第六章变量之间的关系1小车下滑的时间；课型：新授课教学时间：1课时；授课老师：吴丽彩教学手段：多媒体课件○●学情分析；学生的知识技能基础：本节课是学生在七年级上册教材；○●教学目标：1知识与技能：；在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能；经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探；能从表格中获取变量之间关系的信息，能用表格的数据；○●教学重点
第六章 变量之间的关系 1
小车下滑的时间 课型：新授课 教学时间：1课时 授课老师：吴丽彩
教学手段：多媒体课件 ○●学情分析 学生的知识技能基础：本节课是学生在七年级上册教材中学习了探索规律，从统计图中获取信息的基础上，变量与变量的关系，在生活生产中无处不在，通过对实际问题的理解，在表格中发现两个变化的量，通过了解哪一个是主动变化的，哪一个是随着变化的，来识别自变量和因变量，这对今后学习函数知识是非常重要的。 ○●教学目标： 1
知识与技能：
在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
过程与方法 经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。
情感与价值观 能从表格中获取变量之间关系的信息，能用表格的数据尝试对变化趋势进行初步的预测 ○●教学重点与难点 重点：能从表格的数据中分清什么是变量、自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况
难点：对表格所表示的两个变量关系的理解 ○●教学流程 第一环节
情境引入，设出疑问 有一种饮料为促销，实行大降价，顾客很多，销量很大，为了提高服务质量，服务员制作了售价与数量间的关系表,你从表中发现了哪些信息？如下：
数量（个）
售价（元） 1.74
? 在生活中，有些量是变化的，学会用表格表现出两个变化的两，并学会分析表格中的数据，将有助于我们了解自己、认识世界和预测未来。这就是我们所要这节课所要学习的目的。 第二环节
小车下滑实验（小车，木版，秒表，尺子） 第三环节
下面是王波学习小组得到的数据：
100 度/厘米
1.41 1.35 时间/秒
0.06 根据上表回答下列问题： （1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？ （2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ （3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？ （4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎样估计的？ 目的：为学生提供了探讨小车下滑时间与支撑物高度关系的活动，使学生初步体会变量之间的关系， 第四环节
活动内容： 在“小车下滑的时间”中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量(variable)。其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。支撑物的高度h是自变量(independent
variale)，小车下滑的时间t是因变量(dependent
variale)。因变量随着自变脸的变化而变化。 （再次展示课前的引例，指明其中的变量及相互关系） 第五环节
我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01）
+1.52 (1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？ (2)X和y哪个是自变量?哪个是因变量? (3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？ (4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？ 目的：给学生提供了对人口统计数据表的讨论活动，使学生进一步体会变量之间的关系，学习如何从表格中获取信息，发展他们通过数据分析进行预测的能力。 谈谈生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？ 第六环节
巩固练习 1．研究表明，当钾肥和磷肥的施肥用量一定时，土豆的产量和氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/ 0
471 千克/公顷
土豆产量/ 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 （吨/公顷）
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？ （3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。 （4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
注意：首先要清楚表中所列的是哪两个量，结合现实情境理解他们之间的关系。 2．
据世界人口组织公布，地球上的
人口1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20，1960年为30亿，1974年为4亿，1987年为50亿，到1999年底地球上的人口达到了60亿，用表格表示上面的数据，并说一说世界人口是怎样随时间推移而变化的。 第七环节
课堂小结 活动内容：师生互动交流总结本节所学的知识，从表格中获取信息；用表格表示变量之间的关系；对变量趋势进行预测。 目的：鼓励学生谈谈本节课的收获和体会，验收他们的学习效果。 第八环节
2．家庭实验：点燃一支蜡烛，记录蜡烛的长度和燃烧时间（每3分钟）之间的关系。
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自变量X，因变量Y和调节变量M，这三者的关系应该是X和M都与Y有关系还是M和X有关系然后X与Y有关系，因为要提假设，涉及三者的关系，不知道该怎么提，求大神解答
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载入中......
