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趣味数学解答
趣味数学答案1．三子棋(一) ．三子棋 一对原题图 1～图 3 中的每一种情况，解答都相同，见左下图． 在原题图 4 和图 5 中都无法再加棋子，在图 6 中则可以再加 3 个棋子，如右下图所示．对 4×4 的方格来说，“最佳”的摆法通常都呈对称的形式．值得注意的是，对称的现 象也发生在图 4 和图 5 中，不过这是“最
糟”的形式．许多数学问题都有类似的现象．2．单人三子棋 ．如图的答案再次表现出对称的形式．本题与第 1 题的“三子棋”都是根据 n×n 的方格内，可以摆放 2n 个棋子，使得没有 3 个棋子成一直线而设计的游戏．3．三子棋(二) ．三子棋 二这个游戏与上面两题关系密切， 可作为两者的补充． 玩这个游戏的策略是要找出能迫使 对手无路可走的下法． 4～6．追逐曲线等 ～ ． 用许多小折线来逼近曲线， 是数学中非常重要的基本观念， 也是微积分与数值方法的重 要基础． 用这种方法可以创作出有趣的图形， 你也可以用彩色的线在纸板或是钉有小钉子的 木板上， 编织出美丽的图案． 在这种活动中， 除非完成前一条直线， 否则新的直线无法绘出． 须 注意的是， 请勿把这种方法与以下两个图所示的， 也就是标示出相同数目的点并连线的方法 混淆．7．合二为一 ．这是同类问题中比较简单的一个．可以把 A 分成两部分，每一部分由一个正方形与一 个三角形组成，如图所示．用这两部分可组合出许多不同的形状．要拼出所有的形状，其中 的一部分需要翻转．拼哪一种形状时不需要翻转？8．骰子填数 ．如果你能不用模型就找出正确答案，就表明你的空间感不错．9．火柴棒三角形 ．秘诀是搭出三维的四面体．10．牧羊人的栅栏 ．虽然使用三角形的栅栏有些异乎寻常，但这是解决问题的方法．11．折叠地图 ．在纸的两面都加上编号，然后如下图所示折叠．12．渡河问题 ．卖艺人先带羊过河， 再带狼过河， 并把羊带回来， 然后带包心菜过河， 最后再回来接羊． 13～17．圆形的伸展等 ～ ．这 5 题都讨论了作出椭圆的方法．第 13 题是要说明椭圆事实上是圆沿一个方向伸展的 结果．第 14 题说明当从另一个角度观察圆时，看到的就是椭圆．其实我们很少“看到”正 圆，可是我们会在看到椭圆时，自然而然就认识到那应该是个圆形的物体．第 15 题用折叠 纸片的方法作出椭圆．第 15 与 16 题都是先定出两个焦点，再自动地画出椭圆．第 17 题举 例说明椭圆可以是许多物体移动的轨迹． 画椭圆还有许多其他有趣的作图方法， 有兴趣的读 者可以参考有关工程制图的书籍．在历史上，开普勒(Johannes Kepler，)在观 测天体运行时发现， 所有的行星都在以太阳为焦点的椭圆轨道上运转． 今天大家都知道人造 卫星是“绕着”地球运转的，不过可能有许多人并不知道它们运行的轨道是椭圆轨道，地球 位于焦点的位置． 在第 13 题中，如果椭圆的长轴为 a，短轴为 b，则其面积为πab．因此，如果椭圆的 a=2b，则其面积为 2πb2，恰为半径为 b 的圆面积的两倍．同理，如果圆在一个方向伸展至 原来的 3 倍，则椭圆面积就会是该圆面积的 3 倍．椭圆的周长并不容易求出， 也没有简单的精确公式． 如果椭圆不是过于细长， 则π(a+b) 可合理地逼近其周长．比较好的近似公式是印度数学家拉曼努江(Srinivasa Ramanujan)在 1914 年提出的，即：18．网络的形成 ．这个游戏一定会在有限次的连接之后结束，因为可以认为一开始有 9 个“接头”(3 个 结点，每个结点都可接 3 条弧线)，每一次连接要用掉 2 个接头，新增的结点则只能带来 1 个可用的接头，因此一次连接的结果，是使接头的总数减 1，所以最多只能连接 8 次．如果 某个接头与其他网络隔离，连接的次数会更少．这些网络也可以应用在不同的场合，例如三 价的原子互相结合形成复杂的分子，情形就与这种网络连接的方式类似．19．立方体块 ．A 与 D 相同．20．火柴棒正方形 ．21．方形、十字与圆形22．火车司机的困扰 ．这个问题与第 33 题相当类似．关键是把 C 转至主线上，如图所示．23．聪明的牛奶商 ．先把 3 升的瓶子装满，然后把瓶子中的牛奶倒入 5 升的瓶子；再把 3 升的瓶子装满， 然后把瓶中的牛奶倒入 5 升的瓶子，直到装满为止．这时留在 3 升的瓶子内的牛奶正好是 1 升．用这种量出 1 升牛奶的方法，理论上可以量出任何升数为整数的牛奶．不过，显然这 并不是最有效率的方法．5 升与 3 升可以直接量出，其他如 6=3+3，8=5+3，所以要量出 6 升与 8 升很容易．但要如何量出 7 升与 4 升呢？24．士兵的遭遇 ．这题与第 12 题与第 35 题类似，这种问题早在本世纪初期就相当流行了．这个问题的 关键是独木舟能载两个小孩， 但只需要一个小孩就能划独木舟过河． 一个小孩先划独木舟至 左岸，然后一个士兵带着枪与装备划到右岸． 第二个小孩再把船划到左岸，把第一个小孩接回到右岸．重复此程序，直到每一位士兵 都过河为止．25．等宽曲线 ．石块向前移动 2m． 虽然有许多形状都可作为滚轮的横切面， 但只有圆形可作为轮子――除非你想有段颠簸 的旅程！要作最平滑的移动，轮轴必须位于轮子的中心．当然，也只有圆形的轮子，车轴至 轮缘的距离都相等．26．莫比乌斯带 ．过去没有接触过莫比乌斯带的人， 对于这个活动的结果通常会感到非常惊讶． 运用系统 化的方法，可以找到纸带扭转次数与从中间剪开后的结果之间的关系． 这个活动非常好玩，但除了好玩之外，它同样具有值得探讨的意义．27．内还是外 ．A 与 B 在内部，C 在外部． 每跨越围墙一次，不是由内至外，就是由外至内． 任何绕着环建成的圆形监狱，或是如同赤道一样的监狱，无内外之分．28．滚箱子 ．只要包装箱是绕边缘旋转，所有路径都是呈圆弧形．29．轮子往何处去 ．把 A、B、C、D 与轮子滚动瞬间的轴连线(图中的虚线)，则，A、B、C、D 的运动方向 就是与所连直线垂直的箭头方向．图 1 中的轮子绕中心 O 旋转． 图 2 中的轮子绕 C 点旋转，C 点是与地面接触的点． 图 3 中的轮子绕与铁轨接触的点旋转．在每一种情况中，A 都是由左向右移动，但 B 与 D 的移动方向变化就相当大．由图 3 还可以看出火车往前走得愈快，C 点向后移动的速度也会愈快．30．齿轮系统 ．(1)逆时针方向，4 圈． (2)顺时针方向，1 圈． (3)逆时针方向，1 圈． (4)顺时针方向，1/2 圈． 规则 1：轮轴的数目为偶数时，通常最后一个轮轴与第一个轮轴的旋转方向相反． 规则 2：在一个轮轴上如果只有一个齿轮，如图中(1)、(2)、(3)、(4)的情形，B 的旋转 圈数只与 A 和 B 的齿数有关：在图中(5)、(6)、(7)的情形中，需要把齿轮系统分解成数个部分，则上述规则方能适用． (5)A 每转 1 圈，第二个轮轴要转 3 圈．第二个轮轴每转 1 圈，B 要转 4 圈．所以 A 转 1 圈，会使 B 转 12 圈(3×4)．由于轮轴数为奇数，B 的旋转方向与 A 相同． (6)A 每转 1 圈，第二个轮轴要转 1/3 圈．第二个轮轴转 1 圈，会使第三个轮轴转 2/3 圈． 