本帖子已过去太久远了，不再提供回复功能。矩阵的运算 【范文十篇】
矩阵的运算
范文一：第二节 矩阵的运算
内容分布图示
★ 矩阵的加法
★ 数与矩阵的积 ★ 矩阵的线性运算规律
★ 例2 ★ 矩阵的乘法
★ 例6 ★ 矩阵的乘法的运算规律
★ 例8 ★ 线性方程组的矩阵表示
★ 例9 ★ 转置矩阵及其运算性质
★ 例11 ★ 方阵的幂（例12）
★ 方阵的行列式
★ 例13 ★ 对称矩阵 (例14)
★ 例15 ★ 共轭矩阵
★ 例16 ★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题2-2
内容要点：
一、矩阵的线性运算
设有两个m?n矩阵A?(aij)和B?(bij),矩阵A与B的和记作A?B, 规定为
?a11?b11a12?b12?a?ba22?b22??2121????
?am1?bm1am2?bm2
?a1n?b1n??a2n?b2n??. ???
A?B?(aij?bij)n?m
注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和, 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
设矩阵A?(aij),记
?A?(?aij),
称?A为矩阵A的负矩阵, 显然有
由此规定矩阵的减法为
A?B?A?(?B).
数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak, 规定为
?ka11ka12?ka1n???kakaka?222n?kA?Ak?(kaij)??21. ???????ka??m1kam2?kamn?
数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.
矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律: 设A,B,C,O都是同型矩阵, k,l是常数, 则 (1) A?B?B?A;
(2) (A?B)?C?A?(B?C); (3) A?O?A; (4) A?(?A)?O; (5) 1A?A;
(6) k(l)A?(klA);
(7) (k?l)A?kA?lA; (8) k(A?B)?kA?kB.
注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.
二、矩阵的相乘 定义3
??a2s??b21
A?(aij)m?s,B?(b)?ijs?n????
????b?ams??s1
矩阵A与矩阵B的乘积记作AB, 规定为
?c11c12?c1n????c21c22?c2n?
AB?(cij)m?n??,
???????c??m1cm2?cmn?
?a11??a??2s
a12a2s?am2b12b22?bs2
其中 cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj，(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n).
记号AB常读作A左乘B或B右乘A.
注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
若C?AB，则矩阵C的元素cij即为矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和. 即
?b1j????b2j?
Cij?(ai1,ai2,?,ais)???ai1b1j?ai2b2j???aisbsj.
????b??sj?
矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的): （1）(AB)C?A(BC); （2）(A?B)C?AC?BC; （3）C(A?B)?CA?CB; （4）k(AB)?(kA)B?A(kB).
注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即AB?BA;
??,B?例如, 设A???1?2???3?6??, 则
4???16?32???24??2
???AB???1?2???3?6?????8?, 16??????4???24??00??2
BA????3?6????1?2?????00??,
于是 AB?BA; 且BA?O
从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从AB?O必然推出A?O或B?O.
此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从AC?BC必然推出A?B. 例如, 设
?12??10??11?
????A??,B?,C??03??04??00??, ??????
?12??11??11??10??11?
AC???03????00?????00?????04????00???BC,
??????????
如果两矩阵相乘, 有
则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.
注：对于单位矩阵E, 容易证明
EmAm?n?Am?n,Am?nEn?Am?n.
可见单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1.
更进一步我们有
设B是一个n阶矩阵，则B是一个数量矩阵的充分必要条件是B与任何n阶矩阵A可换.
设A,B均为n阶矩阵，则下列命题等价: （1）AB?BA;
（2）(A?B)2?A2?2AB?B2 （3）(A?B)2?A2?2AB?B2
（4）(A?B)(A?B)?(A?B)(A?B)?A2?B2
三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?
?a21x1?a22x2???a2nxn?b2,
?????am1x1?am2x2???amnxn?bm,
?a11a12?a1n??x1??b1???????aa?ax??2??b2?222n?A??21,X?,b???????, ???????????a????b??m1am2?amn??xn??m?则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：
其中矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.
如果xj?cj(j?1,2,?,n)是方程组(1)的解, 记列矩阵
?c1????c?C??2?,
这时也称C是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵C是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式AC?b成立, 则x??, 即xj?cj(j?1,2,?,n)也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为
将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩
阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
四、矩阵的转置
把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为A的转置矩阵, 记作AT(或A?). 即若
?a11a12?a1n???aa?a?222n?A??21, ???????a??m1am2?amn?则
?a11??aAT??12
矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):
(1) (AT)T?A;
(2) (A?B)T?AT?BT;
(3) (kA)T?kAT; (4) (AB)T?BTAT.
五、方阵的幂
设方阵A?(aij)n?n, 规定
A?E,A?A?A???A,k为自然数. 0
Ak称为A的k次幂.
方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：
(1) AmAn?Am?n(2) (Am)n?Amn.
(m,n为非负整数);
注: 一般地,(AB)m?AmBm, m为自然数
命题3 设A,B均为n阶矩阵，AB?BA, 则有(AB)m?AmBm, m为自然数，反之不成立。
六、方阵的行列式
由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA.
注: 方阵与行列式是两个不同的概念, n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.
方阵A的行列式|A|满足以下运算规律(设A,B为n阶方阵, k为常数):
(1) |AT|?|A|(行列式性质1); (2) |kA|?kn|A|;
(3) |AB|?|A||B|.进一步AB?AB?BA
七、对称矩阵
定义8 设A为n阶方阵, 如果AT?A, 即
(i,j?1,2,?,n),
显然，对称矩阵A的元素关于主对角线对称. 例如
??, ?690? ?10???105?
??均为对称矩阵.
如果AT??A,则称A为反对称矩阵.
八、共轭矩阵
设A?(aij)为复（数）矩阵, 记
其中aij表示aij的共轭复数, 称为A的共轭矩阵.
共轭矩阵满足以下运算规律(设A,B为复矩阵,k为复数, 且运算都是可行的): (1) A?B??; (2)
例题选讲：
矩阵的线性运算
2?1???1231??43
1?, 求3A?2B. 例1 (讲义例1) 已知A??03?21?,B??5?30
???????3?120??75?24?????
例2 (讲义例2) 已知A??1579?,B??5197?, 且A?2X?B,求X.
???????a0?0????0a?0?
n阶数量矩阵A??=aEn.
????????00?a???
?23????1?2?3?
例3 (讲义例3) 若A??1?2?,B???2?10??, 求AB.
?1???B?A?(1,0,4)例4设,?1?. A是一个1?3矩阵, B是3?1矩阵, 因此AB有意义, BA
也有意义; 但
AB?(1,0,4)?1??1?1?0?1?4?0?1,
?1??1?11?01?4??104???????BA??1?(1,0,4)??1?11?01?4???104?.
?0??0?10?00?4??000???????
????a1??（1）k?
????a1??（2）?
????a1??（3）?
??b1????，B=???
（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则
???an?????b1
???an?????b1???????
???bn?????a1b1
例6 (讲义例4) 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A
表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.
?a11??aA??21
a12a22a32a42
a13?Ⅰ??b11
?a23?Ⅱ,B??b21
a33?Ⅲ?b??31a43??Ⅳ
?c11c12?Ⅰ
?cc?22?Ⅱb22?乙,C??21
c31c32?Ⅲ??? b32?丙?c??41c42?Ⅳ
总收入总利润
aik(i?1,2,3,4;k?1,2,3)是第i个工厂生产第k种产品的数量, bk1及bk2(k?1,2,3)分别是第k种产品的单位价格及单位利润, ci1及ci2(i?1,2,3,4)分别是第i个工厂生产三种产品的总收入及总利润. 则矩阵A,B,C的元素之间有下列关系:
?a11b11?a12b21?a13b31?
?a21b11?a22b21?a23b31?ab?ab?ab
总收入a11b12?a12b22?a13b32??c11
a21b12?a22b22?a23b32??c21
a31b12?a32b22?a33b32??c31
???a41b12?a42b22?a43b32???c41
.c32? ?c42??
其中cij?ai1b1j?ai2b2j?ai3b3j(i?1,2,3,4;j?1,2)，即
例7 (讲义例5) 求与矩阵A??
可交换的一切矩阵. 1??0??
例8 (讲义例6) 证明: 如果CA?AC,CB?BC, 则有
(A?B)C?C(A?B);
(AB)C?C(AB).
?21??12???X?例9 (讲义例7) 解矩阵方程??12???14??, X为二阶矩阵. ????
例10（1）设A???1014?, 则AT???. ?11?3?25?31??????041???
（2）设A?(1,2,3,?1),则A???.
?17?1????20?1?T
?,B?423,例11 (讲义例8) 已知 A?? 求(AB). ???132?
例12(讲义例9) 设A??0?1?, 求A3.
?10?1???210?
例13设A??210?,B??031?, 则
?32?1??002?????
?21?2??21?2?
AB???451?，AB??451?24;
??690??690??
|A|?210??2，|B|?0
|AB|?24?(?2)(?12)?|A||B|.
例14 (讲义例10) 设A与B是两个n阶反对称矩阵, 证明: 当且仅当AB??BA时, AB
是反对称矩阵.
例15(讲义例11) 设列矩阵X?(x1,x2,?,xn)T满足XTX?1, E为n阶单位矩阵, H?E?2XXT, 证明H是对称矩阵, 且HHT?E.
1.设A?(aij)为三阶矩阵, 若已知|A|??2, 求||A|?A|. ?a11a12?
2.计算矩阵乘积 (b1b2b3)?a21a22
a13??b1????a23??b2?.
??a33???b3?
3.证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.
