前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。&br&&br&首先明确指出下面的事实：&blockquote&&b&无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。&/b&&/blockquote&很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路：&br&&br&思路一：&br&&blockquote&设 a=0.999...&br&则 10a=9.999...&br&于是 9a=10a-a=9.999...-0.999...=9,&br&因此 a=1.&/blockquote&思路二：&br&&blockquote&由于 1/3=0.333...,&br&所以 1=(1/3)×3=0.333...×3=0.999...&/blockquote&思路三：&br&&blockquote&0.999...可以看成首项为 0.9, 公比为 0.1 的等比数列&br&&img src=&///equation?tex=a_1%3D0.9%2Ca_2%3D0.09%2Ca_3%3D0.009%2C%5Cdots& alt=&a_1=0.9,a_2=0.09,a_3=0.009,\dots& eeimg=&1&&&br&的所有项之和.&br&&br&根据等比数列的求和公式,&br&&img src=&///equation?tex=0.999%5Cdots%3D0.9%2B0.09%2B0.009%2B%5Cdots%3D%5Cdfrac%7Ba_1%7D%7B1-q%7D%3D%5Cdfrac%7B0.9%7D%7B1-0.1%7D%3D1.& alt=&0.999\dots=0.9+0.09+0.009+\dots=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{0.9}{1-0.1}=1.& eeimg=&1&&&/blockquote&但是，需要强调的是，&b&以上三种思路可以用来帮助你直观理解，但你不能把它们当成“1=0.999...”的严格证明&/b&。原因是，“0.999...”这样的无限小数的严格表示是超出了初等数学的范围的，你不能想当然地对“0.999...”这样的无限小数做普通的加减乘除运算，所以上面三种初等思路只能算“投机取巧”的“初等理解”，而不能叫做“严格证明”。&br&&br&要给出 1=0.999... 这个事实的严格证明，我们首先&b&需要理解从有理数构造实数的办法&/b&，这个构造过程将使我们更加深刻地认识无理数，而不是仅仅停留在&无限不循环小数&的直观层面上。&br&&br&下面我把这个过程给出一个尽可能详细而易于理解的解释。&br&&br&&blockquote&设两个非空有理数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体有理数，且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称A 和 B 构成有理数集的一个 &b&Dedekind 分割&/b&，简称&b&分割&/b&，记为 A/B。&/blockquote&&br&这一定义包含两层意思：&br&&ol&&li&对任何一个有理数 a，它要么在 A 中, 要么在 B 中，但不会同时在 A 和 B 中；&/li&&li&A 中的每个有理数都小于 B 中的任何一个有理数。&br&&/li&&/ol&所以，在逻辑上，有理数集的分割 A/B 可能是下列四种情况之一：&br&&ol&&li&A 有最大数，B 没有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数；&/li&&li&A 没有最大数，B 也没有最小数；&/li&&li&A 有最大数，B 也有最小数。&/li&&/ol&但实际上，第 4 种情况不可能发生。因为如果 A 有最大数 a，B 有最小数 b，根据分割的定义可知 a&b。但是 (a+b)/2 显然也是有理数，并且&br&&img src=&///equation?tex=a%3C%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D%3Cb%2C& alt=&a&\dfrac{a+b}{2}&b,& eeimg=&1&&&br&因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&这样，有理数集的分割 A/B 就归结为下列三种情况：&br&&ol&&li&A 有最大数 a，B 没有最小数。例如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x&0,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B 有最小数 b。例如：&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D& alt=&A=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}& eeimg=&1&&&br&&/li&&li&A 没有最大数，B也没有最小数。&/li&&/ol&对第 1 种情况，我们称分割 A/B 确定了有理数 a，例如上面给的例子就确定了有理数 0；&br&对第 2 种情况, 我们称分割 A/B 确定了有理数 b，例如上面给的例子就确定了有理数 1。