第三个轮轴转 1 圈， 会使 B 转 1/2 圈． 所以只要 A 每转 1 圈， 会使 B 转 1/3×2/3×1/2=1/9 圈．由于轮轴数为偶数，B 的旋转方向与 A 相反． (7)A 转 1 圈，第二个轮轴要转 3 圈．第二个轮轴转 1 圈，B 要转 1.5 圈．所以 A 转一 圈，会使 B 转 4.5 圈(3×1.5)．由于轮轴数为奇数，所以 B 的旋转方向与 A 相同． 下图是将 60 齿、36 齿、12 齿及 24 齿的齿轮设计成的齿轮系统．有时可利用齿轮系统增加旋转速度，如手动的钻子或打蛋器；有时也可用来减速，如时 钟、食物搅拌器或唱盘等等． 要改变输出轮轴的运动方向， 可以在齿轮系统中再加一个只有单一齿轮的轮轴． 这个多 加的齿轮的齿数，并不会改变齿轮系统整体的转速大小．32．马的舞蹈至少需要移动 16 次．最好是想象 4 个马作集体移动，它们由角落移向中间的方格，再 从中间移向角落，就像在绕着中央的方格作旋转．这个谜题历史悠久，在欧洲有文字记载的 历史可追溯至 1512 年．33．铁道支线 ．类似的谜题在本世纪初就相当风行． 就像其他的类似谜题一样， 这个问题初看并不困难， 但实际去做又会觉得很棘手．可以用彩色的积木代表车厢与火车头以帮助思考．34．彩色方块 ．把每一个边长 1cm 的立方体中相连且有一共同顶点的 3 个面涂上红色，其他 3 个相对 的面涂上蓝色，这样，这 8 个立方体就能组合出边长 2cm 的红色立方体，也能组合成边长 2cm 的蓝色立方体． 组合边长 3cm 的立方体要困难得多，最好是能用实物帮助思考．27 个边长 1cm 的立 方体具有 27×6 个正方形的面， 个边长 3cm 的立方体有 3×6 个面， 3 每个面由 9 个正方形 组成．所以只要正确地着色，就能作出相应的正方形． 在一个边长 3cm 的红色立方体中，有 4 种不同形式的小立方体．对蓝色及红色的立方体而言，情形也是一样，因此着色的方法如下： 6 个立方体 R2B2Y2 3 个立方体 R3B2Y1 3 个立方体 R3B1Y2 3 个立方体 R2B3Y13 个立方体 R1B3Y2 3 个立方体 R2B1Y3 3 个立方体 R1B2Y3 1 个立方体 R3B3 B3Y3 Y3R3(各一个) R 表示红色，B 表示蓝色，Y 表示黄色，数字则代表着该颜色的面的数目，而且颜色相 同的 2 个或 3 个面均互相邻接． 使用符号描述不同的立方体是非常有用的方法． 数学家通常也是使用字母与符号描述所 面临的问题，而不是用长篇大论的文字叙述．35．善妒的丈夫 ．和上一题一样，用一些符号来描述问题，对解题会很有帮助．现在用 Aa，Bb，Cc 表 示 3 对夫妻，大写字母代表丈夫，小写字母代表妻子． 在 3 对夫妻的情况下，船需要来回 5 次．以下为一种解法：首先 3 位妻子 abc 划到对岸，再由 a 妻子把船划回来；然后 3 位丈夫 ABC 安全地划过 去，将 a 妻子留在旅馆中；最后，A 丈夫回去拯救他勇敢的妻子！ 在一些卡片上写上代表各人的符号，可以帮助你解题． 下列 5 对夫妻的解法能满足所有条件，但需要来回 13 次，也许你可以找到更好的方 法．如果读者发现更好的解法，请告诉本书作者．首先 3 位妻子 abc 先划到安全地带，再由 a 妻子把船划回去．然后 A 与他的妻子到对 岸，妻子下船，A 把船划回去(由于 b 和 c 的丈夫不在场，所以 A 不能下船)．再由 ABC 划 过去，Aa 划回来，这时 Bb 与 Cc 已经到安全地带．现在由 ADE 划到对岸，他们的 3 位妻 子则暂时留在旅馆中．A 回来接他的妻子，然后再由 D 与 E 回来接各人的妻子．36．延长电线 ．如果你把这个大厅想象成鞋盒，并展开成平面，则由 A 至 B 最短的路径，为横跨地板、 一面墙以及天花板的路径，长度为 40m．37．聪明的园丁 ．38．周长与面积 ．你可能会发现，刚开始几乎都是“碰巧”找到形状，但不久就觉得有规律可循，使你的 方法更具有系统性． 有一种方法是由一个 3×3 的正方形，或一个 4×2 的长方形开始，然后想象其边界可 能的变化方式，如图 1 所示．5×1 的长方形只有一种解，4×2 的长方形则有有限个解．大部分的形状由 3×3 的正 方形变化而来．从这个活动中可以清楚地看出，周长相同的形状，面积不一定相同．边长为 3、4 与 5 单位的三角形为直角三角形，由此也可以找出其他周长为 12 单位的形状．一些可 能的形状如图 2 所示．周长为 12 单位的可能形状总数，视形状的种类而定．如果线能够交叉或重叠，则形状 的数目会变得更多． 如果是一组人一起进行这个活动， 大家可以讨论什么形状是可以接受的， 以及该如何精确地定义“可以在钉板上作出的周长为 12 单位的形状”．图 3 中的哪些形状 是可以接受的？39～40．镶嵌图案等 ～ ．在人造的物体中经常可以见到镶嵌图案．例如墙上的砖、庭院中的石板路、地毯与壁纸 等，都与镶嵌图案有关，因为这些都是一再重复基本单元所构成的图案．事实上， 任何四边形都可以作为镶嵌图案的基本单元． 用卡片纸剪下一个四边形作为样 板．由一个四边形(阴影部分)开始，轮流绕每一边的中点，将四边形旋转 180°．41．面积相同的形状测量某种形状的面积与以单位面积的形状单元作镶嵌图案有关． 基本的形状单元通常是 取正方形．在这道题目中，主要的概念是在面积固定(2 平方单位)，以及顶点位置受到限制 的情况下，看能找到多少不同的形状．找到新形状的关键是利用图 1 中的三角形． 这些三角形可以用许多不同的方式互相组合，而产生出 2 平方单位面积的形状．可以 用下列两种方式来看任何一种形状的面积：(1)较小形状的总和． (2)从较大的形状切除几部分后所剩余的部分． 举例来说，图 1 中(4)所示的斜线部分的形状，可以视为一个单位正方形与两个面积为 单位正方形一半的三角形的总和； 或是视为四个单位正方形减去一个单位正方形与两个面积 为单位正方形一半的三角形． 这个活动比一般教科书上以长乘宽计算长方形面积的方式更基本，而且也更重要． 在 5×5 的钉板上可以找到更多的形状，因为可以形成下列的三角形(图 2)．42．钉板上的面积 ．在解答问题之前，你必须相信自己能够正确导出所作出的形状的面积． 所有内部只有 1 枚钉子的形状皆满足：也就是说，面积恰为该形状边界上钉子数目的一半． 所有边界上有 12 枚钉子的形状皆满足：A=i+5也就是说，面积等于内部钉子的数目加上 5． 以上的公式都是皮克特定理的特殊情况．皮克特定理为：43．钉板上的路径 ．所有路径的长度都是 24， 因为要走过 25 枚钉子， 所以必须走 24 步． 一般而言， 路径的长度为 n2-1．可以找到旋转式对称的路径，试着同时由不同端点出发而在中 点会合，就可以找到对称的路径(图 1)．可以走对角线时，在 3×3 的钉板上有许多种走法．因为有 9 枚钉子，所以由 A 至 B 必须走 8 步．要找到最短的路径，需要交叉移动或上下移动，但要找到最长的 路径，就需要尽可能地利用对角线． 最短的路径为 8 单位长(图 2)， 其中 1 单位表示钉板上钉子与钉子之间的最短距 离． 3×3 的钉板上，只可能有两种对角线走法，如图 3 所示．PQ 的长这个结果可由勾股定理导出或用尺量出，但用尺量无法得到与用勾股定理计算 同样精确的结果．