范文二：矩阵及其运算
加法：A=(aij)m?n,B=(bij)m?n是两个m?n矩阵,称矩阵C=(aij+bij)m?n为
A与B的和,记为C=A+B.
注意：两个矩阵必须是同型矩阵（行数和列数分别对应相同）才能相加. 数乘：设A=(aij)m?n是一个m?n矩阵，k是一个数，称C=(kaij)m?n为数k与矩阵A=(aij)m?n的数量乘积，记为C=kA.
矩阵的乘法运算；设A=(aik)m?n, B=(bkj)n?s，称m?s矩阵C=(cij)m?s为矩阵A与B的乘积.其中C的(i,j)位置的元素为：
cij?ai1b1j?ai2b2j?
b（i=1,2,L,m;j=1,2,L,s）.
将矩阵A与矩阵B的乘积C记为AB，即C?AB. 乘法运算的性质：
（1）乘法结合律A(BC)=(AB)C；（其中A,B,C分别是m创n,ns,s t矩阵）
（2）乘法对加法的分配律
左分配律A(B+C)=AB+AC；（其中A,B,C分别是m创n,ns,n s矩阵）
右分配律(B+C)A=BA+CA；（其中A,B,C分别是n创s,mn,m n矩阵）
（3）k(AB)=(kA)B=A(kB)；（其中A,B分别是m创n,ns矩阵，k是一个数）
（4）EmA=AEn=A.（其中A是m?n矩阵，Em,En分别是m阶和n阶单位矩阵） 注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.
（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变.
（ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.
（ⅳ）多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A(BC)=(AB)C.
个644k7448
方阵的方幂：设A是n阶方阵，我们称A=AALA为A的k次幂，特别规定
f(x)=amxm+am-1xm-1+L+a1x+a0是多项式，称f(A)=amAm+am-1Am-1+L+a1A+a0E为方阵A的多项式.
骣l1???l2??例 设A=??O????桫
÷÷÷÷÷÷B=÷÷÷÷
???m2????O????桫
÷÷÷÷÷÷,(1）求AB及BA;(2) 求Ak及÷÷÷÷
f(A),其中f(x)=amxm+L+a1x+a0.
骣cosq-sinq鼢骣cosnq-sinnq
例：证明珑珑鼢鼢珑sinqcosqsinnqcosnq桫桫
矩阵的转置与共轭运算
称以矩阵A的行为列，列为行构成的矩阵为A的转置矩阵，记为AT. 注意：A,B分别是m创n,ns矩阵，则(AB)T=BTAT.
骣骣1÷1÷??÷÷??T100TT÷÷?÷÷2b=-2ba例 设a=?,,求，,abba() ??÷÷??÷÷??÷÷?2÷?1÷桫桫
a2b1a2b2?例.A??LL?
?anb1anb2???
，求An L??anbn?
1?，求An ???
a23?,且ATA?O,证明A?O； a33??
例..设实矩阵A??a21
定义 A是n阶方阵，如果AT=A，称A为对称矩阵；如果AT=-A，称A为反对称矩阵.
由定义易知：n阶方阵A为对称矩阵当且仅当aij=aji(i,j=1,2,L,n)；
n阶方阵A为反对称矩阵当且仅当aij=-aji(i,j=1,2,L,n).
定义 A=(aij)m?n，如果aij取自复数集，称A是复矩阵，称由aij的共轭复数为元素构成的矩阵A=(aij)m?n为A的共轭矩阵. 分块矩阵及其运算的注意事项
1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；
2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即Aik列数必须等于Bkj的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；
3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的AikBkj绝对不能写成BkjAik.
4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.
利用矩阵运算表示线性方程组
?a11x1?a12x2??a1nxn?b1,
?ax?ax??ax?b,?
设线性方程组为?
?........................................??am1x1?am2x2??amnxn?bm.
利用矩阵的线性运算和矩阵相等定义，（ 1）可以改写为：
?a11??a12?
????aa2122??x???x1?2????????aa?m1??m2?
????a2n???b2?
?xn?????????a?mn??bm?
称为线性方程组（1）的向量线性组合表示法，简记为
x1?1?x2?2?xn?n??，
利用矩阵乘积和矩阵相等定义还可以改写为：
??a21?...??am1
a12a22...am2
...a1n??x1??b1?
...a2n??x2??b2?
......?????
...amn??xn??bm?
称为线性方程组（1）的矩阵乘积表示法，简记为AX??.
方阵的行列式的定义及性质
定义设A??aij?n是n阶方阵，以A的元素构成的行列式aijn称为方阵A的行列式.记为A或detA.
注意 ：（1）矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本质区别.
（2）只有方阵才定义行列式. 方阵的行列式具有以下性质： 性质1
A是n阶方阵，则kA=knA 性质2 A是n阶方阵，则AT=A 性质3 A是n阶方阵，B是m阶方阵，则
推论1 A是n阶方阵，B是m阶方阵，则
推论2 设A1,A2,L,AS均为方阵，则
性质4 A,B均为n阶方阵，则AB=AB.
注意，A,B均为n阶方阵，A+B=A+B不一定成立. 例 已知A是3阶方阵,且A??2,计算(1)2A；(2) AA；(3)例 已知A，B都是3阶方阵,且A??9，AB?3E?O,求B.
例 设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，求B.
??12?可逆矩阵
设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B，使得AB?BA?E，称A为可逆矩阵，称B为A的一个逆矩阵.
唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一.
n阶方阵A是可逆的充分必要条件为A?0.而且A?1?定理：设A,B都是n阶方阵，如果AB?E,那么BA?E.
伴随矩阵：设A??aij?n?n,称由aij在A中的代数余子式Aij为元素构成的矩阵
?A11?*?A12A?
为A的伴随矩阵.
可逆矩阵的性质：
性质1 设A是n阶可逆矩阵，A的逆矩阵A?1也可逆，且?A?1??A；
性质2设A是n阶可逆矩阵，k是非零数，则kA可逆，且?kA??k?1A?1； 性质3设A,B都是n阶可逆矩阵,那么AB也可逆,且(AB)?1?B?1A?1； 推广： A1,A2,且?A1A2
,As都是n阶可逆矩阵，则A1A2
As也可逆，
性质4设A是n阶可逆矩阵,AT也可逆，且?AT???A?1?；
A,B都是n阶可逆矩阵，但A?B不一定可逆.
性质5设Ai(i=1,2,L,s)为ni阶可逆方阵，准对角形矩阵?
?且????a1?且???
?As????a1?1?
???????as??
??； As?1??
?(ai?0,i?1,2,as?1??
ABAB?3E?O例已知，都是3阶方阵,且A??9，,求B及??
性质6 设A是m阶可逆矩阵，B,C都是m?n矩阵，且AB?AC,则B?C，
设A是n阶可逆矩阵，B,C都是m?n矩阵，且BA?CA,则B?C. 特别：设A是m阶可逆矩阵，B是m?n矩阵，且AB?O,则B?O，
设A是n阶可逆矩阵，B是m?n矩阵，且BA?O,则B?O. 证明方阵A可逆的常用方法：（1）找到一个方阵B，使得AB?BA?E；
（2）证明A?0
例A是n阶方阵,且满足A2?2A?3E?O,证明A?3E可逆，并求?A?3E? 求可逆方阵A的逆矩阵的方法 （1）公式法：利用伴随矩阵；
（2）用初等行变换求矩阵方程AX?B(A可逆)的求法：
初等行变换
B???????EA?1B?，则X?A?1B即可求得.
例.A是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A可逆，证明：A-1也是行等和矩阵.
例. A,B都为n阶方阵，且A+B=AB
骣1-30÷?÷??÷1) 证明：A-E可逆；2）证明：AB=BA；3）如果B=?210÷，求A ÷?÷?÷?002÷桫
证明：1）由A+B=AB有A-(A-E)B=O，所以A-E-(A-E)B=-E, 即(A-E)(B-E)=E,所以A-E可逆，且(A-E)-1=B-E 2）由(A-E)(B-E)=E，有(B-E)(A-E)=E， 所以(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，即有AB=BA
骣100鼢骣0-30珑鼢珑-1
鼢010鼢+2003）由(A-E)-1=B-E有A=E+(B-E)=珑珑鼢珑鼢珑鼢鼢桫珑001001桫
骣珑0珑珑骣100÷珑珑?珑÷?1÷珑?=?010÷+-珑÷珑?÷3珑?÷珑÷?001珑桫0珑珑珑珑桫
骣0鼢1鼢鼢鼢鼢鼢鼢1鼢0鼢=-鼢鼢3鼢鼢1鼢0鼢鼢鼢鼢桫
骣21-2-1÷?÷?÷?÷0-121?-1-1÷÷例.已知A=?求 (B-E),B=(A-E)(A+E),?÷?÷0021÷?÷??÷?0003÷桫解：由B=(A-E)-1(A+E),有(A-E)B=(A+E),AB-B-A=E,
A(B-E)-(B-E)=2E,所以(A-E)(B-E)=2E,(B-E)=
例. 方阵A满足A2+2A-3E=O求证：A+4E可逆，并求其逆；
证明：由于A2+2A-3E=O，有(A+4E)(A-2E)=-5E，所以A+4E可逆，其逆为(A+4E)=--1
例.A,B,A+B均为n阶可逆矩阵，求证A-1+B-1也可逆，并求其逆 证明：A(A-1+B-1)B=B+A,所以(A-1+B-1)=A-1(B+A)B-1， 所以A-1+B-1可逆，且(A-1+B-1)=B(B+A)A.
例.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，A3?0，则（
） A．E?A不可逆，E?A不可逆；B. E?A不可逆，E?A可逆； C. E?A可逆，E?A可逆;
D. E?A可逆，E?A不可逆 例. Ak?0，求(E-A)
例.设A?1XA?6A?XA, 其中A??0
0?，求X. ??1?7??