&br&而对第 3 种情况，即 A 没有最大数，B 也没有最小数，下面就是一个典型的例子:&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cleq+0%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%5Ccup%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3C2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x\leq 0,x~\text{为有理数}\}\cup\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=B%3D%5C%7Bx%7Cx%3E0%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%94%7D%7Ex%5E2%3E2%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&B=\{x|x&0~\mbox{且}~x^2&2,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&此时分割 A/B 没有确定任何有理数，即集合 A 和 B 之间存在一个&空隙&，于是我们需要引入一个新的数 (即无理数) 来表示这个&空隙&。在这个例子中，表示这个&空隙&的无理数就是&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&。&br&&br&这样，我们就得到了&b&无理数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&设 A/B 是有理数集的一个分割，如果 A 中没有最大数，B 中没有最小数，则称分割 A/B 确定了一个&b&无理数&/b& c，c 大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&/blockquote&&br&例如，在刚才的例子中，分割 A/B 所确定的无理数&img src=&///equation?tex=%5Csqrt%7B2%7D& alt=&\sqrt{2}& eeimg=&1&&大于 A 中的任何有理数，同时小于 B 中的任何有理数。&br&&br&需要注意的是，&b&符合上述定义的无理数 c 在分割 A/B 给定的前提下一定是唯一的&/b&&b&。&/b&否则，假设某个有理数集的分割 A/B 确定了两个无理数 c 和 d，不妨设 c&d。取正整数 n 满足&br&&img src=&///equation?tex=0%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7Bn%7D%3Cd-c%2C& alt=&0&\dfrac{1}{n}&d-c,& eeimg=&1&&&br&则 nd-nc&1。这说明至少有一个整数 m 满足 nc&m&nd（因为 nc 和 nd 的距离大于1）。于是&br&&img src=&///equation?tex=c%3C%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%3Cd.& alt=&c&\dfrac{m}{n}&d.& eeimg=&1&&&br&由于 c 大于 A 中的任何有理数，而 d 小于 B 中的任何有理数，所以有理数&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&\dfrac{m}{n}& eeimg=&1&&既不在 A 中，也不在 B 中，这就与 A∪B 是全体有理数矛盾。&br&&br&从而我们就可以得到&b&实数&/b&的严格定义：&br&&blockquote&由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合成为&b&实数&/b&集。&/blockquote&跟有理数的分割类似，我们可以定义出&b&实数的分割&/b&：&br&&blockquote&设两个非空实数集合 A 和 B 满足：A∪B 为全体实数, 且对任意 a∈A 和 b∈B，都有 a&b。则称 A 和 B 构成实数集的一个&b&分割&/b&，同样记为 A/B。&/blockquote&&br&实数集和有理数集的一个本质区别是：实数集是完备的。这可以用下面的 &b&Dedekind 分割定理&/b&来表示：&br&&blockquote&&b&设 A/B 是实数集的一个分割，则或者 A 有最大数，或者 B 有最小数。&/b&&/blockquote& 这个定理说明，实数集的分割不存在有理数集的分割的第 3 种情况，即 A 没有最大数、B 也没有最小数的情况。&br&&br&换句话说，&b&实数集中没有&空隙&&/b&，&b&数轴上的任何一个点都可以用某个实数唯一精确表示。&/b&&br&&br&这样，我们得到了以下结论：&br&&ol&&li&&b&每个有理数集的分割确定唯一一个实数；&/b&&/li&&li&&b&两个相同的&b&有理数集的分割&/b&所确定的实数一定是相同的；&/b&&/li&&li&&b&如果两个实数不相等，那么确定它们的分割一定是不同的。&/b&&/li&&/ol&在有了上面的准备之后，我们就可以给出“1=0.999...”的严格证明了。&br&&br&&b&1=0.999...的严格证明：&/b&&br&&blockquote&设 t=0.999...