当路径不得交叉时，最长的路径如图 4(1)，其长度大约等于 12.13．当路径可以交叉时，就可以运用如 PQ 的走法，因此最长的路径如图 4(2) 所示，其长度大约为 15.42． 请注意这两种解答的对称性．有一种解法看起来比上两种解法都要好，因为其中并不包含任何较45．你能作出多少三角形 ．解这题需要分两步．首先要决定能作出哪几种三角形，然后计算每一种的个 数．下列图形是能在 3×3 钉板上形成的 8 种三角形．第一种三角形有 16 个．每 4 枚钉子组成一个正方形，总共有 4 个正方形． 第二种三角形有 16 个，钉板边缘的每对钉子都有 2 个． 第三种三角形有 8 个，每一边有 1 个，以顶点为中心的有 4 个． 第四种三角形有 16 个，每一角落有 2 个，每一边的中点有 2 个． 第五种三角形有 4 个，钉板的每一角落有 1 个． 第六种三角形有 4 个，钉板的每一边有 1 个． 第七种三角形有 4 个，钉板的每一角落有 1 个． 第八种三角形有 8 个，钉板的每一边有 2 个． 因此总共可以作出 76 个不同的三角形．46．你能看出多少三角形 ．把直线相交的所有交点用英文字母予以标示，然后用字母标示出三角形，应该 会有所帮助．虽然这个问题与前一题有些类似，但所用的方法却不同．例如，首先记录所有以 AB 为边的三角形，然后取 AC，以此类推．将三角形按字母顺序排列，可以很容易看出是否重复计算了某个三角形．47．电动船 ．这是个很有趣的题目，最初看起来似乎不太可能有解．不管船的路径如何，除非导航员把船引导至图中的 C 点，否则两船不可能相 遇．在 C 点，AC 的距离等于 BC 的距离，由 B 向 C 的方向也比由 A 向 C 的方向多 90°．因此当船由 A 到达 C 时，另一艘船也会由 B 驶抵 C．48．四通八达 ．(1)A→C→E→B→D→A→B→C→D→E→A 还有许多其他可能的解，如： A→B→C→D→A→C→E→B→D→E→A (2)如果画此网络能使铅笔不离开纸面，或不必走任何线两次，则此网络就具有 穿程性(traversability)．在上一小题中，网络具有穿程性；但在这一小题中，网络只 能分 4 个部分画出，故铅笔必须离开纸面 3 次．最早研究穿程性网络的人是 18 世纪早期的数学家欧拉(Eu-ler)，他所研究的就 是著名的哥尼斯堡桥问题(K nigsbergbridges)．哥尼斯堡是德国的一个城市，普雷 格尔河(RiverPregel)流经市区，河中有两座小岛，由 7 座桥把两岸和两座小岛连接 起来，如图 1 所示．哥尼斯堡的居民长久以来一直想知道要如何才能走遍 7 座桥，而且每座桥只经过一次，最后又回到出发点，但他们找不到解决方法．当欧拉获知 此问题时，他便证明此问题无解．他首先用网络代表上述的地图，将城市的每个区 域简化成点，桥简化成弧．现在，该问题就简化成笔不离纸面就画不出网络的问题． 欧拉了解问题的关键是，A、B、C、D 的弧线数目都是奇数――在 B、C、D 点有 3 条，在 A 点有 5 条(图 2)．他证明有奇数条弧的网络结点(奇数结点)，只能作为网络的起点或终点，所以 有 4 个奇数结点的哥尼斯堡桥问题无解．要知道为何奇数结点不能作为网络的中间点，可考虑如图 3 所示的 3-结点 P， 及其分支 1、2 与 3．对于包含 P 的网络，当铅笔沿着 1 来到 P 点，并经由 2 离开， 然后在走过一些其他弧线之后，应该沿着 3 回去，但这时却没有可以离开 P 的其他 路．对任何奇数结点皆可以类似地论证，因此奇数结点只能作为起点或终点．只有 在“所有的结点都是偶数结点(即具有偶数条弧线)”，或“除了两个作为起点或终 点的奇数结点外，所有结点都是偶数结点”这两种情形下，网络才具有穿程性．故 哥尼斯堡人如果炸掉 AB 桥，或是在 A 与 B 之间增加第二座桥，就能解决这个问题 了．49．马的位置 ．如图是一种解法．请检查是否每一个方格都会被攻击．也可以用 5 个王后，或 9 个王，或 8 个象得到相同的结果．请试一试！50．倒转火车 ．为了能有效地解出这个谜题，需要设计一些记录各次移动的方法．如果能用一 些标上号码的筹码代表火车，实际在铁路网上移动，将有助于思考．在此题的解答 中共作了 15 次移动，如箭头所示．50．倒转火车为了能有效地解出这个谜题， 需要设计一些记录各次移动的方法． 如果能用一些标上号 码的筹码代表火车，实际在铁路网上移动，将有助于思考．在此题的解答中共作了 15 次移 动，如箭头所示．51～55．一般性评论 ～ ． 这些活动的目的是希望使读者对于移动中的形状的互动关系能有更深入的了解． 在传统 的几何学教学中， 大多只探讨静态的类似土地测量的问题， 而很少提到有关运动的几何学． 作 者介绍这些活动的用意， 是要使几何学与我们日常生活的关系更加密切． 实际动手制作模型 是从这些活动中学到更多知识的最好方法．51．平行四边形连杆 ．通常我们会作“AB 来回移动”的描述，A 所形成的轨迹是以 D 为圆心、DA 为半径的 圆的一部分．AB 上所有其他点的轨迹，也都是类似的部分圆，圆心也都在 DC 上．BC 转动的角度一定与 AD 相同，所以也是 30°． 使用平行四边形雨刷， 或许是因为它能扫出较理想的形状． 但最可能的理由是因为一般 车子的雨刷， 大半的时间都是在把会再度滑下的水滴往上推， 所以平行四边形的雨刷会比一 般车子所用的雨刷更有效． 52～53．摇摇马等 ～ ． 事实上，今日的摇摇马与一些维多利亚时代的摇摇马，都是使用相同的连杆机制，这的 确是件很有趣的事． 现在有些跷跷板也使用这种机制， 但与简单、 常见的枢轴式翘翘板相比， 看不出它有什么好处． 制作摇摇马与汽车方向盘模型是非常具有教育意义的活动．赶快动手制作吧！54．直线运动 ．瓦特的平行运动连杆所形成的轨迹像是细长的数字 8， 契比雪夫连杆的轨迹则像是压扁 的半圆形．最好是亲自制作模型，做个实验．55．旋转 ．这与可以在许多玩具店中买到的比例绘图器非常类似， 结合两个连杆而作出平移的过程 是非常有趣的．57．四胞胎 ．所分成的 4 个部分不仅完全相同，而且形状也与原图形一样．58．组合正方形 ．目前市面上也有许多类似的塑料制品玩具， 不过你可以用彩色的卡片纸做出你自己的作 品．59．硬币的旋转 ．A 需旋转两圈．当 A 旋转至 B 的顶端时，A 的人头朝下．当 A 旋转至 B 的右方时，A 的人头朝上．当 A 在 B 的下面时，A 的人头又朝下．当 A 回到起点时，A 的人头又朝上．60．猎人 ．一只北极熊！从北极开始，如图 1 所示，就可以得出符合题目条件的解答．不过在南极也有无限多 种可能．例如，猎人也可以从任何周长为 3km 的纬度线以北 3km 处开始，如图 2 所示，或 是从任何周长为 1.5km 的纬度以北 3km 处开始，以此类推．61．4 点同在一平面很难想象真的会有 6 种不同的排法．你是不是在翻看解答之前早就放弃了？62．字母骰子 ．H 的反面为 S．字母的排列如图所示，从图中可以看出事实上有两个 S．63．拐折六边形 ．只要三角形的号码标示正确，而且能按指示折叠，应该不会难做．不要使用太厚的卡片 纸，否则很难折．如果要做比较大的拐折六边形，可以用胶带纸把画在不同卡片纸上的三角 形连接在一起，这样会比较容易一些．