例.设A??0?20?，且满足A*XA?2XA?8E,求X
伴随矩阵的性质
设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则AA?AA?AE.
A=(aij)矩阵的伴随阵A*=(Aji)具有如下性质：
1）AA*=A*A=AE,特别地A可逆时A-1=
A*（或AA-1=A*） A
；3）r(A*) =?í1
r(A)=nr(A)=n-1r(A)<n-1
（其中A是n阶方阵，n?2）
,n)列元素是A的第i(i?1,2,
,n)行元素在A的代数余
注意 A*的第i(i?1,2,子式.
例 设A是3阶方阵，且A??2,求(1) A?1；（2）A；（3）A?1?2A*.
例 A是3阶方阵,B是2阶方阵,且A??2,B?1，则
例 A?R3?3，且(A)=16,detA>0,求-2A
例 设A是n阶方阵，A?3,A*是A的伴随矩阵，则2A?1?A*? 例设A,B均为2阶方阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?3,B?2
?OA?则??的伴随矩阵为（
?O3A*? A．??；B.
?*? ；C. ?3BO???
；D. ?3AO???
?*? ?2AO???
矩阵的初等行（列）变换
1.交换矩阵中某两行（列）对应位置的元素；
2.矩阵的某行（列）的元素都乘一个非零数；
3.矩阵的某行（列）元素乘一个数加到另一行（列）对应位置的元素上.
定理 任何m?n矩阵A都可以通过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而化为行最简形矩阵. 矩阵的秩
设A是一个m?n矩阵，如果A中存在r阶子式不为零，而所有r?1阶子式（如果有的话）全为零，我们称r为矩阵A的秩，记为R(A)或秩?A?. 注意：（1）R(A)=0当且仅当A=O；
（ⅱ）R(A)?R(AT)；
（ⅲ）n阶方阵A的秩R(A)?n的充分必要条件A?0； 即n阶方阵A可逆的充分必要条件为R(A)?n.
（IV）矩阵子块的秩不超过矩阵的秩. 定理：初等变换不改变矩阵的秩. 求秩的常用方法
1.求矩阵A的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A的秩.
2.如果A是n阶方阵，A?0充分必要条件是R(A)?n.
求元素含有参数的方阵A的秩时，先求出A?0时的参数取值，此时R(A)?n； 对于使A?0的参数再特别讨论.
例 A??1b1?，讨论A的秩.
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定理：设A是m?n矩阵，A左（右）乘一个m阶初等矩阵相当于对A作一次相应的初等行（列）变换.
例.已知A=(aij)3?3可逆，将A的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2
列的2倍得到B, 求B-1A
骣骣11鼢珑鼢珑-1
鼢1鼢-21B=解：B=A珑， 珑鼢珑鼢珑鼢珑1桫51鼢桫
骣骣11鼢珑鼢珑珑鼢-21鼢1珑鼢珑鼢珑鼢桫51珑1鼢桫
骣骣11鼢珑鼢珑
鼢B-1A=珑-21鼢1珑鼢珑鼢珑鼢桫51珑1鼢桫
骣骣骣111鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑
=珑21鼢1= 21. 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 -51 1鼢桫桫-51桫
例．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加
到第2列得C，记P??010?，则
（A）C?P?1AP.（B）C?PAP?1.（C）C?PTAP. （D）C?PAPT.
关于初等矩阵和矩阵秩的一些性质
1.R?A?B??R?A??R(B)；2. R?AB??min?R?A?,R(B)? 3.R(kA)?R(A)，其中k为非零数；
4.矩阵P，Q可逆，则R?PAQ??R?A?.
5.A与B等价当且仅当存在可逆矩阵P与可逆矩阵Q，使得A?PBQ. 6.n阶方阵A可逆当且仅当A可以写成一些初等矩阵的乘积.
7. 设A是秩为r的m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
?AO?8. R???R?A??R?B?
9. A=(aik)m?n, B=(bkj)n?s，且AB?O,则R?A??R?B??n 10. R?A??R?ATA??R?AAT?
范文三：2.1 矩阵的运算
如果A是一个m×n矩阵，即一个具有m行n列的矩阵，那么矩阵A中第i行第j列的数值被表示为aij，并被叫做矩阵A的第i行第j列的值。看图一，例如，a32 表示第三行第二列的元素，矩阵A中的列是Rm中的向量，并由粗体字a1,...an表示。这些数列我们可写作A=[a1 a2 …an].
观察位于第i行(从左至右)第j列的元素aij.
?a11...a1j...a1n???.???.???
矩阵符号表示
矩阵A=[aij]对角线上的元素是a11a22a33…，它们构成了矩阵A的主对角线。对角阵是除主对角线上元素外，其余元素均为0的方阵。一个元素均为0的m×n矩阵是零矩阵，记作0。零矩阵的大小通常被前后关系所清除。
矩阵的加法和数乘：
更早的，矢量的算术描述已经自然地扩展到矩阵，如果两个矩阵有相同的行数和列数，并且其对应位置上的数值相等，我们则称这两个矩阵相等。
如果A,B均为m×n矩阵，那么矩阵A与矩阵B的和仍为m×n矩
阵，它的列由矩阵A与矩阵B中各列对应元素的和构成。既然向量的加法可以运用于各列中，那么矩阵A+B中的每个值都是由矩阵A与矩阵B中对应值的和来表示。和矩阵A+B仅定义在矩阵A与矩阵B有相同大小的条件下。
例1. 令A=?那么A+B=?
5??1,B=??2??3
,C=??7??0?3?
但是A+C不在定义内，因为矩阵A与矩阵C大小不同。 如果r是一个数，A是一个矩阵，那么数乘rA仍是一个矩阵，其列由矩阵A中列上对应元素的r倍构成。如同向量一样，我们定义-A为（-1）A，并且我们用A-B替代A+（-1）B。
例2，如果矩阵A，B同例1中的A，B，那么
1??2?=?7??603
??15??2?-?2??62??14?
我们没有必要将例2中的A-2B按A+（-2）B来计算，因为代数 中的一般规律同样适用于矩阵的加法和数乘运算中。正如我们在下列定理中所见。
定理1.令A、B、C是具有想相同大小的矩阵，令r和s为数，则： a. A+B=B+A
r(A+B)=rA+rB b.(A+B)+c=A+(B+C)
(r+s)A=rA+sA c. A+0=A
r(sA)=(rs)A
定理1中的每个等式都能够通过显示等号左右两侧矩阵具有相同大小，并且其对应各列上元素相等而被证实。由于矩阵A、B、C具有相同的大小，所以各个矩阵的大小问题不用研究。列的相等关系直接来自于向量的性质。例如，如果矩阵A、B、C的第j列分别是aj、
、cj，那么矩阵（A+B）+C和矩阵A+ （B+C）的第就列分别是
(aj+bj)+cj和aj+(bj+cj),显然这两个列向量相等，那么性质（b）被证实。
根据加法结合律，我们可以将矩阵A、B、C的和简单的写作A+B+C，同样的我们也可以按照（A+B）+C或A+ （B+C）来计算。这样的性质也可运用于四个或四个以上的矩阵求和运算中。
矩阵的乘法：
当一个矩阵B乘以向量X时，它吧向量X转变成向量BX，如果这个向量再乘矩阵A，结果则是向量A(BX)。如图2.
范文四：矩阵及其运算
矩阵的线性运算；矩阵的转置（对称矩阵；反对称矩阵）；方阵的行列式 矩阵运算注意事项：
利用运算定义和运算律进行运算.
注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.
（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变. （ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.
（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A(BC)=(AB)C. （ⅴ）A,B分别是m创n,n
s矩阵，则(AB)=BA.
（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别. （ⅶ）A,B都是n阶方阵时，如果AB=E，必有BA=E，当然有AB=BA
分块矩阵及其运算的注意事项
1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；
2.第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即Aik列数必须等于Bkj的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；
3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的AikBkj绝对不能写成BkjAik.
4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.
定义：设A是n阶方阵,如果存在n阶方阵B，使得AB?BA?E，称A为可逆矩阵，称B为A的一个逆矩阵.
唯一性：可逆矩阵的逆矩阵唯一.
伴随矩阵的性质
设A是n阶方阵，A是A的伴随矩阵，则AA?AA?AE.
(aij)n矩阵的伴随阵A*=
(Aji)具有如下性质：
1）AA*=A*A=AE,特别地A可逆时Aì?n?n?1??
；3）r(A*) =í1
r(A)=nr(A)=n-1r(A)<n-1
（其中A是n阶方阵，n?2）
注意 A*的第i(i?1,2,?,n)列元素是A的第i(i?1,2,?,n)行元素在A的代数余子式； 求法：设A??aij?
,称由以A的第i(i?1,2?,,n行)元素在A中的代数余子式
Aij(j?1,2,?,n)为第i列元素构成的矩阵A?Aji
为A的伴随矩阵.
初等变换与初等矩阵
1.设A是m?n矩阵，A左（右）乘一个m阶初等矩阵相当于对A作一次相应的初等行（列）变换.
2.A与B等价当且仅当存在可逆矩阵P与可逆矩阵Q，使得A?PBQ. 3.n阶方阵A可逆当且仅当A可以写成一些初等矩阵的乘积.
逆矩阵的求法：1.求可逆矩阵的逆矩阵：A?1?
矩阵求逆或理论证明）；
A（用于阶数较低的具体给定的数字
2.利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A的逆矩阵：即 找到n阶方阵B，使得AB?BA?E，则A可逆，且A
3.用初等行变换求矩阵方程AX?B(A可逆)的求法：
初等行变换
ABX?A?，则
B即可求得.
