围内有意义？ x ?11 在实数范围内有意义，必须同时满足 2 x ? 3 中的≥0 和 x ?11 中的 x+1≠0． x ?1解：依题意，得 ? 由①得：x≥-?2 x ? 3 ? 0 ?x ?1 ? 03 2由②得：x≠-1 当 x≥-3 1 且 x≠-1 时， 2 x ? 3 + 在实数范围内有意义． 2 x ?1例 4(1)已知 y= 2 ? x + x ? 2 +5，求x 的值．(答案:2) y2 ) 5(2)若 a ? 1 + b ? 1 =0，求 a 的值．(答案: 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．第4页六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 1、综合应用 5． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B． 3 7 C． x D．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A． 4 B． 16 C． 8 D．1 x3．已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ） A．5 B． 5 C．1 5D．以上皆不对二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为 a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，? 底面应 做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当 x 是多少时，2x ? 3 2 +x 在实数范围内有意义？ x3．若 3 ? x + x ? 3 有意义，则 x ?2 =_______．2 4.使式子 ? ( x ? 5) 有意义的未知数 x 有（ ）个．A．0B．1C．2D．无数5.已知 a、b 为实数，且 a ? 5 +2 10 ? 2a =b+4，求 a、b 的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1． a （a≥0） 2． a 3．没有三、1．设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 5 ．第5页3 ? ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? ? 2．依题意得： ? ，? 2 ?x ? 0 ? ?x ? 0∴当 x&-3 2x ? 3 且 x≠0 时， ＋x2 在实数范围内没有意义． 2 x3.1 34．B 5．a=5，b=-421.1教学内容 1． a （a≥0）是一个非负数； 2． （ a ）2=a（a≥0） ． 教学目标二次根式(2)第二课时理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0） ，并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用具体 数据结合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0） ；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键 1．重点： a （a≥0）是一个非负数； （ a ）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；? 用探究的方法 导出（ a ）2=a（a≥0） ． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当 a≥0 时， a 叫什么？当 a&0 时， a 有意义吗？ 老师点评（略） ．第6页二、探究新知 议一议： （学生分组讨论，提问解答）a （a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a （a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______； （ 2 ）2=_______； （ 9 ）2=______； （ 3 ）2=_______；（1 2 7 2 ） =______； （ ） =_______； （ 0 ）2=_______． 3 2老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的 非负数，因此有（ 4 ）2=4． 同理可得： （ 2 ）2=2， （ 9 ）2=9， （ 3 ）2=3， （21 2 1 7 2 7 ）= ， （ ）= ， （ 0） 3 2 3 2=0，所以 （ a ）2=a（a≥0） 例 1 计算 1． （3 2 ） 22． （3 5 ）23． （5 2 ） 64． （7 2 ） 2分析：我们可以直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题．解： （3 2 3 ） = ， （3 5 ）2 =32? （ 5 ）2=32?5=45， 2 25 2 5 7 2 ( 7) 2 7 ? ． ）= ， （ ）= 6 2 22 4 6（三、巩固练习 计算下列各式的值： （ 18 ）2 （2 2 ） 3（9 2 ） 4（ 0 ）2（47 2 ） 8第7页(3 5)2 ? (5 3)2四、应用拓展 例 2 计算 1． （ x ? 1 ）2（x≥0） 4． （ 4 x2 ? 1 2 2． （ a 2 ）2 3． （ a2 ? 2a ? 1 ）2x 9 ? ）2分析： （1）因为 x≥0，所以 x+1&0； （2）a2≥0； （3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2?2x?3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解： （1）因为 x≥0，所以 x+1&0 （x ? 1 ）2=x+1（2）∵a2≥0，∴（ a2 ）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ a2 ? 2a ? 1 =a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2?2x?3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0，∴（ 4x2 ?12x ? 9 ）2=4x2-12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2． （ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0） ． 六、布置作业 1．教材 P8 复习巩固 2． （1） 、 （2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题2 1．下列各式中 15 、 3a 、 b ? 1 、 a 2 ? b2 、 m2 ? 20 、 ?144 ，二次根式第8页的个数是（ ） ． A．4 B．3 C．2 D ．1 2．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ ） ． A．a&0 B．a≥0 C．a&0 D．a=0 二、填空题 1． （- 3 ）2=________． 2．已知 x ? 1 有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1） （ 9 ）2 （2）-（ 3 ）2 （3） （1 26 ）2（4） （-32 2 ） 3(5) (2 3 ? 3 2)(2 3 ? 3 2) 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）1 6（4）x（x≥0）3．已知 x ? y ? 1 + x ? 3 =0，求 xy 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数 三、1． （1） （ 9 ）2=9 （2）-（ 3 ）2=-3 （3） （1 21 3 6 ）2= ?6= 4 2（ 4） （-32 2 2 ） =9? =6 3 3(5)-62． （1）5=（ 5 ）2 （2）3.4=（ 3.4 ）2（3）1 1 2 =（ ） （4）x=（ x ）2（x≥0） 6 6xy=34=813． ??x ? y ?1 ? 0 ?x ? 3 ? ?x ? 3 ? 0 ?y ? 4第9页4.（1）x2-2=（x+ 2 ） （x- 2 ） （2）x4-9=（x2+3） （x2-3）=（x2+3） （x+ 3 ） （x- 3 ） (3)略21.1 二次根式(3)第三课时 教学内容a2 ＝a（a≥0）教学目标 理解 a2 =a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究 a2 =a（a≥0） ，并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点： a2 ＝a（a≥0） ． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清 a≥0 时， a2 ＝a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式； 2． a （a≥0）是一个非负数； 3．( a )2＝a（a≥0） ． 那么，我们猜想当 a≥0 时， a2 =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空：1 22 =_______； 0.012 =_______； ( )2 =______； 102 3 ( ) 2 =________； 02 =________； ( ) 2 =_______． 3 7第 10 页（老师点评） ：根据算术平方根的意义，我们可以得到：1 2 3 2 3 1 22 =2； 0.012 =0.01； ( )2 = ； ( ) 2 = ； 02 =0； ( ) 2 = ． 10 3 7 3 7 10因此，一般地： a2 =a（a≥0） 例 1 化简 （1） 92 （2） (?4)（3） 252 （4） ( ?3)分析：因为（1）9=-32， （2） （-4）2=42， （3）25=52， （4） （-3）2=32，所以都可运用 a2 =a（a≥0）? 去化简．2 2 解： （1） 9 = 32 =3 （2） (?4) = 4 =4 2 （3） 25 = 52 =5 （4） ( ?3) = 32 =3三、巩固练习 教材 P7 练习 2． 四、应用拓展 例 2 填空：当 a≥0 时， a2 =_____；当 a&0 时， a2 =_______，? 并根据这一性 质回答下列问题． （1）若 a2 =a，则 a 可以是什么数？ （2）若 a2 =-a，则 a 可以是什么数？ （3） a2 &a，则 a 可以是什么数？ 分析：∵ a2 =a（a≥0） ，∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应2 变形，使“ （ ）2”中的数是正数，因为，当 a≤0 时， a2 = (?a ) ，那么-a≥0．（1）根据结论求条件； （2）根据第二个填空的分析，逆向思想； （3）根据（1） 、 （2） 可知 a =│a│，而│a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？a&0． 解： （1）因为 a =a，所以 a≥0； （2）因为 a =-a，所以 a≤0； （3） 因为当 a≥0 时 a =a， 要使 a &a， 即使 a&a 所以 a 不存在； 当 a&0 时， a =-a，2 2 2 2 2 2第 11 页要使 a2 &a，即使-a&a，a&0 综上，a&02 2 例 3 当 x&2，化简 ( x ? 2) - (1 ? 2 x ) ．分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： a2 =a（a≥0）及其运用，同时理解当 a&0 时， a2 ＝－a 的应用拓 展． 六、布置作业 1．教材 P8 习题 21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题 1． (2 ) ? (?2 ) 的值是（ ） ．2 21 31 3A．0B．2 3C．42 3D．以上都不对2 2． a≥0 时， a2 、 (?a ) 、 - a2 ， 比较它们的结果， 下面四个选项中正确的是 （ ） ． 2 A． a2 = (?a ) ≥- a2 2 C． a2 & (?a ) &- a2 2 B． a2 & (?a ) &- a2 2 D．- a2 & a2 = (?a )二、填空题 1．- 0.0004 =________． 2．若 20m 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 1 ? 2a ? a2 的值，甲乙两人的解答如下：2 甲的解答为：原式=a+ (1 ? a ) =a+（1-a）=1；2 乙的解答为：原式=a+ (1 ? a ) =a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+ a ? 2000 =a，求 a-19952 的值． （提示：先由 a-2000≥0，判断 1995-a? 的值是正数还是负数，去掉绝对值）第 12 页2 3. 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ ( x ? 3) + x2 ?10x ? 25 。答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5 三、1．甲 甲没有先判定 1-a 是正数还是负数 2．由已知得 a-? 