64．培利加的证明 ．这是说明勾股定理非常好的方式， 简洁有力地证明了两个较小正方形的面积和等于直角 三角形斜边上的正方形的面积．试证明 1、2、3 与 4 这几个部分也可以组合成平行四边形．65．做一个四面体考考你的朋友 ．对此前没有经验的人来说， 这个问题并不容易． 作者知道有些人能正确做出半四面体形 状，但仍无法拼出完整的四面体．许多人在面对两个半四面体时，经常会“不由自主”地要 保持长边互相平行． 67～68．用直尺与圆规作图等 ～ ． 现在一般学校都不大强调用直尺与圆规作图， 其实对各年龄段的学生而言， 这都是相当 具有启发性与挑战性的问题． 第一项活动介绍使用圆规与直尺作图的一些基本方法， 第二项活动则是介绍与三角形有 关的一些圆形的作图法． 相关的活动还包括作出角平分线等． 用直尺的两边就可以得到两条固定距离的平行线． 用这种方法可以不用圆规而画出许多 图形．69．海战棋 ．自己设计游戏，一定能令你获益匪浅．70．王后保卫战 ．4×4 棋盘的另外两种放法如下所示．5×5 的棋盘有许多种放法，每一种都需要 3 个王后．其中两种如下所示．你还能找到 多少不同的放法？6×6 的棋盘也可以只用 3 个王后，但只有一种放法．7×7 的棋盘则需要 4 个王后．8×8 的棋盘至少需要 5 个王后．下面的放法同时也能满足叶尼希提出的条件，即王后 不会彼此攻击．71．眼见为实这是个老问题了！陷阱是在 13×5 长方形的对角线部分，其实它是一个非常细长的平 行四边形，其面积为 1 平方单位．72．道路考察 ．A、C、E、G、H 与 I 为奇数结点，因此与这些结点连接的道路中各有一条必须经过两 次(参见第 48 题的讨论)．为了使总里程数最小，应该选择 AG、HC、与 IE 为重复经过的道 路．有一种可能的路径为： A→B→C→D→E→F→A→G→F→I→E→I→D→H→C→H→B→G→H→I→G→A 总里程为(6×13)+(9×12)+(6×5)=216km73．棋盘上的骨牌 ．答案是不可能！ 假设骨牌一半涂黑色，一半涂白色，形成类似国际象棋棋盘的样子．去掉棋盘两个相对 角落的方格，会使棋盘少了相同颜色的两个方格．在图示中，留下的是 30 个黑色方格与 32 个白色方格，因此无法用骨牌摆满整个棋盘．74．双胞胎 ．知道了方法就很容易！75．四色定理 ．许多人都会兴致勃勃地要找出无法只用 4 种颜色绘制的地图，有时自认为找到了，但 后来又会有人只用 4 种颜色重新着色，而浇他一盆冷水．图示为如何只用 4 种颜色将地图 着色的方法．有趣的是，在环体(如救生圈)的表面，如果要将地图着色，则至少需要 7 种颜色．76．五连形 ．如果你喜欢拼图，这个活动应该能使你有如鱼得水之感！下面的解答是由一位 11 岁的 儿童发现的，他用几星期的时间，在练习簿上画满了各种不同的解答．你也可以试着用一组 五连形拼成如 5×5 的正方形等其他形状． 市面上也可以找到塑料或木制的五连形与六连形， 不过如用彩色卡片纸自己做，效果是一样的．所有的五连形都可以自行嵌合．下图所示为可组成开口盒子的五连形，画斜线部分为其底部． 请问你是否能将 9 个正方形排列组合成可以包含这 12 种五连形的形状？77．六连形 ．35 种不同的六连形见下页图．画斜线的是可以折成立方体的形状．值得注意的是，这 里的六连形是以一种系统化的方式呈现的．首先是 6 个正方形排成一行；然后是 5 个正方 形排成一行(有 3 种)；接着是 4 个正方形排成一行，另外两个正方形再在这一行的上下方变 换位置．以此类推． 其中偶数型的有 11 种，奇数型的有 24 种． 7×6 的长方形有 42 格．假设把 7×6 的长方形像国际象棋棋盘一样涂上黑色与白色， 则其中会有 21 格是黑色的． 但是 7 种偶数型六连形的黑色方格总数是偶数， 不可能等于 21． 可以用类似的论证方法说明为何所有的 35 种六连形绝不可能嵌合在一起而形成长方 形． 因为这种长方形有 35×6 个正方形， 故有 35×3=105 个黑色方格， 是奇数个黑色方格． 但 是有 11 种偶数型六连形，故应有偶数个黑色方格，其他 24 种奇数型六连形的黑色方格数 也是偶数．既然 35 种六连形所包含的黑色方格总数为偶数，所以不可能组成长方形．78．建构立方体 ．另外两种半立方体形状如图 1 所示．把 2×2×2 立方体分成两个部分的其他方法，是从 2×2×2=8 而来，也就是说，可以 分成 7+1、6+2、5+3 或 4+4 等两个部分．4+4 时的 3 种情况我们已经讨论过了，其他的情 况则都只有一种分法，如图 2～图 4 所示．找出新形状的最好方法，就是用一些立方体实际动手拼拼看，即使用方糖也可以． 使用 5 个立方体所形成的形状可以称之为五方体(pen-tacube)， 共有 29 种． 其中 12 种 与五连形相同，等于是把一个个立方体放在五连形的正方形上．其他 17 种三维的形状如图 5 所示．其中许多形状互成镜像，但无法互相嵌合． 分组竞赛，看谁能找出最多的形状．如使用彩色立方体，这个活动会变得更有趣． 此外，设计一套记录各种形状的方法也是很值得去做的事．图 6 是记录图 5 中第一种 形状的例子．79．半立方体 ．这个活动是前一个活动的延伸， 虽然不限制使用单位立方体， 但是要把一个立方体分成 两个相等的部分并不容易．橡皮泥模型可能对你的研究会有所帮助．找到分解方法后，可以 用彩色的卡片纸或木头做出模型．80．制作多面体积木 ．刚开始剪下许多相同的形状时需要些耐心，但这一定是值得的．使用这些道具，能让你 发现许许多多的立体形状， 而且其中有不少是不用这些道具就想不到的． 如果你能说服别人 帮助做出三角形与正方形等等， 那就更好了． 这种方法的好处是， 你并不需要买昂贵的材料， 只要用一些包装盒即可．作者用的道具是 10 年前做的，直到现在还可以用．81．十二面体与星状十二面体 ．做出正十二面体的模型，一定能让你很有成就感．在画出圆中的第一个正五边形时，要 精确地测量 72°角，否则就无法紧密接合．制作过程并不如你所想的那么困难，需要的只 是耐心而已．82．等距变换游戏 ．这个游戏是一批学生在学习反射、 旋转与平移时设计出来的． 只要你能熟悉这些变换的 方式，游戏时你就可以和朋友乐在其中．83．切割立方体 ．由于这块立方体中心边长 1cm 的立方体有 6 个面，而且都需要被锯到，所以不可能有 比锯 6 次还少的锯法．84．似假实真的洞 ．要证明在一块立方体中钻洞， 使更大的立方体可以通过是可能的， 就必须先证明一个立 方体具有比其正方形面更大的横切面．考虑如图所示的长方形 ABCD．A、B、C、D 与其 最接近的立方体顶点的距离都相等．AB 显然比 PQ 长，因为 AB 是倾斜的．BC 也比立方体 的边长， 因为 BC 几乎等于对角线 QR． 所以从一块立方体中钻一个比其正方形面更大的洞， 的确是可能的．85．从等边三角形到正方形 ．假设这些部分以 P、Q、R 点连接，则如图旋转之后就能形成正方形．86．将瓮化为正方形 ．将瓮化为正方形解题的关键为找到圆的组合形式．87．困惑的家庭主妇 ．只要把车站的时刻表拿给史密斯太太看，她就会明白其中的奥妙了．P 路车到站与 Q 路车到站的时间只差 1 分钟，但在下一班 P 路车之前，Q 路车与 P 路 车相差 9 分钟．