1.设A是一个m?n矩阵，如果A中存在r阶子式不为零，而所有r?1阶子式（如果有的话）全为零，我们称r为矩阵A的秩，记为R(A)或秩?A?. 2. 矩阵的秩具有如下性质： （ⅰ）R(A)=0当且仅当A=O； （ⅱ）R(A)?R(A)；
（ⅲ）n阶方阵A的秩R(A)?n的充分必要条件A?0； 即n阶方阵A可逆的充分必要条件为R(A)?n.
矩阵秩的运算性质：
?A?B??R?A??
min?R?A?,R(B)?
3.R(kA)?R(A)，其中k为非零数； 4.初等变换不改变矩阵的秩.
5.矩阵P，Q可逆，则R?PAQ??R?A?.
6. 设A是秩为r的m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
1.求矩阵A的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A的秩. 2.如果A是n阶方阵，A?0时R(A)?n.
求元素含有参数的方阵A的秩时，先求出A?0时的参数取值，此时R(A)?n； 对于使A?0的参数再特别讨论.
矩阵基础部分习题
矩阵乘法运算
a1b2a2b2?anb2
?，求An ??
1，求An ????
?，求与矩阵A乘积可交换的矩阵具有的形式；
4.设实矩阵A?a21
a12a22a32a13?
a23,且AA?O,证明A?O；
5．A,B分别是m创n,nm矩阵，证明trAB=trBA.
1.A是3阶方阵,B是2阶方阵,且A??2,B?1，则
2.A?R解：A
=16,detA>0,求det(-2A)
=16,detA=2,det(-2A)=(-2)3detA=-16
3.设A是n阶方阵，A?3,A*是A的伴随矩阵，则2A
4.设A,B均为2阶方阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?3,B?2
?的伴随矩阵为（
?2B*??O??3B*?
? ；C. O??
5. 设A是n阶方阵， A??
?，求A的所以代数余子式之和. 1??1?
方阵与行列式
?ABAB?3E?OA??9AB1.已知，都是3阶方阵,且，,求及?
2.设矩阵A??
?，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，求B. 2?
(aij)n可逆，且A,A
所以元素都是整数，证明：A=1或-1
解：由于行列式是取自不同行、不同列元素乘积的代数和，且A,A-1所以元素都是整数，所以A,A-1
都是整数，又AA-
=1,所以A=1或-1
矩阵的逆与矩阵方程
1.A是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A可逆，证明：A-1也是行等和矩阵. 骣珑骣珑1鼢骣1
证明：设A的行和为a，则A珑1鼢骣1
珑珑1珑珑M鼢鼢鼢鼢珑鼢珑鼢=aM,(a 0)，所以A-珑珑珑M鼢鼢=a-1M桫1鼢鼢桫
1珑鼢， 珑鼢桫1鼢鼢桫
1即A-1是行等和矩阵.
2. A,B都为n阶方阵，且A+B=AB
1) 证明：A-E可逆；2）证明：AB=BA；3）如果B=????210÷÷÷?÷，求A ?桫
证明：1）由A+B=AB有A-(A-E)B=O，所以A-E-(A-E)B=-E, 即(A-E)(B-E)=E,所以A-E可逆，且(A-E)-1=B-E 2）由(A-E)(B-E)=E，有(B-E)(A-E)=E， 所以(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)，即有AB=BA
骣珑100鼢骣-30-1
3）由(A-E)
=B-E有A=E+(B-E)
=珑珑珑珑010鼢0
珑鼢珑鼢+200桫
珑11珑0骣鼢?1
00珑珑20鼢骣
鼢鼢1鼢鼢20=??÷??010÷÷珑÷珑10鼢鼢鼢1?÷鼢?÷+珑珑-0鼢=-10 桫
珑÷珑珑3珑鼢珑珑珑00
1鼢3鼢鼢珑鼢桫
?3.已知A=??0-121÷÷÷?÷???0021÷÷÷,B=(A-E)-1(A+E),求(B-E)-1 ?÷?桫
解：由B=(A-E)-1
(A+E),有(A-E)B=(A+E),AB-B-A=E,
A(B-E)-(B-E)=2E,所以(A-E)(B-E)=2E,(B-E)
4. 方阵A满足A2+2A-3E=O求证：A+4E可逆，并求其逆；
证明：由于A2+2A-3E=O，有(A+4E)(A-2E)=-5E，所以A+4E可逆，其逆为(A+4E)
5.A,B,A+B均为n阶可逆矩阵，求证A-1+B-1也可逆，并求其逆 证明：A(A-1+B-1
)B=B+A,所以(A
(B+A)B-1，
所以A-1+B-1可逆，且(A-1+B-)
6.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，A?0，则（
） A．E?A不可逆，E?A不可逆；B. E?A不可逆，E?A可逆； C. E?A可逆，E?A可逆;
D. E?A可逆，E?A不可逆 7. A?0，求(E-A)
8.设A?1XA?6A?XA, 其中A?0
0?，求X. ??1??7?
0，且满足A*XA?2XA?8E,求X ?1??
矩阵的初等变换
1.已知A=(aij)
可逆，将A的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍
得到B, 求B-1A 骣1
解：B=A珑珑珑珑珑桫
鼢鼢鼢鼢-2鼢鼢鼢1鼢桫
珑珑=珑-2珑珑珑珑桫
骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢
BA=珑-2珑珑珑珑桫
骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢
骣1珑珑=珑2珑珑珑珑桫
骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢
2．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得?1
10?C，记P??
（A）C?P?1AP.
（C）C?PTAP.
（B）C?PAP?1.
（D）C?PAPT.
范文五：第二节 矩阵的运算
内容分布图示
★ 矩阵的加法
★ 数与矩阵的积
★ 例2 ★ 例4
★ 例6 ★ 例7
★ 矩阵的线性运算规律
★ 矩阵的乘法
★ 矩阵的乘法的运算规律
★ 线性方程组的矩阵表示
★ 转置矩阵及其运算性质
★ 方阵的幂（例12）
★ 对称矩阵 (例14)
★ 例11 ★ 方阵的行列式
★ 例13 ★ 例15
★ 共轭矩阵
★ 例16 ★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题2-2
内容要点：
一、矩阵的线性运算
设有两个m?n矩阵A?(aij)和B?(bij),矩阵A与B的和记作A?B, 规定为
a21?b21?????
a12?b12a22?b22
A?B?(aij?bij)n?m
注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和, 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
设矩阵A?(aij),记
?A?(?aij),
称?A为矩阵A的负矩阵, 显然有
由此规定矩阵的减法为
A?B?A?(?B).
数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak, 规定为
kA?Ak?(kaij)??
ka12ka22?kam2
数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.
矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律: 设A,B,C,O都是同型矩阵, k,l是常数, 则 (1) A?B?B?A;
(2) (A?B)?C?A?(B?C); (3) A?O?A; (4) A?(?A)?O; (5) 1A?A;
(6) k(l)A?(klA);
(7) (k?l)A?kA?lA; (8) k(A?B)?kA?kB.
注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.
二、矩阵的相乘 定义3
?a11??a2s??
a12a2s?am2
?ams???c11??c21??
?b11??b21??
b12b22?bs2
A?(aij)m?sB?(bij)s?n
矩阵A与矩阵B的乘积记作AB, 规定为
c12c22?cm2
AB?(cij)m?n
其中 cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj?
?aikbkj，(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n).
记号AB常读作A左乘B或B右乘A.
注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
若C?AB，则矩阵C的元素cij即为矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和. 即
??ai1b1j?ai2b2j???aisbsj. ???
矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的): （1）(AB)C?A(BC); （2）(A?B)C?AC?BC;
?(ai1,ai2,?,ais)?
（3）C(A?B)?CA?CB; （4）k(AB)?(kA)B?A(kB).
注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即AB?BA; 例如, 设A???
??,B????3?2??
????2????34???2
?, 则 ??6?
4???16?????6???84?
BA????3?6????1????00??, ?2??????
于是 AB?BA; 且BA?O
从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从AB?O必然推出A?O或B?O.
此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从AC?BC必然推出A?B. 例如, 设
2??1??,B??03???
??,C??04???
2??1???3???01??1
????0???01??1
????0???00??1
???4???01?
如果两矩阵相乘, 有
则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.
注：对于单位矩阵E, 容易证明
EmAm?n?Am?n,
Am?nEn?Am?n.
可见单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1.
更进一步我们有
设B是一个n阶矩阵，则B是一个数量矩阵的充分必要条件是B与任何n阶矩阵A可换.
设A,B均为n阶矩阵，则下列命题等价: （1）AB?BA;
（2）(A?B)2?A2?2AB?B2 （3）(A?B)2?A2?2AB?B2
（4）(A?B)(A?B)?(A?B)(A?B)?A2?B2
三、线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?
?a21x1?a22x2???a2nxn?b2,?
?ax?ax???ax?b,
m22mnnm?m11
a12a22?am2
????xb?2??2?X???,b??,
????????x??b??n??m?
则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：
其中矩阵A称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.
如果xj?cj(j?1,2,?,n)是方程组(1)的解, 记列矩阵
?c1????c2?C???,
这时也称C是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵C是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式AC?b成立, 则x??, 即xj?cj(j?1,2,?,n)也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为
将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩
阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
四、矩阵的转置
把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为A的转置矩阵, 记作AT(或A?). 即若
?a11??a21A??
a12a22?am2a21a22?a2n
?amn??am1?
矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的): (1) (AT)T?A;
(2) (A?B)T?AT?BT;
(3) (kA)T?kAT; (4) (AB)T?BTAT.
