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如图，四边形abcd是正方形，点e是边bc的中点，&aef=90&，且ef交正方形外角的平分线cf于点f,求证ae=ef.提示可连接eg,取ab的中点g
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历史上的今天
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在数学问题中，有一些问题没有现成的方法或解题模式套用；有一些问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的，解决这些问题的过程中能有效地展示考生的思维水平。
　开放性问题是相对于有明确的条件和明确的结论的封闭型问题而言的，把从问题给定的题设中探究相应的结论，加以证明，或从给定的题断中探究其相应的必须具备的条件的一类问题称为开放性问题。由于此类问题的知识覆盖面较广，综合性强，灵活选择方法的要求较高，有利于培养和考查学生的创造思维能力和探索能力。
好的问题空间有多大,探索的空间就有多大。好的数学问题要给学生留有一定的探索空间, 要能激发学生积极思维,符合学生的认知水平和想象能力。如果',
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{list wl as x}{/list}世界著名数学疑难问题简介
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世界著名数学疑难问题简介
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&&&&哥尼斯堡七桥问题
&&&&&&& 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
&&&&&&& 这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。
&&&&&&& 于是&七桥问题&就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对&七桥问题&的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。(更多的了解，请参看《力学园地》2010-4期的&释疑解惑&的介绍。)
&&&&哥德巴赫猜想
&&&&&&& 1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
&&&&&&& 实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的&三角和&方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为&m+n&。1920年挪威数学家布龙证明了&9+9&；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了&7+7&，&6+6&，&5+5&，&4+4&，&1+c&，其中c是常数。1956年中国数学家王元证明了&3+4&，随后又证明了&3+3&，&2+3&。60年代前半期，中外数学家将命题推进到&1+3&。1966年中国数学家陈景润证明了&1+2&，这一结果被称为&陈氏定理&，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为&陈氏定理&使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难，不畏艰险，永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为21世纪世界数学大国而奋斗!
&&&&费马大定理
&&&&&&& 300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：
&&&&&&& &设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解&。
&&&&&&& 费马宣称他发现了这个定理的一个真正奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最著名的定理&费马大定理。
&&&&&&& 费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，因为是最后一个未被证明对或错的定理，所以又称为费马最后定理。费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明了对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年轻的德国数学家法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯宣布证明了费马大定理，但随后发现了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数学家认为他证明的思路是正确的。毫无疑问，这使人们看到了希望。
&&&&西尔维斯特问题
&&&&&&& 数学史上有这样一件趣事，名流权威所不能解决的问题，却被&无名小卒&解决了，这就是西尔维斯特问题。
&&&&&&& 西尔维斯特(1814年～1897年)是英国著名数学家，他曾提出过一个很有趣的几何猜想(即西尔维斯特问题)：平面上给定n个点(n&3)。如果过其中任意两点的直线都经过这些点中的另一个点，那么，这n个点在同一条直线上。
&&&&&&& 这个看起来好像很容易的问题，却难倒了不少数学家。甚至西尔维斯特本人直到逝世也没有能够解决它。50年过去了，许多著名数学家的探索都以失败告终。但出人意料的是，该问题最终却被一位&无名小卒&解决了。之所以说是&无名小卒&，是因为《美国科学新闻》《数学教师》等杂志在宣布这一问题的解答时，都没有提到这个人的名字。而且证明非常容易，连初中学生都能理解。下面我们来看看他的精巧的证明。
&&&&&&& 用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的.
&&&&&&& 不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的最小性，有h1AB+h2AC＞h(AB+AC)＞hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上。
&&&&古希腊三大几何问题
&&&&&& &传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
&&&&&&& 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是&不可能用尺规完成的作图题&。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。
&&&&&&& 然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于&生锈圆规&(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔.