所以在任何 10 分钟的间隔内，要花 9 分钟等 P 路车，但只要花 1 分钟等 Q 路车．因此对于常常要在这个车站搭车的人来说，10 次有 9 次会是 P 路车先出现．88．倒转三角形 ．需要移动 3 枚硬币．所移动的是 3 个角落上的硬币，如图所示．89．马的路径 ．马不可能在 4×4 的棋盘上走完全程， 最多只能找到一条经过 15 个方格的路径(图 1)． 5 ×5、6×6 与 7×7 的棋盘则可能有解，走法如下(图 2～图 4)．包括作者以及许多前人在内，对于寻找马的路径始终乐此不疲，或许你也已有同感！ 可以让马走完全程的更小长方形为 5×4 与 4×3(图 5 和图 6)．十字形的走法如图 7 所示，第二种为一重返路径． 前面提到的 6×6 棋盘的走法，是由 18 世纪数学家欧拉所发现的重返路径，从最后一 个方格(36)可以走到第一个方格(1)． 在奇数方格的棋盘上不可能有重返路径的理由是， 马一定是走到不同颜色的方格上． 假 设黑色方格为起点，在经过偶数次移动之后，马已走过奇数个方格，而再停在黑色的方格 上．由于这个方格与作为起点的方格颜色相同，因此马也就无法从这个方格走回到起点．90．距离新解 ．我们习惯上认为距离是可以用尺测量的一种量， 但其实在许多情况下， 这种观念不见得 适用．举例来说，如果你住的地方有许多单行道，那么两地之间开车所走的距离可能就会与 步行的距离有很大的差距．棋盘上马的移动方式，对距离的概念作出了特殊的诠释． 由于马每走一步， 一定是移动到相反颜色的方格， 所以位于白色方格的马要移动到另一 个白色方格，所走的步数一定是偶数．棋盘上 5 个未标号的白色方格(原题图 3)，与标号 2 的方格距离为 2 次移动，所以与图中的马的距离为 4 次移动． 下图所示为当马位于角落时，它与棋盘上所有其他方格的距离．由图可知，与马最远的 距离是 6 次移动．91．高杆撞球法事实上，有技巧的高手可以使球旋转，此时球撞击台边后再弹出的角度就有显著的不 同．无论如何，只要善于运用这个活动中所描述的方法，还是可以避开阻挡的球，成功地撞 击目标球．92．欧拉关系 ．欧拉关系可以用符号表示如下： V-E+F=2 其中 V、E 与 F 各代表多面体的顶点、边与面的数目．有洞的多面体并不满足上述关系，可与不相连的网络相互比较．93．相交圆中的曲线 ．如果你想要练习使用圆规， 那么这个活动一定能使你感到满意． 先在纸的中间画一条线， 并标示出 0.5cm 的间距，以便能得出圆的正确半径．有效使用圆规的技巧包括：确定圆规 两臂的连接处没有松脱；将圆规两臂并拢时，铅笔或圆珠笔的笔尖要与针齐；画图时力量要 放在圆规的针尖；不要用握铅笔的方式移动圆规． 除了椭圆之外，最明显的曲线族应该算是双曲线．95．正方形 ．必须注意那些与棋盘呈某种角度倾斜的正方形，如图所示．96．饥饿的书虫 ．答案不是 15cm！ 圆中画的是从书的上方往下看的样子， 虚线表示书虫的路径， 只有 9cm 长！97．岔 道 ．要解这个问题，可将高速公路想象成一面镜子，找出 G 的镜像 G′．再将 G′与 P 连 线，它与高速公路的交点即为 J 点．现在说明为何这就是最短的路径．由于 GJ+JP=C′J+JP=G′P 所以如果取高速公路上的任何其他点 Q，则 GQ+QP=G′Q+QP＞G′PG′QP 为三角形，两边之和一定大于第三边．98．该骑多快 ．不论他在下坡时骑多快，也无法达到每小时 40km 的平均速度．因为每小时 40km 就表 示他应在 15 分钟之内由 A 骑 10km 到 C，但他已经花了 15 分钟爬坡至 B．99．滑雪车道 ．与一般人的想法相反，这条滑雪车道并非是由 S 至 V 的直线．最快的下降路径事实上 应该是部分的“摆线”，其部分长度甚至还是在上坡的路段．轮子沿直线滚动时，轮缘上某 一点的轨迹就是摆线．在纸上压住一把直尺，用圆形物(盖子、硬币)沿着直尺滚动(不要滑动)，描出物体边缘 上的一点的轨迹，即可作出摆线．你可以实际做出两条跑道，验证摆线确实是下降速度最快 的路径．其中一条形状如倒转的摆线，另一条为直线，同时让两颗弹珠往下滚．100．元音表 ．设计问题时，可以用一个 5×5 的方格，先想好该如何分成 5 块，然后再填入文字或符 号．101．空间填充无法用较小的四面体堆出大四面体．假设从大四面体的的每一个顶点移去一个四面体， 则留在中心的是一个有正方形横切面的八面体，而这是无法由较小的四面体组成的．102．长方形的对角线 ．设 h 为 l 与 b 的最大公因数，则关系式为： d= l +b-h 例如，当 l =15，b=10，h=5 时，与对角线相交的方格数目为： 15+10-5=20103．分割平面的直线 ．列表之后就能很明显地看出 r 的数目之间的差为 1、2、3、4、5，以此类推．不难推导 出当 n=10 时，r=56．n=100 时，r 的值也能用类似的方法导出，但如果用公式计算，得出 5 051，自然是容易得多．S=1+2+3+4+…+(n-1)+n 即 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1(将次序颠倒) 因此 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)下一题将探讨用差分推算数列的技巧，这种技巧在研究由 P 个平面分割空间，所分割 成区域数目的极大值时也很有用．分割平面在 4 个以上时，就很难用“看”的方法去了解实际状况，这时差分技巧就派 上用场了：104．数字序列――差分 ．数字序列――差分 ――第十项为 120．原始数列的下两项为 62 与 87． (5)67 (6)96 (7)238 (8)275105．从点阵模式到数字模式 ．(1)4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 (2)1 5 13 25 41 61 85 113 145 第一个数列是第二个数列差分的集合． 数列(1)的第一百项为 400． 数列(2)的第一百项等于 1+4+8+12+16+…+396 =1+4(1+2+3+4+…+99) =1+2(1+2+3+…+97+98+99+99+98+97+…+3+2+1) =1+2(100+100+100+…+100+100+100) =1+(2×99×100) =19801 第十个三角形内的点数很容易就可以由差分法找到．前 10 个奇数的和是 102=100． 奇数 1、3、5、…39 的和为 202=400，因为 39 是第二十个奇数． 在 60 与 100 之间的奇数和，就等于 1 至 99 的奇数和减去 1 至 59 的奇数和．99 是第 五十个奇数，59 是第三十个奇数，故所求的和为 502-302=1600．106．钉板上的正方形 ．你可能认为在 8×8 钉板上， 所能作出的不同形状正方形的数目为 19， 但其实你忽略了 在作对角线正方形时，有一个是以 3、4、5 为 3 边的直角三角形为基础的正方形，而这个 正方形的边长为 5，所以与 6×6 钉板的边界正方形重叠． 正方形数目 N 与钉板一边的钉子数 n 的关系如下：在 8×8 钉板上所作成的正方形面积为：观察其间的差，似乎看不出任何可以使数列继续下去的明显模式．