五、方阵的幂
设方阵A?(aij)n?n, 规定
A称为A的k次幂.
?????A?A?A???A,k
k为自然数.
方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：
(1) AmAn?Am?n(m,n为非负整数);
(2) (Am)n?Amn.
注: 一般地,(AB)m?AmBm, m为自然数
命题3 设A,B均为n阶矩阵，AB?BA, 则有(AB)m?AmBm, m为自然数，反之不成立。
六、方阵的行列式
由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA.
注: 方阵与行列式是两个不同的概念, n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表,而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.
方阵A的行列式|A|满足以下运算规律(设A,B为n阶方阵, k为常数):
(1) |AT|?|A|(行列式性质1); (2) |kA|?kn|A|;
(3) |AB|?|A||B|.进一步AB?AB?BA
七、对称矩阵
定义8 设A为n阶方阵, 如果AT?A, 即
(i,j?1,2,?,n),
则称A为对称矩阵.
显然，对称矩阵A的元素关于主对角线对称. 例如
?1???, ?60???
均为对称矩阵.
如果AT??A,则称A为反对称矩阵.
八、共轭矩阵
设A?(aij)为复（数）矩阵, 记
其中aij表示aij的共轭复数, 称A为A的共轭矩阵.
共轭矩阵满足以下运算规律(设A,B为复矩阵,k为复数, 且运算都是可行的): (1) A?B?A?B; (2) ?A??A; (3) AB?AB.
例题选讲：
矩阵的线性运算
例1 (讲义例1) 已知A??0
例2 (讲义例2) 已知A??1
3?23276????
1??4??1?,B??5
?12???0??7
1?, 求3A?2B. 0??
7?, 且A?2X?B,求X. 6??
n阶数量矩阵
例3 (讲义例3) 若A??1
?3?3???1?2?,B???2
?, 求AB. 0??
例4设A?(1,0,4),B??1?. A是一个1?3矩阵, B是3?1矩阵, 因此AB有意义, BA
也有意义; 但
AB?(1,0,4)?1??1?1?0?1?4?0?1,
?1??1?1???
BA??1?(1,0,4)??1?1
?0??0?1????a1
?4?. 0??????. ?bn??
????，B=??????an??
（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则 ?a1
????a1??（2）?
????a1??（3）?
??ka1?????????
?an?????b1
?an?????b1?????????an???
???; ?kan??
?bn?????a1b1
??? ?anbn??
例6 (讲义例4) 某地区有四个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵A
表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵B表示各种产品的单位价格(元)及单位利润(元), 矩阵C表示各工厂的总收入及总利润.
?a11??a21A??
a12a22a32a42乙
?a23?Ⅱ,B??b21
??c21b22?乙,C??
c?31b32?丙??c?41单位利润
?c22?Ⅱc32?Ⅲ
?c42??Ⅳ总利润
aik(i?1,2,3,4;k?1,2,3)是第i个工厂生产第k种产品的数量, bk1及bk2(k?1,2,3)分别是第k种产品的单位价格及单位利润, ci1及ci2(i?1,2,3,4)分别是第i个工厂生产三种产品的总收入及总利润. 则矩阵A,B,C的元素之间有下列关系:
?a21b11?ab?3111?ab?4111
?a12b21?a13b31?a22b21?a23b31?a32b21?a33b31?a42b21?a43b31
a11b12?a12b22?a13b32??c11
a21b12?a22b22?a23b32??c21
a31b12?a32b22?a33b32??c31
?a41b12?a42b22?a43b32???c41
.c32? ?c42??
其中cij?ai1b1j?ai2b2j?ai3b3j(i?1,2,3,4;j?1,2)，即
求与矩阵A??
0??0?1??0??
例7 (讲义例5) 可交换的一切矩阵.
例8 (讲义例6) 证明: 如果CA?AC,CB?BC, 则有
(A?B)C?C(A?B);
(AB)C?C(AB).
例9 (讲义例7) 解矩阵方程??1
1??1??X???12???2?
?, X为二阶矩阵. 4??
例10（1）设A???1
0????24?, 则AT?
. ??3?????1???
（2）设A?(1,2,3,?1),则A
例11 (讲义例8) 已知 A???1
?,B??42???2
?1??T3?, 求(AB). 1??
例12(讲义例9) 设A??0
0??31?, 求A. ???
例13设A??2
?1???2??0?,B??0
1?, 则 2??
??2?AB???4
1?，AB??40??6?
0??2，|B|??1
|AB|?24?(?2)(?12)?|A||B|.
例14 (讲义例10) 设A与B是两个n阶反对称矩阵, 证明: 当且仅当AB??BA时, AB
是反对称矩阵.
例15(讲义例11) 设列矩阵X?(x1,x2,?,xn)T满足XTX?1, E为n阶单位矩阵,
, 证明H是对称矩阵, 且HH
1.设A?(aij)为三阶矩阵, 若已知|A|??2, 求||A|?A|.
2.计算矩阵乘积 (b1b2b3)?a21
a13??b1????a23??b2?.
??a33???b3?
3.证明任一n阶矩阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和.
范文六：#include
struct Triple
class SparseMatrix
//是顺序表的推广
vector< Triple > triL
int rows,cols,
SparseMatrix();
SparseMatrix(vector< Triple >&tlist,int rs,int cs,int n);
void Simple_trans(SparseMatrix& B);
Quick_trans(SparseMatrix& B);
void Plus(SparseMatrix& A,SparseMatrix& B);
//加法(C=A+B)
void Mult(SparseMatrix& A,SparseMatrix& B);
//乘法(C=A*B)
void PrintSparseMatrix();
//输出矩阵
SparseMatrix::SparseMatrix()
//无参构造函数
rows=0,cols=0,num=0;
SparseMatrix::SparseMatrix(vector< Triple >& tlist,int rs,int cs,int n)
//有参构造函数
rows=cols=num=n;
for(int i=0;i<n;i++) triList.push_back(tlist[i]);
void SparseMatrix::Simple_trans(SparseMatrix& B)
//朴素转置，B=A'
B.rows=B.cols=B.num=
B.triList.resize(num);
//先将B的triList初始化
if(num==0)
for(int col=0;col<col++)
for(int p=0;p<p++)
if(triList[p].c==col)
B.triList[q].r=triList[p].c;
B.triList[q].c=triList[p].r;
B.triList[q].elem=triList[p].
void SparseMatrix::Quick_trans(SparseMatrix& B)
B.rows= B.cols= B.num=
if(num==0)
B.triList.resize(num);
int* cnum=new int[cols];
int* cpot=new int[cols];
for(int col=0;col<col++)
cnum[col]=0;
for(int i=0;i<i++)
cnum[triList[i].c]++;
//计算每一列非零元个数
cpot[0]=0;
for(col=1;col<col++)
//每列第一个非零元在triList数组中的位置
cpot[col]=cpot[col-1]+cnum[col-1];
for(p=0;p<p++)
col=triList[p].c;
q=cpot[col];
B.triList[q].r=triList[p].c;
B.triList[q].c=triList[p].r;
B.triList[q].elem=triList[p].
++cpot[col];
void SparseMatrix::PrintSparseMatrix()
//输出矩阵
for(int i=0;i<i++)
for(int j=0;j<j++)
if(i==triList[k].r&&j==triList[k].c&&k<num)
if(j==cols-1) cout<<triList[k].elem<<"\n";
else cout<<triList[k].elem<<" ";
if(j==cols-1) cout<<0<<"\n";
else cout<<0<<" ";
void SparseMatrix::Plus(SparseMatrix& A,SparseMatrix& B)
//矩阵加法(C=A+B)
A.rows!=B.rows||A.cols!=B.cols)
cout<<"此两个矩阵不可加！";
rows=A.cols=A.
triList.clear();
int i=0,j=0;
while(i<A.num||j<B.num)
if(A.triList[i].r<B.triList[j].r)
triList.push_back(A.triList[i]); num++;
if(A.triList[i].r==B.triList[j].r)
if(A.triList[i].c<B.triList[j].c) { triList.push_back(A.triList[i]); num++; i++;}
else if(A.triList[i].c==B.triList[j].c)
tt.r=A.triList[i].r; tt.c=A.triList[i].c;
tt.elem=A.triList[i].elem+B.triList[j].
triList.push_back(tt);
else if(A.triList[i].c>B.triList[j].c) { triList.push_back(B.triList[j]); num++; j++;}
if(A.triList[i].r>B.triList[j].r)
triList.push_back(B.triList[j]);
if(i==A.num) for(;j<B.j++) { triList.push_back(B.triList[j]); num++;}
if(j==B.num) for(;i<A.i++) { triList.push_back(A.triList[i]); num++;}
void SparseMatrix::Mult(SparseMatrix& A,SparseMatrix& B)
//矩阵乘法(C=A*B)
if(A.cols!=B.rows)
cout<<"此两个矩阵不可乘！";
SparseMatrix C;
B.Simple_trans(C);
triList.clear();
int Ai,Ci; int i=0;
for(Ai=0;Ai<A.Ai++)
for(Ci=0;Ci<C.Ci++)
if(A.triList[Ai].c==C.triList[Ci].c)
t.r=A.triList[Ai].r;
t.c=C.triList[Ci].r;
t.elem=A.triList[Ai].elem*C.triList[Ci].
triList.push_back(t);
if(i>0&&triList[i].r==triList[i-1].r&&triList[i].c==triList[i-1].c)
triList[i-1].elem=triList[i-1].elem+triList[i].
triList.pop_back();
cout<<"("<<triList[i].r<<","<<triList[i].c<<","<<triList[i].elem<<")\n";
int main()
vector< Triple > Tripleint rs,
cout<<"input the num of nonzero elem:";
cout<<"input:\nrow col elem\n";
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>tt.r>>tt.c>>tt.
tlist.push_back(tt);
SparseMatrix A(tlist,rs,cs,n),B;
SparseMatrix C;
A.PrintSparseMatrix();
cout<<"\n*********\n";
A.Quick_trans(B);
cout<<"B=A'=\n";
B.PrintSparseMatrix();
cout<<"\n*********\n";
C.Plus(A,B);
cout<<"C=A+B=\n";
C.PrintSparseMatrix();
cout<<"\n*********\n";
A.Mult(B,C);
cout<<"B*C=\n";
A.PrintSparseMatrix();
范文七：1．矩阵的转置
例11 设A????345?TA?，求。 ??426?