，作两个有理数集的分割&br&&img src=&///equation?tex=A%3D%5C%7Bx%7Cx%3Ct%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+B%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+t%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C& alt=&A=\{x|x&t,x~\text{为有理数}\}, B=\{x|x\geq t,x~\text{为有理数}\},& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=C%3D%5C%7Bx%7Cx%3C1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D%2C+D%3D%5C%7Bx%7Cx%5Cgeq+1%2Cx%7E%5Ctext%7B%E4%B8%BA%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0%7D%5C%7D.& alt=&C=\{x|x&1,x~\text{为有理数}\}, D=\{x|x\geq 1,x~\text{为有理数}\}.& eeimg=&1&&&br&根据前面的讨论，分割 A/B 确定了实数 t=0.999... （我们暂时不知道 t=0.999...是有理数还是无理数），分割 C/D 确定了有理数 1。&br&&br&为证明 t=1，我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明 A=C。&br&&br&若有理数 x∈A，则显然有 x&1，于是 x∈C。这说明 &img src=&///equation?tex=A%5Csubseteq+C& alt=&A\subseteq C& eeimg=&1&&。下面只需证明&img src=&///equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&若有理数 x∈C，则 x&1。不妨设 x&0。根据有理数的定义，我们可以把 x 用分数的形式表示为&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%2C%7E%28p%2Cq%7E%5Cmbox%7B%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%7D%29.& alt=&x=\dfrac{p}{q},~(p,q~\mbox{为正整数}).& eeimg=&1&&&br&既然0&x&1，则必有p&q。于是由&br&&img src=&///equation?tex=1-%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E0& alt=&1-\dfrac{p}{q}\geq\dfrac{1}{q}&0& eeimg=&1&&&br&可知存在正整数 n 使得&br&&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3E0.& alt=&\dfrac{1}{q}&\dfrac{1}{10^n}&0.& eeimg=&1&&&br&于是&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bq%7D%5Cleq+1-%5Cdfrac%7B1%7D%7Bq%7D%3C1-%5Cdfrac%7B1%7D%7B10%5En%7D%3D0.%5Cunderbrace%7B99%5Cdots9%7D_%7Bn%7E%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7E9%7D%3Ct.& alt=&x=\dfrac{p}{q}\leq 1-\dfrac{1}{q}&1-\dfrac{1}{10^n}=0.\underbrace{99\dots9}_{n~\text{个}~9}&t.& eeimg=&1&&&br&既然 x&t，这就说明 x∈A。从而我们就证明了&img src=&///equation?tex=A%5Csupseteq+C& alt=&A\supseteq C& eeimg=&1&&。&br&&br&综上所述，我们就得到了 A=C，从而 A/B 和 C/D 是两个相同的分割，因此 0.999...=t=1。&/blockquote&
前面的回答都不够令人满意，我来写一个完整而清晰的解释。 首先明确指出下面的事实：无限循环小数 0.999... 与 1 严格相等。很多网友会通过一些初等的方法来理解这个事实，下面举出三种有代表性的初等思路： 思路一： 设 a=0.999... 则 10a=9.999... 于是 9…