2000? ≥0，? a? ≥2000 所以 a-1995+ a ? 2000 =a， a ? ，a-， 所以 a-． 3. 10-x21．2教学内容二次根式的乘除第一课时a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ，反之 ab = a ? b （a≥0，b≥0）及其运用．教学目标 理解 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ? b （a≥0，b≥0） ，并利用它们 进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0）并运用它进行计算；? 利用逆向思维，得出 ab = a ? b （a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键 重点： a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ， ab = a ? b （a≥0，b≥0）及它们的 运用． 难点：发现规律，导出 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0） ． 关键：要讲清ab （ a&0,b&0 ） = ab ， 如 (? 2)? (? 3) = ?(?2) ??(?3) 或(?2) ? (?3) = 2 ? 3 = 2 ? 3 ．教学过程 一、复习引入第 13 页（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1） 4 ? 9 =_______， 4 ? 9 =______； （2） 16 ? 25 =_______， 16 ? 25 =________． （3） 100 ? 36 =________， 100 ? 36 =_______． 参考上面的结果，用“&、&或＝”填空．4 ?9 _____4?9 ，16 ?25 _____16 ? 25 ，100 ?36 ________ 100 ? 362．利用计算器计算填空 （1） 2 ? 3 ______ 6 ， （2） 2 ? 5 ______ 10 ， （3） 5 ? 6 ______ 30 ， （4） 4 ? 5 ______ 20 ， （5） 7 ? 10 ______ 70 ． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让 3、4 个同学上台总结规律． 老师点评： （1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，? 并且把这两个二次根式中的数相乘， 作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为a ? b ＝ ab ． （a≥0，b≥0）反过来: 例 1．计算 （1） 5 ? 7 （2）ab = a ? b （a≥0，b≥0）1 ? 9 3（3） 9 ? 27（4）1 ? 6 2分析：直接利用 a ? b ＝ ab （a≥0，b≥0）计算即可． 解： （1） 5 ? 7 = 35第 14 页（2）1 1 ?9 = 3 ? 9= 3 3（3） 9 ? 27 = 9 ? 27 ? 92 ? 3 =9 3 （4）1 1 ?6 = 3 ? 6= 2 2例 2 化简 （1） 9 ?162 2 （4） 9 x y（2） 16 ? 81 （5） 54（3） 81?100分析：利用 ab = a ? b （a≥0，b≥0）直接化简即可． 解： （1） 9 ?16 = 9 ? 16 =3?4=12 （2） 16 ? 81 = 16 ? 81 =4?9=36 （3） 81?100 = 81 ? 100 =9?10=902 2 2 2 （4） 9 x y = 32 ? x y = 32 ? x2 ?y 2 =3xy（5） 54 = 9 ? 6 = 32 ? 6 =3 6 三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评） ①16 ? 8 20 ;②3 6 ?2 10③ 5a ?1 ay 5(2) 化简:18 ;24 ;54 ;12a2b2教材 P11 练习全部 四、应用拓展 例 3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） (?4) ? (?9) ? ?4 ? ?9 （2） 412 12 12 ? 25 =4? ? 25 =4 ? 25 =4 12 =8 3 25 25 25解： （1）不正确．第 15 页改正： (?4) ? (?9) = 4 ? 9 ＝ 4 ? 9 =2?3=6 （2）不正确． 改正： 412 112 112 ? 25 = ? 25 = ? 25 = 112 = 16 ? 7 ＝4 7 25 25 25五、归纳小结 本节课应掌握： （1） a ? b ＝ ab =（a≥0，b≥0） ， ab = a ? b （a≥0，b ≥0）及其运用． 六、布置作业 1．课本 P15 1，4，5，6． （1） （2） ． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为 15 cm 和 12 cm，? 那么此直角三角形斜 边长是（ ） ． A．3 2 cm 2．化简 a ? A． ? a 3．等式 x ? 1 B．3 3 cm C．9cm D．27cm1 的结果是（ ） ． aB． a C ．- ? a D．- ax ?1 ? x2 ?1 成立的条件是（ ）D．x≥1 或 x≤-1A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 4．下列各等式成立的是（ ） ． A．4 5 ?2 5 =85B．5 3 ?4 2 =20 5 D．5 3 ?4 2 =20 6C．4 3 ?3 2 =7 5 二、填空题 1． 1014 =_______． 2．自由落体的公式为 S=1 2 gt （g 为重力加速度，它的值为 10m/s2） ，若物体下落的 2高度为 720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题第 16 页1．一个底面为 30cm?30cm 长方体玻璃容器中装满水，? 现将一部分水例入一个底面 为正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm，铁桶的底面 边长是多少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． （1）22 2 = 2? 3 32 2 22 ? 2 23 (23 ? 2) ? 2 = 22 ? = = ? 3 3 3 3 3验证：2=2 23 ? 2 2 2(22 ? 1) 2 = 2? ? ? ? 2 2 2 2 3 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1（2）33 3 = 3? 8 83 3 33 33 ? 3 ? 3 2 验证：3 = 3 ? = = 8 8 8 32 ? 1=3 3(32 ? 1) ? 3 3(32 ? 1) 3 = 3? ? ? 2 2 2 8 3 ?1 3 ?1 3 ?1同理可得：44 4 ? 4? 15 1555 5 ，?? ? 5? 24 24 a =_______（a&0）,并验证你的结论． a ?12通过上述探究你能猜测出： a 答案: 一、1．B 2．C 二、1．13 63.A4.D2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为 x， 则 x2?10=30?30?20，x2=30?30?2， x= 30 ? 30 ? 2 =30 2 ．第 17 页2． aa a = a? 2 a ?1 a ?12验证：aa a a3 2 = a ? ? a2 ?1 a2 ?1 a2 ?1 a a(a 2 ? 1) a a3 ? a ? a a3 ? a a = = a? 2 . ? 2 ? ? 2 2 2 2 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1=21．2 二次根式的乘除第二课时 教学内容a a a a = （a≥0，b&0） ，反过来 = （a≥0，b&0）及利用它们进行计算和化 b b b b简． 教学目标 理解a a a a = （a≥0，b&0）和 = （a≥0，b&0）及利用它们进行运算． b b b b利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆 向等式及利用它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解a a a a = （a≥0，b&0） ， = （a≥0，b&0）及利用它们进行计 b b b b算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1）9 9 =________， =_________； 16 16第 18 页（2）16 16 =________， =________； 36 364 4 =________， =_________； 16 16（3）（4）36 36 =________， =________． 81 819 16 4 9 16 4 ______ ； ______ ； _______ ； 16 36 16 36 16 16规律：36 36 _______ ． 81 813．利用计算器计算填空: （1）3 2 2 7 =_________， （2） =_________， （3） =______， （4） =________． 4 3 5 83 2 2 7 3 2 2 7 ______ ； _______ ； _____ ； _____ 。 4 3 5 8 4 3 5 8规律：每组推荐一名学生上台阐述运算结果． （老师点评） 二、探索新知 刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我 们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：a a = （a≥0，b&0） ， b b反过来，a a = （a≥0，b&0） b b下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例 1．计算： （1）12 3（2）3 1 ? 2 8（3）1 1 ? 4 16（4）64 8分析：上面 4 小题利用a a = （a≥0，b&0）便可直接得出答案． b b第 19 页解： （1）12 12 = = 4 =2 3 3（2）3 1 3 1 3 = ? ? ? ? 8 ? 3 ? 4 = 3 ?=2 3 2 8 2 8 2 1 1 1 1 1 = ? ? ? ?16 = 4 =2 4 16 4 16 464 64 = = 8 =2 2 8 8（3）（4）例 2．化简：3 （1） 6464b 2 （2） 9a 2（ 3）9x 64 y 2（4）5x 169 y 2分析：直接利用a a = （a≥0，b&0）就可以达到化简之目的． b b解： （1）3 3 3 = ? 64 8 6464b 2 64b2 8b （2） = ? 9a 2 3a 9a 2（3）9x 3 x 9x ? = 2 2 8y 64 y 64 y 5x 5x 5x ? = 2 2 13 y 169 y 169 y（4）三、巩固练习 教材 P14 练习 1． 四、应用拓展x2 ? 5x ? 4 9? x 9? x 例 3．已知 ，且 x 为偶数，求（1+x） 的值． ? x2 ?1 x?6 x?6分析：式子a a = ，只有 a≥0，b&0 时才能成立． b b因此得到 9-x≥0 且 x-6&0，即 6&x≤9，又因为 x 为偶数，所以 x=8．第 20 页解：由题意得 ? ∴6&x≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8?x ? 9 ?9 ? x ? 0 ，即 ? ?x ? 6 ?x ? 6 ? 0∴原式=（1+x）( x ? 4)( x ? 1) ( x ? 1)( x ?1)=（1+x）x?4 x ?1=（1+x）x?4 = (1 ? x)( x ? 4) ( x ? 1)∴当 x=8 时，原式的值= 4 ? 9 =6． 五、归纳小结 本节课要掌握a a a a = （a≥0，b&0）和 = （a≥0，b&0）及其运用． b b b b六、布置作业 1．教材 P15 习题 21．2 2、7、8、9． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题 1．计算 1 ? 21 31 2 ． ? 1 的结果是（ ） 3 5B．A．2 752 7C． 2D．2 72．阅读下列运算过程：2 2 5 2 5 1 3 3 ， ? ? ? ? 5 3 5 5? 5 3 3? 3数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” ，那么，化简 （ ） ．2 的结果是 6第 21 页A．2 二、填空题B．6C．1 36D． 61．分母有理化:(1)1 3 2=_________;(2)1 10 =________;(3) =______. 12 2 52．已知 x=3，y=4，z=5，那么 三、综合提高题yz ? xy 的最后结果是_______．1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为 3 ：1，? 现用直径为 3 15 cm 的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？ 2．计算n n n 1 n3 （1） ? （）÷ （m&0，n&0） 3 3 2m3 m 2m m m（2）-33 m?n 3m2 ? 3n2 a2 ÷（ ）? （a&0） 2 a2 m?n 2a 2答案: 一、1．A 2．C 二、1．(1)3 ;(2) 63 10 2? 