可能是这样：M积极（或消极）调节了X与Y之间的关系；或者，M越大，X对Y的影响就越大（或小）。
对调节效应的检验建议参考温忠麟、侯杰泰和张雷（2005）的论文。
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自变量也称实验变量，指实验中由实验者所操纵的因素或条件。
因变量亦称反应变量，指实验中由于自变量而引起的变化和结果。
通常自变量是原因，因变量是结果，二者具有因果关系。
如果变量Y与变量X的关系是变量M的函数,称M为调节变量。就是说,Y与X的关系受到第三个变量M的影响。调节变量可以是定性的(如性别、种族、学校类型等),也可以是定量的(如年龄、受教育年限、刺激次数等),它影响因变量和自变量之间关系的方向(正或负)和强弱. 例如,学生的学习效果和指导方案的关系,往往受到学生个性的影响:一种指导方案对某类学生很有效,对另一类学生却没有效,从而学生个性是调节变量。又如,学生一般自我概念与某项自我概念(如外貌、体能等)的关系,受到学生对该项自我概念重视程度的影响:很重视外貌的人,长相不好会大大降低其一般自我概念;不重视外貌的人,长相不好对其一般自我概念影响不大,从而对该项自我概念的重视程度是调节变量。
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是X和Y的关系受到第三个变量M的影响
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能否再详细解说一下，最近也在关注这个问题！！
楼上的那段解释是摘自温忠麟等在心理学报2005年的《调节效应与中介效应的比较和应用》一文吧，理解起来还是有点难度的！！
X,Y,M之间的关系是这样的，X和M都与Y有关系，所以在用SPSS检验调节作用的时候，要做Y对X，M的回归，但是不用假设M和Y之间的关系；调节作用就是，M的变化改变的是X和Y之间的回归系数。假设这么提，1）X--&Y；2）“M积极（或消极）调节了X与Y之间的关系；或者，M越大，X对Y的影响就越大（或小）”（1L）.
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变量的调节效应，说白就如楼上所说，就是M对有关x和y关系的调节作用，这不像中介效应是x通过M对y发生作用。一般检验调节效应简单方法是，做y=x+m*x回归，看mx项回归系数的正负和显著性，就可判断m的调节效应了。
调节作用是指调节变量对另外两个变量之间的关系产生影响；所以应该是X与Y先有关系吧，M影响XY之间的关系
个人认为是Y和X有关系，M和Y有关系，M相当于补偿系数
楼主首先要明确：c既然要影响x和y的关系，肯定是与x有关系才能做到。如果只与y有关系，跟x无关……那就是多变量线性回归了。调节效应不显著，不必定义为调节变量。
照例，先PO定义：
　　“如果变量Y与变量X的关系是变量M 的函数,称M 为调节变量 。就是说, Y与X 的关系受到第三个变量M 的影响。调节变量可以是定性的(如性别、种族、学校类型等) ,也可以是定量的(如年龄、受教育年限、刺激次数等) ,它影响因变量和自变量之间关系的方向(正或负)和强弱。”
很明显，定义说明了M影响X与Y的关系，但并没有对M与X Y各自的关系作出说明。
于是楼主所问，可以更清晰地表述为：“是M--&X--&Y，还是M--&Y, X--&Y”是合理的。
首先参考“温忠麟 2005”的一个式子，用直线回归的方法表述自变量X、因变量Y、调节变量M三者的关系：
Y = bM + ( a + cM ) X + e
可以看出，楼主说的两种情况都是可能的，发生其中一个，或者同时发生。取决于b和c是否为0
但是要注意，一般而言，c不会为0，因为c表示调节效应的显著，如果c为0就不显著了。（对于直线回归如此，别的回归方法也类似分析）
如果c为0，b不为0，就和x的地位相同了，就变成多变量线性回归，M对X Y调节效应不显著。
还有一个容易混淆的，就是交互效应和调节效应的区别。这个主要在实际情景应用中去区分。这里我就不费脑子了，直接摘录一段来。有问题可以继续探讨。
“然而,调节效应和交互效应这两个概念不完全一样。在交互效应分析中,两个自变量的地位可以是对称的,其中任何一个都可以解释为调节变量;也可以是不对称的,只要其中有一个起到了调节变量的作用,交互效应就存在。这一点从有关讨论交互效应的专著中可以看出(例如,显变量之间的交互效应参见文献[ 8 ] ,潜变量之间的交互效应参见文献[ 9 ] ) 。但在调节效应中,哪个是自变量,哪个是调节变量,是很明确的,在一个确定的模型中两者不能互换。例如,要研究数学能力的性别差异,将年级作为调节变量,这个问题关注的是性别差异,以及性别差异是否会随年级而变化。如果从小学一年级到高中三年级都获得了各年级学生有代表性的样本,每个年级各用一份测试题,所得的数据就可以进行上述分析。但同样的数据却不能用于做年级为自变量、数学能力为因变量、性别为调节变量的分析,因为各年级的测试题目不同,得分没有可比性,因而按调节效应的分析方法(见表1) ,分别不同性别做数学能力对年级的回归没有意义。要做数学能力对年级的回归,应当用同一份试题测试所有年级的学生。”
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论坛法律顾问：王进律师《用表格表示的变量间关系》变量之间的关系PPT课件 详细介绍:
《用表格表示的变量间关系》变量之间的关系PPT课件
1、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号意识。
2、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
3、能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示两个变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测。
一、通过数据感受变化
王波学习小组利用同一块木板，测量小车从不同的高度下滑的时间，并将得到的数据填入下表：
根据上表回答下列问题：
（1）支撑物高度为70cm时，小车下滑时间是多少？解：1.59 s
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？解：随着h逐渐变大，t逐渐变小。
（3）h每增加10cm，t的变化情况相同吗？解：t的变化越来越小。
... ... ...