&img src=&/3c1c5f93c13f054ae1eb6_b.jpg& data-rawwidth=&350& data-rawheight=&79& class=&content_image& width=&350&&&br&&b&分球定理（Banach–Tarski定理）：&br&可以把一个三维实心球分成有限份（最少5部分），然后仅通过平移和旋转，在其他地方组成2个和原来球直径一样的完整新实心球。&/b&&br&结论可以推广到更高维和其他形状。&br&&br&这个定理的证明要用到选择公理（要把球切分为不可测集）。最早Banach和Tarski证明出这个非常反直觉的结论，是用来反对选择公理的，但后来大家发现这个结论在数学上并没有矛盾，只说明等度分解涉及不可测集的话，不能保积。&br&之所以会出现如此诡异的情形，问题就出在由选择公理生出的“不可测集”这个怪物。&br&所谓可测集，就是可以计算勒贝格测度的集合。一维测度可以理解为长度，三维就是体积。&br&显然测度需要具有以下性质：&br&1. 非负性&br&2. 如果集合&img src=&///equation?tex=A%5Csubseteq+B& alt=&A\subseteq B& eeimg=&1&&，则A的测度&img src=&///equation?tex=%5Cleq+& alt=&\leq & eeimg=&1&&B的测度。&br&3. 可加性。如果&img src=&///equation?tex=A%5Ccap+B+%3D+%5Coslash+& alt=&A\cap B = \oslash & eeimg=&1&&，则A和B测度之和等于 A∪B的测度。&br&4. 平移不变。如果把集合A的所有元素都加一个常数生成新集合B，则A和B测度相同（！）&br&&br&以一维测度（长度）为例，[a,b]、(a,b)区间的测度都是b-a，这个很好理解。有限个实数的集合测度是0，这个也很好理解：点的长度是0，有限个点加起来长度还是0。&br&有理数集的测度也是0，不严格的简单说明：因为有理数是可数的，把有理数排队，依次用长度1,1/2,1/4的区间框住每个有理数，则有理数集的测度小于 1+1/2+1/4....=2，同理可证有理数集测度小于任何正数，所以测度为0。&br&到这里都没什么好奇怪的。&br&但如果承认选择公理，就可以构造出一种诡异的集合：不可测集。这种集合不能定义测度（注意，不是说测度为0，而是说测度不是任何数字）。具体构造方法有空补充。&br&&b&如果接受了不可测集的概念，再来理解下分球问题：&/b&&br&本来球的体积是V，分成N份不可测集，每份的体积是不可定义的，然后再重新组合，体积成了2V。问题就出在了分解过程中出现了不可测集，不可测集不具有测度可加性，使得&b& 整体体积 = 各部分体积之和&/b& 这个概念在这步失效了。&br&&br&&br&更详细的介绍和证明见：&a href=&///?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/Banach%25E2%Tarski_paradox& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&en.wikipedia.org/wiki/B&/span&&span class=&invisible&&anach%E2%80%93Tarski_paradox&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&另外，从哲学上来说（扯），这个定理暗示了物质不是连续的，否则质量不守恒。
分球定理（Banach–Tarski定理）： 可以把一个三维实心球分成有限份（最少5部分），然后仅通过平移和旋转，在其他地方组成2个和原来球直径一样的完整新实心球。 结论可以推广到更高维和其他形状。 这个定理的证明要用到选择公理（要把球切分为不可测集）。…
作为一个银行工作人员，尤其是最近一直在做同业存放和境外同业的金融机构业务，所以对近期的人民币市场利率情况比较了解。&br&上面说到余额宝，也就是货币型基金，只投资于货币市场，如短期国债、回购、央行票据、银行存款等等，风险基本没有，货基其中一个渠道就是所说的大额同业存单，是货币型基金将钱借给银行；而我们银行同业存放，是一家银行的钱借给另一家银行。&br&由于货币型基金主要投资于货币市场，可以说，市场对人民币资金的需求程度，决定了货币型基金的收益率。从2013年6月底份那一波钱荒来看，市场对人民币资金需求强烈，直接推高了货币型基金收益率。余额宝从日的收益率2.09%暴增到7月1日的6.3%！&br&必须要阐明的一个观点是：&b&是市场需要资金，余额宝才能有如此高的收益率，因为它们能以更高的利率借给银行。而不是余额宝凭空定下一个收益率，然后左右了市场对资金的需求。&/b&&br&为了简单起见，我仅拿大额同业存单为例。&br&比方说，X银行缺钱100亿，最高可以接受以7%的年利率借钱。而余额宝得知这个消息后，从我们这些用户吸收资金后将100亿借给X银行，基金公司收取管理费、手续费后，剩下的就是我们这些购买余额宝用户的收益。&br&由于我所在的银行最近几乎每天都有大额资金存出，每天都要打几十个电话给其他银行的人员询问他们吸收资金的价格。&br&就我了解到的情况，同业市场的shibor一路下跌，其他银行吸收资金的利率也一路下跌。从一年期6.8%跌到6.4%。与此同时，我注意到余额宝、理财通的收益率也一路下跌，余额宝从6.3%跌到6.18%，理财通从6.6%跌到6.3%。&br&这个结果，也就说，你一般只能以一年期6.4%的利率借钱给银行，但是你要付给你的余额宝用户一年期6.18%的收益率，利差仅有0.22%！&br&当然，货币型基金由于资金量比较大，议价能力较强，借钱的利息会高上一点点。但是，在整个银行业的资金都充裕后，银行业不再那么需要钱，开出的利率也会一路下跌。货币型基金能干什么？也只能是不断调低余额宝、理财通的收益率罢了。&br&据我了解到的情况，大部分银行对资金的需求都没有年前那么紧迫，甚至有不少银行最近有多余的短期资金，纷纷存出到其他银行同业。&br&&b&利率就是资金的市场价格。&/b&当整个金融市场不再像以前那么迫切需要钱了，于是余额宝的收益率不断调低。可以说，是人民币的市场需求决定了货币型基金（余额宝、理财通）的收益率。&br&&br&这个时候要提到另一个概念：跨境人民币。