&&&&百鸡问题
&&&&&&& 本问题记载于中国古代约5－6世纪成书的《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡 母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十 四，值钱二十八。」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例，这是过去中国古算书中所没有的。
&&&&&&& 原书没有给出解法，只说如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。所以只要得出一组答案，就可以推出其余两组答案。中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的算学家谢察微记述过一种不甚正确的解法。到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题。1874年丁取忠创用一个简易的算术解法。在此前后时曰醇(约1870)推广了百鸡问题，作《百鸡术衍》，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题还有多种表达形式，如百僧吃百馒，百钱 买百禽等。宋代杨辉算书内有类似问题，中古时近东各国也有相仿问题流传。例如印度算书和阿拉伯学者艾布 卡米勒的著作内都有百钱买百禽的问题，且与《张邱建算经》的题目几乎全同。
&&&&三十六军官问题
&&&&&&& 大数学家欧拉曾提出一个问题：即从不同的6个军团各选6种不同军阶的6名军官共36人，排成一个6行6列的方队，使得各行各列的6名军官恰好来自不同的军团而且军阶各不相同，应如何排这个方队？如果用(1，1)表示来自第一个军团具有第一种军阶的军官，用(1，2)表示来自第一个军团具有第二种军阶的军官，用(6，6)表示来自第六个军团具有第六种军阶的军官，则欧拉的问题就是如何将这36个数对排成方阵，使得每行每列的数无论从第一个数看还是从第二个数看，都恰好是由1、2、3、4、5、6组成。历史上称这个问题为三十六军官问题。
&&&&&&& 三十六军官问题提出后，很长一段时间没有得到解决，直到20世纪初才被证明这样的方队是排不起来的。尽管很容易将三十六军官问题中的军团数和军阶数推广到一般的n的情况，而相应的满足条件的方队被称为n阶欧拉方。欧拉曾猜测：对任何非负整数t，n=4t+2阶欧拉方都不存在。t=1时，这就是三十六军官问题，而t=2时，n=10，数学家们构造出了10阶欧拉方，这说明欧拉猜想不对。但到1960年，数学家们彻底解决了这个问题，证明了n=4t+2(t&2)阶欧拉方都是存在的。
Copyright @
All Rights Reserved主办单位:南京市鼓楼区科技局 苏ICP备号推荐使用IE6.0,或更高分辨率浏览大连小伙解决世界数学难题 成中国最年轻正教授
刘路还记得毕业于大连育明高中的刘路吗？2010年，20岁的大连小伙刘路破解了世界性数学难题“西塔潘猜想”，2012年成为中国最年轻的正教授。两年后，刘路的新发明改写了计算理论历史。《美国数学学会会刊》杂志评审认为，他的新成果是计算理论和相关领域近年来最重要的贡献之一。求学 高考志愿填的全是数学专业2005年，刘路从大连格致中学毕业后，进入大连育明高中学习，曾在课堂上偷看高等数学教材被老师发现。刘路出生于1990年，家住甘井子区。刘路的父亲在大连一家国有企业后勤部门工作，母亲在一家企业任工程师。刘路自小就爱好数学、物理等自然学科。在大连格致中学读初中时，刘路读完了《古今数学思想集》的前两册，这套书一共4册，全面论述了数学思想的历史来源。2005年，刘路从大连格致中学毕业后，进入大连育明高中学习。