5 2 ;(3) ? ? 6 2 2 5 2 52．15 3三、1．设：矩形房梁的宽为 x（cm） ，则长为 3 xcm，依题意， 得： （ 3 x）2+x2=（3 15 ）2， 4x2=9?15，x=3 215 （cm） ，135 43 x?x= 3 x2=2． （1）原式＝-3 （cm2） ．n m2n n4 n ÷ =- 2 3 5 2m m 2mn4 2m3 ? 2m5 n第 22 页=-n2 n n3 n n n =? ? ? ? n m3 m2 m2 m2 m（2）原式=-23a 2 3(m ? n)(m ? n) a2 a2 =-2 =- 6 a ? ? 2 2a 2 m?n m?n21.2 二次根式的乘除(3)第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念， 并根据它的特点来检验最后结果 是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1）3 3 2 8 ， （2） ， （ 3） 27 2a 5老师点评：15 3 2 6 3 8 2 a = ， = ， = a 5 27 3 2a 52．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是 h1km，h2km，? 那 么它们的传播半径的比是_________． 它们的比是2 Rh1 2 Rh2．二、探索新知 观察上面计算题 1 的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．第 23 页学生分组讨论，推荐 3～4 个人到黑板上板书． 老师点评：不是．2 Rh1 2 Rh2=2 Rh1 ? 2 Rh2h1 ? h2h1h2 . h28x2 y3例 1．(1) 35 ; (2) 12x 2 y 4 ? x 4 y 2 ; (3)例 2．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长．AB解：因为 AB2=AC2+BC2 所以 AB= 2.52 ? 62 = ( )2 ? 36 ?C5 2169 169 13 ? ? =6.5（cm） 4 2 4因此 AB 的长为 6.5cm． 三、巩固练习 教材 P14 练习 2、3 四、应用拓展 例 3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1 1? ( 2 ?1) 2 ?1 = = 2 -1， ? 2 ?1 2 ? 1 ( 2 ? 1)( 2 ?1)1 1? ( 3 ? 2) 3? 2 = = 3- 2， ? 3? 2 3 ? 2 ( 3 ? 2)( 3 ? 2)同理可得：1 = 4 - 3 ，?? 4? 3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1 1 1 1 + + +?? ） （ 2002 +1）的值． 2 ?1 2002 ?
4? 3分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以 达到化简的目的． 解：原式=（ 2 -1+ 3 - 2 + 4 - 3 +??+ 2002 - 2001 ）?（ 2002 +1）第 24 页=（ 2002 -1） （ 2002 +1） =1 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业 1．教材 P15 习题 21．2 3、7、10． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题 1．如果x （y&0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ） ． yA．x （y&0） yB． xy （y&0）C．xy （y&0） yD．以上都不对2．把（a-1） ? A． a ? 11 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） ． a ?1B． 1 ? a C．- a ? 1 D．- 1 ? a3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A．5 =3 15 3bB．1 1 =± 2 22C． a 4b =a2 4．化简D．x3 ? x2 =x x ? 1?3 2 的结果是（ ） 272 3B．-A．-2 3C．-6 3D．- 2二、填空题4 2 2 1．化简 x ? x y =_________． （x≥0）2．a ?a ?1 化简二次根式号后的结果是_________． a2三、综合提高题第 25 页1．已知 a 为实数，化简： ?a3 -a ? 若不正确，? 请写出正确的解答过程： 解： ?a3 -a ?1 ，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？ a1 1 =a ?a -a? a a?a =（a-1） ?ax2 ? 4 ? 4 ? x2 ? 1 2．若 x、y 为实数，且 y= ，求 x ? y x?2答案: 一、1．C 2．D 3.C 4.C2 2 二、1．x x ? yx ? y 的值．2．- ?a ?1三、1．不正确，正确解答：??a3 ? 0 ? 因为 ? 1 ，所以 a&0， ?? ? 0 ? a原式＝ ?a a2 -a? ?a ?a = ?a ? a2 -a? =-a ?a + ?a =(1-a) 2 a a2?a2．∵ ?2 ? 1 ?x ? 4 ? 0 ∴ x-4=0 ，∴ x= ± 2 ，但∵ x+2 ≠ 0 ，∴ x=2 ， y= 2 4 ? ?4 ? x ? 0∴x? yx ? y ? x2 ? y 2 ? 4 ?1 63 . ? 16 421.3 二次根式的加减(1)第一课时 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总 结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程第 26 页一、复习引入 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字 母不变，系数相加减． 二、探索新知 学生活动：计算下列各式． （1）2 2 +3 2 （3） 7 +2 7 +3 9 ? 7 老师点评： （1）如果我们把 2 当成 x，不就转化为上面的问题吗？ 2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2）把 8 当成 y； 2 8 -3 8 +5 8 =（2-3+5） 8 =4 8 =8 2 （3）把 7 当成 z； （2）2 8 -3 8 +5 8 （4）3 3 -2 3 + 27 +2 7 + 97=2 7 +2 7 +3 7 =（1+2+3） 7 =6 7 （4） 3 看为 x， 2 看为 y． 3 3 -2 3 + 2 =（3-2） 3 + 2 = 3+ 2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2 2 与 8 表面上看是不相同的， 但它们可以合并吗？可以的． （板书）3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 2 3 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3第 27 页所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，? 再将被开方数相同的 二次根式进行合并． 例 1．计算 （1） 8 + 18 （2） 16 x + 64 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二 次根式进行合并． 解： （1） 8 + 18 =2 2 +3 2 =（2+3） 2 =5 2 （2） 16 x + 64 x =4 x +8 x =（4+8） x =12 x 例 2．计算 （1）3 48 -91 +3 12 3（2） （ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） 解： （1）3 48 -91 +3 12 =12 3 -3 3 +6 3 =（12-3+6） 3 =15 3 3（2） （ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ）= 48 + 20 + 12 - 5 =4 3 +2 5 +2 3 - 5 =6 3 + 5 三、巩固练习 教材 P19 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2 x 9 x +y2 3y 1 x ）-（x2 -5x ）的值． 3 x x y分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0， 即 x=1 ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，? 再合并同 2类二次根式，最后代入求值． 解：∵ 4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=1 ，y=3 2第 28 页原式=2 x 9 x +y2 3y x 2 1 -x +5x 3 x x y=2x =xx + xy -x x +5 xy x +6 xy1 ，y=3 时， 2当 x=原式=1 1 3 2 ? +6 = +3 6 2 2 2 4五、归纳小结 本节课应掌握： （1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （ 2）相同的最简二 次根式进行合并． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 1、2、3、5． 2．选作课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题2 1．以下二次根式：① 12 ；② 2 ；③2 ；④ 27 中，与 3 是同类二次根式的 3D．③和④是（ ） ． A．①和②B．②和③C．①和④2． 下列各式： ①3 3 +3=6 3 ； ② 其中错误的有（ ） ． A．3 个 B．2 个 二、填空题 1．在 8 、1 77 =1； ③ 2 + 6 = 8 =2 2 ； ④24 =2 2 ， 3C．1 个D．0 个2 1 2 1 9a 、 125 、 75a 、 3a 3 、3 0.2 、-2 中，与 3a 是同 3 3 a 8类二次根式的有________． 2．计算二次根式 5 a -3 b -7 a +9 b 的最后结果是________． 三、综合提高题第 29 页1．已知 5 ≈2.236，求（ 80 - 1 2．先化简，再求值． （6x4 1 4 45 ）的值． ）-（ 3 + （结果精确到 0.01） 5 5 53 y 3 x xy 3 ）-（4x + + 36 xy ） ，其中 x= ，y=27． 2 x y y答案: 一、1．C 2．A2 3a 3 a 3 4 5三、1．原式=4 5 5 5二、1．1 75a 32．6 b -2 a5-12 55=1 51 5 ≈ ?2.236≈0.45 52．原式=6 xy +3 xy -（4 xy +6 xy ）=（6+3-4-6） xy =- xy ，当 x=3 9 3 ，y=27 时，原式=? 27 =2 2 2221.3 二次根式的加减(2)第二课时 教学内容 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标 运用二次根式、化简解应用题． 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键 讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程 一、复习引入 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先 将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们 讲三道例题以做巩固． 二、探索新知 例 1．如图所示的 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/? 秒 的速度向点 A 移动； 同时， 点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动． 问： 几秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？ （结果用最简二次根式表示）第 30 页C Q A BP分析：设 x 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，? 根据三角形面 积公式就可以求出 x 的值． 解：设 x 后△PBQ 的面积为 35 平方厘米． 则有 PB=x，BQ=2x 依题意，得： x2=35 x= 35 所以 35 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米．2 2 PQ= PB ? BQ ?1 x?2x=35 2x 2 ? 4 x 2 ? 5 x 2 ? 5 ? 35 =5 7答： 35 秒后△PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 5 7 厘米． 例 2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？ 分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢材，? 只需知道这四段 的长度．B2mA解：由勾股定理，得 AB=4m.cnD1mCAD2 ? BD2 ? 42 ? 22 ? 20 =2 5BC= BD2 ? CD2 ? 