若A,B为同型矩阵,证明r（A+B）≤r（A）+r（B）
风渐远_仿滩9
A,B都是m*n的矩阵,则需证r(A+B)≤r(A)+r(B)设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数，即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)
这个结论怎么一下子出来，根据是什么
前面不是说了吗，A+B的列向量都可以由a(i1),a(i2),和 ，β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表示，那么他的极大无关组数当然不大于他们中向量个数啊。因为如果a(i1),ai2,和bi1,bi2线性相关的话，那么这时是取等号的，如果它们线性无关，那么就取小于
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扫描下载二维码证明r(a+b)≦r(a)+r(b)a,b是m×n的同型矩阵,
AB,是m×n的矩阵,设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组.那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.于是A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出.因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)
为什么r t=r(a) r(b)呢？
α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)如果线性无关的话就是等于
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楼上正解，不过高等代数书上有更加简单的方法。
扫描下载二维码证明 r(A)+r(B)-n
AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵 |AB O| |O En| A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有 |AB A| |0 En| 右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有 |0 A | |-B En| 所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)＝r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B) 即r(A)+r(B)-n
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证明R(A+B)小于等于R(A)+R(B)
这里记B的转置为b若A,B都不为0矩阵：r(A)+r(B)=r(A)+r(b)&=2r(Ab)[ 因为r(Ab)&=min{r(A),r(b)} ]&=2m&r(A+B)若A,B至少有一个为0，则r(A+B)=r(A)+r(B)综上所述，r(A+B)&=r(A)+r(B)
满意请采纳，谢谢~~
r(A)+r(b)&=2r(Ab)[ 因为r(Ab)&=min{r(A),r(b)} ]&=2m&r(A+B)再解释得清楚一些
这种更好理解，不然上面的我给你证明了
r(A)+r(b)&=2r(Ab)[ 因为r(Ab)&=min{r(A),r(b)} ]&=2m&r(A+B)
解释：基本定理：设A是数域P上矩阵，B是数域上矩阵，于是
&&&& r(AB)&=min [秩(A)，秩(B)]，即乘积的秩不超过个因子的秩
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& &SOGOU - 京ICP证050897号证明R(A+B)小于等于R(A)+R(B)
落落为君11043
这里记B的转置为b若A,B都不为0矩阵：r(A)+r(B)=r(A)+r(b)>=2r(Ab)[ 因为r(Ab)=2m>r(A+B)若A,B至少有一个为0,则r(A+B)=r(A)+r(B)综上所述,r(A+B)
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