&br&现在国家正在力推跨境人民币，已经有一部分人民币通过支付的形式流到海外，海外（尤其是东南亚）储存了一定量的人民币资金。这些人民币资金存在海外的银行，一年定期能够给到多高的利率？1.5%不到。而通过跨境人民币形式存回到国内呢？最高的时候超过6%！！！于是，海外的银行通过清算账户的名义将海外的大额人民币资金汇回国内，做定存，享受国内的高收益率。国内的银行需要资金，而国内的人民币利率居高不下，它们当然非常欢迎境外人民币回到祖国怀抱。目前的跨境人民币一年期定存价格，从最初的6%以上跌到目前的5.5%左右。&br&你说一边是余额宝、理财通要以6%以上的借款利率借钱给我，一边是海外银行仅以5.5%的成本借钱给我，我会要谁的钱？当然是后者。&br&所以目前有人民币清算资格的银行都在拼命寻找境外的人民币资金来源，因为海外的人民币的确比国内的人民币“廉价”。&br&&br&一方面是海外廉价资金的回流，另一方面还有央行偶尔放水，使得国内人民币市场不再那么紧张。当人民币资金需求不那么强烈，余额宝、理财通们就回归正常收益率了。&br&我在2013年年初就开始关注货币型基金。当时货币型基金的年化收益率普遍在4%左右，5%的已经算是非常高了。然后发生了钱荒，然后余额宝以超高的收益率走进了大众视线。我觉得目前形势，余额宝、理财通年化收益率跌破6%是必然的事，甚至回到4%也是有可能。&br&&br&如果说余额宝和理财通们给银行也带来了什么？我觉得更多的是一个思维的转变，让银行人员开始像一个正常的现代人那样思考。仔细观察，你会发现便捷性和简单是其特点，最后大家的关注点就只落到一点上——收益率。&br&当我们银行的理财经理还在试图向客户解释表内理财、表外理财、股票型基金、银保产品、T+0生效，T+1赎回到期等诸多繁杂的概念，然后客户被弄得一头雾水的时候，余额宝和理财通的出现，让我们的关注点回归到了最重要最基本的收益率上。我们只需要知道我们的资金安全（货币型基金基本能够保证安全），看得到实实在在的收益而且还不错（每天都告诉你），那就足够了。我们不需要为了让我们那点可怜的工资升值而去苦学几个月的投资理财，分清各种概念，我们都忙着赚钱，没那个闲心！&br&银行的各种理财产品，大多数都需要现场填写风险评估表以及理财协议，甚至针对个别理财产品还要单独签产品说明书、协议书，一大堆流程走完后，还要输密码才算购买完成。而余额宝理财通只要输入一个六位数密码就可以随时随地成功购买了。不安全？上面不是写着中国平安承保吗？有阿里、腾讯的信用背书还怕啥？&br&现代人都在忙碌的生活中，厌烦了复杂麻烦，追求简单便捷，余额宝、理财通只是迎合了现代人的品味而已。&br&我已经看到了银行开始作出改变。为了抢那点存款也推出了类余额宝、类理财通的产品。网银、手机银行做得越来越便捷、人性化。购买方式也越发便捷，甚至可以通过绑定手机，直接回复短信购买理财。&br&是时候像个普通的现代人那么思考问题了，银行员！这个东西我们缺失太久了。
作为一个银行工作人员，尤其是最近一直在做同业存放和境外同业的金融机构业务，所以对近期的人民币市场利率情况比较了解。 上面说到余额宝，也就是货币型基金，只投资于货币市场，如短期国债、回购、央行票据、银行存款等等，风险基本没有，货基其中一个渠…
答案已经更新，感谢&a class=&member_mention& data-hash=&d1ffd7c575d2e7fac60a0ce& href=&///people/d1ffd7c575d2e7fac60a0ce& data-hovercard=&p$b$d1ffd7c575d2e7fac60a0ce&&@陈代卓&/a&&a class=&member_mention& data-hash=&b7b2588fca87f34dc1ac02d0f52b7006& href=&///people/b7b2588fca87f34dc1ac02d0f52b7006& data-hovercard=&p$b$b7b2588fca87f34dc1ac02d0f52b7006&&@杨博&/a&
的指正。&br&&br&谢邀。既然题目里面说了Brownian Motion，我只说说从金融数学的角度怎么处理这个问题，至于行为经济学、市场文化学这些太抽象，相关答案很多，我就不多嘴了。现在欢迎大家来到Q-measure（Risk-neutral Probability measure）。&br&&br&这是程序做市（Electronic Market Making）里面常见的一个问题，不过这些假设太粗糙了，必须要加的一个条件是：购买股票，&b&下限价订单（Limit order）&/b&——否则如同大部分答案所说——假设是市场订单（Market Order），那成交概率是100%。&br&&br&如同游戏先要弄懂如何打金刷怪一样，数学没有前提条件做啥都是白瞎。前提假设先说清楚——所有市场无套利的假设全部装备，假设初始股价&img src=&///equation?tex=S_0& alt=&S_0& eeimg=&1&&，股票年化波动性&img src=&///equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&，时间&img src=&///equation?tex=T%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B252%7D& alt=&T=\frac{1}{252}& eeimg=&1&&，由于一天之内，就不考虑分红了&img src=&///equation?tex=d%3D0& alt=&d=0& eeimg=&1&&，利率也没有影响&img src=&///equation?tex=r%3D0& alt=&r=0& eeimg=&1&&。