22 ? 12 = 5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2 5 + 5 +5+2第 31 页=3 5 +7 ≈3?2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要 13.7m 的钢材． 三、巩固练习 教材 P19 练习 3 四、应用拓展 例 3．若最简根式 3a?b 4a ? 3b 与根式 2ab2 ? b3 ? 6b2 是同类二次根式，求 a、b 的 值． （? 同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析： 同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后， 被开方数相同； ? 事实上， 根式2ab2 ? b 3? 6b 2 不 是 最 简 二 次 根 式 ， 因 此 把2ab2 ? b3 ? 6b2 化 简 成|b|? 2a ? b ? 6 ，才由同类二次根式的定义得 3a-? b=? 2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式 2ab2 ? b3 ? 6b2 化为最简二次根式：2ab2 ? b3 ? 6b2 = b 2 (2a ? 1 ? 6) =|b|? 2a ? b ? 6由题意得 ??4a ? 3b ? 2a ? b ? 6 ?3a ? b ? 2∴??2a ? 4b ? 6 ?3a ? b ? 2∴a=1，b=1 五、归纳小结 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 7． 2．选用课时作业设计． 作业设计 一、选择题 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 5 和 5，那么斜边的长应为（ ） ． （? 结 果用最简二次根式） A．5 2 B． 50 C．2 5 D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框，? 为了增加其稳 定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米． （结果同最简二次 根式表示）第 32 页A．13 100B． 1300C．10 13D．5 13二、填空题 1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍，它的面积是 1600m2，? 鱼塘的宽 是_______m． （结果用最简二次根式） 2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为 2 ，? 那么这个等腰直角三角形的周长是 ________． （结果用最简二次根式） 三、综合提高题 1．若最简二次根式2 2 3m 2 ? 2 与 n ?1 4m2 ?10 是同类二次根式，求 m、n 的值． 32．同学们，我们以前学过完全平方公式 a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧! 现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3 ）2，5=（ 5 ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察： （ 2 -1）2=（ 2 ）2-2?1? 2 +12=2-2 2 +1=3-2 2 反之，3-2 2 =2-2 2 +1=（ 2 -1）2 ∴3-2 2 =（ 2 -1）2 ∴ 3 ? 2 2 = 2 -1 求： （1） 3 ? 2 2 ；（2） 4 ? 2 3 ；（3）你会算 4 ? 12 吗？（4）若 a ? 2 b = m ? n ，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由．答案: 一、1．A 2．C第 33 页二、1．20 22．2+2 22 2 2 ? ? ? ?3m ? 2 ? 4m ? 10 ?m ? 8 ?m ? ?2 2 ， ， ? ? 2 2 ? ? ? ?n ? 1 ? 2 ?n ? 3 ?n ? ? 3三、1．依题意，得 ?所以 ?? ?m ? 2 2 ? ?n ? 3或?? ?m ? ?2 2 ? ?n ? 32或?? ?m ? 2 2 ? ?n ? ? 3或?? ?m ? ?2 2 ? ?n ? ? 32． （1） 3 ? 2 2 = ( 2 ? 1) = 2 +12 （2） 4 ? 2 3 = ( 3 ? 1) = 3 +1（3） 4 ? 12 = 4 ? 2 3 ? （4） ?( 3 ? 1) 2 = 3 -1?m ? n ? a ?mn ? b理由：两边平方得 a±2 b =m+n±2 mn所以 ??a ? m ? n ?b ? mn21.3 二次根式的加减(3)第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多 项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1） （2x+y） ?zx （2） （2x2y+3xy2）÷xy 2．计算第 34 页（1） （2x+3y） （2x-3y） （2） （2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）? 单项式?单项 式； （2）单项式?多项式； （3）多项式÷单项式； （4）完全平方公式； （5）平方差公式的 运用． 二、探索新知 如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？? 仍成立． 整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，? 当然也 可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例 1．计算: （1） （ 6 + 8 ）? 3 （2） （4 6 -3 2 ）÷2 2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，? 所以直接可用整式的运算 规律． 解： （1） （ 6 + 8 ）? 3 = 6 ? 3 + 8 ? 3 = 18 + 24 =3 2 +2 6 解： （4 6 -3 2 ）÷2 2 =4 6 ÷2 2 -3 2 ÷ 2 2 =2 3 -3 2（2） （ 10 + 7 ） （ 10 - 7 ）例 2．计算 （1） （ 5 +6） （3- 5 ）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解： （1） （ 5 +6） （3- 5 ） =3 5 -（ 5 ）2+18-6 5 =13-3 5 （2） （ 10 + 7 ） （ 10 - 7 ）=（ 10 ）2-（ 7 ）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本 P20 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．已知x?b x?a =2，其中 a、b 是实数，且 a+b≠0， a b第 35 页化简x ?1 ? x x ?1 ? x + ，并求值． x ?1 ? x x ?1 ? xx） （ x ? 1 - x ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有分析：由于（ x ? 1 +理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可． 解：原式=( x ? 1 ? x )2 ( x ? 1 ? x )2 + ( x ? 1 ? x )( x ? 1 ? x ) ( x ? 1 ? x )( x ? 1 ? x )=( x ? 1 ? x )2 ( x ? 1 ? x )2 + ( x ? 1) ? x ( x ? 1) ? x=（x+1）+x-2 x( x ?1) +x+2 x( x ?1) =4x+2 ∵x?b x?a =2a b∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 1、8、9． 2．选用课时作业设计． 作业设计 一、选择题 1． （ 24 -3 15 +2 2 A．2 ）? 2 的值是（ ） ． 3B．3 30 D．20 33 -3 302 32 33C．2 30 -320 33 - 302．计算（ x + x ? 1 ） （ x - x ? 1 ）的值是（ ） ．第 36 页A．2 B．3 二、填空题 1． （-C．4D ．11 3 2 + ） 的计算结果（用最简根式表示）是________． 2 22． （1-2 3 ） （1+2 3 ）-（2 3 -1）2 的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若 x= 2 -1，则 x2+2x+1=________． 4．已知 a=3+2 2 ，b=3-2 2 ，则 a2b-ab2=_________． 三、综合提高题 1．化简5? 7 10 ? 14 ? 15 ? 211 x ? 1 ? x2 ? x x ? 1 ? x2 ? x 时，求 + 的值． （结果用最简二次根式 2 ?1 x ?1? x 2 ? x x ?1? x 2 ?x2．当 x= 表示）课外知识 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，? 这些 二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） ． A． 2 x 与 2 y C． mn 与 n B．8 3 4 9 5 8 ab 与 ab 9 2D． m ? n 与 m ? n2．互为有理化因式：? 互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式 （ a+b ） （ a-b ） =a2-b2 ，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1x+1+x2 ? 2 x 与x2 ? 2 x 就是互为有理化因式； x 与1 也是互为有理化因式． x练习： 2 + 3 的有理化因式是________； x-y 的有理化因式是_________．- x ? 1 - x ? 1 的有理化因式是_______．第 37 页3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、? 分母上同乘以一个二次根式， 达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1）1 ； 5 ?1（2）1 2 ； （3） ； 1? 2 3 6? 2（4 ）3 3?4 2 ． 3 3?4 24．其它材料：如果 n 是任意正整数，那么 n ?n n =n 2 n ?1 n ?12理由： n ?n n n3 ? n ? n n3 = =n ? 2 2 2 2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?12 3 4 =_______； 3 =________； 4 =_______． 3 8 15练习：填空 2答案: 一、1．A 2．D 二、1．1-3 22．4 3 -243．2 4．4 2三、1．原式＝5? 7 2 5? 2 7? 3 5? 3 71 5? 7 = 2? 3 2( 5 ? 7) ? 3( 5 ? 7)==-（ 2 - 3 ）= 3 - 2 2．原式＝( x ? 1 ? x 2 ? x )2 ? ( x ? 1 ? x 2 ? x )2 ( x ? 1) 2 ? ( x 2 ? x) 2=2( x ? 1)2 ? ( x 2 ? x) ? 2 2( x ? 1)( x ? 1 ? x) = = 2（2x+1） x ?1 x ?1∵x=1 = 2 +1 原式＝2（2 2 +3）=4 2 +6. 2 ?1第 38 页(分母有理化、二次根式化简一、选择题 1. （2011?台湾 17，4 分）计算9 12?54 3 错误！未找到引用源。之值为何（ ? 12 6B、）A、3 错误！未找到引用源。 12D、3 错误！未找到引用源。 6C、3 错误！ 3未找到引用源。3 3 错误！未找到引用源。 4考点：二次根式的乘除法。 分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得． 解答：解：原式= 故选 B． 点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得． 2. （2011?贺州）下列计算正确的是（ A、错误！未找到引用源。=3 C、错误！未找到引用源。=± 3 =错误！未找到引用源。 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可． 解答：解：A、错误！未找到引用源。=3，此选项错误； B、 （错误！未找到引用源。 ）2=3，此选项正确； C、错误！未找到引用源。=3，此选项错误； D、错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。+错误！未找到 引用源。 ，此选项错误． 故选 B． ） B、 （错误！未找到引用源。 ）2=3 D、错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。9 12?12 3 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ． ? 54 6第 39 页点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0 的数． 3. （2011 黑龙江大庆，3，3 分）对任意实数 a，则下列等式一定成立的是（ A、错误！