107．多边形的三角分割 ．(1)有 17 条对角线． (2)四边形、五边形分别有 2 条、5 条对角线．(n-3)条对角线， 共有 n 个顶点，故得 n(n-3)，但因为每一条对角线都重复计算了两次，故此数目应减半．(3)2 条，3 条，4 条． 一般而言，在 n 边形中，可以画出 n-3 条互不交的对角线． 图 1 与图 2 是两种分割六边形的不同方法． 图 3～图 5 是分割七边形的其他 3 种方法．1+5+1+2+2+2+2=15 1+2+3+2+1+3+3=151+2+4+1+2+2+3=15 在各种情况中，七边形被分割后都形成 5 个三角形，每一个三角形都包含 3 个顶点， 所以在使用的数字记录系统中，每一个三角形都被计算了 3 次．因此各种情况的数字和都 为 5×3=15． 显然多边形的边愈多，也就有愈多种不同的分割方法．但作者至今尚未找到一种公式， 可以预测对已知边数的多边形进行分割时，不同分割方法的数目． 姑且不论有多少分割方法的问题， 这个活动的目的之一是要介绍可以形成带状模式的数 列．对带状模式的研究最近才刚起步，而且人们对它所知不多．只要你熟悉生成新数列的方 法，其算术是相当简单的，但形成的模式却非常奇妙．108．一个人玩的跳棋游戏 ．跳棋游戏虽然历史悠久，但一直未受重视，可能是因为看起来似乎过于简单． “跳蛙”最少需移动 15 次． 将 7 个洞由左至右编号，则 15 次移动的方法如下所示，其中的数字代表空的洞： 354 策略为尽量用跳的方式，在此解中共跳了 9 次． 将 x 个黑色棋子与 y 个红色棋子互换位置，最少要移动 xy+x+y 次，其中 xy 为“蛙跳” 的次数．109．一分为二 ．110．将立方体着色 ．最少需要 3 种颜色，因为有 3 个面交于立方体的顶点，这 3 个面必须为不同颜色，所 以即使相对的面颜色相同，也没有相邻的面为相同颜色． 如果有 A、B、C、D4 种颜色可用，每一次取 3 种颜色的组合有 4 种，即 ABC、ABD、 ACD 与 BCD，而且每一种组合中只有一种将立方体着色的方法．所有其他的方法都会用到 所有的 4 种颜色．如果没有立方体模型，要整理出这些着色方法并不容易．要注意的是， 除了两个相邻面必须不同色之外，相同颜色的面也不能超过两个． 因此要用 4 种颜色涂 6 个面，就必须有两种颜色用两次，另外两种颜色各使用一次．如 此就有 6 组解答，如图所示．在每一种情况中，只出现一次的两种颜色，必定是在相对的面．这 6 组解答，加上前 面只用 3 种颜色的 4 组解答，所以将立方体着色共有 10 种不同的方法．111．将圆分解数字序列暗示答案为 32，但其实是 31．这是个很好的例子，说明除非有相当确实的证 据，否则不要轻率地预测数列的下一个数字．学过排列组合的读者应知道 n 个点可以把圆 分成112．平方关系 ．这个问题的目的是让你练习使用计算器．一种找答案的方法是按下列的方式列表：答案是 840，因为： 840+1=841=292 (840×2)+1=113．园丁的石板 ．与上一题一样，你需要将平方数列表．这个问题是要找出满足下列式子的整数解： a2+b2=c2+d2 有一组解为： 62+72=22+92=85 其他可能的解为： 82+112=42+132=185 152+202=72+242=625114．魔术三角 ．要明智地运用“试误法”解这些问题． 1、2、3、4、5、6 有如上 4 种排法． 请注意数字是如何成对出现的，其中位于三角形顶点的数字与对边中间的数字互换位 置． 1、2、3、5、6、7 的排法为：这两种排法与上面最后两种排法颇有相似之处．为什么？ 1、2、3、4、6、7 的排法为：115．数字模式 ．(1)如果数字为 d，则答案为 ddddddddd．因为
(2)如果数字为 d，则答案为 dddddd．因为 ÷7 (3)143×7=1001，故 143×d×7=1 001×d=d 00d． (4)每一种情况都可能有几种合乎逻辑的解释： ①1+11+1+0 (=1×9)+1=)+1=100 (1×9)+1=10 (0×9)+1=1 (=11111 此例应能说明产生模式的原因． ②66×67=2×3×11×67 =22×201 ==2×3×111×67 =222×以此类推．116．神奇减法 ．“神奇”之处在于无论你用哪 4 个数字开始，最后的数字都是 6 174．下列为相减次数 较多的过程．在 6174 出现之前， 作者所能找到的最多的相减次数是 8 次． 如果你能找出更多的次数， 希望能通知作者． 进行这个活动可以使用计算器，而且记录下每次相减的得数，以免等到 6 174 出现时， 你已忘了减过几次． 试试用 5 个或更多的数字．117．你能得到多大的数目 ．将数字按递减次序排列： 975432 只要取前两个数字作百位数，取中间两个数字作十位数，最后两个数字作个位数，就能 得到最大的和．共有 4 种可能的配对：不过最大的乘积是出现在最接近的一组数字中，也就是 942×753=709326 要了解其中的道理，可以把上述的 4 组数字想象成长方形的边长．每一组的和都相同， 代表长方形的周长．数字的乘积就代表长方形的面积． 对于周长固定的长方形来说，边长越接近，面积越大．118．单位分数 ．有一种方法就是将不同的单位分数相加或相减，凑出结果．不过，如果要想有所进步， 就需要认识一些特定的模式．其导出方式为：同理，119．4 个 4 ．这道题虽然很花时间，但这绝对是值得的．数字是否容易表示，因人而异，但还是有一 两个数表示起来真的非常困难． 如果你能找到 95 个或更多个正确答案， 一定会感到很得意！120．计算器上的难题 ．有了计算器，这些题目似乎显得相当容易．(2)运用试误法，很快就能得到 69×71×73=357 627． (3)262+272=1405． (4)尝试用不同的数字，使其逐渐接近实际的边长． 5×5×5=125， 6×6×6=216 所以边长应在 5 与 6 之间，但较接近 6．在有些计算器中， 5. 这不见得就是真正“正确”的答案，而只是在计算器本身精度范围之内的正确答案． 121．采矿之道这个题目如果是由一群人一起做，看看谁能找到获利最大的路径，会更有趣．设计这个 问题的灵感，来自于第 418 期《数学公报》(Mathematical Gazette)上的一篇文章，以及一 家澳大利亚清洁剂制造商的促销活动． 在互相竞争的情形下， 大多数的人都会很积极地寻找 答案，但到目前为止，还没有人能不使用电脑就找到最佳解．可能是因为这条获利高达七亿 七千六百万英磅的最佳路径： 28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56 并没有经过价值超过八千三百万英磅利润的那 11 块区域中的任何一块．使用这种数字 阵列，很容易就可以设计出类似但不同的问题．例如，开采最少区域，同时获利至少为八千 万英磅的最短路径是怎样的？122．百位、十位与个位 ．百位、最后的答案都会是 1089，除非第一次选择的数字百位数与个位数相同，如 525，则第 一次相减就得到零．123．魔术圆圈 ．