我们要求&img src=&///equation?tex=S_%7Bbid%7D& alt=&S_{bid}& eeimg=&1&&，满足：&br&&img src=&///equation?tex=P%28inf%5C%7BS_t%7Ct%5Cin+%280%2CT%5D%5C%7D%5Cleq+S_%7Bbid%7D%29%3D90%5C%25& alt=&P(inf\{S_t|t\in (0,T]\}\leq S_{bid})=90\%& eeimg=&1&&，即股价在一天之内的下界小于等于&img src=&///equation?tex=S_%7Bbid%7D& alt=&S_{bid}& eeimg=&1&&的概率等于90%。因为此概率对于&img src=&///equation?tex=S_%7Bbid%7D& alt=&S_{bid}& eeimg=&1&&单调递增，故由唯一解。&br&&br&原问题可以两种做法，解析法和模拟法。&br&&b&1. 解析法：&/b&&br&设符合条件的买入价为&img src=&///equation?tex=S_%7Bbid%7D%3CS_0& alt=&S_{bid}&S_0& eeimg=&1&&，根据假设，股价服从Geometric Brownian Motion：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7BdS_t%7D%7BS_t%7D%3Drdt%2B%5Csigma+dW%3D%5Csigma+dW+%28w.r.t%7Er%3D0%29& alt=&\frac{dS_t}{S_t}=rdt+\sigma dW=\sigma dW (w.r.t~r=0)& eeimg=&1&&&br&因此，根据Ito's Calculus，我们有：&br&&img src=&///equation?tex=ln+S_t%3Dln+S_0+%2B+%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csigma%5E2%29t%2B%5Csigma+W_t& alt=&ln S_t=ln S_0 + (-\frac{1}{2}\sigma^2)t+\sigma W_t& eeimg=&1&&&br&变形，易得：&br&&img src=&///equation?tex=W_t%3D%5Cfrac%7Bln%5Cfrac%7BS_t%7D%7BS_0%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csigma%5E2+t%7D%7B%5Csigma%7D& alt=&W_t=\frac{ln\frac{S_t}{S_0}+\frac{1}{2}\sigma^2 t}{\sigma}& eeimg=&1&&&br&定义：&br&&img src=&///equation?tex=m%28t%29%3Dinf%5C%7Bln%7ES_v%7C0%5Cleq+v+%5Cleq+t%5C%7D& alt=&m(t)=inf\{ln~S_v|0\leq v \leq t\}& eeimg=&1&&&br&那么&img src=&///equation?tex=m%28t%29& alt=&m(t)& eeimg=&1&&就是0到t时刻中对数股价的下界。由于对数函数的单调递增性质，我们的目标转化为：&br&&img src=&///equation?tex=P%5C%7Bm%28T%29%5Cleq+ln%7ES_%7Bbid%7D%5C%7D%3D90%5C%25& alt=&P\{m(T)\leq ln~S_{bid}\}=90\%& eeimg=&1&&&br&由于我们有：&br&&img src=&///equation?tex=lnS_t%5Csim+N%28lnS_0-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csigma%5E2t%2C%5Csigma%5E2t%29& alt=&lnS_t\sim N(lnS_0-\frac{1}{2}\sigma^2t,\sigma^2t)& eeimg=&1&&&br&我不加证明的给出&img src=&///equation?tex=m%28t%29& alt=&m(t)& eeimg=&1&&的累积分布函数（CDF）如下，证明需要利用布朗运动的反射性质（Reflection Principle），有兴趣的可以要我补充：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmu%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csigma%5E2%2C+%5Calpha%3DlnS_0& alt=&\mu=-\frac{1}{2}\sigma^2, \alpha=lnS_0& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=F_%7Bm%28t%29%7D%28x%29%3DN%28%5Cfrac%7Bx-%5Calpha-%5Cmu+t%7D%7B%5Csigma%5Csqrt%7Bt%7D%7D%29%2Bexp%5C%7B2%5Cfrac%7B%5Cmu%28x-%5Calpha%29%7D%7B%5Csigma%5E2%7D%5C%7DN%28%5Cfrac%7Bx-%5Calpha%2B%5Cmu+t%7D%7B%5Csigma%5Csqrt%7Bt%7D%7D%29& alt=&F_{m(t)}(x)=N(\frac{x-\alpha-\mu t}{\sigma\sqrt{t}})+exp\{2\frac{\mu(x-\alpha)}{\sigma^2}\}N(\frac{x-\alpha+\mu t}{\sigma\sqrt{t}})& eeimg=&1&&&br&那么利用这一函数的反函数，分分钟搞定这个问题的解析解：&br&&img src=&///equation?tex=S_%7Bbid%7D%3Dexp%28F%5E%7B-1%7D_%7Bm%28T%29%7D%%29%29& alt=&S_{bid}=exp(F^{-1}_{m(T)}(90\%))& eeimg=&1&&&br&如有谬误，欢迎指出。