未找到引用源。 引用源。 B、错误！未找到引用源。 ）C、错误！未找到D、错误！未找到引用源。考点：二次根式的性质与化简。专题：计算题。 分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断． 解答：解：A、a 为负数时，没有意义，故本选项错误； B、a 为正数时不成立，故本选项错误； C、错误！未找到引用源。=|a|，故本选项错误． D、故本选项正确． 故选 D． 点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的 计算等知识点是解答问题的关键． 4. （2011，台湾省，17,5 分）下列何者是方程式（错误！未找到引用源。1）x=12 的解？ （ ） A、3 +3 考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。 专题：计算题。 分析：方程两边同除以（错误！未找到引用源。1） ，再分母有理化即可． 解答：解：方程（错误！未找到引用源。1）x=12，两边同除以（错误！未找到引用源。 1） ，得 x=错误！未找到引用源。 ， =错误！未找到引用源。 ，=错误！未找到引用源。 ，=3（错误！未找到引用源。+1） ，=3 错 误！未找到引用源。+3． 故选 D． 点评：本题考查了解一元一次方程．关键是将方程的未知数项系数化为 1，将分母有理化．2 2 5. （2011 山东菏泽，4，4 分）实数 a 在数轴上的位置如图所示，则 （a-4） + （a-11 错 ）B、6C、2 错误！未找到引用源。1D、 3 错误！ 未找到引用源。第 40 页误！未找到引用源。化简后为（ A．7 B．7） C．2a15 D．无法确定考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴． 分析：先从实数 a 在数轴上的位置，得出 a 的取值范围，然后求出（a4）和（a11）的 取值范围，再开方化简． 解答：解：从实数 a 在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以 a4＞1，a11＜1， 则错误！未找到引用源。=a4+11a=7．故选 A． 点评：本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念． 6. （2011?莱芜）下列计算正确的是（ ）2 A、 ( ?3) ? ?3 错误！未找到引用源。( ) B、1 3?2?1 错误！ 未找到引用源。 C、 9（a2）3=a6D、a6÷ （错误！未找到引用源。a2）=2a4考点：整式的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；二次根式的性质与化简。 分析：A、首先计算出（3）2 的结果，再开方判断； B、根据负整数指数幂：a p=错误！未找到引用源。 （a≠0，p 为正整数）计算可判断；C、首先看准底数，判断符号，再利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算即可判断； D、根据单项式除以单项式法则：把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在 被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式计算即可判断．2 解答：解：A、 (?3) ? 3 错误！未找到引用源。 ，故此选项错误；B、错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=9，故此选项错误； C、 （a2）3=a6，故此选项错误； D、a6÷ （错误！未找到引用源。a2）=（1÷ 错误！未找到引用源。 ） （a6÷ a2）=2a4，故此选项 正确． 故选：D． 点评：此题主要考查了二次根式的开方，负整数指数幂，幂的乘方，单项式除以单项式，关 键是准确把握各种计算法则．第 41 页7. （2011?临沂，4，3 分）计算 2 结果是（ ）1 6 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。的 2A、3 2 2 3B、5 2C、5错误！未找到引用源。D、 2 2考点：二次根式的加减法。 分析：根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并． 解答：解： 21 6 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。 22 3 6× 错误！未找到引用源。+2 2 ， 3 2=2×= 2 2 错误！未找到引用源。+2 错误！未找到引用源。 ， =3 错误！未找到引用源。2 错误！未找到引用源。 ． 故选 A． 点评：此题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根 式进行合并． 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数， 根指数与被开方数不变． 8. （2011 泰安，7，3 分）下列运算正确的是（ A． 25 ? ?5 错误！未找到引用源。 ） B ． 4 3 ? 27 ? 1 D ． 24 ? 错误！未找到引用源。C． 18 ? 2 ? 9 错误！未找到引用源。 到引用源。 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。3 ? 6 错误！未找 2分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案． 解答：解：A．∵错误！未找到引用源。＝5，∴故此选项错误； B．∵4 错误！未找到引用源。－错误！未找到引用源。＝4 错误！未找到引用源。－3 错误！第 42 页未找到引用源。＝错误！未找到引用源。 ，∴故此选项错误； C．错误！未找到引用源。÷ 错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝3，∴故此选 项错误； D．∵错误！未找到引用源。× 错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。 24 ? ∴故此选项正确． 故选：D． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同 类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的 也可先化简，再相乘，灵活对待． 9. （2011 山东省潍坊， 1，3 分）下面计算正确的是( A． 3 ? 3 ? 3 3 B、 27 ? 3 ? 3 C． )．3 ＝6， 22 ? 3?52 D． ( ?2) ? ?2【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题． 【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可． 【解答】解：A.3+ B. C. × D. ∵ 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有 同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大 的也可先化简，再相乘，灵活对待． 10.（2011 山东淄博 3，3 分）下列等式不成立的是（ ） = = =-2， = =2，故此选项错误； = ， = ，故此选项错误； = 不是同类项无法进行运算，故此选项错误； =3，故此选项正确；第 43 页A. 6 2 ? 3 ? 6 6B. 8 ? 2 ? 4 错误！未找到引用源。 D. 8 ? 2 ?C.1 3 错 ? 3 3误！未找到引用源。2 错误！未找到引用源。考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。 分析：根据二次根式的混合运算依次计算，再进行选择即可． 解答：解：A、 6 2 ? 3 ? 6 6 故本选项错误； B、 8 ? 2 ? 2 ，故本选项错误； C、1 3 ，故本选项正确； ? 3 3D、 8 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 ，故本选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识比较简单． 11. （ 2011 成 都 ， 23 ， 4 分 ） 设 S1 =1 ?1 1 1 1 1 1 ? 2 , S2 =1 ? 2 ? 2 , S3 =1 ? 2 ? 2 ,…, 2 1 2 2 3 3 4Sn =1 ?设S ?1 1 ? 2 n (n ? 1) 2S1 ? S2 ? ... ? Sn ，则 S＝_________ (用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数)．考点：二次根式的化简求值。 专题：计算题；规律型。 分析：由Sn ? 1 ?1 n 2 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? n 2 [n(n ? 1)]2 ? 2n 2 ? 2n ? 1 [n(n ? 1) ? 1]2 ， ? ? ? n2 n 2 (n ? 1) 2 [n(n ? 1)]2 [n(n ? 1)]2求错误！未找到引用源。 ，得出一般规律． 解答：解：第 44 页1 n 2 (n ? 1) 2 ? (n ? 1) 2 ? n 2 [n(n ? 1)]2 ? 2n 2 ? 2n ? 1 [n(n ? 1) ? 1]2 ∵ Sn ? 1 ? 2 ? ? ? n n 2 (n ? 1) 2 [n(n ? 1)]2 [n(n ? 1)]2， ∴ Sn ?n(n ? 1) ? 1 1 1 ， ? 1? ? n(n ? 1) n n ?11 1 1 1 1 ?1? ? ???1? ? 2 2 3 n n ?1∴ S ? 1?1?? n ?1?1 n ?1?(n ? 1) 2 ? 1 n 2 ? 2n ? n ?1 n ?1n 2 ? 2n 故答案为： n ?1点评：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由 Sn 变形，得出一般规律，寻找抵消规律． 12. （2011 湖北孝感，4，3 分）下列计算正确的是（ A．错误！未找到引用源。 ）8? 2 ? 2B． 错误！ 未找到引用源。 2 ? 3 ? 5 D． 错误！ 未找到引用源。 8 ? 2 ?C．错误！未找到引用源。 2 ? 3 ? 6 考点：二次根式的混合运算。 专题：计算题。4分析：根据二次根式的加法及乘法法则进行计算，然后判断各选项即可得出答案．解答：解：A．错误！未找到引用源。 8 错误！未找到引用源。=2 2 － 2 = 2 故本 选项正确． B．错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。≠错误！未找到引用源。 ，故本选项错误； C．错误！未找到引用源。× 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 ，故本选项错误； D． 8 ÷ 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2，故本选项错误． 故选 A．第 45 页点评：本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，解答本题一定要掌握二次根式的混合运 算的法则．二、填空题 1. （2011 江苏南京，9，2 分）计算（错误！未找到引用源。+1） （2 2 错误！未找到引 用源。 ）= 2 错误！未找到引用源。 ． 考点：二次根式的混合运算。 分析：根据二次根式的混合运算直接去括号得出，再进行合并同类项即可． 解答：解： （ 2 错误！未找到引用源。+1） （2 2 错误！未找到引用源。 ） ， =2 2 错误！未找到引用源。 2 错误！未找到引用源。× 2 错误！未找到引用源。+1× 2 1× 2 错误！未找到引用源。 ， =2 2 错误！未找到引用源。2+2 2 错误！未找到引用源。 ， = 2 错误！未找到引用源。 ． 故答案为： 2 错误！未找到引用源。 ． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并注 意认真计算防止出错． 2. （2011?青海）分解因式：x3+2x2x= x（x1）2；计算：错误！未找到引用源。= 0 ． 考点：二次根式的加减法；提公因式法与公式法的综合运用。 专题：计算题。 分析：①先提取公因式 x ，再根据完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公式： a2± 2ab+b2=（a± b）2． ②将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 解答：解：①x3+2x2x =x（x22x+1）第 46 页=x（x1）2； ②原式=3 错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。4 错误！未找到引用源。 =0． 故答案为：x（x1）2，0． 点评：本题考查二次根式的加减及提公因式法、公式法分解因式，属于基础题木，在分解因 式时注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底． 3. （2011 年山东省威海市，13，3 分）计算 ( 50 ? 8) ? 2 的结果是 3． 考点：二次根式的混合运算． 专题：计算题． 分析：本题只需将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式，最后进行二次根式的除法运 算即可． 解答：解：原式=（5 故答案为：3． 点评：本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式化为 最简． C22 ）÷ 2 =3．4. （2011 贵州遵义，11，4 分）计算： 8 ? 【考点】二次根式的乘除法．1 ＝ 2▲。【分析】 本题需先对二次根式进行化简， 再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果． 【解答】解： 8 ? =2 =2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，在解题时要能根据二次根式的乘法法则，求出1 ， 22×1 2， 2第 47 页正确答案是本题的关键． 5. （2011 天水，11，4）计算： 8 ? 考点：二次根式的加减法。 分析：首先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 解答：解：原式= 2 2 ?1 ＝ 22 3 2 ? 2 2点评：在二次根式的加减运算中，首先要将各式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根 式，不是同类二次根式的不能合并． 6.（2011?包头，15，3 分）化简二次根式：错误！未找到引用源。 27 ? 2 ． 考点：二次根式的混合运算。 分析：首先进行各项的化简，然后合并同类项即可． 解答： 解： 错误！ 未找到引用源。 =3 错误！ 未找到引用源。
