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J-L定理是我在阅读关于汉明嵌入的文章时遇到最多的一次概念，其主要是说“一个d维空间中的n个点可以近似等距地嵌入到一个k≈O(logn)维的空间”，所谓近似等距意思简单地理解就是保持任何两个点之间的相对远近关系，准确但不确切的说法是拓扑同构。该定理是1984年发现的，在压缩感知、流行学习和降维上被应用。ps:应该是个很牛逼的定理。
对任意常数 0&ε&1 和任意正整数 n, 设k为一个正整数
k≥4(?2/2-?3/3)-1lnn
那么对于任意Rd空间中的n个点构成的集合V，始终存在一个映射f:Rd→Rk使得对所有的u,v∈V,有
(1-?)∥u-v∥2≤∥f(u)-f(v)∥2≤(1+?)∥u-v∥2.
且该映射可以在多项式时间内找到。
从上述定理的表述中可以发现：
1.所使用的距离是低维空间中常用的欧氏距离。
2.原始空间中的点数充分决定了降维后空间可以达到的最小维数。
3.不管空间维数，假设原始空间有100万个点，可降维后的空间维数与ε的关系如下，当取ε=0.5，可以嵌入的最低维空间为664维。
4.降维时若要求保持等距关系越严格，则ε应该越小，但是降维后的空间最低维数也会越大，这中间应该有个权衡（trade-off）。
5. J-L定理给出了低维空间嵌入的误差上界，但这种误差是相对误差。因为以下两个式子等价的。
(1-?)∥u-v∥2≤∥f(u)-f(v)∥2≤(1+?)∥u-v∥2.(∥f(u)-f(v)∥2-∥u-v∥2)∥u-v∥2≤?.
关于其证明，网上答案很多，此处就省了，只求会灵活运用就好。
如何找到那个映射函数f是我们最为关心的，原始论文中给出了一个随机投影的方法，如下：
设 随机生成一个k×d的矩阵A，将Rd空间向量投影为一致随机的k维空间中的向量，做法是
对v∈Rd，左乘矩阵A，然后乘以系数dk--√，这时dk--√Av∈Rk。
乘以系数dk--√是为了保证E[∥∥dk--√Av∥∥2]=∥v∥2.
看到这个映射的构造方法，让我想起了局部敏感哈希（LSH）~
参考资料：
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size: '200,200',
display: 'inlay-fix'1 Chan W C W, Nie S.Science,6~2018 2 Scarberry K E,Dickerson E B,McDonald J F,Zhang Z J.J Am Chem Soc,58~10262 3 Lü C L,Yang B.J Mater Chem,4~2901 4 Zhang H,Han J S,Yang B.Adv Funct Mater,3~1550 5 Caseri W.Macromol Rapid Commun,21:705~722 6 Cui T Y,Cui F,Zhang J H,Wang J Y,Huang J,Lü C L,Chen Z M,Yang B.J Am Chem Soc,8~6299 7 Kickelbick G.Prog Polym Sci,~114 8 Su H,Chen W.J Mater Chem,9~1145 9 Li D X,Cui Y,Wang K W,He Q,Yan X H,Li J B.Adv Funct Mater,4~3140 10 Xu J,Wang J,Mitchell M,Mukherjee P,Jeffries-EL M,Petrich J W,Lin Z Q.J Am Chem Soc,28~12833 11 Xuan Y,Pan D C,Zhao N N,Ji X L,Ma D G.Nanotechnology,6~4969 12 TessLer N,Medvedev V,Kazes M,Kan S H,Banin U.Science,295: Lin Y,Tseng W,Chang H.Adv Mater,1~1386 14 Zhang H,Tang Y,Zhang J H,Li M J,Yao X,Li X,Yang B.Soft Matter,3~4117 15 Wang B,Wilkes G L,Hedrick J C,Liptak S C,McGrathj J E.Macromolecules,9~3450 16 Su H,Chen W.Macromol Chem Phys,8~1786 17 Chang C,Chen W.Journal of Polymer Science:Part A:Polymer Chemistry,9~3427 18 Liu J,Nakamura Y,Ogura T,Shibasaki Y,Ando S,Ueda M.Chem Mater,~281 19 Kyprianidou-Leodidou T,Caseri W,Suter U W.J Phys Chem.2~8997 20 Liang