这里不妨看看解析解对应的函数曲线（假设&img src=&///equation?tex=S_0%3D100%2C%5Csigma%3D0.3& alt=&S_0=100,\sigma=0.3& eeimg=&1&&)：&br&&img src=&/d20ccde5ca0_b.jpg& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&447& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&/d20ccde5ca0_r.jpg&&由于我们恒有&img src=&///equation?tex=m%28t%29%5Cleq+S_0& alt=&m(t)\leq S_0& eeimg=&1&&，故&img src=&///equation?tex=F_%7Bm%28T%29%7D%28S_0%29%3D100%5C%25& alt=&F_{m(T)}(S_0)=100\%& eeimg=&1&&。而根据解析解，我们有：&br&&img src=&///equation?tex=exp%28F%5E%7B-1%7D_m%28T%29%%29%29%3D99.77& alt=&exp(F^{-1}_m(T)(90\%))=99.77& eeimg=&1&&。即在开盘价99.77%的水平下单，可以满足条件。&br&&br&&b&2. 模拟法：&/b&&br&简单来说就是做一次Monte Carlo的模拟，然后模拟N次股票的轨迹，取每个轨迹的下尾90%分位点，我直接贴R的程序，这段程序可以优化完全用矩阵运算，时间有限，不优化了：&br&&blockquote&S0=100&br&sigma=0.3&br&mu=0&br&deltaT=1/252&br&N = 10000&br&M = 200&br&barrier = 0.45&br&S_q = c()&br&for (i in (1:N)) {&br&
ts = (1:M)/M
&br&St=S0 * exp((mu-1/2*sigma^2)*ts*deltaT+sigma*sqrt(deltaT/M)*cumsum(rnorm(M)))&br&S_q = c(S_q, min(S_t))&br&}&br&Dis = data.frame(S_q)&br&library(ggplot2)&br&ggplot(Dis, aes(x=S_q))+geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth=.01,colour=&black&,fill=&white&)+geom_density(alpha=.2,fill=&#FF6666&)+geom_vline(aes(xintercept=quantile(S_q,0.9)), colour=&#990000&,linetype=&dashed&)&br&print(quantile(S_q,0.9))&/blockquote&画出来的图如下：&br&&img src=&/2e7c50c6207ecc37a07a6ebfd96547f5_b.jpg& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&447& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&/2e7c50c6207ecc37a07a6ebfd96547f5_r.jpg&&&br&输出的价格是：99.84，也就是开盘价为100，我们要下99.84的单，才能以90%的概率成交——和解析解的结果相近。&br&&br&严谨来说：关于采用最低价/开盘价的方法，这涉及到用长时间序列来判定短时间序列的问题，至少要能假设最低价/开盘价是一个平稳序列（Stationary Time Series），或者其符合Ergodicity才行。Log Normal的最小值比上Log Normal分布，这是否符合平稳序列？这需要进一步探讨。但是我们两种概率空间（Q-measure、P-measure）的方法取得了惊人相似的结果，看来互相转化论证是可行的，也许这是另一个有趣的问题。&br&&br&我这里没有考虑bid-ask spread这些非常具体的问题，从我接触的高频交易来看，就算你下单在买盘最高档，你的成交概率也低于50%（因为同时也有多人下单，竞价系统会考虑量和时间顺序），这些在实际中需要特别慎重的考虑。&br&&br&实践上呢？如果你有预判，比如你对于当天的宏观经济或者股票基本面信息有预判，那么我们就不能假设一切risk-neutral的条件成立了，因此我刚才的所有推导就没有了意义。&br&&br&所以你也可以看到，最好的trader要超越模型，有自己的观点，以自己的观点来校正模型，才能达到最终目标。