由于 1+6=2+5=3+4=7，同时每一个圆与另一个圆都有成对的交点，因此只要把和为 7 的数字填入成对的交点中，就可以形成魔术数字为 14 的魔术圆圈(图 1)．只要先定出数字 N，然后找出和等于 N 的 3 组数字(a，b)、(c，d)、(e，f)，就可以用 这 3 组 6 个数字形成魔术圆圈．例如，N=15，则 3 组数字可以是 (5，10)(7，8)(2，13)如此就可以形成如图 2 的魔术圆圈，其中 2N=30 为魔术数字．任两圆只交于两点，所以只要将和为 13 的一组数字放在这两个交点即可．用这种方法 很容易就可以找到解答，其中一组解如图 3．1+2+5+12+11+8=39 2+3+9+11+10+4=39 1+3+6+12+10+7=39 7+4+5+6+9+8=39124．数字轮 ．从轮子最下方的那条线可知数字和为 23．因此中心的数字是 23-15-2=6，以此类推．125．等于 100 ．以下为 4 种解： 123-4-5-6-7+8-9=100 123-45-67+89=100 [1×(2+3)×4×5]+6-7-8+9=100 (1×2×3)-(4×5)+(6×7)+(8×9)=100126．除法的形式 ．在过去没有计算器的时代，做除法通常只会取 4 位有效数字，只有在除以 3 或 11 时， 我们能从其较短的数字重复出现形式中体会到循环小数的概念． 所以， 很多人在发现事实上 所有的除法只要能一直持续下去，都可能出现循环形式时，常感到难以置信． (1)以 7 为除数时，最后会形成 6 个数字的循环序列．要了解为何以 64 或 320 为除数时会形成有限位的小数，请参见下例：如果分母中的数字不是由 2 的乘方与 5 的乘方所组成，就无法转化成 10 的次方． 当以某数，如 31 为除数时，就有 30 种可能的余数，即 1、2、…30，而且会重复出现， 所以要研究商的循环数列，其实就是研究除数的序列．这个问题与“同余理论”有关． (2)以 17 为除数的数字序列为：(3)以 19 为除数的数字序列为：(4)以 11 为除数时，会出现下列的两位数字的序列： 09 18 27 36 45 90 81 72 63 54 (5)以 13 为除数时，会出现下列 2 种 6 位数字的序列：127．质 数 ．29 和 31 是 23 与 37 之间仅有的质数． 127 是 113 之后的下一个质数． 在 190 与 200 之间共有 4 个质数，即 191、193、197 与 199． (1)28=5+23=11+17 50=13+37=3+47 100=3+97=29+71 246=7+239=23+22 3 显然，表示法不只一种． (2)5-3=2 11-7=4 29-23=6 97-89=8 149-139=10 211-199=12127-112=14 (3)下列为前 10 个奇数： 3=2+20 5=3+21 7=3+22=5+21 9=5+22=7+21 11=3+23=7+22 13=5+23=11+21 15=7+23=11+22=13+21 17=13+22 19=3+24=11+23=17+21 21=5+24=13+23=17+22=19+21 再试试 1271． (4)179，181；191，193；197，199． (5)②将数字排成如下 6 行：第二、第四与第六行都是偶数，所以除了 2 之外都不是质数．第三行是 3 的倍数，所 以除了 3 以外，也都不是质数．余下第一行与第五行，其中的数字都具有 6n+1 或 6n-1 形 式． ③即 5=22+1213=32+22 17=42+12 在做这一个与下一个题目时， 最好能将质数列表． 下面就介绍由希腊数学家伊拉托塞尼 斯(Erotosthenes)所提出的方法．把所有你想考虑进去的数，例如 1 至 50，写成阵列．现在从 2 开始，两个两个一数，消去第二个数，这样就只剩下奇数与 2．再取 2 之后第 一个未被消去的数，即 3． 再三个三个一数，消去第三个数，如 6、9、12 等．然后由 3 移到下一个未被消去的数， 即 5，同样五个五个一数，消去第五个数，以此类推．最后剩下的就是质数．128．质数的生成 ．(1)121=112 是其反例． (2)当 n=40，41，44，49，56，65，76 时，原式就无法产生质数． 当 n=40，n2+n+41=402+40+41 =40(40+1)+41 =40(41)+41 =412 (3)当 n=80，n2-79n+×80)+-79)+=412 这两个二次式非常相似．用 n-40 代替 n，代入 n2+n+41，即得 n2-79n+1601． (4)n=29，2×292+29=29(58+1)=29×59． (5)前 5 个费玛数为 3、5、17、257 与 65537．129．有名字的数 ．回文数 最小的回文质数是 11， 最小的回文平方数是 121． 其他只有两个回文平方数小于 1000： 484=222 与 676=262 在 100 与 200 之间的回文质数有 101 131 151 181 对于任何回文数，在 400 与 500 之间的最后一位数都是 4，所以一定是偶数；在 500 与 600 之间的最后一位数都是 5，所以都含有 5 的因数；在 600 与 700 之间的最后一位数 都是 6，所以都是偶数．其实在 383 与 727 之间并没有回文质数．在 1000 与 2000 之间所 有回文数的公因数为 11． 过剩数、 过剩数、完全数与亏损数 (1)过剩数：1 2 3 4 5 7 8 9 10
16 17 19 21 22 23 25 26 27 29 亏损数：12 18 20 24 完全数：6 28 (2)当 n=5，得 25-1=31，故 16×31=496 为完全数． 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248当 n=7，得 27-1=127，其为质数，故 64×127=8128 为完全数．130．再论数字模式 ．(1)x2-y2=(x+y)(x-y) 在此例中，x-y=1，故 x2-y2=x+y． (2)如果被平方的数字为 n，则其他两个相乘的数就是 n-1 与 n+1． 由于(n-1)(n+1)=n2-1，故乘积恒比 n2 少 1． (3)3 的乘方，最后一位数重复出现的顺序为 3，9，7，1． 2 的乘方得出序列 2，4，8，6． 4 的乘方得出序列 4 与 6． 5 与 6 的乘方分别得出序列 5 与 6． 7 的乘方得出序列 7，9，3，1． 8 的乘方得出序列 8，4，2，6． 9 的乘方得出序列 9 与 1． 请注意，由 3 与 7 以及 2 与 8 得出的序列之间关系密切．数， 且其和等 于 n3． (5)前 n 个数的立方和，等于前 n 个数和的平方，例如： 13+23+33+43=(1+2+3+4)2131．毕氏三元组小于 50 的主要三元组包括：6 8 10 或 15 36 39 或 16 30 34(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2 所以可由已知的整数 m 与 n，经过计算之后，得出新的三元组． m2-n2 2mn m2+n2132．猜规则游戏 ．这个游戏非常有趣， 且能有效启发创造性的数学思考． 