解 程序如下：
>> A=[3 4 5;4 2 6]
2．矩阵线性运算
例12 设A????345??427????，求A?B,4B?2A。 ,B?????426??192?
解 程序如下：
>> A=[3 4 5;4 2 6];
>> B=[4 2 7;1 9 2];
>> 4*B-2*A
3．矩阵的乘法运算
?427??1?????T3
例13设A??192?,B??0?，求AB与BA，并求A。
?035??1?????
解 程序如下：
>> A=[4 2 7;1 9 2 ; 0 3 5];
>> B=[1; 0; 1];
4．求方阵的逆
?712824???346?8??5?1A
例14设A??，求。 ?3243024????269270???
解 程序如下：
>> A=[7 12 8 24;5 34 6 -8;32 4 30 24;-26 9 27 0];
-163/10117
-391/26615
5．求方阵的行列式
当矩阵A的行数和列数相等时，可计算其行列式，命令为：det(A)。
例15 求行列式D?1?13
32?4。 ?1?3?51201?5
解 程序如下：
>> A=[3 1 -1 2;-5 1 3 -4;2 0 1 -1;1 -5 3 -3];
例16计算范德蒙行列式x121x22x2
4x21x32x33x34x31x42x43x44x41x52x5。 3x54x5x13x14
解 程序如下：
>> A=[1 1 1 1 1; x1 x2 x3 x4 x5; x1^2 x2^2 x3^2 x4^2 x5^2; x1^3 x2^3 x3^3 x4^3
x5^3; x1^4 x2^4 x3^4 x4^4 x5^4];
>> factor(det(A))
%factor作因式分解
(-x1+x5)*(-x1+x4)*(x4-x5)*(-x1+x3)*(x3-x5)*(x3-x4)*(-x1+x2)*(x2-x5)*(x2-x4)*(x2- x3)
6．求矩阵的秩
例17设A??0??3???3?，求A的秩。 ?6?5??
解 程序如下：
>> A=[2 1 3 2;5 2 3 3;0 1 4 6;3 2 1 5];
>> rank(A)
范文八：第二节 矩阵的运算
? ? ? ? ? 矩阵的加法 数与矩阵的乘法 矩阵与矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的其他运算
一、矩阵的加法
设有两个 m × n 矩阵 A = (a ij ), B = (bij ), 那末矩阵 A与 B 的和 , 记作 A＋ B ，规定为
? a11 + b11 ? a21 + b21 A+ B = ? ? ? ? am 1 + bm 1
a12 + b12 a22 + b22 am 2 + bm 2
a1n + b1n ? ? a2 n + b2 n ? ? ? amn + bmn ?
注 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
定义：1. 设矩阵 A = aij
, 称矩阵 - aij
A 的负矩阵，记作 - A . 2.矩阵的减法： A - B = A + ( - B ) 设 A = aij
? 12 3 - 5 ? ? 1 8 9 ? ? ? ? ? ? 1 - 9 0 ? + ? 6 5 4? ?3 ? ? 6 8 ? ? ? ? 3 2 1?
? 12 + 1 3 + 8 - 5 + 9 ? ? 13 11 4 ? ? ? ? ? = ? 1 + 6 - 9 + 5 0 + 4 ? = ? 7 - 4 4 ?. ? ? ? 3+ 3 6+ 2 8+1 ? ? ? ? 6 8 9?
? a11 - b11 ? A - B = ? a21 - b21 ? ? ? am 1 - bm1
a12 - b12 a22 - b22 am 2 - bm 2
a1n - b1n ? ? a2 n - b2 n ? . ? ? amn - bmn ?
2、 矩阵加法的运算规律
二、数与矩阵相乘
数λ与矩阵A的乘积记作 λA或Aλ , 规定为
(1) A + B = B + A;
(2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ).
( 3) A + O = A
( 4 ) A - A = O.
? λ a11 ? λ a21 λ A = Aλ = ? ? ? ? λ am 1
λ a12 λ a22 λ am 1
? ? λ amn ?
λ a1n ? λ a2 n ? ?
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m × n 矩阵，λ , μ 为数） (1) (λμ ) A = λ (μA); (4) 1A = A
三、矩阵与矩阵的乘法
设A=(aij )是一个m×s 矩阵， B=(bij )是一个s×n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积是一个 m×n 矩阵 C=( C (cij ) ，其中 其中
矩阵 B 的第 j 列的元素
(2) (λ + μ ) A = λA + μA;
( 3 ) λ ( A + B ) = λ A + λB .
( 5 ) 0A = Ο
cij = ai 1b1 j + ai 2 b2 j +
矩阵 A的第 i 行的元素
+ ais bsj = ∑ aik bkj
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
(i = 1,2, j = 1,2, , n ),
并把此乘积记作
注 只有当A的列数等于B的行数时，AB才有意义. 且AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数。 如
例1 计算下列乘积：? 2 ?
? 1 2 3? ? ? ? 1 6 8? ? 不存在. ? 3 2 1?? ? 5 8 9? ? 6 0 1? ? ?
? ? (1) ? 2 ? ( 1 2 ) ? 3? ? ?
? 3? ? ? (2) ( 1 -1 1) ? 2 ? ? 3? ? ?
? 2? ? ? (1) ? 2 ? ( 1 2 ) = 1× 2 ? 3? ? ?3 × 1
?2 × 1 2 × 2 ? ? 2 4 ? ? ? ? ? ?2 × 1 2 × 2 ? = ? 2 4 ? . ? ?3 × 1 3 × 2 ? ? ? ?3 × 2? 3 6 ?
(2) ( 1 -1 1)
? 3? ? ? = ( 4) ? 2? 1× 3 ? ? ? 3 ?3 × 1
? 4 ? ?- 2 4 ? ? 2 - 16 - 32? ? C =? ? ? ? = ? 16? 2 × 2 ? 1 - 2
? 2×2 ? - 3 - 6 ? 2×2 ? 8
∵ A = (aij )3×4 ,
B = (bij )4×3 ,
∴ AB = cij
4? ? 1? 1 -1 ? ? 2 1? 3 2
? 0 ? ? 1 0 - 1 2? ? ? ? 1 A = ? - 1 1 3 0? B = ? 3 ? 0 5 - 1 4? ? ? ? ?-1
求AB，BA, AE .
4 ? ? 2 1 ? 1 - 1? ? 2 1 ? 3
? 0 ? 1 0 -1 2 ? ? ? ? 1 AB = ? -1 1 3 0 ? ? ? ?? 3 ? 0 5 -1 4 ? ? ? -1
?- 5 6 7 ? ? ? = ?10 2 - 6? . ?- 2 17 10 ? ? ?
∵ A = (aij )3×4 ,
B = (bij )4×3,
∴ BA = Dij
? 0 ? 1 BA = ? ? 3 ? ? -1
4? ? ? 1 0 -1 2 ? 2 1 ?? ? -1 1 3 0 ? 1 -1 ? ? ? 0 5 -1 4 ? ?? ? 2 1? 3
由此例可知：
?1 ? 1 0 -1 2 ? ? ? ? AE = -1 1 3 0 ? 0 ? ? ? 0 5 -1 4 ? ? 0 ? ? ? ?0
? 1 0 -1 2 ? ? ? = ? -1 1 3 0 ? = A . ? 0 5 -1 4 ? ? ?
∵ A = (aij )3×4 ,
0 0 0? ? 1 0 0? 0 1 0? ? 0 0 1?
?. =? ? 2 -4 1 2 ? ? ? ? -3 7 6 2 ?
? -3 23 5 16 ? ? -1 7 4 6 ?
EA = E3×3 A = A.
? 1 1? ?2 0 ? ? 1 -1 ? 例4 设 A = ? ?, B =? , C =? ?, ? - 1 - 1 ? ? ? 0 -2 ? ? -1 1 ?
求AB，BA ，BC. 解
注（1）矩阵乘法不满足交换律，即：
若 AB = BA ，则称 A 与 B 可交换。 （2）矩阵乘法不满足消去律，即：
? 0 0? AB = ? ? , BA = ? 0 0?
? 2 2? ? ?, ? -2 -2 ?
2 2? BC = ? ? ?, ? -2 -2 ?
由此例可知：
AB = AC或BA = CA且A ≠ 0 => B = C
（3）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即
BA = BC且B ≠ 0 => A = C
即矩阵乘法不满足消去律
AB = 0 => A = 0或B = 0
２、矩阵乘法的运算规律
(1) ( AB )C = A( BC ); (2) A( B + C ) = AB + AC ,
( B + C ) A = BA + CA;
例5 设? y1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ? ? y2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ?y = a x +a x +a x 31 1 32 2 33 3 ? 3
? x1 = b11 t1 + b12 t 2 ? ? x2 = b21 t1 + b22 t 2 ?x = b t + b t 31 1 32 2 ? 3
求从变量 t1 , t 2到变量 y1 , y2 , y3的 线性变换.