答案已经更新，感谢 的指正。 谢邀。既然题目里面说了Brownian Motion，我只说说从金融数学的角度怎么处理这个问题，至于行为经济学、市场文化学这些太抽象，相关答案很多，我就不多嘴了。现在欢迎大家来到Q-measure（Risk-neutral Probability…
看你自己想要什么。&br&有人就是要干学术，就是想在自己喜欢的领域做出卓越的成果，那就得选大牛导师。有了大牛导师带你入行，你容易发影响因子高的文章，容易在圈内认识牛人，为你以后混学术圈铺平道路。但是竞争也大啊，我认识几个宁愿不拿全奖都要跟大牛导师混的人。&br&有人没想干学术，就是看工作不好找，想读几年书缓一缓，那就找个不会给你太多压力的导师，不然如果天天让你做实验你自己又没有兴趣岂不是很痛苦。&br&还有的人也没打算干学术，但需要一个高学历，以后转行进工业企业的，那就得选个项目和工业企业联系很紧密的导师。&br&但我觉得不管怎么说也要谈好奖学金方面的问题，不然拿不到全奖压力会有一些。我当时选导师是把奖学金放在很高的位置的。我是读化工的出身，后来在机械工程系做microscopy的导师愿意付我全奖，我二话没说就转行了。&br&其实像一楼说的rp，不需要进组干活，光谈奖学金的时候就能看出来了。rp好的导师自然大方，只要他看好的学生，废话不多，自己先以诚待人，奖学金说给就给，然后再看学生表现。想压榨学生的老师自然奖学金很难谈，因为他会给你限制这样那样的条件，比如工作时间，发表多少文章什么的，然后拿停掉你的奖学金吓唬吓唬你。
看你自己想要什么。 有人就是要干学术，就是想在自己喜欢的领域做出卓越的成果，那就得选大牛导师。有了大牛导师带你入行，你容易发影响因子高的文章，容易在圈内认识牛人，为你以后混学术圈铺平道路。但是竞争也大啊，我认识几个宁愿不拿全奖都要跟大牛导…
记住台湾作家刘墉的一句话：“&b&这世界上可能有投资而落空的事，却没有白做的学问。&/b&”&br&
我大学是学新闻的，除了新闻采写，报纸编辑，广播电视新闻学等新闻专业课之外，我们还开设了公关学，人类学，社会学，经济学等课程，当时我们想，我们到大街上采访，在实验室里面剪辑视频，在会议上做会议记录，怎么会用到人类学，社会学一类的东西呢，采访街头大妈他们也完全不懂啊。&br&&br&
大三下学期我去《人民日报》实习了一学期，带我的老师是优秀的记者，也是文化遗产保护方面的专家（侧重于长城，京杭大运河，四川蜀道等的保护），在他的带领下，我参与进了文化遗产保护的相关项目，项目中的人大都是名校研究生，文化遗产保护界专家，央视/人民日报等传媒界的大咖，而我一个普通二本的小吊丝混迹其中。&br&&br&
印象很深的是有次开会，大伙在讨论文化遗产保护相关的东西，他们用的全是社会学，人类学，历史学等相关学科的知识和专业术语，可惜我以前觉得这些东西没什么用，都没有好好学，在会上，我连插嘴的机会都没有，连他们的话都听不懂，我感觉自己和他们完全不在一个次元，完全不在一个层次，我像一个土鳖，像一个没见过世面的人。老师问我的意见的时候，我也只能尴尬地支支吾吾搪塞过去，脸红扑扑的，心里也是砰砰砰直跳，那份尴尬就别提了，恨不得快点死在那里。可是，怪谁呢？还不是自己当初自以为是的觉得有些知识有用，有些知识无用，自己当初完全没想到无用的很可能是大用。&br&&br&
后来我到某周刊求职，过五关斩六将终于开始了试用，最开始进入的是文化版，和几个同事闲来无事聊天时，扯着扯着就到了一些经济学相关知识，扯到了邵飘萍的新闻思想，扯到了胡适的作品，又一次，我插不上话了。天啊，经济学我们是学过的呀，可是为什么他们提到的很多词汇我都不知道呢？邵飘萍可是新闻史里面的重要人物啊，我对他怎么这么不了解呢？还不是又是当初自己思想太狭隘，不知道扩展这一些以为没用的知识，以为自己投身新闻界，能接触到的就是街头大妈。我又想，假如现在立马让我去采访某些知名企业的老总，某些文化界名人，我能胜任吗？我不好说。&br&
得到这些教训后，我都是近乎疯狂的看书，看以前的课件，问老师一些问题，拓展自己知识面。但是毕竟现在还有现在的事情要做，时间特别紧迫，弄得自己也很累，但是为了自己别那么无知，为了自己当初为了“有用”“无用”而犯下的错误，只能认了。&br&&br&
所以我感觉，每个人的人生道路不同，各行各业所需的知识也不同，但真的没有白做的学问，现在学一些东西，不仅仅让你以后有谈资，更重要的是让你的知识体系更加健全，能有一些安身立命的本领。你这样区分知识有用没用，的确是个功利的，目光短浅的，有害的，狭隘，土鳖的行为。你现在应该思考的，并不是哪个知识有用没用，而是在现在接触到的这些知识都有用的前提下，如何安排时间调动精力学好他们的问题，你不知道自己的未来有多大，能用到的知识有多么多。如果你只是想做个游戏宅男，学会泡面，学会打怪升级就够了；你想只是做个耕作的老农，学会耕田除草日出而作就够了；你想只是做个你的职业领域的单纯的“工匠”，学好一些专业技术就差不多了；如果你想立足自己所在行业，成为精英，成为融会贯通的“大家”，那有用没用的东西，还有很多要学呢。&br&&br&
上面有句话很多人赞同，“&b&你觉得这门课没用，是因为你现在还没有到达用这门课的层次。&/b&”我也深以为然，强烈赞同。
记住台湾作家刘墉的一句话：“这世界上可能有投资而落空的事，却没有白做的学问。” 我大学是学新闻的，除了新闻采写，报纸编辑，广播电视新闻学等新闻专业课之外，我们还开设了公关学，人类学，社会学，经济学等课程，当时我们想，我们到大街上采访，在实…
我的老师告诉我一句话很让我受用：&br&&b&你觉得这门课没用，是因为你现在还没有到达用这门课的层次。&/b&
我的老师告诉我一句话很让我受用： 你觉得这门课没用，是因为你现在还没有到达用这门课的层次。
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