在育明高中，刘路的名字常常在班级成绩单的两端出现，好的时候能排名班级十几名，差的时候倒数七八名。刘路的数学成绩并不是很突出，文科比较薄弱。“老实讲，我从来没想过，自己能取得这么大的成就。 ”不善言辞的刘路说，数学对他而言，是一种兴趣，他对爱好的追求甚至有些偏执。曾任刘路高中班主任的田巨坤说，刘路读高二时，曾经在课堂上偷看一本厚厚的书。当时，田巨坤还以为刘路在看小说。可走近一看，刘路竟然在自学大学高等数学教材。此时，刘路才承认，已经自学完成了所有高中数学课程。2008年，在他的高考志愿表上，从一本到三本，他全部只填写了数学专业，因为对他来说，将兴趣进行到底，学习自己最喜欢的专业，才是最幸福的。成就 破解“西塔潘猜想”震惊世界芝加哥大学博士达米尔·扎法洛夫评价刘路的成果：“这是一个重要的结果，促进了反推数学和计算性理论方面的研究。 ”高考后，刘路获中南大学应用数学专业录取，大连男孩远赴湖南长沙求学。大二时，刘路开始自学数理逻辑。之后，他在这个领域进步很快，很有心得。很多次，他兴奋地得出一些新的概念和思路，后来当他发现在某本书中已经有所介绍时，才知道自己只是数理王国里众多探索者中的一个，从最初高兴地发现自己的想法很新很靠谱到后来失望地发现它早已被他人提出，这些经历更加增添了他前行的动力。大三的暑假，刘路第一次接触到拉姆齐二染色定理，这是数理逻辑反推数学中的一个问题。反推数学是数理逻辑的一个分支，通常数学大致是从公理到定理的研究，而反推数学则是从定理（陈述）到公理的研究，二者正好方向相反。海内外不少学者都在进行拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究，特别是1995年，英国数理逻辑学家西塔潘提出了关于拉姆齐二染色定理证明强度的猜想，这便是“西塔潘猜想”。2010年10月，刘路突然想到，利用之前用到的一个方法稍作修改便可证明西塔潘猜想，立即跑回宿舍，连夜运算，用英文写出证明过程，署名刘嘉忆投给了美国芝加哥大学主办的《符号逻辑期刊》。《符号逻辑期刊》是数理逻辑领域的国际权威杂志，该刊主编、逻辑学专家、芝加哥大学数学系邓尼斯·汉斯杰弗德教授一直也是西塔潘猜想的研究者，他看到刘路的证明后很感兴趣，但因之前从未听说过中国数学界有刘嘉忆这个人，还有些心存疑虑。2011年5月，北京大学、南京大学和浙江师范大学在杭州联合举办逻辑学术会议，会议邀请刘路报告了对拉姆齐二染色定理的证明论强度的研究，在场数学家都给予了充分肯定。一个月后，刘路收到汉斯杰弗德发来的E-mail：“我是过去众多研究该问题而无果者之一，看到这一问题最终解决感到非常高兴，特别是你的证明如此漂亮，请接受我对你的研究成果的祝贺！ ”芝加哥大学博士达米尔·扎法洛夫认为：“这是一个重要的结果，促进了反推数学和计算性理论方面的研究。 ”成名 22岁成为中国最年轻正教授“我觉得说我用‘一夜’就破解了这个猜想，其实是有点误导。我从接触这个问题到最后得出结论，大概是两个月的时间。 ”2012年，刘路只有22岁。一夜间，刘路的名字出现在各大报章和网站的头条，被冠以“奇才”、“天才”、“怪才”等称谓。不少媒体都用了“中南大学本科生一夜时间破解一道数理逻辑难题”这样的说法吸引眼球。对于“一夜破解难题”的说法，刘路自己并不认同。“我觉得说我用‘一夜’就破解了这个猜想，其实是有点误导。我从接触这个问题到最后得出结论，大概是两个月的时间。我最初并不是为了破解这一难题而专门去研究和攻克，而是在想其他的问题的时候发现，原来这一方法可能对‘西塔潘猜想’有用。当然，问题最后能解决，跟我之前的积累也有关。因为你若一点都不了解，想要解决也不可能。我只能说，这其中有偶然也有必然。 ”年纪轻轻便取得如此成就，刘路成了国内外高校、学术机构争抢的人才培养对象。