（其中 λ 为数）; 解
? y1 ? ? x1 ? ? t1 ? ? ? ? ? 记y = ? y2 ? , x = ? x2 ? , t = ? ? ? t2 ? ?y ? ?x ? ? 3? ? 3?
y = Ax , x = Bt ,
(3 ) λ ( AB ) = (λA )B = A(λB )
(4 ) AE = EA = A;
? a11 ? A = ? a21 ?a ? 31
a12 a22 a32
a13 ? ? b11 ? ? a23 ? , B = ? b21 ?b a33 ? ? ? 31
b12 ? ? b22 ? , b32 ? ?
? y1 ? ? ? ? y2 ? = ?y ? ? 3?
y = Ax = A( Bt ) = ( AB )t ? a11 ? ? a21 ?a ? 31 a12 a22 a32 a13 ? ? b11 ?? a23 ? ? b21 ? a33 ? ? ? b31
例6 线性方程组
b12 ? ? t1 ? ?? ? b22 ? ? t 2 ? ? ? b32 ? ? ? t3 ?
? a11 x1 + a12 x 2 + ?a x + a x + ? 21 1 22 2 ? ? ? ? a n 1 x1 + a n 2 x 2 +
+ a1 n x n = b1 + a 2 n x n = b2 + a nn x n = bn
a12 a22 an 2 a1n ? ? a2 n ? , ? ? ann ?
? x1 ? ? b1 ? ? a11 ? ? ? ? ? x b a 2 2 记x = ? ? , b = ? ? , A = ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? xn ? ? bn ? ? a n1
线性方程组可写成矩阵形式
四、矩阵的转置
1.转置矩阵 转置矩阵的运算性质
定义 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 AΤ .
( 1) ( AT )
( 3) ( λ A)
? 1 2 2? A=? ?, ? 4 5 8?
B = (18 6),
? 1 4? ? ? A = ? 2 5?; ? 2 8? ? ?
( 2) ( A + B )
= AT + BT ;
? 18 ? BT = ? ? . ?6?
(4) ( AB )T = BT AT .
? 1 7 - 1? T ? ? ? 2 0 - 1? A=? ? , B = ? 4 2 3 ? , 求 ( AB ) . ?1 3 2 ? ?2 0 1 ? ? ? 解法1 ? 1 7 - 1? ? 0 17? ? ? 2 0 - 1 ?? ? ? ∵ AB = ? ?? 4 2 3 ? ∴( AB)T = ? 14 13?. 1 3 2 ? ?? ? ? - 3 10? ?2 0 1 ? ? ?
( AB )T = BT AT
? 1 4 2 ?? 2 1 ? ? 0 17? ? ? ?? ? ? = ? 7 2 0 ?? 0 3 ? = ? 14 13?. ? - 1 3 1 ?? - 1 2 ? ? - 3 10? ? ? ?? ? ?
? 0 14 - 3 ? =? ?, ? 17 13 10 ?
定义 设A为n 阶方阵，如果满足 A = AT ，即
例8 设列矩阵 X = ( x1 , x2 ,
阵, 且HH T = E .
, xn ) 满足 X T X = 1,
a ij = a ji (i , j = 1 ,2 ,
, n ) 则称A为对称阵.
E为n阶单位矩阵 , H = E - 2 XX T , 证明H是对称矩
T T T T 证明 ∵ H = (E - 2 XX ) = E - 2( XX ) T = E - 2 XX = H , T T
? 12 6 1 ? ? ? 例如 A = ? 6 8 0 ? 为对称阵. ? 1 0 6? ? ?
注 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
如果 A = - A, 则称矩阵 A为反对称矩阵 .
∴ H是对称矩阵 .
= E - 4 XXT + 4( XXT )(XXT ) = E - 4XXT + 4X (X T X )X T
= E - 4XXT + 4XXT = E .
HH = H 2 = (E - 2 XX T )
对称矩阵和反对称矩阵的性质
(1)设A, B为同阶(反)对称阵，则A±B仍是(反)对称阵. (2)设A, B为同阶对称阵，则AB (或BA)仍为对称矩阵 的充分必要条件是AB =BA . (3)设A为(反)对称矩阵, 则 AT , λ A 也是(反)对称矩阵. (4)对任意矩阵A, A A, AA 都是对称矩阵. (5)对任意方阵A, H =
五、方阵的其它运算
１、方阵的乘幂
定义 设A 是 n 阶方阵, k 为正整数, 称 k 个A的乘积为 A 的 k 次乘幂, 简称为A 的 k 次幂, 记为Ak . 即
1 1 ( A + AT ), S = ( A - AT ) 2 2 分别是对称矩阵和反对称矩阵, 且 A = H + S
方阵乘幂满足的运算性质
2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，
(1) A A = A
(2) ( Am ) = Amk .
叫做方阵A 的行列式, 记作 A 或 det A .
定义 对于n 阶方阵A与B，若AB=BA，则称方阵 A与B是可交换的。 ( AB )k ≠ Ak B k , 只有当A与B可交换时
等号成立. 一般， 同理： ( A + B )2 = A2 + 2 AB + B 2 , ( A + B )( A - B ) = A2 - B 2 成立等价于A与B可交换。
? 2 3 ? 则 A = 2 3 = - 2. 例 A=? ? 6 8 ? 6 8?
( 2) λ A = λ n
AB = A B ;
? ? 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 ? ? ? 转置矩阵 ? 方阵的乘幂 ? 方阵的行列式 ? ? 对称阵
范文九：第二章 矩阵及其运算
一、矩阵的概念与几类特殊方阵
（一）矩阵及相关概念
m?n个数aij排成的m行n列的表格
?a11a12...a1n??a? a...a21222n??称为m?n矩阵，简记A或(a),若m?n，则称A是n阶矩阵或n阶方阵ijm?n?............???aa..am2mn??m1
如果矩阵A中所有元素而都是0，则称为零矩阵，记作0
3.同型矩阵
矩阵A?(aij)m?n,，B?(bij)s?t,中如果m?s,n?t,则称A与B是同型矩阵
4.矩阵相等
同型矩阵A?B?aij?bij(?i,j),即对应的元素都相等
1. 方阵的行列式
对于方阵A?(aij)其元素可构造n阶行列式
an1a12a22...an2...a1n...a2nA?B,得不到A?B
........ann
(二)几类特殊方阵
1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n阶段方阵，称为n阶单位矩阵，
EA?AE?A;A0?E
2.对称矩阵
设A是n阶矩阵，如AT?A,即aij?aji(?i,j)
3.反对称矩阵
设A是n阶矩阵，如AT?-A,即aij?-aji(?i,j)，aii?0
若A,B是同阶的(反)对称矩阵，则A?B,A?B,?A也是(反)对称矩阵，但AB不一定是(反)对称矩阵
4.对角矩阵
设A是n阶矩阵，如aij?0(?i?j)，对角矩阵记为?
同阶的对角矩阵的和差、积仍然是对角矩阵
设A是n阶矩阵，如存在n阶矩阵B,使AB?BA?E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，A的逆矩阵唯一 ?1记为A
6.正交矩阵
设A是n阶矩阵，如AAT?ATA?E,则称A是正交矩阵，A?1?AT
7.伴随矩阵
设A?(aij)是nAaij的代数余子式Aij所构成的n阶矩阵
A1nA21...An1A22...An2A的伴随矩阵，记为A?.........A2n..Ann
二、矩阵的运算
（一）矩阵的线性运算
1.矩阵的加法
设A?(aij),B?(bij)是两个m?n矩阵，则m?n矩阵C?(cij)?(aij?bij)称为矩阵A,B的和
2.矩阵的数乘
设A?(aij)是m?n矩阵，k是一个常数，则m?n矩阵(kaij)?(aij?bij)称为数k与矩阵A的数乘，
3.矩阵的乘法
设A?(aij),B?(bij)是两个n?s矩阵，则m?s矩阵C?(cij)
其中cij?ai1b1j?ai2b2j?...?ainbnj??aikbkj,称为A与B的乘积，记为C?AB
(1)矩阵的乘法一般没有交换律AB?BA,只有A与B可交换即AB?BA时，才能运算k?1n
(2)AB?0,B?0，不能退出A?0;A2?A,不能堆出A?E或A?0;AB?0,应联想到
B中的每一列都是其次方程Ax?0的解，若B?0,则齐次方程组有非零解
r(A)?r(b)?n
矩阵乘以不具有消去律，对于AB?0(A?0),以下两种情况消去率成立：
若AB?0，且矩阵A可逆，则B?0
若AB?0，且r(A)?A的列数，则B?0
(3)AB?AC,A?0,不能退出B?C,若A是m?n矩阵，秩序r(A)?n，命题成立
（二）关于逆矩阵的运算规律
1(1)(A?1)?1?A
(2)(kA)?1?A?1
(3)(AB)?1?B?1A?1 k
(4)(A?1)T?(AT)?1
(6)(An)?1?(A?1)n
(三)关于矩阵转置的运算规律 ?1
(1)(AT)T?A
(2)(kAT)?kAT
(3)(AB)T?BTAT
(4)(A?B)T?AT?BT
（四）关于伴随矩阵的运算规律
(1)A?A?AA??E
(2)A??An?1(n?2)
(3)(A?)??An?2A(n?2)
(4)(kA)??kn?1A?
(5)(A?)T?(AT)?
(6)r(A?)?n,r(A)?n;r(A?)?1,r(A)?n?1;r(A?)?0,r(A)?n?1
(7)若A可逆，则(A?)-1?1A,(A?)-1?(A?1)?,A??AA?1 A
（五）关于分块矩阵的运算法则
?A3A2??B1???A4??B3B2??A1?B1???B4??A3?B3A2?B2?