二、议一议
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？&
(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？
三、概念介绍：
在&小车下滑的时间&中，支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量
其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化.支撑物的高度h是自变量自己主动发生变化的量（变化产生的原因）
小车下滑的时间t是因变量被动发生变化的量（变化导致的结果） & &
... ... ...
指出下列实例中自变量与因变量
（1）气温随高度而变化的过程中，其中自变量是：高度 & 因变量是：气温
（2）蜡烛在燃烧的过程中，剩余蜡烛的长度随燃烧时间的变化而变化，其中自变量是：时间 &因变量是：剩余蜡烛的长度
（3）在圆的周长公式C=2&r中，随着r的变大，C也变大 ，其中自变量是：r &因变量是：c
1、研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：&
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。
... ... ...
通过今天的学习,用你自己的话说说你的收获和体会?
1.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变 量、常量.
2.能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步的预测.
1、父亲告诉小明：&距离地球越远，温度越低．&父亲还出示了下面的表格：
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，请你和小明一起回答：
1.上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
2.如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t如何变化？
3.你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
4.你能预测距离地面6千米的高空温度是多少吗？
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某村从1997年到2002年的小麦平均亩产统计数据如下：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量？
(2)从表中可知，随时间的变化，平均亩产量的变化趋势是什么？
(3)哪一年中，平均亩产增加得最快？
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答案：解析：
　　(1)反映了小麦的平均亩产量和时间的关系，时间是自变量，平均亩产量是因变量；
　　(2)平均亩产量逐年升高；
　　(3)年的平均亩产增加得最快．
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文档介绍：
第三章变量之间的关系
3.1 用表格表示的变量间关系
一、常量与变量
在某个变化过程中,数值始终不变的量叫做常量,可以取不同数值的量叫做变量。
例1:在公式s=50t中,常量是,变量是。
二、自变量、因变量、表格法
1定义:.如果一个量随着另一个量的变化而变化,那么把这个量叫做因变量,另一个量叫做自变量。
2.(1)自变量是在一定范围内主动发生变化的变量。
(2)因变量是随着自变量的变化而变化。
3.表格法:利用表格,可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况。
一般地,表格第一行表示自变量,第二行表示因变量。
4.优缺点:表格法一目了然,使用方便,但列出的数值有限,不容易看出自变量和因变量的变化规律。
例2:你以每小时8千米的速度匀速行走时,你所走的路程s(千米)随着时间t(小时)的增大而增大,常量是,变量是,自变量是
,因变量是。
练习1:圆柱的高h为10cm,当圆柱的地面半径r由小变大变化时,圆柱的体积V也发生了变化,在这个变化过程中,自变量是,因变量是。
三、题型解析
题型一:路程、速度、时间相关的问题
例3:一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表:
速度(米/秒)
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)如果用t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么?
(3)当t每增加一秒时,v的变化情况相同吗?在哪一秒钟内,v的增加最大?
(4)若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为120千米/时,试估计大约还需几秒这辆小汽车速度将达到这个上限?
