高等数学极限，为什么我错了，我用完全平方公式打开的，等价无穷小代换， 错在哪里了，答案是4不是_百度知道求极限什么情况下可以在加减式中使用等价（无穷小）替换？
之前在某一本书中看到的结论是不可以在加减法中使用等价替换。最近在另一个老师的课上老师提出了这样的方法，若是A-B，A替换后为a（A~a），B~b，若a/b≠1，则可以使用等价代换。若是A+B，若a/b≠-1，则可以使用等价代换。然而在他举例子的时候，有些式子（分子）前部（被减数）是某一存在等价替换的式子，后部（减数）是一个不确定的式子（f(x)或者ax^2+b这种），他依然使用了这种方法。然而更让我懵比的是，在一个前后都是确定的式子（分子），而前部（暂且说为被减数）是一个存在等价替换的式子，减数是一个不存在等价替换的式子，他会把这个分数拆为两个分数相减，然后第一个用等价替换，第二个正常替换。然而我的另一本书中明确的写到不可以这样拆开来算极限。那么到底那种说法是对的呢，忘得到解答。
谢邀。这类问题可以用如下方式思考：假设f(x) , g(x)是两个等价无穷大（无穷大是因为考虑加减法一般是无穷大，无穷小加减出来极限就等于0了），那么f(x) = g(x) + o(g(x)). （为什么？）注意这里是小o，小o和大O的区别，自己看书。那么f(x)-g(x)=o(g(x))，这个等式的右边只不过是比g(x)严格小的一个“东西”（它可能是比g(x)低阶的无穷大，也可能就是个有界或者振荡的东西），o(g(x))的极限是多少，如果不给出另外的信息，只能是“不确定”。那么乘除法呢？我们继续按这种方式算： f(x)/g(x) = (g(x)+o(g(x)))/g(x) = 1 + o(g(x))/g(x)，这个右边极限是1，因为o(g(x))/g(x)根据定义极限是0（不明白的请继续回去翻书看小o和大O的定义）。我们通常算极限的时候会感觉Taylor展开是个普适的方法，主要因为Taylor定理告诉我们光滑函数可以用多项式去局部近似（我这里说的是“近似”不是“逼近”，主要为了区分光滑函数和解析函数）。然而你如果真正看明白了的话，Taylor展开只是上述格式的一个特殊例子，不过是把g(x)取成了多项式罢了。一般情况下用其他的g(x)当然也是可以的。最后说一句：小o和大O真是两个好东西，他们本质上和epsilon-delta语言等价，但是书写上和直观思维上显然方便很多，比极限符号lim也更方便。严格的叙述当然要用epsilon-delta语言，简化记号就可以用lim符号，在无穷大无穷小的特殊情形下继续简化记号就可以用o和O。当然这是标准分析。非标准分析里面直接就给了无穷小和无穷大严格的定义，而不仅仅是作为一个简化的记号。
说起等价无穷小，这玩意怎么说呢，其实并不是那么规范和严格的东西。因为他是泰勒公式的一个简化。我们都知道泰勒公式是展开成多项式，而这个等价无穷小就是取泰勒展开的前几项（一般只取一项），也就是说等价无穷小是一个粗略精度的泰勒展开。事实上，在我的印象中国外的书籍并没有提到等价无穷小这样一个东西，只不过国内解题时能提高解题速度所以才大肆推广。但是由于等价无穷小这个东西实在是不精确，可能会带来许多问题，于是国内书规定加减因子不能用等价无穷小，乘除因子可以放心使用。这个破规定无头无脑，实际上是因为 乘除运算不会导致项的抵消，但是加减运算会导致项的抵消或合并，在等价无穷小这种本来就不精确的情况下，无视加减带来的项抵消或合并是可能会产生致命的错误，比如下面这题你如果等价无穷小替换发现做不出来，实际上泰勒展开发现：等价无穷小只取了第一项，后面被忽略，两者泰勒展开相减应该是x^3/2，然而等价无穷小直接忽略了它。所以想在加减时等价无穷小替换，就泰勒展开看看，展开到与分母最高阶次相同，如果展开的项都抵消了，就可以放心使用。总而言之，不放心就泰勒展开，看看后面几项。所以答主，我的建议是，平时可以花点时间泰勒展开看看，结合等价无穷小一起理解其本质，你自然就知道何时可以用何时不可以用。
什么时候都可以替换，但需要明确为什么可以等价，举个例子吧，看下面的极限计算： 这个极限的结果是0（多谢评论区大神提醒
），替换了也没错啊。但如果遇到这个题：替换了的话，等于0的结果就不对了，而且如果你做过一定数量题的话，应该注意到了这个结果是