?AB??XY??AX?BZAY?BW? (2)????????CD??ZW??CX?DZCY?DW?
?AT?AB?(3)????TCD???B
?Bn?BO?(4)????OC???O
-1nTCT? T?D?O? n?C?-1?B-1O??OB??OC?1??BO?(4)???，???1? ??-1??O??OC??OC??CO??B
三、矩阵可逆的充分必要条件
n阶方阵A可逆，等价于
1.存在n阶方阵B，有AB?BA?E
4.A?P1P2???Ps,其中Pi是初等矩阵
5.A的列(行)向量线性无关
6.齐次方程组Ax?0只有零解
7.?b,非齐次方程组Ax?b总有唯一解
8.A的特征值全不为0
四、矩阵的初等变换与初等矩阵
（一）矩阵的初等变换及相关概念
1.矩阵的初等变换
下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换
（1） 对调矩阵的两行列
（2） 用非零常数k乘以某行列中所有元素
（3） 把矩阵某行列所有元素的k倍加至另一行列对应的元素上去
（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）
（5） 不要混淆矩阵的运算
2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵
（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵
①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方
②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大
（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵
对于任何矩阵A，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵
（二）初等矩阵的概念
单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵
（三）初等矩阵的性质
1.用初等矩阵P左(右)乘A，所得PA(AP)就是对矩阵A做了一次与P同样的行列初等变换 2.初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵
?001??001??010???010?；副对角线E?1?Eijij???????100???100??
?1?100??020???0????0??001???
-1-1-100??11?10?；主对角线Ei(k)?Ei()2k?01? ?100??100??310???-310?主对角线以外E?1(k)?E(?k)ijij???????001???001??
五、矩阵的等价
（一）矩阵等价的概念
?E矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,则称矩阵A与B等价，记作AB.若A?r
后者是A的等价标准形，其中Er是r阶单位矩阵,r是矩阵A的秩
（二）矩阵等价的充分必要条件 0?,则称 0??
1.A，B是同型矩阵且有相同的秩
2.存在可逆矩阵P和Q，使PAQ?B
设A时m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P，n阶可逆矩阵Q,使得
?E0?PAQ??r??00?
矩阵的等价与向量组的等价是两个不同的概念；向量组等价是指两个向量可以互相线性表示向量组等价必有矩阵等价
六、常考题型及其解题方法与技巧
题型一、有关矩阵的概念及运算
题型二、求方阵的幂An
思路1，若r(A)?1,则A能分解为一列与一行两个矩阵的乘积，用结合律就可很方便地求出An
思路2，若A能分解成两个矩阵的和A?B?C且，BC?CB,则An?(B?C)n可用二项式定理展开 思路3，当A有n个线性无关的特征向量，可用相似对角化来求An
思路4,数学归纳法
题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵
题型四、有关初等变换的问题
题型五、关于伴随矩阵的命题
题型六、矩阵可逆的计算与证明
思路1，定义法，找出B使AB?E或BA?E
思路2，伴随矩阵法A?1?1?AA
AEA);()?(?1)EA?1
-1 思路3，初等变换法(AE)?(E-1?B-1O??OB??OC?1??BO?思路4，分块矩阵法?，????????1-1??OCCOOCO????????B
题型七、求解矩阵方程
Ax?B有解等价于
1.B的每列可由A的列向量表出
2.r(A)?r(AB)
方法1,若A可逆，则X?A?1B,可以先求出A?1
方法2，若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯形方程组
范文十：§ 2
矩阵的运算
一、矩阵的加法
设有两个m?n矩阵A?(aij)，B?(bij)，则矩阵A与B的和记作A?B，规定为
a21?b21?A?B?(aij?bij)????
a12?b12a22?b22
只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
设矩阵A?(aij)，记
则称?A为矩阵A的负矩阵，显然有
由此规定矩阵的减法为
A?B?A?(?B)?(aij?bij)
二、数乘矩阵
数?与矩阵A的乘积记作?A或A?，规定为
?a21??A?A??
矩阵的加法与数乘矩阵运算，统称为矩阵的线性运算。容易验证，矩阵的线性运算有以下8条性质：假设A,B,C都是m?n矩
阵，?,?都是数，则
（1）A?B?B?A
（2）(A?B)?C?A?(B?C) （3）A?O?A （4）A?(?A)?O （5）1?A?A （6）(??)A??(?A) （7）?(A?B)??A??B （8）(???)A??A??A 三、矩阵乘法
设有两个线性变换
?y1?a11x1?a12x2?a13x3
y?ax?ax?ax
?x1?b11t1?b12t2
?x2?b21t1?b22t2
（2） ?x?bt?bt
若想求出从t1,t2到y1,y2的线性变换，可将（2）代入（1），便得到
?y1?(a11b11?a12b21?a13b31)t1?(a11b12?a12b22?a13b32)t2
y?(ab?ab?ab)t?(ab?ab?ab)t22?2
线性变换（3）可看成是先作线性变换（2）再作线性变换（1）
的结果。我们把线性变换（3）叫做线性变换（1）与（2）的乘积，相应地把（3）所对应的矩阵定义为（1）与（2）所对应的
矩阵的乘积，即
a13???b21a23???b
b12??b22 ?b32??
?a11b11?a12b21?a13b31
?a21b11?a22b21?a23b31a11b12?a12b22?a13b32?
a21b12?a22b22?a23b32?
一般地，我们有
设有矩阵A?(aij)m?s和B?(bij)s?n，则规定矩阵A与B的乘积是一个m?n矩阵C?(cij)m?n，其中
cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj?
（i?1,2,?m；j?1,2,?n）并把该乘积记作
只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
求下列矩阵的乘积：
?10????2?2??
?1??1???11??1??1??
2??1??2??3
?02????02???0
?3??8???1??7
?2?3?3??1??1??22???4???1??51?? 7?
通过例1的计算，我们可以看到，对于数的乘法成立的运算规律，对于矩阵的乘法并不都成立，值得提出的是以下两点：
①两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
②矩阵的乘法一般不满足交换律，即一般地，AB?BA. 不过，矩阵的乘法仍然满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：
（1）(AB)C?A(BC)
（2）A(B?C)?AB?AC， (B?C)A?BA?CA （3）?(AB)?(?A)B?A(?B) （其中?为数） 对于单位矩阵E，容易验证
有了矩阵的乘法，下面来定义n阶方阵的幂：设A是n阶方阵，则
A?A ， A?AA ， … ， A?AA
其中k为正整数，即Ak就是k个A连乘。显然只有方阵的幂才有意义。
方阵的幂满足以下运算规律：
， (Ak)l?Akl
但是一般说来
?sin??sin???cosn?
cos???sinn?
（采用数学归纳法）
（1）当n?1时，等式显然成立。 （2）假设当n?k时等式成立，即
?sin???cosn?
cos???sinn?
则当n?k?1时，
?sin??sin???cos?
cos???sin?
?sink???cos?
cosk???sin?
?cosk?cos??sink?sin???
?sink?cos??cosk?sin??cos(k?1)???
?sin(k?1)?
?cosk?sin??sink?cos??
?sink?sin??cosk?cos??
?sin(k?1)??
cos(k?1)??
即当n?k?1时等式也成立。
综合（1）、（2）可知，等式对?n?N?都成立。 四、矩阵的转置
设有m?n矩阵
a12a22?am2
将A的行换成同序数的列所得到的n?m矩阵
a21a22?a2n
称为矩阵A的转置矩阵。
矩阵的转置满足以下规律：
（1）(AT)T?A
（2）(A?B)T?AT?BT （3）(?A)T??AT
（4）(AB)T?BTAT
?1???，B??42??2
3，求(AB)T. ?1??
2??2??00???1????11??0
?2????317?
设A为n阶方阵，若满足AT?A，即aji?ija（i,j?1,2,?n），则称A为n阶对称阵。对称阵的特点是：它的元素以主对角线为
对称轴对应相等。
若方阵A满足AT??A，即
?aij??aji?
则称A为n阶反对称阵。
已知A是对称矩阵，B是反对称矩阵，即AT?A，
（1）B2是对称矩阵；（2）AB?BA是反对称矩B??B，求证：
（1）因为(B2)T?(BB)T?BTBT?(?B)(?B)?B2，所以B2
是对称矩阵。
(AB?BA)?(AB)?(BA)?BA?AB
??BA?A(?B)??(AB?BA)
所以AB?BA是反对称矩阵。
设列矩阵X?(x1,x2,?,xn)T满足XTX?1，且
H?E?2XX（E
为n阶单位矩阵），证明H是对称矩阵，且
HT?(E?2XX，)?E?(2XX?)E?2XX?H
故H是对称矩阵。又
?(E?2XX)?E?4XX
?4(XX)(XX)
?E?4XX?4X(X
X?E?4XX?4XX
五、方阵的行列式
由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作|A|或detA.
方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是由这些数（即数表A）按一定的运算法则所确定的一个数。
由A确定|A|的这个运算满足下列运算规律（设A、B均为n
阶方阵，?为数）：
（1）|AT|?|A| （2）|?A|??n|A| （3）|AB|?|A|?|B|
行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下的方阵
A11A21?An1
A12A22?An2
称为方阵A的伴随矩阵。试证：
AA?AA?|A|E
设A?(aij)，记AA*?(bij)，则
bij?ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?|A|?ij
(ij?)|A|E |ij?)|A|?故
同样可证得
六、共轭矩阵
当A?(aij)为复矩阵时，用aij表示aij的共轭复数，记
则称A为A的共轭矩阵。
共轭矩阵满足下列运算规律（设A、B为复矩阵，?为复数，且运算都是可行的）：
（1）A?B?A?B （2）?A???A （3）AB?A?B}