Y Y,Xu Z,Xia J B,Tsai S,Wu Y,Li G,Ray C,Yu L P.Adv Mater,5~E138 21 Huynh W U,Dittmer J J,Alivisatos A P.Science,5~2427 22 Yao Y,Hou J H,Xu Z,Li G,Yang Y.Adv Funct Mater,3~1789 23 Greene L E,Law M,Yuhas B D,Yang P D.J Phys Chem C,51~18456 24 Colvin V L,Schlamp M C,Allvlsatos A P.Nature,~357 25 Gao M Y,Richter B,Kirstein S.Adv Mater,~805 26 Dabbousi B O,Bawendi M G,Onitsuka O,Rubner M F.Appl Phys Lett,6~1318 27 Lü C L,Cui Z C,Guan C,Guan J Q,Yang B,Shen J C.Macromol Mater Eng,~723 28 Guan C,Lü C L,Liu Y F,Yang B.J Appl Polym Sci,1~1636 29 Lü C L,Cui Z C,Li Z,Yang B,Shen J C.J Mater Chem,~530 30 Lü C L,Cheng Y R,Liu Y F,Liu F,Yang B.Adv Mater,8~1192 31 Lü C L,Guan C,Liu Y F,Cheng Y R,Yang B.Chem Mater,8~2454 32 Zhang H,Cui Z C,Wang Y,Zhang K,Ji X L,Lü C L,Yang B,Gao M Y.Adv Mater,~780 33 Zhang H,Wang C L,Li M J,Zhang J H,Lu G,Yang B.Adv Mater,~857 34 Wei H T,Sun H Z,Zhang H,Gao C,Yang B.Nano Res,~505 35 Sun H Z,Zhang H,Zhang J H,Wei H T,Ju J,Li M J,Yang B.J Mater Chem,0~6744 36 Sun H Z,Zhang J H,Zhang H,Xuan Y,Wang C L,Li M J,Tian Y,Ning Y,Ma D G,Yang B,Wang Z Y.ChemPhysChem,2~2496
被如下文章引用：
AUTHORS: ,
KEYWORDS: 聚合物,纳米晶,杂化材料,高折射率,功能性材料
JOURNAL NAME:
Jan 20, 2016
ABSTRACT: 聚合物-纳米晶杂化材料因结合了有机和无机材料的优点而逐渐地受到了人们普遍的关注,聚合物为纳米晶的形成与生长提供了优良的环境,纳米晶的引入同样也增加和强化了聚合物的功能特性.如聚硫代氨基甲酸酯与TiO2杂化的高折射率薄膜,该薄膜不仅保持了原有的性能,而且有较高的折射率.此外,还有许多不同纳米粒子与不同聚合物的杂化体系.如聚N,N-二甲基丙烯酰胺(PDMAA)/ZnS杂化材料,聚氨酯/PbS杂化材料等.有机-无机杂化材料不仅可以制备高折射率材料,还可以用来制备高性能光致发光的体相材料.表面带负电荷的CdTe纳米晶可以通过静电相互作用从水相转移到油相,最后通过自由基聚合,得到均一分布纳米晶的体相材料,而聚合物分子反过来也可以作为控制纳米晶生长的优良介质,进而实现对纳米晶尺寸的精确控制和性能优化.在紫外光下的发光颜色可由最初引入的纳米晶的粒径大小来控制.功能性聚合物聚对亚苯基亚乙烯基(PPV)前驱体可以与CdTe纳米晶杂化用来制备纯白色发光的杂化材料,以及高表现的太阳能电池器件.扫二维码下载作业帮
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设A是n*n的对称矩阵,将A的对角线及对角线上方的元素以列为主的次序存放在一维数组B[1..n(n+1)/2]A、i(i-l)/2+j B、j(j-l)/2+i C、j(j-l)/2+i-1 D、i(i-l)/2+j-1
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a11,a12,a22,a13,a23,a33,a14,a24,a34,a44,.(B) 正确 --前提是数组编号从1开始,若从0开始(计算机中),则(C)正确方法:1.测试 a24 位于第8,i=2,j=4 代入选项中2.计算 aij 的位置:前j-1列有 1+ 2+3+...+(j-1) = j(j-1)/2 个元故 aij 位于 j(j-1)/2 + i 的位置.(B) 正确若考虑 数组编号 从0开始计数,则 (C) 正确.视你教材中的定义.
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