（错误！ 未找到引用源。2 ? 3 ） 2 错误！未找到引用源。=2， 故答案为2． 点评：本题主要考察二次根式的化简、二次根式的混合运算，解题的关键在于对二次根式进 行化简，然后合并同类项．1 ? 12 = 2? 3三、解答题?1? ? 1? 2 ? ? ? 1. （2011 内蒙古呼和浩特，17（1） ，5） （1）计算： 18 ? 2 ?2? 2?1考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂． 分析： （1）各项化为最简根式、去绝对值号、去括号，然后进行四则混合运算即可；解答： （1） 18 ?2?1? ? 1? 2 ? ? ? 2 ?2??1第 48 页解：原式= 3 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 = 3 2 ? 1 点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键在 于首先对各项进行化简，然后在进行运算 2. 计算：（-3）0― 27 + 1 ?2+1 2? 3．考点：二次根式的混合运算；零指数幂． 专题：计算题． 分析：观察，可以首先去绝对值以及二次根式化简，再合并同类项． 解答：解：（-3）0― 27 + 1 ? 2 +1 2? 3，=1-3 =-3 =-23++ ．2 -1++3? 2( 2 ? 3)( 3 ? 2），点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质， 在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算． 3. （2011 四川凉山，25，5 分）已知 a、 b 为有理数， m、n 分别表示 5 ? 7 的整数部分和 小数部分，且amn ? bn2 ? 1 ，则 2a ? b ?.考点：二次根式的混合运算；估算无理数的大小． 专题：计算题． 分析：只需首先对 5 ? 7 估算出大小，从而求出其整数部分 a，其小数部分用 5 ? 7 －a 表示．再分别代入 amn＋bn2＝1 进行计算． 解答： 解： 因为 2＜ 7 ＜3， 所以 2＜5－ 把 m＝2，n＝3－7 ＜3， 故 m＝2， n＝5－7 －2＝3－7．7 代入 amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） 7＝1，所以 6a＋16b＝1 且 2a＋6b＝0，解得 a＝1.5，b＝－0.5．第 49 页所以 2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5． 点评： 本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算． 能够正确估算出一个 较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键． 4. （2011 黑龙江大庆，19，4 分）计算错误！未找到引用源。 ． 考点：二次根式的混合运算；零指数幂。 ? 3 ? (? ? 1) 0 ? 专题：计算题。 分析：运用去绝对值，0 指数幂的意义，二次根式的除法法则进行运算． 解答：解：原式=错误！未找到引用源。+1错误！未找到引用源。=1． 点评：本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握去绝对值，0 指数幂的意义，二次根式的 除法法则是解题的关键． 5. （2010 广东，11，6 分）计算： (
? 18 sin 45? ? 2 2 ． 考点：特殊角的三角函数值；零指数幂 分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简，乘方四个考点．在计算 时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式=1+3 错误！未找到引用源。× 错误！未找到引用源。4， =1+34， =0． 点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题 目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的化简等考点的运算．6 2二次根式21.1 二次根式： 1. 使式子 x ? 4 有意义的条件是 2. 当 __________ 时， x ? 2 ? 1 ? 2x 有意义。 3. 若 ?m ?1 有意义，则 m 的取值范围是 m ?1。。第 50 页4. 当 x __________ 时，?1 ? x ?2是二次根式。5. 在实数范围内分解因式： x4 ? 9 ? __________, x2 ? 2 2x ? 2 ? __________ 。 6. 若 4x2 ? 2x ，则 x 的取值范围是 7. 已知 。 。 。? x ? 2?2? 2 ? x ，则 x 的取值范围是8. 化简： x 2 ? 2 x ? 1 ? x 1? 的结果是 9. 当 1 ? x 10. 把 a ? 11. 使等式5 时，? x ?1?2? x ? 5 ? _____________ 。。 。? _____________ 。1 的根号外的因式移到根号内等于 a? x ? 1?? x ? 1? ?x ?1x ? 1 成立的条件是200512. 若 a ? b ? 1 与 a ? 2b ? 4 互为相反数，则 ? a ? b ? 13. 在式子x ?x 20 ? , 2, y ? 1 ? y ? ?2 ? , ?2 x ? x二次 0 ? , 3 3, x 2 ? 1, x ? y 中，根式有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 15. 若 2D. 5 个 ） D.?7aB.3 ，则32m2C.a2 ? 12a b）?2 ? a??? a ? 3?等于（A. 5 ? 2a 16. 若 A ?B. 1 ? 2a2 4C. 2a ? 5 ）D. 2a ? 1?a? 4? ，则 A ? （B. a 2 ? 2 C.A. a 2 ? 4 17. 若 a ? 1 ，则 A. C.?a2? 2?2D.?a2? 4?2?1 ? a ?3化简后为（） B. ?1 ? a ? 1 ? a D. ?1 ? a ? a ? 1? a ?1? ? a ?1?a ?1 1? a第 51 页18. 能使等式 A. x ? 2 19. 计算：x ? x?22x 成立的 x 的取值范围是（ x?2C. x2）B. x ? 02D. x ? 2 ）? 2a ?1???1 ? 2a ?的值是（A. 0 B. 4a ? 2 C. 2 ? 4a 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（2 3 ? 22 ? 3 ? 12 ?????? ?1? ?2 3 ? ? 2 ? ?2D. 2 ? 4a 或 4a ? 2 ）? ?2 ?2? 3 ? 12? 2 3 ? ?2 3?2? ? 3? ? 4?A. ?1?B.? 2?C.? 3?D.? 4?21. 若 x ? y ? y2 ? 4 y ? 4 ? 0 ，求 xy 的值。22. 当 a 取什么值时，代数式 2a ? 1 ? 1取值最小，并求出这个最小值。23. 去掉下列各根式内的分母：第 52 页?1? .32y ?x 3x0?? 2?.x ?1 ? x 1? x ? x ? 1?524. 已知 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ，求 x 2 ?1 ? 2 的值。 x225. 已知 a , b 为实数，且 1 ? a ? ? b ? 1? 1 ? b ? 0 ，求 a2005 ? b2006 的值。第 53 页21.2 二次根式的乘除 1. 当 a ? 0 ， b0 时， ab3 ? __________ 。2. 若 2m?n?2 和 33m?2n?2 都是最简二次根式，则 m ? _____, n ? ______ 。 3. 计算： 2 ? 3 ? ________; 36 ? 9 ? __________ 。 4. 计算：?48 ? 3 27 ? 3 ? _____________ 。?5. 长方形的宽为 3 ， 面积为 2 6 ， 则长方形的长约为 6. 下列各式不是最简二次根式的是（ A. ）2b 4（精确到 0.01） 。a2 ? 1B.2x ? 1C.D.0.1y7. 已知 xy A.0 ，化简二次根式 x?y 的正确结果为（ x2D. ? ? y ））yB.?yC. ? y8. 对于所有实数 a , b ，下列等式总能成立的是（ A. C.?a? b?2? a?bB. D. ）a2 ? b2 ? a ? b?a2? b2 ? ? a 2 ? b22? a ? b?2? a?b9. ?2 3 和 ?3 2 的大小关系是（ A. ?2 3?3 2B. ?2 3?3 2C. ?2 3 ? ?3 2D. 不能确定 ）10. 对于二次根式 x2 ? 9 ，以下说法中不正确的是（ A. 它是一个非负数 C. 它是最简二次根式 11. 计算：B. 它是一个无理数 D. 它的最小值为 3?1? .2 ?3 2? 2 ? .5x ? 3 x3第 54 页?3? .5ab ? ?4 a3b ? a ? 0, b ? 0???? 4?.a 3b6 ? ab ? a0, b0?? 5? .2 1 2 1 ? 2 ? 1 3 3 5? 6? .2 b ? 3 3 ? ab5 ? ? ? a b ? ?3 b a ? 2 ?12. 化简：?1? .a 3b5 ? a ? 0, b ? 0 ?? 2? .x? y x? y? 3? .?a 3 ? a 2 ?1 a13. 把根号外的因式移到根号内：?1? . ? 51 5? 2 ? . ?1 ? x ?1 x ?1第 55 页21.3 二次根式的加减 1. 下列根式中，与 3 是同类二次根式的是（ A. ）24B.12C.3 2D.182. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. C.8 与 80 是同类二次根式2与1 不是同类二次根式 50D. 同类二次根式是根指数为 2 的根式 3. 与 a3b 不是同类二次根式的是（ A. ）1 abab 2B.b aC.D. ）x2 ? y 2b a34. 下列根式中，是最简二次根式的是（ A. 5. 若 10.2bxB.12a ?12bC.D.5ab2）2 ，则 4 ? 4x ? x2 ? x2 ? 2x ?1 化简的结果是（A. 2 x ? 1 6. 若 18 x ? 2 A. 4B. ?2 x ? 1C. 3D. -3 ）x 2 ?x ? 10 ，则 x 的值等于（ 2 xB. ?2 C. 2 D. ?47. 若 3 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，则 3x ? y 的值是（ A. 3 3 ? 3 B.）3C. 1D. 3第 56 页8. 下列式子中正确的是（ A.） B. D.5? 2 ? 7a2 ? b2 ? a ? b6? 8 ? 3? 4 ? 3?2 2C. a x ? b x ? ? a ? b ? x9. 在 8, 12, 18, 20 中，与 2 是同类二次根式的是。10.若最简二次根式 a?1 2a ? 5 与 3b ? 4a 是同类二次根式，则 a ? ____, b ? ____ 。 11. 一个三角形的三边长分别为 8cm, 12cm, 18cm ，则它的周长是 12. 若最简二次根式 cm。3 2 4a 2 ? 1 与 6a 2 ? 1 是同类二次根式，则 a ? ______ 。 2 313. 已知 x ? 3 ? 2, y ? 3 ? 2 ，则 x3 y ? xy3 ? _________ 。 14. 已知 x ? 15.3 ，则 x2 ? x ? 1 ? ________ 。 32000?3?2? ?3?2?2001? ______________ 。16. 计算：1 1 2 ⑴. 2 12 ? 3 1 ? 5 ? 48 3 3 3⑵.1 ? ? 48 ? 54 ? 2 ? 3 ? 3 ?1 ? ? 3? ???⑶.?7 ? 4 3 ??7 ? 4 3 ? ? ?35 ?1?2⑷. 1 ? 2?? ?1 ? 3 ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 ?2 2 22第 57 页17. 计算及化简：1 ? ? 1 ? ? ⑴. ? a ? ? ?? a ? ? a? ? a? ?22⑵.a ?b a ? b ? 