这是为什么呢，用泰勒公式将sinx在x=0处展开就清楚了： 这里的表示如果题主将这个展开式替换开头极限计算中的sinx，那么可以看出后面中x都是高于3次方的，所以中的每一项都远远比更加快的趋近于0，因此在计算这个极限时，我们可以省略掉后面更快趋近于0的项用做等价无穷小替换，然后算出该极限为 说到这里题主也应该明白了吧，为啥sinx有时候替换成x代入极限计算中就不行了？因为对于这个极限当你用x在0点的泰勒公式展开sinx，会发现展开式第一项x之后所有项都是x的高次幂，所以远远比x更快的趋近与0，因此在x的眼中他们就都等于0了，所以你可以省略掉后面更快趋近于0的项，用x和替换sinx，反正最后的极限也都是0嘛但对于 你把x减掉了，没有x的时候，表示自己跟下面那个有一战的能力，这时你就不能也省略它了～
1.之所以能拆开，是因为拆开后，至少一项的极限是存在的。2.等价无穷小替换，只有在全是乘数因子时才能使用，而等价无穷小替换严格来讲只是一种近似，所以叫“替换”；只有加上小o之后才严格等于，而在取极限时小o的作用微乎其微，故可以省略。3.在使用泰勒展开式时，加上余项的话，是可以做到严格等于的，所以在有加减法时直接泰勒展开妥妥没问题，需要注意的是小o的运算法则。当然咯，一般我们做题的时候，题都是算起来很方便的。
这个问题我以前也想过当这种情况成立:lima+limb=lima+b的时候成立
，，， 是同一变化过程中的无穷小量，且，如果 （为有限数），那么：1，
由等价无穷小定义得：
()同理可证 2
定理:某一条件下，a,b为无穷小,a~c*k^m,b~d*k^n。若c≠d或m≠n,则(a+b)~(c*k^m+d*k^n)。手机符号难打，将就一下。不举例题。
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等价无穷小实质
第11卷第6期Vol．11，No．6宜宾学院学报
JournalofYibinUniversity2011年6月June，2011
利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质
（中国民航飞行学院计算机学院，四川广汉618307）
——利用泰勒公式来理解等价无穷小替换的实质，摘要：针对在应用等价无穷小替换时存在的问题，提出了解决问题的新观点—从而使得学生能较容易地掌握应用等价无穷小替换求解极限的方法．关键词：泰勒公式；等价无穷小替换；极限中图分类号：O173
文献标志码：A
文章编号：（12－03
UnderstandingtheEssenceofSubstitutingofEquivalentInfinitesimalbyTaylorFormula
LEIKai-hong
（SchoolofComputerScience，CivilAviationFlightUniversityofChina，Guanghan618307，China）
Abstract：AnewmethodofunderstandingtheessenceofsubstitutingequivalentinfinitesimalbyTaylorFormulawasputforwardtosolvetheproblemsintheapplicationofsubstitutingequivalentinfinitesimal．Keywords：Taylorformula；substitutionofequivalentinfinitesimal；limit
在高等数学的学习中利用等价无穷小替换求解极限问题是学生学习的难点，即使有些学生学习了教材
鉴于泰勒公式在高等数学中的广泛应用用泰勒公式来解决这个难题．
仍然对于等价无穷小替换求解极限运用不够灵活甚至比较吃力，常常犯错．究其原因主要有两个：一是学生平时努力不够，对于常见等价无穷小没有准确记忆并且对于此类求极限问题缺少练习；二是对于等价无穷小替换的实质还表现在对一些等价无穷小替换的法没有达到透彻的理解，
则只知其然而不知其所以然．如做练习时有这样的题目：
tan2x－sinxx－sinx
lim；limx→0x→03x3x
有这样的解法：
tan2x－sinx2x－x1
x→0x→03x3x3lim
x－sinxx－x
x→0x→03x3x
1教学上的策略
在教学上可以采取这样的做法：在讲解完泰勒公式后
，非常有必要带领学生“温故而知新”即站在泰勒公式的“制高点”“俯瞰“等价无穷小替换的知识，来重新理解等从而使学生对于等价无价无穷小替换的相关法则和原理，
有利于把握住该知识点的实穷小替换的认识得到升华，
进而使得学生对于相关的替换法则理解更透彻、运算质，