老师在课堂上可以用这个游戏进 行集体活动．133．诡异的乘法 ．138×42====5346186×39=×4==×4=6×3==134．对角线等式 ．12+52+62=22+32+72 22+42+92=12+62+82 32+72+82=42+52+92 1+5+6=2+3+7135．魔术星星 ．两者的魔术数字都是 40．136．安全第一 ．解题的关键是要从最左方开始，因为可能的 D(或 M)很有限．137．赌徒的秘密策略 ．如果对手选红色骰子，赌徒选蓝色骰子． 如果对手选蓝色骰子，赌徒选黄色骰子． 如果对手选黄色骰子，赌徒选红色骰子．在上述每一种情况中，赌徒赢的概率，平均是掷 9 次赢 5 次． 这是相当有趣的情形． 因为每个骰子的总点数都相等， 而且没有任何骰子能同时比其他 两个更占优势．如果要了解蓝色骰子 236 为何比红色骰子占优势，可考虑两个骰子可能掷 出的点数：由于共有 9 种机会均等的可能情况，而蓝色骰子赢红色骰子的有 5 次，所以蓝色骰子 赢面较大． 同理也可以证明， 黄色骰子比蓝色骰子占优势， 而红色骰子又比黄色骰子占优势． 138．运输问题 ．这两种分配方法的总里程数均为 67km．虽然有一种特殊的方法可用来解这类问题，不 过只要能善于运用试误法，还是可以找到本题的解．139．观心术 ．其他 4 张卡片为：140．3×3 幻方 ． ×完成后的幻方如下所示．当你用这种方法来生成新的幻方时， 必须注意使所有生成的数字都不相同． 这种方法对 任何数都成立，说明如下．设 a 为第一个数， 与 q 则是差． p 所得出的幻方中幻数为 3(a+p+q)， 由此可见， 任何整数 3×3 幻方，其幻数恒为 3 的倍数．你能否找到 a、p 与 q，使得幻方中的 所有数皆为质数？这些卡片上的数字是以二进制表示法为基础的． 有时即使两个玩的人都知道卡片是怎么 回事，但还是能乐在其中． 有兴趣的读者可参考与“线性规划”或“博奕论”有关的书．其他类似的问题如下：可以用试误法或联立一次方程式求解．值得注意的是，在这些例子中，即使数字不取平方值，等式仍然成立，如：一些三维的例子如下：由于 其他的组合如：141．4×4 幻方与高阶幻方在丢勒的幻方中，总和为 34 的其他 4 个数字包括：这种方阵曾被视为具有某种神秘的力量．纳西克幻方不但包含了大部分丢勒方阵的对称性，而且还包括下列对角线形式的对称 性，如：142．多阶形式 ．3×3 幻方所具有的性质恒为真，这可以由第 140 题“3×3 幻方”解答中所给出的一般 形式作代数证明． 取任一常数 k 加至多阶形式的各数中， 就能得出一个同次的新的多阶形式． 例如： A+B+C+D=a+b+c+d A2+B2+C2+D2=a2+b2+c2+d2 则 (A+k)+(B+k)+(C+k)+(D+k) =A+B+C+D+4k =a+b+c+d+4k =(a+k)+(b+k)+(c+k)+(d+k) (A+k)2+(B+k)2+(C+k)2+(D+k)2 =A2+B2+C2+D2+2k(A+B+C+D)+4k2 =a2+b2+c2+d2+2k(a+b+c+d)+4k2 =(a+k)2+(b+k)2+(c+k)2+(d+k)2143．帕斯卡三角形 ．帕斯卡三角形的下两行为：除了 1 以外，其他数字都是由上一行中相邻的两个数字相加所形成的．每一行的数字 和都是 2 的乘方；第十二行的总和为 211=2048． 11 的乘方 11 的乘方至 114 时，仍满足帕斯卡三角形的形式．115 由于会进位，所以并不能对应帕 斯卡三角形第六行的数字 1、5、10、10、5、1． 六边形迷宫 14641 二项式 设 a=1，看看帕斯卡三角形各行的数字和为何等于 2 的乘方． 把帕斯卡三角形的数字排成直角三角形， 然后往上推， 则显然也会出现(1+a)-1 与(1+a)-2 等的系数形式．145．费波那契数列与黄金分割比 ．费波那契数列的规则可以用差分方程表示： Un+2=Un+1+Un 以两个 1 开始的此数列，各项的通式为：作出一个直角三角形， 用圆规画出长为 2 的直线 AB 与长为 1 的直线 BC， A 与 C 连 将 线并延长．以此类推．如果将得出的数组作向量，则其斜率就会趋近于黄金分割比．146．称重问题 ．重量为 1kg、 3kg、 9kg 与 27kg． 用这 4 种法码就可称出所有 1 至 40kg 的整数重量． 例 如： 11=9+3-1 20=27+3-9-1147．相似长方形 ．148．立体幻方 ．149．平衡问题 ．将球分成 3 堆，每堆 9 个球．先称其中两堆，如果天平平衡，则不合格的球必在另一 堆；如果不平衡，则较重的 9 个球中必定包含不合格的球．不管是什么情况，称一次就能 确定不合格的球在哪 9 个球中．再将这 9 个球分成 3 堆，每堆 3 个球，再称一次，就能确 定不合格的球在哪 3 个球中．因此，只要再称一次，就能找出那只不合格的球． 另一个相当类似但却难得多的问题是：有 13 个球，其中有一个球与其他的 12 个球重 量不同，但不知是较轻还是较重，请只称 3 次找出不同的球．150．巧用计算器 ．(1)做除法，去掉商的整数部分，将小数乘以 729． 用八位计算器得出： 82. 97×729=389.99313 由于受到计算器容量的限制， 最后几位会有误差， 不过还是可以肯定余数就是最接近的 整数 390． 再用(729×122)+390=89328 作验算． 也可以用下面的式子找到余数： 8×122)=390 这样可避免 4 舍 5 入． (2)由于α3=200 可以写成以此类推． 用这个方法会自动收敛到要求的数，虽然可能没有试误法快，但比较容易编成程序． (3)你的计算器上可没有无穷大的数！ 先从一串 9 开始，然后持续递减，直到得出不为 0 的答案．151．独一无二的魔术六边形 ．这个魔术六边形是由英国人维克斯(T.Vickers)发现的，发表在 1958 年 12 月号的《数 学公报》上．152．拈 ．这个游戏最有趣的地方，就在于游戏的每个局面都可以分为“安全” 或“不安全”两种． 从一个安全的局面， 不论取走几个筹码， 结果都是不安全的局面． 但一个不安全的局面， 却可以成为安全或不安全的局面． 因此分析过游戏玩法的人， 往往能够使不安全的局面成为 安全的局面而击败对手． 不安全的局面比安全的多得多．下面就说明如何决定何者是安全的，何者是不安全的． 先将每一堆中筹码的数目转换成二进位数，并将各列的数字加起来，不要进位．以本题 中的 3 堆筹码为例：所谓安全的局面，指各列的数字和必须为偶数，所以这个局面是不安全的． 如果要使它成为安全的局面，可以从第二堆中取走 8 个筹码：这样就形成安全的局面． 为什么这是形成安全局面的唯一方法？其他的安全局面包括(2，4，6)、(2，5，7)、(1， 2，3)、(7，10，13)等． 如果能按照以上所述的策略去玩，则赢的概率将是 9/10．唯一会输的情形是开局就是 不安全的，而且对手此后保持每一个 246 局面都是安全的．在面对安全的局面时，最好的 策略就是只取走一个筹码(也就是愈少愈好)，并期待你的对手下一步会走成不安全的局面．
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