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【精品】高数(上)习题及答案(极限)
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2016年 考研数学 高等数学 函数的极限典型例题精讲
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iframe(src='///ns.html?id=GTM-T947SH', height='0', width='0', style='display: visibility:')高数-导数与极限习题详解_百度文库
高数-导数与极限习题详解
第2章 导数与极限
一、极限的求法
设 0 & x1 & 3, x n +1 = 证明数列
由数学归纳法知
n & 1 时 ,0 & x n ≤
x n (3 - x n ) - x n
{xn }的极限存在
x n (3 - x n )
(n = 1,2,- - - )
而 x n+1 - x n =
, 并求此极限
3 - xn - xn
3 - 2 xn 3 - xn + xn
由 0 & x1 & 3 知 x1 ,3 - x1 均正
x1 + (3 - x1 ) 3 = 故 0 & x 2 = x1 (3 - x1 ) ≤ 2 2 3 (k & 1) 设 0 & xk ≤ 2 x k + (3 - x k ) 3 = 则 x k + 1 = x x (3 - x k ) ≤ 2 2 3 即 0 & xk +1 ≤ 2
∴ x n+1 ≥ x n
由数列收敛准则知
lim x n 存在
lim xn = a 则 lim x n+1 = lim xn (3 - x n ) n→ ∞ n→ ∞
∴ a = a (3 - a ) ∴ a = 0 (舍去 )或 ∴ lim x n =
x+a ? , x&0 1 ? ? 2+ex 函数 f ( x ) = ? x ? sin x ? tan 2, ? x&0 ? 1 - cos 2 x
在 x = 0处
lim arc cot
D. 不存在 .
极限存在，求a 值。
解： f (0 - 0 ) = lim-
2+ ex x sin x ? tan 2 f (0 + 0) = lim+ x →0 1 - cos 2 x
lim 解: x → 0 arc cot x = π
x x? 2 =1 = lim+ x→0 1 (2 x )2 4 2 ∴ a= 1 2
lim arc cot
f (0 - 0) = f (0 + 0 ) =>
lim sin x - cos x
lim sin x - cos x ＝ lim (cos x - sin x ) = 1 x →0
例 若当 x → x0 时， α ( x ), β ( x ) 都是无穷小，则当 x → x0 时，下列表示式中哪一个不一定是无穷小( D ) A.
α ( x) + β ( x)
极限与绝对值可交换
lim f ( x ) = lim f ( x )
x → x0 x → x0
(前提 : 极限存在 )
C. ln [1 + α ( x ) ? β ( x ) ]
α 2 ( x) + β 2 ( x) α 2 ( x) D. β ( x )
lim f ( x ) = A => lim f ( x ) = A
( f (x) - A ≤
特别：若 f ( x )在 x0 连续，则 f ( x ) 在 x0也连续，
lim f ( x ) = f ( x0 ) = lim f ( x )
sin x 1 + x sin x - cos x
x ? 1 + x sin x + cos x 1 + x sin x - cos x
? 2 x ? 1- x 设 函 数 f ( x) = ? x + 1 ? ， 则 当 x → 1 时 ， 其 极 限 ? ?
解： 原式 = lim
x - 1 ? 1- x ? 2 x ? 1- x ? 解: lim ? x + 1 ? = lim ? 1 + x + 1 ? x →1 x →1 ? ? ? ?
? x - 1 ? x -1 ? ? = lim ? 1 + x →1 x +1? ? ? x +1 ? 2 x ? ? - x +1 ? ?
1 + x sin x + cos x x sin x 1 - cos x + x2 x2
4 = = 1 3 1+ 2
x +1 ? ? ? x - 1 ? x -1 ? ? = lim ? ? 1 + ? ? x →1 ? x +1? ? ? ?
? 2x ? ?- ? x +1 ?
1 - 1 - x2 x → 0 1 - cos x
? x + 2a ? lim ? ? =8 x →∞ ? x-a ?
解： 原式＝ lim
(1 - cos x )(1 +
1 2 x ? 1 + 1 - x2 2
3a ? ? 解：原式 = lim ? 1 + ? x →∞ x-a? ?
贡献者：fx
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