中南大学特批刘路硕博连读，并为其量身打造培养方案后，还将其作为青年教师后备人才，进入数学家侯振挺教授研究所，从事研究工作。2012年3月，中南大学破格聘任刘路为中南大学正教授级研究员。当时，22岁的刘路成为我国最年轻的正教授级研究员。根据校方规定，刘路获得100万元的奖励。其中50万元用于改善科研条件，50万元用于改善生活条件。与此同时，刘路获学校推荐其参加国家“青年千人计划”的评选。2013年3月，刘路以“2012影响世界华人希望之星”的身份，参加了“世界因你而美丽——影响世界华人盛典”颁奖礼，并为此次获得影响世界华人“希望之星”的美国威廉斯学校9年级华裔女生林心瑜颁奖。再次突破刘路新发现再次让世界震惊成名后，刘路没有躺在“功劳簿”上享受名利带来的好处，而是潜心从事数学科学研究。日前，记者获悉，现年24岁的刘路又在计算理论领域发明了一项全新的计算技术，可解决计算理论领域一系列问题。其论文《避免计算——闭集上的所有成员》最近在国际数学权威杂志《美国数学学会会刊》发表。去年10月，刘路参加中国数学学会年会，并做了“模型论的运用（应用）”的大会报告。“集合组合数学性质与计算性质之间的关系”也成功申报2013年国家自然科学基金青年项目。刘路说，《避免计算——闭集上的所有成员》论文，主要将原来用于解决“西塔潘猜想”的方法进行推广并应用到其他问题中，其间，根据审稿人的意见进行了两次大的修改，去年年底被《美国数学学会会刊》接受。《美国数学学会会刊》杂志评审认为：作者在前一篇论文中，证明了RT2不蕴含WKL0，从而解决反推数学中最悬而未决的问题之一。这篇论文是前一篇论文的续接，作者改进了前一篇论文中的技术，并将结论从不蕴含WKL0推广到更弱的系统WWKL0，同时给出了涉及反推数学和算法随机性理论的一些结果的新的证明，不仅仅是提供一个巧妙的证明而是发明了一个全新的技术，更深入地阐述了这个技术的基本原理和它的应用，该技术完全能够给数个领域带来更多的结果，广泛引起了数理逻辑数个领域的专家们的兴趣，是计算理论和相关领域近年来最重要的贡献之一。著名数学家、中南大学概率论与数理统计研究所所长侯振挺教授评价说，刘路的这篇论文比第一篇论文水平更高，可解决计算理论领域一系列问题。刘路的新发明，改写了计算理论历史，在现实应用中也有很大现实意义。人物特写刘路 一个不善言辞的思考者与众多90后相同，刘路也存在着强烈宣扬个性的特质，只不过表现的形式与众不同而已。刘路是一个不善于言谈的人，他的表达能力远远弱于他的思维能力。采访中，刘路更多时间是在沉默。对于记者提出的问题，多数也以“是”、“不是”、“对”、“不对”来应答。刘路是一个思考者，他经常在思考跟数学相关的问题。一组数据，能够说明刘路目前生活和求学的状态。在学习方面，一天下来做的事情可以分为3项，读书、看论文、思考；在生活方面，一个月会跟同事和同学出去喝两顿酒，但仅仅是小酌而已；刘路每年会回两次家——在家乡大连，这里有他的父母，有他的老师和同学，也有儿时的玩伴。记者发现，刘路身上，有许多与应试教育截然相反的闪光点，从他小学到初中再到大学的求学生涯中，我们可以清晰地摸索出他与应试教育抗争的足迹：小学之后便再没参加过奥数班，从初中开始便反感做习题册，在大学，刘路的数学卷面分数只能用中等形容。刘路不墨守成规，但凡喜欢做的事，都会坚持。 “我对科学的热爱是天然的，几乎没有任何功利心。我跟着自己的感觉走，并没有过多地考虑前途、命运和后果。对于我来说，学习数学就是一种玩。 ”刘路说，在大学校园，也面对各种压力，比如升学的压力，就业的压力，他觉得自己比较好的一点就是对这些都看得比较淡，“我一直以来都只做我喜欢做的事情，我喜欢数学，所以我觉得自己能够静下心来做些研究。 ” 半岛晨报、海力网首席记者满文飞
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