2 ab ? a? b a? b⑶.x y?y x x y?y x?y x?x y y x?x y⑷.a ? 2 ab ? b ? a b ? a ?? ? ? ? ? ? a ?b ? a ? ab b ? ab ? b ? ab第 58 页18. 已知： x ?x3 ? xy 2 3? 2 3? 2 ，求 4 的值。 ,y? x y ? 2 x3 y 2 ? x 2 y 3 3? 2 3? 219. 已知： a ?1 1 ? 1 ? 10 ，求 a 2 ? 2 的值。 a a20. 已知： x, y 为实数，且 yx ?1 ? 1 ? x ? 3 ，化简： y ? 3 ? y 2 ? 8 y ? 16 。第 59 页21. 已知x ? 3y ? x2 ? 9? x ? 3?2? 0，求x ?1 的值。 y ?1答案： 21.1 二次根式： 1. x ? 4 ； 2. ?2 ? x ? 5.1 ； 3. m ? 0且m ? ?1 ； 4. 任意实数； 2?x2? 3? x ? 3 x ? 3 ; x ? 2 ； 6. x ? 0 ；7. x ? 2 ； 8. 1 ? x ；2??????9. 4； 10. ? ?a ； 11. x ? 1 ； 12. -1； 13――20：CCCABCDB6 xy 1 x3 ? x , ? 2?. 3 21. 4； 22. a ? ? ，最小值为 1； 23. ?1? . ； 2 2 x x ? x ? 1?24.5 ； 25. -221.2 二次根式的乘除： 1. ?b ab ； 2. 1、2； 3. 18； 4. -5； 5. 2.83； 6――10： DDCAB第 60 页11. ?1? .6, ? 2 ? .15 x 2 , ? 3? . ? 20a 2b, ? 4 ? .ab 2 b , ? 5 ? .1, ? 6 ? . ? a 2b ab ； 12. ?1? ab2 ab , ? 2 ? . x ? y , ? 3? .0 ； 13. ?1? . ? 5, ? 2 ? . ? x ? 1 21.3 二次根式的加减： 1――8：BAACCCCC 9.8, 18 ； 10. 1、1； 11. 5 2 ? 2 3 ； 12. 1； 13. 10；3?2；3 6 ? 2, ? 3? . ? 45 ? 6 5, ? 4 ? .4 ； 2??14. 4 ? 3 ； 15.16. ?1? .2 3, ? 2 ? .4 3 ? 17. ?1? .4, ? 2 ? .2 b , ? 3? .?2 ? x ? y ? , ? 4 ? .1 ； y?x18. 5； 19. 9 ? 2 10 ； 20. -1； 21. 2知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如 有意义． 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时， 才【典型例题】【例 1】 下列各式 1）1 1 , 2) ?5,3) ? x 2 ? 2, 4) 4,5) (? ) 2 ,6) 1 ? a ,7) a 2 ? 2a ? 1 ， 5 3其中是二次根式的是_________（填序号） ．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ A、 a B、 ?10 C、 a ? 1 D、 ）a2?1第 61 页2 2 2、在 a 、 a b 、 x ? 1 、 1 ? x 、 3 中是二次根式的个数有______个【例 2】 若式子1 有意义， 则 x 的取值范围是 x?3． [来源:学*科*网 Z*X*X*K]举一反三：1、使代数式 A、x&3 2、使代数式 ?x?3 有意义的 x 的取值范围是（ x?4B、x≥3 C、 x&4） D 、x≥3 且 x≠4x2? 2 x ? 1 有意义的 x 的取值范围是3、 如果代数式 ? m ? A、第一象限1 mn有意义， 那么， 直角坐标系中点 P （m， n） 的位置在 （ C、第三象限 D、第四象限）B、第二象限【例 3】若 y= x ? 5 + 5 ? x +2009，则 x+y=解题思路：式 子 a （a≥0） ，??x ? 5 ? 0 , x ? 5 ，y=2009，则 x+y=2014 ?5 ? x ? 0举一反三：2 1、若 x ? 1 ? 1 ? x ? (x ? y) ，则 x－y 的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若 x、y 都是实数，且 y= 2x ? 3 ? 3 ? 2x ? 4 ，求 xy 的值 3、当 a 取什么值时，代数式 2a ? 1 ? 1取值最小，并求出这个最小值。已知 a 是 5 整数部分，b 是5 的小数部分，求 a ?1 的值。 b?2。若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a ? b ?第 62 页若 17 的整数部分为 x，小数部分为 y，求x2 ?1 y 的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性： a (a ? 0) 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ( a )2 ? aa ( ? 0 )． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代 数式写成完全平方的形式： a? ( a )2( a? 0 ) 3.a (a?0 ) ? a2 ? |a |?? ? a (a?0 ) ?注意： （1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3） 可移到根号内的因式， 必须是非负因式， 如果因式的值是负的， 应把负号留在根号外．a (a?0 ) ? 4. 公式 a2 ? 与( a )2 ? aa ( ? 0 )的区别与联系 |a |?? ? a (a?0 ) ?（1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．【典型例题】a ? 2 ? b ? 3 ? ? c ? 4 ? ? 0， a ? b ? c ? 【例 4】若 则2．举一反三：1、若 m ? 3 ? (n ? 1) 2 ? 0 ，则 m ? n 的值为 。第 63 页2、已知 x, y 为实数，且 x ? 1 ? 3? y ? 2? ? 0 ，则 x ? y 的值为（2）A．3B．C 3C．12D．C 13、已知直角三角形两边 x、y 的长满足｜x －4｜＋ ＿＿＿＿＿＿. 4、若y 2 ? 5 y ? 6 ＝0，则第三边长为2005a ? b ?1?a ? b? 与 a ? 2b ? 4 互为相反数，则? _____________。（公式 ( a ) 2 ? a(a ? 0) 的运用）2 【例 5】 化简： a ?1 ? ( a ? 3) 的结果为（）A、4―2aB、0C、2a―4D、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式:x2?3=； m ? 4m ? 4 =42x4 ? 9 ? __________, x2 ? 2 2x ? 2 ? __________2、 化简： 3 ? 3 1 ? 3??3、 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为?a (a ? 0) （公式 a 2 ? a ? ? 的应用） ?? a (a ? 0)【例 6】已知 x ? 2 ,则化简 x2 ? 4x ? 4 的结果是A、 x ? 2 B、 x ? 2 C、 ? x ? 2 D、 2 ? x举一反三：2 1、根式 ( ?3) 的值是() C．3 D．9A．-3B．3 或-322、已知 a&0，那么│ a －2a│可化简为（ ） A．－a B．a C．－3a D．3a第 64 页3、若 2A. 5 ? 2aa3 ，则?2 ? a?2?? a ? 3?2等于（ D. 2a ? 1）B. 1 ? 2aC. 2a ? 54、若 a－3＜0，则化简 (A) －1 (B) 1a 2 ? 6a ? 9 ? 4 ? a(C) 2a－7的结果是（）(D) 7－2a ）5、化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? （A） 2 （B） ?4 x ? 4?2 x ? 3 得（（C）－2?2（D） 4 x ? 4a 2 ? 2a ? 1 a2 ? a 6、当 a＜l 且 a≠0 时，化简 ＝．1 1 4 ? (a ? ) 2 ? 4 ? (a ? ) 2 a a 7、已知 a ? 0 ，化简求值：【例 7 】 如果表示 a ， b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│ a － b │2 + ( a ? b) 的结果等于（） C．－2a D．2ab a oA．－2bB．2b举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简： a ? 1 ? (a ? 2) 2 ? ______ ．a?1 012）【例 8】化简 1 ? x ? x 2 ? 8 x ? 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是（（A）x 为任意实数 （B） 1 ≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤12 2 举一反三： 若代数式 (2 ? a ) ? ( a ? 4) 的值是常数 2 ， 则 a 的取值范围是 （）Ａ． a ≥ 4Ｂ． a ≤ 2Ｃ． 2 ≤ a ≤ 4Ｄ． a ? 2 或 a ? 4【例 9】如果 a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 1 ，那么 a 的取值范围是（ A. a=0 举一反三： B. a=1 C. a=0 或 a=1 D.）a≤11、如果 a ? a2 ? 6a ? 9 ? 3 成立，那么实数 a 的取值范围是（）第 65 页A.a ? 0B.a ? 3; C.a ? ?3; D.a ? 32 2、若 ( x ? 3) ? x ? 3 ? 0 ，则 x 的取值范围是（） （D） x ? 3（A） x ? 3（B） x ? 3（C） x ? 3【例 10】化简二次根式 a ?（A） ? a ? 2a?2 的结果是 a2(C) a ? 2 (D) ? a ? 2(B) ? ? a ? 21、把二次根式 a ? A.?a1 化简，正确的结果是（ ） a B. ? ?a C. ? aD. ；(a ? 1)a2、 把根号外的因式移到根号内： 当 b ＞0 时，b xx＝1 ＝ 1? a。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开 得尽方的数或因式；?分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式） ： 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二 次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例 11】在根式 1)A．1) 2)a 2 ? b2 ; 2)3) x 2 ? 4) 27abc ，最简二次根式是（ ） 5C．1) 3) D．1) 4)B．3) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1 、1 45a , 30 , 2 , 40b 2 , 54 , 17(a 2 ? b 2 ) 2中 的 最 简 二 次 根 式第 66 页是。 2、下列根式中，不是 最简二次根式的是（ ．． A． 7 B． 3 C． 12） D． 23、下列根式不是最简二次根式的是( ) A. a2 ?1 B. 2 x ? 1 C.2b 4D. 0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1) (6)3a b2(2)3ab 2(3)x2 ? y2(4)a ? b (a ? b)(5)58 xy5、把下列各式化为最简二次根式：(1) 12(2) 45a b2x2(3)y x【例 12】下列根式中能与 3 是合并的是(A. 8 B.)27C.2 5D.1 2举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ A、 3和 18 B、 3和 ） D、 a ? 1和 a ?11 3C、 a2b和 ab22 、在二次根式：① 12 ；② 是 。 3、如果最简二次根式 a=__________.2 3 ；③2 ；④ 27 中，能与 3 合并的二次根式 33a ? 8 与 17 ? 2a 能 够 合 并 为 一 个 二 次 根 式 , 则知识点四：二次根式计算――分母有理化【知识要点】1．分母有理化第 67 页定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 就说这两个代数式互 为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 a ? a ? a 来确定，如： a与 a ， a ? b与 a ? b ， a ? b 与a ? b 等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 a ? b 与 a ? b ， a ? b与 a ? b ，a x ? b y与a x ? b y 分别互为有理化因式。3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、 分母都乘以分母的有理化因式， 使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例 13】 把下列各式分母有理化（1）1 48（2）?4 3 3 7（3）1 1 2 12（4） ?1 3 5 50【例 14】把下列各式分母有理化（1）2x 8 x3 y（2）2 a ?b（3） x8 x3（4） ?a2 b2b5 a5【例 15】把下列各式分母有理化：（1）2 2 ?1（2）5? 