技巧掌握得更牢固，自然地，学生在应用这部分知识解决问题时也会变得更加娴熟和灵活．需要注意的是在此过程中教师需要让学会生明确以下两点：
①将极限问题化繁为简．通常为了把问题中涉及到的函数全部转化为有理函数，这时最有效的工具就是泰勒公式．②求解极限时抓住矛盾的主要方面．对化简后得到的有理函数求极限时应该注意：由于分子和分母都是多项式，在自变量趋向于零时，低次项远远大于高次项，因此决定分子和分母数值大小和变化趋势的是它们各自的最低即矛盾的主要方面，而其他高次项不外乎是相对于次项，
最低次项的小扰动，即矛盾的次要方面．
从解答过程中可以看到，学生不论前提条件是否满足而生搬硬套地使用等价无穷小的替换法则，反映出学生对于等价无穷小替换没有达到本质的理解，解决问题也缺乏灵活性．遇到这种情况，教师应该设法帮助学生能够较容易地准确理解问题的本质．
收稿日期：．修回：
29）基金项目：国家自然科学基金委员会与中国民用航空总局联合资助项目（）；中国民航飞行学院科研基金（J2007-作者简介：雷开洪（1976－），男，四川成都人，讲师，硕士，主要从事随机信号处理的研究
贡献者：李少芳0324求大神帮忙解释一下，这道题运用等价无穷小时，为什么上面做法正确，而下面做法错误？虽然本题结果一样。_百度知道后使用快捷导航没有帐号？
求助，关于等价无穷小的两个问题
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如果因式在乘除的情况下可以复合函数代换 如果加减的话 你还是乖乖的用罗比达吧
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原帖由 mccrow 于
07:29 发表
如果因式在乘除的情况下可以复合函数代换 如果加减的话 你还是乖乖的用罗比达吧
晕，我知道加减不能用，我是在问对数和开n次方时能不能用
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回复 10楼 guttyguy 的帖子
感觉第一个不行吧 ，x→0时， lnarcsinx~arcsinx，然后arcsinx~x才对吧！！
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回复 13楼 善若德 的帖子
课程预告，帮学堂出品
好像是 ln(x+1)~x 吧？
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原帖由 渺渺真人 于
23:15 发表
罗比达和无穷小的误差是一样的。他们都是泰勒公式的一阶层次，你想想罗比达的推导拉格朗日就是了。至于精确度，极限问题的精确程度都是很准确的。没有什么误差范围，省略的高阶都是可以消去的。感觉楼上理解的有点太过于 ...
我的意思是多次诺必达，当然无穷小也可以用诺比达推出来
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我晕&&根本就不是无穷小 合来等价 晕
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额 看懂楼主意思了 可以换的 道理其实和直接落笔他一样的~ 一点问题都没~
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原帖由 remarkble 于
23:29 发表
只有公因子和乘除可以用等价无穷小代换，在其他情况下使用都是非法的，结果往往也是错的。
你的理解是错的，或者说是不全面的。
其他情况下可以用，但是有条件：
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原帖由 yingmuhaha 于
11:40 发表
你的理解是错的，或者说是不全面的。
其他情况下可以用，但是有条件：
呵呵，你发的那个东西上面说的我何尝不知道，但是这个是考研，
只要你在考研中，在公因子和乘除2种情况以外用等价无穷小代换，即使结果正确也是肯定要被扣分的。
[ 本帖最后由 remarkble 于
19:50 编辑 ]
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就是啊，根本不是无穷小啊，第二个可以！
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