练习2:小明和他爸爸做了一个试验:小明从一幢245m高的楼顶随手扔下一个苹果,由他爸爸测量有关数据,得到苹果下落的路程和下落的时间有下列关系:
下落时间t/s
下落路程s/m
(1)随着时间的增加,每秒下落的路程趋势如何?
(2)随着时间的增加,苹果下落的速度趋势是什么?
(3)请推测,7秒后苹果是否会落地?
练习3:声音在空气中传播的速度y(米/秒)(简称音速)与气温x(℃)之间的关系如下:
音速y(米/秒)
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)随着气温的升高,音速的变化趋势是?
(3)在气温为15℃的一天召开运动会,某人看到发令枪的烟0.2秒后,听到了枪声,则由此可知,这个人距发令地点多少米?
练习4:从高处让一颗石子由静止开始落下,它落下的高度与时间有下列关系:
下落的高度h/m
推测一下用t表示h的公式,利用你的公式计算从静止开始,经过2.5秒,石子落下多少米?
题型二:弹簧问题
例4:在一次实验中,小强把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物品,下面测得的是弹簧的长度y与所挂的物体的质量x 的一组对应值:
所挂的物体的质量x
弹簧的长度y
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
(2)当所挂重物为4kg时,弹簧多长?不挂重物呢?
(3)若所挂重物为6kg时,(在弹簧的允许范围内),你能说出此时弹簧的长度吗?
练习5:一名同学用弹簧做实验,在弹簧上挂不同质量的物体时,弹簧的长度就会发生变化,但所挂物体质量不能超过1000g,实验数据如下:
物体质量/g
弹簧长度/cm
(1)你能指出在这个实验中什么是自变量,什么是因变量吗?
(2)你能预测所挂物体的质量为800g时,弹簧的长度是多少吗?弹簧的长度为15cm时,所挂物品的质量是多少?
(3)不挂物体时,弹簧的长度是多少?在弹性范围内弹簧的最大长度是多少?
题型三:分段计费问题
例5:上网费包括网络使用费(每月38元)和上网通信费(每小时2元)。某电信局对拨号上网的用户分时段优惠,具体政策如下表(包括最大值,不包括最小值):
每月上网的时间
通信费优惠30%
50~100小时
通信费优惠40%
100小时以上
通信费优惠60%
例如:某户某月上网总时间为42小时,则他应该缴纳的上网费为:38+2×30+(42-30)×(1-30%)×2=114.8元。你能根据上面提供的例子完成下表吗?
每月上网总时间
应缴上网费
练习6:某城市自来水收费实行阶梯水价,收费标准如下。某用户5月份交水费45元,则所用水为吨。
不超过12吨的部分
超过12吨不超过18吨的部分
超过18吨的部分
收费标准(元/吨)
3.2 用关系式表示的变量间关系
一、关系式法
1.两个变量之间的关系有时可以用,一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示,这种表示变量之间关系的方法叫关系式法。
2.优缺点:关系式法简单明了,能准确反应整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系,但是求对应值时,要经过比较复杂的计算,而且在实际问题中,有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来。
3.确定关系式的步骤:先找出题目中关于自变量与因变量的相等关系,再用含自变量的代数式来表示因变量。
4.知自变量求因变量,实质是代数式求值;
知因变量求自变量,实质是解方程。
二、题型解析
题型一:关于图形的问题利用周长、面积或体积公式来列关系式
例1:一个梯形,梯形的上底是x,下底的长是10,高是6。
(1)梯形的面积y与上底长x之间的关系式是什么?
(2)用表格表示上底x从1变到9时(每次增加1),面积y的值。
(3)当x每增加1,y如何变化?
(4)当x=0和x=10时,y等于多少?此时y表示什么?
练习1:圆柱的高是5cm,当圆柱的底面半径由小变大时,圆柱的体积也随之发生变化。
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)已知圆柱底面半径为r(cm),体积为V(cm3),则V与r之间有什么关系?
(3)当底面半径为2cm时,圆柱的体积是多少?
(4)当圆柱的体积为500πcm3时,底面半径是多少?
(5)圆柱体的体积随底面半径的增大如何变化?
练习2:若长方形的周长为24厘米,其中一边为x(x&0),面积为y平方厘米,则这样的1
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