3 5? 3（3）3 3 3 2 ?2 3举一反三：1、已知 x ?x? y 2? 3 2? 3 2 2 ，y? ，求下列各式的值： （1） （2） x ? 3xy ? y x? y 2? 3 2? 32、把下列各式分母有理化： （1）a ?b ? a ? b? a? b（2）a?2 ? a?2 a?2 ? a?2（3）b ? a 2 ? b2 b ? a 2 ? b2第 68 页小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：① ③ 与 与 ； ； ② ④ 与 与 ； ．知识点五：二次根式计算――二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab = a 〃 b （a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 （a≥0，b≥0） a 〃 b ＝ ab ． 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方 根a a = （a≥0，b&0） b b4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。a a = （a≥0，b&0） b b注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的 左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例 16】化简(1) 9 ?16 (2) 16 ? 81 (3)5 ? 2 152 2 (4) 9 x y ( x ? 0, y ? 0 )(5)1 × 6 ?2 3 2第 69 页【例 17】计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【例 18】化简：(1)3 64(2)64b 2 9a 2(a ? 0, b ? 0)(3)9x 64 y 2( x ? 0, y ? 0)(4)5x 169 y 2( x ? 0, y ? 0)【例 19】计算：(1)12 3(2)3 1 ? 2 8(3)1 1 ? 4 16（4）64 8x x ? x ? 2 成立的的 x 的取值范围是（ 【例 20】能使等式 x ? 2 A、 x ? 2 B、 x ? 0 C、 0 ? x ? 2 D、无解）知识点六：二次根式计算――二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数 相加减，被开方数不变。 注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式， 再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开 得尽的因数．【典型例题】第 70 页【例 20】计算（1） ? 32 ?? ? ?1 1 ； 75 ? 2 0.5 ? 3 2 27（2） ?10? ?5 4 3 ? 1 2 ? 20 ? ? ? 245 ? ? ? ?4 5 7 ?； 5 3 ? ? ?（3） 32 ? （4） ?1 1 1 1 ； ? 75 ? 3 ? 4 8 5 3 21 3 2 ?1 ? ?3 ? 63 ? 27 ? ? ? 28 ? 48 ? 147 ? 3 4 7 ?2 ? ?2 ?4 x2 ? y 2 【例 21】 （1） 3 x ? y ? ? x? y 4x ? 4 y1 3 a a 27a3 ? a 2 ? 3a ? 108a 3 a 3 43 4a 5 a（2）a ?b a? b ? a ?b a? b（3）（4） a? a 1 1? ? 4b ? ? ? b ? ? 2 a b? ? ?（5） 81a ? 5a a ?3（6） xy ?x y ? ? y xy x ? ?2 x y知识点七：二次根式计算――二次根式的混合计算与求值【知识要点】1 、确定运算顺序； 2 、灵活运用运算定律； 3 、正确使用乘法公式； 4 、大多数分母有理化要及时； 5 、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、2 3 3 b ab5 ? (? a b) ? 3 b 2 a2、2 2(2 12 +41 －3 48 ) 8第 71 页3、1 3x2 y 〃 （-41 y2 ）÷ 6 xx2 y4、 ( 72 ?2 2? 3)? 3 ?7 65、 (2 3 ? 3 2 ? 6 )(2 3 ? 3 2 ? 6 ） 7、 (2 6 ? 5)10 (2 6 ? 5)11 8、 m 9m ? (10m6、 (3 ? 2 5 ) 2 ? (4 ? 5 )(4 ? 5 )1 3m 1 ? 2m 2 ) (m ? 0) 25 m【例 21】 1．已知：，求的值．2．已知，求的值。3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知 、 是实数，且，求的值．知识点八：根式比较大小【知识要点】1、 根式变形法 2、平方法 当 a ? 0, b ? 0 时， ①如果 a ? b ， 则 a ? b； ②如果 a ? b ， 则 a ? b。2 2 2 2 当 a ? 0, b ? 0 时，①如果 a ? b ，则 a ? b ；②如果 a ? b ，则 a ? b 。3、分母有理化法 4、分子有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。第 72 页5、倒数法 6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7 、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① a ? b ? 0 ? a ? b ；②a ?b ? 0 ? a ? ba8、 求商比较法它运用如下性质： 当 a&0， b&0 时， 则： ①b?1? a ? ba； ②b?1? a ? b【典型例题】【例 22】 比较 3 5 与 5 3 的大小。 （用两种方法解答） 【例 23】比较2 1 与 的大小。 3 ?1 2 ?1【例 24】比较 15 ? 14 与 14 ? 13 的大小。 【例 25】比较 7 ? 6 与 6 ? 5 的大小。 【例 26】比较 7 ? 3 与 87 ? 3 的大小二次根式典型习题集一、概念 （一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2 、 3 3 、 - 2、1 、 x （x&0） 、 0 、4 2 、 x1 、 x ? y （x≥0，y? ≥0） ． x? y（二）最简二次根式1．把二次根式 A．x （y&0）化为最简二次根式结果是（ ） ． yB． xy （y&0） C．x （y&0） yxy （y&0） yD．以上都不对4 2 2 2．化简 x ? x y =_________． （x≥0）3．a ?a ?1 化简二次根式号后的结果是_________． a24. 已知 xy? 0，化简二次根式 x?y 的正确结果为_________． x2第 73 页（三）同类二次根式1． 以下二次根式： ① 12 ； ② 22 ； ③ A．①和② 2．在 8 、 B．②和③2 ； ④ 27 中， 与 3 是同类二次根式的是 （ ） ． 3D．③和④C．①和④2 1 2 1 9a 、 125 、 75a 、 3a 3 、3 0.2 、-2 中，与 3a 是同类二 3 3 a 8次根式的有______ 3．若最简根式 3a?b 4a ? 3b 与根式 2ab2 ? b3 ? 6b2 是同类二次根式，求 a、b 的值．2 2 3m 2 ? 2 与 n ?1 4m2 ?10 是同类二次根式，求 m、n 的值． 3 （四） “分母有理化”与“有理化因式” 1. 2 + 3 的有理化因式是________； x- y 的有理化因式是_________．4.若最简二次根式- x ? 1 - x ? 1 的有理化因式是_______． 2.把下列各式的分母有理化1 1 2 ； （2） ； （3） ； 5 ?1 1? 2 3 6? 2 二、二次根式有意义的条件：（1） 1． （1）当 x 是多少时， 3x ?1 在实数范围内有意义？ （2）当 x 是多少时， （3）当 x 是多少时，（4 ）3 3?4 2 ． 3 3?4 22x ? 3 +1 在实数范围内有意义？ x ?12x ? 3 2 +x 在实数范围内有意义？ x （4）当 __________ 时， x ? 2 ? 1 ? 2 x 有意义。2 2. 使式子 ? ( x ? 5) 有意义的未知数 x 有（ ）个．A．0B．1C．2D．无数x 3．已知 y= 2 ? x + x ? 2 +5，求 的值． y4．若 3 ? x + x ? 3 有意义，则 x ?2 =_______．1 有意义，则 m 的取值范围是 m ?1 6．要是下列式子有意义求字母的取值范围 1 1? x （1） 3 ? x (2) (3) 2x ? 5 x5. 若 ?m ?。(4)x ?3 ? 8? x(5)x?2 ? 2? x(6)x2 ? 2 x ? 1三、二次根式的非负数性第 74 页1．若 a ? 1 + b ? 1 =0，求 a 的值． 2．已知 x ? y ? 1 + x ? 3 =0，求 x 的y3.若 x ? y ? y2 ? 4 y ? 4 ? 0 ，求 xy 的值。? a a≥0 ? 四、 a 2 ? a ? ? ?? a a＜0 ?的应用2 1． a≥0 时， a2 、 (?a ) 、- a2 ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ） ． 2 A． a2 = (?a ) ≥- a2 2 C． a2 & (?a ) &- a2 2 B． a2 & (?a ) &- a2 2 D．- a2 & a2 = (?a )2．先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 1 ? 2a ? a2 的值，甲乙两人的解答如下：2 甲的解答为：原式=a+ (1 ? a ) =a+（1-a）=1；2 乙的解答为：原式=a+ (1 ? a ) =a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 3．若│1995-a│+ a ? 2000 =a，求 a-19952 的值． （提示：先由 a-2000≥0，判断 1995-a? 的值是正数还是负数，去掉绝对值）2 4. 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ ( x ? 3) + x2 ?10x ? 25 。5．化简 a ?1 的结果是（ ） ． a A． ? a B． a C．- ?aD．- a1 中根号外的（a-1）移入根号内得（ ） ． a ?1 A． a ? 1 B． 1 ? a C．- a ? 1 D．- 1 ? a 五、求值问题: 2 2 1.当 x= 15 + 7 ,y= 15 - 7 ,求 x -xy+y 的值 2．已知 a=3+2 2 ，b=3-2 2 ，则 a2b-ab2=_________． 3 2 3.已知 a= 3 -1,求 a +2a -a 的值6．把（a-1） ? 4．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2 x 9 x +y2 3y 1 x ）-（x2 -5x ）的值． 3 x x y5．已知 5 ≈2.236，求（ 80 - 14 1 4 45 ）的值． ）-（ 3 + （结果精确到 0.01） 5 5 5第 75 页6．先化简，再求值． （6x3 y 3 x xy 3 ）-（4x + + 36 xy ） ，其中 x= ，y=27． 2 x y y1 x ? 1 ? x2 ? x x ? 1 ? x2 ? x 7．当 x= 时，求 + 的值． （结果用最简二次根式表示） 2 ?1 x ?1? x 2 ? x x ?1? x 2 ?x8. 已知 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ，求 x 2 ?1 ? 2 的值。 x2六、其他1．等式 x ? 1x ?1 ? x2 ?1 成立的条件是（ ）B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1 或 x≤-1A．x≥1 2.已知x2 ? 5x ? 4 9? x 9? x ，且 x 为偶数，求（1+x） 的值． ? x2 ?1 x?6 x?63．计算（ x + x ? 1 ） （ x - x ? 1 ）的值是（ ） ． A．2 4.如果 5.如果2B．3C．4D ．1 。( x ? 2) 2 ? x ? 2 , 则 x 的取值范围是( x ? 7)2 ? ?1 , 则 x 的取值范围是 x?72。。 。6.若 a ? ( a ),则 a 的取值范围是7.设 a= 3 ? 2 ，b= 2 ? 3 ，c= 5 ? 2 ，则 a、b、c 的大小关系是第 76 页8.若 243n 是一个整数，则整数 n 的最小值是 9.已知 11 ? 1 的整数部分为 a，小数部分为 b，试求。? 11 ? a??b ? 1? 的值3m2 ? 3n2 2.-3 ÷ 2a 2七、计算n n n 1 n3 1. ? （）÷ （ m&0 ， n&0 ） 3 3 2m3 m 2m m m（3 m?n a2 ）? （a&0） 2 a2 m?n1 ? ? 1 ? ? 3. ? a ? ? ?? a ? ? a? ? a? ?224.a ?b a ? b ? 2 ab ? a? b a? b5.x y?y x x y?y x?y x?x y y x?x y6.a ? 2 ab ? b ? a b ? a ?? ? ? ? ? ? a ?b ? a ? ab b ? ab ? b ? ab}